Funções Polinomiais - 1º e 2º Grau

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Aula 09 (Prof. Vinícius
Veleda)
PRF (Policial) - Raciocínio Lógico
Matemático - 2022 (Pré-Edital)
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
05 de Novembro de 2021
 
 
 
 
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Sumário 
1.Função Polinomial do 1º Grau .......................................................................................................... 3 
1.1. Classificação ............................................................................................................................................ 4 
1.1.1. Função Constante ................................................................................................................................. 4 
1.1.2. Função Identidade ................................................................................................................................ 5 
1.1.3. Função Linear ....................................................................................................................................... 6 
1.1.4. Função Afim .......................................................................................................................................... 6 
1.2. Gráfico da Função do 1º Grau ................................................................................................................. 7 
1.3. Raiz ou Zero da Função do 1º Grau ....................................................................................................... 11 
1.4. Estudo de Sinal da Função do 1º Grau .................................................................................................. 12 
2. Função Polinomial do 2º Grau ....................................................................................................... 17 
2.1. Raízes ou Zeros da Função do 2º Grau .................................................................................................. 18 
2.1.1. Determinação dos zeros por meio da soma e produto das raízes..................................................... 22 
2.1.2. Quantidade de raízes reais ................................................................................................................. 24 
2.2. Gráfico da Função do 2° Grau ............................................................................................................... 26 
2.2.1. Introdução .......................................................................................................................................... 26 
2.2.2. Efeito dos coeficientes na parábola ................................................................................................... 29 
2.2.3. Interseção com o eixo X (raízes)......................................................................................................... 32 
2.2.4. Vértice da parábola e máximos e mínimos da função ....................................................................... 33 
2.2.5. Imagem da função .............................................................................................................................. 37 
2.3. Estudo do Sinal da Função do 2º Grau .................................................................................................. 39 
Questões Comentadas ....................................................................................................................... 51 
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Função Afim (1° Grau) .................................................................................................................................. 51 
Função Quadrática (2° Grau) ........................................................................................................................ 89 
Gabarito............................................................................................................................................ 147 
 
 
 
 
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1.FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
Chama-se função polinomial do 1º grau a função f: R → R, definida por y = ax + b, com a e b pertencentes 
ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. Neste caso, a é o coeficiente angular da reta do gráfico de f e deter-
mina sua inclinação. Já o número b corresponde ao coeficiente linear da reta e determina a interseção da 
reta com o eixo y. Por fim, temos que x é a variável independente. 
Desse modo, são funções polinomiais do 1º grau: 
f(x) = 4x – 1 → coeficientes: a = 4 e b = -1. 
f(x) = 7/3 – x → coeficientes: a = -1 e b = 7/3. 
f(x) = 3 – x/4 → coeficientes: a = -1/4 e b = 3. 
f(x) = 5x → coeficientes: a = 5 e b = 0. 
 
 
Sabe-se que numa função do 1º grau que f(2) = 4 e f(-1) = 5. Vamos encontrar a função f e calcular f(1/3). 
Como f é uma função polinomial do 1º grau, ela é expressa por: f(x) = ax + b. 
De acordo com os dados apresentados, temos: 
f(2) = 4. Ou seja: x = 2 e y = 4, de modo que 2a + b = 4 (I) 
f(-1) = 5. Isto é: x = -1 e y = 5, então –a + b = 5 (II) 
Subtraindo I e II, obtemos: 
3a = -1 → a = -1/3 
Substituindo este resultado na equação II, ficamos com: 
1/3 + b = 5 
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b = 5 – 1/3 = (15 – 1)/3 = 14/3 
Agora, substituímos os valores de a e de b na forma genérica da função polinomial do 1º grau: 
f(x) = ax + b 
f(x) = -1/3x + 14/3. 
Com a definição da função f, podemos calcular f(1/3): 
f(1/3) = -1/3 ⨯ 1/3 + 14/3 
f(1/3) = -1/9 + 14/3 = 41/9 
 
1.1. Classificação 
A função polinomial do 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. 
1.1.1. Função Constante 
A função Constante é aquela em que a = 0, de modo que f(x) = b, em que b pertence ao conjunto dos núme-
ros reais. Assim, para quaisquer valores de x, ou seja, do domínio de f, sua imagem será sempre b. Com isso, 
o conjunto imagem será sempre unitário. 
Por exemplo, f(x) = 4 é uma função constante, pois, para qualquer valor de x, o valor de f(x) será sempre 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por fim, destaco que a função constante não é sobrejetora, não é injetora e nem bijetora, de forma que não 
admite a função inversa. 
1.1.2. Função Identidade 
A função Identidade é aquela em que a = 1 e b = 0, de modo que f(x) = x. Assim, x e y têm sempre os mesmos 
valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta y = x é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares. 
Se a = -1 e b = 0, então y = -x. Ou seja, x e y têm valores iguais em módulo, porém com sinais contrários. 
Neste caso, a reta determinada por essa função é a bissetriz dos quadrantes pares, conforme mostra o gráfico 
a seguir: 
 
 
 
 
y = x 
1º quadrante 
3º quadrante 
y = -x 
2º quadrante 
4º quadrante 
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1.1.3. Função Linear 
A função Linear é definida como f(x) = ax, em que b = 0, a ≠ 0 e a ≠ 1, com a e b pertencentes ao conjunto 
dos números reais. 
Exemplos: f(x) = 5x, f(x) = -2x, y = 2/3x. 
 
1.1.4. Função Afim 
A função Afim é definida como f(x) = ax + b, em que a ≠ 0 e b ≠ 0, com a e b pertencentes ao conjunto dos 
números reais. 
Exemplos: f(x) = 5x + 2, f(x) = 4x – 2, y = -x + 7. 
 
F
U
N
Ç
Ã
O
 D
O
 1
º
 G
R
A
U Constante
f(x) = b
(a = 0)
Identidade
f(x) = x
(a = 1 e b = 0)
Linear
f(x) = ax
(b = 0, a ≠ 0 e a ≠ 1)
Afim
f(x) = ax + b(a ≠ 0 e b ≠ 0)
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1.2. Gráfico da Função do 1º Grau 
A representação geométrica da função do 1º grau é dada por uma reta, de modo que para determinar o 
gráfico é necessário obter dois pontos dessa reta. Procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos Ox 
e Oy. 
Por exemplo, na função y = 2x + 1, o ponto do eixo Ox é determinado pela equação 2x + 1 = 0, ou seja, x = -
1/2. Com isso, o ponto procurado é (-1/2, 0). 
Similarmente, o ponto do eixo Oy é dado por: 
y = 2 . 0 + 1 
y = 1 
Dessa maneira, o ponto procurado é (0, 1) e o gráfico dessa função fica: 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma, na função f(x) = -2x + 4, temos o ponto Ox fica (2, 0), pois: 
-2x + 4 = 0 → x = 2 
E também com y = -2 . 0 + 4 = 4, de modo que o ponto do eixo Oy é (0, 4). 
 
 
 
(0, 1) 
(-1/2, 0) 
(0, 4) 
(2, 0) 
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Agora, vamos comparar os dois exemplos anteriores: 
- em f(x) = 2x + 1, temos a = 2, de modo que o gráfico representa uma função crescente; 
- em f(x) = -2x + 4, temos a = -2, de modo que o gráfico representa uma função decrescente. 
Assim, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente. 
 
 
Além disso, o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Veja: 
 
Para determinar a intersecção da reta com os eixos, 
fazemos:
1) igualamos y a zero, então ax + b = 0 → x = -b/a, no 
eixo Ox encontramos o ponto (-b/a, 0).
2) igualamos x a zero, então f(x) = a . 0 + b → y = b, no 
eixo Oy encontramos o ponto (0, b).
Função Crescente
a > 0
Função Decrescente
a < 0
Função Crescente Função Decrescente 
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Veja que na função crescente à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y 
também aumentam. Por outro lado, na função decrescente à medida que os valores de x aumentam, os 
valores correspondentes de y diminuem. 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
 
 
1. CONSULPLAN/Pref Ibiraçu/2015 
Analise o gráfico de uma função do primeiro grau. 
 
A função em questão é: 
a) y = –2x + 6. 
b) y = 3x – 2. 
c) y = 2x – 3. 
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d) y = –3x + 6. 
Comentários: 
De acordo com o gráfico apresentado, a função passa pelo ponto (0, 6), ou seja, pelo ponto de coordenadas 
x = 0 e y = 6. 
Além disso, ela passa também pelo ponto (3, 0), com as coordenadas x = 3 e y = 0. 
Como as funções de primeiro grau possuem a forma y = ax + b, temos: 
6 = a × 0 + b 
b = 6 
Também: 
0 = 3a + 6 
a = −2 
Portanto, a função de primeiro grau é igual a: 
y = −2x + 6 
Gabarito: Letra A. 
2. ESAF/MF/2014 
Sejam f (x) = mx + 4 e g(x) = 2x + 3n funções do primeiro grau. Calcule m + n, de modo que f (3) + g(3) = 22. 
a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6 
Comentários: 
Para x = 3, as funções dadas ficam: 
 
Somando-as, obtemos: 
 
 
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Gabarito: Letra C. 
 
1.3. Raiz ou Zero da Função do 1º Grau 
A raiz ou zero da função do 1º grau é o valor de x para o qual tem-se y = f(x) = 0. Graficamente é o ponto em 
que a reta corta o eixo Ox. 
Assim, para determinar a raiz da função basta igualá-la a zero, obtendo: 
f(x) = ax + b 
ax + b = 0 
ax = -b 
x = -b/a 
Para exemplificar, vamos determinar a raiz das funções a seguir: 
a) y = 4x + 2 
Para encontrar a raiz da função do 1º grau, basta igualá-la a zero: 
4x + 2 = 0 
4x = –2 
x = –2/4 = –1/2 
Graficamente, a reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2. 
b) y = – 2x + 10 
Também podemos encontrar a raiz da função do primeiro grau por aplicar a fórmula: 
x = -b/a 
x = -10/-2 = 5 
Então, no gráfico da função y = – 2x + 10 a reta intersecta o eixo x no valor 5. 
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c) y = 3x 
Vamos igualar a função a zero para encontrar sua raiz: 
y = 0 
3x = 0 
x = 0 
Graficamente, a reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x na origem. 
 
1.4. Estudo de Sinal da Função do 1º Grau 
Estudar o sinal de uma função de 1º grau consiste em determinar os valores de x para que y seja positivo, 
negativo ou zero. 
Para exemplificar, vamos estudar o sinal de f: R → R dada por y = 2x – 1. 
Note que se trata de uma função crescente, já que o valor do coeficiente a é positivo. 
Vamos construir o gráfico da função apresentada: 
- Se x = 0, então y = 2 . 0 - 1 → y = 1. Como resultado, obtemos o ponto (0, -1). 
- Se y = 0, então 2x – 1 = 0 → x = 1/2, de modo que temos o ponto (1/2, 0). 
 
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Analisando o gráfico, concluímos que: 
- quando x < 1/2, temos y < 0; 
- quando x > 1/2, temos y > 0; 
- quando x = 1/2, temos y = 0. 
Esta análise corresponde ao estudo do sinal da função. Para facilitar, podemos efetuá-la recorrendo apenas 
a um esboço do gráfico: 
 
 
 
 
 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
 
3. CESPE/2013 
Gráfico para o item 
 
Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a previsão de valores futuros do nú-
mero de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse sentido, suponha que o número de acidentes no 
1/2 
Sinal de y para x > 1/2 
Sinal de y para x < 1/2 
Raiz 
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ano t seja representado pela função f(t) = At + B, tal que f(2007) = 129.000 e f(2009) = 159.000. Com base 
nessas informações e no gráfico apresentado, julgue o item a seguir. 
A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o 
número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000. 
Comentários: 
O enunciado apresenta a seguinte função: f(t) = at + b. 
Veja que se trata de uma função linear, pois o expoente de t vale 1. Isso significa que ela apresenta acrésci-
mos regulares de um ano para o outro. 
Conforme o gráfico dado, f(2007) e f(2009) valem 129.000 e 159.000. Ou seja, em dois anos o aumento foi 
de 30.000. De 2009 a 2011, temos novo aumento de 30.000, justamente porque a função é linear. Então: 
f(2011) = 159.000 + 30.000 = 189.000 
Note que a previsão coincide exatamente com o valor observado, de modo que a diferença é nula. 
Gabarito: ERRADO. 
4. CESPE/SERPRO/2013 
Com o lançamento de um novo modelo de telefone celular, a cada dia i do mês de março de determinado 
ano, i = 1, 2, ..., 31, uma loja dispunha de 4i + 324 unidades desse aparelho para venda e vendia 40i – i2 
unidades. 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
Apenas algum dia depois do dia 15 daquele mês é que a loja pode dispor de 400 unidades do aparelho para 
venda. 
Comentários: 
O enunciado apresenta a função que dá a quantidade disponível para venda é: 4i + 324. 
Como queremosque a quantidade disponível seja de 400 unidades, fazemos: 
4i + 324 = 400 
4i = 76 
i = 76/4 = 19 
Ou seja, apenas no dia 19 a loja dispõe de 400 unidades para vender, o que realmente ocorre após o dia 15. 
Gabarito: CERTO. 
5. FCC/SABESP/2018 
Os taxímetros de uma cidade calculam o valor de cada corrida utilizando a seguinte fórmula: P = 4,55 + 1,35 
× k. Nessa fórmula a letra P significa o preço a ser pago, em R$, e a letra k significa a quantidade de quilôme-
tros que o táxi rodou com o passageiro, inclusive com frações de quilômetros. Uma pessoa que utilizou um 
desses táxis e rodou 3,4 km pagou, pela corrida, a quantia de 
a) R$ 20,06 
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b) R$ 13,12 
c) R$ 18,34 
d) R$ 9,14 
e) R$ 8,92 
Comentários: 
O enunciado informa que a função por meio da qual se calcula o preço (P) a ser pago é: 
P = 4,55 + 1,35k 
Se uma pessoa rodou k = 3,4 quilômetros, temos: 
P = 4,55 + 1,35 × 3,4 = 4,55 + 4,59 = R$ 9,14 
Gabarito: Letra D. 
6. CESPE/Pref SL/2017 
Se x ≥ 0 representa a quantidade de quilômetros percorridos por um veículo em determinado dia, então: 
• f(x) = x/12 representa a quantidade de litros de combustível consumido pelo veículo para percorrer x 
quilômetros; 
• g(x) = 60 – x/12 representa a quantidade de litros de combustível que restam no tanque do veículo depois 
de percorridos x quilômetros. 
Tendo como referência as informações acima e considerando que o veículo tenha iniciado o percurso com o 
tanque de combustível cheio, se, no dia mencionado, o condutor parar o veículo para abastecer quando 
restarem exatamente 15 litros de combustível no tanque, então, até aquele instante, o veículo terá percor-
rido 
a) mais de 150 km e menos de 300 km. 
b) mais de 300 km e menos de 450 km. 
c) mais de 450 km e menos de 600 km. 
d) mais de 600 km. 
e) menos de 150 km 
Comentários: 
Veja que imediatamente antes de o veículo iniciar a viagem (x=0), o tanque está cheio e possui g(0) = 60 – 
0/12 = 60 litros. 
Em seguida o veículo inicia a viagem. Quando restavam exatamente 15 litros, o enunciado informa que 
ocorre o abastecimento. Neste instante, haviam sido consumidos 60 – 15 = 45 litros. 
Por sua vez, a função f(x) nos dá a relação entre o consumo de combustível e a distância percorrida. Logo: 
f(x) = 45 
x/12 = 45 
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x = 45 × 12 = 540 
Portanto, podemos afirmar que o veículo tinha percorrido 540 km. 
Gabarito: Letra C. 
7. VUNESP/MPE-SP/2016 
O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a venda de uma quantidade, em centenas, de um 
produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e que se 
pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, então a média 
diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de 
a) 8 900 
b) 8 950 
c) 9 000 
d) 9 050 
e) 9 150 
Comentários: 
O enunciado informa que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida. 
Ou seja, estamos diante de uma reta (função de primeiro grau). Esta razão constante, acima mencionada, é 
justamente o coeficiente angular, a que vamos chamar de m 
𝑚 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
𝑚 =
7.000 − 4.000
8.000 − 5.000
= 1 
Uma reta, genericamente, é dada por f(x) = mx + n. 
Em que m é o coeficiente angular (que vale 1) e n é o coeficiente linear, o qual indica o ponto em que a 
função cruza o eixo y. No gráfico, está indicado que tal ponto vale -1.000, de modo que n = −1.000. 
Dessa forma, a reta fica assim: 
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f(x) = x − 1.000 
Como queremos um lucro de R$ 90.500,00, então a quantidade vendida fica: 
90.500 = x − 1.000 
x = 91.500 
Por fim, se devemos vender 91.500 unidades em 10 dias, então temos uma média diária de 91.500 ÷ 10 = 
9.150. 
Gabarito: Letra E. 
 
2. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
Vamos começar o estudo da função do segundo grau também conhecida como função quadrática. Por ter 
uma grande variedade de alunos, aqueles tem que muita facilidade ou aqueles que não tem tanta facilidade 
com matemática, vou explicar este tópico desde o começo como se você nunca tivesse visto. Assim, todos 
os alunos serão abrangidos na explicação, de modo que quando a gente chegar em questões mais complexas 
você que tiver acompanhado desde o começo vai ter entendimento adequado sem maior dificuldade. Co-
meçaremos por conceitos introdutórios, com a parte mais básica porém não menos fundamental da função 
do segundo grau. Vamos começar então? Vem comigo. 
Uma função F, de reais em reais (esse primeiro conjunto que está sendo representado pelos números reais 
é o domínio da função, enquanto o segundo conjunto é chamado de contradomínio dessa função), chama-
se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a diferente de 0, tal que: 
f(x) = ax2 – bx + c 
 
Os valores reais a, b, c são os coeficientes da função. O coeficiente do x ao quadrado é o a, o coeficiente do 
x nós chamamos de b e, por fim, a gente chama c de termo independente. 
Quando dizemos que o a não pode ser 0 é porque do contrário ax2 vai sumir. Concorda comigo? E a função 
vai ficar apenas bx + c. Assim, não se pode considerar a = 0 porque se não teremos apenas uma função do 
primeiro grau, descaracterizando uma função quadrática. 
Agora, vamos considerar alguns exemplos. 
a) f(x) = 3x2 - 4 x + 2 
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Repare que o coeficiente de x ao quadrado é 3, ou seja, o nosso a vale 3 enquanto o coeficiente x é o -4 
(atenção ao sinal negativo), de modo que o valor do b = -4, enquanto que o c corresponde a 2. 
b) f(x) = x2 + 3x 
Como na frente do x ao quadrado não está aparecendo nada, concluímos que o valor de a é 1. Já o valor do 
b é 3 positivo. Por fim, em relação ao termo independente, seu valor é c = 0 (não pense que por não aparecer 
nada o c não existe; ele existe e vale 0. Beleza?). 
c) y = -x2 – 5 
Qual é o coeficiente do x ao quadrado? Ele vale a = -1. Repara que nós não temos aqui o termo x, ou seja, 
como se tivesse 0x, então b é igual a zero. Já o termo independente vale -5. 
d) y = - 2x2 
Note que não temos o termo x, ou seja, é como se tivesse escrito: + 0x. Também não temos o termo inde-
pendente, de modo que c= 0. Por fim, percebemos que a = -2. 
Muito bem, até aqui aprendemos a identificar com certeza qual o valor do a (coeficiente do x ao quadrado), 
de b (coeficiente do x) e qual o valor de c (termo independente). Isso aqui tem que ficar bem claro para você, 
ok? 
 
2.1. Raízes ou Zeros da Função do 2º Grau 
Chama-se zeros ou raízes da função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c o número real x tal que f(x) = 0. Em 
outras, basta resolver a equação resultante de igualar a zero a função quadrática. E sempre teremos duas 
raízes! 
 
Para descobrir as duas raízes de uma função do 2º grau, basta resolver a equação do 2º grau que resulta 
após igualar a zero a função apresentada. 
 
