Sequências e Progressões Matemáticas

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Aula 13 (Prof.
Francisco Rebouças)
PRF (Policial) - Raciocínio Lógico
Matemático - 2022 (Pré-Edital)
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
25 de Novembro de 2021
1 
 
Sumário 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................................................................ 3 
1 – SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS ................................................................. 4 
1.1 – Introdução às Sequências Numéricas ......................................................................................... 4 
1.2 – Sequência de Fibonacci ...................................................................................................................... 6 
1.3 – Progressão Aritmética ......................................................................................................................... 8 
1.3.1 – Conceito ............................................................................................................................................... 8 
1.3.2 – Termo Geral de uma PA ............................................................................................................. 10 
1.3.3 – Progressão Aritmética de 3 termos ..................................................................................... 12 
1.3.4 – Interpolação de termos em uma PA ................................................................................... 14 
1.3.5 – Soma dos 𝑛 primeiros termos de uma PA ........................................................................ 15 
1.4 – Progressão Geométrica ..................................................................................................................... 17 
1.4.1 – Conceito .............................................................................................................................................. 17 
1.4.2 – Classificação ..................................................................................................................................... 19 
1.4.3 – Termo Geral de uma PG ............................................................................................................ 21 
1.4.4 – Progressão Geométrica de 3 termos ................................................................................. 22 
1.4.5 – Interpolação de termos em uma PG ................................................................................. 24 
1.4.6 – Soma dos termos de uma PG. ............................................................................................... 25 
1.4.7 – Produto dos 𝑛 primeiros termos de uma PG ................................................................. 30 
RESUMO........................................................................................................................................................... 34 
QUESTÕES COMENTADAS .............................................................................................................................. 35 
CESGRANRIO ................................................................................................................................................... 35 
Outras Bancas ................................................................................................................................................. 64 
LISTA DE QUESTÕES ....................................................................................................................................... 93 
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CESGRANRIO ................................................................................................................................................... 93 
Outras Bancas ................................................................................................................................................. 99 
GABARITO ...................................................................................................................................................... 107 
 
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
Fala, concurseiro! Estamos juntos em mais uma aula e hoje falaremos sobre: 
 
Sequências, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 
 
Trata-se de um assunto bastante comum em provas e, portanto, fundamental na sua preparação. Nas 
próximas páginas, você entenderá o que é uma sequência, faremos também uma análise das sequências 
mais famosas e traremos muitos exemplos para não ficarmos apenas na teoria. 
 
Nessa aula, existem algumas fórmulas que você deve guardar na memória. Portanto, anote-as em um canto 
de fácil visualização e faça a lista de exercícios proposta ao final desse livro. A prática de questões é nossa 
maior aliada quando temos que memorizar alguma fórmula. Portanto, nada de só ver a teoria! Ok?! 
 
Um forte abraço, 
Prof. Francisco Rebouças. 
 
Para tirar dúvidas, não deixe de utilizar o nosso fórum. Lá, estaremos sempre à disposição 
para ajudá-lo. Se preferir, você também pode entrar em contato diretamente comigo 
através dos seguintes canais: 
E-mail - Prof. Francisco Rebouças: 
prof.franciscoreboucas@gmail.com 
Telegram - Prof. Francisco Rebouças: 
https://t.me/prof_fco 
 
"Tente uma, duas, três vezes e se possível tente a quarta, a quinta e quantas vezes 
for necessário. Só não desista nas primeiras tentativas, a persistência é amiga da 
conquista. Se você quer chegar onde a maioria não chega, faça o que a maioria não 
faz." (Bill Gates) 
 
 
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1 – SEQUÊNCIAS, PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 
1.1 – Introdução às Sequências Numéricas 
De modo objetivo, podemos definir as sequências afirmando que são listas de números em que os termos 
obedecem a uma determinada regra de sucessão. 
 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...); 
• (1, 1 ,2 ,2 ,3 ,3, 4, 4, ...); 
• (2, 4, 8, 16, 32, ...); 
• (1, -1, 1, -1, 1, -1, ...); 
 
Normalmente, as sequências aparecem representadas na forma acima: entre parênteses, termo separados 
por vírgulas e com as reticências ao final, caso necessário. Ademais, é possível representar as sequências 
da seguinte forma: 
 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, … ) 
 
Nesse tipo de representação, temos que o 𝒂𝟏 é lido como "a índice um", 𝑎2 é o "a índice dois", 𝑎3 é o "a 
índice três" e assim sucessivamente. Por exemplo, na sequência (3, 6, 9, 12, 15, . . . ) temos que: 
 
• 𝑎1 = 3 
• 𝑎2 = 6 
• 𝑎3 = 9 
• 𝑎4 = 12 
• 𝑎5 = 15 
 
Esse índice que está subscrito ao "a" indica a ordem do termo! 𝑎1é o primeiro termo da sequência, 𝑎2 é o 
segundo termo da sequência, 𝑎3 é o terceiro. Quando queremos representar um termo de uma sequência e 
não sabemos qual a sua ordem, simplesmente o denotamos como 𝒂𝒏 e o lemos "a índice n". 
 
É importante falar que algumas sequências podem ser representadas pelo seu termo geral. Por exemplo, 
(3, 6, 9, 12, 15, . . . ) pode ser explicitada como 𝒂𝒏 = 𝟑 ∙ 𝒏, 𝑛 ∈ ℕ∗. Assim, ficamos com: 
 
• Quando 𝑛 = 1, então 𝑎1 = 3 ∙ 1 ⟹ 𝑎1 = 3 
• Quando 𝑛 = 2, então 𝑎2 = 3 ∙ 2 ⟹ 𝑎2 = 6 
• Quando 𝑛 = 3, então 𝑎3 = 3 ∙ 3 ⟹ 𝑎3 = 9 
• Quando 𝑛 = 4, então 𝑎4 = 3 ∙ 4 ⟹ 𝑎4 = 12 
• Quando 𝑛 = 5, então 𝑎5 = 3 ∙ 5 ⟹ 𝑎5 = 15 
 
Veja que obtivemos exatamente os mesmos números da sequência que estávamos tratando, inclusive na 
ordem dada. Conclusão: nossas sequências podem ser representadas de formas diferentes, por meio da lei 
de formação e não só na forma explícita (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, … ). 
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Existem sequências que apresentam um padrão muito específico. Essas sequências ganham um nome 
especial e trataremos delas nos tópicos subsequentes. Como exemplo, podemos citar a sequência de 
Fibonacci, a progressão aritmética e a progressão geométrica. 
 
 
(PM-SP/2020) Na sequência de números: 4, 8, 6, 12, 10, 20, 18, 36, 34, ..., o primeiro termo que é maior do 
que 100 é o número 
a) 122. 
b) 126. 
c) 132. 
d) 136. 
 
Comentários: 
Para aquecer um pouco, vamos resolver essa questão e ver como é a pegada. A primeira coisa que podemos 
perceber na sequência dada, é que temos alguns termos que são o dobro do anterior. 
 
 
 
Observe ainda que o número que multiplicamos por dois é duas unidades menor do que o seu anterior. 
 
 
Seguindo a lógica que encontramos, podemos completar a sequência para achar o primeiro termo que é 
maior do que 100. 
 
 
 
Gabarito: LETRA C. 
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1.2 – Sequência de Fibonacci 
Pessoal, a sequência de Fibonacci é muito conhecida no meio matemático. Reconhecê-la na hora da prova 
pode ser um diferencial, de modo a propiciar mais confiança e agilidade na questão. E qual é a sequência de 
Fibonacci? 
 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … ) 
 
Você consegue desvendar o padrão dessa sequência? A sequência de Fibonacci é definida a partir de dois 
valores iniciais: o primeiro e o segundo termo. Em uma sequência qualquer, chamaríamos esses termos de 
𝑎1 e 𝑎2. No entanto, estamos falando da sequência de Fibonacci e por esse motivo, chamamos esses termos 
de 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. 
 
Note que os dois primeiros termos dessa sequência são iguais a 1! Depois, cada termo subsequente é 
formado pela soma dos dois anteriores! Percebeu? 
 
• 𝐹3 = 𝐹1 + 𝐹2 ⟹ 𝐹3 = 1 + 1 = 2 
• 𝐹4 = 𝐹3 + 𝐹2 ⟹ 𝐹4 = 2 + 1 = 3 
• 𝐹5 = 𝐹4 + 𝐹3 ⟹ 𝐹5 = 3 + 2 = 5 
• 𝐹6 = 𝐹5 + 𝐹4 ⟹ 𝐹6 = 5 + 3 = 8 
• Por aí vai... 
 
Podemos representar esses fatos de uma forma resumida e organizada. Para essa finalidade, definimos a 
sequência de Fibonacci da seguinte forma: 
𝐹𝑛 = {
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 1
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 2
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2, 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 3
 
Veja que é tudo o que a gente falou até aqui, mas utilizando a notação matemática. Os dois primeiros termos 
são iguais a 1 e um termo genérico 𝐹𝑛 é dado como a soma dos dois termos anteriores a ele: 𝑭𝒏−𝟏 + 𝑭𝒏−𝟐. 
 
Podemos, ainda, representar a sequência de Fibonacci de mais um jeito, através de uma fórmula! Qualquer 
termo da sequência de Fibonacci pode ser obtido usando a seguinte expressão: 
 
𝐹𝑛 = 
(1 + √5)
𝑛
− (1 − √5)
𝑛
2𝑛√5
 
 
É um jeito mais trabalhoso de obtermos os termos, pois precisaremos ficar desenvolvendo os binômios. 
Recomendo que, para escrever a sequência, utilize nossa regra de somar os dois termos anteriores, 
lembrando que os dois primeiros termos são iguais a um. 
 
No mais, é importante ter uma noção do aspecto da fórmula, pois poderá te ajudar em eventuais questões. 
Falando nelas, vamos fazer algumas? 
 
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(ALESE/2018) Um servidor público, no seu primeiro dia de trabalho, atendeu uma única pessoa, o que se 
repetiu no segundo dia. A partir do terceiro, o número de pessoas atendidas por ele sempre foi igual à soma 
dos números de pessoas atendidas nos dois dias anteriores. Seu supervisor prometeu que, se houvesse um 
dia em que ele atendesse 50 ou mais pessoas, ele ganharia uma folga extra. Considerando que o padrão de 
atendimentos descrito se manteve, o servidor ganhou sua primeira folga extra ao final do 
A) oitavo dia de trabalho. 
B) décimo dia de trabalho. 
C) décimo segundo dia de trabalho. 
D) vigésimo dia de trabalho. 
E) vigésimo segundo dia de trabalho. 
 
Comentários: 
Vamos montar uma sequência com as informações fornecidas no enunciado. Temos que um servidor público 
atendeu uma pessoa no primeiro dia de trabalho, 𝒂𝟏 = 𝟏. No segundo dia, o servidor atendeu também uma 
pessoa, 𝒂𝟐 = 𝟏. A partir do terceiro dia, o número de pessoas atendidas é igual à soma dos dois dias 
anteriores. Por exemplo, 𝒂𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 = 𝟐. 
 
Note que a sequência cujo os dois primeiros termos são 1 e os demais termos é a soma do dois anteriores é 
uma sequência muito conhecida no meio matemático: é a sequência de Fibonacci. Lembre-se: 
 
𝐹𝑛 = {
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 1
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 2
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2, 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 3
 
 
Logo, queremos achar o primeiro termo da sequência de Fibonacci maior do que 50. Como fazemos isso? 
O jeito mais fácil é escrever todos eles! 
 
 
 
Encontramos, portanto, que ao fim do décimo dia o servidor terá atendido 55 pessoas e ganhará a sua 
primeira folga extra. 
 
Gabarito: Letra B. 
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1.3 – Progressão Aritmética 
1.3.1 – Conceito 
 
A progressão aritmética é o tipo de sequência mais comum em questões. De modo geral, é qualquer 
sequência cujo termo subsequente difere do anterior por uma constante. É mais fácil do que você está 
pensando! Vamos ver alguns exemplos para começar a destrinchar essa matéria! 
 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ) 
• (21, 14, 7, 0, −7, −14, −21, . . . ) 
• (0, 50, 100, 150, 200, 250, . . . ) 
Você é capaz de identificar os padrões das sequências acima? Todas elas são exemplos de progressões 
aritméticas. À medida que "se anda" na sequência, os termos sempre aumentam (ou diminuem) de um 
mesmo um valor. 
 
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) ⟹ Cada termo subsequente é igual ao anterior mais 1. 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ) ⟹ Cada termo subsequente é igual ao anterior mais 2. 
• (21, 14, 7, 0, −7, . . . ) ⟹ Cada termo subsequente é igual ao anterior menos 7. 
• (0, 50, 100, 150, 200, . . . ) ⟹ Cada termo subsequente é igual ao anterior mais 50. 
 
Esse número que adicionamos a cada termo é chamado de razão (𝒓). Quando a razão é positiva, nós 
dizemos que a PA é crescente, quando é negativa, dizemos que a PA é decrescente. Ademais, a razão de 
uma progressão aritmética também poderá ser igual a zero (𝑟 = 0), nesse caso, dizemos que a PA é 
constante. 
 
PA Condições 𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 
Crescente 𝑟 > 0 (2, 4, 6, 8, 10, 12, … ) 
Decrescente 𝑟 < 0 (100, 90, 80, 70, … ) 
Constante 𝑟 = 0 (5, 5, 5, 5, 5, … ) 
Um fato que eu gostaria de ressaltar com vocês é que a escolha da letra "a" para representar elementos de 
uma sequência é só uma convenção. Na prática, você poderá ver sequências representadas das mais 
diferentes maneiras, por exemplo, utilizando a letra "b" no lugar da letra "a": (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4, 𝑏5, …). 
 
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Esse tipo de notação é válido! Não tem problema algum, é ao gosto do freguês! Por isso, quando você ver 
sequências representadas com outras letras, continua sendo uma sequência e a abordagem é exatamente 
a que estamos fazendo aqui. Entendido? 
 
 
(PREF. LARANJAL PAUL/2019) A sequência numérica (50, 54, 58, 62, 66) é uma progressão do tipo: 
A) Geométrica de razão 2. 
B) Geométrica de razão 4. 
C) Aritmética de razão 2. 
D) Aritmética de razão 4. 
E) Aritmética de razão 6. 
 
Comentários: 
Apesar de não termos estudado ainda a progressão geométrica, conseguimos perceber que a sequência do 
enunciado tem a seguinte propriedade: a diferença entre qualquer um dos termos e o seu anterior é 
constante e igual a 4 (quatro). Dessa forma, temos caracterizada uma PA de razão igual a 4. 
 
Gabarito:LETRA D. 
 
(PREF. LARANJAL PAUL/2019/MOD) Assinale a alternativa que apresenta a sequência numérica que é uma 
Progressão Aritmética: 
A) (2,25; 2,5; 2,75, 3). 
B) (2; 4; 8; 16). 
C) (5,3; 5,5; 5,6; 5; 7). 
D) (6; 12; 16; 24). 
 
Comentários: 
A) CERTO. A diferença entre um termo e o seu anterior é sempre constante. 
 
 
 
Os "saltos" são sempre constantes e iguais a 0,25 (essa é a razão). Dessa forma, trata-se de uma PA. 
 
B) ERRADO. Nesse caso, a diferença entre um termo e o seu anterior não é constante. 
 
 
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C) ERRADO. Mesma justificativa da alternativa anterior. A diferença entre um termo e seu anterior não é 
constante (uma hora é 0,2 e outra hora é 0,1). Dessa forma não podemos dizer que é uma PA. 
 
 
 
D) ERRADO. Mais uma vez, a diferença entre um termo e o seu anterior não é constante. 
 
 
Gabarito: LETRA A. 
1.3.2 – Termo Geral de uma PA 
Em uma progressão aritmética de forma geral (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, … ), sempre poderemos escrever um termo 
como função da razão (𝒓) e do primeiro termo (𝒂𝟏). 
 
• 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 
• 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 ⟹ 𝑎3 = (𝑎1 + 𝑟) + 𝑟 ⟹ 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 
• 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 ⟹ 𝑎4 = (𝑎1 + 2𝑟) + 𝑟 ⟹ 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 
 
Utilizamos o fato de que, em uma PA, um determinado termo é igual ao seu anterior mais uma constante. 
Para descobrir o 𝑎5, nós só precisamos do 𝑎1 e da razão (𝑟), não sendo necessário escrever todos os termos 
da PA até o 𝒂𝟓. Imagine, por exemplo, que você quer saber o 𝑎50 da sequência (2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ). 
 
Você concorda que listar os 50 termos não seria uma tarefa bacana, né? No entanto, se você souber o 𝑎1 e 
a razão (𝑟), é possível encontrá-lo em segundos. A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é 
dada pela expressão abaixo, guarde ela bem! 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
Por exemplo, para obter o 𝑎50 da sequência (2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ), basta sabermos que 𝑎1 = 2 e 𝑟 = 2. 
 
𝑎50 = 2 + (50 − 1) ∙ 2 → 𝑎50 = 2 + 49 ∙ 2 → 𝑎50 = 100 
 
E se a razão for negativa, como fazemos? Absolutamente do mesmo jeito, não vai mudar nada. Vamos pegar 
a sequência (21, 14, 7, 0, −7, . . . ) que possui razão 𝑟 = −7 e primeiro termo 𝑎1 = 21. Veja que é uma PA 
decrescente. Qual será o 𝑎75? Da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, podemos fazer: 
 
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𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
𝑎75 = 21 + (75 − 1) ∙ (−7) → 𝑎75 = 21 − 74 ∙ 7 → 𝑎75 = −497 
 
 
(CÂMARA DOS DEPUTADOS/2014) Em determinado colégio, todos os 215 alunos estiveram presentes no 
primeiro dia de aula; no segundo dia letivo, 2 alunos faltaram; no terceiro dia, 4 alunos faltaram; no quarto 
dia, 6 alunos faltaram, e assim sucessivamente. Com base nessas informações, julgue o próximo item, 
sabendo que o número de alunos presentes às aulas não pode ser negativo. 
 
No vigésimo quinto dia de aula, faltaram 50 alunos 
 
Comentários: 
O número de faltosos aumenta conforme uma progressão aritmética de razão 2, observe: 
𝒂𝟏 = 𝟎 
𝒂𝟐 = 𝟐 
𝒂𝟑 = 𝟒 
𝒂𝟒 = 𝟔 
 
Sabemos que a fórmula do termo geral de uma PA é dada por: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Queremos calcular quantos alunos faltaram no 25º dia (𝑛 = 25). Como a razão é 2 (𝑟 = 2), então: 
 
𝑎25 = 0 + (25 − 1) ∙ 2 
 
𝑎25 = 48 
 
Logo, no 25º dia, faltaram 48 alunos. 
 
Gabarito: ERRADO 
 
(IFRR/2020) Em uma determinada Progressão Aritmética, sabe-se que a razão vale 3 e o termo 15 vale 40. 
Assinale a alternativa que indica corretamente o valor do termo 31 desta Progressão Aritmética. 
A) 16. 
B) 31. 
C) 48. 
D) 88. 
E) 96. 
 
Comentários: 
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A questão falou em progressão aritmética de razão igual a 3 e de termo 15 igual a 40. Dessa forma, 
 
𝑟 = 3 e 𝑎15 = 40 
Com essas duas informações, precisamos descobrir o 𝒂𝟑𝟏. 
 
Na minha opinião, uma solução mais simples é encontrarmos o 𝑎1 com as informações acima e, depois, 
encontrar o 𝑎31. Lembre-se que com a razão (𝒓) e o primeiro termo (𝒂𝟏), é possível encontrar qualquer 
termo da PA. 
 
𝑎15 = 𝑎1 + (15 − 1)𝑟 → 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 
 
Substituindo os valores que temos. 
 
40 = 𝑎1 + 14 ∙ 3 → 𝑎1 = 40 − 42 → 𝒂𝟏 = −𝟐 
 
Agora, com a razão (r) e o primeiro termo (𝑎1), podemos determinar o 𝑎31. 
 
𝑎31 = 𝑎1 + (31 − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎31 = 𝑎1 + 30𝑟 
 
Substituindo os valores da razão e do primeiro termo. 
 
𝑎31 = −2 + 30 ∙ 3 → 𝒂𝟑𝟏 = 𝟖𝟖 
 
Gabarito: LETRA D. 
1.3.3 – Progressão Aritmética de 3 termos 
É muito comum aparecer em provas uma progressão aritmética de 3 termos. Isso acontece pois elas possuem 
uma propriedade bem especial. Por exemplo, imagine que temos a seguinte PA: (2, 4, 6). Note que o termo 
central é a média aritmética dos outros dois! 
 
2 (𝑎1) + 6 (𝑎3)
2
= 4 (𝑎2) 
 
Isso sempre será verdade, para qualquer PA. Vou lhe mostrar o porquê. 
 
 
 
 
 
 
 
Note que o termo anterior ao termo central é igual ao termo central menos a razão. Analogamente, o termo 
posterior é o termo central mais a razão. No caso dessa PA que estamos trabalhando, a razão é igual a 2. 
Genericamente, podemos representar essa mesma situação da seguinte forma: 
 
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A média aritmética entre 𝑎1 e 𝑎3 é: 
 
𝑀 =
𝑎1 + 𝑎3
2
 
 
Substituindo 𝑎1 = 𝑎2 − 𝑟 e 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟: 
 
𝑀 =
(𝑎2 − 𝑟) + (𝑎2 + 𝑟)
2
 → 𝑀 =
2 ∙ 𝑎2
2
 → 𝑀 = 𝑎2 
 
Ora, se 𝑀 = 𝑎2, então podemos escrever que: 
𝑎2 =
𝑎1 + 𝑎3
2
 
Vamos ver na prática como saber isso pode nos ajudar? 
 
 
(PREF. LINHARES/2020) A sequência (3𝑥 − 2, 2𝑥 + 3, 5𝑥 − 8) é uma progressão aritmética de três termos. 
O valor do segundo termo dessa sequência é: 
A) 11. 
B) 10. 
C) 13. 
D) 12. 
E) 4. 
 
Comentários: 
Olha aí, moçada. Uma progressão aritmética com três termos. Vamos entendê-la. 
 
 
 
Ora, sabemos que: 
 
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𝑎2 =
𝑎1 + 𝑎3
2
 
 
Assim, substituindo pelas expressões: 
 
2𝑥 + 3 =
(3𝑥 − 2) + (5𝑥 − 8)
2
 
4𝑥 + 6 = 3𝑥 − 2 + 5𝑥 − 8 
4𝑥 + 6 = 8𝑥 − 10 
4𝑥 = 16 → 𝒙 = 𝟒 
Com o valor de 𝑥 determinado, basta substituí-lo na expressão do 𝑎2. 
 
𝑎2 = 2𝑥 + 3 → 𝑎2 = 2 ∙ 4 + 3 → 𝒂𝟐 = 𝟏𝟏 
 
Gabarito: LETRA A. 
1.3.4 – Interpolação de termos em uma PA 
Para entender o que significa interpolar, vou abrir essa teoria já com um exercício. Acredito que será mais 
fácil visualizarmos com um exemplo! 
 
 
(PREF. JAGUAPITÃ/2020) A progressão aritmética (8, … , 29) possui 6 termos entre o primeiro e o último. 
Qual é o sexto termo dessa sequência? 
A) 16. 
B) 20. 
C) 23. 
D) 29. 
 
Comentários: 
Observe que o enunciado nos forneceu dois termos e pede para determinarmos outro termo que está entre 
esses dois. Simplificadamente, isso é interpolar, tudo bem? Quando precisamos deduzir um ou mais valores 
que estão entre outros dois. Vamos resolver esse exercício para entender como devemos proceder no 
contexto das PAs. É importantíssimo notar que o enunciado falou que existem 6 termos entre o primeiro e 
o último. Assim, 
 
 
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O enunciado pede o sexto termo (𝑎6), por isso, o destaque em vermelho. 
 
Pronto, temos o problema esquematizado. Lembre-se sempre que com o primeiro termo e a razão, 
conseguimos determinar qualquer outro termo da sequência. Nós temos o primeiro termo, falta 
encontrarmos a razão dessa PA. Como fazemos isso?! Por meio da fórmula do termo geral. Sabemos o 𝑎1 e 
o 𝑎8. Assim, 
 
𝑎8 = 𝑎1 + 7𝑟 → 29 = 8 + 7𝑟 → 21 = 7𝑟 → 𝒓 = 𝟑 
 
Com o primeiro termo e a razão, conseguimos encontrar o 𝑎6. 
 
𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟 → 𝑎6 = 8 + 5 ∙ 3 → 𝑎6 = 8 + 15 → 𝒂𝟔 = 𝟐𝟑 
 
Gabarito: LETRA C. 
1.3.5 – Soma dos 𝒏 primeiros termos de uma PA 
Existe mais uma fórmula dentro do universo da progressão aritmética que é a da soma dos 𝒏 primeiros 
termos. Imagine que temos a seguinte PA: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ). Qual é a soma dos 100 primeiros termos? 
Utilizando a fórmula da soma dos 𝒏 primeiros termos de uma PA, podemos responder isso rapidamente. 
𝑆𝑛 = 
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 
Vamos tentar chegar na fórmula acima de uma maneira simplificada? Primeiro, considere 
a seguinte PA: (1, 2, 3, 4, ..., 96, 97, 98, 99, 100). É uma PA com 100 termos e razão 1. 
Agora, observe o esquema abaixo: 
 
 
 
A intenção é visualizar o seguinte: a soma do primeiro com o último termo é igual a soma 
do segundo com o penúltimo termo e assim sucessivamente. Assim, podemos escrever 
que: 
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𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎3 + 𝑎𝑛−2 = 𝑎4 + 𝑎𝑛−3 = ⋯ 
 
Quantos pares conseguiremos formar? Ora, se são 100 termos, então faremos 50 pares, 
isto é, n/2. A soma dos termos será exatamente a soma desses 50 pares, concorda? Todos 
eles valem (𝑎1 + 𝑎𝑛). Portanto, basta multiplicarmos (𝑎1 + 𝑎𝑛) por 
𝑛
2
, que é quantidade 
de pares. Assim, 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
 
Vamos utilizar a fórmula para calcular a soma da PA em análise. 
 
Substituindo na fórmula 𝑎1 = 1, 𝑎100 = 100 e 𝑛 = 100: 
 
𝑆100 = 
(𝑎1 + 𝑎100) ∙ 100
2
 
 
𝑆100 = (1 + 100) ∙ 50 
 
𝑆100 = 5050 
 
Portanto, a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . ) é 5050. 
 
 
(PREF. TAPEJARA /2019) A soma dos 50 primeiros termos da sequência numérica (−10, −5, 0, . . . ) é: 
A) 5500. 
B) 5625. 
C) 5725. 
D) 5800. 
E) 5925. 
 
Comentários: 
O enunciado quer a soma dos 50 primeiros termos. Você deve lembrar da fórmula. 
 
𝑆𝑛 = 
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 
Como são os 50 primeiros termos, temos que 𝒏 = 𝟓𝟎. Além disso, o primeiro termo da sequência é -10. 
Assim, 𝒂𝟏 = −𝟏𝟎. Portanto, falta apenas achar 𝑎50 para conseguirmos usar a fórmula. Nesse intuito, 
devemos usar: 
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𝑎50 = 𝑎1 + 49𝑟 
 
Olhando para a sequência, percebemos que a diferença entre um termo e o seu anterior é sempre igual a 
5. Logo, essa é a nossa razão (𝒓 = 𝟓). 
 
𝑎50 = −10 + 49 ∙ 5 → 𝒂𝟓𝟎 = 𝟐𝟑𝟓 
 
Pronto, temos todos os valores para usarmos a fórmula da soma. 
 
𝑆50 =
(𝑎1 + 𝑎50) ∙ 50
2
 → 𝑆50 = (−10 + 235) ∙ 25 → 𝑆50 = 225 ∙ 25 → 𝑺𝟓𝟎 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟓 
 
Gabarito: LETRA B. 
1.4 – Progressão Geométrica 
1.4.1 – Conceito 
Na parte de progressões aritméticas, vimos que elas são caracterizadas pela presença de uma razão, que 
somamos ao termo anterior para obtermos o termo subsequente. Na progressão geométrica, também 
teremos uma razão que entrará não somando o termo anterior, mas multiplicando-o! Vamos com calma! 
São exemplos de PGs as seguintes sequências: 
 
• (2, 4, 8, 16, 32, 64, … ); 
• (5, 25, 125, 625, … ); 
 
Veja que, na primeira sequência acima, cada termo subsequente é o dobro do anterior. Na segunda 
sequência, multiplicamos cada próximo termo por 5 em relação ao termo passado. Esses números que 
multiplicamos os termos são as razões de cada sequência e, no estudo das PGs, denotamos ela por 𝒒 e não 
mais por 𝒓. 
 
Podemos também pensar em uma PG em termos do quociente. Para identificarmos uma PG, podemos olhar 
para o quociente de dois termos consecutivos. Lembre-se que na PA falávamos da diferença entre dois 
termos, aqui nas progressões geométricas, falaremos de quociente. Vamos pegar, por exemplo, a PG 
(2, 4, 8, 16, 32, 64, … ). Note que: 
 
4
2
=
8
4
=
16
8
=
32
16
=
64
32
= 2 
 
Portanto, 2 é a razão dessa progressão geométrica. Genericamente, escrevemos assim, 
 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
= 𝑞 𝑜𝑢 𝑎𝑛 = 𝑞 ∙ 𝑎𝑛−1 
 
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(PREF. HONÓRIO SERPA/2019) Sobre Progressões Aritméticas e Geométricas, é correto afirmar que: 
A) Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números composta por um valor inicial e um outro valor 
fixo, que é multiplicado ao valor anterior para encontrar o próximo. 
B) Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números composta por um valor inicial e um outro valor 
fixo, que é adicionado ao valor anterior para encontrar o próximo. 
C) Não há Progressão Geométrica ou Aritmética com números negativos. 
D) Progressões Aritméticas de razão negativa geram sequências de números decrescentes. 
 
Comentários: 
A) Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números composta por um valor inicial e um outro valor 
fixo, que é multiplicado ao valor anterior para encontrar o próximo. 
ERRADO. O enunciado trocou as sequências. Na verdade, essa é a definição de progressão geométrica e não 
de progressão aritmética. 
 
B) Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números composta por um valor inicial e um outro valor 
fixo, que é adicionado ao valor anterior para encontrar o próximo. 
ERRADO. Mais uma vez, o enunciado inverteu os conceitos. Na verdade, trata-se de uma progressão 
aritmética, não de progressão geométrica, conforme afirma a alternativa. 
 
C) Não há Progressão Geométrica ou Aritmética com números negativos. 
ERRADO. Pessoal, não há problema algum existir PAs e PGs com números negativos. Inclusive, ao longo da 
aula trabalhamos com vários exemplos em que eles estarão presentes. 
 
D) Progressões Aritméticas de razão negativa geram sequências de números decrescentes. 
CERTO. Essa é verdade! Conforme vimos anteriormente, quando a razão é negativa, a PA será decrescente. 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
(PREF. JANDAIA DO SUL/2019) Assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE uma diferença entre 
progressões aritméticas e progressões geométricas. 
A) Uma progressão aritmética é composta por um termo inicial e um fator que é multiplicado várias vezes a 
este termo inicial, já em uma progressão geométrica, esse fator é somado várias vezes ao termo inicial. 
B) Uma progressão aritmética não tem fim, já uma progressão geométrica sempre converge a um valor. 
C) Em uma progressão aritmética, os elementos são formados a partir de somas de um fator, já em uma 
progressão geométrica, os elementos são formados a partir de multiplicações de um fator. 
D) A principal diferença entre uma progressão aritmética e geométrica é que a primeira possui termo inicial, 
e a segunda não. 
 
Comentários: 
Mais uma questão para reforçamos a diferença entre PA e PG. 
 
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A) Uma progressão aritmética é composta por um termo inicial e um fator que é multiplicado várias vezes a 
este termo inicial, já em uma progressão geométrica, esse fator é somado várias vezes ao termo inicial. 
ERRADO. Alternativa inverteuos conceitos de PA e PG. Fique esperto! Você deve ter começado a perceber 
que as bancas gostam de inverter as duas! 
 
B) Uma progressão aritmética não tem fim, já uma progressão geométrica sempre converge a um valor. 
ERRADO. Nada disso, pessoal. Uma PA pode ter fim, não tem nada que impeça isso. Ademais, veremos que 
nem sempre uma progressão geométrica converge a um valor. 
 
C) Em uma progressão aritmética, os elementos são formados a partir de somas de um fator, já em uma 
progressão geométrica, os elementos são formados a partir de multiplicações de um fator. 
CERTO. Dessa vez, temos os conceitos apresentados corretamente! 
 
D) A principal diferença entre uma progressão aritmética e geométrica é que a primeira possui termo inicial, 
e a segunda não. 
ERRADO. Pessoal, toda sequência numérica possuirá um termo inicial. Não há como uma sequência existir 
sem um termo inicial. 
 
Gabarito: LETRA C. 
1.4.2 – Classificação 
Para avaliar se uma progressão geométrica é crescente ou decrescente, fazemos uma análise um pouco 
mais elaborada do que fizemos nas PAs. Veja as duas PGs a seguir. 
 
I. (1, 2, 4, 8, 16, 32, … ) 
II. (−1, −2, −4, −8, −16, −32, … ) 
 
Note que a razão das sequências acima é a mesma (𝑞 = 2). No entanto, a sequência I é crescente, enquanto 
a sequência II é decrescente. Assim, uma análise apenas da razão é insuficiente para determinarmos se uma 
PG é crescente ou decrescente. E para quem devemos olhar também?! Para o primeiro termo! 
 
- Para razões maior que um (𝑞 > 1) 
➢ Se o primeiro termo for positivo (𝑎1 > 0), então a PG é crescente. 
➢ Se o primeiro termo for negativo (𝑎1 < 0), então a PG é decrescente. 
 
Agora, veja essas outras duas sequências: 
 
III. (1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, … ) 
IV. (−1, −
1
2
, −
1
4
, −
1
8
, −
1
16
) 
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Mais uma vez, as duas sequências acima possuem a mesma razão (𝑞 =
1
2
). No entanto, a sequência III é 
decrescente, enquanto a sequência IV é crescente. Mais uma vez, vamos precisar olhar para o primeiro 
termo. 
 
- Para razões entre 0 e 1 (0 < 𝑞 < 1) 
➢ Se o primeiro termo for positivo (𝑎1 > 0), então a PG é decrescente. 
➢ Se o primeiro termo for negativo (𝑎1 < 0), então a PG é crescente. 
 
E quando a razão for igual a um (𝑞 = 1)? Nesses casos, a PG será constante. Veja alguns exemplos: 
 
(1, 1, 1, 1, 1, 1, … ) 
(−5, −5, −5, −5, … ) 
 
Por fim, quando a razão for negativa (𝑞 < 0), vamos ter o que chamamos de PG alternada. Considere uma 
PG com a razão 𝑞 = −2. 
 
(1, −2, 4, −8, 16, −32, … ) 
 
Quando temos uma razão negativa a sequência ficará alternando de sinal! Vamos fazer um resumo! 
 
 
 
PG Condições 𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 
Crescente 
𝑎1 > 0 e 𝑞 > 1 (1, 2, 4, 8, 16, … ) 
𝑎1 < 0 e 0 < 𝑞 < 1 (−1, −
1
2
, −
1
4
, −
1
8
, … ) 
Decrescente 
𝑎1 > 0 e 0 < 𝑞 < 1 (1,
1
2
,
1
4
,
1
8
, … ) 
𝑎1 < 0 e 𝑞 > 1 (−1, −3, −9, −27, … ) 
Alternada 𝑞 < 0 (1, −2, 4, −8, 16, −32, … ) 
Constante 𝑞 = 1 (2, 2, 2, 2, 2, 2, … ) 
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1.4.3 – Termo Geral de uma PG 
Assim como na PA, a PG possui uma fórmula para o termo geral em função da razão (q), do primeiro termo 
(𝑎1) e da ordem (n) do termo procurado. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
Se, por acaso, você precisasse descobrir o 𝑎11 da sequência (2, 4, 8, 16, 32, 64, … ), o que faria? Obviamente, 
uma solução seria listar todos os termos até o 𝒂𝟏𝟏 sempre multiplicando o termo anterior por 2 para obter 
o termo subsequente. No entanto, você também poderia aplicar a fórmula do termo geral e descobrir de 
imediato: 
 
𝑎11 = 2 ∙ 211−1 → 𝑎11 = 2 ∙ 210 → 𝑎11 = 211 → 𝒂𝟏𝟏 = 𝟐𝟎𝟒𝟖 
 
 
(PREF. VILA VELHA/2020) Numa Progressão Geométrica, o primeiro termo da sequência é igual a 4096 e a 
razão dessa progressão é igual a 1/2. Com base nessas informações, o valor do 14º termo é: 
A) 2. 
B) 1. 
C) 1/4. 
D) 1/2. 
E) 4. 
 
Comentários: 
Questão para treinarmos a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
O enunciado nos forneceu 𝒂𝟏 = 𝟒𝟎𝟗𝟔 e 𝒒 = 𝟏/𝟐. Como estamos procurando o 14º termo, então 𝒏 = 𝟏𝟒. 
 
𝑎14 = 𝑎1 ∙ 𝑞14−1 → 𝑎14 = 𝑎1 ∙ 𝑞13 
 
Substituindo os valores. 
 
𝑎14 = 4096 ∙ (
1
2
)
13
 → 𝑎14 =
4096
213
 → 𝑎14 =
4096
8192
 → 𝒂𝟏𝟒 =
𝟏
𝟐
 
 
Gabarito: LETRA D. 
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1.4.4 – Progressão Geométrica de 3 termos 
Assim como vimos na PA, também temos uma progressão geométrica de três termos que costuma aparecer 
bastante em provas. Para resolvê-la, é preciso saber uma propriedade importante. Você lembra que na PA a 
média aritmética do primeiro e do terceiro termo é igual ao segundo termo? Pronto. Vamos buscar uma 
relação parecida aqui, mas que envolva os três termos de uma PG. Como exemplo, considere a seguinte PG. 
 
 
 
Na progressão geométrica acima, a razão é 4. Observe. 
 
 
 
Podemos também imaginá-la da seguinte forma: 
 
 
 
Note que o primeiro termo é igual ao termo central dividido pela razão. Analogamente, o terceiro termo é 
o termo central multiplicado pela razão. Vamos pegar esse raciocínio e aplicar para uma PG genérica. 
 
 
 
Vamos multiplicar o primeiro e o terceiro termo: 
 
𝑀 = 𝑎1 ∙ 𝑎3 → 𝑀 = (
𝑎2
𝑞
) ∙ (𝑎2 ∙ 𝑞) → 𝑀 = 𝑎2
2 
 
Perceba então que o produto do primeiro e do terceiro termo é igual ao quadrado do termo central! Assim, 
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𝑎2
2 = 𝑎1 ∙ 𝑎3 
Professor, esse resultado é importante mesmo? É sim, pessoal! Ele vai nos possibilitar resolver questões 
muito mais rapidamente. Observe! 
 
 
(PREF. IBIAÇÁ/2019) A sequência (𝑥 − 120; 𝑥; 𝑥 + 600) forma uma progressão geométrica. O valor de x é: 
A) 40. 
B) 120. 
C) 150. 
D) 200. 
E) 250. 
 
Comentários: 
Temos uma PG de três termos! Nesses casos, sabemos que podemos usar a seguinte relação: 
 
𝑎2
2 = 𝑎1 ∙ 𝑎3 
 
Olhando para a sequência dada, temos que: 
 
𝑎1 = 𝑥 − 120 
𝑎2 = 𝑥 
𝑎3 = 𝑥 + 600 
 
Substituindo na expressão: 
 
𝑥2 = (𝑥 − 120) ∙ (𝑥 + 600) 
 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no lado direito da equação acima, ficamos com: 
 
𝑥2 = 𝑥2 − 120𝑥 + 600𝑥 − 72000 
480𝑥 = 72000 
𝑥 =
72000
480
 → 𝒙 = 𝟏𝟓𝟎 
 
Gabarito: LETRA C. 
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24 
 
1.4.5 – Interpolação de termos em uma PG 
Você deve ter começado a perceber que há muita semelhança entre os tópicos de PA e PG. Aqui, também 
tentaremos determinar um ou mais termos entre outros dois. Um jeito bom de explicar esse tópico continua 
sendo por uma questão. Vamos lá? 
 
 
(PREF. VN DO IMIGRANTE /2016) A sequência a seguir é uma progressão geométrica decrescente composta 
por 5 termos: 
 
A soma dos três termos que preenchem corretamente as lacunas nessa sequência é igual a: 
A) 248. 
B) 264. 
C) 275. 
D) 292. 
 
Comentários: 
Moçada, temos o 𝑎1 e o 𝑎5. Queremos determinar três termos que existem entre esses dois, sabendo que a 
PG é decrescente. Dessa forma, observe o esquema abaixo. 
 
 
 
Quando estamos diante situações como essa. O primeiro passo é descobrir a razão. Lembre-se que com o 
primeiro termoe a razão, podemos encontrar qualquer termo de uma PA ou PG. Nesse intuito, vamos usar 
a fórmula do termo geral para relacionar 𝒂𝟏 e 𝒂𝟓, que são os dois valores que possuímos. 
 
𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4 → 
8
5
= 1000 ∙ 𝑞4 → 𝑞4 =
8
5000
 → 𝑞4 =
1
625
 → 𝒒 =
𝟏
𝟓
 
 
Como a razão determinada, podemos encontrar 𝑎2, 𝑎3 e 𝑎4. 
 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 → 𝑎2 = 1000 ∙ (
1
5
) → 𝒂𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 
 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2 → 𝑎3 = 1000 ∙ (
1
5
)
2
 → 𝑎3 =
1000
25
 → 𝒂𝟑 = 𝟒𝟎 
 
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𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3 → 𝑎4 = 1000 ∙ (
1
5
)
3
 → 𝑎4 =
1000
125
 → 𝒂𝟒 = 𝟖 
 
Pronto, o enunciado pede a soma desses três valores. 
 
𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 200 + 40 + 8 = 248 
 
Gabarito: LETRA A. 
Pessoal, para interpolar termos, precisamos sempre determinar a razão da progressão. Vamos fazer isso 
utilizando a fórmula do termo geral. A intenção desse tópico é apenas deixá-lo esperto para esse tipo de 
cobrança. No fundo, não envolve conhecimentos novos. É apenas uma forma de aplicarmos o que já vimos. 
Tudo bem? Vamos prosseguir então! 
1.4.6 – Soma dos termos de uma PG. 
E como faríamos para obter a soma de 𝑛 primeiros termos de uma progressão geométrica? Assim como na 
PA, também podemos somar os termos de uma PG por meio de uma fórmula. Visualize-a. 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
Essa é a fórmula da soma dos n primeiro termos de uma PG. Como exemplo, vamos calcular a soma dos 11 
primeiros termos da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, … ): 
 
Primeiro passo é identificar a razão. Veja que um termo é sempre o dobro do anterior. Assim, 𝑞 = 2. Além 
da razão, também precisamos do primeiro termo. Ao olhar para a sequência do exemplo, tiramos que 𝑎1 =
2. Como estamos procurando a soma dos 11 primeiros termos, então 𝒏 = 𝟏𝟏. Basta substituir esses valores 
na fórmula, vamos lá? 
 
𝑆11 =
2 ∙ (211 − 1)
2 − 1
 → 𝑆11 =
2 ∙ (2048 − 1)
1
 → 𝑆11 = 2 ∙ 2047 → 𝑆11 = 4094 
 
Galera, essa é a soma dos n primeiros termos. No entanto, uma sequência é tão grande quanto você queira 
e caso ela tenha infinitos termos, sob algumas condições, você poderá somar todos eles por meio de uma 
fórmula específica. Vamos detalhar isso um pouco mais. 
 
Continue considerando a PG que estávamos trabalhando: (2, 4, 8, 16, 32, 64, … ). Observe que os termos 
continuam aumentando cada vez mais, de modo que a soma dos infinitos termos certamente também dará 
um número estratosférico (infinito). 
 
Agora, imagine que estamos com a sequência (2, 1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, … ). Note que se trata de uma P.G. com razão 
𝑞 =
1
2
 . Os termos vão se tornando cada vez menores. Com isso, a soma vai tender a se "estabilizar" em um 
valor e poderemos calculá-lo. Vamos ver? 
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26 
 
 
• Soma dos dois primeiros termos: 2 + 1 = 𝟑 
• Soma dos três primeiros termos: 2 + 1 + 1/2 = 𝟑, 𝟓 
• Soma dos quatro primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
= 𝟑, 𝟕𝟓 
• Soma dos cinco primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
= 𝟑, 𝟖𝟕𝟓 
• Soma dos sete primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
= 𝟑, 𝟗𝟑𝟕𝟓 
• Soma dos oito primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
= 𝟑, 𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓 
• Soma dos nove primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
= 𝟑, 𝟗𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓 
• Soma dos dez primeiros termos: 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
= 𝟑, 𝟗𝟗𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓 
Galera, vocês conseguem perceber que nossa primeira soma foi igual a 3 e depois de somar vários outros 
termos não passamos nem do número 4? Isso porque os termos diminuem cada vez mais e mais. O limite 
da soma quando o número de termos tender ao infinito será exatamente 4. A fórmula que nos fornece esse 
valor é: 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
Essa é a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG. Ressalto que ela só será válida quando o módulo 
da razão for menor do que um, isto é, |𝒒| < 𝟏. Agora, vamos ver na prática! 
 
 
(SEFAZ-RS/2018) Sobre uma mesa há 9 caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um grão de feijão; 
depois, em outra caixa, serão colocados três grãos de feijão. Prosseguindo-se sucessivamente, será escolhida 
uma caixa vazia, e nela colocada uma quantidade de grãos de feijão igual ao triplo da quantidade colocada 
na caixa anteriormente escolhida, até que não reste caixa vazia. Nessa situação, nas 9 caixas será colocada 
uma quantidade de grãos de feijão igual a 
A) 
39−1
2
 
B)39 − 1 
C) 
310−1
2
 
D) 310 − 1 
E) 
38−3
2
 
 
Comentários: 
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Pessoal, temos 9 caixas. Na primeira caixa será colocado um único grão de feijão, depois será colocado 3 
grãos em outra, depois o triplo (9) e assim sucessivamente... Veja que está sendo formado uma sequência 
muito conhecida: 
 
(1, 3, 9, 27, 81, … ) 
 
Portanto, temos uma P.G. de razão 3. O enunciado pede a soma de todos os grãos colocados nas caixas. Em 
outras palavras, queremos a soma dos 9 primeiros termos dessa sequência (são 9 caixas). Lembre-se: 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Olhando para a sequência, tiramos que 𝑎1 = 1, 𝑞 = 3 e 𝑛 = 9. Logo, 
 
𝑆9 =
1 ∙ (39 − 1)
3 − 1
 → 𝑺𝟗 =
𝟑𝟗 − 𝟏
𝟐
 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
(CRMV-ES/2018) Marque a alternativa que apresente a soma da progressão geométrica infinita abaixo. 
 
1,
1
4
,
1
16
,
1
64
, … 
 
A) 1 
B) 
5
3
 
C) 
2
5
 
D) 
2
3
 
E) 
4
3
 
 
Comentários: 
Pessoal, questão apenas para testarmos o que vimos. O enunciado quer a soma da progressão geométrica 
infinita dada. Sabemos que a soma dos termos de uma P.G. infinita é dada por: 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
Para calcular essa soma, basta sabermos o primeiro termo (𝒂𝟏) e a razão (𝒒). Olhando para a sequência do 
enunciado, temos que 𝑎1 = 1. Além disso, a razão pode ser encontrada dividindo dois termos consecutivos: 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
1
4
1
 → 𝑞 =
1
4
 
 
Veja que |𝑞| < 1 e, portanto, a fórmula é aplicável. Substituindo os valores de 𝑎1 e 𝑞: 
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𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 → 𝑆∞ =
1
1 −
1
4
 → 𝑆∞ =
1
3
4
 → 𝑺∞ =
𝟒
𝟑
 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
 
 
Algumas vezes, a soma de termos de uma progressão aritmética ou geométrica pode vim representada por 
meio do símbolo do somatório. 
 
∑ 
 
 
 
 
Você não precisa ter medo dele. Ele existe para ajudar. Ao invés de escrevermos longas somas, podemos 
simplesmente optar por essa notação. Isso resulta em expressões mais enxutas. Por exemplo, 
 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 
 
pode ser escrita na seguinte forma. 
 
𝑆𝑛 = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 
 
A parte que fica abaixo do símbolo (𝑖 = 1) nos informa quem é o índice e seu valor inicial. Nesse caso, temos 
que o índice é o "i" e ele começará do valor "1". Por sua vez, o "𝑛", que fica na parte superior do somatório, 
indica o valor de índice que pararemos a soma. Assim, sabemos que o índice i variará de "1" até "n". 
 
Na parte central do somatório, teremos a expressão que comporá cada termo da soma. Pode ser que ainda 
esteja obscuro, mas vamos visualizar alguns exemplos. 
 
Exemplo 1: 
 
∑ 2𝑖
5
𝑖=1
= 2𝟏 + 2𝟐 + 2𝟑 + 2𝟒 + 2𝟓 
 
Note que a expressão acima pode representara soma dos 5 primeiros termos de uma PG com primeiro 
termo igual a 2 e razão igual 2. 
 
(2, 4, 8, 16, 32) 
Exemplo 2: 
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∑(1 + 𝑖)
4
𝑖=1
= (1 + 𝟏) + (1 + 𝟐) + (1 + 𝟑) + (1 + 𝟒) = 2 + 3 + 4 + 5 
 
A expressão acima pode ser interpretada como a soma dos 4 primeiros termos de uma PA com primeiro 
termo igual a 2 e razão igual 1. 
 
(2, 3, 4, 5) 
 
Exemplo 3: 
 
∑ 3−𝑖
5
𝑖=1
= 3−1 + 3−2 + 3−3 + 3−4 + 3−5 → ∑ 3−𝑖
5
𝑖=1
=
1
31
+
1
32
+
1
33
+
1
34
+
1
35
 
 
O somatório acima pode representar a soma dos 5 primeiros termos de uma PG de 𝒂𝟏 =
𝟏
𝟑
 e razão 𝒒 =
𝟏
𝟑
. 
 
(
1
3
,
1
9
,
1
27
,
1
81
,
1
243
, … ) 
 
Exemplo 4: 
 
∑
(−1)𝑖
2𝑖
∞
𝑖=1
=
(−1)1
21
+
(−1)2
22
+
(−1)3
23
+
(−1)4
24
+ ⋯ → ∑
(−1)𝑖
2𝑖
∞
𝑖=1
= −
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟖
+
𝟏
𝟏𝟔
− ⋯ 
 
O somatório acima pode representar a soma infinita de uma PG com 𝒂𝟏 = −
𝟏
𝟐
 e 𝒒 = −
𝟏
𝟐
. 
 
(−
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟒
, −
𝟏
𝟖
,
𝟏
𝟏𝟔
, … ) 
 
Certo, aprendi que esses somatórios podem representar soma de termos de uma progressão aritmética ou 
geométrica. Mas, e aí professor? 
 
Pessoal, se esses somatórios podem representar somas de progressões aritméticas ou geométricas, então 
podemos calculá-los usando as fórmulas que aprendemos. Por exemplo, se você perceber que o somatório 
pode representar a soma de 𝑛 termos de uma PG, para calculá-lo, você poderá utilizar a fórmula: 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Com isso, vamos tentar tirar do somatório apenas os valores de 𝒂𝟏 e 𝒒, para depois aplicarmos na fórmula 
em uma fórmula que já conhecemos. 
 
 
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(CRM-MT/2020) Seja a progressão geométrica definida pela sucessão de termos infinitos do somatório 
∑
4
5𝑖
∞
𝑖=0 . Assinale a alternativa que indica corretamente o valor para o qual essa série converge. 
A) 1 
B) 3 
C) 5 
D) 7 
 
Comentários: 
O enunciado fala de progressão geométrica e de termos infinitos. A fórmula que deve vir imediatamente a 
cabeça é: 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
Ademais, ele também falou de um somatório. 
 
∑
4
5𝑖
∞
𝑖=0
=
4
50
+
4
51
+
4
52
+
4
53
+ ⋯ → ∑
4
5𝑖
∞
𝑖=0
=
4
1
+
4
5
+
4
25
+
4
125
+ ⋯ 
 
 
O enunciado já nos falou que essa soma representa a soma de uma PG. Assim, o primeiro termo dessa 
sequência é 𝒂𝟏 = 𝟒. Para encontrar a razão, podemos dividir dois termos consecutivos. 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
4
5
4
 → 𝑞 =
1
5
 
 
Agora, é só aplicarmos a fórmula da soma infinita da PG. 
 
𝑆∞ =
4
1 −
1
5
 → 𝑆∞ =
4
4
5
 → 𝑆∞ = 5 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
1.4.7 – Produto dos 𝒏 primeiros termos de uma PG 
Nesse tópico, esticaremos um pouco a baladeira para ficarmos 100% preparados para a prova. No estudo da 
PG, existe uma fórmula que não possui semelhante no estudo da PA. Além da soma, também existe o 
produto dos 𝑛 primeiros termos! 
𝑃𝑛 = 𝑎1
𝑛 ∙ 𝑞
𝑛(𝑛−1)
2 
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Você deve estar interessado em saber como chegamos na fórmula acima. Considere a 
PG: (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … ). Queremos saber o produto nos 𝑛 primeiros termos. Lembre-
se: 
 
𝑎1 = 𝑎1 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3 
... 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
O produto dos 𝑛 primeiros termos é: 
 
𝑃𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎𝑛 
 
Substituindo: 
 
𝑃𝑛 = 𝑎1 ∙ (𝑎1 ∙ 𝑞) ∙ (𝑎1 ∙ 𝑞2) ∙ (𝑎1 ∙ 𝑞3) … ∙ (𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1) 
 
𝑃𝑛 = 𝑎1
𝑛 ∙ 𝑞1+2+3+⋯+(𝑛−1) 
 
Lembre-se que o produto de potências de mesma base, nós conservamos a base e 
somamos os expoentes. Ademais, a soma 1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑛 − 1) pode ser 
interpretada como a soma dos (𝒏 − 𝟏) termos de uma PA. Assim, podemos usar a 
fórmula que vimos lá em PA para calcular essa soma. 
 
𝑆𝑛 = 
(𝑎1+𝑎𝑛)∙𝑛
2
 → 𝑆𝑛 =
(1+(𝑛−1))(𝑛−1)
2
 → 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑛−1)
2
 
 
Pronto! Esse é o resultado daquela soma no expoente do 𝑞. 
 
𝑷𝒏 = 𝒂𝟏
𝒏 ∙ 𝒒
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐 
 
Pessoal, essa é a forma mais comum de apresentar o produto dos n primeiros termos de 
uma PG. No entanto, existe uma fórmula "mais apresentável": 
 
𝑃𝑛 = (𝑎1. 𝑎𝑛)
𝑛
2 
 
Ela é obtida manipulando algebricamente a expressão que já deduzimos. Qualquer uma 
delas vai oferecer o mesmo resultado para o produto, tudo bem? 
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(ESFCEX/2021) Considere uma progressão geométrica em que o primeiro termo é igual a 1 e a razão é igual 
a √2. Sabendo-se que o produto dos termos dessa progressão é 218 e que 𝑃𝑛 = (𝑎1. 𝑎𝑛)𝑛/2, então o número 
de termos dessa progressão é igual a 
A) 8. 
B) 9. 
C) 7. 
D) 6. 
E) 12. 
 
Comentários: 
O enunciado nos forneceu as seguintes informações: 
 
𝑎1 = 1 
𝑞 = √2 
𝑃𝑛 = 218 
 
Como o enunciado pede o número de termos dessa progressão, ele está nos perguntando quem é 𝑛. Veja 
que temos o primeiro termo e a razão, uma fórmula melhor para trabalhar seria: 
 
𝑷𝒏 = 𝒂𝟏
𝒏 ∙ 𝒒
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐 
 
Caso não se lembrasse, você poderia substituir 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 na expressão fornecida no enunciado, que 
obteria a mesma coisa! Faça o teste! 
 
218 = 1𝑛 ∙ (√2)
𝑛(𝑛−1)
2 
 
Como √2 = 2
1
2, fazemos: 
 
218 = 2
(
1
2
)∙
𝑛(𝑛−1)
2 → 218 = 2(𝑛2−𝑛)/4 
 
De equações exponenciais, sabemos que quando temos a mesma base, podemos igualar os expoentes. 
 
18 =
𝑛2 − 𝑛
4
 → 𝑛2 − 𝑛 = 72 → 𝑛2 − 𝑛 − 72 = 0 
 
Precisamos resolver essa equação de segundo. Devemos usar Bhaskara. 
 
- Cálculo do Discriminante (∆) 
 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆ = (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−72) → ∆= 1 + 288 → ∆ = 𝟐𝟖𝟗 
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- Cálculo das raízes (𝑛1 e 𝑛2) 
 
𝑛 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
𝑛1 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 → 𝑛1 =
−(−1) − √289
2 ∙ 1
 → 𝑛1 =
1 − 17
2
 → 𝑛1 = −8 
 
𝑛2 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
 → 𝑛2 =
−(−1) + √289
2 ∙ 1
 → 𝑛2 =
1 + 17
2
 → 𝑛2 = 9 
 
A raiz negativa não tem sentido para nós, uma vez que estamos querendo saber o número de termos da 
progressão (é necessariamente um número maior que zero). Assim, apenas a raiz positiva nos interessa. 
 
𝒏 = 𝟗 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
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RESUMO 
Informações Relevantes 
• Podemos criar inúmeras sequências, cada uma com padrões distintos. Na hora dos exercícios, devemos 
buscar identificar esse padrão e fazer as conclusões pertinentes. 
• No Raciocínio Sequencial, as sequências cobradas são as mais variadas possíveis. No entanto, o 
conhecimento de algumas pode facilitar bastante a hora da resolução. 
• Existem algumas sequências que são famosas, como a sequência de Fibonacci. A partir do terceiro termo, 
cada termo é formado pela soma dos dois anteriores. 
 
𝑆𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖 = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … ) 
 
• A Progressão Aritmética é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. 
 
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝐴 (1) = (0, 2, 4, 6, 8,10, 12, … ) 
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝐴 (2) = (100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, … ) 
 
• A Progressão Geométrica é uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante. 
 
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝐺(1) = (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … ) 
_______________________________________________________________________________________ 
Formulário 
Sequência de Fibonacci 
 
𝐹𝑛 = {
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 1
1, 𝑠𝑒 𝑛 = 2
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2, 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 3
 𝐹𝑛 = 
(1+√5)
𝑛
− (1−√5)
𝑛
2𝑛√5
 
 
 Termo Geral de uma PA Soma dos n primeiros termos de uma PA 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 𝑆𝑛 = 
(𝑎1+𝑎𝑛)∙𝑛
2
 
 
 Termo Geral de uma PG Soma dos n primeiros termos de uma PG 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 𝑆𝑛 =
𝑎1∙(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
 
 
 Soma de uma PG infinita (|𝑞| < 1): 𝑆∞ =
𝑎1
1−𝑞
 
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QUESTÕES COMENTADAS 
CESGRANRIO 
Progressão Aritmética 
 
1. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética 
são expressos por 𝒙 + 𝟏, 𝒙𝟐 + 𝟒 𝐞 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa 
progressão aritmética é igual a 
A) 260 
B) 265 
C) 270 
D) 275 
E) 280 
 
Comentários: 
Temos três termos consecutivos de uma PA. 
 
𝑎4 = 𝑥 + 1 
𝑎5 = 𝑥2 + 4 
𝑎6 = 2𝑥2 + 3 
 
Sabemos que o termo central é a média aritmética dos termos extremos. Assim, 
 
𝑎5 =
𝑎4 + 𝑎6
2
 
 
Substituindo pelas expressões do enunciado: 
 
𝑥2 + 4 =
(𝑥 + 1) + (2𝑥2 + 3)
2
 
 
Multiplicando cruzado. 
 
2 ∙ (𝑥2 + 4) = 2𝑥2 + 𝑥 + 4 
 
Usando a propriedade distributiva da multiplicação no lado esquerdo. 
 
2𝑥2 + 8 = 2𝑥2 + 𝑥 + 4 
 
Cortando o "𝟐𝒙𝟐" que aparece em ambos os lados. 
 
𝑥 + 4 = 8 → 𝑥 = 4 
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Determinamos o valor de 𝑥, então sabemos quem é cada um dos termos. 
 
𝑎4 = 𝑥 + 1 → 𝑎4 = 4 + 1 → 𝒂𝟒 = 𝟓 
𝑎5 = 𝑥2 + 4 → 𝑎5 = 42 + 4 → 𝑎5 = 16 + 4 → 𝒂𝟓 = 𝟐𝟎 
𝑎6 = 2𝑥2 + 3 → 𝑎6 = 2 ∙ 42 + 3 → 𝑎6 = 2 ∙ 16 + 3 → 𝒂𝟔 = 𝟑𝟓 
 
Observe que a razão da PA é igual a 15. 
 
𝑟 = 𝑎5 − 𝑎4 = 20 − 5 = 15 
 
Só para confirmar, poderíamos fazer também 
 
𝑟 = 𝑎6 − 𝑎5 = 35 − 20 = 15 
 
Com a razão, conseguimos encontrar o primeiro termo dessa PA, basta usarmos a fórmula do termo geral. 
 
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 
 
Sabemos que 𝒂𝟒 = 𝟓 e que 𝒓 = 𝟏𝟓. 
 
5 = 𝑎1 + 3 ∙ 15 → 5 = 𝑎1 + 45 → 𝑎1 = −40 
 
O enunciado pergunta a soma dos dez primeiros termos. Por esse motivo, precisamos do 𝑎10. 
 
𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑟 → 𝑎10 = −40 + 9 ∙ 15 → 𝑎10 = −40 + 135 → 𝒂𝟏𝟎 = 𝟗𝟓 
 
Agora sim podemos usar a fórmula da soma dos 𝑛 primeiros termos. 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 → 𝑆10 =
(𝑎1 + 𝑎10) ∙ 10
2
 → 𝑆10 = (−40 + 95) ∙ 5 → 𝑺𝟏𝟎 = 𝟐𝟕𝟓 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
2. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Em uma progressão aritmética, o décimo termo é o quádruplo do 
terceiro. Se o sétimo termo é igual a 19, então o segundo termo é igual a 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
Comentários: 
O enunciado disse que o décimo termo é o quádruplo do terceiro. Assim, 
 
𝑎10 = 4 ∙ 𝑎3 
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Usando que 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑟 e que 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟, podemos substituir na expressão acima. 
 
𝑎1 + 9𝑟 = 4 ∙ (𝑎1 + 2𝑟) 
 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no lado direito. 
 
𝑎1 + 9𝑟 = 4𝑎1 + 8𝑟 
 
Isolando 𝒂𝟏 no lado esquerdo e a razão 𝒓 do lado direito, resulta em: 
 
3𝑎1 = 𝑟 → 𝑎1 =
𝑟
3
 (1) 
 
Agora, devemos usar a segunda informação que o enunciado nos deu: o sétimo termo é igual a 19. 
 
𝑎7 = 𝑎1 + 6𝑟 → 𝑎1 + 6𝑟 = 19 (2) 
 
Usando (1) em (2): 
 
𝑟
3
+ 6𝑟 = 19 → 
𝑟 + 18𝑟
3
= 19 → 
19𝑟
3
= 19 → 𝒓 = 𝟑 
 
Podemos determinar o 𝑎1 também, substituindo o valor da razão em (1). 
 
𝑎1 =
𝑟
3
 → 𝑎1 =
3
3
 → 𝒂𝟏 = 𝟏 
 
Pronto. Obtemos 𝒂𝟏 e 𝒓, podemos encontrar qualquer termo da PA. O enunciado quer o 𝑎2. 
 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 → 𝑎2 = 1 + 3 → 𝒂𝟐 = 𝟒 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
3. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Considere uma progressão aritmética, em que 𝒂𝟖 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝟔, e a 
soma dos 10 primeiros termos dessa sequência é igual a 330. Assim, a razão dessa progressão é igual a 
A) 6 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
E) 13 
 
Comentários: 
O enunciado disse que 𝒂𝟖 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝟔. Podemos usar a fórmula do termo geral, 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟, para 
escrever essa mesma expressão em termos de 𝑎1 e 𝑟. Note que: 
 
𝑎8 = 𝑎1 + 7𝑟 
𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟 
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𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 
 
Fazendo a substituição na expressão do enunciado. 
 
(𝑎1 + 7𝑟) = (𝑎1 + 𝑟) + (𝑎1 + 5𝑟) 
 
𝑎1 + 7𝑟 = 2𝑎1 + 6𝑟 
 
Deixando tudo que tem 𝒂𝟏 do lado esquerdo e tudo que tem 𝒓 do lado direito. 
 
𝑎1 = 𝑟 (1) 
 
Ademais, o enunciado revelou que a soma dos 10 primeiros termos é igual a 330. 
 
𝑆10 =
(𝑎1 + 𝑎10) ∙ 10
2
 
 
Vamos utilizar que 𝑺𝟏𝟎 = 𝟑𝟑𝟎 e que 𝒂𝟏𝟎 = 𝒂𝟏 + 𝟗𝒓. 
 
[𝑎1 + (𝑎1 + 9𝑟)] ∙ 10
2
= 330 → (2𝑎1 + 9𝑟) ∙ 5 = 330 
 
Dividindo os dois lados da equação por 5 (o famoso passando o "5" dividindo), ficamos com: 
 
2𝑎1 + 9𝑟 = 66 (2) 
 
As equações (1) e (2) formam um sistema de duas equações e duas incógnitas, podemos resolvê-lo. 
 
Substituindo (1) em (2). 
 
2𝑟 + 9𝑟 = 66 → 11𝑟 = 66 → 𝒓 = 𝟔 
 
Encontramos a razão da PA! Podemos marcar o gabarito, letra A. 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
4. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) O número de passageiros que uma empresa de transporte aéreo 
tem transportado para uma petroleira vem diminuindo, segundo o padrão apresentado na tabela a seguir: 
 
Ano 
Número de passageiros 
transportados por ano 
2014 10.000 
2015 9.600 
2016 9.200 
2017 8.800 
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Supondo-se que esse padrão se mantenha, a previsão para a quantidade total de passageiros 
transportados por essa empresa, no período de 2014 a 2025, contando-se com os anos 2014 e 2025, será 
igual a 
A) 86.400 
B) 93.600 
C) 103.800 
D) 172.800 
E) 187.200 
 
Comentários: 
Pessoal, a cada ano o número de passageiros transportados cai 400. Assim, temos uma PA decrescente cuja 
razão é 𝒓 = −𝟒𝟎𝟎. Atente-se ao sinal!! Queremos a quantidade total de passageiros, transportados durante 
o período de 2014 a 2025. Vamos modificar um pouco a tabela do enunciado. 
 
𝑎𝑛 Ano 
Número de passageiros 
transportados por ano 
𝑎1 2014 10.000 
𝑎2 2015 9.600 
𝑎3 2016 9.200 
𝑎4 2017 8.800 
𝑎5 2018 8.400 
𝑎6 2019 8.000 
𝑎7 2020 7.600 
𝑎8 2021 7.200 
𝑎9 2022 6.800 
𝑎10 2023 6.400 
𝑎11 2024 6.000 
𝑎12 2025 5.600 
 
Vamos precisar somar tudo isso? Não, nós podemos usar a fórmula da soma dos 𝒏 primeiros termos para 
obter a quantidadetotal de passageiros de uma forma mais direta. É importante notar que o período de 
2014 a 2025 envolve 12 anos, quando contamos também os anos 2014 e 2025. Assim, 
 
𝑆12 =
(𝑎1 + 𝑎12) ∙ 12
2
 → 𝑆12 = (10.000 + 5.600) ∙ 6 → 𝑆12 = 15.600 ∙ 6 → 𝑺𝟏𝟐 = 𝟗𝟑. 𝟔𝟎𝟎 
 
Logo, a quantidade de passageiros transportados pela empresa, no período considerado, será de 93.600. 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
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5. (CESGRANRIO/BB/2018) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por 𝒂𝒏, para 𝒏 ≥
𝟏. Sabe-se que 𝒂𝟏 = 𝟎 e que a sequência cujo termo geral é 𝒃𝒏 = 𝒂𝒏+𝟏– 𝒂𝒏, 𝒏 ≥ 𝟏, é uma progressão 
aritmética cujo primeiro termo é 𝒃𝟏 = 𝟗 e cuja razão é igual a 4. O termo 𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎 é igual a 
A) 2.002.991 
B) 2.002.995 
C) 4.000.009 
D) 4.009.000 
E) 2.003.000 
 
Comentários: 
O enunciado falou que (𝑏𝑛) representa uma progressão aritmética em que 𝑏1 = 9 e 𝑟 = 4. Ademais, disse 
que podemos escrever o termo geral dessa PA como função de uma outra sequência (𝑎𝑛). 
 
𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 
 
Com isso, podemos escrever que: 
 
𝑏1 = 𝒂𝟐 − 𝑎1 
 
𝑏2 = 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 
 
𝑏3 = 𝑎4 − 𝒂𝟑 
 
… …. 
 
𝑏𝑛−1 = 𝒂𝒏 − 𝑎𝑛−1 
 
𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝒂𝒏 
 
Observe que em uma equação vamos ter, por exemplo, o 𝑎2 e em outra o " − 𝑎2". Você concorda que 
quando somarmos todas essas equações, esses vários pares que aparecem do lado direito vão se anular? 
No final, vamos ter uma expressão bem enxuta. Que tal fazermos isso?! 
 
𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ + 𝑏𝑛 = (𝑎2 − 𝑎1) + (𝑎3 − 𝑎2) + (𝑎4 − 𝑎3) + ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1) + (𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛) 
 
Do lado esquerdo temos a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma PA e do lado direito sobrou 𝑎𝑛−1 e −𝑎1. 
 
(𝑏1 + 𝑏𝑛) ∙ 𝑛
2
= 𝑎𝑛−1 − 𝑎1 
 
O enunciado informou que 𝑎1 = 0. 
 
𝑎𝑛+1 =
(𝑏1 + 𝑏𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 
Queremos determinar 𝑎1000. Assim, devemos usar 𝑛 = 999. 
 
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𝑎999+1 = 𝑎1000 =
(𝑏1 + 𝑏999) ∙ 999
2
 
 
É possível encontrar 𝑏999 pois sabemos o primeiro termo e a razão da PA. 
 
𝑏999 = 𝑏1 + 998 ∙ 𝑟 
 
Substituindo 𝑏1 = 9 e 𝑟 = 4. 
 
𝑏999 = 9 + 998 ∙ 4 → 𝑏999 = 9 + 3.992 → 𝑏999 = 4.001 
 
Voltando para a expressão que encontramos: 
 
𝑎1000 =
(𝑏1 + 𝑏999) ∙ 999
2
 → 𝑎1000 =
(9 + 4.001) ∙ 999
2
 → 𝑎1000 =
4010 ∙ 999
2
 
 
 
→ 𝑎1000 = 2005 ∙ 999 → 𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟐. 𝟗𝟗𝟓 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
6. (CESGRANRIO/BB/2018) Para obter uma amostra de tamanho 1.000 dentre uma população de tamanho 
20.000, organizada em um cadastro em que cada elemento está numerado sequencialmente de 1 a 20.000, 
um pesquisador utilizou o seguinte procedimento: 
 
I - calculou um intervalo de seleção da amostra, dividindo o total da população pelo tamanho da amostra: 
20.000/1.000 = 20; 
 
II - sorteou aleatoriamente um número inteiro, do intervalo [1, 20]. O número sorteado foi 15; desse modo, 
o primeiro elemento selecionado é o 15º; 
 
III - a partir desse ponto, aplica-se o intervalo de seleção da amostra: o segundo elemento selecionado é o 
35º (15+20), o terceiro é o 55º (15+40), o quarto é o 75º (15+60), e assim sucessivamente. 
 
