equaçao (33)

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Resposta: A área é \( \int_0^{\pi/4} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx = \sqrt{2} - 1 \). 
 
11. Determine a derivada de \( f(x) = e^{\tan(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x)e^{\tan(x)} \). Usando a regra da cadeia, a derivada de \( 
e^{\tan(x)} \) é \( \sec^2(x)e^{\tan(x)} \). 
 
12. Calcule a integral definida de \( \int_{-1}^1 x^4 \, dx \). 
 Resposta: A integral definida de \( x^4 \) de -1 a 1 é \( \frac{x^5}{5} \Bigg|_{-1}^1 = 
\frac{2}{5} \). 
 
13. Encontre os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). 
 Resposta: Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a 
segunda derivada muda de sinal. \( f''(x) = 6x - 12 \) muda de sinal em \( x = 2 \). Então, o 
ponto de inflexão é \( x = 2 \). 
 
14. Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). Usando a regra do quociente, a 
derivada de \( \frac{\sin(x)}{x} \) é \( \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). 
 
15. Calcule a integral definida de \( \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \Bigg|_0^1 = 
\frac{\pi}{8} \). 
 
16. Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x} \). 
 Resposta: Os pontos críticos ocorrem onde \( f'(x) = 0 \). A derivada \( f'(x) = 
\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} \) é zero em \( x = \frac{1}{4} \). Portanto, o ponto crítico é \( 
x = \frac{1}{4} \). 
 
17. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). A derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) é \( \frac{2x}{x^2 
 
 + 1} \) usando a regra da cadeia. 
 
18. Calcule a integral definida de \( \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).