Exericico fixação-177

Prévia do material em texto

40. Resolva a integral \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \ln|\ln(x)| + C \). 
 
41. Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( (2, 5) \) e o ponto de mínimo é \( (1, 5) \). 
 
42. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} \). 
 
43. Calcule o valor de \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \). 
 Resposta: O limite é \( e \). 
 
44. Determine a equação da tangente à curva \( y = \ln(\cos(x)) \) no ponto \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 
\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). 
 
45. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = x^2 \) em torno do 
eixo \( x \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{10} \). 
 
46. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
47. Determine os valores de \( a \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} 
\) converge. 
 
 
 Resposta: A série converge para \( a > 1 \). 
 
48. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: A matriz inversa é \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \).