Cálculos Matemáticos Avançados

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47. Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 
48. Determine a série de Taylor para \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 1 \). 
 Resposta: A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!}(x-1)^n \). 
 
49. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \cos(2x) \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) \). 
 
50. Determine a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \) em \( x = 1 \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(1) = 2e^2 \). 
 
51. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^3 - 
3x^2 + 3x - 1 \). 
 Resposta: A função é côncava para cima em \( (-\infty, 1) \) e côncava para baixo em \( 
(1, \infty) \). O ponto de inflexão é \( (1, 0) \). 
 
52. Determine a soma dos termos da série harmônica alternada \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(-1)^{n-1}}{n} \). 
 Resposta: A soma é \( \ln(2) \). 
 
53. Resolva a equação diferencial de Laguerre \( xy'' + (1-x)y' + ny = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = L_n(x) \), onde \( L_n(x) \) é o polinômio de Laguerre de 
ordem \( n \). 
 
54. Calcule a integral \( \int \tan(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
55. Determine o raio de convergência da série de potências \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{x^{2n}}{n^2} \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( 1 \). 
 
56. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - y' - 6y = 0 \).