Aula 03 Professor Vinícius Veleda

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Aula 03 (Professor
Vinícius Veleda)
Banco do Brasil (Escriturário-Agente
Comercial) Matemática Financeira - 2022
(Pré-Edital)
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
29 de Novembro de 2021
40181815826 - Flávio Ricardo Cirino
1 
 
Sumário 
Fluxo de Caixa ................................................................................................................................................... 4 
Operações financeiras ........................................................................................................................................ 6 
Equivalência de Capitais .................................................................................................................................. 15 
Definição ...................................................................................................................................................... 15 
Propriedade Fundamental da Equivalência de Capitais ............................................................................... 15 
Rendas Uniformes ............................................................................................................................................ 25 
Rendas Certas Postecipadas ......................................................................................................................... 25 
Rendas Certas Antecipadas .......................................................................................................................... 25 
Rendas Certas Diferidas ............................................................................................................................... 25 
Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Postecipadas ........................................................................... 26 
Fator de Valor Atual ................................................................................................................................. 28 
Valor Futuro de uma Série de Rendas Certas Postecipadas ......................................................................... 32 
Fator de Valor Futuro ............................................................................................................................... 33 
Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Antecipadas ........................................................................... 34 
Valor Futuro de uma Série de Rendas Certas Antecipadas .......................................................................... 35 
Rendas Perpétuas Constantes de Termos Ilimitados ........................................................................................ 42 
Rendas Perpétuas Postecipadas .................................................................................................................... 42 
Rendas Perpétuas Antecipadas ..................................................................................................................... 43 
Resumo da Aula ............................................................................................................................................... 47 
Questões Comentadas - CESGRANRIO ......................................................................................................... 50 
Equivalência de Capitais .............................................................................................................................. 50 
Rendas .......................................................................................................................................................... 86 
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Questões Comentadas - Lista Complementar .................................................................................................. 98 
Lista de Questões ........................................................................................................................................... 140 
Gabarito .......................................................................................................................................................... 159 
 
Olá, caro amigo do Estratégia Concursos, tudo bem? 
Na aula de hoje iremos estudar a Equivalência de Capitais e as Rendas Uniformes. 
 
O Edital do Banco do Brasil trouxe explícito: "Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalência 
financeira". Pois bem, como vimos acima, na aula de hoja, iremos estudar a Equivalência de Capitais (e 
dentro dela está inserido Fluxo e diagrama de Fluxo de Caixa) e as Rendas Uniformes. 
"Mas professor, rendas uniformes não está no Edital". 
É verdade, caro aluno. Mas, agluns editais cobram rendas (ou série de pagamentos) dentro de Equivalência 
de Capitais. 
Rendas Uniformes é um assunto bem complicado e com muitas fórmulas. Então meu conselho é: Domine o 
fluxo de caixa, o transporte do dinheiro no tempo e, PRINCIPALMENTE, a Equivalência de Capitais. 
Secundariamente, se você estiver seguro e com um tempo a mais para estudar, adentre em rendas 
uniformes. 
Nas "Questões Comentadas" ao final do livro digital eu separei a bateria de questões para Equivalência e 
para Rendas. 
Opinião pessoal: Acredito que na sua prova cairá duas questões de Equivalência. Uma para calcular o valor 
à vista de um produto e outra para calcular a taxa que torna os capitais equivalentes. Não acredito que caia 
rendas uniformes. 
Abaixo, nossa sistemática da aula: 
Vamos começar analisando um Fluxo de Caixa de maneira que você possa compreender, na linha do tempo, 
como representamos graficamente a entrada e a saída de Capitais. 
Posteriormente, iremos fazer algumas operações financeiras nesse Fluxo tais como “levar” um Capital para 
um tempo futuro e “trazer” um Capital de um tempo futuro para o tempo presente. 
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Por fim, vamos estudar as séries uniformes de renda. Um assunto com muitas fórmulas e que exigirá 
bastante concentração na resolução dos exercícios. 
Fique tranquilo que nossa metodologia irá abranger a abordagem de um dos tópicos acima, seguido de 
alguns exemplos sobre este assunto. Resolveremos, também, exercícios de concursos ao final de cada 
tópico para melhor fixação do conteúdo. E ao final do capítulo do livro digital, em “Questões Comentadas”, 
iremos resolver uma bateria de mais exercícios que irão sintetizar todo o conteúdo da aula. 
 
Contem sempre comigo. Caso tenham dúvidas, enviem no Fórum de Dúvidas ou por e-mail 
vinicius.veleda@estrategiaconcursos.com.br. 
 
 
Aula 04 
Equivalência de capitais. Rendas uniformes e variáveis. Equivalência composta de 
capitais. Capitais Equivalentes. Séries uniformes (anuidades, ou rendas certas). 
Fluxo de caixa. Valor futuro de uma renda certa. Valor atual de uma renda certa. 
Valor presente. Rendas Perpétuas ou Perpetuidades. Rendas diferidas. 
 
 
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FLUXO DE CAIXA 
Na matemática financeira, o Diagrama do Fluxo de Caixa é a representação gráfica das operações de Capital 
(entradas e saídas) em uma reta horizontal crescente estabelecida como o tempo. 
Por convenção, a entrada de Capital será representada com uma seta vertical para cima, enquanto que, a 
saída de Capital, uma seta vertical para baixo. 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1: Investimento de R$ 100.000,00 no dia de hoje para recebimento de R$ 120.000,00 daqui a 4 
anos.Exemplo 2: Aplicação de R$ 25.000,00 e recebimento de 3 parcelas mensais sucessivas de R$ 10.000,00, 
sendo o primeiro recebimento 3 meses após a aplicação. 
 
Exemplo 3: Represente um fluxo de caixa de investimento inicial de 700 com receita de 500 no primeiro ano, 
300 no segundo, 150 no quarto, 150 no sexto e desembolso de 100 no terceiro e no quinto ano. 
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5 
 
 
Exemplo 4: 6 aplicações mensais e sucessivas de R$ 2.000,00, sendo a primeira aplicação na data de hoje e 
mais 6 saques sucessivos de R$ 2.200,00, sendo o primeiro saque 1 mês após o final das aplicações. 
 
 
 
 
Duas observações antes de prosseguirmos: 
Obs. 1: Dificilmente cairá na sua prova uma questão sobre o Diagrama de Fluxo de Caixa. Estudamos o fluxo 
para melhor compreensão e análise das situações trazidas nos problemas que virão a seguir. É a base que 
necessitamos para prosseguir na matéria. 
Muitos alunos avançados nem ao menos desenham o fluxo na hora da prova. Porém, eu farei questão de 
fazer a representação gráfica em TODOS os exercícios para que você entenda perfeitamente o enunciado. 
Obs. 2: A conveção adotada, isto é, seta para cima e para baixo, não necessariamente deve ser seguida. 
Todavia, o que você não pode fazer é manter no mesmo sentido uma seta onde há saída e outra onde há 
entrada de capital. Logicamente, entradas e saídas devem ter sentidos contrários. 
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OPERAÇÕES FINANCEIRAS 
Estudaremos, agora, como “transportar” uma parcela no tempo, ou seja, iremos entender como levar uma 
parcela presente para o futuro (capitalização) e como trazer uma parcela do futuro para o presente (desconto 
ou descapitalização). E isso vai depender do regime dos juros, se simples ou composto. 
 
 Para a Capitalização Simples usaremos as seguintes fórmulas: 
 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊 × 𝒕) 𝑜𝑢 𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊 × 𝒕)
 
 
 
 Já para a Capitalização Composta, as equações serão: 
 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒕 𝑜𝑢 𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊)𝒕
 
 
Onde, 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝑡 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 
 
Perceba que essas equações são análogas às equações do Montante estudadas nas aulas de regime de juros. 
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 → 𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 → 𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 
Porém, no estudo da aula de hoje, o Montante será sempre entendido como o Valor Futuro e o Capital, como 
Valor Presente. 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 
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Vejamos alguns exemplos 
Exemplo 1: Determine o Valor Presente do Fluxo de caixa para uma taxa de juros simples de 10% ao mês. 
 
 
Observe que para calcular o VP teremos que transportar essa parcela (Valor Futuro) 4 períodos para trás, 
isto é, descapitalizá-la. Vamos aplicar a fórmula do Valor Presente em regime de juros simples e calcular seu 
valor. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖 × 𝑡)
 
𝑉𝑃 =
2.800
(1 + 0,1 × 4)
=
2.800
1,4
 → 𝑽𝑷 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
 
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Exemplo 2: Calcule o Valor Presente do fluxo abaixo para uma taxa de juros compostos de 5% ao ano. 
 
Nesse caso, o Valor Presente será igual a soma do Valor Presente da primeira parcela mais o Valor Presente 
da segunda parcela. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
Para calcular o Valor Presente vamos utilizar a fórmula estudada para o regime de juros compostos e calcular 
cada parcela separadamente. 
Perceba que a primeira parcela será descontada por um período de 1 ano enquanto que a segunda parcela 
será descontada por um período de 2 anos. 
𝑉𝑃1 =
𝑉𝐹1
(1 + 𝑖)𝑡1
 → 𝑉𝑃1 =
31.500
(1 + 0,05)1
=
31.500
1,05
 → 𝑽𝑷𝟏 = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
𝑉𝑃2 =
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2
 → 𝑉𝑃2 =
55.125
(1 + 0,05)2
=
55.125
1,1025
 → 𝑽𝑷𝟐 = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Logo, o Valor Presente desse fluxo de caixa será igual a: 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
𝑉𝑃 = 30.000 + 50.000 → 𝑽𝑷 = 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Exemplo 3: Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o 
gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O primeiro pagamento será 
um mês após a aquisição do produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês 
após o primeiro, e terá o valor de R$ 204,02. Qual é o valor à vista, em real, que deverá constar na nota 
fiscal? 
Graficamente teremos a seguinte situação: 
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O Valor à vista (Valor Presente no momento “0”) será dado pela soma do Valor Presente da primeira mais o 
Valor Presente da segunda parcela ambas descapitalizadas a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
Observe que a primeira parcela será descontada por um período de 1 mês enquanto que a segunda parcela 
será descontada por um período de 2 meses. 
𝑉𝑃1 =
𝑉𝐹1
(1 + 𝑖)𝑡1
 → 𝑉𝑃1 =
202
(1 + 0,01)1
=
202
1,01
 → 𝑽𝑷𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 
𝑉𝑃2 =
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2
 → 𝑉𝑃2 =
204,02
(1 + 0,01)2
=
204,02
1,0201
 → 𝑽𝑷𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 
 
Logo, o valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal será igual a: 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
𝑉𝑃 = 200 + 200 → 𝑽𝑷 = 𝟒𝟎𝟎 
 
Exemplo 4: Uma empresa decide adquirir um imóvel em 4 prestações iguais de R$ 10.000,00 vencíveis em 
30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 5% ao mês. Caso essa 
companhia quisesse comprar o imóvel à vista, qual seria a equação do valor que ela deveria desembolsar? 
Primeiro passo é representar graficamente o enunciado. 
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Atente-se para a conversão da unidade do período (dia) para a unidade da taxa de juros (mês), pois 
necessariamente devem coincidir. 30, 60, 120 e 180 dias, equivalem, respectivamente, a 1, 2, 4 e 6 meses. 
Então, o Valor Presente (à vista) do imóvel será dado pela soma individual do Valor Presente de cada parcela 
apresentada acima. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 + 𝑉𝑃3 + 𝑉𝑃4 
Perceba que a primeira parcela será descontada por um período de 1 mês enquanto que a segunda parcela 
será descontada por um período de 2 meses, a terceira parcela por um período de 4 meses e a quarta parcela 
por um período de 6 meses. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹1
(1 + 𝑖)𝑡1
+
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2
+
𝑉𝐹3
(1 + 𝑖)𝑡3
+
𝑉𝐹4
(1 + 𝑖)𝑡4
 
 
𝑽𝑷 =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟏
+
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟐
+
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟒
+
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟔
 
 
Essa, então, seria a equação utilizada para o cálculo do valor que a companhia deveria desembolsarcaso 
quisesse comprar o imóvel à vista. 
 
Exemplo 5: Um banco comercial fez um acordo com uma empresa para liquidar um empréstimo de 
R$100.000,00 vencido há dois meses, e ainda antecipar o pagamento de outro de R$212.241,60 com três 
meses a decorrer do seu vencimento. No acordo, a taxa de juros, em regime composto, foi estipulada em 2% 
ao mês para ambos os casos. Qual será o valor total do pagamento dos dois empréstimos que a empresa 
deve fazer junto ao banco na data presente? 
Vamos representar graficamente o enunciado. 
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Observe que essa questão já começa a “fugir” da linha das demais. Em toda aula eu digo e agora repito, não 
apenas decore as fórmulas. Saiba interpretar o problema. 
Perceba que na data presente (data “0”), o valor que a empresa deverá pagar será igual ao Valor Futuro da 
primeira parcela referente ao empréstimo vencido há 2 meses mais o Valor Presente do empréstimo que 
deverá ser pago 3 meses no futuro. 
Enfatizando. A primeira parcela será transportada do passado para o futuro. Logo, teremos de calcular seu 
Valor Futuro. Enquanto que a segunda parcela será transportada de um tempo futuro para o passado, ou 
seja, teremos de calcular o Valor Presente desta. 
𝑝𝑔𝑡𝑜 = 𝑉𝐹1 + 𝑉𝑃2 
Vamos calcular separadamente cada parcela. 
 Valor Futuro da primeira parcela vencida há 2 meses. 
 
𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃1 × (1 + 𝑖)
𝑡1 → 𝑉𝐹1 = 100.000 × (1 + 0,02)2 = 100.000 × 1,0404 → 𝑽𝑭𝟏 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟒𝟎 
 
 Valor Presente da segunda parcela que irá vencer daqui a 3 meses. 
 
𝑉𝑃2 =
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2
 → 𝑉𝑃2 =
212.241,60
(1 + 0,02)3
=
212.241,60
1,061208
 → 𝑽𝑷𝟐 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Sendo assim, o valor total do pagamento dos dois empréstimos que a empresa deve fazer junto ao banco 
na data presente será: 
 
𝑝𝑔𝑡𝑜 = 𝑉𝐹1 + 𝑉𝑃2 
𝑝𝑔𝑡𝑜 = 104.040 + 200.000 → 𝒑𝒈𝒕𝒐 = 𝟑𝟎𝟒. 𝟎𝟒𝟎 
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Após esses exercícios você já começa a ter uma noção de como trabalhar com o valor do dinheiro no tempo. 
No regime de Juros Compostos, se você quiser transportar a parcela para a direita, isto é, para o futuro, 
multiplique pelo fator (1 + 𝑖)𝑡. 
E se, ao contrário, você pretende trazer a parcela do futuro para algum tempo anterior, divida por (1 + 𝑖)𝑡. 
No regime de Juros Simples, a mecânica é a mesma. Porém, o fator de multiplicação/divisão será (1 + 𝑖 × 𝑡). 
 
 
 
 
 Obs.: Em juros Simples, o fator de multiplicação/divisão será (1 + 𝑖 × 𝑡) 
 
 
Exemplo 6: Vamos retornar ao exemplo 4 e imaginar um pagamento único total no terceiro mês. 
Uma empresa decide adquirir um imóvel em 4 prestações iguais de R$ 10.000,00 vencíveis em 30, 60, 120 e 
180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 5% ao mês. Caso essa companhia 
quisesse comprar o imóvel em 1 só prestação vencível no TERCEIRO mês, qual seria a equação do valor que 
ela deveria desembolsar? 
Vejamos a representação gráfica novamente. 
 
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Observe que, como queremos a parcela no tempo “3”, vamos deslocar a primeira parcela 2 unidades para a 
direita e a segunda parcela 1 unidade para a direita também. Já a terceira parcela será deslocada 1 unidade 
para a esquerda e a quarta parcela, 3 unidades para a esquerda. 
Como se trata de juros compostos, temos que: 
 
Então, o Valor no tempo 3 seria: 
𝑉 = 10.000 × (1 + 0,05)2 + 10.000 × (1 + 0,05)1 +
10.000
(1 + 0,05)1
+
10.000
(1 + 0,05)3
 
Essa seria a equação para o pagamento total no tempo 3. 
É muito importante que você entenda a fórmula acima pois ela irá agilizar os cálculos na hora da prova. Se 
você entendeu, pode pular a continuação da resolução. Caso ainda restem dúvidas, irei resolver passo a 
passo para que você compreenda perfeitamente e, nas próximas questões, já comece a fazer de uma forma 
mais automática. 
Observe que, no tempo 3, o pagamento será constituído pelo Valor Futuro da primeira parcela mais o Valor 
Futuro da segunda parcela, mais o Valor Presente da terceira parcela mais o Valor Presente da quarta 
parcela. 
Valor Futuro da primeira e da segunda pois, estamos levando essas parcelas para um tempo mais à frente. 
Estamos levando-as, respectivamente, do tempo 1 e 2 para o tempo 3. 
Valor Presente da terceira e da quarta pois estamos trazendo essas 2 parcelas de tempo futuro para um 
tempo anterior. A terceira parcela está sendo transportada do tempo 4 para o tempo 3 enquanto que a 
quarta parcela está sendo descontada do tempo 6 para o tempo 3. 
Então, o valor V do pagamento será igual a: 
𝑉 = 𝑉𝐹1 + 𝑉𝐹2 + 𝑉𝑃3 + 𝑉𝑃4 
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Vamos calcular cada parcela separadamente com base nas fórmulas do regime de juros compostos. 
 Para a primeira e segunda parcela teremos: 
𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃1 × (1 + 𝑖)
𝑡1 → 𝑽𝑭𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟐 
 
𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃2 × (1 + 𝑖)
𝑡2 → 𝑽𝑭𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)
𝟏 
 
 Para a terceira e quarta parcela: 
𝑉𝑃3 =
𝑉𝐹3
(1 + 𝑖)𝑡3
 → 𝑽𝑷𝟑 =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟏
 
 
𝑉𝑃4 =
𝑉𝐹4
(1 + 𝑖)𝑡4
 → 𝑽𝑷𝟒 =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟑
 
 
Logo, a equação para pagamento total no tempo 3 será igual a: 
 
 
𝑉 = 𝑉𝐹1 + 𝑉𝐹2 + 𝑉𝑃3 + 𝑉𝑃4 
 
𝑽 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟏 +
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟏
+
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟑
 
 
 
Então, não se esqueça: 
 Para deslocar a parcela para a direita, isto é, para um tempo futuro, multiplicamos por (1 + 𝑖)𝑡. 
 
 Para deslocar a parcela para a esquerda, isto é, de um tempo futuro para um tempo anterior, 
dividimos por (1 + 𝑖)𝑡. 
Obs.: Em juros Simples, o fator de multiplicação/divisão será (1 + 𝑖 × 𝑡) 
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15 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Estudamos, até agora, a base necessária para entender a Equivalência de Capitais. Vimos como montar um 
diagrama de fluxo de caixa e como deslocar parcelas no tempo. 
Em seguida, iremos estudar o conceito de Capitais Equivalentes e resolver uma série de exercícios de 
concursos para fixarmos esse assunto que “despenca” em prova. 
 
Definição 
Dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, são equivalentes quando, transportados para uma 
mesma data na linha do tempo à mesma taxa de juros, resultarem em valores iguais. 
Em matemática financeira, sempre que quisermos comparar dois capitais, devemos transportá-los para uma 
mesma data (a uma mesma taxa de juros). E assim, podemos constatar se são iguais (equivalentes) ou não. 
 
Propriedade Fundamental da Equivalência de Capitais 
Quando verificarmos que dois (ou mais) Capitais são equivalentes em regime de Juros Compostos em uma 
data focal, essa equivalência permanecerá válida para qualquer outra data. 
Explicando melhor. Suponha que você verificou que dois Capitais são equivalentes no tempo presente𝑡 = 0. 
Isso quer dizer que, em regime de Juros Compostos, esses Capitais também serão equivalentes em 𝑡 = 1 , 
𝑡 = 2 , 𝑡 = 3 , 𝑒𝑡𝑐. 
Ou seja, em regime de Juros Compostos, a comparação de Capitais NÃO DEPENDE da data focal. Você pode 
escolher em qual data na linha do tempo irá proceder com a equivalência. 
Geralmente, iremos escolher datas futuras para comparar, uma vez que, como estudamos, para transportar 
para o futuro, multiplicamos as parcelas. Enquanto que, para transportar do futuro para o presente, 
dividimos. E acredito que multiplicar, na hora da prova, é mais fácil e mais rápido que dividir. 
Vamos praticar com algumas questões de concursos. 
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(SEFAZ BA – 2018) Uma loja de produtos eletrodomésticos anuncia duas condições para a compra de 
determinado produto: 
− Compra com pagamento à vista no valor de R$ 1.900,00; 
− Compra a prazo, sendo uma entrada no valor de R$ 500,00 e o pagamento de uma parcela adicional no 
valor de R$ 1.484,00 após 2 meses da data da compra. 
 Se a empresa utiliza o regime de capitalização simples, a taxa de juros simples, em percentual ao mês, que 
cobra na venda a prazo é 
a) 1,06% 
b) 3,00% 
c) 2,21% 
d) 0,53% 
e) 6,00% 
Comentários: 
Vamos representar graficamente o que nos traz o enunciado. 
 
