Aula exericico de matematica-171

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82. Resolva a equação diferencial \( y'' - 9y = \sin(3x) \). 
 Resposta: \( y(x) = c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x) - \frac{\sin(3x)}{6} \) 
 
83. Determine a soma dos termos da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} 
\). 
 Resposta: \( -\frac{\pi^3}{32} \) 
 
84. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^6 - 12x^5 + 45x^4 \). 
 Resposta: \( x = 0, 3, 5 \) 
 
85. Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4 - x^2 \). 
 Resposta: \( \frac{32}{3} \) 
 
86. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = xe^{-x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{-x} + xe^{-x} - 2 \) 
 
87. Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \) 
 
88. Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = e^{xy^2} \) em relação a \( x \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy^2} \) 
 
89. Resolva a equação diferencial \( y'' + 6y' + 9y = e^{3x} \). 
 Resposta: \( y(x) = (c_1 + c_2x)e^{3x} + \frac{1}{6}e^{3x} \) 
 
90. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^6 
- 6x^4 + 9x^2 \). 
 Resposta: Concavo para cima em \( (-\infty, -\sqrt{3}) \) e \( (\sqrt{3}, \infty) \), para baixo 
em \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), ponto de inflexão em \( (-\sqrt{3}, 0) \) e \( (\sqrt{3}, 0) \). 
 
91. Calcule a integral \( \int \frac{e^x}{1+e^{x}} \, dx \). 
 Resposta: \( x - \ln(1+e^x) + C \)