Exericico fixação-131

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36. Problema: Calcule a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \sqrt{\pi} \). 
 Explicação: Utilizamos a técnica da integral gaussiana para calcular a integral. 
 
37. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2x^n}{3^n} \). 
 Resposta: O intervalo de convergência é \( -3 < x < 3 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
38. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = 0 \). 
 Resposta: \( y = Ce^{x^2} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial separando as variáveis e integrando. 
 
39. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
40. Problema: Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^3(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{4}{3} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a integral e, em 
seguida, avaliamos a integral definida. 
 
41. Problema: Encontre a derivada parcial de segunda ordem \( \frac{\partial^2 f}{\partial 
x^2} \) da função \( f(x, y) = x^3y^2 - 2xy + 4 \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6xy^2 - 2 \). 
 Explicação: Calculamos as derivadas parciais em relação a \( x \) duas vezes. 
 
42. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( 8/3 \) unidades de área.