Vou resolver essa questão de duas maneiras. Na essência é a mesma coisa. Apenas muda a forma de 
raciocinar a questão. 
As duas opções de pagamento são equivalentes. Logo, vamos fazer a Equivalência de Capitais na data zero 
e calcular o valor da taxa de juros. 
1.900 = 500 +
1.484
(1 + 𝑖 × 2)
 
Observe que o Capital com a seta em azul já está no tempo zero, ou seja, não precisamos nem multiplicar 
nem dividi-lo. 
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Já no segundo capital, a parcela de R$ 500,00 também está sobre o tempo zero. Porém, precisamos 
transportar a parcela de R$ 1.484,00 dois períodos para o presente. Logo, dividimos pelo fator que em regime 
de juros simples é igual a (1 + 𝑖 × 𝑡). 
Continuando com os cálculos. 
1.900 = 500 +
1.484
(1 + 𝑖 × 2)
 
1.900 − 500 = +
1.484
(1 + 𝑖 × 2)
 
1.400 =
1.484
(1 + 𝑖 × 2)
 
1.400 + 2.800𝑖 = 1.484 
2.800𝑖 = 1.484 − 1.400 
2.800𝑖 = 84 
𝑖 =
84
2.800
 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒐𝒖 𝟑% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
 
Segunda maneira de se resolver: 
Pense comigo. O valor do bem à vista é de R$ 1.900,00. Você deu uma entrada de R$ 500,00. Logo, o Capital 
presente restante a pagar seria de R$ 1.400,00 correto? 
Mas, em vez disso você pagou um Valor Futuro de R$ 1.484,00, dois meses à frente em regime de Juros 
Simples. 
Ou seja, a parcela de R$ 1.400,00 na data de hoje equivale a R$ 1.484,00 no futuro. Para levar a parcela 
presente para o futuro multiplicamos por (1 + 𝑖 × 𝑡). 
Logo, 
1.400 × (1 + 𝑖 × 2) = 1.484 
1 + 2𝑖 =
1.484
1.400
 
1 + 2𝑖 = 1,06 
2𝑖 = 1,06 − 1 
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2𝑖 = 0,06 
𝑖 =
0,06
2
 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒐𝒖 𝟑% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
 
Vamos além, já que a teoria há de ser totalmente completa. 
Perceba que essa fórmula é análoga à fórmula do Montante em regime de Juros Simples. 
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 
Você tinha um Capital de 1.400 a pagar e pagou um Montante de 1.484 em 2 meses. Logo, aplicando a 
fórmula análoga, o resultado seria o mesmo. 
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 
1.484 = 1.400 × (1 + 𝑖 × 2) 
⋮ 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑 𝒐𝒖 𝟑% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa B 
 
(SEGEP MA – 2018) Para adquirir um lote de mercadorias, uma empresa obteve um empréstimo para ser 
pago em 5 parcelas mensais e iguais, cujo valor é R$ 20.000,00. A primeira parcela venceu 30 dias após a 
data de obtenção do empréstimo e as parcelas subsequentes a cada 30 dias. Na data de vencimento da 
terceira parcela, e antes do seu pagamento, a empresa optou pelo pagamento das 3 parcelas que faltavam 
ser pagas para a liquidação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos negociada na data da obtenção 
do empréstimo foi 2% a.m., o valor que a empresa desembolsou para fazer a liquidação foi, em reais, 
a) 58.838,61 
b) 60.000,00 
c) 58.800,00 
d) 58.831,22 
e) 56.539,34 
Comentários: 
A situação inicial de pagamento era a seguinte: 
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Atente-se para a conversão da unidade do período (dia) para a unidade da taxa de juros (mês), pois 
necessariamente devem coincidir. As parcelas foram mensais e sucessivas. 
Na data de vencimento da terceira parcela, e antes do seu pagamento, a empresa optou pelo pagamento 
das 3 parcelas que faltavam ser pagas para a liquidação do empréstimo. 
Ou seja, graficamente teremos: 
 
Então, no tempo 𝑡 = 3 resta pagar o Valor Presente igual a: 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃3 + 𝑉𝑃4 + 𝑉𝑃5 
Para calcular o Valor Presente vamos utilizar a fórmula estudada para o regime de juros compostos e calcular 
cada parcela separadamente. 
Perceba que a terceira parcela já está no tempo 3. A quarta parcela será descontada por um período de 1 
mês enquanto que a segunda parcela será descontada por um período de 2 meses. 
 
𝑽𝑷𝟑 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
𝑉𝑃4 =
𝑉𝐹4
(1 + 𝑖)𝑡4
 → 𝑉𝑃4 =
20.000
(1 + 0,02)1
=
20.000
1,02
 → 𝑽𝑷𝟒 = 𝟏𝟗. 𝟔𝟎𝟕, 𝟖𝟒 
 
𝑉𝑃5 =
𝑉𝐹5
(1 + 𝑖)𝑡5
 → 𝑉𝑃5 =
20.000
(1 + 0,02)2
=
20.000
1,0404
 → 𝑽𝑷𝟓 = 𝟏𝟗. 𝟐𝟐𝟑, 𝟑𝟕 
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Logo, o Valor Presente a pagar será igual a: 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃3 + 𝑉𝑃4 + 𝑉𝑃5 
𝑉𝑃 = 20.000 + 19.607,84 + 19.223,37 → 𝑽𝑷 = 𝟓𝟖. 𝟖𝟑𝟏, 𝟐𝟏 
 
Na hora da prova, você certamente resolverá da seguinte maneira. 
Pense comigo. No tempo 3, terei de pagar o Valor Presente da terceira parcela que já está no tempo 3, mais 
a quarta parcela deslocada uma unidade para a esquerda mais a quinta parcela deslocada duas unidades 
para a esquerda. 
No regime de Juros Compostos, quando deslocamos para a esquerda, dividimos pelo fator (1 + 𝑖)𝑡. 
Então, resolvendo diretamente teríamos: 
𝑉𝑃 = 20.000 +
20.000
(1 + 0,02)1
+
20.000
(1 + 0,02)2
 
𝑉𝑃 = 20.000 +
20.000
1,02
+
20.000
1,0404
 
𝑉𝑃 = 20.000 + 19.607,84 + 19.223,37 → 𝑽𝑷 = 𝟓𝟖. 𝟖𝟑𝟏, 𝟐𝟏 
 
Gabarito: Alternativa D 
 
(SEGEP MA – 2018) Uma empresa obteve um empréstimo no passado à taxa de juros compostos de 3% ao 
mês e ainda resta uma parcela para sua liquidação. O valor da parcela é R$ 40.000,00 e vencerá em 90 
dias. A empresa pretende alterar a forma de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à 
instituição financeira a liquidação da seguinte forma: 
− Uma parcela de R$ 15.000,00 na data de hoje. 
− Uma parcela complementar daqui a 60 dias. 
O valor da parcela complementar deve ser, em reais, 
a) 21.605,67 
b) 25.000,00 
c) 26.522,50 
d) 22.921,45 
e) 22.348,17 
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Comentários: 
Vamos representar graficamente o comando da questão: 
 
Atente-se para a conversão da unidade do período (dia) para a unidade da taxa de juros (mês), pois 
necessariamente devem coincidir. 
Vamos começar a acelerar a resolução das questões. 
As duas formas de pagamento devem ser equivalentes. Vamos proceder com a Equivalência de capitais no 
tempo 𝑡 = 3, pois, como estudamos, levar para o futuro (multiplicar) é mais rápido e fácil que trazer para o 
presente (dividir). 
Fazendo a Equivalência de Capitais no tempo 𝑡 = 3 teremos: 
 
40.000 = 15.000 × (1 + 0,03)3 + 𝑃 × (1 + 0,03)1 
 
Observe que a parcela de R$ 40.000,00 já está no mês 3. A primeira parcela (em vermelho) deverá ser 
transposta 3 períodos para o futuro e a segunda parcela (em vermelho), transposta 1 período para a direita. 
No regime de Juros Compostos, quando deslocamos para a direita, multiplicamos pelo fator (1 + 𝑖)𝑡. 
Resolvendo para P teremos: 
40.000 = 15.000 × (1 + 0,03)3 + 𝑃 × (1 + 0,03)1 
40.000 = 15.000 × 1,033 + 𝑃 × 1,03 
40.000 = 15.000 × 1,0927 + 𝑃 × 1,03 
40.000 = 16.390,50 + 𝑃 × 1,03 
𝑃 × 1,03 = 23.609,50 
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𝑃 =
23.609,50
1,03
 → 𝑷 ≅ 𝟐𝟐. 𝟗𝟐𝟏, 𝟖𝟎 
 
Perceba que, se fôssemos fazer a equivalência de Capitais em outra data que não 𝑡 = 3, precisaríamos 
trabalhar com divisões. 
Por isso, é preferível levar todos os capitais para a data mais à direita e, assim, trabalhar apenas com 
multiplicações. 
Lembrando que em regime de Juros Compostos, a comparação de Capitais NÃO DEPENDE da data focal. 
Você pode escolher em qual data na linha do tempo irá proceder com a equivalência. 
Gabarito: Alternativa D 
 
(Manausprev – 2015) Uma dívida, no valor de R$ 25.200,00 na data de hoje, deverá ser liquidada por meio 
de duas prestações de valores iguais, vencendo a primeira daqui a 2 anos e a segunda daqui a 3 anos. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se que o valor de cada prestação é, em 
reais, igual a 
a) 13.200,00 
b) 14.550,00 
c) 13.860,00 
d) 15.246,00 
e) 15.972,00 
Comentários: 
Graficamente: 
 
Vamos fazer a equivalência de capitais na data 𝑡 = 3. 
Observe que o Capital de R$ 25.200,00 será deslocado 3 unidades para a direita, ou seja, multiplicamos por 
(1 + 𝑖)3. 
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Enquanto que a primeira parcela P (do capital em vermelho) será levada 1 unidade para o futuro e a segunda 
parcela já está situada no tempo 𝑡 = 3. 
Sendo assim, teremos que o valor de cada prestação será: 
25.200 × (1 + 0,1)3 = 𝑃 × (1 + 0,1)1 + 𝑃 
25.200 × 1,13 = 𝑃 × 1,1 + 𝑃 
25.200 × 1,331 = 2,1𝑃 
33.541,20 = 2,1𝑃 
𝑃 =
33.541,20
2,1
 → 𝑷 = 𝟏𝟓. 𝟗𝟕𝟐 
 
Observe que já fizemos essa questão mais rápido e mais diretamente que as demais. E será isso que você vai 
fazer em sua prova. Irá desenhar rapidamente o gráfico e procurar a melhor data focal para fazer a 
equivalência de capitais. 
Vamos fazer mais uma questão e ainda mais diretamente que essa. Não desista. Estamos juntos e qualquer 
dúvida não hesite em enviar no fórum de dúvidas. 
Gabarito: Alternativa E 
 
(SEFAZ PI – 2015) Para quitar uma dívida que apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, um 
empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. 
Considerando uma taxa composta de 8% ao ano, obtém-se que P é igual a 
a) R$ 27.000,00 
b) R$ 29.160,00 
c) R$ 30.326,40 
d) R$ 31.492,80 
e) R$ 32.659,20 
Comentários: 
 
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Vamos fazer a equivalência dos capitais na data focal 𝑡 = 2. 
77.000 × (1 + 0,08)2 = 𝑃 × (1 + 0,08)1 + 2𝑃 
77.000 × 1,1664 = 1,08𝑃 + 2𝑃 
89.812,80 = 3,08𝑃 
𝑃 =
89.812,80
3,08
 → 𝑷 = 𝟐𝟗. 𝟏𝟔𝟎 
Gabarito: Alternativa B 
 
Bem mais rápido, não é? 
Matéria de exatas não tem mistério. O caminho para aprender é simples. Simples é diferente de fácil. O 
caminho para aprender é entender o conteúdo, saber interpretar o problema, decorar as fórmulas e treinar 
MUITO. 
Vamos fazer uma pausa antes de continuar com a matéria. 
Respire, alongue-se. Tenha certeza de que entendeu tudo até agora. Volte em alguma questão ou nos 
exemplos. Beba um café e vamos continuar. 
Preciso da sua máxima atenção e concentração no próximo tópico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RENDAS UNIFORMES 
Rendas uniformes (ou rendas certas) consistem em uma série de fluxo de caixa efetuados em intervalos de 
tempos iguais onde as parcelas são constantes, isto é, pagamentos (ou recebimentos) iguais em intervalo 
de tempos iguais. 
As rendas certas se subdividem em três tipos: Rendas Certas Postecipadas, Rendas Certas Antecipadas e 
Rendas Certas Diferidas. 
Rendas Certas Postecipadas 
São as rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem ao final de cada período. 
 
Rendas Certas Antecipadas 
São as rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem no início de cada período. 
 
Rendas Certas Diferidas 
São as rendas em que os pagamentos/recebimentos ocorrem a partir de uma data posterior ao fim do 
primeiro período. A esse prazo damos o nome de carência. 
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26 
 
 
 
Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Postecipadas 
O Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Postecipadas é o valor no momento “0”, também chamado 
de Valor Presente (VP), que equivale a soma de todas as n rendas certas P descontadas pela mesma taxa de 
juros i. 
 
O Valor Atual (VA) ou Valor Presente (VP) é calculado pela seguinte fórmula: 
 
𝑽𝑨 = 𝑷 × [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
] 𝑜𝑢 𝑽𝑨 = 𝑷 × [
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
] 
 
Onde, 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝑃 = 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 
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27 
 
“E professor, quando eu irei usar uma ou outra fórmula das duas fórmulas acima?” 
Vai depender do que a banca fornecer nos dados da questão. 
Algumas questões trazem o valor de (1 + 𝑖)𝑛 enquanto outras fornecem o valor de (1 + 𝑖)−𝑛. 
Você pode decorar apenas a primeira fórmula e caso a banca forneça (1 + 𝑖)−𝑛, faça o inverso do valor e 
obtenha (1 + 𝑖)𝑛, pois como sabemos dos estudos da matemática básica: 
(1 + 𝑖)𝑛 =
1
(1 + 𝑖)−𝑛
 
 
Vejamos um exemplo para elucidar esse tópico. 
Exemplo 1: Qual é o valor presente, aproximado, de uma sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 
1.000,00, sendo o primeiro com vencimento em 30 dias contados da data de hoje, e os outros, nos quatro 
meses subsequentes,considerando-se uma taxa de juros de 1% a.m. 
Dados: 1,01−5 = 0,95146 
Vamos representar graficamente o enunciado. 
 
Observe que se trata de uma série de rendas postecipadas, uma vez que, como informado pelo enunciado, 
a primeira parcela tem vencimento em 1 mês, isto é, no final do período. 
Vamos aplicar a fórmula do Valor Presente e calcular a soma dessas 5 parcelas mensais de R$ 1.000,00 no 
momento 𝑡 = 0. 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
𝑉𝐴 = 1.000 × [
1 − (1 + 0,01)−5
0,01
] 
𝑉𝐴 = 1.000 × [
1 − 1,01−5
0,01
] 
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𝑉𝐴 = 1.000 × [
1 − 0,95146
0,01
] 
𝑉𝐴 = 1.000 ×
0,04854
0,01
 → 𝑽𝑨 = 𝟒. 𝟖𝟓𝟒 
 
Então, o Valor Atual, isto é, a soma das 5 parcelas de R$ 1.000,00 postecipadas, no momento 𝑡 = 0 
descontadas a uma taxa de juros compostos de 1% a.m., é igual a, aproximadamente, R$ 4.854. 
 
 
 
Fator de Valor Atual 
O fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Atual é chamado de Fator de Valor Atual. 
 
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 
 
Esse fator pode ser encontrado na questão pela seguinte simbologia: 
𝒂𝒏¬𝒊 = [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
] 
Onde, 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 
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29 
 
Algumas bancas, ao invés de fornecer para os cálculos, o Fator de Valor Atual, informam o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC) que matematicamente significa o inverso do Fator de Valor Atual. 
 
𝑭𝑹𝑪 =
𝟏
𝒂𝒏¬𝒊
 
 
 
Algumas bancas trazem o valor de 𝑎𝑛¬𝑖 da seguinte forma: 
 
𝒂𝒏¬𝒊 =
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝟏
+
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝟐
+
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝟑
+⋯
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
 
Ou, 
𝒂𝒏¬𝒊 =∑
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒌
𝒏
𝒌=𝟏
 
 
Vejamos rapidamente a demonstração dessa fórmula. 
Imagine n rendas certas P postecipadas. 
 
Seu Valor Atual é dado pelo somatório do Valor Presente de cada parcela individualmente. Logo, 
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30 
 
𝑉𝐴 =
𝑃
(1 + 𝑖)1
+
𝑃
(1 + 𝑖)2
+
𝑃
(1 + 𝑖)3
+⋯
𝑃
(1 + 𝑖)𝑛
 
Colocando 𝑷 em evidência: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1
(1 + 𝑖)1
+
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)3
+⋯
1
(1 + 𝑖)𝑛
] 
Assim, constata-se que: 
 
Observe esta questão abaixo: 
(CEF – 2014) Em cada um do item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação 
financeira X, que remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata. 
Para comprar um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Daniel dispõe das seguintes 
opções de pagamento: 
Opção A – pagamento à vista, com desconto de 10% do valor de tabela; ou 
Opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do bem, a 
primeira vencendo 1 mês após a compra. 
Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele, Daniel 
utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão ∑
1
(1+0,01)𝑘
12
𝑘=1 . 
 Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel. 
Comentários: 
Vamos supor que o bem custa R$ 120,00 para fins de facilitar os cálculos. Iremos calcular separadamente o 
Valor presente das opções e constatar qual seria a melhor opção de compra. 
 Opção A – pagamento à vista, com desconto de 10% do valor de tabela 
𝑉𝐴1 = 120 −
10
100
× 120 → 𝑽𝑨𝟏 = 𝟏𝟎𝟖 
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 Opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do 
bem (ou seja, cada parcela de 10 reais), a primeira vencendo 1 mês após a compra. 
 
Vamos calcular o Valor Atual das 12 parcelas. 
𝑉𝐴2 = 𝑃 × 𝑎𝑛¬𝑖 
𝑉𝐴2 = 10 ×∑
1
(1 + 𝑖)𝑘
𝑛
𝑘=1
 
𝑉𝐴2 = 10 ×∑
1
(1 + 0,01)𝑘
12
𝑘=1
 
𝑉𝐴2 = 10 × 11,26 → 𝑽𝑨𝟐 = 𝟏𝟏𝟐, 𝟔 
Logo, a opção A é mais vantajosa. 
Gabarito: ERRADO. 
 
Então, caro aluno, você viu todas as possibilidades que a banca pode "brincar" para fornecer o Fator de Valor 
Atual. 
Preste bem atenção ao comando da questão e a forma de utilização dos dados. 
No final deste tópico iremos resolver mais algumas questões e ao final da aula em "questões comentadas" 
também. Assim, você fixará bem todo o conteúdo e não será surpreendido na hora da prova. 
 
 
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Valor Futuro de uma Série de Rendas Certas Postecipadas 
O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas Postecipadas é o valor no momento “n” que equivale a 
soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. 
Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos na mesma data do último 
pagamento/recebimento. 
 
O Valor Futuro (VF) de uma Série de Rendas Certas Postecipadas é calculado pela seguinte equação: 
 
𝑽𝑭 = 𝑷 × [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
] 
Onde, 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝑃 = 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 
 
Exemplo 2: Qual é o valor futuro, aproximado, de uma sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 
1.000,00, sendo o primeiro com vencimento em 30 dias contados da data de hoje, e os outros, nos quatro 
meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros de 1% a.m. 
Dado: 1,015 = 1,051 
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Graficamente: 
 
Vamos aplicar a fórmula do Valor Futuro e calcular a soma das 5 parcelas capitalizadas a 1% ao mês no 
momento 𝑡 = 5. 
𝑉𝐹 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑉𝐹 = 1.000 × [
(1 + 0,01)5 − 1
0,01
] 
𝑉𝐹 = 1.000 × [
1,051 − 1
0,01
] 
𝑉𝐹 = 1.000 ×
0,051
0,01
 
𝑉𝐹 = 1.000 × 5,1 → 𝑽𝑭 = 𝟓. 𝟏𝟎𝟎 
 
Fator de Valor Futuro 
O fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Futuro é chamado de Fator de Valor Futuro ou Fator de 
Acumulação de Capitais. 
 
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 
 
Esse fator pode ser encontrado na questão pela seguinte simbologia: 
 
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𝑺𝒏¬𝒊 = [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
] 
Onde, 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 
 
Algumas bancas ao invés de fornecer, para os cálculos, o Fator de Valor Futuro, informam o Fator de 
Formação de Capital (FFC) que matematicamente significa o inverso do Fator de Valor Futuro.𝑭𝑭𝑪 =
𝟏
𝑺𝒏¬𝒊
 
 
Vejamos, agora, as rendas Antecipadas. 
 
Valor Atual de uma Série de Rendas Certas Antecipadas 
O Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Antecipadas é o valor no momento “0”, também chamado 
de Valor Presente (VP), que equivale a soma de todas as n rendas certas P descontadas pela mesma taxa de 
juros i. 
 
 
 
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O Valor Atual (VA) ou Valor Presente (VP) é calculado pela seguinte fórmula: 
 
𝑽𝑨 = 𝑷 × [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
] × (𝟏 + 𝒊) 𝑜𝑢 𝑽𝑨 = 𝑷 × [
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
] × (𝟏 + 𝒊) 
 
 
 
Observe que a única diferença dessa fórmula para a fórmula das rendas certas postecipadas é a multiplicação 
final por (1 + 𝑖). 
Então, decore a fórmula do Valor Atual da série de rendas certas Postecipadas. Caso a questão informe que 
se trata de uma renda Antecipada, você apenas multiplica o VA por (1 + 𝑖). 
 
Valor Futuro de uma Série de Rendas Certas Antecipadas 
O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas Antecipadas é o valor no momento “n” que equivale a 
soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. 
Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos na mesma data do último 
pagamento/recebimento. 
 
 
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O Valor Futuro (VF) de uma Série de Rendas Certas Antecipadas é calculado pela seguinte equação: 
 
𝑽𝑭 = 𝑷 × [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
] 
 
 
Observe que a fórmula do VF para uma série de rendas certas postecipadas é igual à fórmula do VF para uma 
série de rendas certas antecipadas. 
 A multiplicação por (1 + 𝑖) somente ocorre na fórmula do Valor Atual. 
 
 
 
 
 
Vamos resolver algumas questões de concursos sobre esse tópico. 
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(Petrobras Adaptada – 2018) Qual é o valor presente, aproximado, de uma sequência de 5 pagamentos 
mensais iguais a R$ 1.000,00, sendo o primeiro com vencimento na data de hoje, e os outros, nos quatro 
meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros de 1% a.m.? 
Dado: 𝟏, 𝟎𝟏−𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟏𝟒𝟔 
a) R$ 4.850,00 
b) R$ 4.853,43 
c) R$ 4.900,00 
d) R$ 4.902,54 
e) R$ 5.000,00 
Comentários: 
Observe que a primeira parcela vence “na data de hoje”, isto é, a série de pagamentos é uma série 
Antecipada. 
Graficamente teremos: 
 
Vamos aplicar a fórmula do Valor Presente para uma série de rendas certas Antecipadas e calcular seu valor. 
𝑉𝑃 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] × (1 + 𝑖) 
𝑉𝑃 = 1.000 × [
1 − (1 + 0,01)−5
0,01
] × (1 + 0,01) 
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𝑉𝑃 = 1.000 × [
1 − 0,95146
0,01
] × 1,01 
𝑉𝑃 = 1.000 ×
0,04854
0,01
× 1,01 → 𝑽𝑷 = 𝟒. 𝟗𝟎𝟐, 𝟓𝟒 
Gabarito: Alternativa D 
 
(PC PR – 2017) Uma pessoa comprou um vídeo game de última geração em uma loja, parcelando em 12 
prestações mensais de 140,00 cada uma, sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada 
pela loja foi de 3% ao mês, sendo que os valores estão arredondados e que: 
𝟏, 𝟎𝟑𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟐𝟓𝟖 
𝟏, 𝟎𝟑𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟖 
𝟎, 𝟒𝟐𝟓𝟖 𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟖 = 𝟗, 𝟗𝟓⁄ 
O valor do vídeo game era de: 
a) R$ 1.393 
b) R$ 1.820 
c) R$ 1.680 
d) R$ 1.178 
e) R$ 1.423 
Comentários: 
Perceba que não há entrada no pagamento, isto é, as parcelas vencerão ao final de cada período, 
caracterizando, assim, uma série de rendas certas Postecipadas. 
 
Vamos, então, calcular o Valor Presente de uma série de 12 parcelas de R$ 140 postecipadas a uma taxa de 
juros compostos de 3% ao mês. 
𝑉𝑃 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 
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𝑉𝑃 = 140 × [
(1 + 0,03)12 − 1
0,03 × (1 + 0,03)12
] 
𝑉𝑃 = 140 × [
1,0312 − 1
0,03 × 1,0312
] 
 
Observe que a banca nos fornece tanto o valor da potência quanto o valor da multiplicação do denominador. 
 
𝑉𝑃 = 140 × [
1,4258 − 1
0,0428
] 
𝑉𝑃 = 140 × [
0,4258
0,0428
] 
 
A banca fornece também o valor da divisão. 
 
𝑉𝑃 = 140 × 9,95 → 𝑽𝑷 = 𝟏. 𝟑𝟗𝟑 
Gabarito: Alternativa A 
 
(CM Balneário Camboriú SC Adaptada – 2015) Se uma máquina custa à vista R$ 100.000,00 ou pode ser 
paga em 12 prestações mensais, com uma taxa de 1,5% ao mês, sendo que a primeira prestação é a entrada 
do financiamento (plano 1 + 11 prestações). 
Determine o valor das prestações. 
Dado: 𝟏, 𝟎𝟏𝟓−𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟔 
a) R$ 8.244,00 
b) R$ 8.655,00 
c) R$ 9.011,00 
d) R$ 9.168,00 
e) R$ 9.755,00 
Comentários: 
Observe que a primeira prestação é paga na entrada, ou seja, estamos lidando com uma série de rendas 
certas Antecipadas cujo Valor Presente é igual a R$ 100.000,00. 
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Vamos aplicar a fórmula do Valor Presente para uma série de rendas certas Antecipadas e calcular o valor P 
da Parcela. 
𝑉𝑃 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] × (1 + 𝑖) 
100.000 = 𝑃 × [
1 − (1 + 0,015)−12
0,015
] × (1 + 0,015) 
100.000 = 𝑃 × [
1 − 0,836
0,015
] × 1,015 
100.000 = 𝑃 ×
0,164
0,015
× 1,015 
𝑃 =
100.000 × 0,015
0,164 × 1,015
 → 𝑷 ≅ 𝟗. 𝟎𝟏𝟏 
 
Gabarito: Alternativa C 
 
(MPU – 2015) A respeito de rendas uniformes, julgue o item a seguir. 
Considere que Maria deseje comprar um bem por R$ 100.000,00 à vista daqui a 4 anos e, para conseguir 
esse valor, ela pretenda fazer depósitos anuais, consecutivos e iguais, que serão corrigidos à taxa de juros 
compostos de 10% ao ano. Suponha ainda que, com esse objetivo, Maria tenha feito o primeiro depósito na 
data de hoje. Nessa situação, considerando 1,61 como valor aproximado para 1,15, é correto afirmar que, 
para obter o valor necessário juntamente com o último depósito, a quantia que Maria deverá depositar 
anualmente é inferior a R$ 16.400,00. 
Comentários: 
Maria deseja comprar um bem por R$ 100.000,00 à vista daqui a 4 anos e realiza depósitos anuais, 
consecutivos e iguais sendo a primeira na data de hoje. 
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Observe que a primeira Parcela é depositada na “data de hoje”, isto é, no momento 𝑡 = 0. 
E se Maria deseja comprar o bem no quarto ano, ela deverá fazer 5 depósitos, uma vez que as rendas são 
antecipadas. 
Sendo assim, vamos aplicar a fórmula do Valor Futuro para uma série de 5 rendas certas Antecipadas que 
será igual a R$ 100.000,00. 
𝑉𝐹 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
100.000 = 𝑃 × [
(1 + 0,1)5 − 1
0,1
] 
100.000 = 𝑃 × [
1,61 − 1
0,1
] 
100.000 = 𝑃 ×
0,61
0,1
 
100.000 = 𝑃 × 6,1 
100.000 = 𝑃 × 6,1 
𝑃 =
100.000
6,1
 → 𝑷 = 𝟏𝟔. 𝟑𝟗𝟑Ou seja, para obter o valor necessário juntamente com o último depósito, a quantia que Maria deverá 
depositar anualmente é INFERIOR a R$ 16.400,00. 
Gabarito: CERTO 
 
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RENDAS PERPÉTUAS CONSTANTES DE TERMOS ILIMITADOS 
O termo perpetuidade sugere fluxos (seja pagamentos ou recebimentos) de duração infinita (sem 
limite) ou, mais precisamente, números de prestações que não podem ser determinadas exatamente. 
Muitos alunos passam direto por este tópico, primeiro porque acham que nunca vai cair e segundo porque, 
às vezes, os materiais carecem de abordar esse tema dando mais ênfase a outras partes da matemática 
financeira que são mais cobradas. 
E já adianto a vocês que o custo benefício de estudar esse tópico é excelente. Veremos que, ao final, este 
tópico estará resumido em uma única fórmula que você precisará decorar e com ela garantirá um ponto 
crucial no seu concurso caso caia este tema em sua prova. 
Rendas Perpétuas Postecipadas 
O Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas é igual a: 
 
𝑽𝑨 =
𝑷
𝒊
 
Onde, 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
 
Há ainda as Rendas Perpétuas Postecipadas com crescimento que são calculadas pela seguinte fórmula: 
 
𝑽𝑨 =
𝑷
𝒊 − 𝒈
 
Onde, 
𝑔 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
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Rendas Perpétuas Antecipadas 
O Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas é igual a: 
 
𝑽𝑨 =
𝑷
𝒊
× (𝟏 + 𝒊) 
 
 
 
Obs. Algumas questões citam apenas “Rendas Perpétuas” sem especificar o período de pagamento. Quando 
isso ocorrer, usamos a primeira fórmula (referente a Rendas Perpétuas Postecipadas) 
 
 
 
 
 
Vejamos algumas questões de concurso sobre esse tema. 
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(SMF Campinas SP – 2019) Uma casa está alugada por R$ 1.550,00 mensais e um investidor pretende 
comprá-la, com a condição de que a taxa de retorno com o aluguel seja de pelo menos 0,9% a.m. Para 
atender essa condição, o máximo que ele deve pagar pela casa é, aproximadamente: 
a) R$ 170.000,00 
b) R$ 200.000,00 
c) R$ 190.000,00 
d) R$ 180.000,00 
e) R$ 210.000,00 
Comentários: 
Perceba que, se o investidor comprar a casa e colocá-la para aluguel, ele ganhará uma renda mensal perpétua 
de R$ 1.500,00. 
Para calcularmos o Valor Atual da casa, basta aplicarmos a fórmula de Valor Atual de uma Renda Perpétua 
(e como falei acima, quando o enunciado não deixar explícito qual o período de pagamento, adotamos 
Postecipado). 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
𝑉𝐴 =
1.550
0,009
 → 𝑽𝑨 ≅ 𝟏𝟕𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa A 
 
(BANESTES – 2018) Um indivíduo pretende acumular um capital C e aplicá-lo à taxa fixa efetiva de 2% ao 
mês, de modo a poder fazer saques mensais de R$ 1.000,00 perpetuamente. 
Se o primeiro desses saques ocorrerá no momento da aplicação desse capital, então C deve ser igual a: 
a) R$ 60.000,00 
b) R$ 59.000,00 
c) R$ 51.000,00 
d) R$ 50.000,00 
e) R$ 49.000,00 
Comentários: 
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45 
 
Observe que, nessa questão, o enunciado deixa explícito que o primeiro saque ocorrerá no momento da 
aplicação, isto é, trata-se de uma série de rendas perpétuas antecipadas. 
Sendo assim, vamos aplicar a fórmula do Valor Atual e calcular o Capital C. 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
× (1 + 𝑖) 
𝐶 =
1.000
0,02
× (1 + 0,02) 
𝐶 = 50.000 × 1,02 → 𝑪 = 𝟓𝟏. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
(ABEPRO – 2018) João ganhou na loteria e, preocupado com sua renda futura, procurou vários planos de 
previdência. A melhor alternativa que ele encontrou foi um plano no qual ele aplica 5 milhões de reais e 
recebe, eternamente, uma remuneração mensal de R$ 30.000,00, a qual, inclusive, é transferida aos 
herdeiros futuros. 
Qual é a taxa interna de retorno deste investimento? 
a) 0,3% ao mês 
b) 0,4% ao mês 
c) 0,5% ao mês 
d) 0,6% ao mês 
e) 0,7% ao mês 
Comentários: 
Observe que a questão não especifica quando ocorrerá o primeiro pagamento de R$ 30.000,00. Então, 
adotaremos a fórmula do Valor Atual para rendas perpétuas postecipadas. 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
5.000.000 =
30.000
𝑖
 
𝑖 =
30.000
5.000.000
 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 𝒐𝒖 𝟎, 𝟔% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa D 
 
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(SMF Niterói RJ – 2015) Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados mensalmente a 
uma taxa de 6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% 
ao mês, é, em reais: 
a) 12.500 
b) 20.000 
c) 22.000 
d) 50.000 
e) 55.000 
Comentários: 
Observe que essa questão nos traz uma taxa de crescimento da parcela perpétua. 
Vamos, então, aplicar a fórmula de Valor Atual de uma série de rendas perpétuas postecipadas com 
crescimento. 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
Onde, 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ? 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 2.000 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,1 
𝑔 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 6% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,06 
Substituindo os valores teremos: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
𝑉𝐴 =
2.000
0,1 − 0,06
 
𝑉𝐴 =
2.000
0,04
 → 𝑽𝑨 = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
Chegamos ao final de mais uma teoria. 
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47 
 
RESUMO DA AULA 
Operações Financeiras 
O objetivo é entender como “transportar” uma parcela no tempo, ou seja, como levar uma parcela presente 
para o futuro (capitalização) e como trazer uma parcela do futuro para o presente (desconto ou 
descapitalização). E isso, vai depender do regime dos juros, se simples ou composto. 
 
 
 No regime de Juros Compostos, se você quiser transportar a parcela para a direita, isto é, para o 
futuro, multiplique pelo fator (1 + 𝑖)𝑡. E se, ao contrário, você pretende trazer a parcela do futuro 
para algum tempo anterior, divida por (1 + 𝑖)𝑡. 
 
 No regime de Juros Simples, a mecânica é a mesma. Porém, o fator de multiplicação/divisão será 
(1 + 𝑖 × 𝑡). 
 
 Obs.: Em juros Simples, o fator de multiplicação/divisão será (1 + 𝑖 × 𝑡) 
 
Equivalência de Capitais 
Dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, são equivalentes quando, transportados para uma 
mesma data na linha do tempo à mesma taxa de juros, resultarem em valores iguais. 
Em matemática financeira, sempre que quisermos comparar dois capitais, devemos transportá-los para uma 
mesma data (a uma mesma taxa de juros). E assim, podemos constatar se são iguais (equivalentes) ou não. 
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48 
 
Em regime de Juros Compostos, a comparação de Capitais NÃO DEPENDE da data focal. Você pode escolher 
em qual data na linha do tempo irá proceder com a equivalência. 
Geralmente, iremos escolher datas futuras para comparar, uma vez que, como estudamos, para transportar 
para o futuro, multiplicamos as parcelas. Enquanto que, para transportar do futuro para o presente, 
dividimos. E acredito que multiplicar, na hora da prova, é mais fácil e mais rápido que dividir. 
 
Rendas Uniformes 
Rendas uniformes (ou rendas certas) consistem em uma série de fluxo de caixa efetuados em intervalos de 
tempos iguais onde as parcelas são constantes, isto é, pagamentos (ou recebimentos) iguais em intervalos 
de tempos iguais. 
 
 
Fator de Valor Atual 
O fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Atual é chamado de Fator de Valor Atual. 
 
𝒂𝒏¬𝒊 = [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 
 
Algumas bancas, ao invés de fornecer para os cálculos, o Fator de Valor Atual, informam o Fator de 
Recuperação de Capital (FRC) que matematicamente significa o inverso do Fator de Valor Atual. 
 
𝑭𝑹𝑪 =
𝟏
𝒂𝒏¬𝒊
 
 
 
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49 
 
Fator de Valor Futuro 
O fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Futuro é chamado de Fator de Valor Futuro ou Fator de 
Acumulação de Capitais. 
 
𝑺𝒏¬𝒊 = [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑖𝑠 
 
 
Algumas bancas ao invés de fornecer, para os cálculos, o Fator de Valor Futuro, informam o Fator de 
Formação de Capital (FFC) que matematicamente significa o inverso do Fator de Valor Futuro. 
 
𝑭𝑭𝑪 =
𝟏
𝑺𝒏¬𝒊
 
 
Perpetuidade 
O termo perpetuidade sugere fluxos (seja pagamentos ou recebimentos) de duração infinita (sem 
limite) ou, mais precisamente, números de prestações que não podem ser determinadas exatamente. 
 
 
 
 
 
 
 
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50 
 
QUESTÕES COMENTADAS - CESGRANRIO 
Equivalência de Capitais 
1. (CESGRANRIO / BB - 2015) Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no 
regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante 
aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no 
investimento. 
A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? 
Dado: √76 = 8,7 
a) 7,40% a 7,89% 
b) 8,40% a 8,89% 
c) 6,40% a 6,89% 
d) 6,90% a 7,39% 
e) 7,90% a 8,39% 
Comentários: 
 
Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de Juros Compostos, resgantando 
20 mil em 6 meses e 36 mil em 1 ano. 
Vejamos graficamente: 
 
Observe que, como a banca nos questiona a taxa semestral, colocamos a unidade do tempo já em semestre. 
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51 
 
Vamos escolher uma data focal e fazer a equivalência de capitais. 
Na parte teórica, eu expliquei e demonstrei o porquê de levar as parcelas para o futuro. Como esta é a 
primeira questão, vamos rever para consolidar que, independentemente da data focal escolhida em Juros 
Compostos, o resultado será igual. 
Iremos supor que você escolheu a data zero (𝑡 = 0) para equivaler os Capitais. Lembrando que em regime 
de Juros Compostos: 
 
Então ficaremos com: 
50.000 =
20.000
(1 + 𝑖)1
+
36.000
(1 + 𝑖)2
 
Perceba que deslocamos a parcela de 20.000 uma unidade para a esquerda (do tempo "1" para o tempo "0") 
e deslocamos a parcela de 36.000 duas unidades para a esquerda (do tempo "2" para o tempo "0"). 
Para "sumir" com os denominadores, vamos multiplicar toda a equação por (1 + 𝑖)2. 
50.000 =
20.000
(1 + 𝑖)1
+
36.000
(1 + 𝑖)2
 × (1 + 𝑖)2 
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝐢)𝟐 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝐢)𝟏 + 𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎 
Vamos segurar esta equação. 
Agora, ao invés de fazer a equivalência de capitais no tempo 𝑡 = 0, vamos equivaler no tempo 𝑡 = 2. 
 
No tempo 𝑡 = 2 teremos: 
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52 
 
𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝒊)𝟐 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝒊)𝟏 + 𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎 
Veja que levamos a parcela de 50.000 duas unidades para a direita, logo multiplicamos pelo fator (1 + 𝑖)2, 
e levamos a parcela de 20.000 uma unidade para a direita. A parcela de 36.000 já está no tempo 𝑡 = 2. 
Observe que esta equação que chegamos é IDÊNTICA a equação que chegamos quanto fizemos a 
equivalência no tempo 𝑡 = 0. 
 
"Ah professor, você está enrolando demais" 
É verdade, caro Aluno. Quis, mais uma vez, passar pra você que, independetemente do tempo focal 
escolhido, a equivalência em regime de Juros Compostos, será obedecida. 
Nos próximos exercícios vamos escolher a data focal e, sem perder tempo, vamos resolver nossos problemas 
assim como você fará na prova. Este primeiro exercício está mais como revisão da teoria. 
Enfim, dito tudo isto, resolveremos o exercício. Vamos escolher uma das equações e calcular o valor da taxa. 
50.000 × (1 + 𝑖)2 = 20.000 × (1 + 𝑖)1 + 36.000 
Nesse caso, vamos chamar (𝟏 + 𝒊) = 𝒚, substituir acima e calcular 𝑦. 
 
Desde já aviso a você, caro aluno: o Cesgranrio sempre cobra o uso da incógnita auxiliar e da fórmula de 
Bhaskara em suas questões de Equivalência de Capitais. É uma boa hora de você revisar estes conceitos que 
também estão no seu Edital na parte de Matemática. 
Vamos então substituir (1 + 𝑖) = 𝑦 e continuar com as contas. 
50.000 × (1 + 𝑖)2 = 20.000 × (1 + 𝑖)1 + 36.000 
50.000 × 𝑦2 = 20.000 × 𝑦1 + 36.000 
50𝑦2 = 20𝑦 + 36 
50𝑦2 − 20𝑦 − 36 = 0 
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Calculando 𝑦 por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑦 =
−(−20) ± √(−20)2 − 4 × (50) × (−36)
2 × 50
 
𝑦 =
20 ± √400 + 7.200
100
 
𝑦 =
20 ± √7.600
100
 
O enunciado nos informa que √76 = 8,7. Iremos manipular algebricamente para ter esta igualdade. 
𝑦 =
20 ± √76 × 100
100
 
𝑦 =
20 ± √76 × √100
100
 
Pessoal, todos esses passos advêm da matemática básica (que também cai no seu curso). É uma boa hora, 
conforme relatei acima, de revisar equação do segundo grau e propriedades da radiciação. Continuando: 
𝑦 =
20 ± 8,7 × 10
100
 
𝑦 =
20 ± 87
100
 
{
 
 
 
 
 
 𝑦1 =
20 + 87
100
=
107
100
 → 𝑦1 = 1,07
 
 
 
𝑦2 =
20 − 87
100 
 
Perceba que 𝒚𝟐 daria um número negativo (taxa negativa) e isto não nos interessa. Logo, nem continuamos 
com as contas para seu cáculo. 
Encontramos então que: 
𝑦 = 1,07 
Por fim, vamos calcular o valor da taxa de juros: 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
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(1 + 𝑖) = 1,07 
𝑖 = 1,07 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟕 𝒐𝒖 𝟕% 𝒂𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 
Logo, a taxa semestral de juros proporcionadapor esse investimento pertence ao intervalo: 6,90% a 7,39%. 
Gabarito: Alternativa D 
 
2. (CESGRANRIO / BB - 2012) Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse 
aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais 
iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. 
O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de 
a) 704,00 
b) 705,60 
c) 719,00 
d) 739,20 
e) 806,40 
Comentários: 
Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista ou em duas prestações de valor 𝑃 sendo uma 
no ato da compra e outra, um mês após. Vejamos graficamente: 
 
As duas fomar de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os Capitais no tempo 𝑡 = 1 e encontrar o 
valor da Parcela 𝑃. 
1.344 × (1 + 𝑖) = 𝑃 × (1 + 𝑖) + 𝑃 
Para uma taxa de juros de 10% ao mês teremos: 
1.344 × (1 + 0,1) = 𝑃 × (1 + 0,1) + 𝑃 
1.344 × 1,1 = 1,1𝑃 + 𝑃 
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1.478,4 = 2,1𝑃 
𝑃 =
1.478,4
2,1
 → 𝑷 = 𝟕𝟎𝟒 
Gabarito: Alternativa A 
 
3. (CESGRANRIO / Liquigas - 2018) Uma empresa fez um contrato no valor de 500 mil reais com 
um fornecedor que lhe ofereceu duas formas de pagamento: 
Opção I – Pagar à vista com 10% de desconto, na data da assinatura do contrato. 
Opção II – Pagar a prazo, em duas parcelas mensais, iguais e sucessivas de 250 mil reais cada, com 
vencimentos para 1 e 2 meses, respectivamente, contados a partir da assinatura do contrato. 
A taxa mensal de juro composto implícita na opção II, quando comparada ao valor à vista da opção I, é de, 
aproximadamente, 
Dado: √205 = 14,32 
a) 5,0% 
b) 5,8% 
c) 6,5% 
d) 7,3% 
e) 7,8% 
Comentários: 
Vamos representar graficamente as 2 opções de compra. 
 
Observe que a primeira opção de compra tem 10% de desconto em cima dos 500mil. Logo: 
𝑃à 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 500 −
10
100
× 500 
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𝑃à 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 500 − 50 → 𝑷à 𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = 𝟒𝟓𝟎 
As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos 
na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 teremos: 
450 × (1 + 𝑖)2 = 250 × (1 + 𝑖) + 250 
Nesse caso, vamos chamar (1 + 𝑖) = 𝑦, substituir acima e calcular 𝑦. 
 