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Como gente vai determinar essas raízes? Bem, os zeros da função quadrática são dados pelafórmula de 
Bháskara: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Repare que o x na fórmula é justamente a raiz que desejamos encontrar. Por sua vez, o b, o a e o c nada mais 
são que os coeficientes da equação, de modo que substituindo eles na fórmula de Bháskara nós vamos en-
contrar as raízes da função. 
Para exemplificar, vamos determinar os zeros das funções a seguir: 
a) f(x) = x2 – 5x + 6 
Veja que estamos diante de uma função do 2º grau, devido ao expoente dois presente na variável x. 
Para determinarmos o zero, a gente pega a função e iguala a zero. Daí, os coeficientes serão: 
a = 1 b = -5 c = 6 
Agora substituindo isso na fórmula de Bháskara, teremos: 
𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 . 1 . 6
2 . 1
=
5 ± √25 − 24
2
=
5 ± 1
2
 
Com isso, podemos descobrir duas raízes, que chamaremos de x’ e x’’ de acordo com a utilização da operação 
de soma e de subtração contida no numerador da fração acima. Logo, teremos: 
𝒙′ =
5 + 1
2
=
6
2
= 𝟑 
𝒙′′ =
5 − 1
2
=
4
2
= 𝟐 
Assim, ficamos com as duas raízes x’ = 3 e x’’ = 2, as quais correspondem aos valores que fazem a função ser 
igual a zero. 
b) f(x)= – x2 + 7x – 12 
Para calcularmos as raízes, igualamos a função a zero e aplicamos a fórmula de Bháskara, tendo em mente 
que a = -1, b = 7 e c = -12: 
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𝑥 =
−7 ± √72 − 4. (−1). (−12)
2 . (−1)
=
−7 ± √49 − 48
−2
=
−7 ± 1
−2
 
𝒙′ =
−7 + 1
−2
=
−6
−2
= 𝟑 
𝑥′′ =
−7 − 1
−2
=
−8
−2
= 𝟒 
c) f(x) = 3x2 – 7x +2 
Se a gente quer descobrir as raízes, vamos igualar a zero. Para isso, a é o coeficiente de x2, que vale 3, b é 
coeficiente de x, que corresponde a -7, e c é o termo independente que vale 2. 
Substituindo esses números na fórmula de Bháskara, temos: 
𝑥 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4 . 3 . 2
2 . 3
=
7 ± √49 − 24
6
=
7 ± 5
6
 
𝒙′ =
7 + 5
6
= 𝟐 
𝑥′′ =
7 − 5
6
=
𝟏
𝟑
 
Então, as raízes dessa função são x = 2 ou x = 1/3. 
Repare que até aqui descobrimos os valores do a, do b e do c e substituímos na fórmula de Bháskara a fim 
de determinar as raízes da função! Além disso, nenhum desses termos assumiram valores iguais a zero. 
d) f(x)= x2 – 4 
Note que não tem o termo x, ou seja, de modo que o b (coeficiente de x) só pode ser igual a zero. 
Neste caso, para descobrirmos as raízes, igualamos a função a zero. Logo: 
𝑥2 − 4 = 0 
𝑥2 = 4 
𝑥 = ±√4 
𝒙 = ±𝟐 
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Assim, teremos duas raízes: x’ = 2 e x’’ = -2. 
e) f(x) = -3x2 + 6 
Novamente a função do segundo grau está incompleta e o coeficiente de x é igual a zero (b = 0). 
Para descobrir as raízes dessa função, o que fazemos? Igualamos a zero: 
−3𝑥2 + 6 = 0 
𝑥2 =
−6
−3
 
𝑥 = ±√2 
Portanto, nós vamos ter uma raiz valendo raiz quadrada de 2 positiva e a outra valendo raiz quadrada de 
dois negativa. 
f) f(x) = x2 + 3x 
Temos novamente uma função do segundo grau incompleta; agora o que está faltando é o termo indepen-
dente. Então, c = 0. 
Para calcularmos as raízes, vamos igualar a zero essa função: 
x2 + 3x = 0 
Reparem que nesses dois termos o x é um fator comum, de modo que devemos colocá-lo em evidência: 
x . (x + 3) = 0 
Numa multiplicação de dois números em que o resultado é zero, um deles deve ser igual a zero. Ou seja: 
x = 0 
ou 
x + 3 = 0 → x = -3 
Portanto, as raízes da função são x’ = 0 e x’’ = -3. 
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Veja que as raízes de uma função do segundo grau incompleta são mais facilmente determinadas por 
meio dos métodos que utilizamos nos exemplos anteriores do que aplicando a fórmula de Bháskara. 
 
2.1.1. Determinação dos zeros por meio da soma e produto das raízes 
Podemos encontrar as raízes de uma função do segundo grau não só por meio da fórmula de Bháskara e dos 
métodos que vimos até aqui. Também podemos aplicar a soma e produto das raízes, que é um método que 
vai relacionar os coeficientes a, b e c com as raízes da função. 
 
 
Há alunos que se sentem mais seguros para encontrar os zeros da função do segundo grau por meio da 
fórmula de Bháskara. Se este é o seu caso, não tem problema algum. Esclareço, apenas, que muitas vezes 
a aplicação do método da soma e produto das raízes nos conduz bem mais rapidamente ao resultado 
desejado! 
 
Sejam x’ e x’’ os zeros da função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c. Quando somadas, as duas raízes da 
função resultarão na divisão do b negativo pelo coeficiente a. Já ao multiplicá-las, o resultado será sempre 
c dividido pelo a. 
 
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Para exemplificar, vamos determinar os zeros da função f(x) = x2 – 3x + 2. 
Não tem muito segredo, devemos aplicar as fórmulas da soma e do produto das raízes. Veja que a = 1, b = -
3 e c = 2. 
Mas tem uma dica, para descobrirmos as raízes comece pela multiplicação. Logo: 
x' . x’’ = c/a 
x' . x’’ = 2/1 = 2 
Então, temos dois números que multiplicados resulta em dois. Quais são eles? Eu tenho certeza que na tua 
cabeça os dois números que apareceram primeiramente foram 1 e 2, já que o produto entre eles é dois. Mas 
isso tem que bater com a soma também. Vamos testar! 
A soma das raízes fica: 
x' + x’’ = -b/a 
x' + x’’ = -(-3)/1 = 3 
Assim, a soma das raízes é 3. 
Dessa forma, encontramos as duas raízes: x’ = 1 e x’’ = 2, já que a multiplicação resulta em 2, e a soma dá 3. 
 
Raízes da função 
do 2º grau
Soma 𝒙′ + 𝒙′′ =
−𝒃
𝒂
Produto 𝒙′ . 𝒙′′ =
𝒄
𝒂
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c
 
 
 
 
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2.1.2. Quantidade de raízes reais 
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ = b2 – 
4ac, chamado discriminante da fórmula de Bháskara. 
Com isso, três situações podem acontecer: 
1) Se o delta for maior que zero, haverá duas raízes reais e distintas: 
𝒙𝟏 =
−𝒃+ √𝜟
𝟐𝒂
 𝑒 𝒙𝟐 =
−𝒃− √𝜟
𝟐𝒂
 
 
2) Se o delta for igual a zero, haverá duas raízes reais e iguais (raiz dupla): 
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝟐𝒂
 
 
3) Se o delta for menor que zero, ou seja, assumir um valor negativo, não haverá raiz real. Também podemos 
dizer que as duas raízes são complexas, por pertencerem ao conjunto dos números complexos. 
 
 
 
Para exemplificar, vamos determinar, se existirem, os zeros das funções a seguir: 
a) f(x) = x2 – 2x + 1 
Para determinarmos os zeros dessa função nós temos que igualá-la a zero: 
Δ > 0
A função terá 
duas raízes reais 
e distintas
Δ = 0
A função terá 
duas raízes reais 
e iguais
Δ < 0
A função não terá 
raízes reais
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x2 – 2x + 1 = 0 
Nesta situação, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Daí, podemos calcular o valor do discriminante: 
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
∆ = (−2)2 − 4.1.1 = 4 − 4 = 𝟎 
Como o discriminante é igual a zero, teremos duas raízes reais e iguais. Quais serão elas? Vamos aplicar a 
fórmula de Bháskara, sabendo que neste caso ela se reduz a: 
𝒙 =
−𝒃
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−8)
2.1
=
8
2
= 𝟒 
Portanto, concluímos que x’ = x’’ = 4, de forma que o conjunto solução da equação do segundo grau é unitário 
S = {4}.É uma boa estratégia calcular o delta antes de partir para a fórmula de Bháskara para antecipadamente 
sabermos a natureza das raízes da equação que estamos considerando. 
 
b) f(x) = x2 – x – 2 
Ao igualarmos função a zero, ficaremos diante de uma equação do 2º grau, com a = 1, b = -1 e c = -2. Inicial-
mente, iremos determinar o valor do discriminante: 
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
∆ = (−1)2 − 4.1. (−2) = 1 + 8 = 𝟗 
Assim, Δ > 0 e teremos duas raízes reais e diferentes, as quais são obtidas por meio da fórmula de Bháskara: 
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𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−1) ± √9
2.1
=
1 ± 3
2
 
𝒙′ =
1 + 3
2
=
4
2
= 𝟐 
𝒙′′ =
1 − 3
2
=
−2
2
= −𝟏 
Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {2; -1}. 
c) f(x) = 2x2 + 3x + 4 
Temos que a = 2, b = 3 e c = 4, de modo que o discriminante será: 
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
∆ = 32 − 4 . 2 . 4 = 9 − 32 = −𝟐𝟑 
Repare que o discriminante é negativo, ou seja, Δ < 0. Neste caso, não existem raízes reais. A solução para a 
função será dada por raízes imaginárias, mas que não fazem parte do conjunto dos números reais, mas sim 
pertencem ao conjunto dos números complexos, o que foge totalmente ao campo do estudo aqui abordado. 
Então, resumindo, nos números reais a solução da equação é dada por S = { }. 
 
2.2. Gráfico da Função do 2° Grau 
 
2.2.1. Introdução 
O gráfico de uma função quadrática tem o formato de uma curva chamada parábola. 
Vamos fazer dois exemplos de gráficos. 
a) f(x) = x2 - 1. 
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Vamos utilizar uma tabela para atribuir alguns valores para x, começando pelo -2, depois vamos -1, depois o 
zero, depois para um 1, e por fim para o 2. Ou seja, vamos pegar esses valores de x e substituir na função de 
modo a descobrir o valor de f(x), o qual é a mesma coisa que y. 
Valor de x Valor de y = f(x) 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
Quando x vale -2, temos: 
f(-2) = (-2)2 – 1 = [(-2) × (-2)] – 1 = 4 – 1 = 3 
Ou seja, se x = -2, então y corresponde a 3. 
Fazendo o mesmo com os demais valores, fica: 
f(-1) = (-1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 
f(0) = (0)2 – 1 = 0 – 1 = -1 
f(1) = (1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 
f(2) = (2)2 – 1 = 4 – 1 = 3 
Vamos colocar esses resultados na nossa tabela: 
Valor de x Valor de y = f(x) 
-2 3 
-1 0 
0 -1 
1 0 
2 3 
 
Agora, o próximo passo consiste em representar esses pontos no plano cartesiano. Para isso, vamos pegar 
primeiramente esse par ordenado: x = -2 e y = 3. No eixo x, marcamos o -2 e no y o valor 3, de modo a ter 
um ponto. Quando o x vale -1 o y vale zero. Neste caso, o ponto nem está na parte superior do eixo Y e nem 
na parte inferior do eixo Y; ele está sobre o eixo X. No caso de x = 0, y corresponde a -1. Daí, marcamos no 
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eixo y o -1. O zero nas abscissas não está nem na partida direita, nem na esquerda, de modo que o ponto 
resultante ficará em cima do eixo das ordenadas, exatamente no valor indicado de y. Sendo x = 1 e o y va-
lendo zero, então o ponto estará sobre o eixo x. Por fim, o x valendo 2 e o y = 3, o ponto estará no encontro 
desses dois valores. Com esses cinco pontos a gente consegue perceber que essa parábola tem o seguinte 
formato: 
 
Repare que a concavidade dessa parábola está voltada para cima. 
b) f(x) = -x2 + 2x 
Da mesma forma vamos colocar alguns valores para x: -1, 0, 1, 2 e 3, a fim de obtermos cinco pontos por 
substituir esses números na função dada e encontrando valores de y. 
Desta vez, vamos fazer os cálculos mais rapidamente direto na tabela: 
 
Valor de x Valor de y = f(x) 
-1 f(-1) = - (-1)2 + 2 × (-1) = -1 - 2 = -3 
0 f(0) = - (0)2 + 2 × 0 = 0 
1 f(1) = - (1)2 + 2 × 1 = -1 + 2 = 1 
2 f(2) = - (2)2 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0 
3 f(3) = - (3)2 + 2 × 3 = -9 + 6 = -3 
 
Agora inserimos os pontos obtidos no plano cartesiano, O que resulta no seguinte gráfico: 
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Repara que o gráfico ficou com a concavidade voltada para baixo. 
 
2.2.2. Efeito dos coeficientes na parábola 
Os valores dos coeficientes a, b e c afetam a parábola que representa a função quadrática, de forma que é 
importante conhecermos o funcionamento da aplicação de cada um deles. 
Vamos começar nossa análise pelo a, o coeficiente do x2. Ele pode ser positivo ou negativo (não admite valor 
zero) e indica o sentido da concavidade da parábola. 
Quando tivermos a maior que zero, a concavidade da parábola estará voltada para cima. Do contrário, com 
a menor que zero, a concavidade está voltada para baixo. 
 
Além disso, o coeficiente “a” também é responsável pela “abertura” da parábola. Para perceber isso, con-
sidere dois pontos A e B, obtidos pela interseção de uma reta paralela ao eixo x e a parábola. Quanto maior 
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o valor do módulo do coeficiente a, menor será a distância entre os pontos A e B, como mostra o exem-
plo da seguinte imagem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por sua vez, o parâmetro b, o coeficiente do x na função quadrática, indica a inclinação que a parábola toma 
após passar o eixo Y, se a parábola intercepta o eixo Y crescendo ou decrescendo. 
Se b for maior que zero, a parábola intercepta o eixo Y crescendo (parábola subindo). Agora se b for menor 
que zero, a parábola intercepta o eixo Y decrescendo. Por fim, se b é igual a zero, a parábola não vai cruzar 
o eixo Y crescendo e nem decrescendo, mas sim na horizontal, ou seja, exatamente no ponto em que o eixo 
Y é cortado. 
 
 
Finalizando, temos o parâmetro c, o termo independente da função do segundo grau. Ele indica o ponto 
onde a parábola intercepta o eixo Y: 
b > 0 b < 0 b = 0 
f(x) = 4x2 - 2 f(x) = x2 - 1 
A B 
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- se c for positivo, a parábola irá cortar o eixo Y acima da origem; 
- se c for negativo, a parábola irá cortar o eixo Y abaixo da origem; 
- se c for igual a zero, a parábola irá cortar o eixo Y na origem. 
 
 
Repare quantas informações a gente tem em relação ao gráfico olhando apenas para os coeficientes a, b e c 
da função do segundo grau. 
 
 
Coeficiente O que indica? Efeitos dos valores no gráfico 
a 
Sentido da concavidade da 
parábola. 
- a > 0: concavidade para cima 
- a < 0: concavidade para baixo 
b 
Inclinação que a parábola 
toma após passar o eixo Y 
- b > 0: parábola corta o eixo Y cres-
cendo 
- b < 0: parábola corta o eixo Y decres-
cendo 
- b = 0: parábola corta o eixo Y na hori-
zontal, exatamente no ponto em que o 
eixo Y é cortado. 
c > 0 
c < 0 
c = 0 
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c 
Ponto onde a parábola inter-
cepta o eixo Y 
- c > 0: parábola irá cortar o eixo Y 
acima da origem 
- c < 0: parábola irá cortar o eixo Y 
abaixo da origem 
- c = 0: parábola irá cortar o eixo Y na 
origem. 
 
2.2.3. Interseção com o eixo X (raízes) 
Graficamente, as raízes da função do 2º grau sãoos pontos onde a parábola intercepta o eixo X. Dependendo 
do valor do Δ = b2 – 4ac, existem três possibilidades: 
- se o discriminante for maior que zero, a função possuirá duas raízes reais e distintas, de modo que a pará-
bola corta o eixo X em dois pontos diferentes; 
 
- se o discriminante for igual a zero, a função possuirá duas raízes reais e iguais, de modo que a parábola 
corta o eixo X em um único ponto; 
 
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- se o discriminante for menor que zero, a função não tem raízes reais, de modo que a parábola não corta o 
eixo X. 
 
 
 
 
2.2.4. Vértice da parábola e máximos e mínimos da função 
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico da função quadrática, pois indica o ponto 
de valor máximo e o ponto de valor mínimo. Logo: 
- Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, o vértice da parábola será o ponto máximo. 
 
Δ > 0
A parábola corta o 
eixo X em dois 
pontos diferentes
Δ = 0
A parábola corta o 
eixo X em um único 
ponto
Δ < 0
A parábola não 
corta o eixo X
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- Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. 
 
A reta paralela ao eixo Y que passa pelo vértice da parábola é chamada de eixo de simetria. Ele divide a 
parábola em dois lados, em que um deles é decrescente e o outro é crescente. 
Para determinarmos o vértice da função do 2º grau, recorremos à relação da soma das raízes: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
+
−𝑏 − √∆
2𝑎
=
−𝑏 + √∆ − 𝑏 − √∆
2𝑎
=
−2𝑏
2𝑎
=
−𝒃
𝒂
 
Considerando que xv é o ponto médio entre as raízes (x1 e x2), temos: 
𝒙𝒗 =
𝑥1 + 𝑥2
2
=
−𝑏
𝑎⁄
2
=
−𝑏
𝑎
×
1
2
=
−𝒃
𝟐𝒂
 
Uma outra forma de calcular o x do vértice é obtida ao notarmos que ele está localizado exatamente no meio, 
ou seja, entre as duas raízes. Então, podemos concluir que ele corresponde à média aritmética das duas 
raízes: 
𝒙𝒗 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
 
Agora, para determinarmos o yv, substituímos –b/2a na forma genérica da função do 2º grau: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦𝑣 = 𝑎 × (
−𝑏
2𝑎
)
2
+ 𝑏 × (
−𝑏
2𝑎
) + 𝑐 =
𝑎𝑏2
4𝑎2
+ (
−𝑏2
2𝑎
) + 𝑐 = 
𝒚𝒗 =
𝑏2 − 2𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
=
−𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
=
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
=
−∆
𝟒𝒂
 
Dessa forma, concluímos que as coordenadas do vértice são: 
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𝑽 = (𝒙𝒗, 𝒚𝒗) = (
−𝒃
𝟐𝒂
,
−∆
𝟒𝒂
) 
 
Para exemplificar, vamos determinar o vértice da parábola dada por f(x) = x2 – 4x e construir o gráfico dessa 
função. 
Repare que estamos diante de uma função do segundo grau incompleta, pois ao passo que a = 1 e b = -4 o 
coeficiente c é igual a zero. Então pegando esses valores, podemos substituir nas fórmulas utilizadas para 
determinar o vértice: 
𝒙𝒗 =
−𝑏
2𝑎
=
−(−4)
2 × 1
=
4
2
= 𝟐 
𝒚𝒗 =
−∆
4𝑎
=
−((−4)2 − 4 × 1 × 0)
4 × 1
=
−16
4
= −𝟒 
Assim, o vértice dessa função é dado por V = (2, -4). 
Para construir o gráfico dessa função, devemos calcular as suas raízes. Para isso, vamos igualar a zero essa 
função: 
x2 – 4x = 0 
Reparem que nesses dois termos o x é um fator comum, de modo que devemos colocá-lo em evidência: 
x . (x – 4) = 0 
Numa multiplicação de dois números em que o resultado é zero, um deles deve ser igual a zero. Ou seja: 
x = 0 
ou 
x – 4 = 0 → x = 4 
Portanto, as raízes da função são x1 = 0 e x2 = 4. Desse modo, a parábola que representa a função quadrática 
está cruzando o eixo x no 0 e no 4. Além disso, repare que o coeficiente de x2 é um valor positivo, de modo 
que a concavidade está voltada para cima: 
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Para arrematar, vamos determinar os zeros, o vértice, o valor máximo ou mínimo da parábola dada pela 
função do segundo grau f(x) = -x2 + 2x + 8 e construir seu gráfico. 
Iniciamos pelo cálculo das raízes da função. Para isso, igualamos a função a zero e aplicamos a fórmula de 
Bháskara, tendo em mente que a = -1, b = 2 e c = 8: 
𝑥 =
−2 ± √22 − 4. (−1). 8
2 . (−1)
=
−2 ± √4 + 32
−2
=
−2 ± 6
−2
 
𝒙′ =
−2 + 6
−2
=
4
−2
= −𝟐 
𝒙′′ =
−2 − 6
−2
=
−8
−2
= 𝟒 
Com isso, o gráfico vai cruzar o eixo X exatamente nas raízes x1 = -2 e x2 = 4. Considerando que a é negativo, 
a parábola que representa a função tem a concavidade voltada para baixo. E como c vale 8, o eixo Y será 
interceptado exatamente no 8. 
Em seguida, vamos achar o vértice da função: 
𝒙𝒗 =
−𝑏
2𝑎
=
−2
2 × (−1)
=
−2
−2
= 𝟏 
𝒚𝒗 =
−∆
4𝑎
=
−36
4 × (−1)
=
−36
−4
= 𝟗 
xv 
yv 
V(2, -4) 
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Nós calculamos o x do vértice por meio da fórmula, mas também poderíamos calculá-lo utilizando a média 
das raízes encontrando como resultado 1 também, o qual poderíamos substituir na função para descobrir o 
y do vértice, que corresponde a 9. 
Assim, o gráfico da função apresentada é o seguinte: 
 
Note que o gráfico tem concavidade voltada para baixo, então aquelas linhas do gráfico vão descer até o 
menos infinito, de modo que não há um valor mínimo. Porém, tem um valor máximo! 
E qual o valor máximo que esse gráfico atinge? Isso mesmo, é a coordenada Y do vértice. Portanto, o valor 
máximo desse gráfico é Y = 9. 
 
2.2.5. Imagem da função 
O conjunto imagem da função f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é o conjunto dos valores que Y pode assumir. 
Para descobrir esses valores, projetamos a parábola no eixo Y, começando pelo vértice. 
Com a > 0, a parábola está para cima, então o conjunto imagem vai do y do vértice até o mais infinito: 
xv 
yv V(1, 9) 
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Esse intervalo que está no gráfico é a imagem da função: 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅 | 𝑦 ≥ 𝑦𝑣} 
Por sua vez, com a < 0, a parábola está para baixo, então o conjunto imagem vai do y do vértice até o menos 
infinito: 
 
O intervalo que está no gráfico é a imagem da função: 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅 | 𝑦 ≤ 𝑦𝑣} 
 
yv 
yv 
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2.3. Estudo do Sinal da Função do 2º Grau 
Estudar o sinal de uma função quadrática consiste em determinar os valores de x para os quais y é positivo, 
negativo ou zero. 
Para fazer essa determinação, iremos contar com a ajuda do gráfico da função do segundo grau, a parábola, 
e por isso precisamos saber como ela pode nos mostrar todas essas informações. 
Então, fica claro que precisamos observar a localização do gráfico da função f(x) com relação ao eixo x, ou 
eixo das abscissas do plano cartesiano. Uma função é positiva, ou maior que zero (f(x) > 0), quando o seu 
gráfico se encontra acima do eixo x, é negativa, ou menor que zero (f(x) > 0), quando o seu gráfico se encon-
tra abaixo do eixo x, e será igual a zero, quando os seus respectivos valores de x forem exatamente iguais 
as suas duas raízes, de modo que, graficamente, uma função do segundo grau será igual a zero nos pontos 
onde o gráfico corta ou intercepta o eixo x.Dessa forma, para realizar o estudo do sinal de uma função do 2º grau, é necessário obtermos as duas raízes 
dessa função, porque elas nos revelarão quando a função é igual a zero (f(x) = 0). Mas nós também vimos 
que é a forma gráfica da função em relação ao eixo x que nos ajuda a determinar quando a função é positiva 
e quando ela é negativa. É neste ponto que devemos nos concentrar: conhecer as raízes de uma função do 
2º grau também nos permite desenhar facilmente a sua curva em relação ao eixo x! 
Dependendo da natureza das raízes da função, dada através do valor do discriminante, ou delta (Δ), cuja 
fórmula é apresentada logo abaixo, elas podem se comportar de 3 maneiras diferentes, as quais serão estu-
dadas a partir de agora. 
a) quando Δ > 0 e a função possui duas raízes reais e distintas. 
Nesta situação, a parábola vai cortar o eixo x em dois pontos distintos: 
 
A partir desse momento vamos focar nossa atenção exclusivamente nos valores de x a cada ponto dos gráfi-
cos. Começaremos pelo caso em que a concavidade da parábola é voltada para cima (a > 0). 
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Quando x for exatamente igual a x1 ou exatamente igual a x2, a função f(x) será igual a zero, pois é justamente 
nesses pontos que o gráfico corta o eixo x. 
 
