Cinemática: Campo de Velocidade

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Aula 6: Cinemática
Professor: Pedro Veras Guimarães
pedro.veras.guimaraes@ufsc.br
 
 
 1) Revisão
 2) Campo de Velocidade
 3) Campo de Aceleração
 4) Visualizando o Escoamento 
 5) Tarefas
 6) Referências 
Cinemática
SUMÁRIO
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
O que é velocidade?
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
O que é velocidade?
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
O que é velocidade?
 A velocidade é uma quantidade vetorial, exigindo um módulo e uma direção para uma completa 
descrição.
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
O que é velocidade?
 A velocidade é uma quantidade vetorial, exigindo um módulo e uma direção para uma completa 
descrição.
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
O que é velocidade?
 A velocidade é uma quantidade vetorial, exigindo um módulo e uma direção para uma completa 
descrição.
 ATENÇÃO
Campo Vetorial ≠ Campo Escalar
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
Unidimensional Bidimensional
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
Tridimensional + tempo (4D)
V⃗=V⃗ (x , y , z , t )
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
Tridimensional + tempo (4D)
Escoamento permanente 
V⃗=V⃗ (x , y , z , t )
V⃗=V⃗ (x , y , z)
Escoamento transiente
Cinemática
CAMPO DE VELOCIDADE
Escoamento uniforme (velocidade é constante na seção normal ao escoamento)
Cinemática
Euleriano Vs Lagrangiano
Euleriano Lagrangiano
Cinemática
Euleriano Vs Lagrangiano
Euleriano Lagrangiano
- Velocidade, pressão, massa 
específica, e etc.. são funções 
das coordenadas espaciais e 
do tempo. 
- Segue as partículas do fluido 
e as propriedades das 
partículas variam com o 
tempo. 
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Como visualizar o escoamento?
Cinemática
É  a  linha  formada  pela  marcação  de 
várias  partículas  fluídas  fluidas 
adjacentes  em  um  dado  instante  de 
tempo. 
É  o  caminho  percorrido  por  uma 
partícula  fluida ao  longo de um fluido 
em movimento. 
É formada por todas as partículas fluidas 
que  passam  por  um  determinado  ponto 
em um local fixo no espaço.
São  aquelas  desenhadas  no  campo  de 
escoamento  de modo que,  em um dado 
instante,  são  tangentes  à  direção  do 
escoamento em cada ponto do campo.
Linha de tempo Trajetória
Linha de emissão Linha de corrente
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de tempo: 
é a linha formada pela marcação de 
várias  partículas  fluídas  fluidas 
adjacentes  em um dado  instante de 
tempo (fotografia). 
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
Trajetória: é  o  caminho  percorrido  por  uma  partícula  fluida  ao  longo  de  um  fluido  em 
movimento. 
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
Trajetória: é  o  caminho  percorrido  por  uma  partícula  fluida  ao  longo  de  um  fluido  em 
movimento. 
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
Trajetória: é  o  caminho  percorrido  por  uma  partícula  fluida  ao  longo  de  um  fluido  em 
movimento. 
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
Linha de emissão: 
é  formada  por  todas as 
partículas fluidas  que  passam 
por  um  determinado  ponto  em 
um local fixo no espaço.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTOVISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
 Linha de corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de modo que, em um dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo.
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
 Para não confundir:
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
ln y + ln x = c
1
ln(xy) = c
1
xy =  exp(c
1
) = c
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
xy =  exp(c
1
) = c
(b) Para a linha de corrente que passa pelo ponto (x0, y0) = (2, 8), a constante, c, tem um valor de 
16 e a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2, 8) é então:
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
(c) O campo de velocidade é V = Axi – Ayj . No ponto (2, 8) a velocidade é
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
(d) Uma partícula movendo-se no campo de escoamento terá a velocidade dada por
V = Axi – Ayj , logo:
Separando as variáveis e integrando (em cada equação) resulta
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
(e) No ponto (12,1; 1,32) m
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Cinemática
VISUALIZANDO O ESCOAMENTO
Eliminamos t. Resolvendo para exp(At) nas duas equações
Portanto, xy = x
0
y
0
 = 16 m2
Qual é a aceleração de uma partícula fluida? 
Cinemática
Qual é a aceleração de uma partícula fluida? 
Cinemática
?
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
X
Isso é incorreto porque é um campo, ou seja, ele descreve o escoamento inteiro e não somente o 
movimento individual de uma partícula.
Dado o campo de velocidade, , encontre a aceleração de 
uma partícula fluida,
 
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Dado o campo de velocidade, , encontre a aceleração de 
uma partícula fluida,
 
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Dado o campo de velocidade, , encontre a aceleração de 
uma partícula fluida,
 
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Dado o campo de velocidade, , encontre a aceleração de 
uma partícula fluida,
 