O último elemento selecionado nessa amostra é o 
A) 19.997º 
B) 19.995º 
C) 19.965º 
D) 19.975º 
E) 19.980º 
 
Comentários: 
O primeiro elemento selecionado é o 15º. Assim, vamos escrever que: 
 
𝑎1 = 15 
 
Depois, o segundo elemento selecionado é o 35. Logo, 
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𝑎2 = 35 
 
Depois disso, o terceiro elemento é o 55º. 
 
𝑎3 = 55 
 
Conseguimos perceber que esses elementos formam uma PA cuja razão é igual a 20. Como a amostra tem 
1.000 elementos, conseguimos usar o termo geral para calcular o último elemento dessa sequência. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 
𝑎1000 = 15 + 999 ∙ 20 
 
𝑎1000 = 15 + 19.980 
 
𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟗. 𝟗𝟗𝟓 
 
Logo, o último elemento selecionado nessa amostra é o 19.995º. 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
7. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é 𝑺𝒏, 
então a expressão 𝑺𝒏+𝟑 − 𝟑𝑺𝒏+𝟐 + 𝟑𝑺𝒏+𝟏 − 𝑺𝒏 equivale a 
A) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 
B) 𝑛(𝑛 + 1) 
C) 𝑆𝑛 
D) 𝑆𝑛+1 
E) 0 
 
Comentários: 
Pessoal, veja que o enunciado pede um resultado bem geral. Desse modo, o resultado da expressão deve 
ser válido para qualquer PA. Vamos escolher uma? 
 
{2, 4, 8, 10, 12, 14, 16} 
 
Considere a PA acima. A expressão do enunciado é: 
 
𝐸 = 𝑆𝑛+3 − 3𝑆𝑛+2 + 3𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 
 
Se 𝑛 = 2, então: 
 
𝐸 = 𝑆5 − 3𝑆4 + 3𝑆4 − 𝑆2 
 
Da nossa PA, temos que: 
 
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 2 + 4 = 6 
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𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 2 + 4 + 8 = 14 
 
𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 2 + 4 + 8 + 10 = 24 
 
𝑆5 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 2 + 4 + 8 + 10 + 12 = 36 
 
Assim, vamos substituir na expressão. 
 
𝐸 = 𝑆5 − 3𝑆4 + 3𝑆4 − 𝑆2 
 
𝐸 = 36 − 3 ∙ 24 + 3 ∙ 14 − 6 
 
𝐸 = 36 − 72 + 42 − 6 
 
𝐸 = 78 − 78 
 
𝐸 = 0 
 
Portanto, o resultado da expressão é 0. Como exercício, pense em uma nova progressão aritmética e repita 
os cálculos que fizemos aqui. A expressão continuará resultando em 0. 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
8. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Considere 𝒏 números inteiros, ímpares, positivos e diferentes, 
representados por 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, tais que a soma ∑ 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + . . . + 𝒂𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Qual é o 
maior valor possível para 𝒏? 
A) 99 
B) 100 
C) 1000 
D) 4999 
E) 5000 
 
Comentários: 
Pessoal, devemos perceber que para "n" assumir o maior valor possível, esses números (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … ) devem 
ser os menores possíveis. Assim, precisamos de mais números para que, quando somados, resultem em 
10000. Com isso, quais são os menores números ímpares, positivos e diferentes que conseguimos pensar? 
 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … ) 
 
Dessa forma, essa sequência de ímpares é uma progressão aritmética de razão igual a 2. 
 
𝑎1 = 1 
𝑟 = 2 
 
O e-nésimo termo dessa PA é dado por: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
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𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∙ 2 
 
𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛 − 2 
 
𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 
 
Sabemos que a soma dos termos dessa PA é igual a 10.000. Assim, 
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 
Substituindo 𝑆𝑛 = 10000, 𝑎1 = 1 𝑒 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1: 
 
[1 + (2𝑛 − 1)] ∙ 𝑛
2
= 10000 
 
Multiplicando cruzado. 
 
[1 + (2𝑛 − 1)] ∙ 𝑛 = 20000 
 
Resolvendo dentro dos parênteses e colchetes: 
 
2𝑛2 = 20000 
 
Dividindo os dois lados por 2. 
 
𝑛2 = 10.000 
 
Tirando a raiz quadrada. 
 
𝑛 = ±100 
 
Como estamos falando de número de termos, devemos considerar apenas o resultado positivo. 
 
𝑛 = 100 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Em uma progressão aritmética de 5 termos e primeiro termo 5, a 
soma dos quadrados dos três primeiros termos é igual à soma dos quadrados dos dois últimos termos. O 
maior valor possível para o último termo dessa progressão aritmética é 
A) 5,5 
B) 6 
C) 6,5 
D) 7 
E) 7,5 
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Comentários: 
O enunciado fala em uma PA de 5 termos, em que𝑎1 = 5. Assim, podemos imaginar algo do tipo: 
 
(5, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) 
 
Se é uma progressão aritmética, podemos escrever essa mesma sequência da seguinte forma: 
 
(5, (5 + 𝑟), (5 + 2𝑟), (5 + 3𝑟), (5 + 4𝑟)) 
 
𝑟 representa a razão da PA. 
 
Como o enunciado diz que a soma dos quadrados dos três primeiros termos é igual à soma dos quadrados 
dos dois últimos termos, podemos escrever que: 
 
52 + (5 + 𝑟)2 + (5 + 2𝑟)2 = (5 + 3𝑟)2 + (5 + 4𝑟)2 
 
Lembre-se que (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2. Vamos usar isso nos binômios acima. 
 
25 + (52 + 2 ∙ 5 ∙ 𝑟 + 𝑟2) + (52 + 2 ∙ 5 ∙ 2𝑟 + (2𝑟)2) = (52 + 2 ∙ 5 ∙ 3𝑟 + (3𝑟)2) + (52 + 2 ∙ 5 ∙ 4𝑟 + (4𝑟)2) 
 
25 + 25 + 10𝑟 + 𝑟2 + 25 + 20𝑟 + 4𝑟2 = 25 + 30𝑟 + 9𝑟2 + 25 + 40𝑟 + 16𝑟2 
 
25 + 30𝑟 + 5𝑟2 = 70𝑟 + 25𝑟2 
 
20𝑟2 + 40𝑟 − 25 = 0 
 
Para simplificar a equação, podemos dividir os dois lados por 5. 
 
4𝑟2 + 8𝑟 − 5 = 0 
 
Encontramos uma equação de segundo grau. Para resolvê-la, vamos usar Bhaskara. 
 
- Cálculo do Discriminante (∆) 
 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆ = 82 − 4 ∙ 4 ∙ (−5) → ∆ = 64 + 80 → ∆ = 144 
 
- Cálculo da Raiz (𝑛) 
 
𝑟 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 → 𝑟 =
−8 ± √144
2 ∙ 4
 → 𝑟 =
−8 ± 12
8
 → 𝑟 =
−2 ± 3
2
 
 
𝑟1 = −
5
2
 → 𝒓𝟏 = −𝟐, 𝟓 
 
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𝑟2 =
1
2
 → 𝒓𝟐 = 𝟎, 𝟓 
 
Encontramos dois valores possíveis para a razão! Como estamos procurando pelo maior valor possível de 
último termo, temos que considerar a razão com valor positivo (𝑟 = 0,5). Assim, o maior termo é o 𝒂𝟓. 
 
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 → 𝑎5 = 5 + 0,5 ∙ 4 → 𝑎5 = 5 + 2 → 𝒂𝟓 = 𝟕 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
10. (CESGRANRIO/EPE/2014) A sequência (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, . . . , 𝒂𝟐𝟎) é uma progressão aritmética de 20 termos, 
na qual 𝒂𝟖 + 𝒂𝟗 = 𝒂𝟓 + 𝒂𝟑 + 𝟏𝟖𝟗. A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa 
ordem, é igual a 
A) 19 
B) 21 
C) 91 
D) 171 
E) 399 
 
Comentários: 
O enunciado quer a diferença entre o último e o primeiro termo dessa PA. Logo, estamos procurando: 
 
𝐸 = 𝑎20 − 𝑎1 
 
Da fórmula do termo geral da PA, podemos escrever que: 𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟. 
 
𝐸 = (𝑎1 + 19𝑟) − 𝑎1 → 𝐸 = 19𝑟 
 
Portanto, precisamos determinar a razão dessa sequência. 
 
Para isso, vamos utilizar a informação passada pelo enunciado. 
 
𝑎8 + 𝑎9 = 𝑎5 + 𝑎3 + 189 
 
(𝑎1 + 7𝑟) + (𝑎1 + 8𝑟) = (𝑎1 + 4𝑟) + (𝑎1 + 2𝑟) + 189 
 
2𝑎1 + 15𝑟 = 2𝑎1 + 6𝑟 + 189 
 
9𝑟 = 189 → 𝑟 =
189
9
 → 𝑟 = 21 (1) 
 
Agora, basta substituirmos o valor da razão em (𝟏). 
 
𝐸 = 19𝑟 → 𝐸 = 19 ∙ 21 → 𝑬 = 𝟑𝟗𝟗 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
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11. (CESGRANRIO/BNDES/2013) Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença 
entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma progressão 
aritmética finita que possui 
A) 67 termos 
B) 33 termos 
C) 28 termos 
D) 23 termos 
E) 21 termos 
 
Comentários: 
Sabemos o primeiro termo (𝒂𝟏 = 𝟓), o último termo (𝒂𝒏 = 𝟕𝟏) e a razão (𝒓 = 𝟑) da progressão aritmética. 
Portanto, conseguimos determinar "𝑛" por meio da fórmula do termo geral. Vejamos. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
71 = 5 + (𝑛 − 1) ∙ 3 
 
Vamos passar o "5" para o lado esquerdo e fazer a subtração correspondente. 
 
66 = (𝑛 − 1) ∙ 3 
 
Agora, vamos passar o "3" dividindo. 
 
𝑛 − 1 = 22 
 
Isolando o "𝑛". 
 
𝑛 = 23 
 
Portanto, a progressão em análise possui 23 termos. 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
Progressão Geométrica 
 
12. (CESGRANRIO/BASA/2018) Considere a sequência numérica cujo termo geral é dado por 𝒂𝒏 = 𝟐𝟏−𝟑𝒏, 
para 𝒏 ≥ 𝟏. Essa sequência numérica é uma progressão 
A) geométrica, cuja razão é 1/8 
B) geométrica, cuja razão é -6. 
C) geométrica, cuja razão é -3. 
D) aritmética, cuja razão é -3. 
E) aritmética, cuja razão é 1/8 
 
Comentários: 
O enunciado deu uma fórmula bem estranha para o termo geral. Vamos substituir alguns valores de 𝒏 para 
determinar os termos dessa PG. 
 
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- Para 𝑛 = 1: 
 
𝑎1 = 21−3∙1 → 𝑎1 = 21−3 → 𝑎1 = 2−2 → 𝑎1 =
1
22
 → 𝒂𝟏 =
𝟏
𝟒
 
 
- Para 𝑛 = 2: 
 
𝑎2 = 21−3∙2 → 𝑎2 = 21−6 → 𝑎2 = 2−5 → 𝑎2 =
1
25
 → 𝒂𝟐 =
𝟏
𝟑𝟐
 
 
- Para 𝑛 = 3: 
 
𝑎3 = 21−3∙3 → 𝑎3 = 21−9 → 𝑎3 = 2−8 → 𝑎3 =
1
28
 → 𝒂𝟑 =
𝟏
𝟐𝟓𝟔
 
 
- Para 𝑛 = 4: 
 
𝑎4 = 21−3∙4 → 𝑎4 = 21−12 → 𝑎4 = 2−11 → 𝑎4 =
1
211
 → 𝒂𝟒 =
𝟏
𝟐𝟎𝟒𝟖
 
 
Observe que temos uma sequência com a seguinte forma: 
 
(
1
4
,
1
32
,
1
256
,
1
2048
, … ) 
 
Está com uma "carazona" de progressão geométrica, não é verdade? Para confirmar, vamos ver se a razão 
entre termos consecutivos é constante. 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
1
32
1
4
=
4
32
=
1
8
 
 
Devemos achar o mesmo resultado para: 
 
𝑞 =
𝑎3
𝑎2
=
1
256
1
32
=
32
256
=
1
8
 
 
Portanto, veja que realmente temos uma progressão geométrica cuja razão é 1/8. Podemos marcar letra A. 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
13. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Sabe-se que, em uma determinada progressão geométrica, a razão 
é 0,8. Se o quinto termo é 4.096; então, o Limite da Soma dos n primeiros dessa P.G., quando n tende a 
infinito, é igual a 
A) 10.000 
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B) 20.000 
C) 30.000 
D) 40.000 
E) 50.000 
 
Comentários: 
Em outras palavras, o enunciado nos informou sobre uma progressão geométrica infinita. Note que a razão 
dela é tal que |𝑞| < 1. Nessas condições, podemos aplicar a fórmula que vimos na teoria. 
 
𝑺∞ =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
 (1) 
 
A fórmula acima nos fornece a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica com razão |𝑞| < 1. 
 
Para calcular a soma pedida, nós precisamos do 𝒂𝟏. No entanto, o enunciado nos disse o 𝑎5. Para determinar 
o 𝑎5, podemos usar a fórmula do termo geral. 
 
𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4 → 𝑎1 =
𝑎5
𝑞4
 
 
Substituindo 𝒂𝟓 = 𝟒. 𝟎𝟗𝟔 e 𝒒 = 𝟎, 𝟖 =
𝟖
𝟏𝟎
, ficamos com: 
 
𝑎1 =
4.096
(
8
10)
4 → 𝑎1 =
4.096
84
10.000
 → 𝑎1 =
4.096
4.096
∙ 10.000 → 𝑎1 = 10.000 
 
Pronto, agora vamos substituir em (1). 
 
𝑆∞ =
10.000
1 − 0,8
 → 𝑆∞ =
10.000
0,2
 → 𝑺∞ = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim, podemos marcar a alternativa E. 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
14. (CESGRANRIO/BB/2018) Para 𝒙 > 𝟎, seja 𝑺𝒙 a soma 
 
𝑺𝒙 = ∑ 𝟐−𝒏𝒙
+∞
𝒏=𝟏
= 𝟐−𝒙 + 𝟒−𝒙 + 𝟖−𝒙 + ⋯ 
 
O número real 𝒙 para o qual se tem 𝑺𝒙 =
𝟏
𝟒
. 
A) 4 
B) log2 5 
C) 3/2 
D) 5/2 
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E) log2 3 
 
Comentários: 
Galera, não se preocupem com o símbolo do somatório. Veja que o enunciado deu a soma: 
 
𝑆𝑥 = 2−𝑥 + 4−𝑥 + 8−𝑥 + ⋯ 
 
Sempre que vocês se depararem com uma soma infinita, vale a pena lembrar de uma PG. Lembre-se que na 
PG infinita com |𝑞| < 1, temos uma fórmula bem legal para calcular a soma de infinitos números. 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
Vamos associar os elementos da soma do enunciadoaos termos de uma PG. 
 
𝑎1 = 2−𝑥 → 𝑎1 =
1
2𝑥
 
 
𝑎2 = 4−𝑥 → 𝑎2 =
1
4𝑥
 
 
𝑎3 = 8−𝑥 → 𝑎3 =
1
8𝑥
 
 
A razão 𝑞 é dada por: 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
(
1
4𝑥)
(
1
2𝑥)
 → 𝑞 =
2𝑥
4𝑥
 → 𝑞 = (
2
4
)
𝑥
 → 𝑞 = (
1
2
)
𝑥
 → 𝑞 =
1
2𝑥
 
 
Agora, podemos substituir 𝑎1 =
1
2𝑥 e 𝑞 =
1
2𝑥 na fórmula da soma dos infinitos termos da PG. 
 
𝑆∞ =
1
2𝑥
1 −
1
2𝑥
 → 𝑆∞ =
1
2𝑥 − 1
 
 
O enunciado disse que o valor dessa soma é igual a 1/4. 
 
1
2𝑥 − 1
=
1
4
 
 
Multiplicando cruzado. 
 
2𝑥 − 1 = 4 → 2𝑥 = 5 
 
Nessa situação, precisamos aplicar log nos dois lados para descer o expoente. 
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log2 2𝑥 = log2 5 → 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
15. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2017) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é 
dada por: 
𝑺𝒏 =
𝟑𝒏+𝟒 − 𝟖𝟏
𝟐 ∙ 𝟑𝒏
 
 
Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica? 
A) 1 
B) 3 
C) 27 
D) 39 
E) 40 
 
Comentários: 
O enunciado falou em uma PG. A única informação que temos é que a soma dos 𝒏 termos iniciais é igual a: 
 
𝑺𝒏 =
𝟑𝒏+𝟒 − 𝟖𝟏
𝟐 ∙ 𝟑𝒏
 
 
Queremos saber o quarto termo da sequência, ou seja, 𝑎4. 
 
Para isso, quero que você perceba uma coisa: 
 
𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 
 
Mas, 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 
 
𝑆4 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑) + 𝑎4 
 
𝑆4 = 𝑺𝟑 + 𝑎4 
 
Reorganizando, 
 
𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 
 
Observe que, naturalmente, o quarto termo da sequência é a subtração entre 𝑺𝟒 e 𝑺𝟑. 
 
- Para 𝑛 = 3: 
 
𝑆3 =
33+4 − 81
2 ∙ 33
 → 𝑆3 =
37 − 81
2 ∙ 27
 → 𝑆3 =
2187 − 81
54
 → 𝑆3 =
2106
54
 → 𝑆3 = 39 
 
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- Para 𝑛 = 4: 
 
𝑆4 =
34+4 − 81
2 ∙ 34
 → 𝑆4 =
38 − 81
2 ∙ 81
 → 𝑆4 =
6561 − 81
162
 → 𝑆4 =
6480
162
 → 𝑆4 = 40 
 
Logo, 
 
𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 → 𝑎4 = 40 − 39 → 𝒂𝟒 = 𝟏 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
16. (CESGRANRIO/BASA/2015) Uma sequência de números reais tem seu termo geral, 𝒂𝒏, dado por 𝒂𝒏 =
𝟒 ∙ 𝟐𝟑𝒏+𝟏, para 𝒏 ≥ 𝟏. Essa sequência é uma progressão 
A) geométrica, cuja razão é igual a 2. 
B) geométrica, cuja razão é igual a 32. 
C) aritmética, cuja razão é igual a 3. 
D) aritmética, cuja razão é igual a 1. 
E) geométrica, cuja razão é igual a 8. 
 
Comentários: 
Pessoal, nessa situação, vamos substituir valores de 𝒏 para encontrar os termos dessa sequência. 
 
𝒂𝒏 = 𝟒 ∙ 𝟐𝟑𝒏+𝟏 
 
Para 𝑛 = 1, temos que: 
 
𝑎1 = 4 ∙ 23∙1+1 → 𝑎1 = 4 ∙ 24 → 𝒂𝟏 = 𝟔𝟒 
 
Para 𝑛 = 2, temos que: 
 
𝑎2 = 4 ∙ 23∙2+1 → 𝑎1 = 4 ∙ 27 → 𝒂𝟐 = 𝟓𝟏𝟐 
 
Para 𝑛 = 3, temos que: 
 
𝑎3 = 4 ∙ 23∙3+1 → 𝑎3 = 4 ∙ 210 → 𝒂𝟑 = 𝟒. 𝟎𝟗𝟔 
 
Com os três primeiros termos, já conseguimos perceber que não temos uma progressão aritmética, pois a 
diferença entre os termos não é constante. Assim, certamente temos uma PG. Para determinar a razão, 
podemos fazer: 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
512
64
= 8 
 
Pronto, observe que temos uma progressão geométrica de razão igual a 8. Podemos marcar a letra E. 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
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17. (CESGRANRIO/BR/2015) Considere a progressão geométrica finita (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, . . . , 𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝟏𝟐), na qual o 
primeiro termo vale metade da razão e 𝒂𝟕 = 𝟔𝟒 ∙ 𝒂𝟒. O último termo dessa progressão é igual a 
A) 212 
B) 216 
C) 222 
D) 223 
E) 234 
 
Comentários: 
O enunciado quer o último termo da progressão geométrica dada, ou seja, 𝑎12. Para determiná-lo, 
precisaremos encontrar o 𝑎1 e a razão 𝑞. Se o primeiro termo vale metade da razão, podemos escrever que: 
 
𝑎1 =
𝑞
2
 (1) 
 
Além disso, o enunciado informou que 𝒂𝟕 = 𝟔𝟒 ∙ 𝒂𝟒. Lembre-se que: 
 
𝑎7 = 𝑎1 ∙ 𝑞6 
 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3 
 
Usando essas expressões na relação dada no enunciado, ficamos com: 
 
𝑎1 ∙ 𝑞6 = 64 ∙ 𝑎1 ∙ 𝑞3 
 
𝑞6 = 64 ∙ 𝑞3 
 
𝑞3 = 64 → 𝑞 = √64
3
 → 𝑞 = 4 
 
Pronto, temos a razão da PG. Como o primeiro termo é metade desse valor, 
 
𝑎1 =
4
2
 → 𝑎1 = 2 
 
Com o primeiro termo e a razão, conseguimos determinar qualquer termo dessa progressão geométrica. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
O último termo é tal que 𝒏 = 𝟏𝟐, vamos substituir os valores que temos. 
 
𝑎12 = 2 ∙ 412−1 → 𝑎12 = 2 ∙ 411 → 𝑎12 = 2 ∙ (22)11 → 𝑎12 = 2 ∙ 222 → 𝒂𝟏𝟐 = 𝟐𝟐𝟑 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
18. (CESGRANRIO/BR/2015) Considere 𝒂𝒏 e 𝒃𝒏 os termos gerais de duas progressões geométricas, cujas 
razões são 4 e 1/2, respectivamente. Tem-se, portanto, que 𝒄𝒏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 é o termo geral de uma 
progressão geométrica cuja razão é igual a 
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A) 8 
B) 9/2 
C) 2 
D) 1/2 
E) 1/8 
 
Comentários: 
Se 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 são os termos gerais de duas progressões geométricas, podemos escrever: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑎
𝑛−1 
 
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞𝑏
𝑛−1 
 
O enunciado falou que as razões são 𝒒𝒂 = 𝟒 e 𝒒𝒃 =
𝟏
𝟐
. Vamos substituir esses valores nas expressões acima. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 4𝑛−1 
 
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ (
1
2
)
𝑛−1
 
 
Temos também uma outra progressão geométrica cujo termo geral é 𝒄𝒏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏. Assim, 
 
𝑐𝑛 = (𝑎1 ∙ 4𝑛−1) ∙ (𝑏1 ∙ (
1
2
)
𝑛−1
) → 𝑐𝑛 = (𝑎1 ∙ 𝑏1) ∙ (
4
2
)
𝑛−1
 → 𝑐𝑛 = (𝑎1 ∙ 𝑏1) ∙ 2𝑛−1 
 
Compare a expressão que obtemos acima com a expressão do termo geral de uma PG. 
 
𝑐𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
Bem parecido, né? Quando fazemos uma comparação entre as duas expressões, podemos tirar que: 
 
𝑐1 = 𝑎1𝑏1 
𝑞 = 2. 
Gabarito: LETRA C. 
 
19. (CESGRANRIO/BASA/2013) A sequência 𝒂𝒏, 𝒏 ∈ ℕ é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 
𝒂𝟏 = −𝟐 e cuja razão é 𝒓 = 𝟑. Uma progressão geométrica, 𝒃𝒏, é obtida a partir da primeira, por meio da 
relação 
 
𝒃𝒏 = 𝟑𝒂𝒏 , 𝒏 ∈ ℕ 
 
Se 𝒃𝟏 e 𝒒 indicam o primeiro termo e a razão dessa progressão geométrica, então 
𝒒
𝒃𝟏
 vale 
A) 243. 
B) 3. 
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C) 1/243. 
D) −2/3. 
E) −27/6. 
 
Comentários: 
Questão bacana! Ela trabalha tanto com as progressões aritméticas quanto com as progressões geométricas. 
Ótima para treino. Se 𝒂𝒏, 𝒏 ∈ ℕ é uma progressão aritmética, então podemos escrever: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Vamos substituir 𝒂𝟏 = −𝟐 e 𝒓 = 𝟑. 
 
𝑎𝑛 = −2 + (𝑛 − 1) ∙ 3 
 
Usando a propriedade distributiva da multiplicação. 
 
𝑎𝑛 = −2 + 3𝑛 − 3 
 
𝑎𝑛 = 3𝑛 − 5 
 
Assim, o termo geral da progressão geométrica 𝑏𝑛 do enunciado fica: 
 
𝑏𝑛 = 3𝑎𝑛 → 𝑏𝑛 = 33𝑛−5 → 𝑏𝑛 =
33𝑛
35
 → 𝒃𝒏 =
𝟑𝟑𝒏
𝟐𝟒𝟑
 
 
Agora, podemos substituir valores para 𝒏 e descobrir quais são os termos dessa PG. 
 
- Para 𝑛 = 1: 
 
𝑏1 =
33∙1
243
 → 𝑏1 =
33
243
 → 𝑏1 =
27
243
 → 𝒃𝟏 =
𝟏
𝟗
 
 
- Para 𝑛 = 2: 
 
𝑏2 =
33∙2
243
 → 𝑏2 =
36
243
 → 𝑏2 =
729
243
 → 𝒃𝟐 = 𝟑 
 
Com 𝑏1 e 𝑏2 já conseguimos determinar a razão dessa PG. 
 
𝑞 =
𝑏2
𝑏1
 → 𝑞 =
3
1
9
 → 𝒒 = 𝟐𝟕O enunciado pediu o valor de 𝒒/𝒃𝟏. 
 
𝑞
𝑏1
=
27
1
9
= 243 
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Gabarito: LETRA A. 
 
20. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Seja a progressão geométrica: √𝟓, √𝟓
𝟑
, √𝟓
𝟔
, … O quarto termo dessa 
progressão é: 
A) 0 
B) −1/56 
C) 1/59 
D) 1 
E) 5 
 
Comentários: 
Pessoal, antes de começar a resolver o exercício, gostaria de fazer uma breve revisão com vocês. Essa 
questão envolve manipulações de raízes. Lembre-se, da nossa aula de operações básicas, que: 
 
 
 
Escrever uma raiz na forma de uma potência com expoente fracionário pode facilitar bastante os cálculos, 
pois aí poderemos usar com algumas propriedades conhecidas. Relembre algumas: 
 
P1) 𝑎𝑥 ⋅ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 
P2) 
𝑎𝑥
𝑎𝑦
= 𝑎𝑥−𝑦 
P3) (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥⋅𝑦 
P4) 𝑎0 = 1. 
 
Agora, vamos para a questão! O enunciado forneceu alguns termos de uma progressão geométrica e quer 
que encontremos o 𝒂𝟒. Para isso, precisamos determinar a razão da PG. 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
√5
3
√5
 → 𝑞 =
5
1
3
5
1
2
 → 𝑞 = 5
1
3
−
1
2 → 𝑞 = 5−
1
6 
 
Agora, devemos usar a fórmula do termo geral para determinar o 𝑎4. 
 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3 → 𝑎4 = √5 ∙ (5−
1
6)
3
 → 𝑎4 = √5 ∙ 5−
3
6 → 𝑎4 = √5 ∙ 5−
1
2 
 
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Podemos simplificar um pouco mais, note que √𝟓 = 𝟓
𝟏
𝟐. Assim, 
 
𝑎4 = 5
1
2 ∙ 5−
1
2 → 𝑎4 = 5
1
2
−
1
2 → 𝑎4 = 50 → 𝒂𝟒 = 𝟏 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
21. (CESGRANRIO/BNDES/2011) A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão 
tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12. 
Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica? 
A) 1 
B) 3 
C) 6 
D) 9 
E) 12 
 
Comentários: 
Sabemos que a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica cuja razão é tal que |𝑞| < 1 é dada 
pela seguinte fórmula: 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
A primeira informação que temos é que o resultado dessas soma é igual a 6. Assim, 
 
𝑎1
1 − 𝑞
= 6 → 𝑎1 = 6 − 6𝑞 → 𝑎1 + 6𝑞 = 6 (1) 
 
A segunda informação é que a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12. Ou seja, 
 
𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2 + 𝑎4
2 + ⋯ = 12 
 
A sequência formada por (𝒂𝟏
𝟐, 𝒂𝟐
𝟐, 𝒂𝟑
𝟐, 𝒂𝟒
𝟐, … ) também é uma PG. Para convencer vocês disso, vou tentar 
mostrar um exemplo prático. Considere a seguinte sequência: 
 
(1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, … ) 
 
É uma PG infinita com 𝒒 =
𝟏
𝟐
. Agora, vamos criar uma outra sequência em que cada um dos termos seja o 
quadrado do termo correspondente na sequência acima. 
 
(12, (
1
2
)
2
, (
1
4
)
2
, (
1
8
)
2
, (
1
16
)
2
, … ) 
 
(1,
1
4
,
1
16
,
1
64
,
1
256
, … ) 
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Observe que a sequência resultante é também uma PG com razão 𝒒 = (
𝟏
𝟐
)
𝟐
=
𝟏
𝟒
. 
 
Como (𝑎1
2, 𝑎2
2, 𝑎3
2, 𝑎4
2, … ) é também uma PG, podemos usar a fórmula da soma infinita. 
 
A sequência formada pelos quadrados possui primeiro termo igual a 𝒂𝟏
𝟐 e razão 𝒒𝟐. Assim, 
 
𝑆∞ =
𝑎1
2
1 − 𝑞2
 
 
Como o enunciado falou que o resultado dessa soma é 12, temos que: 
 
𝑎1
2
1 − 𝑞2
= 12 → 𝑎1
2 + 12𝑞2 = 12 (2) 
 
Queremos determinar o primeiro termo, 𝑎1. Para isso, vamos isolar 𝑞 em (1) e substituir em (2). 
 
𝑎1 + 6𝑞 = 6 → 𝑞 =
6 − 𝑎1
6
 
 
Substituindo em (2): 
 
𝑎1
2 + 12 ∙ (
6 − 𝑎1
6
)
2
= 12 
 
𝑎1
2 + 12 ∙
(36 − 12𝑎1 + 𝑎1
2)
36
= 12 
 
𝑎1
2 +
(36 − 12𝑎1 + 𝑎1
2)
3
= 12 
 
3𝑎1
2 + 36 − 12𝑎1 + 𝑎1
2
3
= 12 
 
4𝑎1
2 − 12𝑎1 + 36 = 36 
 
4𝑎1
2 − 12𝑎1 = 0 → 4𝑎1
2 = 12𝑎1 → 𝑎1
2 = 3𝑎1 → 𝒂𝟏 = 𝟑 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
22. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para 
que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? 
A) −9 
B) −5 
C) −1 
D) 1 
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E) 9 
 
Comentários: 
Devemos somar um número, digamos 𝒙, a cada um dos números do enunciado. O resultado disso deve ser 
uma progressão geométrica de três termos. 
𝑎1 = 1 + 𝑥 
𝑎2 = 5 + 𝑥 
𝑎3 = 7 + 𝑥 
 
Em uma PG de três termos, sabemos que o termo central é a média geométrica dos outros dois. Assim, 
 
𝑎2 = √𝑎1 ∙ 𝑎3 
 
Substituindo as expressões. 
 
(5 + 𝑥) = √(1 + 𝑥)(7 + 𝑥) 
 
Elevando ao quadrado os dois lados. 
 
(5 + 𝑥)2 = (1 + 𝑥)(7 + 𝑥) 
 
25 + 10𝑥 + 𝑥2 = 7 + 𝑥 + 7𝑥 + 𝑥2 
 
25 + 10𝑥 + 𝑥2 = 7 + 8𝑥 + 𝑥2 
 
2𝑥 = −18 → 𝑥 = −9 
 
Logo, o número que estamos procurando é −𝟗. 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
23. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) A série alternada, apresentada a seguir, converge absolutamente. 
 
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
−
𝟏
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟑𝟐
+ ⋯ 
 
Seu valor é de 
A) 1/2 
B) 1/3 
C) 1/4 
D) 1/5 
E) 1/6 
 
Comentários: 
Pessoal, veja que temos uma soma infinita. Do que lembramos? De progressão geométrica!! Vamos ordenar 
cada um dos termos dessa soma! 
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(
1
2
, −
1
4
,
1
8
, −
1
16
,
1
32
, … ) 
 
Se a sequência é alternada, devemos ter uma razão negativa. Para encontrá-la, basta fazermos: 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
(−
1
4)
(
1
2)
 → 𝑞 = −
2
4
 → 𝒒 = −
𝟏
𝟐
 
 
Note que |𝒒| < 𝟏, assim, podemos usar aquela fórmula: 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
Substituindo 𝑎1 =
1
2
 e 𝑞 = −
1
2
. 
 
𝑆∞ =
1
2
1 − (−
1
2)
 → 𝑆∞ =
1
2
1 +
1
2
 → 𝑆∞ =
1
2
3
2
 → 𝑺∞ =
𝟏
𝟑
 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
24. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) Qual a soma dos 5 primeiros termos da sequência geométrica 5, 10, 
...? 
A) 77,5 
B) 80 
C) 155 
D) 160 
E) 635 
 
Comentários: 
O enunciado falou em progressão geométrica e forneceu dois termos consecutivos. É possível achar a razão. 
 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
 → 𝑞 =
10
5
 → 𝑞 = 2 
 
Com a razão e o primeiro termo, conseguimos calcular a soma dos 5 primeiros termos. Lembre-se: 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Usando 𝑎1 = 5, 𝑞 = 2 e 𝑛 = 5: 
 
𝑆5 =
5 ∙ (25 − 1)
2 − 1
 → 𝑆5 = 5 ∙ (32 − 1) → 𝑆5 = 5 ∙ 31 → 𝑺𝟓 = 𝟏𝟓𝟓 
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Gabarito: LETRA C. 
 
Sequências Numéricas 
 
25. (CESGRANRIO/BB/2012) Uma sequência numérica infinita (𝒆𝟏, 𝒆𝟐, 𝒆𝟑, . . . , 𝒆𝒏, . . . ) é tal que a soma dos 
n termos iniciais é igual a 𝒏𝟐 + 𝟔𝒏. O quarto termo dessa sequência é igual a 
A) 9 
B) 13 
C) 17 
D) 32 
E) 40 
 
Comentários: 
A sequência nos deu uma sequência infinita. A única informação que temos é que a soma dos 𝒏 termos 
iniciais é igual a 𝑺𝒏 = 𝒏𝟐 + 𝟔𝒏. Queremos saber o quarto termo da sequência, ou seja, 𝑒4. 
 
Para isso, quero que você perceba uma coisa primeiro: 
 
𝑆4 = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + 𝑒4 
 
Mas, 𝑆3 = 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 
 
𝑆4 = (𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑) + 𝑒4 
 
𝑆4 = 𝑺𝟑 + 𝑒4 
 
Reorganizando, 
 
𝑒4 = 𝑆4 − 𝑆3Observe que, naturalmente, o quarto termo da sequência é a subtração entre 𝑺𝟒 e 𝑺𝟑. 
 
- Para 𝑛 = 3: 
 
𝑆3 = 32 + 6 ∙ 3 → 𝑆3 = 9 + 18 → 𝑆3 = 27 
 
- Para 𝑛 = 4: 
 
𝑆4 = 42 + 6 ∙ 4 → 𝑆4 = 16 + 24 → 𝑆3 = 40 
 
Logo, 
 
𝑒4 = 𝑆4 − 𝑆3 → 𝑒4 = 40 − 27 → 𝒆𝟒 = 𝟏𝟑 
 
Gabarito: LETRA B. 
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26. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2011) Uma sequência é formada de tal modo que o seu primeiro termo 
é 20 e seu vigésimo termo é 11. Além disso, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à média 
aritmética de todos os termos que o antecedem. Determine o segundo termo dessa sequência. 
A) 2 
B) 11 
C) 15,5 
D) 20 
E) 31 
 
Comentários: 
Temos uma sequência (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎19, 𝑎20). O enunciado falou que 𝒂𝟏 = 𝟐𝟎 e 𝒂𝟐𝟎 = 𝟏𝟏. 
 
Além disso, nos disse que, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à média aritmética de todos os 
termos que o antecedem. Assim, por exemplo, 
 
𝑎3 =
𝑎1 + 𝑎2
2
 → 𝑎1 + 𝑎2 = 2𝑎3 (1) 
 
Ademais, 
 
𝑎4 =
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
3
 (2) 
 
Substituindo (1) em (2) 
 
𝑎4 =
2𝑎3 + 𝑎3
3
 → 𝑎4 =
3𝑎3
3
 → 𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 (3) 
 
Opa, encontramos que 𝑎4 = 𝑎3. Vamos estudar mais essa sequência. 
 
𝑎5 =
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4
4
 
 
Usando (1) e (3): 
 
𝑎5 =
2𝑎3 + 𝑎3 + 𝑎3
4
 → 𝑎5 =
4𝑎3
4
 → 𝒂𝟓 = 𝒂𝟑 
 
Assim, 𝑎3 = 𝑎4 = 𝑎5. 
 
Minha intenção ao fazer essas contas é mostrar para vocês que, a sequência que o enunciado construiu é tal 
que 𝒂𝟑 = 𝒂𝟒 = 𝒂𝟓 = 𝒂𝟔 = ⋯ = 𝒂𝟏𝟗 = 𝒂𝟐𝟎. Voltando na expressão (1), podemos reescrevê-la. 
 
𝑎2 = 2𝑎3 − 𝑎1 → 𝑎2 = 2𝑎20 − 𝑎1 → 𝑎2 = 2 ∙ 11 − 20 → 𝑎2 = 22 − 20 → 𝒂𝟐 = 𝟐 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
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27. (CESGRANRIO/BR/2010) Determinado sistema especialista apresenta a sequência lógica a seguir. 
 
𝟑, 𝟏𝟐, 𝟑𝟑, 𝟕𝟐, 𝟏𝟑𝟓, 𝟐𝟐𝟖 
 
Qual o próximo número dessa sequência? 
A) 331 
B) 357 
C) 418 
D) 421 
E) 816 
 
Comentários: 
O enunciado nos forneceu uma sequência que precisamos descobrir o padrão. 
 
Perceba que os "incrementos dos incrementos" são múltiplos de 6, começando pelo 12. Assim, o próximo 
incremento aumentará de 36. 
 
Logo, o próximo termo será: 
 
𝑋 = 228 + 129 → 𝑿 = 𝟑𝟓𝟕 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
28. (CESGRANRIO/IBGE/2006) Na sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é: 
A) 28 
B) 29 
C) 30 
D) 31 
E) 32 
 
Comentários: 
𝟑, 𝟏𝟐, 𝟑𝟑, 𝟕𝟐, 𝟏𝟑𝟓, 𝟐𝟐𝟖 
+9 +21 +39 +63 +93 
+12 +18 +24 +30 
𝟑, 𝟏𝟐, 𝟑𝟑, 𝟕𝟐, 𝟏𝟑𝟓, 𝟐𝟐𝟖, 𝑋 
+9 +21 +39 +63 +93 
+12 +18 +24 +30 +36 
93 + 36 
= +𝟏𝟐𝟗 
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Temos que descobrir o padrão da sequência fornecida. 
 
Veja que sempre vamos somando uma unidade a mais. Assim, o número que sucede o 22 é: 
 
𝑋 = 22 + 7 → 𝑿 = 𝟐𝟗 
 
Gabarito: LETRA B. 
Outras Bancas 
VUNESP 
 
29. (VUNESP/PM-SP/2020) Na sequência de números: 4, 8, 6, 12, 10, 20, 18, 36, 34, ..., o primeiro termo 
que é maior do que 100 é o número 
a) 122. 
b) 126. 
c) 132. 
d) 136. 
 
Comentários: 
A primeira coisa que podemos notar na sequência dada, é que alguns termos são o dobro do anterior. 
 
 
 
Observe ainda que o número que multiplicamos por dois é duas unidades menor do que o seu anterior. 
 
 
 
Seguindo essa lógica, podemos completar a sequência para achar o primeiro termo que é maior do que 100. 
 
𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟔, 𝟐𝟐, X 
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 
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Gabarito: LETRA C 
 
30. (VUNESP/FITO/2020) Considere a sequência de números naturais: 
 
(𝟑𝟎, 𝟑𝟓, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟑𝟓, . . . ) 
 
A diferença entre o 14º e o 11º termos dessa sequência é 
a) 165. 
b) 170. 
c) 175. 
d) 180. 
e) 185. 
 
Comentários: 
Observe que só temos números "bonitos". Se pegarmos a diferença entre um termo e o seu anterior, é 
possível notar que essa diferença aumenta 5 unidades ao longo da sequência. Desse modo, 
 
 
 
Pronto, desvendamos o segredo. Agora, é só seguir o padrão até encontrarmos o 11º e o 14º termos. 
 
 
 
 
 
Obtemos 𝑎11 = 305 e 𝑎14 = 485, ao fazer a diferença entre os dois: 
 
𝑎14 − 𝑎11 = 485 − 305 = 𝟏𝟖𝟎 
 
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Gabarito: LETRA D 
 
31. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Na sequência: 32, 64, 48, 96, 72, 144, 108, …, o primeiro termo que é 
um número ímpar é o 
a) 9º termo. 
b) 10º termo. 
c) 11º termo. 
d) 12º termo. 
e) 13º termo. 
 
Comentários: 
Primeiramente, podemos notar a sequência possui pares de números em que um é o dobro do outro. 
 
 
 
Agora, devemos achar o que está ligando os pares. A diferença entre o último número do par e o primeiro 
começa com 16, depois vai para 24, depois para 36.... Observe: 
 
 
 
O número que estamos subtraindo é exatamente a metade do primeiro termo do "par". Observe, 
 
• 16 = 32 ÷ 2 
• 24 = 48 ÷ 2 
• 36 = 72 ÷ 2 
 
Portanto, para achar o número que devemos subtrair devemos olhar para o primeiro termo do "par" e pegar 
a sua metade. 
 
 
• 54 = 108 ÷ 2 
• 81 = 162 ÷ 2 
 
Gabarito: LETRA C 
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32. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Os sete primeiros algarismos de uma senha bancária são 6412521. Os 
oito algarismos dessa senha podem ser separados, na ordem em que aparecem, em números de 2 ou 3 
algarismos, formando um padrão único e justificado nos oito algarismos. Dessa forma, o último algarismo 
dessa senha é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
Comentários: 
Essa questão pode ser um pouco capiciosa! Primeiramente, perceba que temos uma senha de 8 números, 
mas só temos "acesso" aos 7 primeiros dígitos. 
 
 
 
Queremos descobrir o oitavo e último dígito. Para notar o padrão da sequência, teríamos que estar bem 
afiados, lembrando que: 
 
• 43 = 64 
• 53 = 125 
 
Logo, a tendência é que o próximo número seja 𝟔𝟑. 
 
 
Como 63 = 216, então 𝑋 = 6. 
 
Gabarito: LETRA D 
 
33. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Antônio Carlos elaborou uma senha contendo 12 elementos 
alfanuméricos, intercalados. Para tanto, ele utilizou um padrão, em que 11 dos 12 elementos da senha são 
apresentados a seguir: 
 
𝒂𝟒𝒛𝟓𝒃𝟖? 𝟕𝒄𝟎𝒙𝟗 
 
O elemento desconhecido dessa senha, indicado por ?, é a letra 
a) t. 
b) u. 
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c) v. 
d) w. 
e) y. 
 
Comentários: 
A sequência do enunciado é a seguinte: 
 
Perceba que temos uma letra, depois um número, depois uma letra, depois um número. Ou seja, letras e 
números estão intercalados. Além disso, o primeiro elemento da senha é a letra "a", a primeira letra do 
alfabeto. Depois, ele coloca o número 4. 
 
A próxima letra é a última do alfabeto: "z"! Temos mais um número e depois a segunda letra do alfabeto: 
"b". A tendência aqui é que a próxima letra seja o y, pois, enquanto temos uma sequência de letras que está 
"subindo":a, b, c... Também temos uma "descendo": z, y, x... 
 
 
Gabarito: LETRA E 
 
34. (VUNESP/UFABC/2019) Considere a seguinte sequência, que inicia pelo número 128 e em que todos 
os seus elementos são números de três algarismos: 
 
𝟏𝟐𝟖, 𝟐𝟎𝟗, 𝟑𝟎𝟏, 𝟑𝟏𝟒, 𝟑𝟓𝟕, 𝟒𝟑𝟎, 𝟒𝟑𝟒, 𝟒𝟕𝟖, 𝟓𝟔𝟐, 𝟓𝟖𝟕, … 
 
O maior elemento dessa sequência é 
a) 937. 
b) 948. 
c) 951. 
d) 962. 
e) 990. 
 
Comentários: 
A primeira coisa que recomendo é subtrair cada termo do seu anterior imediato e verificar como estão 
subindo e/ou descendo. Vamos fazer a mesma coisa aqui. 
 
 
 
Observe que loucura. Cada termo sobe uma quantidade diferente do seu anterior de modo que, a primeira 
vista, não existe padrão algum na sequência. No entanto, veja a maldade da banca! 
 
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O número que vamos somar é criado a partir do termo a que iremos somá-lo! Por exemplo, no primeiro 
termo, veja que somamos 81 ao número 128. Por quê? Pois 8 é o último digito de 128 e 1 é o primeiro dígito 
de 128. Assim, "formamos" o 81. 
 
O resultado dessa soma foi o 209. Que número somamos ao 209? Ora, seguindo essa lógica, somaremos o 
92, pois o 9 é o último dígito de 209 e o 2 é o primeiro. Seguindo essa lógica, vamos continuar até achar o 
último termo (o mais próximo de 1000 possível, pois os números da sequência só possuem 3 algarismos. 
 
 
 
Gabarito: LETRA A 
 
35. (VUNESP/UNIFAI/2019) A diferença entre o 18º e o 16º termos da sequência de números naturais (10, 
20, 30, 41, 52, 64, 76, 89, . . .) é igual a 
a) 32. 
b) 33. 
c) 34. 
d) 35. 
e) 36. 
 
Comentários: 
A primeira coisa que devemos fazer é verificar o quanto cada termo aumenta/diminui em relação ao seu 
anterior. Observe: 
 
 
 
Dessa vez, o padrão da sequência apareceu de uma maneira bem imediata. Veja que ele começa adicionado 
10 e faz isso duas vezes, depois adiciona 11 duas vezes, depois adiciona 12 duas vezes... A tendência é que 
ele adicione 13 duas vezes, 14 duas vezes e assim sucessivamente. Com isso em mente, podemos, sem 
muito trabalho, descobrir o 16º e 18º termos. 
 
 
 
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Como o enunciado pede a diferença entre os dois termos, devemos fazer: 
 
𝑎18 − 𝑎16 = 244 − 209 = 𝟑𝟓 
 
Gabarito: LETRA D 
 
36. (VUNESP/CM Tatuí/2019) Em uma sala estão 100 pessoas. Essas pessoas sairão da sala em etapas. O 
número de pessoas que sairão em cada etapa, e nessa ordem, serão: 1, 2, 3, 4, e assim sucessivamente. 
Pela primeira vez, após uma determinada etapa, restarão na sala menos do que 50 pessoas. Nessa 
situação, o número de pessoas que ainda estão na sala é igual a 
a) 48. 
b) 47. 
c) 45. 
d) 44. 
e) 41. 
 