Já percebeu que a Cesgranrio ama trabalhar com equação do segundo grau em equivalência de Capitais né? 
450 × (1 + 𝑖)2 = 250 × (1 + 𝑖) + 250 
450 × 𝑦2 = 250 × 𝑦 + 250 
450𝑦2 − 250𝑦 − 250 = 0 
Simplificando toda a equação por 50: 
9𝑦2 − 5𝑦 − 5 = 0 
Calculando 𝑦 por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑦 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 × (9) × (−5)
2 × 9
 
𝑦 =
5 ± √25 + 180
18
 
𝑦 =
5 ± √205
18
 
O enunciado nos informa que √205 = 14,32. 
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𝑦 =
5 ± 14,32
18
 
{
 
 
 
 
 
 𝑦1 =
5 + 14,32
18
=
19,32
18
 → 𝒚𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟕𝟑
 
 
 
𝑦2 =
5 − 14,32
18 
 
Perceba que 𝑦2 daria um número negativo (taxa negativa) e isto não nos interessa. Logo, nem continuamos 
com as contas para seu cáculo. 
Encontramos então que: 
𝒚 = 𝟏, 𝟎𝟕𝟑 
Por fim, vamos calcular o valor da taxa de juros: 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
(1 + 𝑖) = 1,073 
𝑖 = 1,073 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟑 𝒐𝒖 𝟕, 𝟑% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa D 
 
4. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Uma dívida no valor de 20 milhões de reais foi dividida, 
em janeiro de 2018, em duas parcelas anuais postecipadas, sendo a primeira no valor de 12 
milhões de reais, com vencimento para janeiro de 2019, e a segunda de 14,4 milhões de reais, 
com vencimento para janeiro de 2020. 
Nessas condições, a taxa de juro anual cobrada no financiamento dessa dívida, no regime de juros 
compostos, foi de 
a) 2% 
b) 10% 
c) 12% 
d) 20% 
e) 22% 
Comentários: 
Vejamos graficamente o pagamento da dívida. 
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58 
 
 
Observe que as parcelas são postecipadas, ou seja, pagas no final do período. Se a parcela de 12 milhões, 
por exemplo, fosse antecipada ela seria paga no tempo 𝑡 = 0 (seria uma entrada). 
Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2. Lembrando que: 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 teremos: 
20 × (1 + 𝑖)2 = 12 × (1 + 𝑖) + 14,4 
 
"Professor, mais uma questão da Cesgranrio que teremos que fazer Bhaskara?" 
Justamente, caro Aluno. Mas aqui tem um ponto interessante que difere das demais questões. Observe as 
alternativas. São números "redondos". Nas outras questões os números eram decimais. 
Então, ao invés de fazermos por Bhaskara, poderíamos tentar por chute. Pegar as alternativas e substituir na 
equação acima para ver se o lado direito é igual ao esquerdo. 
 Por exemplo, vamos chutar 10% (que é o mais lógico dentre as alternativas a se chutar). 
20 × (1 + 𝑖)2 = 12 × (1 + 𝑖) + 14,4 
20 × (1 + 0,1)2 = 12 × (1 + 0,1) + 14,4 
20 × 1,21 = 12 × 1,1 + 14,4 
24,2 = 13,2 + 14,4 
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59 
 
24,2 = 27,6 
Perceba que não houve a igualdade. Logo, 10% NÃO é a resposta. 
 
 Vamos chutar 20%. 
20 × (1 + 𝑖)2 = 12 × (1 + 𝑖) + 14,4 
20 × (1 + 0,2)2 = 12 × (1 + 0,2) + 14,4 
20 × 1,44 = 12 × 1,2 + 14,4 
28,8 = 14,4 + 14,4 
28,8 = 28,8 
Observe que houve a igualdade. Sendo assim, nosso gabarito seria 𝒊 = 𝟐𝟎% ao ano. 
Porém, como nem tudo é perfeito, acredito que na sua prova irá vir uma questão com números decimais 
em que você terá que resolver por Bhaskara. 
Vamos então resolver esta questão também pelo uso da incógnita auxilar. 
20 × (1 + 𝑖)2 = 12 × (1 + 𝑖) + 14,4 
Iremos chamar (1 + 𝑖) = 𝑦, substituir acima e calcular 𝑦. 
20 × 𝑦2 = 12 × 𝑦 + 14,4 
20𝑦2 − 12𝑦 − 14,4 = 0 
Calculando 𝑦 por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑦 =
−(−12) ± √(−12)2 − 4 × (20) × (−14,4)
2 × 20
 
𝑦 =
12 ± √144 + 1.152
40
 
𝑦 =
12 ± √1.296
40
 
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60 
 
𝑦 =
12 ± 36
40
 
{
 
 
 
 
 
 𝑦1 =
12 + 36
40
=
48
40
 → 𝒚𝟏 = 𝟏, 𝟐
 
 
 
𝑦2 =
12 − 36
40 
 
Perceba que 𝒚𝟐 daria um número negativo (taxa negativa) e isto não nos interessa. Logo, nem continuamos 
com as contas para seu cáculo. 
Encontramos então que: 
𝒚 = 𝟏, 𝟐 
Por fim, vamos calcular o valor da taxa de juros: 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
(1 + 𝑖) = 1,2 
𝑖 = 1,2 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟐 𝒐𝒖 𝟐𝟎% 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 
Gabarito: Alternativa D 
 
5. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2018) Uma mercadoria no valor A será comprada em duas 
parcelas iguais a p, calculadas a partir de uma taxade juros mensal fixa i, no regime de juros 
compostos, sendo a primeira parcela paga 1 mês após a compra, e a segunda, 2 meses após a 
compra. 
A expressão da taxa i de correção do dinheiro, usada pela loja para calcular as parcelas, é dada por 
a) 𝑖 =
𝑝
𝐴
 
b) 𝑖 =
𝑝+√𝑝2−4𝐴𝑝
2𝐴
 
c) 𝑖 =
𝑝+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
d) 𝑖 =
𝑝+𝐴+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
e) 𝑖 =
𝑝−2𝐴+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
Comentários: 
Vamos representar graficamente as opções de compra. 
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61 
 
 
 
Observe que é o mesmo estilo de questão. A Cesgranrio gosta tanto de uma equivalência de capitais por 
fórmula de Bhaskara que, nesta questão, ela não oferece nem valores. Ela trabalha com a própria incógnita. 
Ou seja, é o mesmo estilo de questão. Porém, sem valores e sim com letras. 
Vamos lá (estamos ficando expert em Bhaskara). Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2. 
𝐴 × (1 + 𝑖)2 = 𝑝 × (1 + 𝑖) + 𝑝 
Iremos chamar (1 + 𝑖) = 𝑦, substituir acima e calcular 𝑦. 
𝐴 × 𝑦2 = 𝑝 × 𝑦 + 𝑝 
𝐴𝑦2 − 𝑝𝑦 − 𝑝 = 0 
Calculando 𝑦 por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑦 =
−(−𝑝) ± √(−𝑝)2 − 4 × (𝐴) × (−𝑝)
2 × 𝐴
 
𝑦 =
𝑝 ± √𝑝2 + 4𝐴𝑝
2𝐴
 
Vimos que apenas nos interessa o valor com soma, uma vez que o valor com subtração resultará em taxa 
negativa (não nos interessa). 
Logo: 
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62 
 
𝒚 =
𝒑 + √𝒑𝟐 + 𝟒𝑨𝒑
𝟐𝑨
 
 
 
Cuidado para não marcar a Letra C. Achamos o valor de 𝑦. A banca nos questiona o VALOR DA TAXA 𝒊. 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
1 + 𝑖 =
𝑝 + √𝑝2 + 4𝐴𝑝
2𝐴
 
𝑖 =
𝑝 + √𝑝2 + 4𝐴𝑝
2𝐴
− 1 
𝑖 =
𝑝 + √𝑝2 + 4𝐴𝑝 − 2𝐴
2𝐴
 
Reordenando: 
𝒊 =
𝒑 − 𝟐𝑨 + √𝒑𝟐 + 𝟒𝑨𝒑
𝟐𝑨
 
Gabarito: Alternativa E 
 
6. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Uma empresa avalia a compra de uma máquina junto a 
dois fornecedores, os quais, apesar de venderem com o mesmo preço inicial de 2 milhões de 
reais, ofereceram planos de pagamento diferentes. O fornecedor A ofereceu um desconto de 
10% e prazo para pagamento único exatamente após 1 mês da data da compra; o fornecedor B 
ofereceu um desconto de 12% para pagamento à vista. 
Considerando-se uma taxa de 5% ao mês para o custo do dinheiro que será usado nessa operação, a 
economia, em milhares de reais, que pode ser feita se o comprador escolher a decisão mais econômica, 
baseada na equivalência de capitais, pertence ao intervalo 
a) [45; 46[ 
b) [46; 47[ 
c) [47; 48[ 
d) [48; 49[ 
e) [49; 50] 
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Comentários: 
 
Vamos calcular o Valor Presente das duas opções de pagamento e constatar qual é mais vantajosa e, 
posteriormente, analisar a economia feita pelo comprador. 
 O fornecedor A ofereceu um desconto de 10% e prazo para pagamento único exatamente após 1 
mês da data da compra. Graficamente teremos: 
 
Observe que é oferecido desconto de 10% em cima do valor de R$ 2.000.000,00. Logo, o valor a ser pago 1 
mês após é igual a: 
𝑉𝐹 = 2.000.000 −
10
100
× 2.000.000 
𝑉𝐹 = 2.000.000 − 200.000 → 𝑽𝑭 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Iremos agora, calcular o Valor Presente (𝑡 = 0) para uma taxa de 5% ao mês: 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑡
 
𝑉𝑃𝐴 =
1.800.000
(1 + 0,05)1
 
𝑉𝑃𝐴 =
1.800.000
1,05
 → 𝑽𝑷𝑨 = 𝟏. 𝟕𝟏𝟒. 𝟐𝟖𝟓 
 O fornecedor B ofereceu um desconto de 12% para pagamento à vista. 
Ou seja, o Valor oferecido pelo fornecedor B já é o Valor Presente de B. Já está no tempo 𝑡 = 0. 
𝑉𝑃𝐵 = 2.000.000 −
12
100
× 2.000.000 
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𝑉𝑃𝐵 = 2.000.000 − 240.000 → 𝑽𝑷𝑩 = 𝟏. 𝟕𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Logo, a opção do fornecedor A é mais vantajosa e a economia será de: 
𝑒 = 1.760.000 − 1.714.285 → 𝒆 = 𝟒𝟓. 𝟕𝟏𝟓 
Esta economia está no intervalo, em milhares, [45; 46[. 
Gabarito: Alternativa A 
 
7. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Um analista avalia a compra de um equipamento, cujo 
preço inicial, em dois fornecedores diferentes, foi orçado em 10 milhões de reais. O fornecedor 
I ofereceu um desconto de 12% e prazo para pagamento único exatamente após 1 mês. O 
fornecedor II ofereceu um desconto de 13% para pagamento à vista. 
Considerando-se uma taxa de 3% ao mês para o custo do dinheiro que será usado na operação, a economia, 
em milhares de reais, que pode ser feita se o comprador escolher a decisão mais econômica, baseada na 
equivalência de capitais, pertence ao intervalo: 
a) [155, 160] 
b) [161, 165] 
c) [166, 170] 
d) [171, 175] 
e) [176, 180] 
Comentários: 
Mais uma questão recente da Cesgranrio com os moldes da questão anterior. Acredito que uma questão 
deste estilo estará na sua prova. 
Vamos calcular o Valor Presente das duas opções de pagamento e constatar qual é mais vantajosa e, 
posteriormente, analisar a economia feita pelo comprador. 
 O fornecedor I ofereceu um desconto de 12% e prazo para pagamento único exatamente após 1 mês. 
Graficamente teremos: 
 
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Observe que é oferecido desconto de 12% em cima do valor de R$ 10.000.000,00. Logo, o valor a ser pago 1 
mês após é igual a: 
𝑉𝐹 = 10.000.000 −
12
100
× 10.000.000 
𝑉𝐹 = 2.000.000 − 1.200.000 → 𝑽𝑭 = 𝟖. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Iremos agora, calcular o Valor Presente (𝑡 = 0) para uma taxa de 3% ao mês: 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑡
 
𝑉𝑃𝐼 =
8.800.000
(1 + 0,03)1
 
𝑉𝑃𝐼 =
8.800.000
1,03
 → 𝑽𝑷𝑰 ≅ 𝟖. 𝟓𝟒𝟑. 𝟔𝟗𝟎 
 O fornecedor II ofereceu um desconto de 13% para pagamento à vista. 
Ou seja, o Valor oferecido pelo fornecedor II já é o Valor Presente de II. Já está no tempo 𝑡 = 0. 
𝑉𝑃𝐼𝐼 = 10.000.000 −
13
100
× 10.000.000 
𝑉𝑃𝐼𝐼 = 10.000.000 − 1.300.000 → 𝑽𝑷𝑰𝑰 = 𝟖. 𝟕𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Logo, a opção do fornecedor I é mais vantajosa e a economia será de: 
𝑒 = 8.700.000 − 8.543.690 → 𝒆 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟑𝟏𝟎 
Esta economia está no intervalo, em milhares, [155, 160]. 
Gabarito: Alternativa A 
 
8. (CESGRANRIO / BR - 2015) Uma pessoa pretende comprar um novo smartphone. Na loja, o 
smartphone é vendido em duas vezes sem entrada, isto é, o cliente não paga nada no ato da 
compra e paga duas prestações: uma ao final do primeiro mês, e outra ao final do segundo mês. 
As prestações são de R$ 441,00, e a loja informa que cobra juros de 5% ao mês. 
O preço à vista desse smartphone, em reais, é 
a) 800 
b) 820 
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c) 840 
d) 880 
e) 882 
Comentários: 
 
Nesse caso, o Valor Presente (à vista) será igual a soma do Valor Presente da primeira parcela mais o Valor 
Presente da segunda parcela. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
Para calcular o Valor Presente vamos utilizar a fórmula estudada para o regime de juros compostos e calcular 
cada parcela separadamente. 
Perceba que a primeira parcela será descontada por um período de 1 mês enquantoque a segunda parcela 
será descontada por um período de 2 meses. 
𝑉𝑃1 =
𝑉𝐹1
(1 + 𝑖)𝑡1
 → 𝑉𝑃1 =
441
(1 + 0,05)1
=
441
1,05
 → 𝑽𝑷𝟏 = 𝟒𝟐𝟎 
𝑉𝑃2 =
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2
 → 𝑉𝑃2 =
441
(1 + 0,05)2
=
441
1,1025
 → 𝑽𝑷𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 
 
Logo, o Valor Presente desse fluxo de caixa será igual a: 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 
𝑉𝑃 = 420 + 400 → 𝑽𝑷 = 𝟖𝟐𝟎 
Gabarito: Alternativa B 
 
9. (CESGRANRIO / FINEP - 2014) Uma prestadora de serviços realizará um trabalho para uma 
empresa no valor total de R$ 150.000,00. Para tal, ofereceu duas formas de pagamento, 
conforme descritas a seguir: 
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67 
 
Opção I – Pagamento de 40% no ato da assinatura do contrato e os 60% restantes três meses depois da 
assinatura. 
Opção II – Pagamento de 50% um mês após a assinatura do contrato e outros 50% restantes dois meses após 
a assinatura. 
A empresa escolheu a opção cujo fluxo de pagamentos tivesse o menor valor presente na data da assinatura 
do contrato, considerando uma taxa de 48% ao ano, capitalizados mensalmente. 
O valor mais próximo, em reais, do valor presente do fluxo de pagamentos da opção escolhida, na data do 
contrato, é 
a) 132.000,00 
b) 139.200,00 
c) 140.000,00 
d) 141.000,00 
e) 141.500,00 
Comentários: 
 
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva. 
Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização. Observe que a taxa fornecida no enunciado é uma taxa nominal. 
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 48% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
Em 1 ano há 12 meses. Então, a Taxa Efetiva mensal igual a: 
𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 =
48%
12
 → 𝒊𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟒% 𝒂.𝒎. 
✓ Essa será a taxa que devemos utilizar no exercício. 
Vamos calcular separadamente o Valor Presente de cada opção e constatar qual será a escolhida. 
 Opção I – Pagamento de 40% (40% de 150.000 é igual a 60.000) no ato da assinatura do contrato e 
os 60% restantes (90.000) três meses depois da assinatura. 
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O Valor Presente desse fluxo de caixa será igual a: 
𝑉𝑃 = 60.000 +
90.000
(1 + 0,04)3
 
𝑉𝑃 = 60.000 +
90.000
1,043
 
𝑉𝑃 = 60.000 +
90.000
1,1249
 
𝑉𝑃 ≅ 60.000 + 80.000 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟏𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
 Opção II – Pagamento de 50% um mês após a assinatura do contrato e outros 50% restantes dois 
meses após a assinatura. 
 
O Valor Presente desse fluxo de caixa será igual a: 
𝑉𝑃 =
75.000
(1 + 0,04)1
+
75.000
(1 + 0,04)2
 
𝑉𝑃 =
75.000
1,04
+
75.000
1,042
 
𝑉𝑃 =
75.000
1,04
+
75.000
1,0816
 
𝑉𝑃 ≅ 72.115 + 69.342 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟏𝟒𝟏. 𝟒𝟓𝟕 
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Ou seja, a empresa escolheu a Opção I (menor valor presente na data da assinatura) que tem Valor Presente 
igual a, aproximadamente, R$ 140.000,00. 
Gabarito: Alternativa C 
 
10. (CESGRANRIO / IBGE - 2013) Uma empresa de TIC oferece um serviço no valor total de R$ 
200.000,00 a ser pago pela contratante, em três parcelas, distribuídas da seguinte forma: 
1ª parcela: R$ 60.000,00, no ato da contratação 
2ª parcela: R$ 40.000,00, para 2 meses após a assinatura do contrato 
3ª parcela: R$ 100.000,00, para 3 meses após a assinatura do contrato 
Considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 1% a.m., o valor mais próximo do valor atual desse 
contrato, em reais, é de 
a) 196.200,00 
b) 196.270,00 
c) 197.600,00 
d) 197.630,00 
e) 198.610,00 
Comentários: 
Vamos representar graficamente o pagamento parcelado. 
 
Nesse caso, o Valor Presente (à vista) será igual a soma do Valor Presente da primeira parcela (que já está 
no tempo 𝑡 = 0) mais o Valor Presente da segunda parcela mais o valor presente da terceira parcela. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 + 𝑉𝑃3 
𝑉𝑃 = 60.000 +
40.000
(1 + 0,01)2
+
100.000
(1 + 0,01)3
 
𝑉𝑃 = 60.000 +
40.000
1,012
+
100.000
1,013
 
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𝑉𝑃 = 60.000 +
40.000
1,0201
+
100.000
1,0303
 
𝑉𝑃 ≅ 60.000 + 39.212 + 97.059 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟏𝟗𝟔. 𝟐𝟕𝟏 
Gabarito: Alternativa B 
 
11. (CESGRANRIO / CEF - 2012) Um empreendedor tomou emprestado um determinado valor para 
iniciar um pequeno negócio. O empréstimo deveria ser pago em prestações mensais e iguais. 
Na data da antepenúltima prestação, o empreendedor resolveu quitar a dívida, pagando as três 
parcelas restantes de uma só vez. 
Sabendo-se que o valor de cada parcela é de R$ 100,00 e que a taxa contratada é de 10 % ao mês, o valor, 
em reais, da liquidação das prestações foi de 
a) 150 
b) 165 
c) 173 
d) 187 
e) 273 
Comentários: 
Vejamos graficamente o pagamento das últimas parcelas. 
 
Observe que não nos importa saber a quantidade de parcelas passadas. A questão quer saber o Valor 
Presente das três parcelas restantes no pagamento da antepenúltima parcela. 
O que nos importa saber para a fórmula do Valor Presente é quantos meses a parcela se "deslocou" no 
tempo. 
Então, o valor de liquidação (valor presente no tempo da antepenúltima parcela) será igual a: 
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𝑉𝑃 = 100 +
100
(1 + 0,1)1
+
100
(1 + 0,1)2
 
Perceba que a primeira parcela de 100 já está no tempo da antepenúltima parcela. A segunda prestação de 
100 foi deslocada 1 unidade para a esquerda e a terceira parcela de 100 foi deslocada 2 unidades para a 
esquerda. 
Continuando os cálculos e calculando o valor de liquidação teremos: 
𝑉𝑃 = 100 +
100
1,11
+
100
1,12
 
𝑉𝑃 = 100 +
100
1,1
+
100
1,21
 
𝑉𝑃 ≅ 100 + 91 + 83 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟐𝟕𝟒 
Gabarito: Alternativa E 
 
12. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Uma loja oferece duas opções de pagamento aos clientes. 
A primeira opção é à vista, com desconto de 5%, e a segunda é a prazo, com dois pagamentos 
mensais iguais, sendo o primeiro no ato da compra, e o segundo, um mês após a compra. 
A taxa mensal dos juros pagos por quem opta pela compra a prazo é, de, aproximadamente, 
a) 2,5% 
b) 5,0% 
c) 5,5% 
d) 10,0% 
e) 11,1% 
Comentários: 
Vamos arbitrar um valor de 100 para facilitar nossas contas. Iremos representar graficamente as 2 opções 
de compra. 
 
