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SISTEMA DE ENSINO MATEMÁTICA Noções de Geometria Livro Eletrônico 2 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sumário Apresentação .....................................................................................................................................................................4 Noções de Geometria .....................................................................................................................................................5 1. Ponto, Reta e Plano ....................................................................................................................................................5 1.1. Posições Relativas entre Retas .......................................................................................................................5 1.2. Plano ...............................................................................................................................................................................6 1.3. Ângulos .........................................................................................................................................................................7 1.4. Distância de Ponto a Reta e entre Duas Retas ......................................................................................9 1.5. Ângulos em Retas Paralelas ......................................................................................................................... 10 1.6. Unidades de Medida .............................................................................................................................................12 2. Circunferência .............................................................................................................................................................16 2.1. Elementos da Circunferência ..........................................................................................................................18 2.3. Posições Relativas entre Reta e Circunferência ...............................................................................25 3. Área de Triângulos e Quadriláteros ..............................................................................................................26 3.1. Quadrado e Retângulo .......................................................................................................................................26 3.2. Losango .....................................................................................................................................................................27 3.3. Paralelogramo .......................................................................................................................................................29 3.4. Trapézio .....................................................................................................................................................................30 4. Triângulos ....................................................................................................................................................................34 4.1. Classificações dos Triângulos ......................................................................................................................35 4.2. Área do Triângulo ................................................................................................................................................36 5. Semelhança de Triângulos .................................................................................................................................39 5.1. Semelhança de Triângulos ..............................................................................................................................39 5.2. Congruência de Triângulos ............................................................................................................................45 5.3. Propriedades das Tangentes às Circunferências ..............................................................................46 6. Triângulos Retângulos .........................................................................................................................................48 6.1. Aplicações em Quadriláteros .........................................................................................................................52 6.2. Relações Trigonométricas ..............................................................................................................................54 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 3 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 6.3. Altura Relativa à Hipotenusa ........................................................................................................................61 7. Polígonos ......................................................................................................................................................................64 7.1. Soma dos Ângulos Internos ...........................................................................................................................65 7.2. Ângulo Interno de um Polígono Regular ................................................................................................66 7.3. Ângulos Externos de um Polígono Regular .........................................................................................66 Resumo ............................................................................................................................................................................... 69 Questões Comentadas em Aula ............................................................................................................................ 73 Questões de Concurso ............................................................................................................................................... 82 Gabarito ..............................................................................................................................................................................96 Gabarito Comentado ................................................................................................................................................... 97 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 4 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso ApresentAção Olá, aluno(a), seja bem-vindo(a) a mais uma aula do nosso curso de Raciocínio Lógico. Nesta aula, falaremos sobre Geometria. O assunto de Geometria é bastante extenso e cobrado de maneira bastante diversificada em questões de prova. Embora seja pouco comum em editais, tenha certeza de que, se o seu edital contempla esse assunto, a probabilidade de uma questão ser cobrada é grande. Isso acontece porque Geometria é um dos assuntos favoritos dos professores de Matemática. Sendo assim, você precisará despender bastante atenção neste material em PDF. Eu gostaria de recordar também que a lista de exercícios referente a esse material foi en- tregue com antecedência em relação a ele para que você tivesse mais folga para a sua prova. 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Porém, é impossível re- almente desenhar algo infinito no papel, por isso, sempre que representarmos uma reta, o que desenhamos, na verdade, é um segmento de reta. Guarde os seguintes conceitos: • segmento de reta: menor distância imaginável entre dois pontos; • semirreta: é o segmento extrapolado em um sentido; • reta: é o segmento extrapolado nos dois sentidos. 1.1. posições relAtivAs entre retAs Para facilitar o entendimento das posições relativas entre duas retas, consideraremos um cubo e uma de suas arestas destacadas como reta de referência. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 6 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Concorrentes: Quando se encontram em um único ponto. As retas destacadas em vermelho são concorrentes à reta preta de referência. Perceba que elas se encontram em um único ponto. Paralelas: Quando não se encontram, mas pertencem a um mesmo plano. As retas vermelhas são paralelas à reta destacada em preto. Elas também são paralelas entre si. Podemos, adicionalmente, desenhar os planos comuns às retas envolvidas. São os planos que envolvem as faces do cubo e as faces diagonais. Reversas: quando não possuem nenhum plano em comum. 1.2. plAno O plano pode ser definido por: • duas retas concorrentes; • duas retas paralelas; • três pontos não colineares. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 7 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Os planos definidos por duas retas concorrentes ou paralelas já puderam ser visualizados na seção anterior. Figura 1: Planos definidos por retas concorrentes Figura 2: Planos definidos por retas paralelas Adicionalmente, o plano também pode ser definido por três pontos não colineares, ou seja, não alinhados, o que significa que não pertencem a uma mesma reta. Isso acontece porque três pontos não colineares definem um par de retas paralelas. Vejamos: Figura 3: Par de retas paralelas definidas por três pontos não colineares 1.3. Ângulos Os ângulos se referem ao encontro entre duas retas. Normalmente são representados por letras gregas. A unidade de medida mais comum é o grau, representado por º. Uma volta completa em torno de um ponto corresponde ao ângulo de 360. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 8 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Outros ângulos importantes são: • a meia-volta ou ângulo raso (180º), que é o ângulo ao longo de uma reta; • o ângulo reto (90º), que corresponde ao ângulo entre duas retas perpendiculares ou um quarto de volta. Figura 4: Ângulos raso e reto Os ângulos são classificados em: • agudos: quando são menores que um ângulo reto; • obtusos: quando são maiores que um ângulo reto. Existem ainda algumas definições interessantes de saber: • ângulos complementares: quando a sua soma é igual a 90º ou um ângulo reto; • ângulos suplementares: quando a sua soma é igual a 180º; o suplemento de um ângulo agudo é sempre um ângulo obtuso, e vice-versa. Figura 5: Ângulos complementares e suplementares O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 9 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Como mostrado na Figura 5, os ângulos 30º e 60º são complementares, porque a soma deles é igual a 90º. Por outro lado, 60º e 120º são ângulos suplementares, porque a soma deles é igual a 180º. Uma forma bastante prática de representar ângulos dentro de figuras geométricas envolve os segmentos de reta que o formam. Se o ângulo é formado pelos segmentos de reta OA e OB, denominamos esse ângulo de AOB. Nessa representação, o vértice do ângulo corresponde à letra colocada no meio. Por exemplo, considere o triângulo a seguir: O ângulo ABC é o ângulo com vértice em B, no caso, β. O ângulo BAC é o ângulo com vér- tice A, portanto, é o ângulo α. Por fim, o ângulo ACB é o ângulo com vértice em C, portanto, é o ângulo γ. 1.4. DistÂnciA De ponto A retA e entre DuAs retAs Um conceito que você precisará bastante em Geometria Plana é o de que a distância de ponto a reta ou entre duas retas paralelas é sempre calculada de maneira perpendicu- lar à reta. Isso acontece porque a distância perpendicular é sempre a menor distância entre um pon- to e uma reta ou entre duas retas. 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O número de arestas desse cubo que são reversas com a aresta A é: a) 2 b) 3 c) 4 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 11 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso d) 6 e) 7 Tomando como referência a figura abaixo e sabendo que retas reversas são retas que não per- tencem ao mesmo plano e não se encontram em um ponto em comum, temos: O número de retas reversas à aresta A é 4. Letra c. 002. (CESPE/ANS/2013/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE SAÚDE SUPLEMENTAR) Con- siderando que as retas R1, R2, R3 e R4 sejam distintas e estejam no mesmo plano, e que, se a reta Ri interceptaa reta Rj, Pij — em que i, j= 0, 1, 2, 3, 4 e i ≠ j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue os itens seguintes. No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e P23 também existirão e P34 = P23. As retas e se interceptam no ponto. Note que o ponto é o ponto de encontro das retas e. Sendo o encontro das retas r1 e r4, podemos observar que esse ponto é o igual aos pontos P12 e P13, já que as três retas se interceptam no mesmo ponto. Então, podemos concluir que se existirem e, assim como os, serão iguais e coincidentes. Certo. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 12 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 003. Se R1 for perpendicular a R2 e se R3 for perpendicular a R4, então, no mínimo, duas dessas quatro retas serão paralelas. Após efetuar todos os comandos, concluímos que não há retas paralelas, conforme es- quema abaixo: Errado. 004. Se os pontos P12, P13 e P23 existirem e forem distintos, então a reta R1 não poderá ser per- pendicular à reta R2. Atentando-se às instruções, o esquema abaixo foi traçado e verificou-se que há formação de um triângulo e que não existe a possibilidade de e não serem perpendiculares. Errado. 1.6. uniDADes De meDiDA As unidades de massa e comprimento são também conhecidas como sistema decimal de unidades, porque são construídas a partir do metro utilizando potências de 10. No caso do comprimento, o metro é a unidade principal que possui múltiplos (unidades maiores que o metro) e submúltiplos (unidades menores que o metro). 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Quando subimos de decâmetro para hectômetro, também temos que 1 ham = 1 dam = 100 m. Por outro lado, cada vez que descemos um degrau, dividimos por 10. É por isso que 1 dm = 0,10 m e que 1 cm = 0,10 dm = 0,01 m. É importante destacar que nem todas as unidades são frequentemente utilizadas. No dia a dia, as unidades mais utilizadas são o quilômetro, o metro, o centímetro e o milímetro. As demais, embora existam, são pouco utilizadas. Isso não obsta que uma questão de pro- va seja feita com base nelas. No caso das unidades de massa, a mesma regra é válida. Elas são centradas no grama, po- rém, é importante destacar que a unidade padrão do Sistema Legal de Medidas é o quilograma. Sendo assim, devemos construir a tabela com base no grama. Porém, utilizaremos no dia a dia e nas questões principalmente o quilograma. Tabela 3: Unidades de Massa no Sistema Legal de Medidas Nome Extenso Unidade Conversão Quilograma kg = 10³ m = 1000 m M úl ti pl os Hectograma hg = 10² m = 100 m Decagrama dag = 10 m = 10 m O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 14 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Nome Extenso Unidade Conversão Grama g Decigrama dg = 10-1 m = 0,1 m ou 1m = 10 dm Su bm úl ti pl os Centigrama cg = 10-2 m = 0,01 m ou 1m = 100 cm Miligrama mg = 10-3 m = 0,001 m ou 1 = 1000 mm A minha recomendação é que, nas questões, você converta todas as unidades para metro. Vejamos alguns exemplos: 1,25 hm = 1,25.100 m = 125 m 3,7 dm = 3,7.0,10 m = 0,37 m 4,3 km = 4,3.1000 m = 4300 m 405 mm = 405.0,001 m = 0,405 m 350 cm = 350.0,01 m = 3,50 m 1.6.1. Unidades de Área As unidades de área podem ser entendidas simplesmente como o quadrado de uma unida- de de comprimento. Sendo assim, se 1 dam = 10 m, se elevarmos ao quadrado, teremos a relação entre as uni- dades de área: 1 dam² = (10 m)² = 100 m². 1 dam = 10m ∴ 1 dam2 = 100 m² Sendo assim, basta utilizar os fatores de conversão que aprendemos anteriormente eleva- dos ao quadrado. Uma unidade de área bastante usada é o hectare. O hectare é equivalente a um hectôme- tro quadrado. Ou seja, 1 ha = 1 hm². Como 1 hm = 100m e temos hm², podemos substituir, então, temos: 1 ha = 1 hm² = (100 m)² = 10.000 m². Vejamos outros exemplos: 1,25 hm² = 1,25.