Comentários: 
Beleza! Pelo que a questão fala, primeiro uma pessoa vai sair da sala, depois vão sair duas, depois vão sair 
três e assim sucessivamente. Queremos saber quantas pessoas estarão na sala quando essa quantidade for, 
pela primeira vez, menor do que 50. 
 
Como os números são pequenos, dá pra fazer na mão e conseguimos achar o resultado sem muito mistério. 
 
• Quando o primeiro sair da sala, apenas ele estará fora da sala e as outras 99 pessoas ficarão dentro. 
• Quando sair mais dois, já teremos três fora da sala e 97 dentro. 
• Quando sair mais três, fora da sala ficarão seis pessoas e 94 dentro. 
 
Vamos montar uma tabela para auxiliar? 
 
Quantos 
saem? 
Quantos ficarão 
fora a sala? 
Quantos ficarão 
dentro da sala? 
1 1 99 
2 3 97 
3 6 94 
4 10 90 
5 15 85 
6 21 79 
7 28 72 
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8 36 64 
9 45 55 
10 55 45 
 
 
Ou seja, quando saírem 10 da sala, ficaremos com 55 fora e 45 dentro. 
 
Gabarito: LETRA C 
 
37. (VUNESP/PREF. ITAPEVI/2019) A sequência dos cinco números a seguir foi composta, a partir do 2º 
número, por uma regra. 
 
𝟏, 𝟑, 𝟕, 𝟏𝟓, 𝟑𝟏. 
 
Admitindo-se que a regra de formação dos elementos seguintes da sequência permaneça a mesma, pode-
se concluir corretamente que o sétimo número será 
a) 53. 
b) 73. 
c) 77. 
d) 127. 
e) 135. 
 
Comentários: 
Vamos verificar o quanto cada termo aumenta/diminui em relação ao seu anterior. 
 
 
 
Perceba que os números vão aumentando sempre pelo próximo múltiplo de 2. Assim, 
 
 
 
Gabarito: LETRA D 
 
38. (VUNESP/UNICAMP/20) Os termos da seguinte sequência numérica obedecem a um determinado 
padrão: 
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(𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, . . . ) 
 
O número 2 aparece na sequência, pela primeira vez, na posição 4. O número 3 aparece, pela primeira vez, 
na posição 10. O número 9 aparece, pela primeira vez na sequência, na posição 
a) 88. 
b) 68. 
c) 54. 
d) 42. 
e) 38. 
 
Comentários: 
Vamos lá! 
 
• O número 2 aparece pela primeira vez na posição 4. 
• O número 3 aparece pela primeira vez na posição 10. (10 - 4 = 6 posições na frente) 
• O número 4 aparece pela primeira vez na posição 18. (18 - 10 = 8 posições na frente) 
• O número 5 aparece pela primeira vez na posição 28. (28 - 18 = 10 posições na frente) 
 
Todas as informações acima podem ser retiradas da sequência do enunciado, contando os elementos. 
Observe que cada novo número aparece pela primeira vez em 2 posições a mais da qual o seu anterior 
apareceu. Assim, podemos continuar a sequência: 
 
• O número 6 aparece pela primeira vez na posição 40. (12 posições na frente) 
• O número 7 aparece pela primeira vez na posição 54. (14 posições na frente) 
• O número 8 aparece pela primeira vez na posição 70. (16 posições na frente) 
• O número 9 aparece pela primeira vez na posição 88. (18 posições na frente) 
 
Gabarito: LETRA A 
 
39. (VUNESP/IPREMM/2019) Considere a sequência que foi criada com um padrão: (640, 320, 960, 240, 
1200, 200, ...). A diferença entre o 9o e o 8o termos é igual a 
a) 1 200. 
b) 1 300. 
c) 1 400. 
d) 1 500. 
e) 1 600. 
 
Comentários: 
A primeira coisa a ser observada é que alguns termos são a soma de outros. 
 
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Sendo assim, nós conseguimos determinar o próximo termo. 
 
 
 
Observe, no entanto, que existem números (320, 240, 400, ...) que nós ainda não sabemos de onde estão 
vindo. É preciso ver a relação entre eles de alguma forma. Essa, na minha opinião, era a parte mais difícil de 
enxergar. Note que, 
 
• 320 = 640/2 
• 240 = 960/4 
• 200 = 1200/6 
 
Note que estamos somando um número, inicialmente com sua metade, depois com sua quarta parte, 
depois com a sexta parte e assim sucessivamente. Agora, podemos desenvolver o restante da sequência: 
 
 
 
O termo 𝑎8 = 175 é obtido quando calculamos a oitava parte de 1400. Sendo assim, a diferença entre o 
nono e o oitavo termo é: 
 
𝑎9 − 𝑎8 = 1575 − 175 = 𝟏𝟒𝟎𝟎 
 
Gabarito: LETRA C 
 
40. (VUNESP/PREF. VALINHOS/2019) Considere a sequência: 
 
𝟏𝟐𝟑, 𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟒𝟓, 𝟒𝟓𝟔, 𝟓𝟔𝟕, . .. 
 
Dessa sequência sabe-se que o 8º termo é um número formado por quatro algarismos, o 9º termo é um 
número formado por cinco algarismos, o 10º termo é um número formado por seis algarismos, o 11º termo 
é um número formado por seis algarismos, o 23º termo é um número formado por seis algarismos. 
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A diferença entre o 19º e o 15º termos dessa sequência é igual a 
a) 40044. 
b) 40404. 
c) 40440. 
d) 44040. 
e) 44400. 
 
Comentários: 
Observe que o primeiro termo da sequência é 123 (1 - 2 - 3). Veja cada algarismo isoladamente, eles são 
consecutivos. Agora, veja o segundo termo dessa sequência: 234 (2 - 3 - 4), deixamos o número 1 de lado, 
colocamos o 4, e todos continuam consecutivos. Depois disso, temos 345, 456, etc. Note, portanto, que cada 
número da sequência é formado por três números consecutivos. 
 
Sabendo isso, é possível descobrir qualquer termo. Como o 19º e 15º termos não estão distantes e a regra 
de formação é bem simples, não envolvendo cálculo, basta ir listando todos os elementos. Vamos fazer uma 
tabela? 
 
Posição Termo Posição Termo 
1º 123 11º 111213 
2º 234 12º 121314 
3º 345 13º 131415 
4º 456 14º 141516 
5º 567 15º 151617 
6º 678 16º 161718 
7º 789 17º 171819 
8º 8910 18º 181920 
9º 91011 19º 192021 
10º 101112 20º 202122 
 
Fazendo a subtração dos termos desejados, ficamos com: 
 
𝑎19 − 𝑎15 = 192021 − 151617 = 40404 
 
Gabarito: LETRA B 
 
41. (VUNESP/CM PIRACICABA/2019) Na sequência numérica 5, 8, 4, 9, 3, 10, 2, ..., em que o primeiro 
elemento é 5, mantida a lógica de formação, o vigésimo quarto elemento será igual a 
a) 17. 
b) 18. 
c) 19. 
d) 20. 
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e) 21. 
 
Comentários: 
Quando olhamos para a sequência, conseguimos notar que os termos de ordem ímpar (1º termo, 3º termo, 
...) caem de um em um. Já os termos de ordem par (2º termo, 4º termo, ...) vão sobem de um em um... 
 
 
Logo, temos duas sequências independentes uma da outra. Como o 24º termo é um termo de ordem par, 
podemos apenas considerar o que acontece com os termos de ordem par (o próximo é sempre o anterior 
mais um). Vamos organizar numa tabela: 
 
Ordem Elemento Ordem Elemento 
2º termo 8 14º termo 14 
4º termo 9 16º termo 15 
6º termo 10 18º termo 16 
8º termo 11 20º termo 17 
10º termo 12 22º termo 18 
12º termo 13 24º termo 19 
 
Gabarito: LETRA C 
 
42. (VUNESP/PREF. CAMPINAS/2019) Na sequência 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 4, …, o 
algarismo zero pode aparecer como um termo, como acontece com o 2º termo dessa sequência, ou pode 
aparecer como um dos algarismos de um termo, como acontece com o termo 102. A posição em que o 
termo 1001 aparece pela primeira vez é 
a) 502501. 
b) 501001. 
c) 500001. 
d) 503001. 
e) 504501. 
 
Comentários: 
Galera, essa é uma questão que pode ser um pouco chatinha, mas com conhecimentos de progressão 
aritmética conseguimos livrá-la. A primeira coisa a notar é o seguinte padrão: 
 
 
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Quando o número 1 aparece pela primeira vez, temos um único zero entre "1's", quando o número 2 
aparece, temos dois zeros entre "2's" e assim sucessivamente... Quando o termo 1001 aparecer, vão ter 1001 
zeros entre "1001's". Vamos organizar essas informações numa tabela? 
 
Sequências destacadas 
Quantidade 
de termos 
1, 0, 1 3 
2, 0, 0, 2 4 
3, 0, 0, 0, 3 5 
4, 0, 0, 0, 0, 4 6 
… … 
1000, 0, 0, … , 0, 0, 1000 1002 
1001, 0, 0, … , 0, 0, 1001 1003 
 
Perceba que a quantidade de termos em cada mini sequência que destacamos da sequência principal tem 
um termo a mais do que a sequência anterior. Isto é, elas formam uma PA de razão 1. Se somarmos as 
quantidades de termos imediatamente antes de 1001, teremos a posição de 1002. 
 
Para tentar explicar isso melhor, observe que a primeira sequência 𝟏, 𝟎, 𝟏 tem 3 termos. O número 2 aparece 
pela primeira na posição 4 (logo após os 3 termos de 1, 0, 1). Analogamente, depois da segunda sequência 
"2, 0, 0, 2", temos 3 termos da primeira mais 4 termos da segunda, são 7 termos antes do número 3 aparecer 
pela primeira vez. Logo, o número 3 está na posição 8. Sendo assim, só precisamos somar a quantidade de 
termos que aparece antes de 1001 para descobrir a sua posição. 
 
Antes de 1001, temos 1000 mini sequências. Logo, da fórmula da soma de termos de uma PA, temos: 
 
𝑆1000 = (𝑎1 + 𝑎1000) ∙
1000
2
 
 
𝑆1000 = (3 + 1002) ∙ 500 
 
𝑆1000 = 502.500 
O 1001 aparecerá logo após os 502500 termos, ou seja, na posição 502501. 
 
Gabarito: LETRA A 
 
43. (VUNESP/PREF. CAMPINAS/2019) Na sequência: 111, 112, 113, 122, 123, 124, 133, 134, 135, 144, . . ., 
a diferença entre o 20º termo e o 11º termo é superada pela diferença entre o 17º termo e o 5º termo em 
a) 9 unidades. 
b) 10 unidades. 
c) 8 unidades. 
d) 11 unidades. 
e) 7 unidades. 
 
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Comentários: 
Pessoal, sempre que os números não forem grandes demais e os termos da sequência se sucederem de 
forma que não haja cálculo ligado, uma saída para problemas com sequências é sempre listar os termos 
dela. Obviamente, faremos isso somente quando for humanamente possível e não utilize um tempo 
considerável, que sabemos ser sagrado na hora da prova. 
 
𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟏𝟑, 𝟏𝟐𝟐, 𝟏𝟐𝟑, 𝟏𝟐𝟒, 𝟏𝟑𝟑, 𝟏𝟑𝟒, 𝟏𝟑𝟓, 144, . .. 
 
Observe que os números podem ser escritos em pequenas sequências de 3 termos. O padrão é: listamos 
três números seguidos e somamos 9. Listamos mais três seguidos e somamos 9. Vamos fazer uma tabela? 
 
Ordem Termo Ordem Termo 
1º 111 11º 145 
2º 112 12º 146 
3º 113 13º 155 
4º 122 14º 156 
5º 123 15º 157 
6º 124 16º 166 
7º 133 17º 167 
8º 134 18º 168 
9º 135 19º 177 
10º 144 20º 178 
 
Selecionei os números que precisaremos para fazer as diferenças indicadas no enunciado. Primeiramente, 
a diferença entre o 20º e 11º termos é 𝑎20 − 𝑎11 = 178 − 145 = 33. Da mesma forma, a diferença entre o 
17º e 5º termo é 𝑎17 − 𝑎5 = 167 − 123 = 44. Logo, essa última diferença supera a primeira em 𝟒𝟒 − 𝟑𝟑 =
𝟏𝟏 unidades. 
 
Gabarito: LETRA D 
 
CESPE 
 
44. (CESPE/IBGE/2021) No desenvolvimento de uma pesquisa, Carlos, agente de pesquisas e mapeamento, 
durante 20 dias consecutivos, visitou diversos domicílios distintos, de acordo com o seguinte esquema: 
 
- no primeiro dia da pesquisa, Carlos visitou 12 domicílios distintos; 
- do segundo ao sétimo dia da pesquisa, Carlos visitou 9 domicílios distintos por dia; 
- do oitavo ao vigésimo dia da pesquisa, Carlos visitou 8 domicílios distintos por dia. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
 
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I. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por 𝒅𝒏 a quantidade de domicílios visitados por Carlos no n-ésimo dia 
da pesquisa, tem-se que {𝒅𝟏, 𝒅𝟐, . . . , 𝒅𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
 
II. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por 𝒕𝒏 a quantidade total de domicílios visitados por Carlos desde o 
primeiro até o n-ésimo dia da pesquisa, tem-se que {𝒕𝟏, 𝒕𝟐, . . . , 𝒕𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
 
III. No âmbito da pesquisa realizada, durante os 20 dias de sua duração, Carlos visitou 170 domicílios 
distintos. 
 
 Assinale a opção correta. 
A) Apenas o item III está certo. 
B) Apenas os itens I e II estão certos. 
C) Apenas os itens I e III estão certos. 
D) Apenas os itens II e III estão certos. 
E) Todos os itens estão certos. 
 
Comentários: 
Primeiramente, vamos analisar as informações que o enunciado trouxe. 
 
- no primeiro dia da pesquisa, Carlos visitou 12 domicílios distintos; 
- do segundo ao sétimo dia da pesquisa, Carlos visitou 9 domicílios distintos por dia; 
- do oitavo aovigésimo dia da pesquisa, Carlos visitou 8 domicílios distintos por dia. 
 
Podemos criar uma tabela para visualizarmos o que está acontecendo. 
 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Domicílios 
Atendidos 
12 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 
 
O primeiro item diz o seguinte: 
 
I. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por 𝒅𝒏 a quantidade de domicílios visitados por Carlos no n-ésimo dia 
da pesquisa, tem-se que {𝒅𝟏, 𝒅𝟐, . . . , 𝒅𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
 
Basicamente, ele está "batizando" as quantidades de nossa tabela. Em outras palavras, temos: 
 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
𝒅𝒏 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝒅𝟒 𝒅𝟓 𝒅𝟔 𝒅𝟕 𝒅𝟖 𝒅𝟗 𝒅𝟏𝟎 𝒅𝟏𝟏 𝒅𝟏𝟐 𝒅𝟏𝟑 𝒅𝟏𝟒 𝒅𝟏𝟓 𝒅𝟏𝟔 𝒅𝟏𝟕 𝒅𝟏𝟖 𝒅𝟏𝟗 𝒅𝟐𝟎 
D.
A. 
12 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 
 
Portanto, veja que a sequência do item é {𝟏𝟐, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟗, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖, 𝟖}. Galera, essa 
sequência não está parecendo nada com uma PA, não é verdade? Uma progressão aritmética aumenta ou 
diminui a uma razão constante. Obviamente, isso não acontecerá se a razão for nula, mas, nesses casos, 
todos os termos da PA devem ser iguais, o que não ocorre na situação mostrada. Item errado. 
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II. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por 𝒕𝒏 a quantidade total de domicílios visitados por Carlos desde o 
primeiro até o n-ésimo dia da pesquisa, tem-se que {𝒕𝟏, 𝒕𝟐, . . . , 𝒕𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
 
Para obter 𝑡𝑛, devemos sempre considerar a quantidade de domicílios já visitados. 
 
Dia 
Domicílios 
Atendidos 
𝒕𝒏 
1 12 𝟏𝟐 
2 9 12 + 9 = 𝟐𝟏 
3 9 21 + 9 = 𝟑𝟎 
4 9 30 + 9 = 𝟑𝟗 
5 9 39 + 9 = 𝟒𝟖 
6 9 48 + 9 = 𝟓𝟕 
7 9 57 + 9 = 𝟔𝟔 
8 8 66 + 8 = 𝟕𝟒 
 
Observe que até o 7º dia, a sequência descrita no item é uma progressão aritmética de razão igual a 9. No 
entanto, a partir do oitavo dia, a sequência tem seu padrão alterado e começa a subir de 8 em 8. Sabemos 
que em uma progressão aritmética, a razão é sempre constante, não podendo sofrer esse tipo de mudança. 
Logo, {𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡20} não é uma Progressão Aritmética. Item errado. 
 
Obs.: Caso quebrássemos a sequência em duas, {𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡7} e {𝑡8, 𝑡2, . . . , 𝑡20}, daí sim elas duas seriam 
progressões aritméticas, de razão 9 e 8, respectivamente. 
 
III. No âmbito da pesquisa realizada, durante os 20 dias de sua duração, Carlos visitou 170 domicílios 
distintos. 
 
Vamos voltar para a primeira tabela que desenhamos. 
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Domicílios 
Atendidos 
12 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 
 
Note que o 12 aparece uma única vez, o 9 aparece 6 vezes e o 8 aparece 13 vezes. Assim, o total de domicílios 
visitados é dado por: 
 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑐í𝑙𝑖𝑜𝑠 = 12 + 9 × 6 + 8 × 13 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑐í𝑙𝑖𝑜𝑠 = 12 + 54 + 104 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑐í𝑙𝑖𝑜𝑠 = 170 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
45. (CESPE/PRF/2021) Em uma operação da PRF, foram fiscalizados: 20 veículos automotores até o fim da 
primeira hora; 60 veículos automotores até o fim da segunda hora; 120 veículos automotores até o fim da 
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terceira hora; 200 veículos automotores até o fim da quarta hora; e 300 veículos automotores até o fim da 
quinta hora. O padrão numérico observado manteve-se até o fim da décima hora, quando, então, foi 
finalizada a operação. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
 
Considere que {𝑞𝑛}, para n variando de 1 a 10, seja a sequência numérica formada pelas quantidades de 
veículos fiscalizados apenas no decorrer da n-ésima hora de realização da operação, ou seja, 𝑞1 é a 
quantidade de veículos fiscalizados apenas no decorrer da primeira hora de realização da operação; 𝑞2 é a 
quantidade de veículos fiscalizados apenas no decorrer da segunda hora de realização da operação; e assim 
por diante. Nessa situação, a sequência {𝑞𝑛}, para n variando de 1 a 10, é uma progressão aritmética. 
 
Comentários: 
Veículos fiscalizados: 
 
• Até o fim da 1ª hora: 20 
• Até o fim da 2ª hora: 60 (40 apenas na segunda hora) 
• Até o fim da 3ª hora: 120 (60 apenas na terceira hora) 
• Até o fim da 4ª hora: 200 (80 apenas na quarta hora) 
• Até o fim da 5ª hora: 300 (100 apenas na quinta hora) 
 
A cada hora que passa, 20 veículos são fiscalizados a mais do que na hora anterior. A sequência que o 
enunciado pede é formada pelas quantidades de veículos fiscalizados apenas naquela hora específica. Esse 
"apenas" é muito importante, pois muitos alunos podem achar que a sequência pedida é 
{20, 60, 120, 200, 300, … }. No entanto, queremos apenas a quantidade de veículo fiscalizado naquela hora, 
resultando na seguinte sequência: 
 
{20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200} 
 
Lembre-se que uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre dois termos 
consecutivos será sempre uma constante (que chamamos de razão). Assim, perceba que a diferença entre 
quaisquer dois termos consecutivos da sequência acima é 20, indicando que a sequência {𝑞𝑛} realmente é 
uma progressão aritmética conforme afirma o item. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
46. (CESPE/TJ-PR/2019) O protocolo de determinado tribunal associa, a cada dia, a ordem de chegada dos 
processos aos termos de uma progressão aritmética de razão 2: a cada dia, o primeiro processo que chega 
recebe o número 3, o segundo, o número 5, e assim sucessivamente. Se, em determinado dia, o último 
processo que chegou ao protocolo recebeu o número 69, então, nesse dia, foram protocolados 
A) 23 processos. 
B) 33 processos. 
C) 34 processos. 
D) 66 processos. 
E) 67 processos. 
 
Comentários: 
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Temos uma PA de razão 2, com 𝒂𝟏 = 𝟑. Com outras palavras, o enunciado disse que 𝒂𝒏 = 𝟔𝟗 e pediu 𝑛. 
Lembre-se que a fórmula geral de um termo de uma progressão aritmética é dada por: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Vamos substituir as informações do enunciado. 
 
69 = 3 + (𝑛 − 1) ∙ 2 
(𝑛 − 1) =
66
2
 → 𝑛 − 1 = 33 → 𝒏 = 𝟑𝟒 
 
Logo, nesse dia, foram protocolados 34 processos. 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
47. (CESPE/IFF/2018) Se, em uma progressão aritmética, o segundo termo for igual a −1 e o quinto termo 
for igual a 11, então o décimo termo será igual a 
A) 30. 
B) 31. 
C) 35. 
D) 50. 
E) 95. 
 
Comentários: 
O enunciado nos passou que: 𝒂𝟐 = −𝟏 e 𝒂𝟓 = 𝟏𝟏. Queremos encontrar 𝒂𝟏𝟎. 
 
Mais uma vez, devemos utilizar a fórmula do termo geral. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Usando 𝒂𝟐 = −𝟏 na fórmula do termo geral, ficamos com: 
 
−1 = 𝑎1 + (2 − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎1 + 𝑟 = −1 (1) 
 
Usando 𝒂𝟓 = 𝟏𝟏 na fórmula do termo geral, ficamos com; 
 
11 = 𝑎1 + (5 − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎1 + 4𝑟 = 11 (2) 
 
Observe as equações (1) e (2), temos duas equações e duas incógnitas, podemos resolver esse sistema. 
Para isso, vamos isolar 𝑎1 em (1) e substituir em (2). 
 
𝑎1 = −1 − 𝑟 
 
(−1 − 𝑟) + 4𝑟 = 11 → −1 + 3𝑟 = 11 → 3𝑟 = 12 → 𝒓 = 𝟒 
 
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Encontramos a razão da PA! 𝑟 = 4. Devemos substituir esse valor em qualquer uma das equações para 
determinar 𝑎1. Assim, 
 
𝑎1 = −1 − 4 → 𝒂𝟏 = −𝟓 
 
Com 𝑎1 e 𝑟 determinados, podemos descobrir qualquer termo dessa PA. O enunciadopede 𝑎10: 
 
𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1) ∙ 𝑟 
𝑎10 = −5 + 9 ∙ 4 
𝑎10 = −5 + 36 
𝒂𝟏𝟎 = 𝟑𝟏 
Gabarito: LETRA B. 
 
48. (CESPE/FUB/2018) A tabela seguinte mostra as quantidades de livros de uma biblioteca que foram 
emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
 
Mês 1 2 3 4 5 6 
Quantidade 50 150 250 250 300 200 
 
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos somente a partir de julho 
de 2017 e os números correspondentes às quantidades de livros devolvidos a cada mês formavam uma 
progressão aritmética em que o primeiro termo era 90 e razão, 30. 
 
Assertiva: Nessa situação, mais de 200 livros foram devolvidos somente a partir de 2018. 
 
Comentários: 
O enunciado diz que esses livros são devolvidos a partir de julho. Ademais, a quantidade de livros devolvido 
a cada mês forma uma PA de primeiro termo igual a 90 e de razão igual a 30. Observe como ficaria a tabela 
do segundo semestre. 
 
Mês 7 8 9 10 11 12 
Quantidade 
Devolvida 
90 120 150 180 210 240 
 
Assim, note que a partir do mês 11 já temos mais de 200 livros devolvidos. 
 
O item está incorreto pois afirma que essa situação só ocorre a partir de 2018. 
 
