Problemas de Matemática

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Resposta: \( y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação característica e utilizamos a solução para encontrar 
a solução geral da equação diferencial. 
 
46. Problema: Calcule a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 2y \) no ponto \( (1, 
2) \) na direção do vetor \( \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( D_{\vec{v}} f(1, 2) = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da derivada direcional. 
 
47. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \sin^2(x) - \cos(x) = 0 \) no intervalo \( 
[0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a equação. 
 
48. Problema: Determine a solução da inequação \( \log_2(x - 3) > 2 \). 
 Resposta: \( x > 11 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo para resolver a inequação. 
 
49. Problema: Calcule a matriz resultante da multiplicação de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 
\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) por \( B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: \( AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \). 
 Explicação: Realizamos a multiplicação de matriz. 
 
50. Problema: Determine a equação da circunferência com centro em \( (-3, 4) \) e 
passando pelo ponto \( (1, -2) \). 
 Resposta: \( (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 50 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da equação da circunferência. 
 
51. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{2} x^2 \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{8}{3} \). 
 Explicação: Integrando a função \( x^2 \) e avaliando nos limites de integração. 
 
52. Problema: Resolva a equação \( \log(x) + \log(x - 4) = 2 \).