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Perceba que se ele pagar à vista tem 5% de desconto, ou seja, pagará 95 reais. Ou, como o valor arbitrado é 
100, se ele pagar parcelado, pagará duas parcelas iguais de 50 reais. 
Vamos equivaler os Capitais na data 𝑡 = 0 e calcular a taxa de juros por quem opta pela compra a prazo. 
95 = 50 +
50
(1 + 𝑖)1
 
95 − 50 =
50
1 + 𝑖
 
45 =
50
1 + 𝑖
 
1 + 𝑖 =
50
45
 
1 + 𝑖 = 1,111 
𝑖 = 1,111 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟏, 𝟏% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa E 
 
13. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Umproduto é vendido à vista com 10% de desconto ou a 
prazo em dois pagamentos, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo 2 meses após a 
compra. 
Qual é, aproximadamente, a taxa mensal de juros no pagamento a prazo? 
Dado: √5 = 2,24 
a) 10% 
b) 11% 
c) 12% 
d) 24% 
e) 25% 
Comentários: 
A questão comete um pequeno deslize ao não informar que os dois pagamentos são de valores iguais. 
Caberia recurso. Porém, a questão não foi anulada. Perceba que na questão acima a banca deixa explícita tal 
informação. 
Vamos arbitrar um valor de 100 para o produto. Vejamos graficamente as duas pções de compra. 
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Observe que se ele pagar à vista tem 10% de desconto, ou seja, pagará 90 reais. Ou, como o valor arbitrado 
é 100, se ele pagar parcelado, pagará duas parcelas iguais de 50 reais. 
Vamos equivaler os Capitais na data 𝑡 = 0 e calcular a taxa de juros por quem opta pela compra a prazo. 
90 = 50 +
50
(1 + 𝑖)2
 
90 − 50 =
50
(1 + 𝑖)2
 
40 =
50
(1 + 𝑖)2
 
(1 + 𝑖)2 =
5
4
 
1 + 𝑖 = √
5
4
 
1 + 𝑖 =
√5
√4
 
O enunciado nos informa que √5 = 2,24. 
1 + 𝑖 =
2,24
2
 
1 + 𝑖 = 1,12 
𝑖 = 1,12 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝒐𝒖 𝟏𝟐% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa C 
 
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74 
 
14. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Uma loja oferece aos clientes duas opções de pagamento. 
A primeira opção é à vista, com desconto de d%, e a segunda é a prazo, com uma entrada de 
30%, e o restante um mês após a compra. 
Sabendo-se que a taxa mensal de juros efetiva é 5% ao mês, o valor da taxa de desconto, d, a ser oferecido 
aos clientes que optarem pela compra à vista, de modo a tornar indiferentes as duas opções de pagamento, 
é, aproximadamente, de 
a) 2,5% 
b) 3,3% 
c) 4,6% 
d) 5,0% 
e) 5,3% 
Comentários: 
Perceba que é uma questão similar às duas anteriores. Porém, nesta questão, ele pede o desconto que deve 
ser aplicado ao valor de venda para tornar equivalente as duas opções pagamento. Antes, a banca nos 
questionava a taxa de juros. Neste, já é fornecida a taxa. 
Vamos arbitrar um valor de 100 para o produto. Vejamos graficamente as duas pções de compra. 
 
Observe que, conforme informado pelo enunciado, há uma entrada de 30% do valor (30 reais, já que o valor 
arbitrado é 100) e o restante (70%) pago um mês após. Vamos calcular o valor de P que torna as 2 opções 
equivalentes. 
𝑃 = 30 +
70
(1 + 0,05)1
 
𝑃 = 30 +
70
1,05
 
𝑃 = 30 + 66,67 → 𝑷 = 𝟗𝟔, 𝟔𝟕 
O valor arbitrado do produto é 100 reais. Para o valor à vista ser 96,67 devemos conceder um desconto de: 
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75 
 
100 −
𝑑
100
× 100 = 96,67 
100 − 𝑑 = 96,67 
𝑑 = 100 − 96,67 → 𝒅 = 𝟑, 𝟑𝟑 
Gabarito: Alternativa B 
 
15. (CESGRANRIO / BR - 2012) Uma pessoa tem três dívidas com uma instituição bancária. A 
primeira é de R$ 50.000,00, a segunda é de R$ 100.000,00 e a última, de R$ 20.000,00. Os 
vencimentos das dívidas são, respectivamente, daqui a 2, 3 e 4 meses. 
Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a um mês, qual deverá ser o valor do 
mesmo, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? 
a) R$ 157.615,27 
b) R$ 160.767,58 
c) R$ 163.982,93 
d) R$ 167.262,59 
e) R$ 170.607,84 
Comentários: 
Vamos representar graficamente as dívidas e a opção de liquidação: 
 
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76 
 
 
Observe que as dívidas serão quitadas no tempo 𝒕 = 𝟏, isto é, daqui a 1 mês. 
Vamos calcular o Valor Presente de liquidação da dívida. 
𝑉𝑃 =
50.000
(1 + 𝑖)1
+
100.000
(1 + 𝑖)2
+
20.000
(1 + 𝑖)3
 
Para uma taxa de juros compostos de 2% ao mês teremos um valor aproximadamente igual a: 
𝑉𝑃 =
50.000
(1 + 0,02)1
+
100.000
(1 + 0,02)2
+
20.000
(1 + 0,02)3
 
𝑉𝑃 =
50.000
1,02
+
100.000
1,022
+
20.000
1,023
 
𝑉𝑃 =
50.000
1,02
+
100.000
1,0404
+
20.000
1,061
 
𝑉𝑃 ≅ 49.020 + 96.117 + 18.850 → 𝑽𝑷 = 𝟏𝟔𝟑. 𝟗𝟖𝟕 
Gabarito: Alternativa C 
 
16. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2012) Utilizar o ferramental disponibilizado pela matemática 
financeira corretamente requer que se considere o valor do dinheiro no decorrer do tempo. 
Isso quer dizer que, a uma taxa de juros efetiva maior que zero, uma determinada unidade monetária 
apresenta 
a) o mesmo valor financeiro independente da data focal. 
b) o mesmo valor financeiro para o tempo zero e para uma data focal à frente. 
c) valores financeiros distintos em datas focais distintas. 
d) valores financeiros crescentes, à medida que se aproxima do tempo zero. 
e) valores futuros decrescentes, à medida que se distancia do tempo zero. 
Comentários: 
Vamos observar a fórmula do Valor Futuro em regime de Juros Compostos (a mesma análise se aplica em 
regime de juros simples). 
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𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒕 
Perceba que, para um mesmo Valor Presente 𝑉𝑃 e uma mesma taxa de juros 𝑖, quanto MAIOR o tempo, 
MAIOR o Valor Futuro 𝑉𝐹. 
Por exemplo, vamos imaginar uma parcela de R$ 100,00 na data de hoje (𝑉𝑃 = 100). Vamos calcular o Valor 
Futuro no tempo 𝑡 = 2 e 𝑡 = 3 para uma taxa de juros de 10% ao período. 
𝑉𝐹 = 100 × (1 + 0,1)2 = 100 × 1,12 = 100 × 1,21 = 𝟏𝟐𝟏 
𝑉𝐹 = 100 × (1 + 0,1)3 = 100 × 1,13 = 100 × 1,331 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟏 
Então, como constatado, valores futuros são CRESCENTES, à medida que se distancia do tempo zero. Quanto 
mais longe no tempo, maiores os valores financeiros. 
Observe que para o tempo 𝑡 = 2 temos um valor de R$ 121,00; enquanto que para o tempo 𝑡 = 3, temos 
um valor de R$ 133,10. 
E, por comparação, os valores financeiros são DECRESCENTES, à medida que se aproxima do tempo zero. 
E, também como analisado, para cada tempo 𝑡 os valores financeiros serão distintos. Esta é a essência da 
matemática finaceira. Trabalhar com o valor do dinheiro no tempo. 
Analisando as alternativas uma a uma: 
a) o mesmo valor financeiro independente da data focal. 
INCORRETO. Vimos que o valor financeiro DEPENDE do tempo a ser inserido na fórmula, isto é, depende SIM 
da data focal. 
 
b) o mesmo valor financeiro para o tempo zero e para uma data focal à frente. 
INCORRETO. Veja o exemplo. No tempo 𝑡 = 0, o valor financeiro é igual a R$ 100,00. No tempo mais à frente, 
𝑡 = 2 por exemplo, o valor é DIFERENTE. 
 
c) valores financeiros distintos em datas focais distintas. 
CORRETO. 
 
d) valores financeiros crescentes, à medida que se aproxima do tempo zero. 
INCORRETO. os valores financeiros são DECRESCENTES, à medida que se aproxima do tempo zero. 
 
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e) valores futuros decrescentes, à medida que se distancia do tempo zero. 
INCORRETO. Valores futuros são CRESCENTES, à medida que se distancia do tempo zero. Quanto mais longeno tempo, maiores os valores financeiros. 
Observe que para o tempo 𝑡 = 2 temos um valor de R$ 121,00; enquanto que para o tempo 𝑡 = 3, temos 
um valor de R$ 133,10. 
Gabarito: Alternativa C 
 
17. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) A empresa Portões Dindin Ltda. está negociando uma 
compra com um dos seus fornecedores e recebeu dele duas alternativas para pagamento: à 
vista, no valor de R$ 9.500,00, ou com dois meses de prazo, no valor de R$ 10.000,00. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 3% ao mês e sem levar em conta qualquer tipo de imposto, 
a opção de compra mais vantajosa para a Portões Dindin é 
a) a prazo, pois resulta em um valor presente de R$ 9.400,00, menor, portanto, que o valor à vista. 
b) a prazo, pois resulta em um valor presente de R$ 9.425,96, menor, portanto, que o valor à vista. 
c) à vista, pois o valor de R$ 9.500,00 é menor que o de R$ 10.000,00 a ser pago a prazo. 
d) à vista, pois o valor é menor que na opção a prazo, cujo valor presente é R$ 10.609,00. 
e) à vista, pois o valor é menor que na opção a prazo, cujo valor presente é R$ 9.700,00. 
Comentários: 
Vamos calcular o Valor Presente (em regime de Juros Compostos) da segunda opção de pagamento 
(pagamento a prazo) e, posteriormente, comparar com o valor à vista. 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)2
 
𝑉𝑃 =
10.000
(1 + 0,03)2
 
𝑉𝑃 =
10.000
1,032
 
𝑉𝑃 =
10.000
1,0609
 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟗. 𝟒𝟐𝟓, 𝟗𝟔 
Ou seja, comparando os dois Capitais no tempo 𝑡 = 0, isto é, em Valores Presentes, a opção de compra mais 
vantajosa para a Portões Dindin é a prazo, pois resulta em um valor presente de R$ 9.425,96, menor, 
portanto, que o valor à vista (R$ 10.000,00). 
Gabarito: Alternativa B 
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18. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2011) Os termos juros, montante e principal são denominações 
de variáveis relevantes dos problemas de matemática financeira. 
As duas últimas variáveis também podem ser denominadas, respectivamente, da seguinte forma: 
a) capital e valor presente 
b) tempo zero e prestação total 
c) valor futuro e anuidade 
d) valor presente e valor futuro 
e) valor futuro e valor presente 
Comentários: 
Estudamos este ponto na teoria. 
O Montante será sempre entendido como o Valor Futuro e o Capital, como Valor Presente. 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 
 
 Para a Capitalização Simples usaremos as seguintes fórmulas: 
 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊 × 𝒕) 𝑜𝑢 𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊 × 𝒕)
 
 
 
 Já para a Capitalização Composta, as equações serão: 
 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒕 𝑜𝑢 𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊)𝒕
 
 
Onde, 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 
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𝑡 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 
Perceba que essas equações são análogas às equações do Montante estudadas nas aulas de regime de juros. 
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 → 𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 → 𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 
Gabarito: Alternativa E 
 
19. (CESGRANRIO / BNDES - 2011) Uma loja de eletrodomésticos anuncia uma TV LCD de 42", cujo 
preço de lista é de R$ 2.400,00, à vista com desconto de 20% ou alternativamente em três 
parcelas iguais, com a 1a prestação 30 dias após a compra. 
Se a loja afirma utilizar uma taxa de juros compostos de 3% a.m., qual o valor aproximado da prestação para 
que as duas opções de pagamento sejam equivalentes? 
 
a) R$ 603,09 
b) R$ 678,78 
c) R$ 753,86 
d) R$ 848,45 
e) R$ 2.196,39 
Comentários: 
Uma loja de eletrodomésticos anuncia uma TV LCD de 42", cujo preço de lista é de R$ 2.400,00, à vista com 
desconto de 20%. Logo, o preço à vista será: 
𝑃à 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 2.400 −
20
100
× 2.400 
𝑃à 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 = 2.400 − 480 → 𝑷à 𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = 𝟏. 𝟗𝟐𝟎 
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Ou seja, o cliente pode comprar à vista por R$ 1.920 ou alternativamente em três parcelas iguais a 𝑃, com a 
primeira prestação 30 dias (1 mês) após a compra. 
Vamos representar graficamente as 2 opções de pagamento. 
 
Iremos calcular o valor da prestação 𝑃 para que as duas opções de pagamento sejam equivalentes a uma 
taxa de juros compostos de 3% ao mês. 
Equivalendo os capitais no tempo 𝑡 = 3: 
1.920 × (1 + 𝑖)3 = 𝑃 × (1 + 𝑖)2 + 𝑃 × (1 + 𝑖)1 + 𝑃 
1.920 × (1 + 0,03)3 = 𝑃 × (1 + 0,03)2 + 𝑃 × (1 + 0,03)1 + 𝑃 
1.920 × 1,033 = 𝑃 × 1,032 + 𝑃 × 1,03 + 𝑃 
O enunciado nos informa o valor das potências. 
1.920 × 1,0927 = 𝑃 × 1,0609 + 𝑃 × 1,03 + 𝑃 
2.098 = 3,0909𝑃 
𝑃 =
2.098
3,0909
 → 𝑷 ≅ 𝟔𝟕𝟖 
Obs: Apenas uma crítica à questão. Ela não faz referência ao período dos pagamentos. Ela deveria deixar 
explícito que os pagamentos são mensais e sucessivos. 
Gabarito: Alternativa B 
 
20. (CESGRANRIO / BR - 2010) Supondo a taxa de juros compostos de 1% a. m., o valor presente 
líquido de um pagamento de R$ 100,00, a ser efetuado três meses no futuro, pode ser obtido 
exatamente pela expressão 
a) 100 ÷ 1,03 
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b) 100 × 1,03 
c) 100 × (1,01)3 
d) 100 ÷ (1,01)3 
e) 100 + (0,01)3 × 100 
Comentários: 
 Capitalização Composta: O Valor Presente é igual a: 
 
𝑽𝑷 =
𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊)𝒕
 
 
Onde, 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 100 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = ? 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 1% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,01 
𝑡 = 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
Substituindo os valores teremos: 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑡
 
𝑉𝑃 =
100
(1 + 0,01)3
 
𝑉𝑃 =
100
(1,01)3
 → 𝑽𝑷 = 𝟏𝟎𝟎 ÷ (𝟏, 𝟎𝟏)𝟑 
Gabarito: Alternativa D 
 
21. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010 - Adaptada) O fluxo de caixa a seguir corresponde a um 
projeto de investimento com taxa de 10% ao mês para equivalência dos capitais aplicado e 
recebido. 
 
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O valor de X é, em reais, mais próximo de 
a) 13.270 
b) 13.579 
c) 13.831 
d) 14.125 
e) 14.418 
Comentários: 
Vamos representar graficamente este fluxo de caixa: 
 
Equivalendo os capitais no tempo 𝑡 = 3: 
40.000 × (1 + 𝑖)3 = 10.000 × (1 + 𝑖)2 + 𝑋 × (1 + 𝑖)1 + 2𝑋 
40.000 × (1 + 0,1)3 = 10.000 × (1 + 0,1)2 + 𝑋 × (1 + 0,1)1 + 2𝑋 
40.000 × 1,13 = 10.000 × 1,12 + 𝑋 × 1,11 + 2𝑋 
40.000 × 1,331 = 10.000 × 1,21 + 1,1𝑋 + 2𝑋 
53.240 = 12.100 + 3,1𝑋 
3,1𝑋 = 53.240 − 12.100 
3,1𝑋 = 41.140 
𝑋 =
41.140
3,1
 → 𝑿 = 𝟏𝟑. 𝟐𝟕𝟎 
Gabarito: Altenativa A 
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22. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Um equipamento está sendo vendido a prazo, da seguinte 
forma: R$ 500,00 de entrada no ato da compra, mais duas parcelas, sendo a primeira, no valor 
de R$ 440,00,a ser paga em 30 dias após a compra, e a segunda, no valor de R$ 180,00, a ser 
paga em 60 dias após a compra. A taxa de juros simples praticada no mercado é de 10% a.m. O 
valor à vista desse equipamento é, em reais, de 
a) 535,00 
b) 580,00 
c) 1.050,00 
d) 1.100,00 
e) 1.120,00 
Comentários: 
Vamos representar graficamente a opção de compra: 
 
Observe que convertemos a unidade do tempo de "dias" para "mês", pois, necessariamente, deve coincidir 
com a unidade da taxa de juros (mensal). 
Nesse caso, o Valor Presente (à vista) será igual a soma do Valor Presente da primeira parcela (que já está 
no tempo 𝑡 = 0) mais o Valor Presente da segunda parcela mais o valor presente da terceira parcela. 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2 + 𝑉𝑃3 
𝑉𝑃 = 500 +
440
(1 + 𝑖 × 1)
+
180
(1 + 𝑖 × 2)
 
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Observe que este exercício se trata de JUROS SIMPLES. Quando deslocamos a parcela no tempo, em regime 
de Juros Simples, usamos o fator (1 + 𝑖 × 𝑡). 
𝑉𝑃 = 500 +
440
(1 + 0,1 × 1)
+
180
(1 + 0,1 × 2)
 
𝑉𝑃 = 500 +
440
1,1
+
180
1,2
 
𝑉𝑃 ≅ 500 + 400 + 150 → 𝑽𝑷 = 𝟏. 𝟎𝟓𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
23. (CESGRANRIO / BNDES - 2010) Uma loja oferece duas opções de pagamento na compra de uma 
bicicleta: R$ 200,00 à vista, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$ 120,00, sendo 
a primeira delas paga no ato da compra. Tomando-se a opção de pagamento à vista como 
referência, a taxa mensal de juros cobrada pela loja na venda a prazo é 
a) 20% 
b) 25% 
c) 40% 
d) 50% 
e) 60% 
Comentários: 
Vamos representar graficamente as duas opções de pagamento: 
 
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Equivalendo os Capitais no tempo 𝑡 = 0: 
200 = 120 +
120
(1 + 𝑖)1
 
200 − 120 =
120
1 + 𝑖
 
80 =
120
1 + 𝑖
 
1 + 𝑖 =
12
8
 
1 + 𝑖 = 1,5 
𝑖 = 1,5 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟓 𝒐𝒖 𝟓𝟎% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Gabarito: Alternativa D 
 
Rendas 
24. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2018 - Adaptada) Qual é o valor presente, aproximado, de uma 
sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 1.000,00, sendo o primeiro com vencimento na 
data de hoje, e os outros, nos quatro meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros 
de 1% a.m.? 
a) R$ 4.850,00 
b) R$ 4.853,43 
c) R$ 4.900,00 
d) R$ 4.901,97 
e) R$ 5.000,00 
Comentários: 
Vamos representar graficamente os pagamentos: 
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Observe que se trata de uma série de rendas certas antecipadas, uma vez que houve o primeiro pagamento 
na "data de hoje", ou seja, no tempo 𝑡 = 0. 
 
A banca nos questiona o Valor Presente (ou Atual) desta série de rendas certas antecipadas. 
O Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Antecipadas é o valor no momento “0”, também chamado 
de Valor Presente (VP), que equivale a soma de todas das 5 rendas certas de R$ 1.000 descontadas pela 
mesma taxa de juros de 1% ao mês. 
𝑉𝑃 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] × (1 + 𝑖) 
𝑉𝑃 = 1.000 × [
(1 + 0,01)5 − 1
0,01 × (1 + 0,01)5
] × (1 + 0,01) 
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𝑉𝑃 = 1.000 × [
1,015 − 1
0,01 × 1,015
] × 1,01 
O enunciado nos informa que: 1,015 = 1,051. 
𝑉𝑃 = 1.000 × [
1,051 − 1
0,01 × 1,051
] × 1,01 
𝑉𝑃 = 1.000 × [
0,051
0,01051
] × 1,01 
𝑉𝑃 = 1.000 × 4,853 × 1,01 → 𝑽𝑷 ≅ 𝟒. 𝟗𝟎𝟏, 𝟓𝟑 
Observe que não poderíamos arredondar muito, pois as alternativas C e D são próximas uma da outra em 
termos numéricos. 
Gabarito: Alternativa D 
 
25. (CESGRANRIO / BR - 2013) Um bem, cujo preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze 
prestações consecutivas, mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga no ato da compra. 
Se são cobrados juros compostos de 1% ao mês, o valor das prestações, em reais, é aproximadamente 
Dado: 1,01−12 = 0,8874 
a) 842 
b) 888 
c) 897 
d) 914 
e) 948 
Comentários: 
Um bem, cujo preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze prestações consecutivas, mensais e iguais, 
sendo a primeira prestação paga no ato da compra. 
Vejamos graficamente: 
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Ou seja, o Valor Presente (ou Atual) desta série de rendas certas Antecipadas terá de ser igual ao Valor à 
vista, isto é, igual a R$ 10.100,00. 
 