Já se os de x estiverem entre x1 e x2, o gráfico se encontra abaixo do eixo x, de modo que esta função é 
negativa. 
 
Por sua vez, quando os valores de x são menores do que x1 e maiores do que x2, o gráfico se encontra acima 
do eixo x. Isso significa que para esses valores de x, a função é positiva. 
 
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E quando a concavidade da parábola é voltada para baixo (a < 0), muda alguma coisa? É claro que sim! Nesse 
caso, a função f(x) continua sendo igual a zero quando x for exatamente igual a x1, ou quando x for exata-
mente igual a x2. Mas ao invertermos a concavidade da parábola, para valores de x que se situam entre x1 e 
x2 a função acaba sendo positiva, pois seu gráfico se encontra acima do eixo x. Por outro lado, para valores 
de x menores que x1 e maiores que x2, a função acaba sendo negativa, já que seu gráfico se encontra abaixo 
do eixo x. Veja: 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA QUANDO Δ > 0 
Valor de a 
Quando a função é 
igual a zero 
f(x) = 0 
Quando a função é 
positiva 
Quando a função é 
negativa 
a > 0 x = x1 ou x = x2 x < x1 ou x > x2 x1 < x < x2 
a < 0 x = x1 ou x = x2 x1 < x < x2 x < x1 ou x > x2 
 
Tranquilo até aqui? A ideia é a mesma para os próximos casos também, o que nos permitirá ser mais breves 
quanto aos seus estudos. 
b) quando Δ = 0 e a função possui duas raízes reais e iguais. 
Nesta situação, a parábola irá tocar o eixo x em um único ponto: 
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Novamente vamos começar pelo caso em que a concavidade da parábola é voltada para cima (a > 0). Como 
temos duas raízes reais e iguais, existe um único valor de x para o qual a função f(x) é igual a zero, x1, que é 
o mesmo valor de x2. Para qualquer outro valor real de x a função é positiva, porque o seu gráfico está loca-
lizado acima do eixo x. Isso significa que não existe nenhum valor de x que torne a função negativa, e que 
qualquer valor de x diferente do valor das raízes, torna a função positiva. 
 
Já se a < 0, para qualquer outro valor real de x a função é negativa, porque o seu gráfico está localizado 
abaixo do eixo x. Isso significa que não existe nenhum valor de x que torne a função positiva, e que qualquer 
valor de x diferente do valor das raízes, torna a função negativa. 
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ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA QUANDO Δ = 0 
Valor de a 
Quando a função é 
igual a zero 
f(x) = 0 
Quando a função é 
positiva 
Quando a função é 
negativa 
a > 0 x = x1 = x2 x ≠ x1 ou x ≠ x2 Não existe 
a < 0 x = x1 = x2 Não existe x ≠ x1 ou x ≠ x2 
 
c) quando Δ < 0 e a função possui duas raízes complexas. 
Nesta situação, a parábola não irá sequer encostar no eixo x, estando totalmente acima dele, ou totalmente 
abaixo. 
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Quando a > 0, não existem valores reais de x para os quais a função f(x) seja igual a zero, e nem mesmo 
valores de x que tornem a função negativa, já que toda a parábola está localizada acima do eixo x. Assim, 
para qualquer valor real de x, uma função como essa será sempre positiva. 
 
Quando a < 0, o que muda é o fato de não existir valores reais de x para os quais a função f(x) seja igual a 
zero, e nem mesmo valores de x que tornem a função positiva, já que toda a parábola está localizada abaixo 
do eixo x. Assim, para qualquer valor real de x, uma função como essa será sempre negativa! 
 
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ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA QUANDO Δ < 0 
Valor de a 
Quando a função é 
igual a zero 
f(x) = 0 
Quando a função é 
positiva 
Quando a função é 
negativa 
a > 0 Não existe x  R Não existe 
a < 0 Não existe Não existe x  R 
 
É isso, caro aluno. Qualquer função do segundo grau existente sempre se enquadrará em algum desses casos 
que acabaram de ser apresentados, sem exceções. Assim, é muito importante estudar com atenção o que 
acabamos de analisar! 
Para ajudar a fixar bem estes pontos, vamos estudar o sinal das seguintes funções: 
a) f(x) = x2 – 3x – 4 
Temos que a = 1, b = – 3 e c = – 4. Como a é positivo, a concavidade da parábola de f(x) será voltada para 
cima. 
Agora calculamos o discriminante: 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (– 3)2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 4) = 9 + 16 = 25 
Assim, como Δ > 0 teremos duas raízes reais e distintas. E quais serão elas? Vamos calcular: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−3) ± √25
2 . 1
=
3 ± 5
2
 
𝒙′ =
3 + 5
2
=
8
2
= 𝟒 
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𝒙′′ =
3 − 5
2
=
−2
2
= −𝟏 
Pronto, já temos informações suficientes para esboçar o gráfico de f(x) e estudar o seu sinal: 
 
Para valores de x menores do que –1, e maiores do que 4, a função f(x) é positiva. Já para valores de x que 
se situam entre –1 e 4, a função f(x) é negativa. E por fim, mas não menos importante, a função f(x) é igual 
a zero quando x é exatamente igual a –1, ou exatamente igual a 4. 
f(x) = 0 ⟹ x = – 1 ou x = 4 
f(x) > 0 ⟹ x < – 1 ou x > 4 
f(x) < 0 ⟹ – 1 < x < 4 
 
Veja que seguimos os seguintes passos para estudar o sinal da função: 
 
 
b) f(x) = – 3x2 + 2x + 1 
Temos que a = – 3, b = 2 e c = 1. Como a é negativo, a concavidade da parábola de f(x) será voltada para 
baixo. 
1) extrair da função os 
valores de a, b e c, 
determinando a 
concavidade da parábola.
2) calcular o valor do 
discriminante, 
determinando a natureza 
das raízes dessa função.
3) calcular o valor das 
raízes.
4) desenhar o gráfico da 
função, concluindo o 
estudo do seu sinal.
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Agora calculamos o discriminante: 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = 22 – 4 ∙ (-3) ∙ 1 = 4 + 12 = 16 
Assim, como Δ > 0 teremos duas raízes reais e distintas. Veja: 
𝑥 =
−2 ± √16
2 . (−3)
=
−2 ± 4
−6
 
𝒙′ =
−2 + 4
−6
=
2
−6
= −
𝟏
𝟑
 
𝒙′′ =
−2 − 4
−6
=
−6
−6
= 𝟏 
Por fim, esboçamos o gráfico da função para estudar o seu sinal: 
 
Para valores de x menores do que –1/3, e maiores do que 1, a função f(x) é negativa. Já para valores de x 
que se situam entre –1/3 e 1, a função f(x) é positiva. E por fim, a função f(x) só pode ser igual a zero quando 
x for exatamente igual a –1/3 ou exatamente igual a 1. 
f(x) = 0 ⟹ x = – 1/3 ou x = 1 
f(x) < 0 ⟹ x < – 1/3 ou x > 1 
f(x) > 0 ⟹ – 1/3 < x < 1 
 
c) f(x) = x2 + 4x + 4 
Temos que a = 1, b = 4 e c = 4. Como a é positivo, a concavidade da parábola de f(x) será voltada para cima. 
Agora calculamos o discriminante: 
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Δ = 42 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 16 – 16 = 0 
Assim, como Δ = 0 teremos duas raízes reais e iguais. Veja: 
𝑥 =
−4 ± √0
2 . 1
=
−4
2
 
𝒙′ = 𝒙′′ = −𝟐 
Por fim, esboçamos o gráfico da função para estudar o seu sinal: 
 
Note que para todo e qualquer valor real de x diferente de –2, a função f(x) é positiva. Já se x for exatamente 
igual a –2, então a função f(x) será exatamente igual a zero. E o fato de a parábola não possuir parte alguma 
abaixo do eixo x nos permite concluir que não existem valores reais de x que possam tornar a função nega-
tiva! 
f(x) = 0 ⟹ x = –2 
f(x) > 0 ⟹ x ≠ –2 
 
d) f(x) = x2 + 2x + 8 
Temos que a = 1, b = 2 e c = 8. Como a é positivo, a concavidade da parábola de f(x) será voltada para cima. 
Agora calculamos o discriminante: 
Δ = 22 – 4 ∙ 1 ∙ 8 = 4 – 32 = -28 
Assim, como Δ < 0 não teremos raízes reais, o que nos permite pular o passo do cálculo das raízes, e partir 
direto para a o esboço do gráfico da função para estudar o seu sinal: 
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Para qualquer valor real de x, essa função f(x) será sempre positiva. Isso porque a parábola está totalmente 
localizada na parte superior do eixo x, e nem sequer encosta nesse eixo. Assim, não há nenhum valor de x 
que possa tornar a função negativa, ou mesmo igual a zero. 
f(x) > 0 ⟹ x ∈ ℝ 
 
Veja como esse assunto já foi cobrado! 
 
8. CESPE/SEFAZ-RS/2018 
Para a função f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são constantes reais, tem-se que: f(0) = 0, f(10) = 3 e f(30) = 
15. Nesse caso, f(60) é igual a 
A) 18. B) 30. C) 48. D) 60. E) 108. 
Comentários: 
Inicialmente a função é dada por f(x) = ax2 + bx + c. Como f(0) = 0, temos: 
f(x) = ax2 + bx + c 
f(0) = a.02 + b.0 + c 
0 = 0 + 0 + c 
c = 0 
Assim, a função fica apenas f(x) = ax2 + bx. Como f(10) = 3, temos: 
f(10) = a.102 + b.10 
3 = 100a + 10b 
0,3 = 10a + b 
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b = 0,3 – 10a (I) 
Como f(30) = 15, temos: 
f(30) = a.302 + b.30 
15 = 900a +30b (II) 
Substituindo b em (II), obtemos: 
15 = 900a + 30.(0,3 – 10a) 
15 = 900a + 9 – 300a 
6 = 600a 
a = 6/600 = 1/100 = 0,01 
Agora podemos substituir a em (I): 
b = 0,3 – 10 ⨯ 0,01 = 0,3 – 0,1 = 0,2 
Assim, ficamos com a função f(x) = 0,01.x2 + 0,2x. Como o nosso objetivo em obter o valor de f(60), temos: 
f(60) = 0,01 ⨯ 602 + 0,2.60 
f(60) = 0,01 ⨯ 3600 + 12 = 36 + 12 = 48 
Gabarito: Letra C. 
 
 
 
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QUESTÕES COMENTADAS 
Função Afim (1° Grau) 
1. (CESGRANRIO / LIQUIGÁS - 2018 Adaptada) O gráfico de uma função 𝒇:𝑹 → 𝑹, definida por 𝒇(𝒙) =
𝒂𝒙 + 𝒃, contém os pontos (2,3) e (6,11). 
O valor de b é 
a) -4 
b) -1 
c) 3 
d) 7 
e) 10 
Comentários: 
A banca nos fornece dois pontos (𝑥, 𝑦) pertencentes à função: (2; 3) e (6; 11). Vamos substituir cada um na 
equação 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
3 = 𝑎 × 2 + 𝑏 𝑒 11 = 𝑎 × 6 + 𝑏 
Observe que ficamos com um sistema com 2 equações e 2 incógnitas ("𝑎" e "𝑏"). 
{
3 = 2𝑎 + 𝑏 (𝐼)
 
 11 = 6𝑎 + 𝑏 (𝐼𝐼)
 
Para resolver este sitema vamos subtrair (𝑰𝑰) − (𝑰): 
11 − 3 = 6𝑎 − 2𝑎 + 𝑏 − 𝑏 
8 = 4𝑎 
𝑎 =
8
4
 → 𝒂 = 𝟐 
Para encontrar "𝑏", substituímos o valor de "𝑎" em qualquer uma das equações. Vamos substituir na equação 
(𝐼): 
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 52 
147 
 
3 = 2𝑎 + 𝑏 
3 = 2 × 2 + 𝑏 
3 = 4 + 𝑏 
𝑏 = 3 − 4 → 𝒃 = −𝟏 
Observação: Você poderia também começar calculando o Coeficiente Angular 𝒂 pela fórmula: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
11 − 3
6 − 2
 
𝑎 =
8
4
 → 𝒂 = 𝟐 
E, de posse de 𝑎 e de um dos pontos, poderia substituir os dados na equação da função e calcular o coefici-
ente linear 𝑏. 
Vamos substituir o ponto (2; 3): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
3 = 2 × 2 + 𝑏 
3 = 4 + 𝑏 
𝑏 = 3 − 4 → 𝒃 = −𝟏 
Gabarito: Alternativa B 
 
2. (CESPE / UNCISAL - 2019) Uma ONG encomendou um estudo de viabilidade referente à construção 
de uma usina de reciclagem de resíduos. Segundo esse estudo, a quantidade diária de resíduos 
recolhidos, 𝑴(𝒄), em kg, em função da quantidade de catadores, 𝒄, satisfaz à equação 𝑴(𝒄) = 𝟑𝒄. 
O estudo previu, ainda, que a produção de material reciclado, em kg, em função da quantidade 
diária de resíduos recolhidos, 𝒎, em kg, satisfaz à equação 𝑹(𝒎) =
𝟒
𝟓
𝒎− 𝟓. Além disso, também 
ficou evidenciado pelo estudo que a usina seria viável se a produção de material reciclado fosse de 
pelo menos 19 kg por dia. 
Disponível em: www.reciclarbrasil.com.br. Acesso em: 15 nov. 2018 (adaptado). 
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Nas condições mostradas pelo estudo, a construção dessa usina será viável se a quantidade de catadores for, 
no mínimo, igual a 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
Comentários: 
Pelo estudo, a usina seria viável se a produção de material reciclado fosse de pelo menos 19 kg por dia. 
A produção de material reciclado satisfaz a seguinte equação: 
𝑅(𝑚) =
4
5
𝑚 − 5 
Vamos calcular o valor de 𝑚 para ter a produção de material reciclado de 19 kg por dia. 
𝑅(𝑚) =
4
5
𝑚 − 5 
19 =
4
5
𝑚 − 5 
19 + 5 =
4
5
𝑚 
24 =
4
5
𝑚 
𝑚 =
5 × 24
4
 → 𝒎 = 𝟑𝟎 𝒌𝒈 
Por fim, vamos calcular a quantidade de catadores necessários para recolher esta quantidade de material. A 
quantidade diária de resíduos recolhidos, 𝑀(𝑐), em kg, em função da quantidade de catadores, 𝑐, satisfaz à 
equação 𝑀(𝑐) = 3𝑐. 
𝑀(𝑐) = 3𝑐 
30 = 3𝑐 
𝑐 =
30
3
 → 𝒄 = 𝟏𝟎 𝒄𝒂𝒕𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 
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Gabarito: Alternativa D 
 
3. (FCC / SEFAZ BA - 2019) Uma empresa estimou o custo unitário para produzir determinada peça de 
computador em 50 centavos de real. Considerando o custo fixo para a linha de produção dessa 
peça em 5 mil reais semanais,para obter um lucro semanal de 2 mil reais o número de milhares de 
unidades que seria preciso vender a 1 real cada é de 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 14 
e) 16 
Comentários: 
Em qualquer operação, o Lucro será o valor de Venda 𝑉 menos os Custos totais 𝐶𝑇, correto? 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶𝑇 
Iremos calcular separadamente cada variável. 
 De acordo com o enunciado, o Custo Total para se produzir determinadas peças consiste em um 
valor fixo de 5 mil reais mais 50 centavos por peças. 
Vamos chamar a quantidade de peças produzidas de 𝑥. Sendo assim, o Custo total será: 
𝑪𝑻 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝒙 
Ou seja, conforme vimos, o Custo Total é igual ao Custo Fixo (o próprio nome já diz, isto é, é um custo fixo 
independentemente da quantidade produzida) mais um Custo Variável de 50 centados (0,5 real) por peça. 
 O Preço de Venda é igual a 1 real por unidade 𝑥 vendidas. 
𝑉 = 1 × 𝑥 → 𝑽 = 𝒙 
Logo, a função do Lucro será: 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶𝑇 
𝐿 = 𝑥 − 5.000 + 0,5𝑥 
𝑳 = 𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
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Para obter um lucro semanal de 2 mil reais o número 𝑥 de milhares de unidades que seria preciso vender 
será: 
𝐿 = 0,5𝑥 − 5.000 
2.000 = 0,5𝑥 − 5.000 
0,5𝑥 = 7.000 
𝑥 =
7.000
0,5
 → 𝒙 = 𝟏𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
Em milhares: 
𝒙 = 𝟏𝟒 𝒎𝒊𝒍 
Gabarito: Alternativa D 
 
4. (FGV / Pref. Salvador - 2019) O gráfico da função real f é uma reta. Sabe-se que 𝒇(𝟔) = 𝟏𝟎 e que 
𝒇(𝟐𝟐) = 𝟏𝟖. 
Então, 𝑓(88) é igual a 
a) 29 
b) 40 
c) 51 
d) 62 
e) 76 
Comentários: 
Para calcular 𝑓(88), vamos primeiro determinar a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde 𝑓(6) = 10 significa que, para 𝑥 = 6, teremos 𝑦 = 10. Sendo assim, sabemos 
que a reta passa pelos pontos (6 ; 10) e (22 ; 18). 
Sabemos que o Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
18 − 10
22 − 6
 
𝑎 =
8
16
 → 𝒂 = 𝟎, 𝟓 
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De posse de 𝑎 e de um dos pontos, podemos substituir os valores na equação da reta e determinar o valor 
de 𝑛. Vamos subsituir o ponto (6; 10): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
10 = 0,5 × 6 + 𝑏 
10 = 3 + 𝑏 
𝑏 = 10 − 3 → 𝒃 = 𝟕 
Então, a reta terá a seguinte função: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟕 
Por fim, vamos substituir 𝑥 = 88 e calcular 𝑓(88): 
𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 + 7 
𝑓(88) = 0,5 × 88 + 7 
𝑓(88) = 44 + 7 → 𝒇(𝟖𝟖) = 𝟓𝟏 
Gabarito: Alternativa C 
 
5. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2011) A tabela abaixo apresenta o preço da “bandeirada” (taxa fixa 
paga pelo passageiro) e do quilômetro rodado em quatro capitais brasileiras. 
 
A quantia gasta por um passageiro, em Boa Vista, ao percorrer 10 km de táxi, permite pagar, no Rio de Ja-
neiro, uma corrida máxima de X quilômetros. O valor de X está entre 
a) 13 e 14 
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b) 14 e 15 
c) 15 e 16 
d) 16 e 17 
e) 17 e 18 
Comentários: 
Em Boa Vista o valor pago 𝑦 é igual ao valor fixo da bandeirada de R$ 2,50 mais R$ 2,86 por 𝑥 Km rodados. 
Matematicamente teremos: 
𝒚 = 𝟐, 𝟓𝟎 + 𝟐, 𝟖𝟔 × 𝒙 
Ou seja, como vimos, 2,50 fixo mais 2,86 vezes a quantidade de 𝑥 Km rodado. Vamos calcular a quantia gasta 
ao percorrer 10km. 
𝑦 = 2,50 + 2,86 × 𝑥 
𝑦 = 2,50 + 2,86 × 10 
𝑦 = 2,50 + 28,6 → 𝒚 = 𝟑𝟏, 𝟏 
Então, para rodar 10 Km em Boa Vista, o passageiro gasta R$ 31,10. 
Iremos calcular quantos Km este passageiro conseguiria rodar no Rio de Janeiro com este mesmo gasto de 
R$ 31,10. 
No RJ o valor pago 𝑦 é igual ao valor fixo da bandeirada de R$ 4,40 mais R$ 1,60 por 𝑥 Km rodado. Matema-
ticamente teremos: 
𝒚 = 𝟒, 𝟒𝟎 + 𝟏, 𝟔𝟎 × 𝒙 
Com um gasto 𝑦 de R$ 31,10, ele conseguirá rodar: 
𝑦 = 4,40 + 1,60 × 𝑥 
31,10 = 4,40 + 1,60 × 𝑥 
1,60𝑥 = 31,10 − 4,40 
1,60𝑥 = 26,7 
𝑥 =
26,7
1,60
 → 𝒙 ≅ 𝟏𝟔, 𝟔𝟗 
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Observe que você não precisava fazer a conta toda. A banca pergunta o intervalo que o valor está contido. 
Quando você fizesse a divisão e encontrasse 16,... (dezesseis vírgula alguma coisa), você já saberia que o 
valor é maior que 16 e menor que 17. E assim, pouparia alguns segundos na prova. 
Gabarito: Alternativa D 
 
6. (FCC / SEFAZ BA - 2019) Após licitação, notebooks foram adquiridos por secretaria municipal, no 
valor unitário de 12 mil reais. Suponha que o preço do equipamento (𝒚) seja uma função 𝒚 = 𝒎𝒙+
𝒏, sendo 𝒙 o número de anos de utilização do equipamento, com m e n parâmetros reais. Conside-
rando que na época inicial (𝒙 = 𝟎) tem-se que 𝒚 = 𝟏𝟐 mil reais e que para 𝒙 = 𝟕 o valor de 𝒚 é 
igual a 𝟖𝟎𝟎 reais, o valor do equipamento para 𝒙 = 𝟒 é igual a, em reais, 
a) 4.200 
b) 4.600 
c) 5.200 
d) 5.600 
e) 7.200 
Comentários: 
Vamos determinar, primeiramente, o gráfico da função 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. 
O enunciado nos informa que a reta passa pelo ponto (0 ; 12.000). Iremos substituir na equação acima: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
12.000 = 𝑚 × 0 + 𝑛 → 𝒏 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
O enunciado nos informa também que a reta passa pelo ponto (7 ; 800). Substituiremos mais uma vez na 
equação: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
800 = 𝑚 × 7 + 12.000 
Observe que o valor de 𝑛 determinamos na primeira substituição. 
800 = 7𝑚 + 12.000 
7𝑚 = 800 − 12.000 
7𝑚 = −11.200 
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𝑚 =
−11.200
7
 → 𝒎 = −𝟏. 𝟔𝟎𝟎 
Sendo assim, a função será: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
𝒚 = −𝟏. 𝟔𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
Logo, o valor do equipamento para 𝑥 = 4 é igual a, em reais: 
𝑦 = −1.600𝑥 + 12.000 
𝑦 = −1.600 × 4 + 12.000 
𝑦 = −6.400 + 12.000 → 𝒚 = 𝟓. 𝟔𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
7. (CESPE / SEFAZ RS / 2018) Em uma tecelagem, o custo de produção e o custo de venda de x metros 
de tecido são expressos, respectivamente, por 𝑪(𝒙) = 𝟐𝒃𝒙 e 𝑽(𝒙) = 𝒄 + 𝒅𝒙, em que b, c e d são 
constantes reais e d é o valor da comissão a ser recebida pelo vendedor para cada metro de tecido 
vendido. Na produção e venda de 50 m de tecido, tem-se que 𝑪(𝟓𝟎) + 𝑽(𝟓𝟎) = 𝟒𝟐𝟎 e a comissão 
do vendedor é igual a 100. No caso de produção e venda de 100 m de tecido, 𝑪(𝟏𝟎𝟎) + 𝑽(𝟏𝟎𝟎) =
𝟔𝟐𝟎. 
Nesse caso, c, b e d são, respectivamente, iguais a 
a) 220, 1 e 2 
b) 220, 2 e 2 
c) 220, 2 e 4 
d) 200, 1 e 2 
e) 200, 2 e 2 
Comentários: 
Muitas informações para analisarmos. Vamos por partes. Vou transcrever a parte do enunciado e iremos 
trabalhar em cima das informações. 
 𝑑 é o valor da comissão a ser recebida pelo vendedor para cada metro de tecido vendido. Ou seja, 
𝑑 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜
 
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Na produção e venda de 50 m de tecido, a comissão do vendedor é igual a 100. Logo, 𝑑 é igual a: 
𝑑 =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜
 
𝑑 =
100
50
 → 𝒅 = 𝟐 
 Na produção e venda de 50 m de tecido, tem-se que 𝐶(50) + 𝑉(50) = 420. 
Substituiremos as fórmulas na igualdade acima: 
𝐶(50)+ 𝑉(50) = 420 
2𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑𝑥 = 420 
Sabemos que, neste passo, 𝑥 = 50 e 𝑑 = 2: 
2𝑏 × 50 + 𝑐 + 2 × 50 = 420 
100𝑏 + 𝑐 + 100 = 420 
100𝑏 + 𝑐 = 320 → 𝒄 = 𝟑𝟐𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒃 
 
 No caso de produção e venda de 100 m de tecido, 𝐶(100) + 𝑉(100) = 620. 
Substituindo novamente na função: 
𝐶(100) + 𝑉(100) = 620 
2𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑𝑥 = 620 
Sabemos que, neste passo, 𝑥 = 100 e 𝑑 = 2: 
2𝑏 × 100 + 𝑐 + 2 × 100 = 620 
200𝑏 + 𝑐 + 200 = 620 
200𝑏 + 𝑐 = 420 
Iremos substituir o valor de 𝒄 calculado acima. 
200𝑏 + 𝑐 = 420 
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200𝑏 + 320 − 100𝑏 = 420 
200𝑏 − 100𝑏 = 420 − 320 
100𝑏 = 100 
𝑏 =
100
100
 → 𝒃 = 𝟏 
De posse do valor de 𝑏, calculamos 𝑐: 
𝑐 = 320 − 100𝑏 
𝑐 = 320 − 100 × 1 
𝑐 = 320 − 100 → 𝒄 = 𝟐𝟐𝟎 
Gabarito: Alternativa A 
 
8. (FGV / Pref. Paulinia - 2019) As retas cujas equações são 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 e 𝒚 = 𝒄𝒙 + 𝒅 são tais que 𝒃 >
 𝟎, 𝒅 < 𝟎 𝒆 𝒂 > 𝒄 > 𝟎. 
O ponto de interseção dessas retas está 
a) no primeiro quadrante. 
b) no segundo quadrante. 
c) no terceiro quadrante. 
d) no quarto quadrante. 
e) sobre um dos eixos. 
Comentários: 
A melhor maneira de se resolver esta questão é arbitrar valores para as incógnitas. Arbitrando valores: 
𝑏 = 1 
𝑑 = −1 
𝑐 = 1 
𝑎 = 2 
Substituindo nas funções: 
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 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 
𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 
𝒚 = 𝒙 − 𝟏 
 
Igualando o valor das funções para encontrarmos o ponto de interseção: 
2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 
2𝑥 − 𝑥 = −1 − 1 
𝒙 = −𝟐 
De posse de 𝑥, calculamos 𝑦. 
𝑦 = 𝑥 − 1 
𝑦 = −2 − 1 → 𝒚 = −𝟑 
Ou seja, o ponto de interseção é: 
(−𝟐 ; −𝟑) 
 
Sendo assim, o ponto de interseção dessas retas está no terceiro quadrante. 
Gabarito: Alternativa C 
 
9. (CESGRANRIO / BNDES - 2011) A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume 
de gás consumido pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo. 
 
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O valor pago, em reais, por cada metro cúbico consumido, é de 
a) 7,00 
b) 5,60 
c) 5,00 
d) 4,20 
e) 4,00 
Comentários: 
Observe que a banca nos questiona o valor da variação do valor pago (eixo 𝑦) por cada variação do metro 
cúbico (eixo 𝑥), ou seja, o enunciado quer saber, nada mais nada menos, que o valor do Coeficiente An-
gular da reta. 
O Coeficiente Angular 𝑎 da reta é otido pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 
Vejamos no gráfico os pontos 𝐵 e 𝐴. 
 
Substituindo os valores e calculando o Coeficiente Angular: 
𝑎 =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
35 − 14
7 − 2
 
𝑎 =
21
5
 → 𝒂 = 𝟒, 𝟐 
Ou seja, os consumidores pagam R$ 4,20 por cada metro cúbico consumido. 
Gabarito: Alternativa D 
 
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10. (CESPE / Pref. SL - 2017) Se 𝒙 ≥ 𝟎 representa a quantidade de quilômetros percorridos por um 
veículo em determinado dia, então: 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥/12 representa a quantidade de litros de combustível consumido pelo veículo para percorrer 
x quilômetros; 
• 𝑔(𝑥) = 60 − 𝑥/12 representa a quantidade de litros de combustível que restam no tanque do veículo 
depois de percorridos 𝑥 quilômetros. 
Tendo como referência as informações acima e considerando que o veículo tenha iniciado o percurso com 
o tanque de combustível cheio, se, no dia mencionado, o condutor parar o veículo para abastecer quando 
restarem exatamente 15 litros de combustível no tanque, então, até aquele instante, o veículo terá per-
corrido 
a) mais de 150 km e menos de 300 km. 
b) mais de 300 km e menos de 450 km. 
c) mais de 450 km e menos de 600 km. 
d) mais de 600 km. 
e) menos de 150 km. 
Comentários: 
O veículo iniciou o percurso com o tanque de combustível cheio e o condutor parou o veículo para abas-
tecer quando restaram exatamente 15 litros de combustível no tanque, isto é, 𝑔(𝑥) = 15. 
Observe que 𝑔(𝑥) representa a quantidade de litros de combustível que restam no tanque do veículo 
depois de percorridos 𝑥 quilômetros. Vamos então substituir 𝑔(𝑥) por 15 e calcular quantos quilômetros 
ele rodou. 
𝑔(𝑥) = 60 −
𝑥
12
 
15 = 60 −
𝑥
12
 
𝑥
12
= 60 − 15 
𝑥
12
= 45 
𝑥 = 45 × 12 → 𝒙 = 𝟓𝟒𝟎 𝒌𝒎 
Ou seja, ele percorreu mais de 450 km e menos de 600 km até restarem 15 litros de combustíveis no 
tanque. 
Gabarito: Alternativa C 
 
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11. (FCC / SEFAZ BA - 2019) A função receita diária, em reais, de determinada empresa de consulto-
ria financeira é dada por 𝒓(𝒙) = 𝟕𝟓𝟎𝒙, em que x é o número de consultorias realizadas por dia. 
Seja a função custo diário 𝒄(𝒙), em reais, dessa mesma empresa dada por 𝒄(𝒙) = 𝟐𝟓𝟎𝒙 +
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎. O número de consultorias que precisariam ser realizadas, por dia, para que fosse obtido 
um lucro diário L(x), definido como 𝑳(𝒙) = 𝒓(𝒙) − 𝒄(𝒙), de 5 mil reais é igual a 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
Comentários: 
O lucro diário 𝐿(𝑥) será igual a seguinte função: 
𝐿(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 750𝑥 − (250𝑥 + 10.000) 
𝐿(𝑥) = 750𝑥 − 250𝑥 − 10.000 → 𝑳(𝒙) = 𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
O número de consultorias 𝑥 que precisariam ser realizadas, por dia, para que fosse obtido um lucro diário 
𝐿(𝑥) de 5.000 reais será: 
𝐿(𝑥) = 500𝑥 − 10.000 
5.000 = 500𝑥 − 10.000 
500𝑥 = 5.000 + 10.000 
500𝑥 = 15.000 
𝑥 =
15.000
500
 → 𝒙 = 𝟑𝟎 
Gabarito: Alternativa E 
 
12. (CESGRANRIO / BR - 2010) “O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, 
a cada três dias, em média, uma pessoa foi fulminada por um raio” 
Revista Veja, 10 fev. 2010. 
Seja f(x) uma função polinomial que represente o número de pessoas fulminadas por um raio no Brasil ao 
longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as informações apresentadas 
na reportagem acima, conclui-se que 
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a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥/3 
e) 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥)/3 
Comentários: 
Podemos fazer essa questão de cabeça. Vamos imaginar um período 𝑥 de 15 dias. Se a cada 3 dias uma 
pessoa é fulminada, em 15 dias 5 pessoas serão fulminadas, correto? 
Então temos: 𝑥 = 15 dias e 𝑓(𝑥) = 5 pessoas fulminadas. 
Qual das alterantivas que substituindo 𝑥 por 15, encontramos como resultado o valor 5? 
𝒇(𝒙) =
𝒙
𝟑
 
𝑓(15) =
15
3
 → 𝑓(15) = 5 
Podemos constatar arbitrando qualquer outro valor. Vamos imaginar um período de 33 dias. Ou seja, 𝑥 =
33. 
𝑓(𝑥) =
𝑥
3
 
𝑓(33) =
33
3
 → 𝑓(33) = 11 
Logo, em 33 dias, 11 pessoas serão fulminadas, corroborando o entendimento do enunciado em que a 
cada três dias, em média, uma pessoa foi fulminada por um raio. 
Gabarito: Alternativa D 
 
13. (VUNESP / Pref. Osasco - 2019) Um escritório paga à empresa JC, especializada na manutenção 
de computadores, uma taxa mensal fixa de R$ 300,00 mais R$ 80,00 por hora de serviço pres-
tado. No mês de abril, esse escritório pagou à empresa JC ovalor de R$ 1.500,00, incluindo a 
taxa fixa mensal. O número de horas de serviço que a empresa JC prestou para esse escritório 
foi 
a) 25 
b) 22 
c) 20 
d) 18 
e) 15 
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Comentários: 
Vamos chamar o valor da quantidade de hora de serviço prestado de 𝑥. 
Um escritório paga à empresa JC, uma taxa mensal fixa de R$ 300,00 mais R$ 80,00 por hora 𝑥 de serviço 
prestado. Matematicamente teremos a seguinte função do valor pago à empresa 𝑓(𝑥) em termos da 
quantidade de hora de serviço prestado de 𝑥: 
𝒇(𝒙) = 𝟑𝟎𝟎 + 𝟖𝟎𝒙 
No mês de abril, esse escritório pagou à empresa JC o valor de R$ 1.500,00, incluindo a taxa fixa mensal. 
Vamos substituir 𝑓(𝑥) por 1.500 e determinar o valor de 𝑥. 
𝑓(𝑥) = 300 + 80𝑥 
1.500 = 300 + 80𝑥 
80𝑥 = 1.500 − 300 
80𝑥 = 1.200 
𝑥 =
1.200
80
 → 𝒙 = 𝟏𝟓 
Gabarito: Alternativa E 
 
14. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A função geradora do gráfico abaixo é do tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏. 
 
Então, o valor de 𝑚3 + 𝑛 é 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 8 
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e) 13 
Comentários: 
O gráfico acima nos fornece dois pontos (𝑥, 𝑦) pertencentes à função: (−2;−9) e (3; 1). Vamos substituir 
cada um na equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. 
Sabemos que o Coeficiente Angular 𝑚 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
1 − (−9)
3 − (−2)
 
𝑚 =
1 + 9
3 + 2
 
𝑚 =
10
5
 → 𝒎 = 𝟐 
De posse de 𝑚 e de um dos pontos, podemos substituir os valores na equação da reta e determinar o 
valor de 𝑛. Vamos subsituir o ponto (3; 1): 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
1 = 2 × 3 + 𝑛 
1 = 6 + 𝑛 
𝑛 = 1 − 6 → 𝒏 = −𝟓 
Então, 𝑚3 + 𝑛 será igual a: 
𝑚3 + 𝑛 = 23 − 5 
𝑚3 + 𝑛 = 8 − 5 → 𝒎𝟑 + 𝒏 = 𝟑 
Gabarito: Alternativa B 
 
15. (FGV / SEE PE - 2019) O gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) é uma reta. Sabe-se que 𝒇(−𝟑) = 𝟓 e que 
𝒇(𝟏𝟐) = 𝟏𝟎. 
O valor de 𝑓(2016) é 
a) 656 
b) 664 
c) 670 
d) 678 
e) 682 
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Comentários: 
Para calcular 𝑓(2.016), vamos primeiro determinar a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O enunciado nos informa que a reta passa pelos pontos (−3; 5) e (12; 10). 
Sabemos que o Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
10 − 5
12 − (−3)
 
𝑎 =
5
12 + 3
 
𝑎 =
5
15
 → 𝒂 =
𝟏
𝟑
 
De posse de 𝑎 e de um dos pontos, podemos substituir os valores na equação da reta e determinar o valor 
de 𝑛. Vamos subsituir o ponto (12; 10): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
10 = 12 ×
1
3
+ 𝑏 
10 = 4 + 𝑏 
𝑏 = 10 − 4 → 𝒃 = 𝟔 
Então, a reta terá a seguinte função: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟑
𝒙 + 𝟔 
Por fim, vamos substituir 𝑥 = 2.016 e calcular 𝑓(2.016): 
𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥 + 6 
𝑓(2.016) =
1
3
× 2.016 + 6 
𝑓(2.016) = 672 + 6 → 𝒇(𝟐. 𝟎𝟏𝟔) = 𝟔𝟕𝟖 
Gabarito: Alternativa D 
 
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16. (CESPE / PRF - 2013) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a 
previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse 
sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função 𝑭(𝒕) =
𝑨𝒕 + 𝑩, tal que 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟕) = 𝟏𝟐𝟗. 𝟎𝟎𝟎 e 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟗) = 𝟏𝟓𝟗. 𝟎𝟎𝟎. Com base nessas informações e 
no gráfico apresentado, julgue o item a seguir. 
 
O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500. 
Comentários: 
O enunciado nos informa que o número de acidentes no ano 𝑡 é representado pela função 𝐹(𝑡) = 𝐴𝑡 +
𝐵. 
O Coeficiente Angular 𝐴 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝐴 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
159.000 − 129.000
2009 − 2007
 
𝐴 =
30.000
2
 → 𝑨 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
Logo, o valor da constante 𝐴 em 𝐹(𝑡) é superior a 14.500. 
Gabarito: CERTO 
 
17. (CESPE / PRF - 2013) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a 
previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse 
sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função 𝑭(𝒕) =
𝑨𝒕 + 𝑩, tal que 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟕) = 𝟏𝟐𝟗. 𝟎𝟎𝟎 e 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟗) = 𝟏𝟓𝟗. 𝟎𝟎𝟎. Com base nessas informações e 
no gráfico apresentado, julgue o item a seguir. 
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A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o 
número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000. 
Comentários: 
Vamos, primeiramente, encontrar a função que descreve o modelo linear. O enunciado nos informa que 
o número de acidentes no ano 𝑡 é representado pela função 𝐹(𝑡) = 𝐴𝑡 + 𝐵. 
Na questão anterior calculamos o valor do Coeficiente Angular 𝐴. 
𝑨 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
Para calcular o Coeficiente Linear 𝐵 iremos substituir um dos pontos na equação da reta. Substituiremos 
o ponto (2.007; 129.000). 
𝐹(𝑡) = 𝐴𝑡 + 𝐵 
129.000 = 15.000 × 2007 + 𝐵 
129.000 = 15.000 × 2007 + 𝐵 
𝑩 = 𝟏𝟐𝟗. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟐𝟎𝟎𝟕 
Deixaremos 𝐵 desta forma. Não faça ainda esta conta. 
Iremos calcular o valor 𝐹(𝑡) da função no ano de 2011, isto é, quando 𝑡 = 2011. 
𝐹(𝑡) = 𝐴𝑡 + 𝐵 
𝐹(𝑡) = 15.000 × 2011 + 129.000 − 15.000 × 2007 
Reordenando: 
𝐹(𝑡) = 15.000 × 2011 − 15.000 × 2007 + 129.000 
Colocando 15.000 em evidência: 
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𝐹(𝑡) = 15.000 × (2011 − 2007) + 129.000 
𝐹(𝑡) = 15.000 × 4 + 129.000 
Percebeu agora o porquê não calculamos o valor literal de 𝐵 na passagem acima? 
𝐹(𝑡) = 60.000 + 129.000 
𝐹(𝑡) = 189.000 → 𝑭(𝒕) = 𝟏𝟖𝟗 𝒎𝒊𝒍 
A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear (189 
mil) e o número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico (189 mil) é igual a: 
𝑑 = 189 − 189 → 𝒅 = 𝟎 
Gabarito: ERRADO 
 
18. (FCC / SABESP - 2018) Os taxímetros de uma cidade calculam o valor de cada corrida utilizando 
a seguinte fórmula: 𝑷 = 𝟒, 𝟓𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟓 × 𝒌. Nessa fórmula a letra P significa o preço a ser pago, 
em R$, e a letra k significa a quantidade de quilômetros que o táxi rodou com o passageiro, 
inclusive com frações de quilômetros. Uma pessoa que utilizou um desses táxis e rodou 3,4 km 
pagou, pela corrida, a quantia de 
a) R$ 20,06 
b) R$ 13,12 
c) R$ 18,34 
d) R$ 9,14 
e) R$ 8,92 
Comentários: 
Para determinar o valor da quantia 𝑃 paga pela pessoa, vamos substituir a quantidade de Km por ela 
percorridos (3,4 𝑘𝑚) na função e determinar o valor pago. 
𝑃 = 4,55 + 1,35 × 𝑘 
𝑃 = 4,55 + 1,35 × 3,4 
𝑃 = 4,55 + 4,59 → 𝑷 = 𝟗, 𝟏𝟒 
Gabarito: Alternativa D 
 
 
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19. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 
e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma 
função linear, o valor de umcaminhão do tipo A, com 2 anos de uso, em reais, é de 
a) 40.000,00 
b) 60.000,00 
c) 80.000,00 
d) 50.000,00 
e) 70.000,00 
Comentários: 
Na hora da prova, iremos raciocinar da seguinte maneira: O valor cai linearmente. Logo, se caiu 40 mil em 
4 anos (foi de 90 mil para 50 mil) é porque em 2 anos terá caído 20 mil (a metade). 
Então, como o valor inicial é 90 mil e, em 2 anos caiu 20mil, é porque o valor com 2 anos de uso será de 
70mil. E assim, marcaríamos o Gabarito Alternativa E e partiríamos para a próxima questão. 
Vejamos agora pela função. 
O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Gra-
ficamente (fora de escala) teremos: 
 
Observe que o valor inicial é de R$ 90.000,00 e, após 4 ano, o valor é de R$ 50.000,00. Temos então os 
Pontos (0; 90.000) e (4; 50.000). 
A banca nos questiona o valor com 2 anos de uso. 
Vamos, primeiramente, encontrar a equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O Coeficiente Linear 𝑏 é determinado pelo ponto em que a reta cruza o eixo 𝑦. No nosso caso: 
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𝒃 = 𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
O Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
50.000 − 90.000
4 − 0
 
𝑎 =
−40.000
4
 → 𝒂 = −𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Sendo assim, a equação da reta será: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝒚 = −𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
A banca nos questiona o valor quando 𝑥 = 2, isto é, com 2 anos de uso. 
𝑦(𝑥) = −10.000𝑥 + 90.000 
𝑦(2) = −10.000 × 2 + 90.000 
𝑦(2) = −20.000 + 90.000 → 𝒚(𝟐) = 𝟕𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa E 
 
