Cálculos Matemáticos Básicos

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Resposta: \( \left[ \ln|x| \right]_1^e = 1 - 0 = 1 \). Explicação: Aplique a regra fundamental 
do cálculo. 
 
38. Resolva a equação \( e^x = 10 \). 
 Resposta: \( x = \ln(10) \). Explicação: A função exponencial e o logaritmo natural são 
inversos um do outro. 
 
39. Determine a derivada da função \( f(x) = \sqrt{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \). Explicação: Use a regra da cadeia. 
 
40. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 Resposta: \( \arctan(x) + C \). Explicação: Use a integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \). 
 
41. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y = \sin(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. Explicação: Integre 
ambos os lados em relação a \( x \). 
 
42. Determine a soma dos termos de uma série aritm 
 
ética finita com \( a_1 = 3 \), \( a_n = 15 \) e \( n = 7 \). 
 Resposta: \( S_7 = \frac{7}{2}(3 + 15) = 84 \). Explicação: Use a fórmula da soma dos 
termos de uma série aritmética. 
 
43. Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\tan(x) \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
44. Calcule a integral definida de \( \int_0^1 e^x \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \). Explicação: Aplique a regra 
fundamental do cálculo. 
 
45. Resolva a equação \( \log_3(x) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 3^2 = 9 \). Explicação: A propriedade dos logaritmos permite isolar \( x \).