(100m)² = 1,25.10000m² = 12.500 m² 3,7 dm² = 3,7.(0,10m)² = 3,7.0,01m² = 0,037 m² 4,3 km² = 4,3.(1000m)² = 4,3.1000000m² = 4.300.000 m² 405 mm² = 405.(0,001m)² = 405. 0,000001m = 0,000405 m² 350 cm² = 350.(0,01m)² = 3,50m O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 15 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 005. (VUNESP/2020/AVAREPREV-SP/TÉCNICO PREVIDENCIÁRIO) Em uma escritura, cons- ta que a área de um terreno é de 250000 m². Essa área, em km², corresponde a: a) 2500. b) 250. c) 25. d) 2,5. e) 0,25. Para resolver a questão, precisamos lembrar da relação entre as unidades de medida. Como trata-se de área, a unidade de medida fica elevada ao quadrado. Observe a relação. Para transformar uma unidade em m2 para km2, basta multiplicarmos por 10-6. Pois: 1 [m] = 10-2 ∙ 10-2 ∙ 10-2 [km] 1 [m] = 10-6 [km] Logo, a medida transformada será: 250000 [m] = 250000 ∙ 10-6 [km] 250000 [m] = 0,25 [km] Letra e. 006. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a: a) 320 ha b) 32.000 ha c) 320.000 ha d) 3.200 ha Basta lembrar que o quilômetro está logo acima do hectômetro na tabela de unidades de com- primento. Portanto, temos que: 1 km = 10 hm O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 16 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Portanto, basta multiplicar a área por 10². A = km2 = 32 . (10 hm)2 = 32.100 hm2 = 3200 hm2 = 3200 ha Letra d. 2. circunferênciA A circunferência é o conjunto de todos os pontos que distam de um centro O exatamente à mesma distância, conhecida como raio. É importante não confundir a circunferência com o círculo. Vejamos: • circunferência: é o perímetro; • círculo: é a área delimitada pela circunferência. Temos à esquerda a circunferência. À direita, o círculo que corresponde a toda a área de- limitada, que foi pintado. Perceba que a circunferência se refere apenas à porção exterior, en- quanto o círculo se refere à área interna. As relações mais importantes dizemrespeito ao perímetro da circunferência e à área do círculo, que são dados respectivamente por: P = 2πR S = πR2 007. (IADES/PM/DF/2018/SOLDADO MÚSICO) Para confecção de um bumbo, utiliza-se uma membrana de raio R = 70 cm. A área dessa membrana, em metros quadrados, é igual a: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 17 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 4.900 π. b) 4,9 π. c) 49 π. d) 490 π. e) 0,49 π. A membrana do bumbo é um círculo, que é dada em função do seu raio. Vale notar que o raio foi dado em cm e a área foi pedida em m². Portanto, é interessante convertermos o raio para metro: Agora, vamos ao cálculo da área do círculo: Letra e. 008. (CONSULPLAN/PREFEITURA DE CASCAVEL/PR/AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE) Considere duas circunferências de perímetro 62,8 cm e 94,2 cm. Qual a diferença entre os raios destas circunferências? (Considere π=3,14). a) 2,5 cm b) 5 cm c) 9,5 cm d) 12 cm e) 15 cm Nesse caso, foram fornecidos os perímetros das duas circunferências, dessa forma encontra- remos o raio de cada uma das circunferências: Circunferência 1 Circunferência 2 A questão pede a diferença entre os raios, assim temos que: Letra b. 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O ângulo central é sempre igual ao arco subentendido por ele. Matematicamente, podemos escrever: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 20 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 2.2.2.2. Ângulo Inscrito O ângulo inscrito na circunferência é aquele cujo vértice é também um ponto da circunfe- rência. Esse ângulo é igual à metade do arco ou metade do ângulo central. Todos os ângulos com vértices em C, D e E estão inscritos no arco AB. Uma propriedade é que todos esses ângulos são exatamente iguais. Matematicamente, podemos escrever: Uma curiosidade sobre o tema está relacionada a grandes teatros de apresentação de con- certos. Esses teatros geralmente são circulares ou ovais, não retos. São feitos dessa forma para que todas as pessoas enxerguem a apresentação por um mesmo ângulo de visada. Pense, por exemplo, que os pontos C, D e E corresponderiam à pla- teia enquanto o arco AB seria o palco. Todas as pessoas na plateia enxergam o palco sob o mesmo ângulo de visada, portanto terão experiências visuais semelhantes. 2.2.3. Áreas no Círculo Além da área do próprio círculo, existem outras definições importantes de áreas. • Setor Circular: é limitado por dois raios e um arco, formando um ângulo central. 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Suas áreas são, respectivamente, iguais à metade e um quarto da área do círculo. • Coroa Circular: é uma figura semelhante a uma rosquinha, formada por uma circunferên- cia maior e um buraco, que é uma circunferência menor e concêntrica. A área da coroa circular pode ser obtida como a diferença entre as áreas da circunferência maior e a circunferência menor: E, agora, vamos treinar com questões. 009. (FGV/CODEMIG/2015/ADVOGADO SOCIETÁRIO) A região sombreada na figura é co- nhecida como “barbatana de tubarão” e foi construída a partir de um quadrante de círculo de raio 4 e de um semicírculo. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 22 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A área dessa “barbatana de tubarão” é: a) 2π b) 5π/2 c) 3π d) 7π/2 e) 4π Observe que um quadrante corresponde a um quarto da área de um círculo. Sabendo que o raio é igual a 4, temos que a área do quadrante é: Agora, note que o valor do raio, dado no enunciado, corresponde ao diâmetro do semicírculo destacado. Partindo dessa interpretação, temos que a área do semicírculo é dada por: Por fim, a área da barbatana do tubarão é encontrada pela diferença entre: Letra a. 010. (CESPE/TSE/2007/TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA) Um novo prédio de 40 m de altura está sendo planejado para um tribunal regional eleitoral. A figura acima ilustra a planta baixa da base desse novo prédio, composta de duas partes iguais, onde cada parte é formada por semicírculos concêntricos de diâmetros 40 m e 60 m, respectivamente. Tomando-se 3,1 como valor aproximado para ∏, é correto concluir que a área da base desse novo prédio é: a) Inferior a 1.600 m². b) Superior a 1.600 m² e Inferior a 2.000 m². c) Superior a 2.000 m² e Inferior a 2.400 m². d) Superior a 2.400 m². O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nomedo Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 23 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Note que a base do prédio é formada por duas partes idênticas. Em cada uma, temos 2 semi- círculos concêntricos de diâmetros de 40 e 60 m. Essa relação pode ser vista mais facilmente, se fizermos um deslocamento na figura. Assim, podemos calcular a área da figura pedida como a diferença entre as áreas do círculo externo e do círculo interno: Para obter os raios, devemos observar que os comprimentos marcados nas figuras correspon- dem aos diâmetros dos círculos. Os raios são a metade do diâmetro. Como o círculo maior tem diâmetro igual a 60 m, seu raio é igual a 30 m. Já o círculo menor tem diâmetro igual a 40 m, logo seu raio é igual a 20 m. Por fim, utilizando a aproximação fornecida no enunciado, temos: Portanto, a área desejada é inferior a 1600 m². Letra a. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 24 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 011. (FGV/CODESP/SP/2017/GUARDA PORTUÁRIO) No triângulo ABC da figura a seguir, = 7, = 10 e = 11, e a circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado CB no ponto D. O segmento mede: a) 6,5. b) 5,5. c) 6. d) 7. e) 7,5. Como a circunferência está inscrita no triângulo, pode-se afirmar que a circunferência tangen- cia todos os lados do triângulo. Assim, marcando os pontos de tangência, podemos utilizar uma propriedade muito importante: o comprimento das duas tangentes que partem do ponto A são iguais. Desse modo, se chamarmos de x o comprimento de uma tangente partindo de A, a outra tangente também medirá x. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 25 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Também podemos aplicar a mesma ideia para os pontos B e C. As duas tangentes que partem de B e as duas tangentes que partem C têm comprimentos iguais. Vamos denominá-los, res- pectivamente, de y e z. Agora, note que (x + y) somam o lado de comprimento igual a 7, (x + z) somam o lado de com- primento igual a 10 e (y + z) somam o lado de comprimento igual a 11. Assim, podemos montar um sistema de equações: Somando as três equações, temos: No entanto, a questão pede a medida do segmento, então neste somatório substituiremos a equação I na IV: Letra d. 2.3. posições relAtivAs entre retA e circunferênciA Quando se tem uma reta e uma circunferência, a reta pode ser: • Secante: quando corta a circunferência em dois pontos. Nesse caso, a distância da reta ao centro é inferior ao raio da circunferência. • Tangente: quando toca a circunferência em único ponto. Nesse caso, a distância da reta ao centro é igual ao raio da circunferência. • Externa: quando a reta não toca a circunferência. Nesse caso, a distância da reta ao centro é maior que o raio da circunferência. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 26 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Vamos nos concentrar no caso particular da reta tangente a uma circunferência. Nesse caso, o segmento de reta que une o ponto de tangência apresenta comprimento igual ao raio. Além disso, a reta tangente é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. 3. ÁreA De triÂngulos e QuADrilÁteros Um quadrilátero é um polígono formado por quatro vértices e quatro lados. 3.1. QuADrADo e retÂngulo O quadrado é o quadrilátero regular em que todos os lados são iguais e todos os ângulos são retos. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 27 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A área do quadrado é simplesmente o quadrado do lado. S = a2 = lado2 O retângulo, por sua vez, é um quadrilátero equiângulo, mas não é equilátero. Ou seja, todos os ângulos são retos, mas os lados são diferentes. A área do retângulo é igual ao produto das suas dimensões. Na maioria das situações, elas aparecem como o produto base vezes altura ou como o produto do comprimento pela largura. S = ab = base . altura 3.2. losAngo O losango, por sua vez, é um quadrilátero equilátero, porém não é equiângulo. Ou seja, nes- se caso, todos os lados são iguais, mas os ângulos internos não são iguais. No caso do losango, os lados continuam sendo paralelos dois a dois e as duas diagonais são perpendiculares entre si. D d A área do losango é igual à soma das áreas dos quatro triângulos retângulos definidos pe- las duas diagonais. Como esses quatro triângulos são iguais, temos: Portanto, a área do losango corresponde ao produto das diagonais dividido por 2: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 28 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 012. (IADES/PM/DF/2018/SOLDADO MÚSICO) Considere hipoteticamente que se deseja pintar um muro de 20 m de comprimento por 2,8 m de altura. A tinta a ser adquirida é vendida em galões de 3,6 L e sabe-se que cada galão pinta 7 m² do muro. Nessas condições, quantos litros de tinta serão necessários para a realização do serviço? a) 8 b) 56 c) 24 d) 28,8 e) 16 Vamos calcular a área do muro, que é essencialmente um retângulo, cuja área é igual ao pro- duto entre o comprimento e a altura. S = 20 . 2,8 = 56 m2 Agora, podemos calcular o volume de tinta utilizado, sabendo que ele é diretamente proporcio- nal à área do muro. Com base nisso, podemos calcular a regra de três. Fazendo o meio pelos extremos: Letra d. 013. (FGV/IBGE/2020/COORDENADOR CENSITÁRIO) Um imóvel comercial é composto por uma sala retangular, medindo 3m de largura e 6m de comprimento, e um banheiro, medindo 1,5m de largura e 2m de comprimento. A área total do imóvel, em metros quadrados, é: a) 12,5; O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 29 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso b) 16,5; c) 18; d) 21; e) 36. O apartamento é composto por uma sala e um banheiro, ambos os cômodos são retangulares, como mostrado na figura a seguir. Como ambos os cômodossão retangulares, a sua área pode ser calculada pelo produto de suas dimensões, isto é, o comprimento multiplicado pela largura. Área = base ∙ altura Assim, podemos calcular as áreas dos dois cômodos do apartamento separadamente: Área sala = (3 ∙ 6) = 18 m2 Área banheiro = (1,5 ∙ 2) = 3 m2 A área total do apartamento é a soma da área da sala e da área do banheiro. Assim: Área Total = Área sala + Área banheiro Área Total = (18) + (3) ∴ Área Total = 21 m2 Letra d. 3.3. pArAlelogrAmo O paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos dois a dois são paralelos. Na figura a seguir, o lado AB é paralelo a CD e o lado AC é paralelo a BD: A B C D O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 30 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso O modo mais simples e conhecido de calcular a área do paralelogramo consiste em traçar a sua altura. Seja AE a altura do paralelogramo, ou seja, a distância entre as bases parale- las AB e CD: A B C DE F a h Os triângulos ACE e BDF são congruentes. Portanto, a área do paralelogramo ABCD é igual à área do retângulo ABEF. A área do retângulo é facilmente calculada. S = ah = base . altura 3.4. trApézio O trapézio é um quadrilátero que possui somente um par de lados paralelos. A BA C DB b Nesse caso, o lado AB é paralelo ao lado CD, porém os lados AC e BD não são parale- los entre si. O modo mais simples e conhecido de calcular a área do trapézio é dividindo-o em dois triângulos pela diagonal. A BA C D Base Menor h h E F Base Maior O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 31 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A área do trapézio é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e BCD. Esses dois triângu- los possuem a mesma altura h. A média aritmética das bases do trapézio também é conhecida como base média. Desse modo, a área do trapézio é igual à base média multiplicada pela sua altura. Portanto, a área do trapézio é igual à média aritmética das bases multiplicada pela altura. É importante destacar que a altura do trapézio corresponde à distância entre suas duas bases. E que, por distância entre retas, devemos ter a distância perpendicular. Devemos, portanto, traçar um segmento de reta que une as duas bases e que seja perpen- dicular a elas. Um caso de particular importância são os trapézios retângulos, em que um dos lados é perpendicular às duas bases. Nessa situação, o comprimento desse lado corresponde justa- mente à altura do trapézio. 