20. (FGV / SEDUC AM - 2014) Os táxis em Brasília cobram uma bandeirada de R$ 4,10 mais R$ 2,20 
por quilômetro rodado. Antônio pegou um táxi no aeroporto de Brasília e foi até sua casa pa-
gando R$ 45,00. 
A distância percorrida em quilômetros está entre 
a) 15 e 16 quilômetros. 
b) 16 e 17 quilômetros. 
c) 17 e 18 quilômetros. 
d) 18 e 19 quilômetros. 
e) 19 e 20 quilômetros. 
Comentários: 
Vamos chamar a quantidade de quilômetros rodados de 𝑥. 
Os táxis em Brasília cobram uma bandeirada de R$ 4,10 mais R$ 2,20 por quilômetro rodado. Sendo assim, 
a função do preço cobrado/pago será: 
𝑓(𝑥) = 4,10 + 2,20𝑥 
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Ou seja, conforme vimos, um valor fixa de R$ 4,10 mais R$ 2,20 por 𝑥 quilômetros rodados. Antônio pegou 
um táxi no aeroporto de Brasília e foi até sua casa pagando R$ 45,00. Logo Antônio percorreu: 
𝑓(𝑥) = 4,10 + 2,20𝑥 
45 = 4,10 + 2,20𝑥 
2,20𝑥 = 45 − 4,10 
2,20𝑥 = 40,90 
𝑥 =
40,90
2,20
 → 𝒙 = 𝟏𝟖, 𝟓𝟗 
Logo, a distância percorrida em quilômetros está entre 18 e 19 quilômetros. 
Gabarito: Alternativa D 
 
21. (VUNESP / Pref. SBC - 2019) Uma lavanderia cobra R$ 12,00 para lavar e passar uma camisa e 
cobra R$ 6,00 de taxa de entrega, qualquer que seja o número de camisas a serem entregues. 
Se uma pessoa deixou camisas para lavar e passar nessa lavanderia e pagou pelo serviço R$ 
90,00, incluindo a taxa de entrega, então o número de camisas deixadas foi 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
Comentários: 
Iremos chamar o número de camisas lavadas de 𝑥. 
Uma lavanderia cobra R$ 12,00 para lavar e passar uma camisa e cobra R$ 6,00 de taxa de entrega, qual-
quer que seja o número de camisas a serem entregues. Ou seja, ela cobra um valor fixo de R$ 6,00 mais 
R$ 12,00 a cada camisa. 
Matematicamente teremos a seguinte função do valor pago pelo serivço 𝑓(𝑥) em termos da quantidade 
de camisas lavadas 𝑥: 
𝑓(𝑥) = 300 + 80𝑥 
𝒇(𝒙) = 𝟔 + 𝟏𝟐𝒙 
Se uma pessoa deixou camisas para lavar e passar nessa lavanderia e pagou pelo serviço um valor 𝑓(𝑥) 
de R$ 90,00, então ela deixou um número 𝑥 de camisas igual a: 
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𝑓(𝑥) = 6 + 12𝑥 
90 = 6 + 12𝑥 
12𝑥 = 90 − 6 
12𝑥 = 84 
𝑥 =
84
12
 → 𝒙 = 𝟕 
Gabarito: Alternativa B 
 
22. (CESPE / SEDUC AL - 2013) O preço de uma corrida de táxi convencional é calculado somando o 
valor da bandeirada (inicial e fixo) com o valor da distância percorrida. Essa relação pode ser 
representada, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, por uma função da 
forma 𝒚 = 𝒇(𝒙), em que 𝒚 é o preço cobrado pela corrida de 𝒙 quilômetros. Considerando que 
o valor da bandeirada seja de R$ 5,00 e R$ 0,50 por quilômetro percorrido, julgue o próximo 
item. 
Se uma corrida de táxi custou R$ 55,00, então a distância percorrida foi superior a 90 km. 
Comentários: 
Vamos chamar a quantidade de quilômetros rodados de 𝑥. 
Os táxis cobram uma bandeirada de R$ 5,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Sendo assim, a função 
do preço cobrado/pago será: 
𝒇(𝒙) = 𝟓 + 𝟎, 𝟓𝒙 
Ou seja, conforme vimos, um valor fixo de R$ 5,00 mais R$ 0,5 por 𝑥 quilômetros rodados. 
Se uma corrida de táxi custou R$ 55,00, então a distância percorrida 𝑥 foi: 
𝑓(𝑥) = 5 + 0,5𝑥 
55 = 5 + 0,5𝑥 
0,5𝑥 = 55 − 5 
0,5𝑥 = 50 
𝑥 =
50
0,5
 → 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒎 
Ou seja, a distância percorrida foi SUPERIOR a 90 km. 
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Gabarito: CERTO 
 
23. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A função 𝒈(𝒙) = 𝟖𝟒𝒙 representa o gasto médio, em reais, 
com a compra de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende 
deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um purificador de água que custa 
R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para re-
cuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre 
a) dois e três meses. 
b) três e quatro meses. 
c) quatro e cinco meses. 
d) cinco e seis meses. 
e) seis e sete meses. 
Comentários: 
A função 𝑔(𝑥) = 84𝑥 representa o gasto médio, em reais, com a compra de água mineral de uma família 
de 4 pessoas em x meses. 
Vamos determinar em quantos meses essa família gastaria R$ 299,90 em água (valor este que ela econo-
mizará, uma vez que, com a compra do purificador, não precisará mais gastar com água). 
𝑔(𝑥) = 84𝑥 
299,90 = 84𝑥 
𝑥 =
299,90
84
 → 𝒙 = 𝟑, 𝟓𝟕 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
Ou seja, com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para recuperar o valor 
investido na compra do purificador (R$ 299,90) ficará entre três e quatro meses. 
Gabarito: Alternativa B 
 
24. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Um escritório de contabilidade fez um acompanhamento 
dos seus custos mensais de manutenção e verificou que esses custos são, principalmente, uma 
função linear do número de funcionários contratados. Um extrato do histórico desse processo 
consta da tabela a seguir. 
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Qual é o valor predito para o custo mensal, em reais, desse escritório se forem contratados 7 funcionários? 
a) 13.000,00 
b) 14.000,00 
c) 14.500,00 
d) 15.000,00 
e) 16.000,00 
Comentários: 
A banca nos informa que os custos são uma função linear do número de funcionários contratados. Vamos 
então calcular a equação da reta (linear) dos Custos 𝑦 em função do número de funcionários 𝑥. 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Para encontrar a equação de uma reta, precisamos de 2 pontos desta. Iremos trabalhar com os pontos: 
(2; 5.000) e (5; 11.000). 
 O Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é:𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
11.000 − 5.000
5 − 2
 
𝑎 =
6.000
3
 → 𝒂 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
Para calcular o Coeficiente Linear 𝑏 iremos substituir um dos pontos na equação da reta. Substituiremos 
o ponto (2; 5.000). 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
5.000 = 2.000 × 2 + 𝑏 
5.000 = 4.000 + 𝑏 
𝑏 = 5.000 − 4.000 → 𝒃 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 
Então, a equação da reta será: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
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𝒚 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 
O valor predito 𝑦 para o custo mensal, em reais, desse escritório se forem contratados 7 funcionários 
será: 
𝑦 = 2.000𝑥 + 1.000 
𝑦 = 2.000 × 7 + 1.000 
𝑦 = 14.000 + 1.000 → 𝒚 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
25. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O gráfico abaixo apresenta a quantidade média de CO2, em 
gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância 
percorrida, em km. 
 
A lei que expressa a quantidade média Q de CO2, em gramas, lançada na atmosfera por um carro modelo 
“mini”, em função 
a) Q(d) = 120d 
b) Q(d) = 200d 
c) Q(d) = 1200d 
d) Q(d) = 1200 + d 
e) Q(d) = 2000 + d 
Comentários: 
O gráfico acima da função "mini" nos fornece dois pontos (𝑥, 𝑦) pertencentes à função: (0; 0) e 
(10; 1.200). Vamos substituir cada um na equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O Coeficiente Linear 𝑏 é determinado pelo ponto em que a reta cruza o eixo 𝑦. Observe que a função 
cruza o eixo 𝒚 em 𝟎. 
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Então, neste caso: 
𝒃 = 𝟎 
O Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
1.200 − 0
10 − 0
 
𝑎 =
1.200
10
 → 𝒂 = 𝟏𝟐𝟎 
Sendo assim, a equação da reta "mini" será igual a: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 120𝑥 + 0 → 𝑦 = 120𝑥 
A banca colocou 𝑄(𝑑) no eixo 𝑦 e 𝑑 no eixo 𝑥. Ficamos com: 
𝑦 = 120𝑥 → 𝑸(𝒅) = 𝟏𝟐𝟎𝒅 
Gabarito: Alternativa A 
 
26. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O gráfico abaixo apresenta a quantidade média de CO2, em 
gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância 
percorrida, em km. 
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Considere a quantidade média de CO2 lançada na atmosfera por um carro “luxo” ao percorrer 600km. 
Que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro “mini”, de modo que a mesma quantidade 
média de CO2 fosse lançada na atmosfera? 
a) 800 
b) 900 
c) 1.000 
d) 1.100 
e) 1.200 
Comentários: 
Vamos determinar a equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 da quantidade média de CO2 lançada na atmosfera por 
um carro “luxo” ao percorrer 𝑥 km. 
O Coeficiente Linear 𝑏 é determinado pelo ponto em que a reta cruza o eixo 𝑦. Observe que a função 
cruza o eixo 𝒚 em 𝟎. 
 
Então, neste caso: 
𝒃 = 𝟎 
O Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
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𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
2.000 − 0
10 − 0
 
𝑎 =
2.000
10
 → 𝒂 = 𝟐𝟎𝟎 
Sendo assim, a equação da reta "luxo" será igual a: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 200𝑥 + 0 → 𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝒙 
Para 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒎 será lançado a quantidade média de CO2 igual a: 
𝑦 = 200𝑥 
𝑦 = 200 × 600 → 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Vamos determinar que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro “mini”, de modo que a 
mesma quantidade média de CO2 fosse lançada na atmosfera, isto é, 120.000 g CO2. 
Determinarmos a equação da reta "mini" no exercício anterior. 
𝑦 = 120𝑥 
Vamos determinar o valor da distância 𝑥 quando 𝑦 = 120.000. 
𝑦 = 120𝑥 
120.000 = 120𝑥 
𝑥 =
120.000
120
 → 𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝑲𝒎 
Gabarito: Alternativa C 
 
27. (FGV / SEDUC AM- 2014) No plano cartesiano, considere a reta de equação 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟕. 
Há um único ponto dessa reta cujas coordenadas 𝑥 e 𝑦, nesta ordem, são números inteiros consecutivos. 
O valor de 𝑥 + 𝑦 é 
a) 13 
b) 15 
c) 17 
d) 19 
e) 21 
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Comentários: 
A banca nos informa que há um único ponto dessa reta cujas coordenadas 𝑥 e 𝑦, nesta ordem, são núme-
ros inteiros consecutivos. 
Logo, se 𝑥 e 𝑦 são números consecutivos: 
𝒚 = 𝒙 + 𝟏 
Vamos substituir esta informação na função dada e calcular o valor de 𝑥: 
𝑥 + 3𝑦 = 27 
𝑥 + 3(𝑥 + 1) = 27 
𝑥 + 3𝑥 + 3 = 27 
4𝑥 = 27 − 3 
4𝑥 = 24 
𝑥 =
24
4
 → 𝒙 = 𝟔 
Se 𝑥 = 6, 𝑦 será: 
𝑦 = 𝑥 + 1 
𝑦 = 6 + 1 → 𝒚 = 𝟕 
Então, o valor de 𝑥 + 𝑦 é: 
𝑥 + 𝑦 = 6 + 7 
𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟑 
Gabarito: Altenativa A 
 
28. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A “Espresso Book Machine” é uma impressora comercial de 
alta velocidade que imprime uma página de cada vez. As funções 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟓𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝟑𝟓𝒙 
indicam, respectivamente, as quantidades de páginas em preto e branco e em cores que essa 
impressora imprime em 𝒙 minutos. Utilizando-se essa impressora, em quantos minutos seriam 
impressas as páginas de um livro que possui 392 páginas, das quais apenas 14 são coloridas? 
a) 3,0 
b) 3,4 
c) 3,6 
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d) 3,8 
e) 4,0 
Comentários: 
O livro possui 392 páginas, sendo 14 coloridas. Logo, 392 − 14 = 378 são páginas em preto e branco. 
 A função 𝑓(𝑥) = 105𝑥 indica a quantidade de páginas em preto e branco que a impressora im-
prime em 𝑥 minutos. Se o livro tem 378 páginas em preto e branco, a impressora gastará: 
𝑓(𝑥) = 105𝑥 
378 = 105𝑥 
𝑥 =
378
105
 → 𝒙 = 𝟑, 𝟔 
 A função 𝑓(𝑥) = 35𝑥 indica a quantidade de páginas em cores que a impressora imprime em 𝑥 
minutos. Se o livro tem 14 páginas coloridas, a impressora gastará: 
𝑓(𝑥) = 35𝑥 
14 = 35𝑥 
𝑥 =
14
35
 → 𝒙 = 𝟎, 𝟒 
Logo, o tempo total gastos será: 
𝑡 = 3,6 + 0,4 → 𝒕 = 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 
Gabarito: Alternativa E 
 
29. (VUNESP / Pref. Ribeirão Preto - 2018) O gráfico a seguir mostra a relação entre a quantidade V 
(em m3) de água em uma caixa e o tempo t (em h) em que uma torneira permaneceu aberta, 
esvaziando essa caixa. 
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A relação entre V e t pode ser expressa por: 
a) V = 12 – 6t 
b) V = 12 – 2t 
c) V = 12 + 6t 
d) V = 6 + 12t 
e) V = 6 – 2t 
Comentários: 
Estudamos que a função genérica de uma reta é dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Observe que no gráfico apresentado pela banca, no eixo 𝑦 temos a variável V e, no eixo 𝑥, a variável 𝑡. 
Sendo assim nossa função será: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑉 = 𝑎𝑡 + 𝑏 
O Coeficiente Linear 𝑏 é determinado pelo ponto em que a reta cruza o eixo 𝑦. Observe que a função 
cruza o eixo 𝒚 em 𝟏𝟐. 
𝒃 = 𝟏𝟐 
Perceba que a reta cruza o eixo 𝑥 em (6; 0). Vamos substituir este ponto na equação da reta e determinar 
o valor do coeficiente angular 𝑎. 
𝑉 = 𝑎𝑡 + 𝑏 
0 = 𝑎 × 6 + 12 
6𝑎 = −12 
𝑎 =
−12
6
 → 𝒂 = −𝟐 
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Logo, a função de relação entre V e t pode ser expressa por: 
𝑉 = 𝑎𝑡 + 𝑏 
𝑽 = −𝟐𝒕 + 𝟏𝟐 𝒐𝒖 𝑽 = 𝟏𝟐 − 𝟐𝒕 
Gabarito: Alternativa B 
 
30. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo li-
nearmente, como mostra o gráfico abaixo. 
 
Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa empresa, 
em 2010? 
a) 224 
b) 234 
c) 248 
d) 254 
e) 268 
Comentários: 
Vamos, primeiramente, determinar a equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O Coeficiente Angular 𝑎 é determinado pela variação de 𝑦 sobre a variação de 𝑥. Isto é: 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
=
216 − 144
2.009 − 2.005
 
𝑎 =
72
4
 → 𝒂 = 𝟏𝟖 
Para calcular o Coeficiente Linear 𝑏, iremos substituir o Ponto (2.005; 144) na equação da reta: 
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𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
144 = 18 × 2.005 + 𝑏 
144 = 36.090 + 𝑏 
𝑏 = 144 − 36.090 → 𝒃 = −𝟑𝟓. 𝟗𝟒𝟔 
Logo, a equação da reta será: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝒚 = 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟓. 𝟗𝟒𝟔 
O lucro 𝑦 dessa empresa, quando 𝑥 = 2.010 será igual a: 
𝑦 = 18𝑥 − 35.946 
𝑦 = 18 × 2.010 − 35.946 
𝑦 = 36.180 − 35.946 → 𝒚 = 𝟐𝟑𝟒 
Gabarito: Alternativa B 
 
31. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Seja f uma função real de variável real dada por 𝒇(𝒙) =
𝟖–𝟑𝒙. Analise as afirmações a seguir. 
I – O coeficiente angular de f é 8. 
II – O gráfico de f é uma reta que corta o eixo vertical no ponto (0,5). 
III – Para acréscimos de 1 unidade no valor de x, o valor de f diminui 3 unidades. 
Está(ão) correta(s) APENAS 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) I e III 
Comentários: 
Vamos analisar item a item. 
I – O coeficiente angular de f é 8. 
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INCORRETO. O Coeficiente Angular da reta é igual a −3. 
Dada a equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , o Coeficiente Angular é o termo que multiplica a incógnita 𝑥. 
O item acima apenas invertou a ordem de apresentação da equação da reta. Ao invés de 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
ele apresentou 𝑦 = 𝑏 + 𝑎𝑥. 
Espelando as 2 equações: 
𝑦 = 𝑏 + 𝑎𝑥 
𝑓(𝑥) = 8 – 3𝑥 
Temos que o Coeficiente Angular da reta é igual a −𝟑 e o Coeficiente Linear é igual a 8. 
 
II – O gráfico de f é uma reta que corta o eixo vertical no ponto (0,5). 
INCORRETO. O gráfico da reta corta o eixo vertical (eixo 𝑦) quando 𝑥 = 0. 
Vamos então substituir 𝑥 = 0 na função: 
𝑓(𝑥) = 8 – 3𝑥 
𝑓(𝑥) = 8 – 3 × 0 
𝑓(𝑥) = 8 
Ou seja, o gráfico de f é uma reta que corta o eixo vertical no ponto (0; 8). 
 
Na hora da prova, apesar desta passagem ter sido rápida, você nem precisaria calcular. No item acima, 
vimos que o Coeficiente Linear é igual a 8. O Coeficiente Linear é o valor em que a reta cruza o eixo 𝑦 
(𝑥 = 0). 
 
III – Para acréscimos de 1 unidade no valor de x, o valor de f diminui 3 unidades. 
CORRETO. O Coeficiente Angular da reta é igual a −3, ou seja, para acréscimos de 1 unidade no valor de 
x, o valor de f diminui 3 unidades. Vejamos: 
Vamos substituir 3 valores para 𝑥 e constatar se é verdadeiro o item. Substituiremos 𝑥 = 0, 1 e 2. 
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 𝑥 = 0 
𝑓(𝑥) = 8 – 3𝑥 
𝑓(0) = 8 – 3(0) → 𝑓(0) = 8 
 𝑥 = 1 
𝑓(𝑥) = 8 – 3𝑥 
𝑓(1) = 8 – 3(1) 
 𝑓(1) = 8 – 3 → 𝑓(1) = 5 
 𝑥 = 2 
𝑓(𝑥) = 8 – 3𝑥 
𝑓(2) = 8 – 3(2) 
 𝑓(2) = 8 – 6 → 𝑓(2) = 2 
Observe então que para acréscimos de 1 unidade no valor de 𝑥 (𝑥 = 0, 1 e 2), o valor de f diminui 3 
unidades. 
Gabarito: Alternativa C 
 
Função Quadrática (2° Grau) 
32. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a 
seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0). 
 
Se o ponto 𝑃(11; 𝑘) é um ponto da parábola, o valor de k será 
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90 
a) 5,5 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 7,5 
e) 9,0 
Comentários: 
Vamos, primeiramente, determinar a equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
O Coeficiente 𝑐 indica o valor onde a parábola intercepta o eixo 𝑦, isto é, quando 𝑥 = 0. Observe que a 
parábola "corta" o eixo 𝑦 em 𝑦 = 9. 
 
Logo, 
𝒄 = 𝟗 
Sabemos que a multiplicação das raízes é igual a: 
𝑥1 × 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
Substituindo as raízes 𝑥1 = −2 e 𝑥2 = 13 teremos: 
𝑥1 × 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
−2 × 13 =
9
𝑎
 
−26 =
9
𝑎
 → 𝒂 = −
𝟗
𝟐𝟔
 
Sabemos também que, a soma das raízes é: 
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
 
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91 
−2 + 13 =
−𝑏
−
9
26
 
11 =
−𝑏
−
9
26
 → 𝒃 =
𝟗𝟗
𝟐𝟔
 
Sendo assim, a fórmula da parábola será: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝒚 = −
𝟗
𝟐𝟔
𝒙𝟐 +
𝟗𝟗
𝟐𝟔
𝒙 + 𝟗 
Para encontrar o valor de 𝑘, substituimos 𝑥 = 11: 
𝑦 = −
9
26
𝑥2 +
99
26
𝑥 + 9 
𝑘 = −
9
26
(11)2 +
99
26
(11) + 9 
𝑘 = −
9
26
× 121 +
1.089
26
+ 9 
𝑘 = −
1.089
26
+
1.089
26
+ 9 → 𝒌 = 𝟗 
 
Na hora da prova, iremos utilizar um pouco da experiência. Estudamos na teoria que a parábola é simé-
trica. Perceba que 𝑥 = 0 está 2 unidades da raiz 𝑥 = −2. Perceba também que o valor solicitado 𝑥 = 11 
está a 2 unidades da outra raiz 𝑥 = 13. 
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Então, pela simetria da parábola temos que 𝑦, quando 𝑥 = 11, é igual a 9. 
"Ah professor, e porque você não resolveu assim logo no início?" 
Porque, caro Aluno, imagine se a banca pergunta o valor de 𝑦 quando 𝑥 = 8,5 por exemplo. Você não 
conseguiria usar a simetria neste exemplo. Então, eu quero que você se prepare para tudo que possa vir 
na sua prova. 
Dito isto, 
Gabarito: Alternativa E 
 
33. (VUNESP / Pref. Peruíbe - 2019) O gráfico da figura é de uma função quadrática f(x). 
 
Assim, 𝑓(0,5) é igual a 
a) 1,75 
b) 1,5 
c) 1,25 
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d) 1 
e) 0,75 
Comentários: 
Vamos, primeiramente, determinar a equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
O Coeficiente 𝑐 indica o valor onde a parábola intercepta o eixo 𝑦, isto é, quando 𝑥 = 0. Observe que a 
parábola "corta" o eixo 𝑦 em 𝑦 = 0. 
 
Logo, 
𝒄 = 𝟎 
Observe que a parábola passa pelos pontos (1; 3) e (4; 0). Vamos substituir estes pontos na equação. 
 Substituindo o ponto (4; 0): 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎(4)2 + 𝑏4 + 0 
0 = 16𝑎 + 4𝑏 
Simplificando toda a igualdade por 4: 
0 = 16𝑎 + 4𝑏 ÷ (4) 
0 = 4𝑎 + 𝑏 → 𝒃 = −𝟒𝒂 
 Substituindo o ponto (1; 3): 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
3 = 𝑎(1)2 + 𝑏1 + 0 
3 = 𝑎 + 𝑏 
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Na primeira substituição, determinamos que 𝑏 = −4𝑎. Sendo assim, 
3 = 𝑎 + 𝑏 
3 = 𝑎 − 4𝑎 
3 = −3𝑎 
𝑎 =
3
−3
 → 𝒂 = −𝟏 
De posse de 𝑎, calculamos 𝑏. 
𝑏 = −4𝑎 
𝑏 = −4(−1) → 𝒃 = 𝟒 
Então, a função quadrática será: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 0 
𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 
Por fim, calculamos 𝑓(0,5): 
𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 
𝑓(0,5)= −(0,5)2 + 4(0,5) 
𝑓(0,5) = −0,25 + 2 → 𝒇(𝟎, 𝟓) = 𝟏, 𝟕𝟓 
Gabarito: Alterantiva A 
 
34. (CESPE / IBGE - 2021) Considere que os gráficos 𝑪𝑨 e 𝑪𝑩 apresentados representam, respectiva-
mente, as quantidades mensais de clientes de dois mercados concorrentes 𝑨 e 𝑩, desde o ins-
tante da sua inauguração simultânea, em 𝒕 = 𝟎, até os instantes em que esses mercados encer-
raram suas atividades, respectivamente, nos instantes 𝒕𝑨 e 𝒕𝑩, em que 𝒕 é dado em meses. Con-
sidere, ainda, que 𝑪𝑨(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 e que 𝑪𝑩(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝒕 − 𝒕𝟐. 
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De acordo com as informações do texto, o período total em que a quantidade de clientes do mercado A 
foi maior ou igual que a quantidade de clientes do mercado B foi 
a) entre a inauguração e o instante t1. 
b) entre a inauguração e o instante t3. 
c) entre a inauguração e o instante tA. 
d) entre o instante t1 e o instante t2. 
e) entre o instante t1 e o instante t3. 
Comentários: 
Observe que no gráfico que entre o momento zero (inauguração) e o momento 𝑡3, a função 𝐶𝐴 é superior 
(maior) que a função 𝐶𝐵. 
Vejamos um recorte da figura no instante 𝑡3: 
 
Perceba que, para qualquer valor entre 𝟎 e 𝒕𝟑, a curva da função 𝐶𝐴 será maior (estará mais acima) que 
a curva da função 𝐶𝐵. 
Sendo assim, o período total em que a quantidade de clientes do mercado A foi maior ou igual que a 
quantidade de clientes do mercado B foi entre a inauguração e o instante t3. 
Gabarito: Alternativa B 
 
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35. (CESPE / IBGE - 2021) Considere que os gráficos 𝑪𝑨 e 𝑪𝑩 apresentados representam, respectiva-
mente, as quantidades mensais de clientes de dois mercados concorrentes 𝑨 e 𝑩, desde o ins-
tante da sua inauguração simultânea, em 𝒕 = 𝟎, até os instantes em que esses mercados encer-
raram suas atividades, respectivamente, nos instantes 𝒕𝑨 e 𝒕𝑩, em que 𝒕 é dado em meses. Con-
sidere, ainda, que 𝑪𝑨(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 e que 𝑪𝑩(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝒕 − 𝒕𝟐. 
 
Considerando-se as informações do texto, é correto afirmar que, após o encerramento das atividades 
comerciais do mercado A, o mercado B ainda permaneceu em atividade comercial por 
a) 10 meses 
b) 20 meses 
c) 30 meses 
d) 40 meses 
e) 50 meses 
Comentários: 
Após o encerramento das atividades comerciais do mercado A, o mercado B ainda permaneceu em ativi-
dade comercial por um tempo igual a diferença de 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴, correto? 
 
𝑡𝐵 é uma das raízes da função 𝐶𝐵 e 𝑡𝐴 é uma das raízes da função 𝐶𝐴. Vamos calcular as raízes das funções. 
 𝐶𝐴(𝑡) = 300𝑡 − 3𝑡2 
𝐶𝐴(𝑡) = 300𝑡 − 3𝑡
2 
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0 = 300𝑡 − 3𝑡2 
Colocando 3𝑡 em evidência: 
0 = 3𝑡(100 − 𝑡) {
3𝑡 = 0 → 𝑡 = 0
 
 100 − 𝑡 = 0 → 𝑡 = 100
 
O valor 0 já havíamos visto pela figura que é uma das raízes. Logo, a segunda raiz 𝑡𝐴 será igual a: 
𝒕𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 
 𝐶𝐵(𝑡) = 120𝑡 − 𝑡
2 
𝐶𝐵(𝑡) = 120𝑡 − 𝑡2 
0 = 120𝑡 − 𝑡2 
Colocando 𝑡 em evidência: 
0 = 𝑡(120 − 𝑡) {
𝑡 = 0
 
 120 − 𝑡 = 0 → 𝑡 = 120
 
Assim como na função acima, o valor 0 já havíamos visto pela figura que é uma das raízes. Logo, a segunda 
raiz 𝑡𝐵 será igual a: 
𝒕𝑩 = 𝟏𝟐𝟎 
Então, é correto afirmar que, após o encerramento das atividades comerciais do mercado A, o mercado 
B ainda permaneceu em atividade comercial por: 
𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 = 120 − 100 = 𝟐𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
Gabarito: Alternativa B 
 
36. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) O gráfico de uma função 𝒇: 𝑹 → 𝑹 é uma parábola cujo 𝒙 
do vértice é igual a 5. 
Se 𝑥 ∈ 𝑅 é tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 4), então x é igual a 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
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Comentários: 
Na hora da prova, esboce o gráfico de uma função quadrática qualquer. 
 
O enunciado nos afirma que o 𝑥 do vértice é igual a 5 e que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 4). Assinalamos no gráfico. 
 
Observe, pela simetria da parábola em relação ao seu vértice, que o 𝑥 do vértice será a média aritmética 
de 𝑥 e 𝑥 − 4. Em outras palavras, 𝑥 do vértice é equidistante de 𝑥 e 𝑥 − 4. 
Logo: 
5 =
𝑥 − 4 + 𝑥
2
 
5 =
2𝑥 − 4
2
 
2𝑥 − 4 = 10 
2𝑥 = 10 + 4 
2𝑥 = 14 
𝑥 =
14
2
 → 𝒙 = 𝟕 
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99 
Gabarito: Alternativa A 
 
37. (FCC / IBMEC - 2019) A empresa de Paulo fabrica e vende um produto cuja quantidade vendida 
𝑸 depende do preço unitário 𝑷 cobrado no mercado, de acordo com a expressão 𝑸 = 𝟏𝟎𝟎 −
𝟐𝑷. Sabe-se que o custo unitário de fabricação deste produto é de R$ 3,00. Então, o preço uni-
tário que Paulo deve cobrar pelo produto, de modo que a empresa tenha o maior lucro (fatura-
mento das vendas menos custos totais) possível, é 
a) R$ 30,00 
b) R$ 24,00 
c) R$ 26,50 
d) R$ 21,00 
e) R$ 36,00 
Comentários: 
O lucro de uma operação é determinado pela diferença do preço de Venda menos o preço de Custo, 
correto? 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶 
Vamos determinar o lucro na operação para 𝑄 unidades compradas e vendidas. 
• O custo unitário de fabricação deste produto é de R$ 3,00. Então, o Custo total para 𝑄 unidades 
será: 
𝐶 = 3 × 𝑄 
𝐶 = 3 × (100 − 2𝑃) → 𝑪 = 𝟑𝟎𝟎 − 𝟔𝑷 
• A empresa de Paulo fabrica e vende um produto cuja quantidade vendida 𝑄 depende do preço 
unitário 𝑃 cobrado no mercado. Logo, o Valor total obtido na Venda será igual a quantidade ven-
dida vezes o preço unitário: 
𝑉 = 𝑄 × 𝑃 
𝑉 = (100 − 2𝑃) × 𝑃 → 𝑽 = 𝟏𝟎𝟎𝑷 − 𝟐𝑷𝟐 
Sendo assim, a função do Lucro 𝐿 será: 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶 
𝐿 = 100𝑃 − 2𝑃2 − (300 − 6𝑃) 
𝐿 = 100𝑃 − 2𝑃2 − 300 + 6𝑃 
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100 
𝑳 = −𝟐𝑷𝟐 + 𝟏𝟎𝟔𝑷 − 𝟑𝟎𝟎 
A banca nos questiona o preço unitário que Paulo deve cobrar pelo produto, de modo que a empresa 
tenha o maior lucro, isto é, o valor do 𝑃 do vértice da parábola (nesse caso, 𝑃 é o equivalente ao 𝑥 do 
vértice). 
𝑃𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 
𝑃𝑣 =
−106
2(−2)
 
𝑃𝑣 =
−106
−4
 → 𝑷𝒗 = 𝟐𝟔, 𝟓 
Gabarito: Alternativa C 
 
38. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Um estudo revelou que o valor da variável 𝒚 = 𝒇(𝒙), em 
milhares de reais, em função da variável 𝒙, em milhares de peças, é dado pela função 𝒇(𝒙) =
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , com x variando de 0 a 400. Considere que 𝒇(𝟎) = 𝟖𝟎𝟎, e 𝒇(𝟏𝟎𝟎) = 𝒇 (𝟑𝟎𝟎) =
𝟏. 𝟒𝟎𝟎. 
Assim, o valor máximo que 𝑦 pode assumir, em milhões de reais, é igual a: 
a) 1,2 
b) 1,4 
c) 1,6 
d) 1,8 
e) 2,0 
Comentários: 
Observe que a banca nos fornece o valor de 𝑦 quando 𝑥 = 0. 
𝑓(0) = 800 
Este é o nosso ponto 𝑐 que representa o valor em que a parábola intercepta o eixo 𝑦. Logo: 
𝒄 = 𝟖𝟎𝟎 
O enunciado nos informa que 𝑓(100) = 𝑓 (300) = 1.400. Vamos substituir estes dois pontos na equação 
da parábola e determinar os Coeficientes 𝑎 e 𝑏. 
 𝑓(100) = 1.400 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 800 
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101 
1.400 = 𝑎(100)2 + 𝑏(100) + 800 
1.400 = 10.000𝑎 + 100𝑏 + 800 
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒂 + 𝟏𝟎𝟎𝒃 = 𝟔𝟎𝟎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜(𝐼) 
 𝑓(300) = 1.400 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 800 
1.400 = 𝑎(300)2 + 𝑏(300) + 800 
1.400 = 90.000𝑎 + 300𝑏 + 800 
𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒂 + 𝟑𝟎𝟎𝒃 = 𝟔𝟎𝟎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (𝐼𝐼) 
Então ficamos com um sistema formado por 2 equações e 2 incógnitas. 
{ 
10.000𝑎 + 100𝑏 = 600
 
90.000𝑎 + 300𝑏 = 600
 
Vamos multiplicar a equação de cima por 3: 
{ 
30.000𝑎 + 300𝑏 = 1.800
 
90.000𝑎 + 300𝑏 = 600
 
Agora vamos subtrair a primeira da segunda: 
 
Então: 
𝑎 = −
1.200
60.000
 → 𝒂 = −𝟎, 𝟎𝟐 
Vamos substituir na equação (I) e calcular 𝑏: 
10.000𝑎 + 100𝑏 = 600 
10.000(−0,02) + 100𝑏 = 600 
−200 + 100𝑏 = 600 
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102 
100𝑏 = 600 + 200 
100𝑏 = 800 → 𝒃 = 𝟖 
Logo, a equação da parábola será igual a: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝒇(𝒙) = −𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟖𝟎𝟎 
Esboçando a curva (apenas para visualização. Não precisaríamos esboçar na hora da prova) teremos: 
 
O enunciado nos questiona o valor máximo de 𝑦, isto é, o 𝑦 do vértice (𝑦𝑉). 
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
 
Substituindo os valores: 
𝑦𝑉 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
𝑦𝑉 = −
82 − 4 × (−0,02) × (800)
4 × (−0,02)
 
𝑦𝑉 = −
64 + 64
−0,08
 
𝑦𝑉 =
−128
−0,08
 → 𝒚𝑽 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔 
Assim, o valor máximo que 𝑦 pode assumir, em milhões de reais, é igual a 1,6 milhões. 
Gabarito: Alternativa C 
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103 
 
39. (CESPE / TJ PA - 2020) Considere que, em determinado dia, um computador seja ligado às 5 horas 
e desligado às 19 horas e que, nesse intervalo de tempo, a porcentagem da memória desse com-
putador que esteja sendo utilizada na hora 𝒙 seja dada pela expressão 
𝑃(𝑥) = −
5
4
𝑥2 + 30𝑥 − 100 
Nessa situação, no intervalo de tempo considerado, na hora em que a memória do computador estiver 
sendo mais demandada, a porcentagem utilizada será igual a 
a) 12% 
b) 20% 
c) 70% 
d) 80% 
e) 100% 
Comentários: 
Observe que a função apresenta o Coeficiente 𝑎 = −5/4 (menor que zero), o que caracteriza uma pará-
bola com concavidade voltada para baixo e, consequentemente, aprensenta ponto de máximo. 
A banca nos questiona a Porcentagem utilizada na maior demanda. 
 
Observe que a Porcentagem 𝑷 é relativa ao 𝒚 da função genérica 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que estudamos. 
Apenas mudou a "letra". 
Ou seja, a banca nos questiona o máximo 𝑃 (𝑦 do vértice). 
𝑃𝑣 =
−∆
4𝑎
 
𝑃𝑣 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
𝑃𝑣 =
−(302 − 4(
−5
4 ) (−100))
4 (
−5
4 )
 
𝑃𝑣 =
−(900 − 500)
−5
 
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104 
𝑃𝑣 =
−400
−5
 → 𝑷𝒗 = 𝟖𝟎 
Então, no intervalo de tempo considerado, na hora em que a memória do computador estiver sendo mais 
demandada, a porcentagem utilizada será igual a 80%. 
Gabarito: Alternativa D 
 
40. (VUNESP / Pref. Itapevi - 2019) Os organizadores de um evento perceberam que se baixassem o 
preço do ingresso poderiam obter maior lucro, uma vez que isso atrairia maior número de es-
pectadores. Para tanto, contrataram uma empresa que fez toda a análise da situação e projeta-
ram o lucro 𝑳, em milhares de reais, em função do desconto 𝒅, em reais, aplicado no valor do 
ingresso, utilizando a seguinte fórmula: 
 𝐿 = −0,4𝑑2 + 7𝑑 + 150 
Após uma reunião, os organizadores decidiram que irão aplicar um desconto superior a R$ 5,00 no preço 
de ingresso, de forma a obterem um lucro igual a 165 mil reais, segundo a fórmula apresentada pela 
empresa. Nesse caso, o desconto aplicado no preço do ingresso será de 
a) R$ 7,50 
b) R$ 10,00 
c) R$ 12,50 
d) R$ 15,00 
e) R$ 20,00 
Comentários: 
Vamos determinar o valor do desconto que gera um Lucro 𝐿 de 165 mil reais. 
𝐿 = −0,4𝑑2 + 7𝑑 + 150 
165 = −0,4𝑑2 + 7𝑑 + 150 
−0,4𝑑2 + 7𝑑 + 150 − 165 = 0 
−0,4𝑑2 + 7𝑑 − 15 = 0 
Iremos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa função do segundo grau. 
𝑑 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑑 =
−7 ± √72 − 4(−0,4)(−15)
2(−0,4)
 
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105 
𝑑 =
−7 ± √49 − 24
−0,8
 
𝑑 =
−7 ± √25
−0,8
 
𝑑 =
−7 ± 5
−0,8
 
{
 
 
 
 𝑑1 =
−7 + 5
−0,8
=
−2
−0,8
 → 𝒅𝟏 = 𝟐, 𝟓
 
 𝑑2 =
−7 − 5
−0,8
=
−12
−0,8
 → 𝒅𝟐 = 𝟏𝟓
 
Como a banca nos informa que o desconto é superior a 5 reais, o valor de 𝒅𝟏 é descartado, uma vez que 
2,5 < 5. 
Logo, o desconto será igual a: 
𝒅 = 𝟏𝟓 
Gabarito: Alternativa D 
 
41. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Sejam 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔 e 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados abaixo. A função 𝒇(𝒙) 
intercepta o eixo das abscissas nos pontos 𝑷(𝒙𝑷, 𝟎) e 𝑴(𝒙𝑴, 𝟎), e 𝒈(𝒙), nos pontos (𝟏, 𝟎) e 
𝑸(𝒙𝑸, 𝟎). 
 
Se g(x) assume valor máximo quando 𝑥 = 𝑥𝑀, conclui-se que 𝑥𝑄 é igual a 
a) 3 
b) 7 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
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106 
Comentários: 
Observe que 𝑃 e 𝑀 são os pontos das raízes da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 16. Vamos encontrar as 
raízes desta função. 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−4 ± √42 − 4(−2)(16)
2(−2)
 
𝑥 =
−4 ± √16 + 128
−4
 
𝑥 =
−4 ± √144
−4
 
𝑥 =
−4 ± 12
−4
 
{
 
 
 
 𝑥𝑀 =
−4 − 12
−4
=
−16
−4
= 4
 
 𝑥𝑃 =
−4 + 12
−4
=
+8
−4
= −2
 
Temos então que 𝒙𝑴 = 𝟒. 
Perceba que 𝑥𝑀 = 4, pela simetraria da parábola, é o ponto médio das duas raízes da função 𝑔(𝑥). As 
duas raízes são 1 e 𝑥𝑄. 
Então: 
𝑥𝑀 =
1 + 𝑥𝑄
2
 
4 =
1 + 𝑥𝑄
2
 
8 = 1 + 𝑥𝑄 
𝑥𝑄 = 8 − 1 → 𝒙𝑸 = 𝟕 
Gabarito: Alternativa B 
 
42. (FCC / TRE AC - 2010) Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo artigo ao preço de 
R$ 28,00 a unidade. Suponha que Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preço unitário 
de 𝒙 reais, ela conseguirá vender (𝟖𝟒 − 𝒙) unidades. De acordo com essa estimativa, para que 
seja obtido o maior lucro possível, o número de artigos que deverão ser vendidos é 
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107 
a) 84 
b) 70 
c) 56 
d) 42 
e) 28 
Comentários: 
O lucro de uma operação é determinado pela diferença do preço de Venda menos o preço de Custo, 
correto? 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶 
Vamos determinar o lucro na operação para (84 − 𝑥) unidades compradas e vendidas. 
• Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preço unitário de 𝑥 reais, ela conseguirá vender 
(84 − 𝑥) unidades. Logo, o valor recebido nas vendas será igual a quantidade de produtos vendi-
dos vezes o valor de cada unidade. 
𝑉 = (84 − 𝑥) × 𝑥 
𝑽 = 𝟖𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 
• Salma compra certo artigo ao preço de R$ 28,00 a unidade, isto é, o Custo do produto é igual a R$ 
28,00 vezes a quantidade de unidades compradas (84 − 𝑥). 
𝐶 = 28 × (84 − 𝑥) 
𝑪 = 𝟐. 𝟑𝟓𝟐 − 𝟐𝟖𝒙 
Sendo assim, a função do Lucro 𝐿 será: 
𝐿 = 𝑉 − 𝐶 
𝐿 = 84𝑥 − 𝑥2 − (2.352 − 28𝑥) 
𝐿 = 84𝑥 − 𝑥2 − 2.352 + 28𝑥 
𝑳 = −𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝒙 − 𝟐. 𝟑𝟓𝟐 
A banca nos questiona o valor do 𝑥 do vértice, isto é, o valor de x (preço) para que seja obtido o maior 
lucro possível. 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
112
2(−1)
 
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2185665108 
𝑥𝑣 =
−112
−2
 → 𝒙𝒗 = 𝟓𝟔 
 
Cuidado para não marcar a Alternativa C. Determinamos o preço que maximiza o lucro. A banca nos 
questiona a QUANTIDADE VENDIDA, ou seja, (84 − 𝑥). 
84 − 𝑥 = 84 − 56 = 𝟐𝟖 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
Gabarito: Alternativa E 
 
43. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2012) A raiz da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟖 é também raiz da função 
quadrática 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 . 
Se o vértice da parábola, gráfico da função 𝑔(𝑥), é o ponto 𝑉(−1,−25), a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
a) -25 
b) -24 
c) -23 
d) -22 
e) -21 
Comentários: 
Primeiramente, vamos calcular a raiz da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 8. 
2𝑥 − 8 = 0 
2𝑥 = 8 
𝑥 =
8
2
 → 𝒙 = 𝟒 
Então, 𝑥 = 4 também é raiz da função quadrática. Esboçando a função teríamos algo do tipo: 
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109 
 
Observe que o 𝑥 do vértice (𝑥𝑉) é simétrico em relação às raízes. Perceba que do 𝑥𝑉 = −1 até a raiz 𝑥1 =
4 tem uma distância de 5 unidades para a direita. 
 
Logo, pela simetria da parábola, do 𝑥𝑉 = −1 até a outra raiz 𝑥2 terá que ter 5 unidades para a esquerda. 
Em outras palavras, 𝑥𝑉 é a média aritmética das raízes. Sendo assim, 𝑥2 = −6. 
 
