Cálculos Matemáticos

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25. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)? 
 - Resposta: \( 1 \). 
 - Explicação: A integral de \( \sin(x) \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \) é igual a \( 1 \). 
 
26. Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = x^2 \) e a reta \( y = 4x \). 
 - Resposta: \( \frac{32}{3} \). 
 - Explicação: Encontramos os pontos de interseção das curvas e então integramos a 
diferença das funções entre esses pontos. 
 
27. Determine a solução para a equação exponencial \( 3^{2x} = 27 \). 
 - Resposta: \( x = 1 \). 
 - Explicação: Utilizamos logaritmos para resolver a equação exponencial. 
 
28. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)? 
 - Resposta: \( 1 \). 
 - Explicação: Isso é uma forma indeterminada, podemos aplicar a regra de L'Hôpital ou 
usar argumentos geométricos para mostrar que o limite é \( 1 \). 
 
29. Determine a solução para a equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 - Resposta: \( y = Ae^{2x} + Be^{-2x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 - Explicação: Resolvemos a equação característica para encontrar as soluções da 
equação diferencial homogênea. 
 
30. Qual é o valor da integral indefinida \( \int x \cos(x) \, dx \)? 
 - Resposta: \( x \sin(x) + \cos(x) + C \). 
 - Explicação: Usamos integração por partes para resolver a integral indefinida. 
 
31. Encontre a solução para o sistema de equações lineares: 
 \[ x + 2y - 3z = 1 \] 
 \[ 2x - y + z = 8 \] 
 \[ 3x + 4y - 2z = 3 \]? 
 - Resposta: \( x = 2, y = 1, z = 1 \).