Cálculos Matemáticos Avançados

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Explicação: Calcule a derivada da função e utilize-a para encontrar a inclinação da reta 
tangente, então aplique o ponto dado para encontrar a equação. 
 
34. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x, y) = \sin(xy) \) em relação a \( y \). 
 Resposta: A derivada parcial de \( f \) em relação a \( y \) é \( \frac{\partial f}{\partial y} = 
x\cos(xy) \). 
 Explicação: Derive a função em relação a \( y \), tratando \( x \) como uma constante. 
 
35. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \ln|x| + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 Explicação: Utilize a propriedade do logaritmo natural para integrar \( \frac{1}{x} \). 
 
36. Problema: Encontre a solução para a equação diferencial \( y' + 3y = \cos(2x) \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Resolva a equação homogênea e utilize o método da variação dos 
parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
37. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx \). 
 Resposta: A integral de \( x^3 \) de 0 a 1 é igual a \( \frac{1}{4} \). 
 Explicação: Utilize a regra da potência para integrar \( x^3 \), depois aplique os limites de 
integração. 
 
38. Problema: Determine os valores de \( x \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n} \) converge. 
 Resposta: A série diverge para todos os valores de \( x \). 
 Explicação: Utilize o critério de divergência para determinar os valores de \( x \). 
 
39. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 6y' + 9y = e^{3x} \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x} + \frac{1}{6}e^{3x} \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolva a equação característica e utilize o método da superposição para 
obter a solução geral.