Observe que se trata de uma série de rendas certas antecipadas, uma vez que houve o primeiro pagamento 
no ato da compra, ou seja, no tempo 𝑡 = 0. 
E, como são 12 pagamentos e há um pagamento na data da compra, os pagamentos vão do período 𝑡 = 0 
até o período 𝑡 = 11 meses. 
Iremos aplicar a fórmula do Valor Atual e calcular o valor da Prestação. 
O Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Antecipadas é o valor no momento “0”, também chamado 
de Valor Presente (VP), que equivale a soma de todas das 12 rendas certas de P reais descontadas pela 
mesma taxa de juros de 1% ao mês. 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] × (1 + 𝑖) 
10.100 = 𝑃 × [
1 − (1 + 0,01)−12
0,01
] × (1 + 0,01) 
10.100 = 𝑃 × [
1 − 1,01−12
0,01
] × 1,01 
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O enunciado nos informa que: 1,01−12 = 0,8874. 
10.100 = 𝑃 × [
1 − 0,8874
0,01
] × 1,01 
10.100
1,01
= 𝑃 × [
1 − 0,8874
0,01
] 
10.000 = 𝑃 × [
0,1126
0,01
] 
10.000 = 𝑃 × 11,26 
𝑃 =
10.000
11,26
 → 𝑷 ≅ 𝟖𝟖𝟖 
Gabarito: Alternativa B 
 
26. (CESGRANRIO / CEF - 2012 - Adaptada) Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 
prestações mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês 
(Tabela Price), gerando uma prestação de R$ 1.028,61. 
Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, 
aproximadamente, 
Dado: 1,01−240 = 0,09 
a) 1.099,00 
b) 1.371,00 
c) 1.428,00 
d) 1.714,00 
e) 2.127,00 
Comentários: 
Iremos estudar o Sistema de Amortização Francês na próxima aula. Quero que você tenha em mente que 
neste sistema as Prestações são constantes, isto é, são caracterizadas por rendas de pagamentos uniformes 
(igual acabamos de estudar). 
O enunciado nos questiona o valor da Prestação para um financiamento atual de R$ 100.000 para ser pago 
em 240 prestações a uma taxa de 1% ao mês. 
Vamos utilizar a fórmula do Valor Atual para uma série de rendas certas postecipadas e calcular o valor da 
Prestação. 
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𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
Obs: Quando o enunciado não citar se as parcelas são antecipadas ou postecipadas, iremos adotar a fórmula 
para parcelas postecidas. 
Substituindo os valores e calculando a Prestação: 
100.000 = 𝑃 × [
1 − (1 + 0,01)−240
0,01
] 
100.000 = 𝑃 ×[
1 − 1,01−240
0,01
] 
O enunciado nos informa que: 1,01−240 = 0,09. 
 
100.000 = 𝑃 × [
1 − 0,09
0,01
] 
100.000 = 𝑃 × [
0,91
0,01
] 
100.000 = 𝑃 × 91 
𝑃 =
100.000
91
 → 𝑷 ≅ 𝟏. 𝟎𝟗𝟗 
Gabarito: Alternativa A 
 
27. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010 - Adaptada) Uma dívida deve ser paga em 8 parcelas mensais 
e iguais no valor de R$ 800,00. Serão cobrados juros de 10% ao mês, sendo que a primeira 
parcela será paga 30 dias após o recebimento do empréstimo. O valor do empréstimo é, em 
reais, próximo de 
Dados: 1,1−8 = 0,4665 
a) 3.555,55 
b) 4.268,00 
c) 4.694,73 
d) 5.247,00 
e) 5.818,18 
Comentários: 
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Vamos representar graficamente o Pagamento desta dívida: 
 
Observe que a pessoa toma um Empréstimo de valor 𝐸 e paga 8 parcelas postecipadas (primeira parcela será 
paga 30 dias após) de R$ 800,00. 
Perceba também que trabalhamos com o tempo em meses, uma vez que a taxa de juros é mensal e, 
necessariamente, as unidades devem coincidir. 
O valor do empréstimo é igual ao Valor Presente da série de 8 rendas certas de R$ 800,00 descontadas a uma 
taxa mensal de 10% ao mês. 
𝑉𝑃 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
𝐸 = 800 × [
1 − (1 + 0,1)−8
0,1
] 
𝐸 = 800 × [
1 − 1,1−8
0,1
] 
O enunciado nos informa que: 1,1−8 = 0,4665. 
𝐸 = 800 × [
1 − 0,4665
0,1
] 
𝐸 = 800 × [
0,5335
0,1
] 
𝐸 = 800 × 5,335 → 𝑬 = 𝟒. 𝟐𝟔𝟖 
Gabarito: Alternativa B 
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28. (CESGRANRIO / CEF - 2008) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de 
R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será 
resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 
2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será 
Dado: 1,0212 = 1,268242 
a) 1.200,00 
b) 1.224,00 
c) 1.241,21 
d) 1.368,03 
e) 2.128,81 
Comentários: 
Vamos representar graficamente os depósitos realizados. 
 
Vamos calcular o Valor Futuro desta série de depósitos certos postecipados (o primeiro deles feito um mês 
após o início da transação). 
O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas Postecipadas é o valor no momento “n” que equivale a 
soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. 
Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos na mesma data do ÚLTIMO 
pagamento/recebimento. 
O Valor Futuro (VF) será igual a: 
 
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𝑉𝐹 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑉𝐹 = 100 × [
(1 + 0,02)12 − 1
0,02
] 
𝑉𝐹 = 100 × [
1,0212 − 1
0,02
] 
O enunciado nos informa que: 1,0212 = 1,268242. 
𝑉𝐹 = 100 × [
1,268242 − 1
0,02
] 
𝑉𝐹 = 100 × [
0,268242
0,02
] 
𝑉𝐹 = 100 × 13,4121 → 𝑽𝑭 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟏, 𝟐𝟏 
 
Preste atenção!! O Valor Futuro calculado é o Valor Futuro correspondente ao somatório das parcelas na 
data do ÚLTIMO investimento, isto é, 𝑡 = 12. 
Todavia, o resgate será feito no mês seguinte ao último depósito, ou seja, no tempo 𝑡 = 13. Precisamos 
então, capitalizar o Valor Futuro por 1 período para encontrar o valor de resgate. 
 
𝑉𝑟𝑒𝑠𝑔𝑎𝑡𝑒 = 𝑉𝐹 × (1 + 𝑖) 
𝑉𝑟𝑒𝑠𝑔𝑎𝑡𝑒 = 1.341,21 × (1 + 0,02) 
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𝑉𝑟𝑒𝑠𝑔𝑎𝑡𝑒 = 1.341,21 × 1,02 → 𝑽𝒓𝒆𝒔𝒈𝒂𝒕𝒆 = 𝟏.𝟑𝟔𝟖, 𝟎𝟑 
Gabarito: Alternativa D 
 
29. (CESGRANRIO / BR - 2012 - Adaptada) Um jogador de futebol, cansado de entrar em campo por 
anos e de nunca ter conquistado um título, deseja, ao se aposentar, retirar uma vez por ano o 
equivalente a R$ 120.000,00 anuais, por um período infinito. Com um amigo investidor, ele 
conseguiu um fundo em que pode aplicar suas economias e que lhe garante rendimento de 10% 
ao ano. 
Para alcançar seu objetivo, o jogador terá de aplicar 
a) R$ 100.000,00 
b) R$ 109.090,90 
c) R$ 120.000,00 
d) R$ 1.000.000,00 
e) R$ 1.200.000,00 
Comentários: 
O enunciado nos questiona qual o Valor Atual que o jogador deve investir para retirar Parcelas mensais de 
R$ 120.000 por um período infinito, isto é, indeterminado ou perpétuo. 
O Valor Presente (ou Atual) de uma série de Rendas Perpétuas é igual a: 
 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
Onde, 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ? 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 120.000 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 10% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 = 0,1 
Substituindo os valores: 
𝑉𝑃 =
𝑃
𝑖
 
𝑉𝑃 =
120.000
0,1
 → 𝑽𝑷 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
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Gabarito: Alternativa E 
 
30. (CESGRANRIO / BR - 2015) Um gestor deparou com a necessidade de calcular o valor presente 
de uma série perpétua de fluxos de caixa. Ele não sabia se calcularia considerando um fluxo 
constante ou com uma taxa de crescimento de 0,5% ao período. A taxa de desconto a ser 
utilizada no cálculo é de 1% ao período. Sendo assim, a razão entre o resultado do cálculo do 
valor presente da série com crescimento e do valor presente da série constante é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Comentários: 
Vamos calcular separadamente o Valor Presente da série constante e da série com crescimento. 
 Valor Presente da série constante 
O Valor Presente de uma série de Rendas Perpétuas é igual a: 
 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
Onde, 
𝑉𝑃 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ? 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 𝑃 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 1% 𝑎𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 0,01 
Substituindo os valores: 
𝑉𝑃 =
𝑃
𝑖
 
𝑉𝑃 =
𝑃
0,01
 
𝑉𝑃 =
1
0,01
× 𝑃 → 𝑽𝑷 = 𝟏𝟎𝟎𝑷 
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 Valor Presente da série com crescimento 
As Rendas Perpétuas com crescimento que são calculadas pela seguinte fórmula: 
𝑉𝑃 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
Onde, 
𝑔 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0,5% 𝑎𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 0,005 
Substituindo os valores: 
𝑉𝑃 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
𝑉𝑃 =
𝑃
0,01 − 0,005
 
𝑉𝑃 =
𝑃
0,01 − 0,005
 
𝑉𝑃 =
𝑃
0,005
 
𝑉𝑃 =
1
0,005
× 𝑃 → 𝑽𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝑷 
Então, a razão 𝑟 entre o resultado do cálculo do valor presente da série com crescimento (200𝑃) e do valor 
presente da série constante (100𝑃) é igual a: 
𝑟 =
200𝑃
100𝑃
 
𝑟 =
200
100
 → 𝒓 = 𝟐 
Gabarito: Alternativa B 
 
 
 
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QUESTÕES COMENTADAS - LISTA COMPLEMENTAR 
 
31. (FGV / BANESTES - 2018) Um bem, cujo preço à vista é R$ 500,00, será adquirido por meio de 
duas prestações mensais consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira delas paga um mês após 
a compra. 
Nessa venda, ataxa mensal de juros compostos aplicada é: 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 40% 
e) 50% 
Comentários: 
 
Vamos representar graficamente as 2 opções de pagamentos: 
 
As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos 
na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 e calculando a taxa teremos: 
𝟓𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝒊)𝟐 = 𝟒𝟓𝟎 × (𝟏 + 𝒊) + 𝟒𝟓𝟎 
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99 
 
Nessa altura da questão, você tem 2 opções para continuar a resolução: 
▪ Ou você, de posse das alternativas, chuta valores para 𝑖 até encontrar a igualdade acima; ou 
▪ Utiliza a incógnita auxiliar e parte para a equação do segundo grau. 
Vamos utilizar a experiência de prova para resolver essa continuidade. 
"Diga-me, aluno, das alternativas acima, qual você escolheria por primeiro para chutar?" 
Tenho (quase) certeza que você respondeu 50%. Se tivesse 10% nas alternativas você responderia 10%, como 
não tem, creio que sua resposta deve ter sido 50%. 
Então, vamos substituir 50% e conferir se há a igualdade: 
500 × (1 + 𝑖)2 = 450 × (1 + 𝑖) + 450 
500 × (1 + 0,5)2 = 450 × (1 + 0,5) + 450 
500 × 2,25 = 450 × 1,5 + 450 
1.125 = 675 + 450 
𝟏. 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 
 
Ou seja, houve a igualdade. Logo, constatamos que o gabarito é, de fato, 50%. 
"Certo professor, mas eu quero encontrar fazendo pelo segundo jeito. Por equação do segundo grau." 
Vamos calcular então pela incógnita auxiliar. 
500 × (1 + 𝑖)2 = 450 × (1 + 𝑖) + 450 
Nesse caso, vamos chamar (1 + 𝑖) = 𝑦 e substituir acima e calcular 𝑦. 
500 × 𝑦2 = 450 × 𝑦 + 450 
Simplificando por 50: 
10𝑦2 = 9𝑦 + 9 
10𝑦2 − 9𝑦 − 9 = 0 
Iremos calcular as raízes por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
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100 
 
𝑦 =
−(−9) ± √(−9)2 − 4 × 10 × (−9)
2 × 10
 
𝑦 =
9 ± √81 + 360
20
 
𝑦 =
9 ± √441
20
 
𝑦 =
9 ± 21
20
 
{
 
 
 
 
 
𝑦 =
9 + 21
20
=
30
20
= 1,5
 
 
 
𝑦 =
9 − 21
20
=
−12
20
= −0,6
 
 
Nesse caso, não podemos ter taxa negativa. Logo, 
𝑦 = 1,5 
Por fim, substituímos na incógnita que chamamos de auxiliar e calculamos o valor da taxa. 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
1 + 𝑖 = 1,5 
𝑖 = 1,5 − 1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟓 𝒐𝒖 𝟓𝟎% 
Gabarito: Alternativa E 
 
32. (FGV / BANESTES - 2018) Um equipamento eletrodoméstico custa R$ 175,00 à vista, mas pode 
ser adquirido a prazo por intermédio de três prestações antecipadas mensais iguais e 
consecutivas de R$ 100,00. 
A taxa de juros efetiva composta ao mês cobrada nesse financiamento é de: 
a) 100% 
b) 80% 
c) 75% 
d) 72% 
e) 36% 
Comentários: 
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101 
 
Um equipamento custa R$ 175,00 à vista, mas pode ser pago por 3 prestações mensais antecipadas de R$ 
100,00. Vejamos graficamente: 
 
Observe que as parcelas são antecipadas, isto é, pagas no início de cada período. Logo, a primeira parcela é 
paga na entrada da compra. 
Oras, se o preço do produto é R$ 175 à vista e ele paga uma entrada de R$ 100, é porque faltará ao cliente 
pagar R$ 75. Logo: 
 
As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos 
na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 e calculando a prestação teremos: 
75 × (1 + 𝑖)2 = 100 × (1 + 𝑖)1 + 100 
Mesmo estilo que à questão anterior. Podemos chutar valores ou resolver a equação do segundo grau com 
o uso da incógnita auxiliar. 
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102 
 
Vou deixar para você ir chutando os valores. Você irá constantar que não serão contas complicadas e já 
adianto que a resposta será seu primeiro chute. Observe as alternativas, caro aluno. Qual você chutaria por 
primeiro? Com certeza 100% não? 
Pois bem, chute e veja se houve a igualdade. 
Vamos calcular então pela incógnita auxiliar. 
75 × (1 + 𝑖)2 = 100 × (1 + 𝑖)1 + 100 
Nesse caso, vamos chamar (1 + 𝑖) = 𝑦 e substituir acima e calcular 𝑦. 
75 × 𝑦2 = 100 × 𝑦 + 100 
Simplificando por 25: 
3𝑦2 = 4𝑦 + 4 
3𝑦2 − 4𝑦 − 4 = 0 
Iremos calcular as raízes por Bhaskara: 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑦 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4 × 3 × (−4)
2 × 3
 
𝑦 =
4 ± √16 + 48
6
 
𝑦 =
4 ± √64
6
 
𝑦 =
4 ± 8
6
 
{
 
 
 
 
 
𝑦 =
4 + 8
6
=
12
6
= 2
 
 
 
𝑦 =
4 − 8
6
=
−4
6
= −0,66
 
 
Nesse caso, não podemos ter taxa negativa. Logo, 
𝑦 = 2 
Por fim, substituímos na incógnita que chamamos de auxiliar e calculamos o valor da taxa. 
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103 
 
(1 + 𝑖) = 𝑦 
1 + 𝑖 = 2 
𝑖 = 2 − 1 → 𝒊 = 𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟎𝟎% 
Gabarito: Alternativa A 
 
33. (FGV / ALE RO - 2018) Suponha que um consumidor entre em uma loja e verifique que o preço 
à vista de um ar condicionado é de R$ 1.000,00. No entanto, ele opta pelo financiamento, que 
exige uma entrada de R$ 200,00 e mais duas parcelas mensais iguais com taxa efetiva mensal 
de juros de 1%, sob regime composto. 
 O valor de cada parcela será igual a 
a) R$ 808,00 
b) R$ 406,01 
c) R$ 404,25 
d) R$ 402,50 
e) R$ 507,51 
Comentários: 
Iremos representar graficamente a opção de financiamento: 
 
Oras, se o preço do produto é R$ 1.000,00 à vista e ele paga uma entrada de R$ 200,00, é porque faltará ao 
cliente pagar R$ 800,00. Logo: 
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104 
 
 
As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos 
na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 e calculando a prestação teremos: 
800 × (1 + 0,01)2 = 𝑃 × (1 + 0,01) + 𝑃 
800 × 1,012 = 𝑃 × 1,01 + 𝑃 
800 × 1,0201 = 1,01𝑃 + 𝑃 
816,08 = 2,01𝑃 
𝑃 =
816,08
2,01
 → 𝑷 = 𝟒𝟎𝟔, 𝟎𝟏 
Gabarito: Alternativa B 
 
34. (FGV / Pref. Salvador - 2017) O cartão de crédito usado por Alberto cobra 10% de juros ao mês, 
e a fatura vence no dia 5 de cada mês. 
A fatura do mês de junho apresentava uma dívida de 1200 reais, mas Alberto nada pagou. Daí por diante, 
também não fez novas despesas no cartão. 
No dia do vencimento da fatura de julho, Alberto pagou 600 reais; no dia do vencimento da fatura de agosto, 
pagou também 600 reais; e, no dia do vencimento da fatura desetembro, liquidou sua dívida. 
O valor pago por Alberto em setembro, em reais e desprezando os centavos, foi de 
a) 120 
b) 132 
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105 
 
c) 158 
d) 192 
e) 211 
Comentários: 
Vamos representar graficamente o que nos traz o enunciado. 
 
Alberto deveria pagar 1.200 em Junho. Porém, trocou este único pagamento de 1.200 por 2 mensais 
sucessivos de 600 e mais um pagamento ao final do terceiro mês no valor de 𝑥. 
 As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais no tempo 𝑡 = 3 (setembro), pois 
como vimos na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o 
presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 3 e calculando a prestação teremos: 
1.200 × (1 + 0,1)3 = 600 × (1 + 0,1)2 + 600 × (1 + 0,1)1 + 𝑥 
1.200 × 1,331 = 600 × 1,21 + 600 × 1,1 + 𝑥 
1.597,20 = 726 + 660 + 𝑥 
𝑥 = 1.597,20 − 726 − 660 → 𝒙 = 𝟐𝟏𝟏, 𝟐𝟎 
E assim, o resultado é a Alternativa E. 
Poderíamos resolver também passo a passo. 
 A fatura do mês de Junho apresentava uma dívida de 1200 reais e Alberto nada pagou até Julho. Ou seja, 
esta dívida capitalizou pelo período de 1 mês. 
1.200 × 1,1 = 1.320 
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106 
 
Em Julho, ele pagou 600 reais. Logo, a dívida restante será: 
1.320 − 600 = 720 
Esta dívida restante em Julho (720) capitalizou por mais 1 mês (até agosto). 
720 × 1,1 = 792 
Em Agosto, Alberto pagou mais 600. 
792 − 600 = 192 
Então, a dívida restante em Agosto era de 192 reais que capitalizou por mais um mês e foi totalmente quitada 
em Setembro. 
192 × 1,1 = 𝟐𝟏𝟏, 𝟐 
Ou seja, o pagamento em Setembro foi igual a R$ 211,20. 
Gabarito: Alternativa E 
 
35. (FGV / ISS Cuiabá - 2016) Suponha que João tenha obtido um financiamento de R$ 100,00 à taxa 
efetiva de 50% ao ano, no regime de juros compostos. Por sua vez, Maria obteve um 
financiamento de R$ 1.000,00 sob as mesmas condições de João. Em ambos os casos, o prazo 
de operação é de dois anos. 
As prestações anuais para João e Maria são, respectivamente, iguais a 
a) R$ 100,00 e R$ 1.000,00. 
b) R$ 95,00 e R$ 1.200,00. 
c) R$ 90,00 e R$ 900,00. 
d) R$ 85,00 e R$ 1.000,00. 
e) R$ 80,00 e R$ 800,00. 
Comentários: 
Vamos calcular separadamente a parcela de João e de Maria. 
 João oteve um financiamento de R$ 100,00 à taxa efetiva de 50% ao ano, no regime de juros 
compostos e pagou em 2 prestações anuais. Graficamente teremos: 
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Iremos fazer a equivalência de capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos na teoria, levar para o futuro 
(multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Logo, fazendo a equivalência em 𝑡 = 2 e calculando a prestação teremos: 
100 × (1 + 0,5)2 = 𝑃 × (1 + 0,5) + 𝑃 
100 × 1,52 = 𝑃 × 1,5 + 𝑃 
100 × 2,25 = 1,5𝑃 + 𝑃 
225 = 2,5𝑃 
𝑃 =
225
2,5
 → 𝑷 = 𝟗𝟎 
Observe que, na hora da prova, poderíamos marcar a Alternativa C e partir para a próxima questão. 
Vamos, agora, calcular a prestação de Maria. 
 Maria obteve um financiamento de R$ 1.000,00 sob as mesmas condições de João 
 
Equivalendo os Capitais na data 𝑡 = 2: 
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1.000 × (1 + 0,5)2 = 𝑃 × (1 + 0,5) + 𝑃 
1.000 × 1,52 = 𝑃 × 1,5 + 𝑃 
1.000 × 2,25 = 1,5𝑃 + 𝑃 
2.250 = 2,5𝑃 
𝑃 =
2.250
2,5
 → 𝑷 = 𝟗𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
36. (FGV / IBGE - 2016) João recebeu a fatura de R$ 2.600,00 do cartão de crédito que cobra 10% de 
juros ao mês. No dia do vencimento, pagou R$ 1.000,00, um mês depois pagou mais R$ 1.000,00 
e, um mês depois desse pagamento, liquidou a dívida. 
Sabendo-se que João não utilizou o cartão nesse período, o valor do último pagamento de João foi de: 
a) R$ 720,00 
b) R$ 780,00 
c) R$ 836,00 
d) R$ 860,00 
e) R$ 1.046,00 
Comentários: 
Vamos representar graficamente o fluxo de caixa do enunciado: 
 
Oras, se João tinha uma fatura de R$ 2.600,00 e pagou R$ 1.000,00 no dia do vencimento, é porque ficou a 
ele faltando pagar o restante de R$ 1.600,00 certo? 
E esses R$ 1.600,00 foram pagos em uma parcela de R$ 1.000,00 um mês depois e mais uma Parcela P dois 
meses após. 
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Para calcular o valor da Parcela 𝑃 vamos fazer a equivalência de Capitais no tempo 𝑡 = 2, pois como vimos 
na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer as parcelas para o presente (dividir). 
 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pela fator 
(1 + 𝑖)𝑡. 
Sendo assim: 
1.600 × (1 + 0,1)2 = 1.000 × (1 + 0,1) + 𝑃 
1.600 × 1,12 = 1.000 × 1,1 + 𝑃 
1.600 × 1,21 = 1.000 × 1,1 + 𝑃 
1.936 = 1.100 + 𝑃 
𝑃 = 1.936 − 1.100 → 𝑷 = 𝟖𝟑𝟔 
Gabarito: Alternativa C 
 
37. (FGV / IBGE - 2016) Em certa loja, uma bolsa custa R$120,00 para pagamento à vista. A loja 
oferece a alternativa de pagar por essa bolsa R$50,00 no ato da compra e R$80,00 um mês 
depois. 
A taxa de juros ao mês que está implícita nessa alternativa é de, aproximadamente: 
a) 8,3% 
b) 10,3% 
c) 14,3% 
d) 15,3% 
e) 17,3% 
Comentários: 
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Resolvemos este modelo de questões em aula de Juros. Vamos, agora, resolver diretamente por equivalência 
de Capitais. 
Em certa loja, uma bolsa custa R$120,00 para pagamento à vista. A loja oferece a alternativa de pagar por 
essa bolsa R$50,00 no ato da compra e R$80,00 um mês depois. 
 