Sabemos então que as raízes da equação do segundo grau são: 
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110 
𝑥1 = 4 𝑒 𝑥2 = −6 
Vamos determinar o valor dos coecifientes. Sabemos que a multiplicação das raízes é igual a: 
𝑥1 × 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
Substituindo as raízes 𝑥1 = 4 e 𝑥2 = −6 teremos: 
𝑥1 × 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
4 × −6 =
𝑐
𝑎
 
−24 =
𝑐
𝑎
 → 𝒄 = −𝟐𝟒𝒂 
Sabemos também que, a soma das raízes é: 
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
 
4 − 6 =
−𝑏
𝑎
 
−2 =
−𝑏
𝑎
 → 𝒃 = 𝟐𝒂 
Ou seja, calculamos todas as incógnitas em função do Coeficiente 𝑎. 
Vamos utilizar a única informação que ainda não utilizamos. A banca nos informa que o 𝑦𝑉 − 25. 
𝑦𝑉 = −
∆
4𝑎
 
𝑦𝑉 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
Substituindo os valores em função de 𝑎: 
−25 = −
(2𝑎)2 − 4𝑎(−24𝑎)
4𝑎
 
−25 = −
4𝑎2 + 96𝑎2
4𝑎
 
−25 = −
100𝑎2
4𝑎
 
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111 
−25 = −25𝑎 
𝑎 =
−25
−25
 → 𝒂 = 𝟏 
De posse de 𝑎, calculamos 𝑏 e 𝑐: 
𝑐 = −24𝑎 
𝑐 = −24 × 1 → 𝒄 = −𝟐𝟒 
𝑏 = 2𝑎 
𝑏 = 2 × 1 → 𝒃 = 𝟐 
Logo, 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 + 2 − 24 = −𝟐𝟏 
Gabarito: Alternativa E 
 
44. (CESPE / TJ PR - 2019) Uma instituição alugou um salão para realizar um seminário com vagas 
para 100 pessoas. No ato de inscrição, cada participante pagou R$ 80 e se comprometeu a pagar 
mais R$ 4 por cada vaga não preenchida. 
Nessa situação hipotética, a maior arrecadação da instituição ocorrerá se a quantidade de inscrições for 
igual a 
a) 95 
b) 90 
c) 84 
d) 60 
e) 50 
Comentários: 
Vamos chamar de 𝑥 a quantidade de vagas preenchidas. Cada pessoa pagará um valor 𝑦 igual a: 
𝑦 = 80 + 4 × (100 − 𝑥) 
Ou seja, cada pessoa pagará os 80 reais que serão fixos relativos a sua própria entrada mais 4 reais por 
vaga não preenchida. Se eram 100 vagas e 𝑥 vagas foram preenchidas, restaram (100 − 𝑥) vagas não 
preenchidas. 
𝑦 = 80 + 4 × (100 − 𝑥) 
𝑦 = 80 + 400 − 4𝑥 
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112 
𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟒𝟖𝟎 
A fórmula acima é a arrecadação individual (de cada pessoa). Para acharmos a arrecadação 𝑌 total, mul-
tiplicamos a arrecadação individual pela quantidade de pessoas que compareceram (que chamamos de 
𝑥). 
𝑌 = 𝑥 × (−4𝑥 + 480) 
𝒀 = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝟎𝒙 
Observe que temos uma função do segundo grau com Coeficiente 𝑎 = −4 (menor que zero), o que ca-
racteriza uma parábola com concavidade voltada para baixo e, consequentemente, apresenta ponto de 
máximo. 
A banca nos questiona o maior valor de vagas preenchidas 𝑥 para que tenha uma arrecadação máxima, 
ou seja, a banca quer saber o valor do 𝑥 do vértice. 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 =
−480
2(−4)
 
𝑥𝑣 =
−480
−8
 → 𝒙𝒗 = 𝟔𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
45. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2011) Um vendedor de livros estipula como meta que, até o dia 𝒙 
de cada semana, que se inicia na segunda-feira (dia 1) e termina no sábado (dia 6), ele deve 
vender um total de 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 livros. No final de cada dia, ele anota a quantidade de livros que 
vende no dia, formando uma lista de números. 
Se o vendedor conseguir cumprir a meta, a lista de números anotados em uma semana completa será 
uma progressão 
a) aritmética de razão 2 
b) aritmética de razão 3 
c) com números iguais a 9 
d) geométrica de razão 2 
e) geométrica de razão 3 
Comentários: 
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113 
Para resolvermos esta questão, vamos substituir os valores de 𝑥 na função quadrática e determinar a 
quantidade de livros vendidos até cada dia da semana que se inicia na segunda-feira (𝑥 = 1) e termina 
no sábado (𝑥 = 6). 
 Para 𝑥 = 1: 
𝑥2 + 3𝑥 = 12 + 3(1) = 1 + 3 = 4 
𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 = 𝟒 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒐𝒔 
 Para 𝑥 = 2: 
𝑥2 + 3𝑥 = 22 + 3(2) = 4 + 6 = 10 
 
Observe que ele deve vender um total de 10 livros até a terça-feira. Porém, atente-se (para este "pe-
queno" grande detalhe) que ele já vendeu um total de 4 livros na segunda-feira. 
A função quadrática 𝑥2 + 3𝑥 livros é a quantidade TOTAL de livros que ele deve vender ATÉ aquele dia. 
Ou seja, na terça-feira ele deve vender um total de livros igual a: 
𝑡𝑒𝑟ç𝑎 = 10 − 4 → 𝒕𝒆𝒓ç𝒂 = 𝟔 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒐𝒔 
 Para 𝑥 = 3: 
𝑥2 + 3𝑥 = 32 + 3(3) = 9 + 9 = 18 
Perceba, novamente, que ele deve vender um total de 18 livros até a quarta-feira. Porém, ele já vendeu 
um total de 10 livros na segunda-feira e na terça-feira. 
Ou seja, na quarta-feira ele deve vender um total de livros igual a: 
𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 = 18 − 10 → 𝒒𝒖𝒂𝒓𝒕𝒂 = 𝟖 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒐𝒔 
Veja que a sequência formada pela quantidade de livros que ele vende no dia (4; 6; 8;… ) é definida pelo 
número anterior somado a uma razão fixa (2). 
Sendo assim, se o vendedor conseguir cumprir a meta, a lista de números anotados em uma semana 
completa será uma progressão aritmética de razão 2. 
Gabarito: Alternativa A 
 
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46. (FGV / SEE PE - 2016) A figura a seguir mostra um uma parte do gráfico de uma função quadrá-
tica. 
 
Dois pontos do gráfico são dados: A = (2, 15) e B = (4, 26). 
O gráfico encontrará novamente o eixo X no ponto de abscissa 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
Comentários: 
O gráfico encontra o eixo X nas raízes da função quadrática, isto é, quando 𝑦 = 0. 
Vamos, primeiramente, determinar a equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
O Coeficiente 𝑐 indica o valor onde a parábola intercepta o eixo 𝑦, isto é, quando 𝑥 = 0. Observe que a 
parábola "corta" o eixo 𝑦 em 𝑦 = 0. 
 
Logo, 
𝒄 = 𝟎 
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Observe que o enunciado nos informa que a parábola passa pelos pontos (2; 15) e (4; 26). Vamos subs-
tituir estes pontos na equação. 
 Substituindo o ponto (2; 15): 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
15 = 𝑎(2)2 + 𝑏(2) + 0 
𝟏𝟓 = 𝟒𝒂 + 𝟐𝒃 
 Substituindo o ponto (4; 26): 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 
26 = 𝑎(4)2 + 𝑏(4) + 0 
𝟐𝟔 = 𝟏𝟔𝒂 + 𝟒𝒃 
Então, temos um sistema de 2 equações e 2 incógnitas: 
{
15 = 4𝑎 + 2𝑏
 
 26 = 16𝑎 + 4𝑏
 
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e substrair a primeira da segunda: 
{
30 = 8𝑎 + 4𝑏
 
 26 = 16𝑎 + 4𝑏
 
4 = −8𝑎 
𝑎 =
4
−8
 → 𝒂 = −𝟎, 𝟓 
De posse de 𝑎, calculamos 𝑏: 
15 = 4𝑎 + 2𝑏 
15 = 4(−0,5) + 2𝑏 
15 = −2 + 2𝑏 
2𝑏 = 17 
𝑏 =
17
2
 → 𝒃 = 𝟖, 𝟓 
Então, nossa função será: 
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𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = −0,5𝑥2 + 8,5𝑥 + 0 
𝑦 = −0,5𝑥2 + 8,5𝑥 
𝒚 = 𝒙 × (−𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟖, 𝟓) 
Vamos encontrar as raízes da equação: 
0 = 𝑥 × (−0,5𝑥 + 8,5) 
Então, 
{
 
 
 
 
𝑥 = 0
 
𝑜𝑢
 
 −0,5𝑥 + 8,5 = 0 
 
A primeira raiz 𝑥 = 0 já está assinalada no gráfico. Vamos determinar a segunda raiz, isto é, o ponto no 
gráfico que encontrará novamente o eixo 𝑥 (𝑦 = 0). 
−0,5𝑥 + 8,5 = 0 
0,5𝑥 = 8,5 
𝑥 =
8,5
0,5
 → 𝒙 = 𝟏𝟕 
Gabarito: Alternativa B 
 
47. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O valor máximo da função de variável real 𝒇(𝒙) = 𝟒(𝟏 +
𝒙)(𝟔 − 𝒙) é 
a) 44 
b) 46 
c) 48 
d) 49 
e) 50 
Comentários: 
Vamos aplciar a distributiva e "expandir" esta função: 
𝑓(𝑥) = 4(1 + 𝑥)(6 − 𝑥) 
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𝑓(𝑥) = (4 + 4𝑥)(6 − 𝑥) 
𝑓(𝑥) = 24 − 4𝑥 + 24𝑥 − 4𝑥2 
𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 
A banca nos questiona o valor máximo da função, isto é, 𝑦 do vértice. 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
 
𝑦𝑉 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
𝑦𝑉 = −
202 − 4(−4)(24)
4(−4)
 
𝑦𝑉 = −
400 + 384
−16
 
𝑦𝑉 =
−784
−16
 → 𝒚𝑽 = +𝟒𝟗 
Gabarito: Alternativa D 
 
48. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
A função 𝑔(𝑥) é ímpar. 
Comentários: 
Vamos relembrar o conceito de função par e função ímpar. 
 Função Par: 
𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥) 
 Função Ímpar: 
𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥) 
Vamos então arbitrar um valor para 𝑥 e substituir na função para averiguar se a função 𝑔(𝑥) é ímpar. 
Arbitrando 𝑥 = 5. 
• Calculando 𝑔(−5): 
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𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 
𝑔(−5) = (−5)2 − 3 
𝑔(−5) = 25 − 3 → 𝒈(−𝟓) = 𝟐𝟐 
• Calculando −𝑔(5): 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 
−𝑔(𝑥) = −(𝑥2 − 3) 
−𝑔(5) = −(52 − 3) 
−𝑔(5) = −(25 − 3) → −𝒈(𝟓) = −𝟐𝟐 
Ou seja, 
𝒈(−𝟓) ≠ −𝒈(𝟓) 
Logo, a função 𝑔(𝑥) NÃO é uma função ímpar. 
Gabarito: ERRADO 
 
49. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
A função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo (−∞, 5/2] e crescente no intervalo [5/2,+∞] 
Comentários: 
Primeiramente, vemos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 tem o coeficiente 𝑎 (𝑎 = 1) positivo, isto é, é 
uma função com concavidade voltada para cima e apresente ponto de mínimo (𝑥 do véritce). Vamos 
calcular este ponto: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 =
−(−5)
2(1)
 → 𝒙𝒗 =
𝟓
𝟐
 
Vejamos graficamente (esboço) como seria esta função: 
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Observe que a função descresce até chegar no ponto de abscissa (𝑥 = 5 2⁄ ) e, a partir deste ponto, ela 
começa a crescer, isto é, a medidade que "andamos para a direita" o valor da função aumenta. 
 
Então, a assertiva está certa, uma vez que a função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo (−∞, 5/2] e crescente 
no intervalo [5/2,+∞]. 
Gabarito: CERTO 
 
50. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 𝑥𝑂𝑦, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) se 
interceptam no ponto de coordenadas (7/5,−26/25). 
Comentários: 
Vamos igualar as funções e encontrar o ponto de interseção: 
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𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 𝑥2 − 3 
−5𝑥 + 4 = −3 
−5𝑥 = −3 − 4 
−5𝑥 = −7 
𝑥 =
−7
−5
 → 𝒙 =
𝟕
𝟓
 
De posse de 𝑥, substituimos em qualquer uma das funções para encontrar o valor de 𝑦 do ponto de inter-
seção: 
𝑦 = 𝑥2 − 3 
𝑦 = (
7
5
)
2
− 3 
𝑦 =
49
25
− 3 
𝑦 =
49
25
−
75
25
 
𝑦 =
49 − 75
25
 → 𝒚 = −
𝟐𝟔
𝟐𝟓
 
Logo, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) se interceptam no ponto de coordenadas 
(7/5,−26/25). 
Gabarito: CERTO 
 
51. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙𝟐 + 𝒑𝒙, onde m, p e q são 
números reais tais que 𝒎 < 𝟎 e 𝒑 > 𝟎. O gráfico que melhor representa 𝒇(𝒙) é 
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Comentários: 
Observe, primeiramente, que a função 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 tem o Coeficiente 𝑚 < 0. Ou seja, a figura será 
uma parábola com concavidade voltada para baixo. 
𝑚 < 0 
 
Podemos descartar as letras A e E. 
Secundariamente, perceba que o Coeficiente "𝑐" da função quadrática é igual a zero. Vamos comparar a 
função quadrática em termos gerais com a função quadrática fornecida no enunciado. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
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𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥2 + 𝑝𝑥 + 0 
O Coeficiente "𝑐" indica o valor onde a parábola intercepta o eixo 𝑦, isto é, quando 𝑥 = 0. Sendo 𝒄 = 𝟎, 
a função passa pela origem. 
Logo, eliminamos a alternativa D. Ficamos com as Alternativas B e E. 
O coeficiente "𝑝" determina a inclinação da parábola após passar o eixo 𝑦. Como 𝑝 > 0, após passar pelo 
eixo 𝑦, a parábola irá subir. Vejamos a alternativa B. 
 
Perceba que, depois de passar pelo eixo 𝑦, a curvatura da parábola desce. Logo, esta não pode ser nossa 
resposta. Restou a alternativa E. 
 
Justamente. Veja que esta parábola sobe depois que passa pelo eixo 𝒚. Além de ter a curvatura voltada 
para baixo (𝑚 < 0) e cortar a origem (𝑐 = 0). 
Gabarito: Alternativa E 
 
52. (FGV / CODEBA - 2010) Seja g uma função de 𝑹 → 𝑹 tal que 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟑. O valor mí-
nimo que 𝒈 pode ter é 
a) -66/8 
b) -7/4 
c) 7/4 
d) 25/8 
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e) -25/8 
Comentários: 
O menor valor que a função quadrática 𝑔(𝑥) pode assumir é o 𝑦 do vértice da parábola que é determinado 
pela seguinte equação: 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
 
Vamos substituir os valores e calcular o mínimo. 
𝑦𝑉 =
−∆
4𝑎
 
𝑦𝑉 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
𝑦𝑉 =
−((−7)2 − 4(2)(3))
4(2)
 
𝑦𝑉 =
−(49 − 24)
8
 → 𝒚𝑽 =
−𝟐𝟓
𝟖
 
Gabarito: Alternativa E 
 
53. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Na função 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏, a imagem de − 𝟏 é 
a) -5 
b) -3 
c) 0 
d) +1 
e) +3 
Comentários: 
Para calcular a imagem de − 1, vamos substituir 𝑥 = −1 na função e determinar o valor da 𝑓(−1). 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 1 
𝑓(−1) = −(−1)2 + 3(−1) − 1 
𝑓(−1) = −1 − 3 − 1 → 𝒇(−𝟏) = −𝟓 
Gabarito:Alternativa A 
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54. (VUNESP / Pref. Peruíbe - 2019) A tabela apresenta informações obtidas a partir de uma obser-
vação em laboratório da relação entre duas grandezas: 𝒚 = 𝒇(𝒙). 
 
Após alguns estudos numéricos, identificou-se que a relação entre as variáveis x e y é modelada por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
Comentários: 
Vamos determinar a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, substituindo os pontos forncedios na fun-
ção. 
 Substituindo o ponto (0;−2): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
−2 = 𝑎(0)2 + (0)𝑥 + 𝑐 
−2 = 0 + 0 + 𝑐 → 𝒄 = −𝟐 
 Substituindo o ponto (2; 0): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
0 = 𝑎(2)2 + 𝑏(2) − 2 
0 = 4𝑎 + 2𝑏 − 2 
4𝑎 + 2𝑏 = 2 
Simplificando a igualdade por 2: 
4𝑎 + 2𝑏 = 2 ÷ (2) 
2𝑎 + 𝑏 = 1 → 𝒃 = 𝟏 − 𝟐𝒂 
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 Substituindo o ponto (−1;−6): 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
−6 = 𝑎(−1)2 + 𝑏(−1) − 2 
−6 = 𝑎 − 𝑏 − 2 
𝒂 − 𝒃 = −𝟒 
Na segunda substituição, determinamos que 𝑏 = 1 − 2𝑎. Sendo assim, 
𝑎 − (1 − 2𝑎) = −4 
𝑎 − 1 + 2𝑎 = −4 
𝑎 + 2𝑎 = −4 + 1 
3𝑎 = −3 → 𝒂 = −𝟏 
De posse de 𝑎, calculamos 𝑏: 
𝑏 = 1 − 2𝑎 
𝑏 = 1 − 2(−1) 
𝑏 = 1 + 2 → 𝒃 = 𝟑 
Logo, 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −1 + 3 − 2 
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
1. (CESGRANRIO / LIQUIGÁS - 2018 Adaptada) O gráfico de uma função 𝒇:𝑹 → 𝑹, definida por 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, contém os pontos (2,3) e (6,11). 
O valor de b é 
a) -4 
b) -1 
c) 3 
d) 7 
e) 10 
 
2. (CESPE / UNCISAL - 2019) Uma ONG encomendou um estudo de viabilidade referente à constru-
ção de uma usina de reciclagem de resíduos. Segundo esse estudo, a quantidade diária de resí-
duos recolhidos, 𝑴(𝒄), em kg, em função da quantidade de catadores, 𝒄, satisfaz à equação 
𝑴(𝒄) = 𝟑𝒄. O estudo previu, ainda, que a produção de material reciclado, em kg, em função da 
quantidade diária de resíduos recolhidos, 𝒎, em kg, satisfaz à equação 𝑹(𝒎) =
𝟒
𝟓
𝒎− 𝟓. Além 
disso, também ficou evidenciado pelo estudo que a usina seria viável se a produção de material 
reciclado fosse de pelo menos 19 kg por dia. 
Disponível em: www.reciclarbrasil.com.br. Acesso em: 15 nov. 2018 (adaptado). 
Nas condições mostradas pelo estudo, a construção dessa usina será viável se a quantidade de catadores 
for, no mínimo, igual a 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
3. (FCC / SEFAZ BA - 2019) Uma empresa estimou o custo unitário para produzir determinada peça 
de computador em 50 centavos de real. Considerando o custo fixo para a linha de produção 
dessa peça em 5 mil reais semanais, para obter um lucro semanal de 2 mil reais o número de 
milhares de unidades que seria preciso vender a 1 real cada é de 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 14 
e) 16 
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127 
 
4. (FGV / Pref. Salvador - 2019) O gráfico da função real f é uma reta. Sabe-se que 𝒇(𝟔) = 𝟏𝟎 e que 
𝒇(𝟐𝟐) = 𝟏𝟖. 
Então, 𝑓(88) é igual a 
a) 29 
b) 40 
c) 51 
d) 62 
e) 76 
 
5. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2011) A tabela abaixo apresenta o preço da “bandeirada” (taxa 
fixa paga pelo passageiro) e do quilômetro rodado em quatro capitais brasileiras. 
 
A quantia gasta por um passageiro, em Boa Vista, ao percorrer 10 km de táxi, permite pagar, no Rio de 
Janeiro, uma corrida máxima de X quilômetros. O valor de X está entre 
a) 13 e 14 
b) 14 e 15 
c) 15 e 16 
d) 16 e 17 
e) 17 e 18 
 
6. (FCC / SEFAZ BA - 2019) Após licitação, notebooks foram adquiridos por secretaria municipal, no 
valor unitário de 12 mil reais. Suponha que o preço do equipamento (𝒚) seja uma função 𝒚 =
𝒎𝒙 + 𝒏, sendo 𝒙 o número de anos de utilização do equipamento, com m e n parâmetros reais. 
Considerando que na época inicial (𝒙 = 𝟎) tem-se que 𝒚 = 𝟏𝟐 mil reais e que para 𝒙 = 𝟕 o valor 
de 𝒚 é igual a 𝟖𝟎𝟎 reais, o valor do equipamento para 𝒙 = 𝟒 é igual a, em reais, 
a) 4.200 
b) 4.600 
c) 5.200 
d) 5.600 
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e) 7.200 
 
7. (CESPE / SEFAZ RS / 2018) Em uma tecelagem, o custo de produção e o custo de venda de x 
metros de tecido são expressos, respectivamente, por 𝑪(𝒙) = 𝟐𝒃𝒙 e 𝑽(𝒙) = 𝒄 + 𝒅𝒙, em que b, 
c e d são constantes reais e d é o valor da comissão a ser recebida pelo vendedor para cada 
metro de tecido vendido. Na produção e venda de 50 m de tecido, tem-se que 𝑪(𝟓𝟎) + 𝑽(𝟓𝟎) =
𝟒𝟐𝟎 e a comissão do vendedor é igual a 100. No caso de produção e venda de 100 m de tecido, 
𝑪(𝟏𝟎𝟎) + 𝑽(𝟏𝟎𝟎) = 𝟔𝟐𝟎. 
Nesse caso, c, b e d são, respectivamente, iguais a 
a) 220, 1 e 2 
b) 220, 2 e 2 
c) 220, 2 e 4 
d) 200, 1 e 2 
e) 200, 2 e 2 
 
8. (FGV / Pref. Paulinia - 2019) As retas cujas equações são 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 e 𝒚 = 𝒄𝒙 + 𝒅 são tais que 
𝒃 > 𝟎, 𝒅 < 𝟎 𝒆 𝒂 > 𝒄 > 𝟎. 
O ponto de interseção dessas retas está 
a) no primeiro quadrante. 
b) no segundo quadrante. 
c) no terceiro quadrante. 
d) no quarto quadrante. 
e) sobre um dos eixos. 
 
