Cálculos Matemáticos Diversos

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Resposta: \( y(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) \) 
 
17. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} 
\). 
 Resposta: \( \frac{\pi^2}{12} \) 
 
18. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 \). 
 Resposta: \( x = 2, 3 \) 
 
19. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 - 4x + 3 \). 
 Resposta: \( \frac{31}{6} \) 
 
20. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-x} + \frac{1}{4}e^{-x} \) 
 
21. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 
22. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^3y^2 - 2xy + \cos(xy) \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y - 2x - x\sin(xy) \) 
 
23. Resolva a equação diferencial \( y'' - 6y' + 9y = e^{3x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} + \frac{1}{6}e^{3x} \) 
 
24. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^4 
- 4x^3 + 4x^2 \). 
 Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, 1) \) e para baixo em \( (1, \infty) \), ponto de 
inflexão em \( (1, 1) \). 
 
25. Calcule a integral \( \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2}\ln|1+e^{2x}| + C \)