Obs.: Na minha opinião, essa questão tem um enunciado não muito claro e que prejudica uma análise 
objetiva. Em uma primeira leitura, pode-se entender que o enunciado está interessado em saber quantos 
livros vão ser devolvidos em 2018. 
 
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Nessa interpretação, somaríamos a quantidade de livros que foram emprestados no primeiro semestre e 
subtrairíamos da quantidade de livros devolvidos no segundo semestre. Quando fazemos essa conta, 
obtemos que 210 livros devem ser devolvidos somente em 2018, o que tornaria o item correto. 
 
No entanto, como o gabarito da banca foi "item errado", percebe-se que ela resolveu o exercício da forma 
como fizemos anteriormente, entendendo a assertiva como "mais de 200 livros devolvidos (por mês) 
somente a partir de 2018". 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
49. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Se a sequência estiver em progressão aritmética com razão igual a 10 e 𝑎1 = 5, então 𝑎10 > 100. 
 
Comentários: 
Questão para aplicarmos a fórmula do termo geral da progressão aritmética. O enunciado forneceu 𝑎1 = 5 
e 𝑟 = 10. Assim, 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Para 𝒏 = 𝟏𝟎, ficamos com: 
 
𝑎10 = 5 + (10 − 1) ∙ 10 
𝑎10 = 5 + 9 ∙ 10 
𝑎10 = 95 
 
Note que o décimo termo dessa progressão aritmética é igual a 95, menor que 100. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
50. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Considere que a sequência seja formada pelos seguintes termos, nessa ordem: 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37. 
Nesse caso, a sequência numérica 𝑏𝑗 = 𝑎𝑗+1 − 𝑎𝑗, em que 𝑗 = 1, 2, … , 6 forma uma progressão aritmética. 
 
Comentários: 
Vamos organizar as informações em uma tabela. 
 
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒 𝒂𝟓 𝒂𝟔 𝒂𝟕 
10 12 15 19 24 30 37 
 
Com esses valores, uma outra sequência é formada, em que cada termo é a subtração de dois termos 
consecutivos da sequência acima (𝑎𝑗+1 − 𝑎𝑗). 
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𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒃𝟒 𝒃𝟓 𝒃𝟔 
𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 𝒂𝟒 − 𝒂𝟑 𝒂𝟓 − 𝒂𝟒 𝒂𝟔 − 𝒂𝟓 𝒂𝟕 − 𝒂𝟔 
2 3 4 5 6 7 
 
Observe que a sequência acima é uma progressão aritmética de razão 1. Portanto, item correto. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
51. (CESPE/CBM-AL/2017) Terminado o concurso para o cargo de soldado combatente, para o qual, 
conforme previsto em edital, havia 140 vagas, buscou-se uma forma de dar provimento aos cargos, com a 
chamada para a posse dos classificados. Devido à contingência de recursos, foi estabelecido que a 
chamada seria mensal, durante determinada quantidade de meses, e que as quantidades de aprovados 
chamados mensalmente para a posse deveriam obedecer a uma progressão aritmética de razão 2. Com 
referência à situação hipotética apresentada, julgue o item seguinte. 
 
Se todos os classificados forem chamados mês a mês durante 7 meses, então no 4º mês serão chamados 20 
dos classificados. 
 
Comentários: 
Pessoal, o concurso teve 140 vagas. Todas os classificados tomarão posse. No entanto, mês a mês a 
quantidade de classificados chamados para a posse obedece a uma progressão aritmética de razão 2. Em 
outras palavras, todo mês eles chamam 2 pessoas a mais que no mês anterior. 
 
𝐌ê𝐬 𝟏 𝐌ê𝐬 𝟐 𝐌ê𝐬 𝟑 𝐌ê𝐬 𝟒 𝐌ê𝐬 𝟓 𝐌ê𝐬 𝟔 𝐌ê𝐬 𝟕 
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 
 
Vamos usar a fórmula do termo geral: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒓. 
 
𝐌ê𝐬 𝟏 𝐌ê𝐬 𝟐 𝐌ê𝐬 𝟑 𝐌ê𝐬 𝟒 𝐌ê𝐬 𝟓 𝐌ê𝐬 𝟔 𝐌ê𝐬 𝟕 
𝑎1 𝑎1 + 𝑟 𝑎1 + 2𝑟 𝑎1 + 3𝑟 𝑎1 + 4𝑟 𝑎1 + 5𝑟 𝑎1 + 6𝑟 
 
Quando somarmos todas essas quantidades devemos ter o total de vagas (140). 
 
𝑎1 + (𝑎1 + 𝑟) + (𝑎1 + 2𝑟) + (𝑎1 + 3𝑟) + (𝑎1 + 4𝑟) + (𝑎1 + 5𝑟) + (𝑎1 + 6𝑟) = 140 
 
7𝑎1 + 21𝑟 = 140 
 
Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por 7. 
 
𝒂𝟏 + 𝟑𝒓 = 𝟐𝟎 
 
Sabemos a razão da PA: 𝑟 = 2. 
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𝑎1 + 3 ∙ 2 = 20 → 𝑎1 + 6 = 20 → 𝒂𝟏 = 𝟏𝟒 
 
Pronto, com o 𝒂𝟏 e 𝒓, podemos encontrar qualquer termo da progressão aritmética. O enunciado quer 
saber a quantidade de chamados no 4º mês (𝑎4). 
 
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 → 𝑎4 = 14 + 3 ∙ 2 → 𝒂𝟒 = 𝟐𝟎 
 
Portanto, o item encontra-se correto quando afirma que 20 serão chamados no quarto mês. 
 
Obs.: Se o candidato percebesse que 𝒂𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟑𝒓 = 𝟐𝟎, nem precisaríamos ter encontrado 𝑎1. O 
resultado já saiu pronto no meio das nossas contas (rsrs). 
 
Gabarito: CERTO. 
 
52. (CESPE/PRF/2013) 
 
 
 
Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue o item seguinte. 
 
Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética. 
 
Comentários: 
Vamos verificar os valores associados aos anos de 2009, 2009 e 2010. 
 
𝟐𝟎𝟎𝟖 𝟐𝟎𝟎𝟗 𝟐𝟎𝟏𝟎 
141 159 183 
 
 
 
 
Observe que a diferença entre termos consecutivos não é constante. Logo, essa sequência não pode ser 
uma PA. Para ser uma progressão aritmética, não podemos ter um "salto" de 18 e outro de 24. Os dois 
"saltos" devem ser do mesmo valor. 
+18 +24 
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Gabarito: ERRADO. 
 
53. (CESPE/IBGE/2021) Um organismo vivo tem a capacidade de reproduzir-se dividindo-se em dois outros 
organismos semelhantes a ele. A cada segundo, cada novo organismo gerado amadurece e se reproduz, 
gerando dois outros organismos. Em certo experimento, em um instante inicial, um desses organismos foi 
isolado e passou-se a contabilizar a população 𝒑𝒏 dos organismos gerados a partir daquele que foi isolado, 
decorridos exatamente n segundos desde o instante inicial. Nessa situação, supondo-se que no decorrer 
dos 10 primeiros segundos do experimento nenhum dos organismos pereceu, tem-se que 
A) 𝑝10 < 400. 
B) 400 ≤ 𝑝10 < 600. 
C) 600 ≤ 𝑝10 < 800. 
D) 800 ≤ 𝑝10 < 1.000. 
E) 1.000 ≤ 𝑝10. 
 
Comentários: 
Imagine que nosso organismo é uma coruja. Temos o seguinte esquema. 
 
 
Antes de começarmos o experimento, temos uma coruja. Um segundo após o início do experimento, essa 
coruja transforma-se em duas! Mais um segundo depois, cada uma dessas duas corujas se transformará em 
mais duas,o que fará totalizar uma população de 4 corujas. 
 
Note que a população dobra de tamanho a cada segundo! Com isso, a quantidade de indivíduos evolui 
conforme uma progressão geométrica de razão 2. 
Se queremos saber a população depois dos dez segundos, temos que encontrar o 𝒂𝟏𝟎 (o enunciado chama 
de 𝑝10). Assim, usando a fórmula do termo geral de uma PG. 
 
𝑝10 = 𝑝1 ∙ 𝑞9 
 
A população no primeiro segundo é 𝒑𝟏 = 𝟐 (temos das corujas no instante 𝒕 = 𝟏 𝒔). Assim, 
 
𝑝10 = 2 ∙ 29 → 𝑝10 = 210 → 𝒑𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 
 
Assim, temos que 𝒑𝟏𝟎 ≥ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, conforme afirma a alternativa E. 
 
Gabarito: LETRA E. 
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54. (CESPE/TJ-PA/2020) No dia 1º de janeiro de 2019, uma nova secretaria foi criada em certo tribunal, a 
fim de receber todos os processos a serem protocolados nessa instituição. Durante o mês de janeiro de 
2019, 10 processos foram protocolados nessa secretaria; a partir de então, a quantidade mensal de 
processos protocolados na secretaria durante esse ano formou uma progressão geométrica de razão igual 
a 2. Nessa situação hipotética, a quantidade de processos protocolados nessa secretaria durante os meses 
de junho e julho de 2019 foi igual a 
A) 320. 
B) 480. 
C) 640. 
D) 960. 
E) 1.270. 
 
Comentários: 
Temos uma progressão geométrica formada pela quantidade de processos protocolados mensalmente em 
um tribunal. O enunciado nos informou que 𝒂𝟏 = 𝟏𝟎 e 𝒒 = 𝟐. 
 
Além disso, como o primeiro termo dessa PG está associado ao mês de janeiro (𝒏 = 𝟏), as quantidades de 
processos protocolados em junho e em julho estarão associados aos índices 6 e 7 dessa sequência. Vamos 
encontrá-los utilizando a fórmula do termo geral da PG. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
Em junho, 𝑛 = 6. 
 
𝑎6 = 10 ∙ 26−1 → 𝑎6 = 10 ∙ 25 → 𝑎6 = 10 ∙ 32 → 𝒂𝟔 = 𝟑𝟐𝟎 
 
Em julho, 𝑛 = 7. 
 
𝑎7 = 10 ∙ 27−1 → 𝑎7 = 10 ∙ 26 → 𝑎6 = 10 ∙ 64 → 𝒂𝟕 = 𝟔𝟒𝟎 
 
Para saber a quantidade de processos protocolados nos dois meses, basta somarmos as quantidades. 
 
𝑺 = 𝒂𝟔 + 𝒂𝟕 = 𝟑𝟐𝟎 + 𝟔𝟒𝟎 = 𝟗𝟔𝟎 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
55. (CESPE/IFF/2018) O segundo termo de uma progressão geométrica é 5 e o quinto termo é 40/27. Para 
essa progressão, a soma dos n primeiros termos é igual a 
A) (
45
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
B) (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
C) (
45
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛−1
] 
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D) (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛−1
] 
E) (
45
2
) × (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
 
Comentários: 
O enunciado nos forneceu 𝑎2 e 𝑎5. Ele pergunta a soma dos n primeiros termos dessa PG. Lembre-se da 
fórmula. 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
Portanto, precisamos descobrir o 𝒂𝟏 e a razão 𝒒, para colocarmos na fórmula. Nesse intuito, vamos usar a 
fórmula do termo geral da PG. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
 
O enunciado disse que 𝒂𝟐 = 𝟓. Assim, 
 
5 = 𝑎1 ∙ 𝑞2−1 → 𝑎1 ∙ 𝑞 = 5 (1) 
 
Além disso, 𝒂𝟓 =
𝟒𝟎
𝟐𝟕
. 
 
40
27
= 𝑎1 ∙ 𝑞5−1 → 𝑎1 ∙ 𝑞4 =
40
27
 (2) 
 
Vamos dividir a equação (2) pela equação (1), membro a membro. 
 
𝑎1 ∙ 𝑞4
𝑎1 ∙ 𝑞
=
40
27
5
 → 
𝑞4
𝑞
=
8
27
 → 𝑞3 =
8
27
=
23
33
 → 𝑞 = √
23
33
3
 → 𝒒 =
𝟐
𝟑
 
 
Podemos substituir a razão 𝑞 na equação (1) e determinar 𝑎1. 
 
𝑎1 ∙
2
3
= 5 → 𝒂𝟏 =
𝟏𝟓
𝟐
 
 
Pronto, agora vamos substituir 𝑎1 e 𝑞 na fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG. 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 → 𝑆𝑛 =
(
15
2 ) ∙ ((
2
3)
𝑛
− 1)
2
3 − 1
 → 𝑆𝑛 =
(
15
2 ) ∙ ((
2
3)
𝑛
− 1)
−
1
3
 
 
𝑺𝒏 = (
𝟒𝟓
𝟐
) ∙ (𝟏 − (
𝟐
𝟑
)
𝒏
) 
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Gabarito: LETRA A. 
 
56. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Sobre uma mesa há 9 caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um 
grão de feijão; depois, em outra caixa, serão colocados três grãos de feijão. Prosseguindo-se 
sucessivamente, será escolhida uma caixa vazia, e nela colocada uma quantidade de grãos de feijão igual 
ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente escolhida, até que não reste caixa vazia. Nessa 
situação, nas 9 caixas será colocada uma quantidade de grãos de feijão igual a 
A) 
39−1
2
 
B) 30 − 1 
C) 
310−1
2
 
D) 310 − 1 
E) 
38−3
2
 
 
Comentários: 
As quantidades de feijões em cada uma das caixas formam uma progressão geométrica de razão 3. Afinal, 
sempre uma caixa é preenchida com o triplo da quantidade na caixa anteriormente escolhida. 
 
CAIXA 1 = 𝟏 grão de feijão 
CAIXA 2 = 𝟑 grãos de feijão 
CAIXA 3 = 𝟗 grãos de feijão 
CAIXA 4 = 𝟐𝟕 grãos de feijão 
CAIXA 5 = 𝟖𝟏 grãos de feijão 
CAIXA 6 = 𝟐𝟒𝟑 grãos de feijão 
... 
 
Para descobrir a quantidade nas 9 caixas, podemos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos da PG. 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Substituindo 𝒂𝟏 = 𝟏, 𝒒 = 𝟑 e 𝒏 = 𝟗. 
 
𝑆9 =
1 ∙ (39 − 1)
3 − 1
 → 𝑺𝟗 =
𝟑𝟗 − 𝟏
𝟐
 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
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57. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Se a sequência for uma progressão geométrica (PG), em que 𝑎1 = 5 e 𝑎4 = 135, então a razão dessa PG será 
maior que 4. 
 
Comentários: 
Temos uma progressão geométrica com 𝒂𝟏 = 𝟓 e 𝒂𝟒 = 𝟏𝟑𝟓. Devemos usar a fórmula do termo geral para 
encontrar a razão. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 
Usando 𝒏 = 𝟒. 
 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞4−1 → 𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3 
Substituindo 𝑎1 = 5 e 𝑎4 = 135: 
 
135 = 5 ∙ 𝑞3 → 𝑞3 = 27 → 𝑞3 = 33 → 𝒒 = 𝟑 
 
Logo, a razão da progressão geométrica é 3. Como temos um número menor que 4, o item está incorreto. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
58. (CESPE/MIN/2013) Julgue o seguinte item, relativo a sistemas numéricos e sistema legal de medidas. 
 
A soma 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
 é inferior a 2. 
 
Comentários: 
Observe que a soma do item é a soma de termos de uma progressão geométrica. 
 
{1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
1
64
} 
 
Nessa PG, temos que 𝒂𝟏 = 𝟏, 𝒒 =
𝟏
𝟐
 e um total de 7 termos. Podemos usar a fórmula da soma. 
 
𝑆𝑛 =
𝑎1 ∙ (𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Substituindo cada um dos valores, temos que: 
 
𝑆7 =
1 ∙ ((
1
2)
7
− 1)
1
2 − 1
 → 𝑆7 =
(
1
2)
7
− 1
−
1
2
 → 𝑆7 = 2 ∙ (1 −
1
27
) → 𝑺𝟕 = 𝟐 −
𝟏
𝟐𝟔
 
 
Veja que a soma dos termos é o número 2 menos um termo positivo (𝟏/𝟐𝟔). Logo, certamente o resultado 
da soma será um número menor que o 2, conforme afirma o item. 
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Gabarito: CERTO. 
 
59. (CESPE/TCE-RS/2013) A respeito do controle e manutenção dos 48 veículos de um órgão público, julgue 
o item seguinte. 
 
Se, em 2010, os veículos desse órgão consumiram 16.000 L de combustível e se, nos anos seguintes, o 
consumo cresceu em progressão geométrica à razão de 10% ao ano, então, o total de combustível consumido 
por esses veículos em 2010, 2011 e 2012 foi inferior a 50.000 L. 
 
Comentários: 
Pessoal, apesar da questão falar em progressão geométrica, nem precisamos usar conceitos de sequências.Basicamente, o item afirma que a quantidade de combustível consumido aumenta 10% ao ano. Se no ano 
de 2010 foram consumidos 16.000 L, então em 2011 será consumido 16.000 + 1.600 (10% de 16.000) = 
17.600 L. 
 
Por sua vez, 10% de 17.600 é 1.760. Assim, para obter a quantidade de combustível consumido em 2012, 
devemos somar essa quantidade com 17.600. Ficamos com, 17.600 + 1.760 = 19.360 𝐿. Vamos organizar 
todas essas informações em uma tabela?! 
 
Ano 𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟐𝟎𝟏𝟏 𝟐𝟎𝟏𝟐 
Combustível 
Consumido 
16.000 L 17.600 L 19.360 L 
10% 1.600 L 1.760 L 1.936 L 
 
A quantidade de combustível consumida nos três anos é obtida quando somamos o que foi gasto em cada 
um dos anos. 
 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 16.000 + 17.600 + 19.360 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 52.960 𝐿 
Logo, o total de combustível consumido não foi inferior a 50.000, tornando o item está errado. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
(BRB/2011) Texto para as próximas questões 
Considerando que, em uma progressão aritmética de termos 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, . . . , 𝒂𝒏, . . ., a razão seja positiva, 𝒂𝟏 =
𝟐 e os termos 𝒂𝟏, 𝒂𝟑 𝐞 𝒂𝟏𝟏 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica, julgue os itens a seguir. 
 
60. (CESPE/BRB/2011) A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não inteiro. 
 
Comentários: 
Se 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, . . . , 𝒂𝒏 são termos de uma progressão geométrica, então podemos escrevê-los em função de 𝑎1 e 
da razão 𝑟. Perceba que o enunciado nos forneceu 𝒂𝟏 = 𝟐. 
 
𝑎1 = 𝑎1 = 2 
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 = 2 + 𝑟 
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𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 = 2 + 2𝑟 
𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 = 2 + 3𝑟 
𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟 = 2 + 4𝑟 
... 
 
Além disso, 𝒂𝟏, 𝒂𝟑 e 𝒂𝟏𝟏 estão em PG. Nessas condições, 
 
(𝒂𝟑)𝟐 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒂𝟏𝟏 
 
Substituindo 𝒂𝟏 = 𝟐, 𝒂𝟑 = 𝟐 + 𝟐𝒓 e 𝒂𝟏𝟏 = 𝟐 + 𝟏𝟎𝒓 
 
(2 + 2𝑟)2 = 2 ∙ (2 + 10𝑟) 
4 + 8𝑟 + 4𝑟2 = 4 + 20𝑟 
4𝑟2 = 12𝑟 
𝑟 =
12
4
 
𝒓 = 𝟑 
Pronto, veja que a razão da PA é igual a 3 e, portanto, é um número inteiro. Logo, o item está errado. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
61. (CESPE/BRB/2011) Para cada 𝒏 ímpar, 𝒂𝒏 será sempre um número par. 
 
Comentários: 
Ora, se 𝑛 é ímpar, podemos escrever que 𝒏 = 𝟐𝒌 + 𝟏, com 𝑘 ∈ ℤ. Ademais, lembre-se da fórmula do termo 
geral da PA. 
 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟 
 
Substituindo 𝒏 = 𝟐𝒌 + 𝟏 e 𝒂𝟏 = 𝟐. 
 
𝑎𝑛 = 2 + ((2𝑘 + 1) − 1) ∙ 𝑟 → 𝑎𝑛 = 2 + 2𝑘𝑟 → 𝒂𝒏 = 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒌𝒓) 
 
Assim, sempre que 𝑛 for ímpar, 𝒂𝒏 terá o fator 2 e, portanto, será par. Lembre-se que um número par é 
qualquer número que possa ser escrito na forma 𝑛 = 2𝑡, com 𝑡 inteiro. Assim, para uma resposta completa, 
precisamos garantir que (𝟏 + 𝒌𝒓) é um inteiro. Ora, 1 é inteiro, k é inteiro e r é um inteiro (conforme vimos 
no item anterior), o que acarreta (1 + 𝑘𝑟) inteiro. Assim, 𝒂𝒏 realmente é um número par. 
 
Gabarito: CERTO 
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LISTA DE QUESTÕES 
CESGRANRIO 
Progressão Aritmética 
 
1. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética 
são expressos por 𝒙 + 𝟏, 𝒙𝟐 + 𝟒 𝐞 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa 
progressão aritmética é igual a 
A) 260 
B) 265 
C) 270 
D) 275 
E) 280 
 
2. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Em uma progressão aritmética, o décimo termo é o quádruplo do 
terceiro. Se o sétimo termo é igual a 19, então o segundo termo é igual a 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
3. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Considere uma progressão aritmética, em que 𝒂𝟖 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝟔, e a 
soma dos 10 primeiros termos dessa sequência é igual a 330. Assim, a razão dessa progressão é igual a 
A) 6 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
E) 13 
 
4. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) O número de passageiros que uma empresa de transporte aéreo 
tem transportado para uma petroleira vem diminuindo, segundo o padrão apresentado na tabela a seguir: 
 
Ano 
Número de passageiros 
transportados por ano 
2014 10.000 
2015 9.600 
2016 9.200 
2017 8.800 
 
Supondo-se que esse padrão se mantenha, a previsão para a quantidade total de passageiros 
transportados por essa empresa, no período de 2014 a 2025, contando-se com os anos 2014 e 2025, será 
igual a 
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A) 86.400 
B) 93.600 
C) 103.800 
D) 172.800 
E) 187.200 
 
5. (CESGRANRIO/BB/2018) Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por 𝒂𝒏, para 𝒏 ≥
𝟏. Sabe-se que 𝒂𝟏 = 𝟎 e que a sequência cujo termo geral é 𝒃𝒏 = 𝒂𝒏+𝟏– 𝒂𝒏, 𝒏 ≥ 𝟏, é uma progressão 
aritmética cujo primeiro termo é 𝒃𝟏 = 𝟗 e cuja razão é igual a 4. O termo 𝒂𝟏𝟎𝟎𝟎 é igual a 
A) 2.002.991 
B) 2.002.995 
C) 4.000.009 
D) 4.009.000 
E) 2.003.000 
 
6. (CESGRANRIO/BB/2018) Para obter uma amostra de tamanho 1.000 dentre uma população de tamanho 
20.000, organizada em um cadastro em que cada elemento está numerado sequencialmente de 1 a 20.000, 
um pesquisador utilizou o seguinte procedimento: 
 
I - calculou um intervalo de seleção da amostra, dividindo o total da população pelo tamanho da amostra: 
20.000/1.000 = 20; 
 
II - sorteou aleatoriamente um número inteiro, do intervalo [1, 20]. O número sorteado foi 15; desse modo, 
o primeiro elemento selecionado é o 15º; 
 
III - a partir desse ponto, aplica-se o intervalo de seleção da amostra: o segundo elemento selecionado é o 
35º (15+20), o terceiro é o 55º (15+40), o quarto é o 75º (15+60), e assim sucessivamente. 
 
