matematica faculdade estacio-13

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- Resposta: Utilizando a regra do logaritmo natural, a derivada é \( f'(x) = -\frac{1}{x 
\ln^2(x)} \). 
 
53. Calcule a integral definida \( \int_{-2}^2 (2x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 - Resposta: Integrando termo a termo, temos \( \left[ \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x 
\right]_{-2}^2 = \left( \frac{2(2)^3}{3} + \frac{3(2)^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{2(-2)^3}{3} + 
\frac{3(-2)^2}{2} - (-2) \right) = \frac{64}{3} + 6 - 2 + \frac{-64}{3} + 6 - (-2) = \frac{20}{3} \). 
 
54. Se \( f(x) = \ln(3x) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{1}{3x} \). 
 
55. Encontre a solução para a equação \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \) para \( \pi \leq x < 2\pi \). 
 - Resposta: \( x = \frac{3\pi}{2} \) e \( x = \frac{7\pi}{6} \). 
 
56. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 4x + 2} \)? 
 - Resposta: Dividindo todos os termos por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 
\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2 \). 
 
57. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = -\sin(x) \). 
 - Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = \cos(x) + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
58. Se \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra do poder fracionário, a derivada é \( f'(x) = -
\frac{1}{2x^{3/2}} \). 
 
59. Calcule a integral definida \( \int_0^1 (\ln(x) - 1) \, dx \). 
 - Resposta: Integrando termo a termo, temos \( \left[ x(\ln(x) - 1) \right]_0^1 = (1(\ln(1) - 
1)) - (0(\ln(0) - 1)) = (0 - 1) - (0 - 1) = -1 + 1 = 0 \). 
 
60. Se \( f(x) = e^{\sqrt{x}} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} 
e^{\sqrt{x}} \).