Problemas de Cálculo Diferencial e Integral

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Resposta: A integral indefinida é \( \arctan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Usamos a substituição direta para integrar a função. 
 
59. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \sec(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( \sec(x)\tan(x) \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 
 
60. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y\tan(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{-\ln(\cos(x))} = C\sec(x) \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Integramos ambos os lados em relação a \( x \). 
 
61. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \cosh(x) \) e o eixo \( 
x \) entre \( x = 0 \) e \( x = \ln(2) \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). 
 Explicação: Calculamos a integral definida da função e aplicamos os limites de 
integração. 
 
62. Problema: Calcule \( \int \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( 2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x}) - 4\sqrt{x} + 4\ln(1 + \sqrt{x}) + C 
\), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Usamos a substituição direta para integrar a função. 
 
63. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função inversa do 
seno. 
 
64. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \). 
 Resposta: A solução é \( y = \pm \sqrt{Cx} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Usamos o método de separação de variáveis para resolver a equação 
diferencial.