O último elemento selecionado nessa amostra é o 
A) 19.997º 
B) 19.995º 
C) 19.965º 
D) 19.975º 
E) 19.980º 
 
7. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é 𝑺𝒏, 
então a expressão 𝑺𝒏+𝟑 − 𝟑𝑺𝒏+𝟐 + 𝟑𝑺𝒏+𝟏 − 𝑺𝒏 equivale a 
A) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 
B) 𝑛(𝑛 + 1) 
C) 𝑆𝑛 
D) 𝑆𝑛+1 
E) 0 
 
8. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Considere 𝒏 números inteiros, ímpares, positivos e diferentes, 
representados por 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, tais que a soma ∑ 𝒂𝒊
𝑵
𝒊=𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + . . . + 𝒂𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Qual é o 
maior valor possível para 𝒏? 
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A) 99 
B) 100 
C) 1000 
D) 4999 
E) 5000 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2018) Em uma progressão aritmética de 5 termos e primeiro termo 5, a 
soma dos quadrados dos três primeiros termos é igual à soma dos quadrados dos dois últimos termos. O 
maior valor possível para o último termo dessa progressão aritmética é 
A) 5,5 
B) 6 
C) 6,5 
D) 7 
E) 7,5 
 
10. (CESGRANRIO/EPE/2014) A sequência (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, . . . , 𝒂𝟐𝟎) é uma progressão aritmética de 20 termos, 
na qual 𝒂𝟖 + 𝒂𝟗 = 𝒂𝟓 + 𝒂𝟑 + 𝟏𝟖𝟗. A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa 
ordem, é igual a 
A) 19 
B) 21 
C) 91 
D) 171 
E) 399 
 
11. (CESGRANRIO/BNDES/2013) Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença 
entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma progressão 
aritmética finita que possui 
A) 67 termos 
B) 33 termos 
C) 28 termos 
D) 23 termos 
E) 21 termos 
 
Progressão Geométrica 
 
12. (CESGRANRIO/BASA/2018) Considere a sequência numérica cujo termo geral é dado por 𝒂𝒏 = 𝟐𝟏−𝟑𝒏, 
para 𝒏 ≥ 𝟏. Essa sequência numérica é uma progressão 
A) geométrica, cuja razão é 1/8 
B) geométrica, cuja razão é -6. 
C) geométrica, cuja razão é -3. 
D) aritmética, cuja razão é -3. 
E) aritmética, cuja razão é 1/8. 
 
13. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2018) Sabe-seque, em uma determinada progressão geométrica, a razão 
é 0,8. Se o quinto termo é 4.096; então, o Limite da Soma dos n primeiros dessa P.G., quando n tende a 
infinito, é igual a 
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A) 10.000 
B) 20.000 
C) 30.000 
D) 40.000 
E) 50.000 
 
14. (CESGRANRIO/BB/2018) Para 𝒙 > 𝟎, seja 𝑺𝒙 a soma 
 
𝑺𝒙 = ∑ 𝟐−𝒏𝒙
+∞
𝒏=𝟏
= 𝟐−𝒙 + 𝟒−𝒙 + 𝟖−𝒙 + ⋯ 
 
O número real 𝒙 para o qual se tem 𝑺𝒙 =
𝟏
𝟒
. 
A) 4 
B) log2 5 
C) 3/2 
D) 5/2 
E) log2 3 
 
15. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2017) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é 
dada por: 
𝑺𝒏 =
𝟑𝒏+𝟒 − 𝟖𝟏
𝟐 ∙ 𝟑𝒏
 
 
Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica? 
A) 1 
B) 3 
C) 27 
D) 39 
E) 40 
 
16. (CESGRANRIO/BASA/2015) Uma sequência de números reais tem seu termo geral, 𝒂𝒏, dado por 𝒂𝒏 =
𝟒 ∙ 𝟐𝟑𝒏+𝟏, para 𝒏 ≥ 𝟏. Essa sequência é uma progressão 
A) geométrica, cuja razão é igual a 2. 
B) geométrica, cuja razão é igual a 32. 
C) aritmética, cuja razão é igual a 3. 
D) aritmética, cuja razão é igual a 1. 
E) geométrica, cuja razão é igual a 8. 
 
17. (CESGRANRIO/BR/2015) Considere a progressão geométrica finita (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, . . . , 𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝟏𝟐), na qual o 
primeiro termo vale metade da razão e 𝒂𝟕 = 𝟔𝟒 ∙ 𝒂𝟒. O último termo dessa progressão é igual a 
A) 212 
B) 216 
C) 222 
D) 223 
E) 234 
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18. (CESGRANRIO/BR/2015) Considere 𝒂𝒏 e 𝒃𝒏 os termos gerais de duas progressões geométricas, cujas 
razões são 4 e 1/2, respectivamente. Tem-se, portanto, que 𝒄𝒏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 é o termo geral de uma 
progressão geométrica cuja razão é igual a 
A) 8 
B) 9/2 
C) 2 
D) 1/2 
E) 1/8 
 
19. (CESGRANRIO/BASA/2013) A sequência 𝒂𝒏, 𝒏 ∈ ℕ é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 
𝒂𝟏 = −𝟐 e cuja razão é 𝒓 = 𝟑. Uma progressão geométrica, 𝒃𝒏, é obtida a partir da primeira, por meio da 
relação 
 
𝒃𝒏 = 𝟑𝒂𝒏 , 𝒏 ∈ ℕ 
 
Se 𝒃𝟏 e 𝒒 indicam o primeiro termo e a razão dessa progressão geométrica, então 
𝒒
𝒃𝟏
 vale 
A) 243. 
B) 3. 
C) 1/243. 
D) −2/3. 
E) −27/6. 
 
20. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Seja a progressão geométrica: √𝟓, √𝟓
𝟑
, √𝟓
𝟔
, … O quarto termo dessa 
progressão é: 
A) 0 
B) −1/56 
C) 1/59 
D) 1 
E) 5 
 
21. (CESGRANRIO/BNDES/2011) A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão 
tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12. 
Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica? 
 
A) 1 
B) 3 
C) 6 
D) 9 
E) 12 
 
22. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para 
que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica? 
A) −9 
B) −5 
C) −1 
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D) 1 
E) 9 
 
23. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) A série alternada, apresentada a seguir, converge absolutamente. 
 
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
−
𝟏
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟑𝟐
+ ⋯ 
 
Seu valor é de 
A) 1/2 
B) 1/3 
C) 1/4 
D) 1/5 
E) 1/6 
 
24. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) Qual a soma dos 5 primeiros termos da sequência geométrica 5,10, 
...? 
A) 77,5 
B) 80 
C) 155 
D) 160 
E) 635 
 
Sequências Numéricas 
 
25. (CESGRANRIO/BB/2012) Uma sequência numérica infinita (𝒆𝟏, 𝒆𝟐, 𝒆𝟑, . . . , 𝒆𝒏, . . . ) é tal que a soma dos 
n termos iniciais é igual a 𝒏𝟐 + 𝟔𝒏. O quarto termo dessa sequência é igual a 
A) 9 
B) 13 
C) 17 
D) 32 
E) 40 
 
26. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2011) Uma sequência é formada de tal modo que o seu primeiro termo 
é 20 e seu vigésimo termo é 11. Além disso, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à média 
aritmética de todos os termos que o antecedem. Determine o segundo termo dessa sequência. 
A) 2 
B) 11 
C) 15,5 
D) 20 
E) 31 
 
27. (CESGRANRIO/BR/2010) Determinado sistema especialista apresenta a sequência lógica a seguir. 
 
𝟑, 𝟏𝟐, 𝟑𝟑, 𝟕𝟐, 𝟏𝟑𝟓, 𝟐𝟐𝟖 
 
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Qual o próximo número dessa sequência? 
A) 331 
B) 357 
C) 418 
D) 421 
E) 816 
 
28. (CESGRANRIO/IBGE/2006) Na sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é: 
A) 28 
B) 29 
C) 30 
D) 31 
E) 32 
Outras Bancas 
29. (VUNESP/PM-SP/2020) Na sequência de números: 4, 8, 6, 12, 10, 20, 18, 36, 34, ..., o primeiro termo 
que é maior do que 100 é o número 
a) 122. 
b) 126. 
c) 132. 
d) 136. 
 
30. (VUNESP/FITO/2020) Considere a sequência de números naturais: 
 
(𝟑𝟎, 𝟑𝟓, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟑𝟓, . . . ) 
 
A diferença entre o 14º e o 11º termos dessa sequência é 
a) 165. 
b) 170. 
c) 175. 
d) 180. 
e) 185. 
 
31. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Na sequência: 32, 64, 48, 96, 72, 144, 108, …, o primeiro termo que é 
um número ímpar é o 
a) 9º termo. 
b) 10º termo. 
c) 11º termo. 
d) 12º termo. 
e) 13º termo. 
 
32. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Os sete primeiros algarismos de uma senha bancária são 6412521. Os 
oito algarismos dessa senha podem ser separados, na ordem em que aparecem, em números de 2 ou 3 
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algarismos, formando um padrão único e justificado nos oito algarismos. Dessa forma, o último algarismo 
dessa senha é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
33. (VUNESP/EBSERH HC-UFU/2020) Antônio Carlos elaborou uma senha contendo 12 elementos 
alfanuméricos, intercalados. Para tanto, ele utilizou um padrão, em que 11 dos 12 elementos da senha são 
apresentados a seguir: 
 
𝒂𝟒𝒛𝟓𝒃𝟖? 𝟕𝒄𝟎𝒙𝟗 
 
O elemento desconhecido dessa senha, indicado por ?, é a letra 
a) t. 
b) u. 
c) v. 
d) w. 
e) y. 
 
34. (VUNESP/UFABC/2019) Considere a seguinte sequência, que inicia pelo número 128 e em que todos 
os seus elementos são números de três algarismos: 
 
𝟏𝟐𝟖, 𝟐𝟎𝟗, 𝟑𝟎𝟏, 𝟑𝟏𝟒, 𝟑𝟓𝟕, 𝟒𝟑𝟎, 𝟒𝟑𝟒, 𝟒𝟕𝟖, 𝟓𝟔𝟐, 𝟓𝟖𝟕, … 
 
O maior elemento dessa sequência é 
a) 937. 
b) 948. 
c) 951. 
d) 962. 
e) 990. 
 
35. (VUNESP/UNIFAI/2019) A diferença entre o 18º e o 16º termos da sequência de números naturais (10, 
20, 30, 41, 52, 64, 76, 89, . . .) é igual a 
a) 32. 
b) 33. 
c) 34. 
d) 35. 
e) 36. 
 
36. (VUNESP/CM Tatuí/2019) Em uma sala estão 100 pessoas. Essas pessoas sairão da sala em etapas. O 
número de pessoas que sairão em cada etapa, e nessa ordem, serão: 1, 2, 3, 4, e assim sucessivamente. 
Pela primeira vez, após uma determinada etapa, restarão na sala menos do que 50 pessoas. Nessa 
situação, o número de pessoas que ainda estão na sala é igual a 
a) 48. 
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b) 47. 
c) 45. 
d) 44. 
e) 41. 
 
37. (VUNESP/PREF. ITAPEVI/2019) A sequência dos cinco números a seguir foi composta, a partir do 2º 
número, por uma regra. 
 
𝟏, 𝟑, 𝟕, 𝟏𝟓, 𝟑𝟏. 
 
Admitindo-se que a regra de formação dos elementos seguintes da sequência permaneça a mesma, pode-
se concluir corretamente que o sétimo número será 
a) 53. 
b) 73. 
c) 77. 
d) 127. 
e) 135. 
 
38. (VUNESP/UNICAMP/20) Os termos da seguinte sequência numérica obedecem a um determinado 
padrão: 
 
(𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, . . . ) 
 
O número 2 aparece na sequência, pela primeiravez, na posição 4. O número 3 aparece, pela primeira vez, 
na posição 10. O número 9 aparece, pela primeira vez na sequência, na posição 
a) 88. 
b) 68. 
c) 54. 
d) 42. 
e) 38. 
 
39. (VUNESP/IPREMM/2019) Considere a sequência que foi criada com um padrão: (640, 320, 960, 240, 1 
200, 200, ...). A diferença entre o 9o e o 8o termos é igual a 
a) 1 200. 
b) 1 300. 
c) 1 400. 
d) 1 500. 
e) 1 600. 
 
40. (VUNESP/PREF. VALINHOS/2019) Considere a sequência: 
 
𝟏𝟐𝟑, 𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟒𝟓, 𝟒𝟓𝟔, 𝟓𝟔𝟕, . .. 
 
Dessa sequência sabe-se que o 8º termo é um número formado por quatro algarismos, o 9º termo é um 
número formado por cinco algarismos, o 10º termo é um número formado por seis algarismos, o 11º termo 
é um número formado por seis algarismos, o 23º termo é um número formado por seis algarismos. 
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A diferença entre o 19º e o 15º termos dessa sequência é igual a 
a) 40044. 
b) 40404. 
c) 40440. 
d) 44040. 
e) 44400. 
 
41. (VUNESP/CM PIRACICABA/2019) Na sequência numérica 5, 8, 4, 9, 3, 10, 2, ..., em que o primeiro 
elemento é 5, mantida a lógica de formação, o vigésimo quarto elemento será igual a 
a) 17. 
b) 18. 
c) 19. 
d) 20. 
e) 21. 
 
42. (VUNESP/PREF. CAMPINAS/2019) Na sequência 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 4, …, o 
algarismo zero pode aparecer como um termo, como acontece com o 2º termo dessa sequência, ou pode 
aparecer como um dos algarismos de um termo, como acontece com o termo 102. A posição em que o 
termo 1001 aparece pela primeira vez é 
a) 502501. 
b) 501001. 
c) 500001. 
d) 503001. 
e) 504501. 
 
43. (VUNESP/PREF. CAMPINAS/2019) Na sequência: 111, 112, 113, 122, 123, 124, 133, 134, 135, 144, . . ., 
a diferença entre o 20º termo e o 11º termo é superada pela diferença entre o 17º termo e o 5º termo em 
a) 9 unidades. 
b) 10 unidades. 
c) 8 unidades. 
d) 11 unidades. 
e) 7 unidades. 
 
CESPE 
 
44. (CESPE/IBGE/2021) No desenvolvimento de uma pesquisa, Carlos, agente de pesquisas e mapeamento, 
durante 20 dias consecutivos, visitou diversos domicílios distintos, de acordo com o seguinte esquema: 
 
- no primeiro dia da pesquisa, Carlos visitou 12 domicílios distintos; 
- do segundo ao sétimo dia da pesquisa, Carlos visitou 9 domicílios distintos por dia; 
- do oitavo ao vigésimo dia da pesquisa, Carlos visitou 8 domicílios distintos por dia. 
 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
 
I. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por dn a quantidade de domicílios visitados por Carlos no n-ésimo dia 
da pesquisa, tem-se que {𝒅𝟏, 𝒅𝟐, . . . , 𝒅𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
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II. Para 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝟐𝟎, denotando-se por tn a quantidade total de domicílios visitados por Carlos desde o 
primeiro até o n-ésimo dia da pesquisa, tem-se que {𝒕𝟏, 𝒕𝟐, . . . , 𝒕𝟐𝟎} é uma progressão aritmética. 
 
III. No âmbito da pesquisa realizada, durante os 20 dias de sua duração, Carlos visitou 170 domicílios 
distintos. 
 
 Assinale a opção correta. 
A) Apenas o item III está certo. 
B) Apenas os itens I e II estão certos. 
C) Apenas os itens I e III estão certos. 
D) Apenas os itens II e III estão certos. 
E) Todos os itens estão certos. 
 
45. (CESPE/PRF/2021) Em uma operação da PRF, foram fiscalizados: 20 veículos automotores até o fim da 
primeira hora; 60 veículos automotores até o fim da segunda hora; 120 veículos automotores até o fim da 
terceira hora; 200 veículos automotores até o fim da quarta hora; e 300 veículos automotores até o fim da 
quinta hora. O padrão numérico observado manteve-se até o fim da décima hora, quando, então, foi 
finalizada a operação. Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
 
Considere que {𝑞𝑛}, para n variando de 1 a 10, seja a sequência numérica formada pelas quantidades de 
veículos fiscalizados apenas no decorrer da n-ésima hora de realização da operação, ou seja, 𝑞1 é a 
quantidade de veículos fiscalizados apenas no decorrer da primeira hora de realização da operação; 𝑞2 é a 
quantidade de veículos fiscalizados apenas no decorrer da segunda hora de realização da operação; e assim 
por diante. Nessa situação, a sequência {𝑞𝑛}, para n variando de 1 a 10, é uma progressão aritmética. 
 
46. (CESPE/TJ-PR/2019) O protocolo de determinado tribunal associa, a cada dia, a ordem de chegada dos 
processos aos termos de uma progressão aritmética de razão 2: a cada dia, o primeiro processo que chega 
recebe o número 3, o segundo, o número 5, e assim sucessivamente. Se, em determinado dia, o último 
processo que chegou ao protocolo recebeu o número 69, então, nesse dia, foram protocolados 
A) 23 processos. 
B) 33 processos. 
C) 34 processos. 
D) 66 processos. 
E) 67 processos. 
 
47. (CESPE/IFF/2018) Se, em uma progressão aritmética, o segundo termo for igual a −1 e o quinto termo 
for igual a 11, então o décimo termo será igual a 
A) 30. 
B) 31. 
C) 35. 
D) 50. 
E) 95. 
 
48. (CESPE/FUB/2018) A tabela seguinte mostra as quantidades de livros de uma biblioteca que foram 
emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
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Mês 1 2 3 4 5 6 
Quantidade 50 150 250 250 300 200 
 
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos somente a partir de julho 
de 2017 e os números correspondentes às quantidades de livros devolvidos a cada mês formavam uma 
progressão aritmética em que o primeiro termo era 90 e razão, 30. 
 
Assertiva: Nessa situação, mais de 200 livros foram devolvidos somente a partir de 2018. 
 
49. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Se a sequência estiver em progressão aritmética com razão igual a 10 e 𝑎1 = 5, então 𝑎10 > 100. 
 
50. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Considere que a sequência seja formada pelos seguintes termos, nessa ordem: 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37. 
Nesse caso, a sequência numérica 𝑏𝑗 = 𝑎𝑗+1 − 𝑎𝑗, em que 𝑗 = 1, 2, … , 6 forma uma progressão aritmética. 
 
51. (CESPE/CBM-AL/2017) Terminado o concurso para o cargo de soldado combatente, para o qual, 
conforme previsto em edital, havia 140 vagas, buscou-se uma forma de dar provimento aos cargos, com a 
chamada para a posse dos classificados. Devido à contingência de recursos, foi estabelecido que a 
chamada seria mensal, durante determinada quantidade de meses, e que as quantidades de aprovados 
chamados mensalmente para a posse deveriam obedecer a uma progressão aritmética de razão 2. Com 
referência à situação hipotética apresentada, julgue o item seguinte. 
 
Se todos os classificados forem chamados mês a mês durante 7 meses, então no 4º mês serão chamados 20 
dos classificados. 
 
52. (CESPE/PRF/2013) 
 
 
 
Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue o item seguinte. 
 
Os valores associados aos anos de 2008, 2009 e 2010 estão em progressão aritmética. 
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53. (CESPE/IBGE/2021) Um organismo vivo tem a capacidade de reproduzir-se dividindo-se em dois outros 
organismos semelhantes a ele. A cada segundo, cada novo organismo gerado amadurece e se reproduz, 
gerando dois outros organismos. Em certo experimento, em um instante inicial, um desses organismos foi 
isolado e passou-se a contabilizara população pn dos organismos gerados a partir daquele que foi isolado, 
decorridos exatamente n segundos desde o instante inicial. Nessa situação, supondo-se que no decorrer 
dos 10 primeiros segundos do experimento nenhum dos organismos pereceu, tem-se que 
A) 𝑝10 < 400. 
B) 400 ≤ 𝑝10 < 600. 
C) 600 ≤ 𝑝10 < 800. 
D) 800 ≤ 𝑝10 < 1.000. 
E) 1.000 ≤ 𝑝10. 
 
54. (CESPE/TJ-PA/2020) No dia 1.º de janeiro de 2019, uma nova secretaria foi criada em certo tribunal, a 
fim de receber todos os processos a serem protocolados nessa instituição. Durante o mês de janeiro de 
2019, 10 processos foram protocolados nessa secretaria; a partir de então, a quantidade mensal de 
processos protocolados na secretaria durante esse ano formou uma progressão geométrica de razão igual 
a 2. Nessa situação hipotética, a quantidade de processos protocolados nessa secretaria durante os meses 
de junho e julho de 2019 foi igual a 
A) 320. 
B) 480. 
C) 640. 
D) 960. 
E) 1.270. 
 
55. (CESPE/IFF/2018) O segundo termo de uma progressão geométrica é 5 e o quinto termo é 40/27. 
Para essa progressão, a soma dos n primeiros termos é igual a 
A) (
45
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
B) (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
C) (
45
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛−1
] 
D) (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛−1
] 
E) (
45
2
) × (
15
2
) × [1 − (
2
3
)
𝑛
] 
 
56. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Sobre uma mesa há 9 caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um 
grão de feijão; depois, em outra caixa, serão colocados três grãos de feijão. Prosseguindo-se 
sucessivamente, será escolhida uma caixa vazia, e nela colocada uma quantidade de grãos de feijão igual 
ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente escolhida, até que não reste caixa vazia. Nessa 
situação, nas 9 caixas será colocada uma quantidade de grãos de feijão igual a 
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106 
 
A) 
30−1
2
 
B) 30 − 1 
C) 
310−1
2
 
D) 310 − 1 
E) 
38−3
2
 
 
57. (CESPE/SEDUC-AL/2018) Com relação a uma sequência numérica 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, julgue o item 
subsequente. 
 
Se a sequência for uma progressão geométrica (PG), em que 𝑎1 = 5 e 𝑎4 = 135, então a razão dessa PG será 
maior que 4. 
 
58. (CESPE/MIN/2013) Julgue o seguinte item, relativo a sistemas numéricos e sistema legal de medidas. 
 
A soma 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
 é inferior a 2. 
 
59. (CESPE/TCE-RS/2013) A respeito do controle e manutenção dos 48 veículos de um órgão público, julgue 
o item seguinte. 
 
Se, em 2010, os veículos desse órgão consumiram 16.000 L de combustível e se, nos anos seguintes, o 
consumo cresceu em progressão geométrica à razão de 10% ao ano, então, o total de combustível consumido 
por esses veículos em 2010, 2011 e 2012 foi inferior a 50.000 L. 
 
(BRB/2011) Texto para as próximas questões 
Considerando que, em uma progressão aritmética de termos 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, . . . , 𝒂𝒏, . . ., a razão seja positiva, 𝒂𝟏 =
𝟐 e os termos 𝒂𝟏, 𝒂𝟑 𝐞 𝒂𝟏𝟏 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica, julgue os itens a seguir. 
 
60. (CESPE/BRB/2011) A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não inteiro. 
 
61. (CESPE/BRB/2011) Para cada 𝒏 ímpar, 𝒂𝒏 será sempre um número par. 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO
1. LETRA D 
2. LETRA B 
3. LETRA A 
4. LETRA A 
5. LETRA B 
6. LETRA B 
7. LETRA E 
8. LETRA B 
9. LETRA D 
10. LETRA E 
11. LETRA D 
12. LETRA A 
13. LETRA E 
14. LETRA B 
15. LETRA A 
16. LETRA E 
17. LETRA D 
18. LETRA C 
19. LETRA A 
20. LETRA D 
21. LETRA B 
22. LETRA A 
23. LETRA B 
24. LETRA C 
25. LETRA B 
26. LETRA A 
27. LETRA B 
28. LETRA B 
29. LETRA C 
30. LETRA D 
31. LETRA C 
32. LETRA D 
33. LETRA E 
34. LETRA A 
35. LETRA D 
36. LETRA C 
37. LETRA D 
38. LETRA A 
39. LETRA C 
40. LETRA B 
41. LETRA C 
42. LETRA A 
43. LETRA D 
44. LETRA A 
45. CERTO 
46. LETRA C 
47. LETRA B 
48. ERRADO 
49. ERRADO 
50. CERTO 
51. CERTO 
52. ERRADO 
53. LETRA E 
54. LETRA D 
55. LETRA A 
56. LETRA A 
57. ERRADO 
58. CERTO 
59. ERRADO 
60. ERRADO 
61. CERTO 
 
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