Cálculos de Derivadas e Integrais

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Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
97. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 Resposta: \( \sqrt{1 + x^2} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função \( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 
98. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\sec(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \tan(x) \). 
 Explicação: Usando a regra do quociente e a derivada da função trigonométrica 
secante. 
 
99. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x)y \). 
 Resposta: \( y = Ce^{\sin(x)} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
100. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). 
 Explicação: Utilizando as propriedades do limite e a função seno. 
Entendi o desafio! Vamos lá: 
 
1. Encontre a derivada da função \( f(x) = 3x^2 - 2x + 5 \). 
 Resposta: \( f'(x) = 6x - 2 \). Explicação: Use a regra da potência para derivar termo a 
termo. 
 
2. Resolva a integral indefinida de \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 1) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C \). Explicação: Aplique a regra da potência 
para integrar termo a termo. 
 
3. Encontre a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^3 + 2x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x}} \). Explicação: Use a regra da cadeia e 
a regra da potência.