Vamos equivaler as duas formas de pagamento no tempo 𝑡 = 0. 
120 = 50 +
80
1 + 𝑖
 
120 − 50 =
80
1 + 𝑖
 
70 =
80
1 + 𝑖
 
70 × (1 + 𝑖) = 80 
Perceba que esta fórmula acima é a equação que chegávamos quando resolvíamos por Juros. Temos um 
pagamento de 120 ou uma entrada de 50 com um pagamento adicional de 80. 
Se há uma entrada de 50, então resta a pagar um Capital de 70. E, ao invés disso, foi pago um Montante de 
80 ao final de 1 mês. Resolvendo para 𝑖 teremos: 
70 × (1 + 𝑖) = 80 
1 + 𝑖 =
80
70
 
1 + 𝑖 ≅ 1,143 
𝑖 ≅ 1,143 − 1 → 𝒊 ≅ 𝟎, 𝟏𝟒𝟑 𝒐𝒖 𝟏𝟒, 𝟑% 
Gabarito: Alternativa C 
 
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38. (FGV / Pref. Niterói RJ - 2015) Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de 
um terreno. São cobrados juros compostos de 30% ao semestre.As parcelas são de R$ 
120.000,00; R$ 180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, 
respectivamente. 
 Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, no valor, em reais, 
de: 
a) 458.461,54 
b) 518.461,54 
c) 536.000,00 
d) 596.000,00 
e) 638.000,00 
Comentários: 
Iremos representar graficamente as opções de compra do terreno. 3 parcelas de R$ 120.000,00; R$ 
180.000,00 e R$ 338.000,00 que vencem em seis meses, um ano e dois anos, respectivamente que podem 
ser substituídas por um único pagamento 𝑃 em 1 ano. 
 
 
Observe que a unidade do tempo está em semestre, uma vez que a taxa de juros é semestral e as parcelas 
são pagas em períodos múltiplos do "semestre". 
Você poderia escolher qualquer data acima para fazer a equivalência de Capitais. Poderia levar todas as 
parcelas para o futuro (𝑡 = 2) ou escolher a data inicial (𝑡 = 0). 
Vamos equivaler os Capitais na data 𝒕 = 𝟏. 
Lembrando que: 
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 No regime de juros compostos, quando deslocamos a parcela para a direita, multiplicamos pelo fator 
(1 + 𝑖)𝑡 e quando deslocamos para a esquerda, dividimos por este mesmo fator. 
120.000 × (1 + 𝑖)1 + 180.000 +
338.000
(1 + 𝑖)2
= 𝑃 
Perceba que a parcela de 120.000 foi deslocada 1 unidade para a direita, logo multiplicamos por (1 + 𝑖)1. Já 
a parcela de 338.000 foi deslocada 2 unidades para a esquerda, sendo assim dividimos por (1 + 𝑖)2. Por fim, 
as Parcelas de 180.000 e 𝑃 já estão na data 𝑡 = 1. 
Resolvendo para uma taxa semestral de 30% (fornecida no enunciado) teremos: 
120.000 × (1 + 0,3)1 + 180.000 +
338.000
(1 + 0,3)2
= 𝑃 
120.000 × 1,3 + 180.000 +
338.000
1,69
= 𝑃 
120.000 × 1,3 + 180.000 +
338.000
1,69
= 𝑃 
156.000 + 180.000 + 200.000 = 𝑃 → 𝑷 = 𝟓𝟑𝟔. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
39. (FGV / ISS Niterói - 2015) Um equipamento agrícola pode ser alugado anualmente ou comprado. 
Esse equipamento custa R$ 40.400,00, tem vida útil de 5 anos e, ao final desse período, tem 
valor residual de R$ 16.100. O custo anual com a manutenção é de R$ 2.000,00. Se o 
equipamento for alugado, o custo com manutenção é do locador. 
Considerando a taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, o valor do aluguel que torna indiferente comprar 
ou alugar o equipamento é, aproximadamente, em reais: 
Utilize: 1,10 -5 = 0,62 e 1,105 = 1,61 
a) 8.000 
b) 10.000 
c) 12.000 
d) 14.000 
e) 16.000 
Comentários: 
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Vamos separar as 2 opções de pagamento do equipamento e representá-las graficamente. 
 1° opção: Compra do equipamento. 
Esse equipamento custa R$ 40.400,00, tem vida útil de 5 anos e, ao final desse período, tem valor residual 
de R$ 16.100. 
 
Observe que Valor Residual é o valor que você consegue em uma venda ao final do tempo de vida útil do 
bem, isto é, é uma entrada de caixa. 
Vamos calcular o Valor desse fluxo de caixa no tempo 𝑡 = 0. 
𝑉 = −40.400 +
16.100
(1 + 𝑖)5
 
𝑉 = −40.400 +
16.100
(1 + 0,1)5
 
𝑉 = −40.400 +
16.100
(1,1)5
 
O enunciado nos informa que (1,1)5 = 1,61. 
𝑉 = −40.400 +
16.100
1,61
 
𝑉 = −40.400 + 10.000 → 𝑽 = −𝟑𝟎. 𝟒𝟎𝟎 
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Porém, perceba que há ainda o custo de manutenção de R$ 2.000,00 por mes durante os 5 anos. 
 
Vamos calcular o Valor Atual desta série de rendas certas da manuntenção. 
Lembrando que Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Postecipadas é a soma de todas as n rendas 
certas P descontadas pela mesma taxa de juros i. O VA é calculado pela seguinte fórmula: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
𝑉𝐴 = −2.000 × [
1 − (1 + 0,1)−5
0,1
] 
𝑉𝐴 = −2.000 × [
1 − (1,1)−5
0,1
] 
O enunciado nos informa que (1,1)−5 = 0,62. 
𝑉𝐴 = −2.000 × [
1 − 0,62
0,1
] 
𝑉𝐴 = −2.000 × [
0,38
0,1
] → 𝑽𝑨 = −𝟕. 𝟔𝟎𝟎 
Ou seja, nosso Valor no tempo 𝑡 = 0 será igual a soma dos dois fluxos que calculamos separadamente. 
𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = −30.400 + (−7.600) 
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𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = −30.400 − 7.600 → 𝑽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = −𝟑𝟖. 𝟎𝟎𝟎 
 
 2° Opção: Alugar o equipamento. Vejamos graficamente: 
 
Teremos um aluguel no valor de 𝑃. E observe, agora, o detalhe da questão. 
 
O enunciado nos questiona o valor do aluguel 𝑃 que torna indiferente comprar ou alugar o equipamento. 
Oras, se é indiferente a compra ou o aluguel, o Valor Atual tanto pela compra quanto pelo aluguel há de ser 
o mesmo, correto? 
Se na opção de compra achamos o 𝑉𝐴 de R$ 38.000, então, para ser indiferente, o 𝑉𝐴 na opção de aluguel 
também há de ser R$ 38.000. 
Ou seja, o 𝑉𝐴 desse fluxo de 5 pagamentos certos de aluguel 𝑃 a uma taxa de 10% será igual a 38.000. 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
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−38.000 = 𝑃 × [
1 − (1 + 0,1)−5
0,1
] 
−38.000 = 𝑃 × [
1 − 0,62
0,1
] 
−38.000 = 𝑃 × [
0,38
0,1
] 
𝑃 =
−38.000 × 0,1
0,38
 → 𝑷 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa B 
 
40. (FGV / CGE MA - 2014) Um terreno foi vendido em três parcelas sendo a primeira de R$ 9.000,00 
no ato da compra, a segunda de R$ 12.000,00 um ano após a compra e a terceira de R$ 28.800,00 
dois anos após a compra. 
A taxa de juros praticada foi de 20% ao ano. 
O valor total à vista no momento da compra de tal mercadoria é 
a) R$ 49.800,00 
b) R$ 41.862,72 
c) R$ 41.448,00 
d) R$ 39.000,00 
e) R$ 38.565,12 
Comentários: 
Vamos representar graficamente a venda do terreno. 
 
O Valor à vista 𝑥 será igual à soma do valor presente das três parcelas a serem pagas a uma taxa de juros de 
20% ao ano. 
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𝑥 = 9.000 +
12.000
(1 + 0,2)1
+
28.800
(1 + 0,2)2
 
𝑥 = 9.000 +
12.000
1,2
+
28.800
1,22
 
𝑥 = 9.000 +
12.000
1,2
+
28.800
1,44
 
𝑥 = 9.000 + 10.000 + 20.000 → 𝒙 = 𝟑𝟗. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
41. (FGV / ISS Angra dos Reis RJ - 2010) Um investidor deseja depositar uma determinada quantia 
em um banco, para ter o direito de retirar R$ 22.000,00 no prazo de cinco meses e R$ 30.000,00 
no prazo de dez meses. Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de 
juros simples de 2% ao mês, o menor valor a ser depositado por esse investidor é 
a) 38.750,00 
b) 20.000,00 
c) 45.000,00 
d) 60.200,00 
e) 48.500,00 
Comentários: 
Um investidor deseja depositar uma quantia 𝑥, para ter o direito de retirar R$ 22.000,00 no prazo de cinco 
meses e R$ 30.000,00 no prazo de dez meses a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. 
Graficamente teremos: 
 
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118 
 
O valor 𝑥 que ele terá que depositar será igual a soma do valor presente de cada uma das duas parcelas. 
Logo: 
𝑥 =
22.000
(1 + 𝑖 × 5)
+
30.000
(1 + 𝑖 × 10)
 
Atenção! Estamos, agora, diferentemente da maioria das questões, tratando de regime de juros simples. 
Neste regime, quando deslocamos a parcela para a esquerda (trazemos do futuro para um tempo presente), 
dividimos pelo fato (1 + 𝑖 × 𝑡). 
Resolvendo para uma taxa de juros simples de 2% ao mês: 
 
𝑥 =
22.000
(1 + 0,02 × 5)
+
30.000
(1 + 0,02 × 10)
 
𝑥 =
22.000
(1 + 0,1)
+
30.000
(1 + 0,2)
 
𝑥 =
22.000
1,1
+
30.000
1,2
 
𝑥 = 20.000 + 25.000 → 𝒙 = 𝟒𝟓. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
42. (FGV / BADESC - 2010) Um investidor deseja depositar uma determinada quantia em um banco 
para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo de um ano e mais R$ 10.000,00 no prazo de 
quatro anos. 
Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de juros simples de 6,25% ao trimestre, o 
menor valor presente a ser depositado por esse investidor é: 
a) R$ 6.667,66 
b) R$ 10.000,00 
c) R$ 13.000,00 
d) R$ 14.535,32 
e) R$ 30.250,00 
Comentários: 
Observe que as retiradas serão no prazo de 1 e 4 anos e a Taxa de Juros informada é trimestral. Então, 
primeiro passo, vai ser transformar a Taxa de Juros (de trimestral para anual). 
Perceba que estamos tratando de Juros Simples. Logo, as Taxas são proporcionais. Em 1 ano há 4 trimestres. 
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119 
 
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 4 × 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 4 × 6,25% → 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟐𝟓% 𝒐𝒖 𝟎, 𝟐𝟓 
Um investidor deseja depositar uma quantia 𝑥 em um banco para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no 
prazo de um ano e mais R$ 10.000,00 no prazo de quatro anos. Graficamente teremos: 
 
O valor 𝑥 que ele terá que depositar será igual a soma do valor presente de cada uma das duas parcelas. 
Logo: 
𝑥 =
10.000
(1 + 𝑖 × 1)
+
10.000
(1 + 𝑖 × 4)
 
Atenção! Estamos tratando de regime de juros simples. Neste regime, quando deslocamos a parcela para a 
esquerda (trazemos do futuro para um tempo presente), dividimos pelo fato (1 + 𝑖 × 𝑡). 
Resolvendo para uma taxa de juros simples de 25% ao ano: 
𝑥 =
10.000
(1 + 0,25 × 1)
+
10.000
(1 + 0,25 × 4)
 
𝑥 =
10.000
(1 + 0,25)
+
10.000
(1 + 1)
 
𝑥 =
10.000
1,25
+
10.000
2
 
𝑥 = 8.000 + 5.000 → 𝒙 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
43. (FGV /BANESTES - 2018) O diagrama a seguir apresenta as projeções dos fluxos de caixa líquidos 
de um projeto, em reais, durante dez meses. 
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120 
 
 
Se a Taxa Interna de Retorno (TIR) é 4% a.m., então o valor de P é: 
Dados: 1,049 = 1,42 ; 1,0410 = 1,48 ; 1,0411 = 1,54 
a) R$ 1.370,00 
b) R$ 1.427,00 
c) R$ 1.480,00 
d) R$ 1.565,00 
e) R$ 1.623,00 
Comentários: 
Na próxima aula veremos que a TIR é a taxa de desconto que, quando aplicada sobre o fluxo de caixa futuro 
trazido a valor presente, iguala-o ao investimento inicial. 
Ou seja, o Valor Presente desse fluxo de caixa a uma taxa de 4% a.m. será igual ao valor do Investimento 
Inicial, isto é, igual a R$ 12.000,00. 
Observe que o fluxo de caixa se trata de uma série de rendas certas postecipadas. Vejamos graficamente: 
 
 
O VA dessa série de rendas é igual a R$ 12.000. 
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𝑉𝐴 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 
Iremos substituir os valores e calcular P. 
12.000 = 𝑃 × [
(1 + 0,04)10 − 1
0,04 × (1 + 0,04)10
] 
12.000 = 𝑃 × [
1,0410 − 1
0,04 × 1,0410
] 
O enunciado nos fornece o valor da potência: 1,0410 = 1,48 
12.000 = 𝑃 × [
1,48 − 1
0,04 × 1,48
] 
12.000 = 𝑃 × [
0,48
0,04 × 1,48
] 
𝑃 =
12.000 × 0,04 × 1,48
0,48
 → 𝑷 = 𝟏. 𝟒𝟖𝟎 
Gabarito: Alternativa C 
 
44. (FGV / BANESTES - 2018) Um empréstimo deverá ser quitado em 6 prestações mensais iguais 
de R$ 670,00, segundo o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price.), com a primeira 
prestação vencendo um mês após a contratação. A taxa de juros nominal é de 60% ao ano, com 
capitalização mensal. 
O saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª prestação será: 
Dado: 1,056 = 1,34 
a) R$ 2.900,00 
b) R$ 2.830,00 
c) R$ 2.800,00 
d) R$ 2.730,00 
e) R$ 2.700,00 
Comentários: 
Um empréstimo deverá ser quitado em 6 prestações mensais iguais de R$ 670,00, com a primeira prestação 
vencendo um mês após a contratação. 
 
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O enunciado nos questiona qual o saldo devedor depois do primeiro pagamento. Observe o esquema abaixo: 
 
Perceba que o Saldo Devedor será igual ao Valor Atual da 5 rendas certas postecipadas que ainda faltam 
pagar. 
Lembrando que Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Postecipadas é a soma de todas as n rendas 
certas P descontadas pela mesma taxa de juros i. O VA é calculado pela seguinte fórmula: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 
Antes de substituirmos os valores na fórmula, devemos calcular a taxa efetiva da operação uma vez que a 
banca nos fornece a taxa nominal (estudamos exaustivamente essa conversão na aula de "juros compostos"). 
𝑖𝑒𝑓 =
60%
12
 → 𝒊𝒆𝒇 = 𝟓% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 
Iremos substituir os valores e calcular o Saldo Devedor: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 
𝑉𝐴 = 670 × [
(1 + 0,05)5 − 1
0,05 × (1 + 0,05)5
] 
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𝑉𝐴 = 670 × [
1,055 − 1
0,05 × 1,055
] 
A FGV gosta de complicar, caro aluno. Observe que ela nos fornece o valor da potência 1,056. 
Vamos então manipular algebricamente esta potência para achar 1,055. 
1,055 =
1,056
1,05
 
1,055 =
1,34
1,05
 → 1,055 ≅ 1,276 
Substituindo e calculando VA: 
𝑉𝐴 = 670 × [
1,276 − 1
0,05 × 1,276
] → 𝑽𝑨 ≅ 𝟐. 𝟗𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa A 
 
45. (FGV / BANESTES - 2018) Antônia faz um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, que será 
quitado em 5 prestações mensais antecipadas de R$ 1.400,00 cada uma e um pagamento final 
junto com a última prestação. O banco cobra juros efetivos de 7% a.m. sob regime de 
capitalização composta e estipula um período de carência de dois meses. 
O valor do pagamento final é: 
Dado: 1,07 5 = 1,40 
a) R$ 69,80 
b) R$ 72,20 
c) R$ 722,00 
d) R$ 6.980,00 
e) R$ 7.220,00 
Comentários: 
Vamos representar graficamente o que nos traz o enunciado. 
Antônia faz um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, que será quitado em 5 prestações mensais 
antecipadas de R$ 1.400,00 cada uma e um pagamento final junto com a última prestação. O banca estipula 
um período de carência de 2 meses. 
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Então, perceba que há o Empréstimo na data 𝑡 = 0 de R$ 10.000 seguido de 5 pagamentosde R$ 1.400 
começando no início do segundo período (uma vez que os pagamentos são antecipados) e um pagamento 
final junto com a última prestação no valor de 𝑥. 
Para equivaler estes capitais, vamos levar todo o fluxo de caixa para a data final 𝑡 = 6. 
Observe que, no tempo 𝑡 = 6, já temos o pagamento final de 𝑥 e teremos também o Valor Futuro (𝑉𝐹) da 
série de 5 rendas certas no valor de R$ 1.400. 
 
Então, nossa equivalência de Capitais no tempo 𝒕 = 𝟔 será: 
10.000 × (1 + 𝑖)6 = 𝑉𝐹 + 𝑥 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (𝐼) 
Vamos calcular separadamente o 𝑉𝐹 da série de 5 rendas certas de R$ 1.400 a uma taxa de 7% ao mês. 
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Lembrando que o Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas é o valor no momento “n” que equivale a 
soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i. 
𝑉𝐹 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑉𝐹 = 1.400 × [
(1 + 0,07)5 − 1
0,07
] 
𝑉𝐹 = 1.400 × [
1,075 − 1
0,07
] 
Observe que o enunciado nos fornece 1,075 = 1,4. 
𝑉𝐹 = 1.400 × [
1,4 − 1
0,07
] 
𝑉𝐹 = 1.400 × [
0,4
0,07
] → 𝑽𝑭 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 
Iremos voltar na equação (𝐼) e calcular o valor de 𝑥. 
10.000 × (1 + 𝑖)6 = 𝑉𝐹 + 𝑥 
10.000 × (1 + 0,07)6 = 8.000 + 𝑥 
10.000 × 1,076 = 8.000 + 𝑥 
Perceba que o enunciado nos fornece o valor da potência elevada a 5. Então, vamos "desmembrar" o fator 
para aparecer 1,075 e calcular, por fim, o valor do pagamento final 𝑥. 
10.000 × 1,076 = 8.000 + 𝑥 
10.000 × 1,075 × 1,07 = 8.000 + 𝑥 
10.000 × 1,4 × 1,07 = 8.000 + 𝑥 
14.980 = 8.000 + 𝑥 
𝑥 = 14.980 − 8.000 → 𝒙 = 𝟔. 𝟗𝟖𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
 
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46. (FGV / ALERO - 2018) Um imóvel custa, à vista, R$ 262.000,00, mas pode ser financiado em 30 
meses, de acordo com o seguinte fluxo de pagamentos: 
 
Se a taxa composta de juros utilizada durante todo o fluxo é de 2% a.m., então o valor do pagamento Final é 
a) R$ 270.000 
b) R$ 260.000 
c) R$ 200.000 
d) R$ 170.000 
e) R$ 160.000 
Comentários: 
Vamos representar graficamente as 2 opções de compra para melhor visualização do problema. 
 
Acho que graficamente ficou melhor de entender, certo? 
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O pagamento em vermelho refere-se à opção à vista, equanto o pagamento em azul refere-se à opção 
"parcelada". 
Vamos ter que equivaler os capitais. As 2 opções de pagamento são equivalentes. Vamos equivaler os capitais 
no tempo 𝑡 = 30, pois como vimos na teoria, levar para o futuro (multiplicar) é menos trabalhoso que trazer 
as parcelas para o presente (dividir). 
Mas antes de proceder com as contas, vamos "ajeitar" nosso gráfico. 
 