9. (CESGRANRIO / BNDES - 2011) A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume 
de gás consumido pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo. 
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129 
 
O valor pago, em reais, por cada metro cúbico consumido, é de 
a) 7,00 
b) 5,60 
c) 5,00 
d) 4,20 
e) 4,00 
 
10. (CESPE / Pref. SL - 2017) Se 𝒙 ≥ 𝟎 representa a quantidade de quilômetros percorridos por um 
veículo em determinado dia, então: 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥/12 representa a quantidade de litros de combustível consumido pelo veículo para percorrer 
x quilômetros; 
• 𝑔(𝑥) = 60 − 𝑥/12 representa a quantidade de litros de combustível que restam no tanque do veículo 
depois de percorridos 𝑥 quilômetros. 
Tendo como referência as informações acima e considerando que o veículo tenha iniciado o percurso com 
o tanque de combustível cheio, se, no dia mencionado, o condutor parar o veículo para abastecer quando 
restarem exatamente 15 litros de combustível no tanque, então, até aquele instante, o veículo terá per-
corrido 
a) mais de 150 km e menos de 300 km. 
b) mais de 300 km e menos de 450 km. 
c) mais de 450 km e menos de 600 km. 
d) mais de 600 km. 
e) menos de 150 km. 
 
11. (FCC / SEFAZ BA - 2019) A função receita diária, em reais, de determinada empresa de consulto-
ria financeira é dada por 𝒓(𝒙) = 𝟕𝟓𝟎𝒙, em que x é o número de consultorias realizadas por dia. 
Seja a função custo diário 𝒄(𝒙), em reais, dessa mesma empresa dada por 𝒄(𝒙) = 𝟐𝟓𝟎𝒙 +
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130 
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎. O número de consultorias que precisariam ser realizadas, por dia, para que fosse obtido 
um lucro diário L(x), definido como 𝑳(𝒙) = 𝒓(𝒙) − 𝒄(𝒙), de 5 mil reais é igual a 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
12. (CESGRANRIO / BR - 2010) “O Brasil é o país onde mais caem raios no mundo. Na última década, 
a cada três dias,em média, uma pessoa foi fulminada por um raio” 
Revista Veja, 10 fev. 2010. 
Seja f(x) uma função polinomial que represente o número de pessoas fulminadas por um raio no Brasil ao 
longo da última década, onde x representa o número de dias. Considerando as informações apresentadas 
na reportagem acima, conclui-se que 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥/3 
e) 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥)/3 
 
13. (VUNESP / Pref. Osasco - 2019) Um escritório paga à empresa JC, especializada na manutenção 
de computadores, uma taxa mensal fixa de R$ 300,00 mais R$ 80,00 por hora de serviço pres-
tado. No mês de abril, esse escritório pagou à empresa JC o valor de R$ 1.500,00, incluindo a 
taxa fixa mensal. O número de horas de serviço que a empresa JC prestou para esse escritório 
foi 
a) 25 
b) 22 
c) 20 
d) 18 
e) 15 
 
14. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A função geradora do gráfico abaixo é do tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏. 
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Então, o valor de 𝑚3 + 𝑛 é 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 8 
e) 13 
 
15. (FGV / SEE PE - 2019) O gráfico da função 𝒚 = 𝒇(𝒙) é uma reta. Sabe-se que 𝒇(−𝟑) = 𝟓 e que 
𝒇(𝟏𝟐) = 𝟏𝟎. 
O valor de 𝑓(2016) é 
a) 656 
b) 664 
c) 670 
d) 678 
e) 682 
 
16. (CESPE / PRF - 2013) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a 
previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse 
sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função 𝑭(𝒕) =
𝑨𝒕 + 𝑩, tal que 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟕) = 𝟏𝟐𝟗. 𝟎𝟎𝟎 e 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟗) = 𝟏𝟓𝟗. 𝟎𝟎𝟎. Com base nessas informações e 
no gráfico apresentado, julgue o item a seguir. 
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O valor da constante A em F(t) é superior a 14.500. 
 
17. (CESPE / PRF - 2013) Considere que, em 2009, tenha sido construído um modelo linear para a 
previsão de valores futuros do número de acidentes ocorridos nas estradas brasileiras. Nesse 
sentido, suponha que o número de acidentes no ano t seja representado pela função 𝑭(𝒕) =
𝑨𝒕 + 𝑩, tal que 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟕) = 𝟏𝟐𝟗. 𝟎𝟎𝟎 e 𝑭(𝟐𝟎𝟎𝟗) = 𝟏𝟓𝟗. 𝟎𝟎𝟎. Com base nessas informações e 
no gráfico apresentado, julgue o item a seguir. 
 
A diferença entre a previsão para o número de acidentes em 2011 feita pelo referido modelo linear e o 
número de acidentes ocorridos em 2011 dado no gráfico é superior a 8.000. 
 
18. (FCC / SABESP - 2018) Os taxímetros de uma cidade calculam o valor de cada corrida utilizando 
a seguinte fórmula: 𝑷 = 𝟒, 𝟓𝟓 + 𝟏, 𝟑𝟓 × 𝒌. Nessa fórmula a letra P significa o preço a ser pago, 
em R$, e a letra k significa a quantidade de quilômetros que o táxi rodou com o passageiro, 
inclusive com frações de quilômetros. Uma pessoa que utilizou um desses táxis e rodou 3,4 km 
pagou, pela corrida, a quantia de 
a) R$ 20,06 
b) R$ 13,12 
c) R$ 18,34 
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d) R$ 9,14 
e) R$ 8,92 
 
19. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 
e, com 4 anos de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma 
função linear, o valor de um caminhão do tipo A, com 2 anos de uso, em reais, é de 
a) 40.000,00 
b) 60.000,00 
c) 80.000,00 
d) 50.000,00 
e) 70.000,00 
 
20. (FGV / SEDUC AM - 2014) Os táxis em Brasília cobram uma bandeirada de R$ 4,10 mais R$ 2,20 
por quilômetro rodado. Antônio pegou um táxi no aeroporto de Brasília e foi até sua casa pa-
gando R$ 45,00. 
A distância percorrida em quilômetros está entre 
a) 15 e 16 quilômetros. 
b) 16 e 17 quilômetros. 
c) 17 e 18 quilômetros. 
d) 18 e 19 quilômetros. 
e) 19 e 20 quilômetros. 
 
21. (VUNESP / Pref. SBC - 2019) Uma lavanderia cobra R$ 12,00 para lavar e passar uma camisa e 
cobra R$ 6,00 de taxa de entrega, qualquer que seja o número de camisas a serem entregues. 
Se uma pessoa deixou camisas para lavar e passar nessa lavanderia e pagou pelo serviço R$ 
90,00, incluindo a taxa de entrega, então o número de camisas deixadas foi 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
 
22. (CESPE / SEDUC AL - 2013) O preço de uma corrida de táxi convencional é calculado somando o 
valor da bandeirada (inicial e fixo) com o valor da distância percorrida. Essa relação pode ser 
representada, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, por uma função da 
forma 𝒚 = 𝒇(𝒙), em que 𝒚 é o preço cobrado pela corrida de 𝒙 quilômetros. Considerando que 
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o valor da bandeirada seja de R$ 5,00 e R$ 0,50 por quilômetro percorrido, julgue o próximo 
item. 
Se uma corrida de táxi custou R$ 55,00, então a distância percorrida foi superior a 90 km. 
 
23. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A função 𝒈(𝒙) = 𝟖𝟒𝒙 representa o gasto médio, em reais, 
com a compra de água mineral de uma família de 4 pessoas em x meses. Essa família pretende 
deixar de comprar água mineral e instalar em sua residência um purificador de água que custa 
R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar água mineral, o tempo para re-
cuperar o valor investido na compra do purificador ficará entre 
a) dois e três meses. 
b) três e quatro meses. 
c) quatro e cinco meses. 
d) cinco e seis meses. 
e) seis e sete meses. 
 
24. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Um escritório de contabilidade fez um acompanhamento 
dos seus custos mensais de manutenção e verificou que esses custos são, principalmente, uma 
função linear do número de funcionários contratados. Um extrato do histórico desse processo 
consta da tabela a seguir. 
 
Qual é o valor predito para o custo mensal, em reais, desse escritório se forem contratados 7 funcionários? 
a) 13.000,00 
b) 14.000,00 
c) 14.500,00 
d) 15.000,00 
e) 16.000,00 
 
25. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O gráfico abaixo apresenta a quantidade média de CO2, em 
gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância 
percorrida, em km. 
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A lei que expressa a quantidade média Q de CO2, em gramas, lançada na atmosfera por um carro modelo 
“mini”, em função 
a) Q(d) = 120d 
b) Q(d) = 200d 
c) Q(d) = 1200d 
d) Q(d) = 1200 + d 
e) Q(d) = 2000 + d 
 
26. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O gráfico abaixo apresenta a quantidade média de CO2, em 
gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância 
percorrida, em km. 
 
Considere a quantidade média de CO2 lançada na atmosfera por um carro “luxo” ao percorrer 600km. 
Que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro “mini”, de modo que a mesma quantidade 
média de CO2 fosse lançada na atmosfera? 
a) 800 
b) 900 
c) 1.000 
d) 1.100 
e) 1.200 
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27. (FGV / SEDUC AM- 2014) No plano cartesiano, considere a reta de equação 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟕. 
Há um único ponto dessa reta cujas coordenadas 𝑥 e 𝑦, nesta ordem, são números inteiros consecutivos. 
O valor de 𝑥 + 𝑦 é 
a) 13 
b) 15 
c) 17 
d) 19 
e) 21 
 
28. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) A “Espresso Book Machine” é uma impressora comercial de 
alta velocidade que imprime uma página de cada vez. As funções𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟓𝒙 e 𝒈(𝒙) = 𝟑𝟓𝒙 
indicam, respectivamente, as quantidades de páginas em preto e branco e em cores que essa 
impressora imprime em 𝒙 minutos. Utilizando-se essa impressora, em quantos minutos seriam 
impressas as páginas de um livro que possui 392 páginas, das quais apenas 14 são coloridas? 
a) 3,0 
b) 3,4 
c) 3,6 
d) 3,8 
e) 4,0 
 
29. (VUNESP / Pref. Ribeirão Preto - 2018) O gráfico a seguir mostra a relação entre a quantidade V 
(em m3) de água em uma caixa e o tempo t (em h) em que uma torneira permaneceu aberta, 
esvaziando essa caixa. 
 
A relação entre V e t pode ser expressa por: 
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a) V = 12 – 6t 
b) V = 12 – 2t 
c) V = 12 + 6t 
d) V = 6 + 12t 
e) V = 6 – 2t 
 
30. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo li-
nearmente, como mostra o gráfico abaixo. 
 
Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa empresa, 
em 2010? 
a) 224 
b) 234 
c) 248 
d) 254 
e) 268 
 
31. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Seja f uma função real de variável real dada por 𝒇(𝒙) =
𝟖–𝟑𝒙. Analise as afirmações a seguir. 
I – O coeficiente angular de f é 8. 
II – O gráfico de f é uma reta que corta o eixo vertical no ponto (0,5). 
III – Para acréscimos de 1 unidade no valor de x, o valor de f diminui 3 unidades. 
Está(ão) correta(s) APENAS 
a) I 
b) II 
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c) III 
d) I e II 
e) I e III 
 
32. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a 
seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0). 
 
Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será 
a) 5,5 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 7,5 
e) 9,0 
 
33. (VUNESP / Pref. Peruíbe - 2019) O gráfico da figura é de uma função quadrática f(x). 
 
Assim, 𝑓(0,5) é igual a 
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a) 1,75 
b) 1,5 
c) 1,25 
d) 1 
e) 0,75 
 
34. (CESPE / IBGE - 2021) Considere que os gráficos 𝑪𝑨 e 𝑪𝑩 apresentados representam, respectiva-
mente, as quantidades mensais de clientes de dois mercados concorrentes 𝑨 e 𝑩, desde o ins-
tante da sua inauguração simultânea, em 𝒕 = 𝟎, até os instantes em que esses mercados encer-
raram suas atividades, respectivamente, nos instantes 𝒕𝑨 e 𝒕𝑩, em que 𝒕 é dado em meses. Con-
sidere, ainda, que 𝑪𝑨(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 e que 𝑪𝑩(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝒕 − 𝒕𝟐. 
 
De acordo com as informações do texto, o período total em que a quantidade de clientes do mercado A 
foi maior ou igual que a quantidade de clientes do mercado B foi 
a) entre a inauguração e o instante t1. 
b) entre a inauguração e o instante t3. 
c) entre a inauguração e o instante tA. 
d) entre o instante t1 e o instante t2. 
e) entre o instante t1 e o instante t3. 
 
35. (CESPE / IBGE - 2021) Considere que os gráficos 𝑪𝑨 e 𝑪𝑩 apresentados representam, respectiva-
mente, as quantidades mensais de clientes de dois mercados concorrentes 𝑨 e 𝑩, desde o ins-
tante da sua inauguração simultânea, em 𝒕 = 𝟎, até os instantes em que esses mercados encer-
raram suas atividades, respectivamente, nos instantes 𝒕𝑨 e 𝒕𝑩, em que 𝒕 é dado em meses. Con-
sidere, ainda, que 𝑪𝑨(𝒕) = 𝟑𝟎𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 e que 𝑪𝑩(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝒕 − 𝒕𝟐. 
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Considerando-se as informações do texto, é correto afirmar que, após o encerramento das atividades 
comerciais do mercado A, o mercado B ainda permaneceu em atividade comercial por 
a) 10 meses 
b) 20 meses 
c) 30 meses 
d) 40 meses 
e) 50 meses 
 
36. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) O gráfico de uma função 𝒇: 𝑹 → 𝑹 é uma parábola cujo 𝒙 
do vértice é igual a 5. 
Se 𝑥 ∈ 𝑅 é tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 4), então x é igual a 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
 
37. (FCC / IBMEC - 2019) A empresa de Paulo fabrica e vende um produto cuja quantidade vendida 
𝑸 depende do preço unitário 𝑷 cobrado no mercado, de acordo com a expressão 𝑸 = 𝟏𝟎𝟎 −
𝟐𝑷. Sabe-se que o custo unitário de fabricação deste produto é de R$ 3,00. Então, o preço uni-
tário que Paulo deve cobrar pelo produto, de modo que a empresa tenha o maior lucro (fatura-
mento das vendas menos custos totais) possível, é 
a) R$ 30,00 
b) R$ 24,00 
c) R$ 26,50 
d) R$ 21,00 
e) R$ 36,00 
 
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38. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Um estudo revelou que o valor da variável 𝒚 = 𝒇(𝒙), em 
milhares de reais, em função da variável 𝒙, em milhares de peças, é dado pela função 𝒇(𝒙) =
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , com x variando de 0 a 400. Considere que 𝒇(𝟎) = 𝟖𝟎𝟎, e 𝒇(𝟏𝟎𝟎) = 𝒇 (𝟑𝟎𝟎) =
𝟏. 𝟒𝟎𝟎. 
Assim, o valor máximo que 𝑦 pode assumir, em milhões de reais, é igual a: 
a) 1,2 
b) 1,4 
c) 1,6 
d) 1,8 
e) 2,0 
 
39. (CESPE / TJ PA - 2020) Considere que, em determinado dia, um computador seja ligado às 5 horas 
e desligado às 19 horas e que, nesse intervalo de tempo, a porcentagem da memória desse com-
putador que esteja sendo utilizada na hora 𝒙 seja dada pela expressão 
𝑃(𝑥) = −54𝑥2 + 30𝑥 − 100 
Nessa situação, no intervalo de tempo considerado, na hora em que a memória do computador estiver 
sendo mais demandada, a porcentagem utilizada será igual a 
a) 12% 
b) 20% 
c) 70% 
d) 80% 
e) 100% 
 
40. (VUNESP / Pref. Itapevi - 2019) Os organizadores de um evento perceberam que se baixassem o 
preço do ingresso poderiam obter maior lucro, uma vez que isso atrairia maior número de es-
pectadores. Para tanto, contrataram uma empresa que fez toda a análise da situação e projeta-
ram o lucro 𝑳, em milhares de reais, em função do desconto 𝒅, em reais, aplicado no valor do 
ingresso, utilizando a seguinte fórmula: 
 𝐿 = −0,4𝑑2 + 7𝑑 + 150 
Após uma reunião, os organizadores decidiram que irão aplicar um desconto superior a R$ 5,00 no preço 
de ingresso, de forma a obterem um lucro igual a 165 mil reais, segundo a fórmula apresentada pela 
empresa. Nesse caso, o desconto aplicado no preço do ingresso será de 
a) R$ 7,50 
b) R$ 10,00 
c) R$ 12,50 
d) R$ 15,00 
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e) R$ 20,00 
 
41. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Sejam 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔 e 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados abaixo. A função 𝒇(𝒙) 
intercepta o eixo das abscissas nos pontos 𝑷(𝒙𝑷, 𝟎) e 𝑴(𝒙𝑴, 𝟎), e 𝒈(𝒙), nos pontos (𝟏, 𝟎) e 
𝑸(𝒙𝑸, 𝟎). 
 
Se g(x) assume valor máximo quando 𝑥 = 𝑥𝑀, conclui-se que 𝑥𝑄 é igual a 
a) 3 
b) 7 
c) 9 
d) 11 
e) 13 
 
42. (FCC / TRE AC - 2010) Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo artigo ao preço de 
R$ 28,00 a unidade. Suponha que Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preço unitário 
de 𝒙 reais, ela conseguirá vender (𝟖𝟒 − 𝒙) unidades. De acordo com essa estimativa, para que 
seja obtido o maior lucro possível, o número de artigos que deverão ser vendidos é 
a) 84 
b) 70 
c) 56 
d) 42 
e) 28 
 
43. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2012) A raiz da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟖 é também raiz da função 
quadrática 𝒈(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 . 
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Se o vértice da parábola, gráfico da função 𝑔(𝑥), é o ponto 𝑉(−1,−25), a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
a) -25 
b) -24 
c) -23 
d) -22 
e) -21 
 
44. (CESPE / TJ PR - 2019) Uma instituição alugou um salão para realizar um seminário com vagas 
para 100 pessoas. No ato de inscrição, cada participante pagou R$ 80 e se comprometeu a pagar 
mais R$ 4 por cada vaga não preenchida. 
Nessa situação hipotética, a maior arrecadação da instituição ocorrerá se a quantidade de inscrições for 
igual a 
a) 95 
b) 90 
c) 84 
d) 60 
e) 50 
 
45. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2011) Um vendedor de livros estipula como meta que, até o dia 𝒙 
de cada semana, que se inicia na segunda-feira (dia 1) e termina no sábado (dia 6), ele deve 
vender um total de 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 livros. No final de cada dia, ele anota a quantidade de livros que 
vende no dia, formando uma lista de números. 
Se o vendedor conseguir cumprir a meta, a lista de números anotados em uma semana completa será 
uma progressão 
a) aritmética de razão 2 
b) aritmética de razão 3 
c) com números iguais a 9 
d) geométrica de razão 2 
e) geométrica de razão 3 
 
46. (FGV / SEE PE - 2016) A figura a seguir mostra um uma parte do gráfico de uma função quadrá-
tica. 
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Dois pontos do gráfico são dados: A = (2, 15) e B = (4, 26). 
O gráfico encontrará novamente o eixo X no ponto de abscissa 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
47. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) O valor máximo da função de variável real 𝒇(𝒙) = 𝟒(𝟏 +
𝒙)(𝟔 − 𝒙) é 
a) 44 
b) 46 
c) 48 
d) 49 
e) 50 
 
48. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
A função 𝑔(𝑥) é ímpar. 
 
49. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
A função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo (−∞, 5/2] e crescente no intervalo [5/2,+∞] 
 
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50. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Tendo como referência as funções 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 e 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑 em que −∞ < 𝒙 < +∞, julgue o item que se segue. 
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 𝑥𝑂𝑦, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) se 
interceptam no ponto de coordenadas (7/5,−26/25). 
 
51. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙𝟐 + 𝒑𝒙, onde m, p e q são 
números reais tais que 𝒎 < 𝟎 e 𝒑 > 𝟎. O gráfico que melhor representa 𝒇(𝒙) é 
 
 
52. (FGV / CODEBA - 2010) Seja g uma função de 𝑹 → 𝑹 tal que 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟑. O valor mí-
nimo que 𝒈 pode ter é 
a) -66/8 
b) -7/4 
c) 7/4 
d) 25/8 
e) -25/8 
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146 
 
53. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Na função 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏, a imagem de − 𝟏 é 
a) -5 
b) -3 
c) 0 
d) +1 
e) +3 
 
54. (VUNESP / Pref. Peruíbe - 2019) A tabela apresenta informações obtidas a partir de uma obser-
vação em laboratório da relação entre duas grandezas: 𝒚 = 𝒇(𝒙). 
 
Após alguns estudos numéricos, identificou-se que a relação entre as variáveis x e y é modelada por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que a soma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. B 
2. D 
3. D 
4. C 
5. D 
6. D 
7. A 
8. C 
9. D 
10. C 
11. E 
12. D 
13. E 
14. B 
15. D 
16. CERTO 
17. ERRADO 
18. D 
19. E 
20. D 
21. B 
22. CERTO 
23. B 
24. D 
25. A 
26. C 
27. A 
28. E 
29. B 
30. B 
31. C 
32. E 
33. A 
34. B 
35. B 
36. A 
37. C 
38. C 
39. D 
40. D 
41. B 
42. E 
43. E 
44. D 
45. A 
46. B 
47. D 
48. ERRADO 
49. CERTO 
50. CERTO 
51. E 
52. E 
53. A 
54. C 
 
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