014. (FGV/TJ/PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO/FADESP/COSANPA/2017/ TÉCNICO INDUSTRIAL – SANEAMENTO) A plantação de um agricultor fica em um terreno em forma de trapézio retangular, cujas dimensões constam da figura a seguir: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 32 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sabendo que este agricultor utiliza diariamente, para irrigação, quatro litros de água por metro quadrado de plantação, a quantidade total de água utilizada em um dia para irrigar a plantação é, em litros, a) 35,2 b) 120 c) 1200 d) 35200 Primeiramente, precisamos calcular a área da plantação. Como a plantação é em formato de trapézio, utilizaremos a seguinte fórmula: A altura corresponde à distância entre as duas bases. Nesse caso, a altura é igual a 80 m, tendo em vista que esse segmento já é perpendicular às bases do quadrilátero. Então, pode- mos escrever: Assim, para encontrar a quantidade de água necessária para irrigar a plantação, fazemos o seguinte cálculo: Letra d. 015. (INSTITUTO LEGATUS/PREFEITURA DE PASSAGEM FRANCA DO PIAUÍ/2016/AGEN- TE ADMINISTRATIVO) Pode-se afirmar que a área e o perímetro do trapézio abaixo são, res- pectivamente: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 33 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 96 cm² e 46 cm b) 120 cm² e 38 cm c) 120 cm² e 48 cm d) 144 cm² e 38 cm e) 144 cm² e 42 cm Para entender essa questão, vamos primeiramente calcular a área do trapézio porque todas as medidas necessárias a esse cálculo foram fornecidas. Assim, temos: A altura corresponde à distância entre as duas bases, que, nesse caso, é igual a 8 cm, tendo em vista que esse segmento é perpendicular às duas bases, que medem, respectivamente, 12 cm e 18 cm. Assim, a área do quadrilátero é: Note que, se traçarmos uma linha dividindo o trapézio em um retângulo e um triângulo retân- gulo, teremos: Podemos calcular a hipotenusa d do triângulo retângulo utilizando o Teorema de Pitágoras: Sendo assim, o perímetro da figura é dado pela soma de todos os lados: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 34 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Letra c. 4. triÂngulos Os triângulos são polígonos de três lados. Eles são formados por três vértices e pelos seg- mentos de reta que os unem. Figura 8: Representação usual de um Triângulo Uma representação bastante usual de um triângulo, muito utilizada nas deduções teóricas e na apresentação de fórmulas está descrita na Figura 8. É muito importante aprendê-la, por- que a grande maioria das equações desenvolvidas no nosso curso levam essa representação em consideração: • o triângulo é formado pelos vértices A, B e C e é denominado triângulo ABC; • o lado oposto ao vértice A tem medida a, o lado oposto ao vértice B tem medida b e o lado oposto ao vértice C tem medida c; • os ângulos internos são representados por letras gregas. O ângulo no vértice A é deno- minado α (alfa), o ângulo no vértice B é denominado β (beta) e o ângulo no vértice C é denominado γ (gama); O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 35 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso • o ângulo α (alfa) é oposto ao lado de medida a; o ângulo β (beta) é oposto ao lado de medida b; o ângulo γ (gama) é oposto ao lado de medida c. Essa representação usual não é obrigatória. Você verá muitas questões de prova que não a obedecem. Porém, ela é importante para que você aprenda as fórmulas e equações matemáti- cas desenvolvidas no nosso curso. Na hora da prova, você poderá fazer adaptações. 4.1. clAssificAções Dos triÂngulos Existem duas classificações importantesque precisamos conhecer dos triângulos. A pri- meira delas leva em consideração se os ângulos e lados são todos iguais. Figura 9: Triângulo Equilátero, Isósceles e Escaleno Assim, os triângulos podem ser classificados em: • equilátero: quando todos os lados são iguais entre si e os ângulos são iguais 60º; • isósceles: quando dois lados e dois ângulos são iguais entre si. • escaleno: todos os lados e ângulos são diferentes entre si. Outra classificação diz respeito ao maior ângulo interno do triângulo. Nesse caso, o tri- ângulo será: • acutângulo: quando o maior ângulo for agudo, isto é, menor que 90º; • retângulo: quando o maior ângulo for reto, isto é, igual a 90º; • obtusângulo: quando o maior ângulo for obtuso, isto é, maior que 90º. Figura 10: Triângulos Acutângulo, Retângulo e Obtusângulo O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 36 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 4.2. ÁreA Do triÂngulo A área do triângulo pode ser calculada como a metade do produto de um lado qualquer pela altura relativa a esse lado. Vale observar que um triângulo possui três alturas, sendo cada uma relativa a um dos la- dos. Por definição, ela é a distância entre o lado desejado e o vértice oposto a ele. Lembre-se de que a distância entre um ponto e uma reta é medida pelo comprimento do segmento de reta perpendicular que passa pelo ponto e é perpendicular à reta dada. Vejamos graficamente para ficarem claras essas definições. Figura 11: Alturas de um Triângulo Desse modo, a área de um triângulo pode ser calculada em função de qualquer um dos lados e de sua respectiva altura. Matematicamente, podemos escrever: Uma propriedade interessante é uma altura qualquer de um triângulo sempre o divide em dois triângulos retângulos. Por exemplo, na Figura 11, a altura hA divide o triângulo ABC em dois triângulos AMC e AMB, ambos retângulos. A mesma observação também se aplica às alturas hB e hC, que criam os triângulos ANB, ANC, COB e COA, todos retângulos. As três alturas de um triângulo somente são internas ao triângulo, no caso de um triângulo acutângulo. Se um triângulo ABC for obtusângulo em A, as duas alturas relativas aos vértices B e C serão segmentos de reta externos ao triângulo. Para construí-las, necessitamos do pro- longamento dos lados. Figura 12: Uma das alturas do triângulo obtusângulo é um segmento de reta externo ao triângulo O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 37 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A demonstração dessa propriedade parte da ideia de que um triângulo qualquer pode ser entendido como a metade de um paralelogramo. Considere o triângulo ABC acima e tracemos uma paralela ao lado AC passando pelo vértice B e uma paralela ao lado BC passando pelo vértice A. Chamaremos de D o encontro esses dois segmentos de reta assim construídos. Como AD é paralelo a BC e BD é paralelo a AC, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, tendo em vista que os seus lados são paralelos dois a dois. Como consequência, o segmento AB é uma diagonal, e, assim, divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, BC = AD e AC = DB. Assim, a área do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo ABCD, que é calculada pelo produto base vezes altura. Figura 13: Demonstração da Área do Triângulo Como a altura do paralelogramo é a mesma altura do triângulo, temos: Podemos provar que a mesma relação se aplica aos demais lados se construirmos outras paralelas. Por exemplo, se construirmos a paralela ao lado AB pelo vértice C, teremos o para- O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 38 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso lelogramo ABCE. E, novamente, a área do triângulo ABC será metade da área de ABCE, que é dada pelo produto da sua base pela sua altura. Figura 14: Construção do Paralelogramo ABCE 4.2.1. Área do Triângulo Retângulo Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º). Esse nome deriva do fato de que eles podem ser obtidos a partir de cortes em um retângulo. Nesse tipo de triângulo, os lados recebem denominações específicas: • hipotenusa (a): é o maior lado, sempre oposto ao ângulo reto; • catetos (b e c): são os dois lados que formam o ângulo de 90º. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 39 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Perceba que, no triângulo retângulo, um cateto é a altura relativa em relação ao outro. Por isso, a sua área pode ser expressa simplesmente pela metade do produto dos catetos. 5. semelhAnçA De triÂngulos 5.1. semelhAnçA De triÂngulos Dois triângulos são semelhantes quando possuem os mesmos ângulos. Nesse caso, os seus lados são proporcionais. O caso mais simples e comum de semelhança acontece quando se traça uma reta paralela a um dos lados de um triângulo. Vejamos: Quando traçamos uma reta paralela a um dos lados, os ângulos definidos nos vértices D e E são iguais, respectivamente, aos ângulos definidos nos vértices B e C. Desse modo, o triân- gulo maior (ABC) e o menor (ADE) são semelhantes. O enunciado clássico do problema de semelhança de triângulos é: Para você saber quais lados devem ser colocados nas proporções, basta olhar os lados paralelos. Note que AB e AD são paralelos – na realidade, o lado AB é uma continuação de AD. Por isso, esses dois lados devem ser colocados na razão. 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São fornecidos os seguintes dados: Com base nesses dados, será que podemos calcular os lados AD e AE? Podemos sim, basta utilizar a relação de semelhança: Por fim, basta resolver a proporção: Uma variante desse problema acontece quando traçamos a paralela por fora do triângulo. Ficam dois triângulos, sendo um de cabeça para baixo, mas com os lados todos paralelos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a)- 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 41 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Nesse caso, podemos dizer que os triângulos são semelhantes devido às igualdades en- tre ângulos: • os dois ângulos com vértice em A (BAC e EAD) são opostos pelo vértice, portanto, são iguais; • os ângulos ABC e ADE são iguais, porque são ângulos entre retas paralelas, já que o segmento BC é paralelo ao segmento DE e o segmento AC é paralelo ao segmente AE; • os ângulos ACB e AED são iguais, porque também são ângulos entre retas paralelas, já que o segmento AC é paralelo ao segmento AE e o segmento BC é paralelo ao seg- mento ED. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 42 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Podemos, então, aplicar também a semelhança: Para isso, usamos as mesmas regras do caso anterior. Como os lados AB e AD são para- lelos, eles foram colocados na mesma fração. Analogamente, o lado AC é paralelo ao lado AE, então, eles são colocados na mesma fração. Por fim, os lados BC e DE são paralelos. Além disso, devemos manter a consistência: no numerador, sempre os lados do triângulo ABC e, no denominador, sempre os lados do triângulo ADE. 016. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR/BA/2017/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR II – DI- REITO) A figura a seguir mostra um rio de margens retas e paralelas. João, que está em uma das margens, gostaria de obter uma medida aproximada da largura do rio. Para isso, adotou o seguinte procedimento: • buscou um ponto de referência na margem oposta e encontrou a pedra P; • fixou uma estaca no ponto A, de forma que AP fosse perpendicular ao rio; • caminhou paralelamente ao rio, fixou uma estaca em B e depois outra em C; • a partir de C, caminhou perpendicularmente ao rio até que, no ponto D, viu as estacas B e P alinhadas com D; • fixou mais uma estaca nesse ponto e, com uma trena, mediu as distâncias AB = 20m, BC = 6m e CD = 8,4m. A distância, em metros, de A até P é de: a) 22,6 b) 24,0 c) 25,5 d) 27,2 e) 28,0 Observe que os triângulos PAB e BCD são semelhantes, assim temos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 43 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Letra e. 5.1.1. Teorema de Tales O Teorema de Tales é uma consequência da semelhança de triângulos. Esse teorema apa- rece quando se tem um feixe de retas paralelas e duas transversais. Na situação mostrada a seguir, as retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas. Pelo Teorema de Tales, os segmentos das transversais definidos entre cada uma das retas paralelos são proporcionais. Isso significa que: Observe que, no denominador das expressões, temos os segmentos AB e DE, que são os segmentos definidos pelas transversais entre as retas r e s. Por outro lado, os segmentos BC e EF são os segmentos definidos pelas transversais entre as retas s e t. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 44 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 017. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA/2020/PROFESSOR DE ENSINO FUNDAMEN- TAL) Em um livro didático, consta a seguinte figura: Sobre essa figura, há informações, no livro, de que as retas que contêm os pontos M e P, N e Q, e O e R são paralelas, e que as medidas dos segmentos de extremidades MN, PQ e PR, em certa unidade de medida u, são iguais a 5 u, 4 u e 9 u, respectivamente. Como exercício, é solicitado que o aluno determine a medida do segmento NO, na unidade de medida u, cuja resposta correta é: a) 5,25. b) 5,50. c) 5,75. d) 6,00 e) 6,25. Observe a figura a seguir. Segundo o Teorema de Tales, podemos afirmar que: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 45 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A medida do segmento QR foi mostrada acima e é igual a 5u, pois corresponde à diferença entre o segmento total PR = 9 u e o segmento PQ = 4 u. Assim, substituindo as medidas dos segmentos no Teorema de Tales, temos: Letra e. 5.2. congruênciA De triÂngulos Dois triângulos são congruentes quando possuem todos os lados e todos os ângu- los iguais. Um triângulo tem 3 lados e 3 ângulos, totalizando 6 medidas. Como existe uma relação de compromisso entre lados e ângulos, para reconhecer dois triângulos semelhantes, só é necessário reconhecer a igualdade entre 3 dessas medidas, sendo, pelo menos um lado. • Caso LLL (lado, lado, lado): esse é o caso mais simples em que sabemos que todos os lados são iguais. Figura 15: Congruência LLL Nesse caso, podemos concluir as seguintes relações entre os ângulos internos de ABC e DEF: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 46 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Figura 15: Conclusões sobre a Congruência LLL É importante que você não perca de vista as oposições entre lado e ângulo. O ângulo β (beta) é o ângulo oposto ao lado de comprimento igual a 7 em ambos os triângulos. • Caso LAL (lado, ângulo, lado): se formos capazes de provar que dois lados são iguais e o ângulo formado entre eles também é igual, os dois triângulos serão congruentes. • Caso ALA ou LAA (ângulo, lado, ângulo): quando dois ângulos são congruentes e um lado qualquer dos triângulos é congruente. 5.3. proprieDADes DAs tAngentes às circunferênciAs Considere que tenhamos uma circunferência qualquer um ponto P externo a ela. Uma propriedade interessante é que, quando duas tangentes à circunferência se encon- tram em um ponto P externo a ela, os segmentos tangentes PA e PB possuem o mesmo comprimento. PA = PB O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 47 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A explicação para essa propriedade requer o conhecimento de semelhança de triângulos. Podemos traçar o segmento OP e notar que os triângulos OBP e OAP são um caso de con- gruência LAL. Os triângulos OAP e OBP são congruentes, porque possuem ambos um ângulo reto e dois lados iguais: • L: os lados OB = OA= R, que são iguais ao raio da circunferência; • A: ambos os triângulos OAP e OBP possuem um ângulo reto; • L: o lado OP é comum aos dois triângulos. Como possuem dois lados e um ângulo iguais, eles são triângulos congruentes. Assim, podemos concluir que: • As medidas PA e PB são iguais; • O segmento OP é bissetriz do ângulo ABP. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 48 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 6. triÂngulos retÂngulos Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º). Esse nome deriva do fato de que eles podem ser obtidos a partir de cortes em um retângulo. Nesse tipo de triângulo, os lados recebem denominações específicas: • hipotenusa (a): é o maior lado, sempre oposto ao ângulo reto; • catetos (b e c): são os dois lados que formam o ângulo de 90º. Perceba que, no triângulo retângulo, um cateto é a altura relativa em relação ao outro. Por isso, a sua área pode ser expressa simplesmente pela metade do produto dos catetos. Os ângulos internos nos vértices dos catetos são ditos complementares, porque a soma deles é sempre igual a 90º. A razão para isso é que, como visto anteriormente, a soma dos ân- gulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º e um dos ângulos no vértice A é o ângulo reto, de 90º. Então, temos: Uma relação métrica muito importante é o Teorema de Pitágoras, que estabelece que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 49 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Uma demonstração simples do Teorema de Pitágoras é traçando um quadrado de lado (b + c) e marcar nele alguns pontos convenientes: Observe que, ligando os pontos destacados acima, podemos construir quatro triângulos retângulos. Todos eles terão a mesma hipotenusa a. A área de um quadrado é igual ao lado ao quadrado. Desse modo, o lado do quadrado grande é igual a (b + c)². Mas, essa área pode ser expressa também como a soma da área do quadrado menor, de lado a, com a área dos quatro triângulos retângulos pequenos de lados a, b e c. Assim, podemos escrever: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 50 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Os quatro triângulos são congruentes, ou seja, possuem exatamente os mesmos lados e ângulos. Portanto, suas áreas são iguais. A área de um triângulo retângulo pode ser obtida como a metade do produto dos catetos. Assim, temos: Podemos substituir essa informação na relação obtida anteriormente: Utilizando o produto notável do quadrado da soma, temos: Cortando o produto 2bc de ambos os lados da equação, temos: 018. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA/SP/2020/ORIENTADOR SOCIAL) Uma praça, com a forma do triângulo retângulo ABC mostrado na figura, tem uma pista para caminhadas em toda a extensão do seu perímetro. Para caminhar do ponto B até o ponto C, pode-se optar por ir diretamente de B até C, caminhando 150 m, conforme indicado na figura, ou ir do ponto B até o ponto A, caminhando x m, e do ponto A até o ponto C, caminhando mais 120 m. O trajeto de B até C, passando por A, é mais longo do que o trajeto direto de B até C em O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 51 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 70 m. b) 60 m. c) 50 m. d) 40 m. e) 30 m. Precisamos descobrir qual o valor do outro cateto. Para isso, basta utilizar a fórmula de Pitágoras: Somando o percurso mais longo: Como o trajeto mais curto é 150m, a diferença é de: Letra b. 019. (VUNESP/CÂMARA DA ESTÂNCIA BALNEÁRIA DE ITANHAÉM/SP/2017/AGENTE DE MANUTENÇÃO E ZELADORIA) Arthur desenhou numa folha de papel o triângulo retângulo a seguir. Ele afirmou, corretamente, que a medida do segmento XY mais a medida do segmento YZ é igual à medida segmento XZ mais _________ cm. Das alternativas a seguir, aquela que completa corretamente a afirmação de Arthur é: a) 6 b) 5 c) 4 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 52 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso d) 3 e) 2 Primeiramente, vamos descobrir qual o valor da hipotenusa. Para isso, basta utilizar a fórmula de Pitágoras: Somando os catetos: Como a hipotenusa é 25m, a diferença é de: Letra a. 6.1. AplicAções em QuADrilÁteros 6.1.1. Diagonais do Quadrado e do Retângulo As diagonais do quadrado e do retângulo podem ser calculadas pelo Teorema de Pitágoras diretamente a partir dos lados. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 53 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Tomemos como exemplo um retângulo, cujo comprimento seja igual a 5 cm e cuja largura seja igual a 12 cm. Qual a área e a diagonal desse retângulo? 6.1.2. Altura do Trapézio e do Paralelogramo A altura de um trapézio não retângulo ou de paralelogramo podem ser calculadas usando o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, qual a área do seguinte trapézio isósceles, cujas dimen- sões são dadas em cm? A forma mais simples de calcular a altura desse trapézio é construindo as suas alturas, que são segmentos que unem as duas bases, de forma perpendicular a elas. A altura definirá dois triângulos retângulos congruentes: Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever: Desse modo, a altura do trapézio é igual a 6 cm. Então, podemos calcular a sua área pela expressão: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 54 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 6.2. relAções trigonométricAs Em um triângulo retângulo, são definidas as importantes relações: • Seno: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo; • Cosseno: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. Vamos observar um triângulo retângulo e as definições. Os senos e cossenos dos diversos ângulos são tabelados e serão fornecidos na hora da prova, quandonecessário. Vejamos um exemplo de situação em que isso aconteceu. 020. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A respeito da trigonometria do triângulo retângulo e das funções trigonométricas, julgue os itens que se seguem. Situação hipotética: Um poste vertical mede h m de altura. A extremidade superior do poste, ponto C, é atingida por um laser localizado em um ponto A, a 2,4 m do poste e a 1,6 m do solo. Considerando o ponto B sobre o poste de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B, o ângulo α = CAB é tal que tgα = 17/12. A figura a seguir ilustra a situação apresentada. Asserti- va: Nesse caso, o poste mede mais de 6 m de altura. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 55 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Note que a altura do triângulo ABC é h – 1,6m. Além disso, foi fornecido o comprimento do cateto adjacente ao ângulo alfa. Então, podemos utilizar a tangente desse ângulo. Aplicando o meio pelos extremos, temos: Como o poste mede mais que 6m de altura, a afirmação está errada. Errado. 021. (TFC/2017/INÉDITA) Alexandre pode ir da cidade A até a cidade B por dois caminhos. O caminho direto é uma estrada que mede 10 km com muitos obstáculos, na qual a velocidade média é de 40 km/h. O caminho alternativo é composto por duas vias perpendiculares entre si passando por uma cidade C. Sabe-se que o ângulo entre as estradas AB e AC é de 37º e que sen 37º=0,6. A velocidade mínima que Alexandre deve utilizar nesse caminho para que esse caminho alternativo seja mais rápido que o caminho direto é de 48 km/h. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 56 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Esquematizando: No caso, note que foi fornecido que o sen 37º=0,6 e por essa informação encontraremos a medida do cateto c: Agora, basta aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do outro cateto: O comprimento do caminho alternativo é dado pela soma dos dois catetos do triângulo: Note que o caminho alternativo é mais longo e como ele precisa ser percorrido no mesmo espaço de tempo que o caminho, a velocidade precisa ser maior que 40 km/h, portanto são diretamente proporcionais. Temos: Errado. 6.2.1. Seno e Cosseno dos ângulos Notáveis Na Geometria Plana, os ângulos mais comuns sobre os quais se pede o seno e o cosseno são os ângulos de 30º, 45º e 60º. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 57 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Esses valores podem ser calculados facilmente a partir de um triângulo equilátero ou um quadrado. No caso do triângulo equilátero, podemos traçar o segmento que divide um dos lados ao meio, teremos o seguinte: B C 30º30º 60º 60º a a/2a/2 h A altura pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras. Voltemos às definições de seno e cosseno utilizadas na Geometria Plana. • Seno: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo; • Cosseno: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. Para o ângulo de 45º, os valores de seno e cosseno podem ser calculados a partir do qua- drado. Devido à simetria da figura geométrica, a diagonal do quadrado também é bissetriz do ângulo de 90º. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 58 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A B C Da a 45º A diagonal pode também ser calculada pelo Teorema de Pitágoras. Então, agora podemos calcular o seno e o cosseno do ângulo de 45º pelas definições. É mais fácil guardar os senos e cossenos dos ângulos de 30º, 45º e 60º memorizando a seguinte tabela e a forma como ela é feita. Primeiramente, escrevemos os ângulos na base da tabela. Agora, escrevemos 1-2-3 no seno e 3-2-1 no cosseno. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 59 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Agora, tiramos a raiz. Agora, dividimos tudo por dois. Por fim, a tangente corresponde à razão entre seno e cosseno. Ela é definida como: 022. (VUNESP/UNESP/2017/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) O quadrado da altura de um triângulo equilátero é exatamente 300. O perímetro desse triângulo, em uma determinada uni- dade de medida, é: a) 60 b) 50 c) 30 d) 20 e) 10 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 60 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Como a questão pede o perímetro de um triângulo equilátero, a primeira coisa a se fazer é des- cobrir quanto mede cada lado. A partir das informações fornecidas, temos: (altura do triângulo equilátero) Substituindo a relação I em II, temos: Como o perímetro é a soma dos lados do triângulo, temos: Letra a. 023. (CESPE/MEC/2011/GUARDA MUNICIPAL) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fi- xam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro. A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes. Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices cor- responderão às posições finais das crianças será equilátero. Seguindo as instruções dadas no enunciado, considerando a direção sudoeste como a direção intermediária do quadrante sul/oeste e a direção sudeste como a direção intermediária do quadrante sul/leste (45º em relação aos eixos do quadrante), temos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.brhttps://www.grancursosonline.com.br 61 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Dessa forma, ao analisar o triângulo PBC, é possível constatar que se trata de um triângulo retângulo e então vamos calcular a hipotenusa: Na análise dos demais triângulos, foi constatado que os triângulos APB e APC são iguais, no entanto apresentam um ângulo maior que 90º e só por isso o lado correspondente já seria maior que . Errado. 6.3. AlturA relAtivA à hipotenusA Esse tipo de problema é mais comum com o triângulo deitado sobre a hipotenusa. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 62 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Na figura acima, estão definidas: • h: a altura relativa à hipotenusa, isto é, o segmento perpendicular a ela partindo do vér- tice oposto; • m: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa; • n: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. A área do triângulo retângulo pode ser sempre expressão como o produto da base pela altura. Assim, do ponto de vista da hipotenusa, a área do triângulo retângulo pode ser como o produto da hipotenusa pela altura relativa a ela dividido por 2: Por outro lado, já sabíamos expressar essa área em termos dos catetos. Sendo as- sim, temos: A altura relativa à hipotenusa também define duas projeções da hipotenusa sobre cada um dos catetos. São as projeções m e n. Para calcular as projeções relativas à hipotenusa, precisamos demonstrar que os dois tri- ângulos criados pela altura são semelhantes ao triângulo principal. Para isso, vamos definir o ponto D como o pé da altura do vértice A sobre a hipotenusa e os ângulos nos vértices B e C como β e γ, respectivamente. Como os ângulos β e γ são os ângulos internos de um triângulo retângulo, eles são comple- mentares, isto é, a soma deles é igual a 90º. Além disso, os triângulos ADB e ADC são também O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 63 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso retângulos, portanto, o outro ângulo interno deve ser complementar. Assim, o ângulo DAB é complementar ao ângulo ADB, que mede β, e o ângulo DAC é complementar ao ângulo DCA, que mede γ. Porém, como β e γ são complementares, podemos escrever: Assim, concluímos que os triângulos ABC, ABD e ACD são todos semelhantes entre si, pois eles têm os mesmos ângulos. Assim, podemos utilizar a relação de semelhança. Devemos montar as frações com os lados opostos aos mesmos ângulos. Por exemplo, em oposição ao ângulo β, temos o lado b no triângulo ABC e o lado n no triângulo ADC. Já em oposição ao ângulo de 90º, temos o lado a no triângulo ABC e o lado b no triângulo ADC. Então, podemos escrever: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 64 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Fazendo o meio pelos extremos, temos: Podemos, então, extrair, a projeção n: Portanto, a projeção do cateto b sobre a hipotenusa pode ser calculada como o quadrado desse cateto dividido pela hipotenusa. De forma similar, podemos calcular a outra projeção. Em oposição ao ângulo γ, temos o lado c no triângulo ABC e o lado m no triângulo ADB. Já em oposição ao ângulo de 90º, temos o lado a no triângulo ABC e o lado c no triângulo ADB. Assim, podemos escrever: Fazendo o meio pelos extremos, temos: Podemos, então, extrair, a projeção m: Então, a projeção do cateto c sobre a hipotenusa também é igual ao quadrado desse cateto dividido pela hipotenusa. Podemos, assim, estabelecer a equação: 7. polígonos Os polígonos são figuras geométricas fechadas formadas pela união de vários segmentos de reta. Vejamos alguns exemplos: Um polígono é convexo quando todos os segmentos de reta entre dois pontos no interior do polígono estão inteiramente contidos no interior do polígono. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 65 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Vejamos um exemplo de polígono convexo. No pentágono e no hexágono abaixo, qualquer conjunto de dois pontos do interior do polígono produzirá um segmento de reta que está intei- ramente contido no interior do polígono. Por outro lado, a bandeira de São João é um polígono côncavo, porque é possível traçar um segmento de reta ligando dois pontos no interior do polígono, mas esse segmento de reta atravessa o polígono e não está inteiramente contido no seu interior. Esse conceito de polígono côncavo e convexo é bastante importante para a Matemática. 7.1. somA Dos Ângulos internos Esse é um assunto bastante recorrente em questões de Geometria. A soma dos ângu- los internos de um polígono convexo de N lados depende unicamente do número de lados do polígono. S = (N - 2) . 180º Essa expressão não vale para os polígonos côncavos. A explicação para essa fórmula é que qualquer polígono convexo de N lados pode ser fra- cionado em N – 2 triângulos partindo de um vértice qualquer. Veja que fracionamos o pentágono (5 lados) em 3 triângulos e o hexágono (6 lados) em 4 triângulos. A soma dos ângulos internos do polígono é igual à soma de todos os ângulos internos de todos os triângulos. E, futuramente, mostraremos que a soma dos ângulos internos de um tri- ângulo é igual a 180º. Dessa maneira, podemos calcular que a soma dos ângulos internos do pentágono e do hexágono valem, respectivamente: S5 = (5 - 2) . 180° = 3 . 180° = 540° S6 = (6 - 2) . 180° = 4 . 