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade.
derivada material ou derivada de partícula
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
derivada material ou derivada de partícula
Aceleração total de 
uma partícula
Aceleração 
convectiva
Aceleração Local
Caminho da partícula
Partícula em
Partícula em
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
derivada material ou derivada de partícula
Aceleração total de 
uma partícula
Aceleração 
convectiva
Aceleração Local
Caminho da partícula
Partícula em
Partícula em
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
derivada material ou derivada de partícula
Aceleração total de 
uma partícula
Aceleração 
convectiva
Aceleração Local
Caminho da partícula
Partícula em
Partícula em
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
aceleração de partícula
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
aceleração de partícula em coordenadas cilíndricas
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Exemplo 4.4 (Munson): Aceleração de uma partícula ao longo de uma linha de corrente:A 
figura  E4.4a mostra  o  escoamento incompressível,  invíscido  e  em  regime  permanente  de  um 
fluido  ao  redor  de  uma  esfera  de  raio  a.  De  acordo  com  uma  análise  mais  avançada  deste 
escoamento, a velocidade do fluido ao longo da linha de corrente A – B é dada por: 
Em que V0 é a velocidade do fluido ao 
longo da esfera. Determine a aceleração
imposta numa partícula fluida enquanto
ela escoa ao longo desta linha de corrente. 
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Exemplo 4.4 (Munson): Aceleração de uma partícula ao longo de uma linha de corrente: A 
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Exemplo 5 (Munson): Aceleração de uma partícula para um dado campo de velocidade: 
Considerando o campo de velocidade dado:
Determina a aceleração desse escoamento
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Exemplo 5 (Munson): Aceleração de uma partícula para um dado campo de velocidade: 
Considerando o campo de velocidade dado:
Determina a aceleração desse escoamento
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA
Cinemática
Exemplo 5 (Munson): Aceleração de uma partícula para um dado campo de velocidade: 
Considerando o campo de velocidade dado:
Determina a aceleração desse escoamento
Ou
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
Quais forças estão atuando em um fluido?
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
 Forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética) que agem através das 
partículas. 
 Forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato com
outras partículas ou com superfícies sólidas;
 Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões 
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
 Forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato com
 outras partículas ou com superfícies sólidas;
 Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões 
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
 Forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato com
 outras partículas ou com superfícies sólidas;
 Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram tensões 
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
T =
Cinemática
CAMPO DE TENSÃO
T =
Cinemática
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE
Um sistema é definido como uma quantidade de matéria ou uma 
região do espaço escolhida para estudo. 
A massa ou região fora do sistema é denominada vizinhança. 
A superfície real ou imaginária que separa o sistema de sua 
vizinhança é chamada de fronteira e pode ser fixa ou móvel. 
Matematicamente falando, a fronteira tem espessura nula e assim não contém qualquer massa, nem 
ocupa volume no espaço.
Cinemática
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE
Os sistemas são considerados fechados ou abertos, dependendo se uma massa fixa ou um volume 
no espaço forem escolhidos para estudo. 
Um sistema fechado (também conhecido como massa de controle, ou simplesmente sistema, se o 
contexto o deixa claro) consiste em uma quantidade fixa de massa, e nenhuma porção pode cruzar 
sua fronteira. Porém, a energia, sob a forma de calor ou de trabalho, pode cruzar sua fronteira, e o 
volume de um sistema fechado não precisa ser fixo.
Se, como um caso especial, nem a energia puder cruzar a fronteira, o sistema é chamado de sistema 
isolado.
Cinemática
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE
Cinemática
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE
Um sistema aberto, ou volume de controle, como é denominado frequentemente, é uma região do 
espaço selecionada, que em geral compreende um dispositivo que inclui escoamento de massa, 
como um compressor, turbina ou bocal. 
O escoamento através desses dispositivos é mais bem estudado ao selecionar dentro do próprio 
dispositivo a região a ser usada como volume de controle. Ambas, massa e energia, podem cruzar a 
fronteira do volume de controle.
INTRODUÇÃO
TAREFAS
Leitura complementar: 
Unidade 2 – Livro do Fox ou 
Unidade 4 – Livro do Munson ou outro de sua preferência. 
Lista de Exercícios referente a Unidade 3:
Resolver exercícios referentes a Unidade 3
                                  ”Lista_de_exercícios_Unidade3.pdf”
Robert W. Fox, Alan T. MacDonald, Philip J. Pritchard (2018). Introdução à 
Mecânica dos Fluidos. 9ª edição, LTC Editora, Rio de Janeiro.
BibliografiaBibliografia
Bibliografia
Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi (2004). 
Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. Tradução da 4ª edição 
americana, Editora Edgard Blücher, São Paulo.
Bibliografia
Yunus A. Çengel, John M. Cimbala (2015). Mecânica dos Fluidos – 
Fundamentos e Aplicações. 3ª Edição, Editora McGraw-Hill.
Bibliografia
Frank White (2011). Mecânica dos Fluidos. 6ª Edição, Editora 
McGraw-Hill.
Bibliografia
R. C, Hibbeler (2017). Mecânica dos Fluidos. Editora Pearson.
Bibliografia
Franco Brunetti (2015). Mecânica dos Fluidos. Editora 
Pearson.
Bibliografia
Merle C. Potter e David C. Wiggert (2003). Mecânica dos 
Fluidos. Cengage Learning.
Bibliografia
F. P. Incropera, D. P. Dewitt, T. L. Bergman e A. S. Lavine, Fundamentos 
de Transferência de Calor e Massa, 6º Ed., LTC, 2008.
Bibliografia
Yunus A. Çengel, Afshin J. Ghajar (2012)
Transferência de Calor e Massa, uma 
abordagem Prática, 4a Edição, Mc Graw 
Hill, Bookman
Bibliografia
A. Bejan, Heat Transfer, John Wiley, 1993.
Bibliografia
R. Byron Bird, Warren E, Stewart Edwin N Lightfoot (2001) Fenômenos de 
Transporte, 2th Ed.,John Wiley & Sons, Inc.
Bibliografia
J. H. Ferziger and M. Peric, Computational 
Methods for Fluid Dynamics, 2nd Ed., 
Springer, 1997.
Bibliografia
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