Operações com Matrizes

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Álgebra Linear
Segunda Lista de Exercícios
01. Considere as matrizes
A =
 3 1 4
−2 0 1
1 2 2
 e B =
 1 0 2
−3 1 1
2 −4 1
 .
Calcule
(a) 2A
(b) A+B
(c) 2A− 3B
(d) (2A)>− (3B)>
(e) AB
(f) BA
(g) A>B>
(h) (BA)>
02. Para cada um dos pares de matrizes que se seguem, determine se é possível multiplicar
a primeira matriz pela segunda. Se for possível, execute a multiplicação.
(a)
[
3 5 1
−2 0 2
]2 1
1 3
4 1

(b)
4 −26 −4
8 −6
[
1 2 3
]
(c)
1 4 3
0 1 4
0 0 2

3 2
1 1
4 5

(d)
[
4 6
2 1
][
3 1 5
4 1 6
]
(e)
[
4 6 1
2 1 1
][
3 1 5
4 1 6
]
(f)
 2
−1
3
[
3 2 4 5
]
03. Seja Ax = b um sistema linear cuja matriz aumentada (A|b), após algumas operações
elementares, transforma-se na matriz escalonada reduzida a seguir:
1 2 0 3 1 −2
0 0 1 2 4 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
 .
(a) Encontre todas as soluções do sistema Ax = b.
(b) Sejam a1, a2, a3, a4 e a5 as colunas de A. Se
a1 =

1
1
3
4
 e a3 =

2
−1
1
3
 ,
encontre b.
04. Encontre matrizes 2× 2 A e B, ambas não nulas, tais que AB é a matriz nula O.
05. Sejam A e B matrizes n × n tais que A é inversível e AB = O, onde O é a matriz
nula. Mostre que B = O.
06. Encontre matrizes não nulas A, B e C tais que
AC = BC e A 6= B.
07. Sejam A, B e C matrizes n× n tais que C é inversível e
AC = BC.
Mostre que A = B.
08. Seja
A =

1
2
−1
2
−1
2
−1
2
−1
2
1
2
−1
2
−1
2
−1
2
−1
2
1
2
−1
2
−1
2
−1
2
−1
2
1
2
 .
Calcule A100 e A101.
09. Sejam A e B matrizes simétricas n× n. Para cada um dos itens a seguir, determine
se a matriz dada tem que ser simétrica ou pode ser não simétrica.
(a) C = A+B
(b) D = A2
(c) E = AB
(d) F = ABA
(e) G = AB +BA
(f) H = AB−BA
10. Seja C uma matriz n× n não simétrica. Para cada um dos itens a seguir, determine
se a matriz dada tem que ser simétrica ou pode ser não simétrica.
(a) A = C + C>
(b) B = C − C>
(c) D = C>C
(d) E = C>C − CC>
(e) F = (I + C)(I + C>)
(f) G = (I + C)(I − C>)