180° = 720° O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 66 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 7.2. Ângulo interno De um polígono regulAr Um polígono é regular quando atende às seguintes condições: • é convexo; • todos os seus lados são iguais; • todos os seus ângulos são iguais. O ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado facilmente com a fórmula es- tudada na seção anterior. Já sabemos calcular a soma dos ângulos internos de um polígono de N lados. Como um polígono de N lados tem também N ângulos, a medida de cada ângulo é: Dessa forma, os ângulos internos do pentágono e do hexágono são: 7.3. Ângulos externos De um polígono regulAr Um ângulo externo é aquele que é formado entre um lado de um polígono e o prolonga- mento de um lado vizinho, como mostrado a seguir. A soma de todos os ângulos externos de um polígono regular convexo é sempre igual a 360º, independentemente do número de lados do polígono. Assim, se o polígono tiver N lados, o seu ângulo externo será: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciadopara Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 67 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Dessa forma, o ângulo externo do pentágono e do hexágono regular são iguais a: 024. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um barco de pesca partiu do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em seguida, virou a proa de um ângulo de 45º para a direita e navegou com a mesma velocidade por mais 3 milhas. A manobra foi repetida, sempre da mesma forma e com a mesma velocidade. A figura a seguir mostra o início do percurso desse barco. Após certo número de manobras, o barco voltou ao ponto P de partida. Nesse percurso, o barco percorreu uma distância total de: a) 18 milhas. b) 21 milhas. c) 24 milhas. d) 27 milhas. e) 30 milhas. O ângulo de 45º é obtido a partir do prolongamento do lado, ou seja, o ângulo externo do po- lígono. Sabendo disso, descobriremos o número de lados do polígono para determinar a dis- tância total percorrida. Temos: Então, multiplicamos o número de lados pela distância percorrida em cada um dos segmentos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 68 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Letra c. 025. (IBFC/TCM/RJ/2016/TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO) Sabe-se que a soma dos ân- gulos internos de um polígono é igual a 1260º. Se esse polígono é regular, então cada ângulo externo desse polígono é igual a: a) 140º b) 40º c) 126º d) 54º Como a soma dos ângulos internos de um polígono foi dada no enunciado, o primeiro passo para descobrir a medida do ângulo externo é encontrar o número de lados do polígono. Após a descoberta do número de lados do polígono, encontraremos a medida do ângulo exter- no por meio de: Letra b. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 69 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso RESUMO Círculo Circunferência é uma região formada por pontos equidistantes de um ponto central. Círculo é a área interna da circunferência. r: raio da circunferência d: diâmetro da circunferência r: raio θ: ângulo A área da coroa circular se dá pela diferença entre a circunferência externa e a interna. Já o perímetro se dá pela soma dos perímetros de ambas. R: raio da circunferência externa/ maior r: raio da circunferência interna/ menor Triângulo A soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre 180º Um dos vértices possui ângulo igual a 90º b: base h: altura a, b, h: medida dos lados O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 70 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Possui todos os lados e todos os ângulos iguais b: base/medida dos lados h: altura Possui dois lados e dois ângulos iguais b: base h: altura a, b: medida dos lados Lei das Áreas: Não possui nenhum lado nem ângulo igual b: base h: altura a, b, c: medida dos lados A, B, C: vértices Quadriláteros A soma dos ângulos internos será sempre 360º O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 71 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a, b: medida dos lados Também é classificado como paralelogramo O quadrado é um caso particular em que o retângulo possui lados iguais L: medida do lado d: diagonal Lados opostos são sempre paralelos Possui duas diagonais que se cruzam no ponto médio a, b: medida dos lados h: altura α, β : ângulos internos Possui os quatro lados iguais, também é classificado como paralelogramo e suas diagonais são perpendiculares (90º) D: diagonal maior d: diagonal menor L: medida dos lados α, β : ângulos internos O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 72 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso B: base maior b: base menor Bm: base média h: altura l: medida dos lados α, β: ângulos internos Possui dois ângulos retos. B: base maior b: base menor Bm: base média h: altura l: medida dos lados α, β: ângulos internos Não possui nenhum lado nem ângulo com a mesma medida. B: base maior b: base menor Bm: base média h: altura l1, l2: medida dos lados O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 73 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso QUESTÕES COMENTADAS EM AULA 001. (FGV/SEE/PE/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Seja A uma aresta de um cubo. O número de arestas desse cubo que são reversas com a aresta A é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 002. (CESPE/ANS/2013/ESPECIALISTA EM REGULAÇÃO DE SAÚDE SUPLEMENTAR) Con- siderando que as retas R1, R2, R3 e R4 sejam distintas e estejam no mesmo plano, e que, se a reta Ri intercepta a reta Rj, Pij — em que i, j= 0, 1, 2, 3, 4 e i ≠ j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue os itens seguintes. No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e P23 também existirão e P34 = P23. 003. Se R1 for perpendicular a R2 e se R3 for perpendicular a R4, então, no mínimo, duas dessas quatro retas serão paralelas. 004. Se os pontos P12, P13 e P23 existirem e forem distintos, então a reta R1 não poderá ser per- pendicular à reta R2. 005. (VUNESP/2020/AVAREPREV-SP/TÉCNICO PREVIDENCIÁRIO) Em uma escritura, cons- ta que a área de um terreno é de 250000 m². Essa área, em km², corresponde a: a) 2500. b) 250. c) 25. d) 2,5. e) 0,25. 006. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a: a) 320 ha b) 32.000 ha c) 320.000 ha d) 3.200 ha 007. (IADES/PM/DF/2018/SOLDADO MÚSICO) Para confecção de um bumbo, utiliza-se uma membrana de raio R = 70 cm. A área dessa membrana, em metros quadrados, é igual a: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 74 de 141www.grancursosonline.com.brNoções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 4.900 π. b) 4,9 π. c) 49 π. d) 490 π. e) 0,49 π. 008. (CONSULPLAN/PREFEITURA DE CASCAVEL/PR/AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE) Considere duas circunferências de perímetro 62,8 cm e 94,2 cm. Qual a diferença entre os raios destas circunferências? (Considere π=3,14). a) 2,5 cm b) 5 cm c) 9,5 cm d) 12 cm e) 15 cm 009. (FGV/CODEMIG/2015/ADVOGADO SOCIETÁRIO) A região sombreada na figura é co- nhecida como “barbatana de tubarão” e foi construída a partir de um quadrante de círculo de raio 4 e de um semicírculo. A área dessa “barbatana de tubarão” é: a) 2π b) 5π/2 c) 3π d) 7π/2 e) 4π O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 75 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 010. (CESPE/TSE/2007/TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA) Um novo prédio de 40 m de altura está sendo planejado para um tribunal regional eleitoral. A figura acima ilustra a planta baixa da base desse novo prédio, composta de duas partes iguais, onde cada parte é formada por semicírculos concêntricos de diâmetros 40 m e 60 m, respectivamente. Tomando-se 3,1 como valor aproximado para ∏, é correto concluir que a área da base desse novo prédio é: a) Inferior a 1.600 m². b) Superior a 1.600 m² e Inferior a 2.000 m². c) Superior a 2.000 m² e Inferior a 2.400 m². d) Superior a 2.400 m². 011. (FGV/CODESP/SP/2017/GUARDA PORTUÁRIO) No triângulo ABC da figura a seguir, = 7, = 10 e = 11, e a circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado CB no ponto D. O segmento mede: a) 6,5. b) 5,5. c) 6. d) 7. e) 7,5. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 76 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 012. (IADES/PM/DF/2018/SOLDADO MÚSICO) Considere hipoteticamente que se deseja pintar um muro de 20 m de comprimento por 2,8 m de altura. A tinta a ser adquirida é vendida em galões de 3,6 L e sabe-se que cada galão pinta 7 m² do muro. Nessas condições, quantos litros de tinta serão necessários para a realização do serviço? a) 8 b) 56 c) 24 d) 28,8 e) 16 013. (FGV/IBGE/2020/COORDENADOR CENSITÁRIO) Um imóvel comercial é composto por uma sala retangular, medindo 3m de largura e 6m de comprimento, e um banheiro, medindo 1,5m de largura e 2m de comprimento. A área total do imóvel, em metros quadrados, é: a) 12,5; b) 16,5; c) 18; d) 21; e) 36. 014. (FGV/TJ/PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO/FADESP/COSANPA/2017/ TÉCNICO INDUSTRIAL – SANEAMENTO) A plantação de um agricultor fica em um terreno em forma de trapézio retangular, cujas dimensões constam da figura a seguir: Sabendo que este agricultor utiliza diariamente, para irrigação, quatro litros de água por metro quadrado de plantação, a quantidade total de água utilizada em um dia para irrigar a plantação é, em litros, a) 35,2 b) 120 c) 1200 d) 35200 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 77 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 015. (INSTITUTO LEGATUS/PREFEITURA DE PASSAGEM FRANCA DO PIAUÍ/2016/AGEN- TE ADMINISTRATIVO) Pode-se afirmar que a área e o perímetro do trapézio abaixo são, res- pectivamente: a) 96 cm² e 46 cm b) 120 cm² e 38 cm c) 120 cm² e 48 cm d) 144 cm² e 38 cm e) 144 cm² e 42 cm 016. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR/BA/2017/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR II – DI- REITO) A figura a seguir mostra um rio de margens retas e paralelas. João, que está em uma das margens, gostaria de obter uma medida aproximada da largura do rio. Para isso, adotou o seguinte procedimento: • buscou um ponto de referência na margem oposta e encontrou a pedra P; • fixou uma estaca no ponto A, de forma que AP fosse perpendicular ao rio; • caminhou paralelamente ao rio, fixou uma estaca em B e depois outra em C; • a partir de C, caminhou perpendicularmente ao rio até que, no ponto D, viu as estacas B e P alinhadas com D; • fixou mais uma estaca nesse ponto e, com uma trena, mediu as distâncias AB = 20m, BC = 6m e CD = 8,4m. A distância, em metros, de A até P é de: a) 22,6 b) 24,0 c) 25,5 d) 27,2 e) 28,0 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 78 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 017. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA/2020/PROFESSOR DE ENSINO FUNDAMEN- TAL) Em um livro didático, consta a seguinte figura: Sobre essa figura, há informações, no livro, de que as retas que contêm os pontos M e P, N e Q, e O e R são paralelas, e que as medidas dos segmentos de extremidades MN, PQ e PR, em certa unidade de medida u, são iguais a 5 u, 4 u e 9 u, respectivamente. Como exercício, é solicitado que o aluno determine a medida do segmento NO, na unidade de medida u, cuja resposta correta é: a) 5,25. b) 5,50. c) 5,75. d) 6,00 e) 6,25. 018. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA/SP/2020/ORIENTADOR SOCIAL) Uma praça, com a forma do triângulo retângulo ABC mostrado na figura, tem uma pista para caminhadas em toda a extensão do seu perímetro. Para caminhar do ponto B até o ponto C, pode-se optar por ir diretamente de B até C, caminhando 150 m, conforme indicado na figura, ou ir do ponto B até o ponto A, caminhando x m, e do ponto A até o ponto C, caminhando mais 120 m. O trajeto de B até C, passando por A, é mais longo do que o trajeto direto de B até C em a) 70 m. b) 60 m. c) 50 m. d) 40 m. e) 30 m. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 79 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 019. (VUNESP/CÂMARA DA ESTÂNCIA BALNEÁRIA DE ITANHAÉM/SP/2017/AGENTE DE MANUTENÇÃO E ZELADORIA) Arthur desenhou numa folha de papel o triângulo retângulo a seguir. Ele afirmou, corretamente, que a medida do segmento XY mais a medida do segmento YZ é igual à medida segmento XZ mais _________ cm. Das alternativas a seguir, aquela que completa corretamente a afirmação de Arthur é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 020. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A respeito da trigonometria do triângulo retângulo e das funções trigonométricas, julgue os itens que se seguem. Situação hipotética: Um poste vertical mede h m de altura. A extremidade superior do poste, ponto C, é atingida por um laser localizado em um ponto A, a 2,4 m do poste e a 1,6 m do solo. Considerando o ponto B sobre o poste de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B, o ân- gulo α = CAB é tal que tgα = 17/12. A figura a seguir ilustra a situação apresentada. Assertiva: Nesse caso, o poste mede mais de 6 m de altura. 021. (TFC/2017/INÉDITA) Alexandre pode ir da cidade A até a cidade B por dois caminhos. O caminho diretoé uma estrada que mede 10 km com muitos obstáculos, na qual a velocidade média é de 40 km/h. O caminho alternativo é composto por duas vias perpendiculares entre si passando por uma cidade C. Sabe-se que o ângulo entre as estradas AB e AC é de 37º e que O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 80 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso sen 37º=0,6. A velocidade mínima que Alexandre deve utilizar nesse caminho para que esse caminho alternativo seja mais rápido que o caminho direto é de 48 km/h. 022. (VUNESP/UNESP/2017/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) O quadrado da altura de um triângulo equilátero é exatamente 300. O perímetro desse triângulo, em uma determinada uni- dade de medida, é: a) 60 b) 50 c) 30 d) 20 e) 10 023. (CESPE/MEC/2011/GUARDA MUNICIPAL) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesou- ro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro. A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes. Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices cor- responderão às posições finais das crianças será equilátero. 024. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um barco de pesca partiu do ponto P e navegou em linha reta, com velocidade constante por 3 milhas. Em seguida, virou a proa de um ângulo de 45º para a direita e navegou com a mesma velocidade por mais 3 milhas. A manobra foi repetida, sempre da mesma forma e com a mesma velocidade. A figura a seguir mostra o início do percurso desse barco. Após certo número de manobras, o barco voltou ao ponto P de partida. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 81 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Nesse percurso, o barco percorreu uma distância total de: a) 18 milhas. b) 21 milhas. c) 24 milhas. d) 27 milhas. e) 30 milhas. 025. (IBFC/TCM/RJ/2016/TÉCNICO DE CONTROLE EXTERNO) Sabe-se que a soma dos ân- gulos internos de um polígono é igual a 1260º. Se esse polígono é regular, então cada ângulo externo desse polígono é igual a: a) 140º b) 40º c) 126º d) 54º O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 82 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso QUESTÕES DE CONCURSO Áreas 026. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SOROCABA – SP/TÉCNICO DE CONTROLE ADMI- NISTRATIVO) A figura retangular ABCD representa a ideia para a confecção de um folheto, em que a região sombreada é também retangular. Sabendo-se que a área da região sombreada é 72 cm2, o perímetro dessa região é de: a) 28 cm. b) 30 cm. c) 32 cm. d) 34 cm. e) 36 cm. 027. (VUNESP/2017/PREFEITURA DE MARÍLIA – SP/AGENTE DE CONTROLE DE ENDE- MIAS) Um construtor mediu um terreno retangular e encontrou as seguintes medidas: 16 me- tros de frente por 32 metros de fundos. Na escritura desse terreno, consta que ele tem 15 metros de frente e 30 metros de fundos. O perímetro e a área do terreno medidos pelo cons- trutor são maiores do que o perímetro e a área, respectivamente, das medidas indicadas na escritura em: a) 3 m e 2 m2 b) 3 m e 16 m2 c) 6 m e 32 m2 d) 6 m e 62 m2 e) 9 m e 124 m2 028. (VUNESP/2020/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS – SP/GUARDA MUNI- CIPAL) Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo. A medida do menor lado é 10 m menor que a medida do lado que não é o maior. Se a área desse terreno é de 600 m², então seu perímetro é de: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 83 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 110 m. b) 120 m. c) 130 m. d) 140 m. e) 150 m. 029. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR/BA/2017/AUXILIAR DE DESENVOLVIMENTO IN- FANTIL) Uma varanda retangular de 6,0m por 1,8m terá sua superfície coberta com cerâmica. O metro quadrado (m²) dessa cerâmica custa R$ 60,00. O valor aproximado em reais para o custo dessa cerâmica é de: a) 618 b) 632 c) 650 d) 675 e) 700 030. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – SP/PROFESSOR I) Um painel informativo, com a forma e as dimensões indicadas em centímetros na figura, foi dividi- do em duas regiões retangulares, I e II, para segmentar as informações. Se o perímetro desse painel é 480 cm, então a sua área total é de: a) 8800 cm2 b) 9600 cm2 c) 10400 cm2 d) 11600 cm2 e) 11800 cm2 031. (FGV/TJ/PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO) A figura abaixo mostra a planta de um salão. Os ângulos A, B, C, D e E são retos e as medidas assinaladas estão em metros. A área desse salão em m2 é: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 84 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 81 b) 86 c) 90 d) 94 e) 96 032. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUE ESGOTO) Em um espaço retangular ABCD, com 6 m de largura, foi feito um pequeno galpão retangular, e o restante do espaço foi utilizado para uma horta comunitária, conforme mos- tra a figura. Sabendo-se que o perímetro do galpão é de 10 m, a área da horta comunitária é igual a a) 34 m². b) 36 m². c) 38 m². d) 40 m². e) 42 m². 033. (CESPE/TJ/PR/2019/TÉCNICO JUDICIÁRIO) O carpinteiro José cortou um retângulo de madeira medindo 80 cm de comprimento por 60 cm de largura. Ele precisa cortar outro retângulo, com a mesma área do primeiro, mas com comprimento um quarto maior que o da- quele outro. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 85 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Desse modo, em relação à largura do primeiro retângulo, a largura do segundo deverá a) diminuir um terço. b) diminuir um quinto. c) aumentar três vezes. d) aumentar um quinze avos. e) aumentar trinta e seis quinze avos. 034. (VUNESP/UNESP/2016/ASSISTENTEADMINISTRATIVO I) Francisco adquiriu um ter- reno cuja área é de 700 m². Ele pretende reservar um espaço para construir uma área de lazer que irá ocupar um quarto do terreno e que irá possuir as seguintes características: A extensão da cerca, em metros, que separa a área de lazer do espaço restante do terreno é igual a: a) 5 b) 7 c) 35 d) 40 e) 175 035. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO SUPERIOR) Verifica-se na figura abaixo, um quadrado e um arco de circunferência. O perímetro da região cinza é: a) 30 + (15/2)π O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 86 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso b) 30 + (2/15)π c) 15 + (15/2)π d) 15 + (2/15)π e) 30 036. (UTFPR/2018/UTFPR/ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO) Determinada imagem qua- drada com dimensões de 10 cm por 10 cm será ampliada e terá a área triplicada, sem alterar a forma. As novas dimensões da figura, em número inteiro, são aproximadamente: a) 30 cm x 10 cm b) 17 cm x 17 cm c) 30 cm x 30 cm d) 20 cm x 20 cm e) 15 cm x 20 cm 037. (UNIFESP/2018/UNIFESP/ASSISTENTE ADMINISTRAÇÃO) Sabendo-se que os lados de um triângulo medem 4 cm, 5cm e 3 cm. Sua área é de: a) 0,006 cm2 b) 60 cm2 c) 0,0006 m2 d) 0,6 cm2 e) 0,06 m2 038. (FCC/PREFEITURA DE MACAPÁ/AP/2018/PROFESSOR ANOS INICIAIS) A figura abai- xo indica um quadrilátero, desenhado sobre uma malha quadriculada formada por quadradi- nhos de 1 cm² cada. A área do quadrilátero desenhado é igual a a) 10,5 cm². b) 10 cm². c) 9,5 cm². d) 11 cm². e) 11,5 cm². O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 87 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 039. (CESPE/SEED/PR/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Um terreno quadrado de lado a foi dividido conforme ilustrado na figura a seguir. Na divisão, a área total do terreno foi dividida em lotes, ficando o lote IV com a forma de um quadrado de lado b. Com base nas informações e na figura apresentadas, assinale a opção que mostra a expres- são que representa a soma das áreas dos lotes II e III indicados na figura. a) a² – b² b) 2‧(a ‧ b – b²) c) 2a² – 2a ‧ b d) a² – 2a ‧ b + b² e) a² + a ‧ b + b² 040. (VUNESP/2020/FITO/AUXILIAR DE ADMINISTRAÇÃO – ÁUDIO E VÍDEO) Utilizando uma fotocopiadora, Bruna deseja ampliar em 44% a área de uma imagem retangular que mede 15,0 cm x 20,0 cm. Considerando que não haverá distorções nesse processo de ampliação, a imagem ampliada medirá: a) 6,6 cm x 8,8 cm. b) 15,9 cm x 21,2 cm. c) 18,0 cm x 24,0 cm. d) 18,3 cm x 24,4 cm. e) 21,6 cm x 28,8 cm. 041. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE RIBEIRÃO PRETO – SP/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA III – EDUCAÇÃO BÁSICA – ARTE) A figura a seguir representa três folhas de cartolina de formato quadrado. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 88 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Essas três folhas serão recortadas em cartões de formato quadrado, todos de mesmo tama- nho, com a maior área possível, sem desperdício nenhum. O número de cartões que serão recortados é igual a: a) 31. b) 30. c) 29. d) 28. e) 27. 042. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO MÉDIO REGULAR) Na figura a seguir encontram-se as instruções para a confecção de um envelope a partir da dobradura, na linha pontilhada, de uma folha de papel quadrada. Para se obter um envelope de 12 cm de lado, a medida, em centímetros, da diagonal da folha original deve ser de a) 12 b) 54 c) 30 d) 48 e) 24 043. (VUNESP/2020/AVAREPREV-SP/TÉCNICO PREVIDENCIÁRIO) Um terreno retangular, com 1728 metros quadrados de área, tem o maior lado medindo 12 metros a mais que o menor lado. A razão entre as medidas do menor e do maior lado desse terreno é igual a: a) 0,75. b) 0,70. c) 0,65. d) 0,60. e) 0,55. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 89 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 044. (CESPE/PRF/2008) Considerando, em relação às figuras acima, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de círculo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são: a) I e IV b) I e V c) II e III d) II e V e) III e IV Segmentos 045. (VUNESP/2020/FITO/ANALISTA DE GESTÃO/BIBLIOTECA) O polígono AVEQP da figu- ra representa um terreno e não está desenhado em escala. O triângulo EVA é retângulo em V e o quadrilátero EAPQ é um retângulo. As medidas de EV e VA são, respectivamente, iguais a 48 m e 20 m. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 90 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Se a medida do lado AP é igual a 75 m, então a área do terreno em m2 é igual a: a) 4380. b) 4575. c) 5050. d) 5275. e) 6125. 046. (CESGRANRIO/IBGE/2016/AGENTE DE PESQUISAS POR TELEFONE) Na Figura a se- guir, PQ mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: a) 21 b) 20 c) 19 d) 18 e) 17 047. (FUNRIO/PREFEITURA DE TRINDADE/2016/PEDAGOGO) As dimensões de um terreno retangular são proporcionais a 3 e 4, e a medida de sua diagonal é igual a 50 m. A área desse terreno, em m², equivale a: a) 300 b) 400 c) 800 d) 1000 e) 1200 048. (FGV/SEE/PE/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura a seguir mostra o retângu- lo ABCD onde AB = 10 e BC = 7 e duas circunferências de raio igual a 2. As circunferências são tangentes a dois lados do retângulo. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 91 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A distância entre os centros dessas duas circunferências é: a) b) c) d) e) 049. (CESPE/FUB/2008/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/ADAPTADA) Um quarto de uma casa tem o formato de um retângulo com área igual a 18 metros quadrados e perímetro igual a 20 metros. A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes: A medida das diagonais desse retângulo, em metros, não é um número inteiro. 050. (FCC/PREFEITURA DE MACAPÁ/AP/2018/PROFESSOR ANOS INICIAIS) Uma joaninha e uma formiga partem de um ponto A com destino ao ponto C. A joaninha vai de A até C em li- nha reta, a formiga vai de A até B em linha reta e, depois, de B até C em linha reta. As distânciaspercorridas estão indicadas na figura. Nos percursos totais das duas, a distância percorrida pela formiga foi maior que a percorrida pela joaninha em a) 37,5%. b) 32%. c) 36,5%. d) 36%. e) 32,5%. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 92 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 051. (CESPE/IFF/2018/CONHECIMENTOS GERAIS) No polígono ABCD da figura precedente, os triângulos ABC e ACD são semelhantes e retângulos — nos vértices B e C, respectivamen- te. Além disso, AB = 16 cm, AC = 20 cm e CD é o lado menor do triângulo ACD. Nessa situa- ção, AD mede a) 24 cm. b) 25 cm. c) 28 cm. d) 32 cm. e) 36 cm. 052. (CRESCER CONSULTORIAS/2019/PREFEITURA DE JIJOCA DE JERICOACOARA CE – PROFESSOR EDUCAÇÃO BÁSICA I) O projeto de uma casa popular vai ocupar uma região retangular, de dimensões b e h, em um terreno triangular, de acordo com a figura a seguir: O terreno é um triângulo retângulo, e um dos vértices da região retangular da casa está sobre o maior lado desse triângulo. Assim, podemos afirmar que: a) A casa pode ser construída com dimensões b = 9 m e h = 7 m. b) A casa pode ser construída com b = 3 m e h = 12,5 m. c) As dimensões h = 6 m e b = 10 m vão determinar a maior medida da área possível para a casa. d) É possível construir uma casa cujas dimensões sejam b = 18 m e h = 15 m. 053. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/2019/AGENTE FISCAL DE POS- TURAS) Os triângulos retângulos ABC, ABE e ACD, da figura abaixo, têm o vértice A em comum; o triângulo ABC é isósceles e tem área 8 cm2, e o segmento CE mede 6 cm. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 93 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sabendo que a área do triângulo ACD é o quádruplo da área do triângulo ABE, a medida, em cm, do segmento AD é: a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 054. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) O esquema a seguir mostra um observador no ponto O, que representa o cume de uma montanha, e um avião no ponto A, à altura AB do solo. O ponto C, no segmento AB, está a 6 km desse observador. O observador enxerga o avião sob um ângulo de 60º com a horizontal OC e o ponto B, no solo, sob um ângulo de 30º com a mesma horizontal. Admitindo-se 0,57 e 1,73 como valores aproximados para tg 30º e tg 60º, respectivamente, é correto afirmar que a altura AB do avião é O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 94 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) inferior a 8 km. b) superior a 8 km e inferior a 10 km. c) superior a 10 km e inferior a 12 km. d) superior a 12 km e inferior a 14 km. e) superior a 14 km. 055. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 centímetros e um dos catetos mede 5 centímetros. Nesse triângulo, considere o retângulo inscrito, em que o comprimento do lado maior é igual ao dobro do com- primento do lado menor, e um dos lados maiores está sobre o cateto maior do triângulo. Com base nessas informações, é correto afirmar que a área desse retângulo é igual a: a) 11250/529 cm². b) 3600/289 cm². c) 3600/49 cm². d) 1800/121 cm². e) 1800 cm². 056. (FGV/FUNARTE/2014/ASSISTENTE FINANCEIRO) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m. Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada. O cosseno do ângulo da figura acima é: a) 0,5; b) 0,6; c) 0,75; d) 0,8; e) 1,33. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 95 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 057. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/2019/ARQUITETO/DESAFIO) Os seis triângulos que aparecem na figura são equiláteros, com bases no segmento AB que mede 36 cm. A soma dos perímetros dos triângulos, em cm, é: a) 36 b) 54 c) 72 d) 90 e) 108 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 96 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso GABARITO 1. c 2. C 3. E 4. E 5. e 6. d 7. e 8. b 9. a 10. a 11. d 12. d 13. d 14. d 15. c 16. e 17. e 18. b 19. a 20. E 21. E 22. a 23. E 24. c 25. b 26. e 27. d 28. b 29. c 30. d 31. a 32. e 33. b 34. c 35. a 36. b 37. c 38. d 39. b 40. c 41. c 42. e 43. a 44. d 45. a 46. e 47. e 48. e 49. E 50. a 51. b 52. b 53. a 54. d 55. d 56. b 57. e O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 97 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso GABARITO COMENTADO Áreas 026. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SOROCABA – SP/TÉCNICO DE CONTROLE ADMI- NISTRATIVO) A figura retangular ABCD representa a ideia para a confecção de um folheto, em que a região sombreada é também retangular. Sabendo-se que a área da região sombreada é 72 cm2, o perímetro dessa região é de: a) 28 cm. b) 30 cm. c) 32 cm. d) 34 cm. e) 36 cm. Primeiro, analisaremos a região sombreada. Analise a figura do problema. Sabendo a fórmula de área, podemos encontrar o valor de x. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 98 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Para sermos mais rápidos, podemos resolver a equação de segundo grau por soma e produto. Dessa forma, para ax2 + bx + c = 0, temos: Então: Assim, os dois números cuja soma é 24 e o produto entre eles é 63 são: Como o valor de x precisa ser menor que os lados do retângulo (15cm e 9 cm), logo x=3. Assim, o perímetro do retângulo sombreado será: Letra e. 027. (VUNESP/2017/PREFEITURA DE MARÍLIA – SP/AGENTE DE CONTROLE DE ENDE- MIAS) Um construtor mediu um terreno retangular e encontrou as seguintes medidas: 16 me- tros de frente por 32 metros de fundos. Na escritura desse terreno, consta que ele tem 15 metros de frente e 30 metros de fundos. O perímetro e a área do terrenomedidos pelo cons- trutor são maiores do que o perímetro e a área, respectivamente, das medidas indicadas na escritura em: a) 3 m e 2 m2 b) 3 m e 16 m2 c) 6 m e 32 m2 d) 6 m e 62 m2 e) 9 m e 124 m2 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 99 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Separando o problema em duas partes: cálculo de perímetro e de Área. Observe a figura retan- gular a seguir. Primeiro, o perímetro. Considere o índice 1 para os valores reais medidos e índice 2 para os valores presentes nas escrituras. Portanto, a diferença entre os perímetros é de: Quanto à fórmula de área, temos: Então a diferença entre áreas será: Letra d. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 100 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 028. (VUNESP/2020/PREFEITURA DE FERRAZ DE VASCONCELOS – SP/GUARDA MUNI- CIPAL) Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo. A medida do menor lado é 10 m menor que a medida do lado que não é o maior. Se a área desse terreno é de 600 m², então seu perímetro é de: a) 110 m. b) 120 m. c) 130 m. d) 140 m. e) 150 m. Observe o triângulo da figura. Relembrando a fórmula da área de triângulos: Agora, segundo os dados do problema, temos: Para sermos mais rápidos, podemos resolver a equação de segundo grau por soma e produto. Dessa forma, para ax2 + bx + c = 0, temos: Então: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 101 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Assim, os dois números cuja soma é 10 e o produto entre eles é -1200 são: Como o valor precisa ser um número positivo por se tratar de um lado, x=40. Assim, o lado menor será 10 unidades a menos, ou seja, 30. Como temos um triângulo pitagórico, é fácil notar que o valor de y vale 50. Observe exemplos desses triângulos: Assim, o perímetro será a soma de todos os lados. Perímetro = 30 + 40 + 50 = 120m Letra b. 029. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR/BA/2017/AUXILIAR DE DESENVOLVIMENTO IN- FANTIL) Uma varanda retangular de 6,0m por 1,8m terá sua superfície coberta com cerâmica. O metro quadrado (m²) dessa cerâmica custa R$ 60,00. O valor aproximado em reais para o custo dessa cerâmica é de: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 102 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 618 b) 632 c) 650 d) 675 e) 700 A varanda é uma superfície retangular e, para chegar à resposta da questão, precisaremos calcular a área. Sabendo que o metro quadrado custa R$ 60,00, o custo total para adquirir a cerâmica será de: Como a questão pediu o valor aproximado, o valor mais próximo é R$650,00. Letra c. 030. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS – SP/PROFESSOR I) Um painel informativo, com a forma e as dimensões indicadas em centímetros na figura, foi dividi- do em duas regiões retangulares, I e II, para segmentar as informações. Se o perímetro desse painel é 480 cm, então a sua área total é de: a) 8800 cm2 b) 9600 cm2 c) 10400 cm2 d) 11600 cm2 e) 11800 cm2 Observe a figura da questão, com as medidas do perímetro mais detalhadas. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 103 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sabendo que o perímetro é 480cm, o valor de x vale: A área total será a área do retângulo I com a área do retângulo II. Substituindo o valor de x = 20, temos: Letra d. 031. (FGV/TJ/PI/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO – ESCRIVÃO) A figura abaixo mostra a planta de um salão. Os ângulos A, B, C, D e E são retos e as medidas assinaladas estão em metros. A área desse salão em m2 é: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 104 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) 81 b) 86 c) 90 d) 94 e) 96 Uma forma interessante para entender essa questão é completar a figura, esticando os seg- mentos de reta ED, AB, EF e AG, completando um retângulo AIEH, como é mostrado no esque- ma a seguir: Observe que DIBC é um retângulo, portanto, o lado DI é igual ao lado BC e o lado BI é igual ao lado CD. Assim, DI = 4 e BI = 3. Assim, podemos medir as dimensões do retângulo AEIH. Como AEIH é um retângulo, o lado EH = 9 e o lado AH = 12, tendo em vista que eles devem ser iguais aos lados paralelos que são AI e EI, respectivamente. Assim, podemos calcular os segmentos FG e GH, como mostrado a seguir: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 105 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Podemos calcular a área da figura pretendida como a área total do retângulo AIEH menos as áreas do retângulo IDBC e do triângulo FGH. Então, vamos calcular as áreas envolvidas: • a área do retângulo AIEH é igual ao produto das suas dimensões: • a área do retângulo IDBC é também igual ao produto de suas dimensões: • como o triângulo FGH é retângulo, a sua área é igual ao produto dos catetos dividido por 2 : Assim, a área da planta do salão é dada por: Letra a. 032. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUE ESGOTO) Em um espaço retangular ABCD, com 6 m de largura, foi feito um pequeno galpão retangular, e o restante do espaço foi utilizado para uma horta comunitária, conforme mos- tra a figura. 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Assim: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 107 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Letra e. 033. (CESPE/TJ/PR/2019/TÉCNICO JUDICIÁRIO) O carpinteiro José cortou um retângulo de madeira medindo 80 cm de comprimento por 60 cm de largura. Ele precisa cortar outro retângulo, com a mesma área do primeiro, mas com comprimento um quarto maior que o da- quele outro. Desse modo, em relação à largura do primeiro retângulo, a largura do segundo deverá a) diminuir um terço. b) diminuir um quinto. c) aumentar três vezes. d) aumentar um quinze avos. e) aumentar trinta e seis quinze avos. O novo retângulo deverá ter: • Área = 80·60 = 4800 cm2 • Comprimento = (1 + ¼)·80 = 1,25·80 = 100 cm • Largura = L Assim: Agora, avaliando a redução da antiga largura em relação a nova, temos: Como antes a largura era 60cm, temos que a nova largura diminuiu 1/5. Letra b. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 108 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 034. (VUNESP/UNESP/2016/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO I) Francisco adquiriu um ter- reno cuja área é de 700 m². Ele pretende reservar um espaço para construir uma área de lazer que irá ocupar um quarto do terreno e que irá possuir as seguintes características: A extensão da cerca, em metros, que separa a área de lazer do espaço restante do terreno é igual a: a) 5 b) 7 c) 35 d) 40 e) 175 Primeiramente, calcularemos a área que será reservada para o lazer. Temos: Perceba que a área hachurada pode ser dividida em dois retângulos e assim temos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 109 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso O primeiro retângulo (horizontal) possui dimensões a = 4x e b=x. Já o segundo retângulo (vertical) com dimensões c = 3x e d = x. Assim, a área de lazer é igual à soma das áreas dos dois retângulos mostrados anteriormente: Como o enunciado pede a extensão da cerca, precisamos calcular a soma mostrada a seguir: 2p = x + 3x + 3x 2p = 7x = 7 . 5 = 35 m Letra c. 035. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO SUPERIOR) Verifica-se na figura abaixo, um quadrado e um arco de circunferência. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 110 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso O perímetro da região cinza é: a) 30 + (15/2)π b) 30 + (2/15)π c) 15 + (15/2)π d) 15 + (2/15)π e) 30 O perímetro da região cinza é composto por 2 lados do quadrado e um 1/4 de uma circunfe- rência de raio 15cm. Assim, ¼ da circunferência será: Somando todas as medidas para dar o perímetro da área cinza: Letra a. 036. (UTFPR/2018/UTFPR/ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO) Determinada imagem qua- drada com dimensões de 10 cm por 10 cm será ampliada e terá a área triplicada, sem alterar a forma. As novas dimensões da figura, em número inteiro, são aproximadamente: a) 30 cm x 10 cm b) 17 cm x 17 cm c) 30 cm x 30 cm d) 20 cm x 20 cm e) 15 cm x 20 cm O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 111 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sabemos que área é base vezes altura. Então a antiga área será: Como a nova área é triplicada, temos: Agora, para calcular as novas dimensões do lado, basta usarmos novamente a fórmula de área: Letra b. 037. (UNIFESP/2018/UNIFESP/ASSISTENTE ADMINISTRAÇÃO) Sabendo-se que os lados de um triângulo medem 4 cm, 5cm e 3 cm. Sua área é de: a) 0,006 cm2 b) 60 cm2 c) 0,0006 m2 d) 0,6 cm2 e) 0,06 m2 Considere o triângulo a seguir. Esse triângulo é retângulo, porque ele obedece ao Teorema de Pitágoras: Então, podemos utilizar a expressão para o cálculo da área de triângulos retângulos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 112 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Agora, segundo os dados do problema, temos: Para passar para metros, basta relembrar essa tabela: Logo, precisamos multiplicar o valor por 10-4. Assim: Letra c. 038. (FCC/PREFEITURA DE MACAPÁ/AP/2018/PROFESSOR ANOS INICIAIS) A figura abai- xo indica um quadrilátero, desenhado sobre uma malha quadriculada formada por quadradi- nhos de 1 cm² cada. A área do quadrilátero desenhado é igual a a) 10,5 cm². b) 10 cm². c) 9,5 cm². d) 11 cm². e) 11,5 cm². Analise a figura a seguir. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 113 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A área será a soma das figuras I, II e III. Vamos estudar essas três figuras parciais: • figura I: é um triângulo retângulo com base igual a 2 quadradinhos e altura igual a 1 qua- dradinho; • figura II: é um triângulo retângulo com base igual a 4 quadradinhos e altura igual a 3 quadradinhos; • figura III: é um quadrado com lado igual a 2 quadradinhos. Assim, podemos escrever que a área total do quadrilátero desejado é: Letra d. 039. (CESPE/SEED/PR/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Um terreno quadrado de lado a foi dividido conforme ilustrado na figura a seguir. Na divisão, a área total do terreno foi dividida em lotes, ficando o lote IV com a forma de um quadrado de lado b. Com base nas informações e na figura apresentadas, assinale a opção que mostra a expres- são que representa a soma das áreas dos lotes II e III indicados na figura. a) a² – b² b) 2‧(a ‧ b – b²) c) 2a² – 2a ‧ b d) a² – 2a ‧ b + b² e) a² + a ‧ b + b² O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 114 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Para resolver a questão, precisamos lembrar da fórmula da área para retângulos: Área = base ∙ altura Note que o terreno se trata de um quadradode lado a. Logo, o lado direito do lote II será (a – b). O mesmo ocorre para o lado superior do lote III. Observe a figura a seguir. Assim, a área dos lotes II e III será: A = Área II + Área III A = b ∙ (a - b) + b ∙ (a - b) A = 2 ∙ b ∙ (a - b) ∴A = 2(ab - b2) Letra b. 040. (VUNESP/2020/FITO/AUXILIAR DE ADMINISTRAÇÃO – ÁUDIO E VÍDEO) Utilizando uma fotocopiadora, Bruna deseja ampliar em 44% a área de uma imagem retangular que mede 15,0 cm x 20,0 cm. Considerando que não haverá distorções nesse processo de ampliação, a imagem ampliada medirá: a) 6,6 cm x 8,8 cm. b) 15,9 cm x 21,2 cm. c) 18,0 cm x 24,0 cm. d) 18,3 cm x 24,4 cm. e) 21,6 cm x 28,8 cm. O problema diz que a ampliação acontece no valor da área. Assim, primeiramente, temos que calcular a área inicial da imagem: Área = base ∙ altura = 15 ∙ 20 = 300 cm2 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 115 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Agora, para que a área seja aumentada em 44%, devemos multiplicar o valor inicial da área por 144%, que é o mesmo que calcular 44% da área e somar o resultado com o valor da área inicial. Assim, temos: Além disso, devemos manter a proporção entre os lados, já que o problema informa que não houve distorção da imagem. Fazendo a razão do lado menor pelo lado maior, temos a seguinte proporção: Analisando as alternativas, poderíamos ter eliminado a letra a sem nem mesmo ter feito as contas, visto que houve uma redução dos lados da imagem. b) Errada, a proporção entre os lados se manteve, pois: No entanto, ao multiplicar os 2 lados para obtermos a área, obtemos 337,08 cm², menor que 432 cm². c) Certa, a proporção entre os lados se manteve, pois: Além disso, a área equivale a: d) Errada, a proporção entre os lados se manteve, pois: No entanto, ao multiplicar os 2 lados para obtermos a área, obtemos 446,52 cm², maior que 432 cm². e) Errada. a proporção entre os lados se manteve, pois: No entanto, ao multiplicar os 2 lados para obtermos a área, obtemos 622,08 cm², maior que 432 cm². Para saber mais: A alternativa e estaria correta se a ampliação de 44% fosse em cada lado da imagem, ou seja, se fosse uma proporção linear. No entanto, como o problema fala de um aumento na área, es- tamos tratando de uma proporção superficial. Letra c. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 116 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 041. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE RIBEIRÃO PRETO – SP/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA III – EDUCAÇÃO BÁSICA – ARTE) A figura a seguir representa três folhas de cartolina de formato quadrado. Essas três folhas serão recortadas em cartões de formato quadrado, todos de mesmo tama- nho, com a maior área possível, sem desperdício nenhum. O número de cartões que serão recortados é igual a: a) 31. b) 30. c) 29. d) 28. e) 27. Primeiramente, descobriremos qual o lado de cada cartolina. Para isso, é necessário lembrar a fórmula da área de um quadrado: Assim, os lados das folhas de cartolina podem ser calculados isolando lado na equação anterior: Obtemos, então, os seguintes lados das cartolinas: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 117 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso O problema pede que não haja desperdício de papel e que a área dos cartões seja a maior pos- sível. Perceba, primeiramente, que para não haver desperdício, o lado dos cartões deve ser um divisor do lado da folha de cartolina inteira. Assim, para obedecer a esses 2 pré-requisitos, precisamos descobrir qual o máximo divisor comum (M.D.C.) entre os números 24, 18 e 12. Decompondo estes números em seus fatores primos, temos: Dessa forma, o MDC é 2 x 3 = 6. Ou seja, a área dos cartões será: Para descobrir quantos cartões obteremos de cada cartolina, dividimos a área total da cartoli- na pela área dos cartões. Uma outra forma de calcular, seria dividindo o lado de cada cartolina pelo lado do cartão, para saber quantos cabem. Em seguida, elevando o valor encontrado ao quadrado, já que a cartolina tem formato quadra- do e, portanto, seu outro lado também caberiam o mesmo número de lados do cartão. A divisão das cartolinas pode ser visualizada na figura a seguir: Somando todos os cartões obtidos com as 3 cartolinas, temos: n° total de cartões = 16 + 9 + 4 = 29 cartões Letra c. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 118 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 042. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO MÉDIO REGULAR) Na figura a seguir encontram-se as instruções para a confecção de um envelope a partir da dobradura, na linha pontilhada, de uma folha de papel quadrada. Para se obter um envelope de 12 cm de lado, a medida, em centímetros, da diagonal da folha original deve ser de a) 12 b) 54 c) 30 d) 48 e) 24 Segundo o enunciado, podemos escrever a figura como: Note que todos os triângulos de base 12cm são isósceles. Agora, analisando a diagonal da folha de papel, temos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 119 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Note que há 2 triângulos congruentes: ABC e ADE. Logo, podemos fazer uma relação entre os lados de cada um: Letra e. 043. (VUNESP/2020/AVAREPREV-SP/TÉCNICO PREVIDENCIÁRIO) Um terreno retangular, com 1728 metros quadrados de área, tem o maior lado medindo 12 metros a mais que o menor lado. A razão entre as medidas do menor e do maior lado desse terreno é igual a: a) 0,75. b) 0,70. c) 0,65. d) 0,60. e) 0,55. Para resolver esta questão, precisamos lembrar da fórmula da área para retângulos: Área = base ∙ altura O problema diz que um dos lados é 12 metros maior que o outro. Assim, podemos dizer que a base mede x e a altura, x + 12. Sabemos também que a área vale 1728 metros. A imagem do terreno está representada a seguir: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 120 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Substituindo esses valores na equação da área, podemos encontrar o valor de x: Área = base ∙ altura → 1728 = x ∙ (x + 12) → 1728 = x2 + 12x Chegamos, então, à equação de Bháskara a seguir: x2 + 12x - 1728 = 0 A fórmula da solução da equação deBháskara é dada por: com: Sendo a = 1, b = 12 e c = -1728, o discriminante ∆ é: Substituindo o valor de ∆ na fórmula de Bháskara: Assim, temos que: Ou Como x não pode ser negativo, por se tratar do lado de um terreno, a única solução possível para x é 36. No entanto, estamos interessados em calcular a razão entre o lado menor e o lado maior. Logo: Letra a. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 121 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 044. (CESPE/PRF/2008) Considerando, em relação às figuras acima, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de círculo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são: a) I e IV b) I e V c) II e III d) II e V e) III e IV A questão pede que sejam associadas as figuras com áreas iguais. Para isso, primeiramente calcularemos cada uma das áreas: A Figura I é formada por um quadrado de lado igual a 2 centímetros, do qual foram abatidos 4 quadrantes – um quarto de círculo –, cujo raio é igual a 1 cm. A área do quadrante é igual a um quarto da área do círculo. A Figura II é formada por um círculo maior de raio 1 cm, do qual foram abatidas as áreas de um quarto desse círculo e também de dois semicírculos com raio 0,5 cm. Podemos visualizar a seguir que 1 cm corresponde a exatamente o diâmetro dos dois semicírculos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 122 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Então, vamos calcular a área da Figura II: No caso da Figura III, o modo mais fácil de calcular sua área é transportar o semicírculo cheio do canto superior esquerdo para o buraco do quadrante inferior esquerdo, como mostra- do a seguir: Ao fazer essa transposição, a Figura III se transforma em 3/4 de círculo. Então, sua área pode ser calculada por: Para calcular a área da Figura IV, podemos recortar o quadrado ao meio. Assim, notaremos que podemos transportar os dois pedaços pintados do lado esquerdo para o lado direito, fechando a metade do quadrado. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 123 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Assim, a área da Figura IV corresponde à metade da área do quadrado. Por fim, a área Figura V corresponde a um quadrante de raio igual a 2 cm, do qual foi extraído um semicírculo de raio igual a 1 cm. Sendo assim, as figuras II e V possuem áreas sombreadas iguais. Letra d. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 124 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Segmentos 045. (VUNESP/2020/FITO/ANALISTA DE GESTÃO/BIBLIOTECA) O polígono AVEQP da figu- ra representa um terreno e não está desenhado em escala. O triângulo EVA é retângulo em V e o quadrilátero EAPQ é um retângulo. As medidas de EV e VA são, respectivamente, iguais a 48 m e 20 m. Se a medida do lado AP é igual a 75 m, então a área do terreno em m2 é igual a: a) 4380. b) 4575. c) 5050. d) 5275. e) 6125. Primeiramente, recordemos a fórmula da área de um triângulo: Como o triângulo EVA é retângulo, sua área é dada por: Além disso, podemos descobrir o lado EA (e também a altura do retângulo EAPQ) pelo Teo- rema de Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim: Temos então que a área do retângulo EAPQ é: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 125 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Somando a área das duas figuras geométricas, obtemos a área total do terreno: Letra a. 046. (CESGRANRIO/IBGE/2016/AGENTE DE PESQUISAS POR TELEFONE) Na Figura a se- guir, PQ mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: a) 21 b) 20 c) 19 d) 18 e) 17 Em primeiro lugar, vamos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 126 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso A forma mais simples de resolver essa questão é prolongando os segmentos PQ e ST até fe- char o triângulo retângulo, criando o vértice U (conforme esquema abaixo): Note que, com os dados apresentados, podemos deduzir algumas relações: Observe que a distância é a hipotenusa do triângulo retângulo UTP, que é retângulo em U, e pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras: Letra e. 047. (FUNRIO/PREFEITURA DE TRINDADE/2016/PEDAGOGO) As dimensões de um terreno retangular são proporcionais a 3 e 4, e a medida de sua diagonal é igual a 50 m. A área desse terreno, em m², equivale a: a) 300 b) 400 c) 800 d) 1000 e) 1200 Note que a diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos com as seguintes medidas: • d= 50 m • a é proporcional a 4 • b é proporcional a 3 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 127 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Para descobrir a medida dos catetos, utilizaremos o Teorema de Pitágoras. Com as relações de proporcionalidade, colocaremos um cateto em função do outro: Substituindo II em I, temos: Podemos multiplicar tudo por 16 Resolvendo a equação para a²: Agora, basta extrair a raiz quadrada: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 128 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Encontrado o valor de a, substituiremos na equação II: Como o enunciado solicita a área do terreno retangular e a área do retângulo é igual ao produto das suas dimensões, temos: Letra e. 048. (FGV/SEE/PE/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura a seguir mostra o retângu-lo ABCD onde AB = 10 e BC = 7 e duas circunferências de raio igual a 2. As circunferências são tangentes a dois lados do retângulo. A distância entre os centros dessas duas circunferências é: a) b) c) d) e) Observe que a questão pede a distância entre os centros de duas circunferências dentro de um retângulo. O primeiro passo é traçar uma paralela ao segmento a partir do centro da cir- cunferência mais próxima ao vértice A e uma perpendicular, saindo do centro da circunferência mais próxima ao vértice C. A partir de então, é possível verificar que a distância entre os centros corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo de lados 3 e 6. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 129 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que: Letra e. 049. (CESPE/FUB/2008/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/ADAPTADA) Um quarto de uma casa tem o formato de um retângulo com área igual a 18 metros quadrados e perímetro igual a 20 metros. A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes: A medida das diagonais desse retângulo, em metros, não é um número inteiro. Para entender essa questão, vamos primeiramente anotar as informações dadas. Considere um retângulo com lados a e b. A área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões: Já o perímetro é igual à soma das dimensões: Note que a diagonal do retângulo é numericamente igual à hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos e. Então, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para descobrir o valor da diagonal. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 130 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Não será necessário calcular a medida dos catetos e, basta lembrar-se do produto notável e, em seu desenvolvimento, substituir as relações dadas no enunciado. Temos: Errado. 050. (FCC/PREFEITURA DE MACAPÁ/AP/2018/PROFESSOR ANOS INICIAIS) Uma joaninha e uma formiga partem de um ponto A com destino ao ponto C. A joaninha vai de A até C em li- nha reta, a formiga vai de A até B em linha reta e, depois, de B até C em linha reta. As distâncias percorridas estão indicadas na figura. Nos percursos totais das duas, a distância percorrida pela formiga foi maior que a percorrida pela joaninha em a) 37,5%. b) 32%. c) 36,5%. d) 36%. e) 32,5%. Primeiro, precisamos calcular as duas distâncias: • Joaninha = AC = 12cm • Formiga = AB + BC = 7cm + 0,95mm = 7cm + 9,5cm = 16,5cm Logo, a diferença percentual entre elas foi de: Letra a. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 131 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 051. (CESPE/IFF/2018/CONHECIMENTOS GERAIS) No polígono ABCD da figura precedente, os triângulos ABC e ACD são semelhantes e retângulos — nos vértices B e C, respectivamen- te. Além disso, AB = 16 cm, AC = 20 cm e CD é o lado menor do triângulo ACD. Nessa situa- ção, AD mede a) 24 cm. b) 25 cm. c) 28 cm. d) 32 cm. e) 36 cm. Como os triângulos são semelhantes, podemos fazer a seguinte relação: Assim, temos: Note que foram relacionados os maiores catetos de cada triângulo, AB e AC, com as hipotenu- sas, AC e AD, respectivamente. Logo, substituindo os valores, temos: Letra b. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 132 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso 052. (CRESCER CONSULTORIAS/2019/PREFEITURA DE JIJOCA DE JERICOACOARA CE – PROFESSOR EDUCAÇÃO BÁSICA I) O projeto de uma casa popular vai ocupar uma região retangular, de dimensões b e h, em um terreno triangular, de acordo com a figura a seguir: O terreno é um triângulo retângulo, e um dos vértices da região retangular da casa está sobre o maior lado desse triângulo. Assim, podemos afirmar que: a) A casa pode ser construída com dimensões b = 9 m e h = 7 m. b) A casa pode ser construída com b = 3 m e h = 12,5 m. c) As dimensões h = 6 m e b = 10 m vão determinar a maior medida da área possível para a casa. d) É possível construir uma casa cujas dimensões sejam b = 18 m e h = 15 m. Para resolvermos, basta usar semelhança de triângulos. Considere a figura a seguir, com inser- ção de alguns pontos Fazendo semelhança entre os triângulos ABC e DFC, temos: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 133 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso a) Errada. Substituindo os valores, temos: b) Certa. Substituindo os valores, temos: c) Errada. Substituindo os valores, temos: d) Errada. Substituindo os valores, temos: Letra b. 053. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/2019/AGENTE FISCAL DE POS- TURAS) Os triângulos retângulos ABC, ABE e ACD, da figura abaixo, têm o vértice A em comum; o triângulo ABC é isósceles e tem área 8 cm2, e o segmento CE mede 6 cm. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 134 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Sabendo que a área do triângulo ACD é o quádruplo da área do triângulo ABE, a medida, em cm, do segmento AD é: a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 Relembrando a fórmula da área de triângulos: Agora, segundo os dados do problema, temos: Pela área do triângulo ABC, descobrimos x: Logo, o triângulo EAB tem área: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 135 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Por fim, analisando o triângulo ADC e considerando o lado AD como z, temos: Letra a. 054. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO FAZENDÁRIO) O esquema a seguir mostra um observador no ponto O, que representa o cume de uma montanha, e um avião no ponto A, à altura AB do solo. O ponto C, no segmento AB, está a 6 km desse observador. O observador enxerga o avião sob um ângulo de 60º com a horizontal OC e o ponto B, no solo, sob um ângulo de 30º com a mesma horizontal. Admitindo-se 0,57 e 1,73 como valores aproximados para tg 30º e tg 60º, respectivamente, é correto afirmarque a altura AB do avião é a) inferior a 8 km. b) superior a 8 km e inferior a 10 km. c) superior a 10 km e inferior a 12 km. d) superior a 12 km e inferior a 14 km. e) superior a 14 km. Primeiramente, relembre a fórmula de tangente: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 136 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Agora considere os seguintes trechos como x e y: Aplicando as fórmulas de tangente, temos: • Trecho AC • Trecho CB Logo, o trecho AB será: Assim, o trecho é superior a 12km e inferior a 14km. Letra d. 055. (CESPE/SEFAZ/RS/2018/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 centímetros e um dos catetos mede 5 centímetros. Nesse triângulo, considere o retângulo inscrito, em que o comprimento do lado maior é igual ao dobro do com- primento do lado menor, e um dos lados maiores está sobre o cateto maior do triângulo. Com base nessas informações, é correto afirmar que a área desse retângulo é igual a: a) 11250/529 cm². b) 3600/289 cm². O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 137 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso c) 3600/49 cm². d) 1800/121 cm². e) 1800 cm². Primeiramente, considere a seguinte figura representativa do problema. Precisamos descobrir qual a medida do outro cateto. Para isso, basta utilizar o Teorema de Pitágoras: A seguir, podemos utilizar a semelhança de triângulos: Para encontrar x, poderíamos fazer semelhança com o triângulo I ou II. Escolheremos o triângulo I. • Triângulo I: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 138 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Por fim, a área do retângulo é dada pelo produto de suas dimensões: Letra d. 056. (FGV/FUNARTE/2014/ASSISTENTE FINANCEIRO) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m. Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada. O cosseno do ângulo da figura acima é: a) 0,5; b) 0,6; c) 0,75; d) 0,8; e) 1,33. Pelo enunciado, temos a seguinte figura: O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 139 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Note que é formado um triângulo cujos catetos são 15m e 20m. Para obter o valor x da hipote- nusa desse triângulo, basta usarmos o Teorema de Pitágoras. Agora, basta aplicarmos a fórmula do cosseno: Onde o cateto adjacente é o AB e a hipotenusa é o x encontrado. Assim: Letra b. 057. (FCC/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP/2019/ARQUITETO/DESAFIO) Os seis triângulos que aparecem na figura são equiláteros, com bases no segmento AB que mede 36 cm. A soma dos perímetros dos triângulos, em cm, é: a) 36 b) 54 c) 72 d) 90 e) 108 O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br 140 de 141www.grancursosonline.com.br Noções de Geometria MATEMÁTICA Thiago Cardoso Primeiramente, note que são triângulos equiláteros, ou seja, as medidas de todos os seus la- dos são iguais. Note também que o problema não cita “equiláteros entre si”, ou seja, não podemos afirmar que todos os triângulos são iguais entre si. Considere as seguintes bases do triângulo: Sabendo que o perímetro de um triângulo equilátero é 3x o seu lado, o perímetro total será: Como a somatória das bases dos triângulos é 36 cm, temos: Letra e. Thiago Cardoso Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-chefe da Múltiplos Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor desde os 19 anos e, atualmente, leciona todos os ramos da Matemática para concursos públicos. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. https://www.grancursosonline.com.br https://www.grancursosonline.com.br O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal. _Ref69744878 _Ref509310659 _Ref70416671 _Ref70418733 _Hlk71284526 _Hlk69934544 Apresentação Noções de Geometria 1. Ponto, Reta e Plano 1.1. Posições Relativas entre Retas 1.2. Plano 1.3. Ângulos 1.4. Distância de Ponto a Reta e entre Duas Retas 1.5. Ângulos em Retas Paralelas 1.6. Unidades de Medida 2. Circunferência 2.1. Elementos da Circunferência 2.3. Posições Relativas entre Reta e Circunferência 3. Área de Triângulos e Quadriláteros 3.1. Quadrado e Retângulo 3.2. Losango 3.3. Paralelogramo 3.4. Trapézio 4. Triângulos 4.1. Classificações dos Triângulos 4.2. Área do Triângulo 5. Semelhança de Triângulos 5.1. Semelhança de Triângulos 5.2. Congruência de Triângulos 5.3. Propriedades das Tangentes às Circunferências 6. Triângulos Retângulos 6.1. Aplicações em Quadriláteros 6.2. Relações Trigonométricas 6.3. Altura Relativa à Hipotenusa 7. Polígonos 7.1. Soma dos Ângulos Internos 7.2. Ângulo Interno de um Polígono Regular 7.3. Ângulos Externos de um Polígono Regular Resumo Questões Comentadas em Aula Questões de Concurso Gabarito Gabarito Comentado AVALIAR 5: Página 141:
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