Perceba que no tempo 𝑡 = 0, "compensamos" os dois capitais que nele estavam e transformamos a série de 
25 rendas certas em um Valor Futuro que corresponde a soma de todas as n rendas certas P capitalizadas 
pela mesma taxa de juros i. 
Nossa equivalência de capitais no tempo 𝑡 = 30 será: 
182.000 × (1 + 𝑖)30 = 𝑉𝐹 + 𝑥 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (𝐼) 
Vamos calcular separadamente o 𝑉𝐹 da série de 25 rendas certas de R$ 1.800 a uma taxa de 2% ao mês. 
𝑉𝐹 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
] 
𝑉𝐹 = 1.800 × [
(1 + 0,02)25 − 1
0,02
] 
𝑉𝐹 = 1.800 × [
(1,02)25 − 1
0,02
] 
O enunciado nos informa que (1,02)25 = 1,64. 
𝑉𝐹 = 1.800 × [
1,64 − 1
0,02
] 
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𝑉𝐹 = 1.800 × [
0,64
0,02
] 
𝑉𝐹 = 1.800 × 32 → 𝑽𝑭 = 𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 
Iremos voltar na equação (𝐼) e calcular o valor do pagamento final 𝑥. 
182.000 × (1 + 𝑖)30 = 𝑉𝐹 + 𝑥 
182.000 × (1 + 0,02)30 = 57.600 + 𝑥 
182.000 × (1,02)30 = 57.600 + 𝑥 
De acordo com o enunciado, (1,02)30 = 1,8. 
182.000 × 1,8 = 57.600 + 𝑥 
327.600 = 57.600 + 𝑥 
𝑥 = 327.600 − 57.600 → 𝒙 = 𝟐𝟕𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa A 
 
47. (FGV / ISS Niterói - 2015) Um empréstimo no valor de R$ 163.982,69 deve ser pago em 18 
prestações iguais de R$ 10.000,00, vencendo a primeira um período após a liberação dos 
recursos seguindo o Sistema francês de amortização - tabela Price. Os juros são de 1% ao 
período. Após o pagamento da 9ª prestação, o estado da dívida é, em reais, de: 
Utilize: 1,01−9 = 0,91 
a) 81.000 
b) 81.990 
c) 82.800 
d) 90.000 
e) 94.710 
Comentários: 
Um empréstimo no valor de R$ 163.982,69 deve ser pago em 18 prestações iguais de R$ 10.000,00, vencendo 
a primeira um período após a liberação dos recursos: 
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O enunciado nos questiona qual o saldo devedor depois do pagamento da nona prestação. Observe o 
esquema abaixo: 
 
 
Perceba que o Saldo Devedor será igual ao Valor Atual da 9 rendas certas postecipadas que ainda faltam 
pagar. 
Lembrando que Valor Atual (VA) de uma série de rendas certas Postecipadas é a soma de todas as n rendas 
certas P descontadas pela mesma taxa de juros i. O VA é calculado pela seguinte fórmula: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
Vamos substituir os valores e calcular o Saldo Devedor: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
] 
𝑉𝐴 = 10.000 × [
1 − (1 + 0,01)−9
0,01
] 
𝑉𝐴 = 10.000 × [
1 − 1,01−9
0,01
] 
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𝑉𝐴 = 10.000 × [
1 − 0,91
0,01
] 
𝑉𝐴 = 10.000 × [
0,09
0,01
] 
𝑉𝐴 = 10.000 × 9 → 𝑽𝑨 = 𝟗𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
48. (FGV / Pref. Recife - 2014) O valor presente para um único valor com vencimento futuro no ano 
n é dado por 𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝒏⁄ . Considerando uma taxa de desconto de 25% ao ano, assinale a opção 
que indica o valor presente de um imóvel adquirido por meio de um conjunto de 20 pagamentos 
anuais de R$ 25.000,00. 
Dado: 1,2520 = 86,7362 
a) R$ 79.280,30 
b) R$ 98.847,08 
c) R$ 115.365,24 
d) R$ 216.840,43 
e) R$ 500.000,00 
Comentários: 
O enunciado nos questiona o Valor Presente de uma série de rendas certas anuais de R$ 25.000 descontadas 
a 25% ao ano. 
Vejamos graficamente: 
 
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O enunciado não nos afirma se a série de rendas é antecipada ou postecipada. Nesse caso, como já 
comentamos, por conveção, adota-se postecipadas. 
O VA é calculado pela seguinte fórmula: 
𝑉𝐴 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] 
Vamos substituir os valores e calcular VA: 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
(1 + 0,25)20 − 1
0,25 × (1 + 0,25)20
] 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
1,2520 − 1
0,25 × 1,2520
] 
Antes de continuarmos as contas, quero que você olhe as alternativas e use um pouco da experiência de 
resolução de exercícios. 
Perceba que as alternativas estão bem distantes em termos numéricos umadas outras. Então, na hora dos 
cálculos, não precisamos usar tantas casas decimais. A banca nos fornece 1,2520 = 86,7362. 
Nesse caso, vamos arredondar para 1,2520 = 87. 
Enfatizo, mais uma vez, que fizemos isto porque as alternativas estão distantes numericamente uma das 
outras. 
Continuando os cálculos: 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
1,2520 − 1
0,25 × 1,2520
] 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
87 − 1
0,25 × 87
] 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
86
0,25 × 87
] 
𝑉𝐴 = 25.000 × [
86
0,25 × 87
] → 𝑽𝑨 ≅ 𝟗𝟖. 𝟖𝟓𝟎 
Gabarito: Alternativa B 
 
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49. (FGV / SEFAZ RJ - 2010) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser 
financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa 
de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas 
é feito considerando-se os meses com 30 dias. 
Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: 
a) R$ 525,68 
b) R$ 545,34 
c) R$ 568,24 
d) R$ 576,19 
e) R$ 605,00 
Comentários: 
Uma empresa parcela a venda de um produto de R$ 1.000 em duas prestações postecipadas de valor 𝑃 a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Graficamente teremos: 
 
Vamos equivaler os Capitais (formas de pagamento) no tempo 𝑡 = 2. 
1.000 × (1 + 𝑖)2 = 𝑃 × (1 + 𝑖)1 + 𝑃 
1.000 × (1 + 0,1)2 = 𝑃 × (1 + 0,1)1 + 𝑃 
1.000 × 1,12 = 𝑃 × 1,11 + 𝑃 
1.000 × 1,21 = 𝑃 × 1,1 + 𝑃 
1.210 = 2,1𝑃 
𝑃 =
1.210
2,1
 → 𝑷 = 𝟓𝟕𝟔, 𝟏𝟗 
Gabarito: Alternativa D 
 
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50. (FGV / ISS Angra dos Reis RJ - 2010) Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de 
valor presente de séries uniformes de pagamento, na qual n é o número de prestações mensais 
e i a taxa de juros. 
 
Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 
cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.858,55 
c) R$ 1.895,43 
d) R$ 1.914,30 
e) R$ 1.654,80 
Comentários: 
Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 
cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. 
Vejamos no gráfico: 
 
 
 
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𝑉𝑃 = 𝑃 × [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] × (1 + 𝑖) 
𝑉𝑃 = 500 × [
(1 + 0,03)4 − 1
0,03 × (1 + 0,03)4
] × (1 + 0,03) 
Observe que o valor entre colchetes é o nosso Fator de Valor Atual (Presente) estudado na teoria. Veja: 
O fator que multiplica a Parcela na fórmula do Valor Atual é chamado de Fator de Valor Atual. 
 
[
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
] → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 
 
Esse fator pode ser encontrado na questão pela seguinte simbologia: 
𝒂𝒏¬𝒊 = [
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
] 
Onde, 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 = 4 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 = 3% = 0,03 
Ou seja, buscamos o valor de 𝒂𝟒¬𝟑%. 
Então, vamos na tabela fornecida pela banca (fator de valor atual), e encontraremos o resultado para 𝑛 = 4 
e 𝑖 = 3%. 
 
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Gabarito: Alternativa D 
 
51. (FGV / Pref. Niterói - 2015) Uma instituição financeira oferece resgate do valor equivalente às 
reservas de um plano de benefícios perpétuos em uma única vez. O acordo dará quitação geral 
e definitiva dos benefícios, com a consequente extinção dos contratos. 
Para um cliente que recebe R$ 3.000,00 mensais, foi oferecido o valor do pagamento de R$ 60.000,00. 
Desconsidere impostos e taxas. 
A taxa mensal de juros compostos praticada pela instituição nesse tipo de operação foi: 
a) 5,0% 
b) 5,5% 
c) 7,1% 
d) 8,0% 
e) 10,2% 
Comentários: 
 
A FGV adora cobrar o tema "Rendas Perpétuas" em sua prova. Acredito que 1 questão da prova versará sobre 
este assunto. 
O termo perpetuidade sugere fluxos de duração infinita (sem limite) ou, mais precisamente, números 
de prestações que não podem ser determinadas exatamente. 
Perceba que a banca não nos informa o período das parcelas. Nesse caso, por convenção, adotaremos 
parcelas postecipadas. 
O Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas é igual a: 
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𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
Onde, 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = 60.000 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 3.000 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = ? 
Vamos substituir os valores e calcular a taxa de juros: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
60.000 =
3.000
𝑖
 
𝑖 =
3.000
60.000
 → 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒐𝒖 𝟓% 
Gabarito: Alternativa A 
 
52. (FGV / ISS Niterói - 2015) Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados 
mensalmente a uma taxa de 6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, 
supondo taxa de juros de 10% ao mês, é, em reais: 
a) 12.500 
b) 20.000 
c) 22.000 
d) 50.000 
e) 55.000 
Comentários: 
Observe que essa questão nos traz uma taxa de crescimento da parcela perpétua. 
Vamos, então, aplicar a fórmula de Valor Atual de uma série de rendas perpétuas postecipadas com 
crescimento. 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
Onde, 
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𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ? 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 2.000 
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,1 
𝑔 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 6% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,06 
Substituindo os valores teremos: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
 
𝑉𝐴 =
2.000
0,1 − 0,06
 
𝑉𝐴 =
2.000
0,04
 → 𝑽𝑨 = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa D 
 
53. (FGV / BNB - 2014) Fernando possui um título que tem taxa de desconto de 0,75% ao mês e que 
paga mensalmente a quantia de R$ 900,00, perpetuamente. Se Fernando quiser vender esse 
título, o seu preço justo é de: 
a) R$ 12.000,00 
b) R$ 67.500,00 
c) R$ 90.000,00 
d) R$ 120.000,00 
e) R$ 675.000,00 
Comentários: 
O termo perpetuidade sugere fluxos de duração infinita (sem limite) ou, mais precisamente, números 
de prestações que não podem ser determinadas exatamente. 
Perceba que a banca não nos informa o período das parcelas. Nesse caso, por convenção, adotaremos 
parcelas postecipadas. 
O Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas é igual a: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
Onde, 
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𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ? 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 900 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 0,75% = 0,075 
Vamos substituir os valores e calcular a taxa de juros: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
𝑉𝐴 =
900
0,075
 → 𝑽𝑨 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
Gabarito: Alternativa A 
 
54. (FGV / ISS Recife - 2014) Uma pessoa investe um montante de x reais para garantir um 
recebimento anual perpétuo de 100 reais. Sabendo que esse montante é remunerado à taxa de 
1% ao ano, o valor de x é igual a: 
a) 10 
b) 100 
c) 1.000 
d) 10.000 
e) 100.000 
Comentários: 
Perceba que a banca não nos informa o período das parcelas. Nesse caso, por convenção, adotaremos 
parcelas postecipadas. 
Uma pessoa investe um montante de x reais para garantir um recebimento anual perpétuo de 100 reais. Ou 
seja, este valor 𝑥 é o Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas. 
O Valor Atual de uma série de Rendas Perpétuas Postecipadas é igual a: 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
Onde, 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑥 
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 = 100 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 1% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 = 0,01 
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Vamos substituir os valores e calcular o Valor Atual 𝑥. 
𝑉𝐴 =
𝑃
𝑖
 
𝑥 =
100
0,01
 → 𝑥 = 10.000 
Gabarito: Alternativa D 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
1. (CESGRANRIO / BB - 2015) Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no 
regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante 
aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no 
investimento. 
A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? 
Dado: √76 = 8,7 
a) 7,40% a 7,89% 
b) 8,40% a 8,89% 
c) 6,40% a 6,89% 
d) 6,90% a 7,39% 
e) 7,90% a 8,39% 
 
2. (CESGRANRIO / BB - 2012) Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse 
aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais 
iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. 
O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de 
a) 704,00 
b) 705,60 
c) 719,00 
d) 739,20 
e) 806,40 
 
3. (CESGRANRIO / Liquigas - 2018) Uma empresa fez um contrato no valor de 500 mil reais com 
um fornecedor que lhe ofereceu duas formas de pagamento: 
Opção I – Pagar à vista com 10% de desconto, na data da assinatura do contrato. 
Opção II – Pagar a prazo, em duas parcelas mensais, iguais e sucessivas de 250 mil reais cada, com 
vencimentos para 1 e 2 meses, respectivamente, contados a partir da assinatura do contrato. 
A taxa mensal de juro composto implícita na opção II, quando comparada ao valor à vista da opção I, é de, 
aproximadamente, 
Dado: √205 = 14,32 
a) 5,0% 
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141 
 
b) 5,8% 
c) 6,5% 
d) 7,3% 
e) 7,8% 
 
4. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Uma dívida no valor de 20 milhões de reais foi dividida, 
em janeiro de 2018, em duas parcelas anuais postecipadas, sendo a primeira no valor de 12 
milhões de reais, com vencimento para janeiro de 2019, e a segunda de 14,4 milhões de reais, 
com vencimento para janeiro de 2020. 
Nessas condições, a taxa de juro anual cobrada no financiamento dessa dívida, no regime de juros 
compostos, foi de 
a) 2% 
b) 10% 
c) 12% 
d) 20% 
e) 22% 
 
5. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2018) Uma mercadoria no valor A será comprada em duas 
parcelas iguais a p, calculadas a partir de uma taxa de juros mensal fixa i, no regime de juros 
compostos, sendo a primeira parcela paga 1 mês após a compra, e a segunda, 2 meses após a 
compra. 
A expressão da taxa i de correção do dinheiro, usada pela loja para calcular as parcelas, é dada por 
a) 𝑖 =
𝑝
𝐴
 
b) 𝑖 =
𝑝+√𝑝2−4𝐴𝑝
2𝐴
 
c) 𝑖 =
𝑝+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
d) 𝑖 =
𝑝+𝐴+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
e) 𝑖 =
𝑝−2𝐴+√𝑝2+4𝐴𝑝
2𝐴
 
 
6. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Uma empresa avalia a compra de uma máquina junto a 
dois fornecedores, os quais, apesar de venderem com o mesmo preço inicial de 2 milhões de 
reais, ofereceram planos de pagamento diferentes. O fornecedor A ofereceu um desconto de 
10% e prazo para pagamento único exatamente após 1 mês da data da compra; o fornecedor B 
ofereceu um desconto de 12% para pagamento à vista. 
Considerando-se uma taxa de 5% ao mês para o custo do dinheiro que será usado nessa operação, a 
economia, em milhares de reais, que pode ser feita se o comprador escolher a decisão mais econômica, 
baseada na equivalência de capitais, pertence ao intervalo 
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a) [45; 46[ 
b) [46; 47[ 
c) [47; 48[ 
d) [48; 49[ 
e) [49; 50] 
 
7. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2018) Um analista avalia a compra de um equipamento, cujo 
preço inicial, em dois fornecedores diferentes, foi orçado em 10 milhões de reais. O fornecedor 
I ofereceu um desconto de 12% e prazo para pagamento único exatamente após 1 mês. O 
fornecedor II ofereceu um desconto de 13% para pagamento à vista. 
Considerando-se uma taxa de 3% ao mês para o custo do dinheiro que será usado na operação, a economia, 
em milhares de reais, que pode ser feita se o comprador escolher a decisão mais econômica, baseada na 
equivalência de capitais, pertence ao intervalo: 
a) [155, 160] 
b) [161, 165] 
c) [166, 170] 
d) [171, 175] 
e) [176, 180] 
 
8. (CESGRANRIO / BR - 2015) Uma pessoa pretende comprar um novo smartphone. Na loja, o 
smartphone é vendido em duas vezes sem entrada, isto é, o cliente não paga nada no ato da 
compra e paga duas prestações: uma ao final do primeiro mês, e outra ao final do segundo mês. 
As prestações são de R$ 441,00, e a loja informa que cobra juros de 5% ao mês. 
O preço à vista desse smartphone, em reais, é 
a) 800 
b) 820 
c) 840 
d) 880 
e) 882 
 
9. (CESGRANRIO / FINEP - 2014) Uma prestadora de serviços realizará um trabalho para uma 
empresa no valor total de R$ 150.000,00. Para tal, ofereceu duas formas de pagamento, 
conforme descritas a seguir: 
Opção I – Pagamento de 40% no ato da assinatura do contrato e os 60% restantes três meses depois da 
assinatura. 
Opção II – Pagamento de 50% um mês após a assinatura do contrato e outros 50% restantes dois meses após 
a assinatura. 
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143 
 
A empresa escolheu a opção cujo fluxo de pagamentos tivesse o menor valor presente na data da assinatura 
do contrato, considerando uma taxa de 48% ao ano, capitalizados mensalmente. 
O valor mais próximo, em reais, do valor presente do fluxo de pagamentos da opção escolhida, na data do 
contrato, é 
a) 132.000,00 
b) 139.200,00 
c) 140.000,00 
d) 141.000,00 
e) 141.500,00 
 
10. (CESGRANRIO / IBGE - 2013) Uma empresa de TIC oferece um serviço no valor total de R$ 
200.000,00 a ser pago pela contratante, em três parcelas, distribuídas da seguinte forma: 
1ª parcela: R$ 60.000,00, no ato da contratação 
2ª parcela: R$ 40.000,00, para 2 meses após a assinatura do contrato 
3ª parcela:R$ 100.000,00, para 3 meses após a assinatura do contrato 
Considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 1% a.m., o valor mais próximo do valor atual desse 
contrato, em reais, é de 
a) 196.200,00 
b) 196.270,00 
c) 197.600,00 
d) 197.630,00 
e) 198.610,00 
 
11. (CESGRANRIO / CEF - 2012) Um empreendedor tomou emprestado um determinado valor para 
iniciar um pequeno negócio. O empréstimo deveria ser pago em prestações mensais e iguais. 
Na data da antepenúltima prestação, o empreendedor resolveu quitar a dívida, pagando as três 
parcelas restantes de uma só vez. 
Sabendo-se que o valor de cada parcela é de R$ 100,00 e que a taxa contratada é de 10 % ao mês, o valor, 
em reais, da liquidação das prestações foi de 
a) 150 
b) 165 
c) 173 
d) 187 
e) 273 
 
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12. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Uma loja oferece duas opções de pagamento aos clientes. 
A primeira opção é à vista, com desconto de 5%, e a segunda é a prazo, com dois pagamentos 
mensais iguais, sendo o primeiro no ato da compra, e o segundo, um mês após a compra. 
A taxa mensal dos juros pagos por quem opta pela compra a prazo é, de, aproximadamente, 
a) 2,5% 
b) 5,0% 
c) 5,5% 
d) 10,0% 
e) 11,1% 
 
13. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Um produto é vendido à vista com 10% de desconto ou a 
prazo em dois pagamentos, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo 2 meses após a 
compra. 
Qual é, aproximadamente, a taxa mensal de juros no pagamento a prazo? 
Dado: √5 = 2,24 
a) 10% 
b) 11% 
c) 12% 
d) 24% 
e) 25% 
 
14. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) Uma loja oferece aos clientes duas opções de pagamento. 
A primeira opção é à vista, com desconto de d%, e a segunda é a prazo, com uma entrada de 
30%, e o restante um mês após a compra. 
Sabendo-se que a taxa mensal de juros efetiva é 5% ao mês, o valor da taxa de desconto, d, a ser oferecido 
aos clientes que optarem pela compra à vista, de modo a tornar indiferentes as duas opções de pagamento, 
é, aproximadamente, de 
a) 2,5% 
b) 3,3% 
c) 4,6% 
d) 5,0% 
e) 5,3% 
 
15. (CESGRANRIO / BR - 2012) Uma pessoa tem três dívidas com uma instituição bancária. A 
primeira é de R$ 50.000,00, a segunda é de R$ 100.000,00 e a última, de R$ 20.000,00. Os 
vencimentos das dívidas são, respectivamente, daqui a 2, 3 e 4 meses. 
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==275324==
145 
 
Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a um mês, qual deverá ser o valor do 
mesmo, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? 
a) R$ 157.615,27 
b) R$ 160.767,58 
c) R$ 163.982,93 
d) R$ 167.262,59 
e) R$ 170.607,84 
 
16. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2012) Utilizar o ferramental disponibilizado pela matemática 
financeira corretamente requer que se considere o valor do dinheiro no decorrer do tempo. 
Isso quer dizer que, a uma taxa de juros efetiva maior que zero, uma determinada unidade monetária 
apresenta 
a) o mesmo valor financeiro independente da data focal. 
b) o mesmo valor financeiro para o tempo zero e para uma data focal à frente. 
c) valores financeiros distintos em datas focais distintas. 
d) valores financeiros crescentes, à medida que se aproxima do tempo zero. 
e) valores futuros decrescentes, à medida que se distancia do tempo zero. 
 
17. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2012) A empresa Portões Dindin Ltda. está negociando uma 
compra com um dos seus fornecedores e recebeu dele duas alternativas para pagamento: à 
vista, no valor de R$ 9.500,00, ou com dois meses de prazo, no valor de R$ 10.000,00. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 3% ao mês e sem levar em conta qualquer tipo de imposto, 
a opção de compra mais vantajosa para a Portões Dindin é 
a) a prazo, pois resulta em um valor presente de R$ 9.400,00, menor, portanto, que o valor à vista. 
b) a prazo, pois resulta em um valor presente de R$ 9.425,96, menor, portanto, que o valor à vista. 
c) à vista, pois o valor de R$ 9.500,00 é menor que o de R$ 10.000,00 a ser pago a prazo. 
d) à vista, pois o valor é menor que na opção a prazo, cujo valor presente é R$ 10.609,00. 
e) à vista, pois o valor é menor que na opção a prazo, cujo valor presente é R$ 9.700,00. 
 
18. (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2011) Os termos juros, montante e principal são denominações 
de variáveis relevantes dos problemas de matemática financeira. 
As duas últimas variáveis também podem ser denominadas, respectivamente, da seguinte forma: 
a) capital e valor presente 
b) tempo zero e prestação total 
c) valor futuro e anuidade 
d) valor presente e valor futuro 
e) valor futuro e valor presente 
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19. (CESGRANRIO / BNDES - 2011) Uma loja de eletrodomésticos anuncia uma TV LCD de 42", cujo 
preço de lista é de R$ 2.400,00, à vista com desconto de 20% ou alternativamente em três 
parcelas iguais, com a 1a prestação 30 dias após a compra. 
Se a loja afirma utilizar uma taxa de juros compostos de 3% a.m., qual o valor aproximado da prestação para 
que as duas opções de pagamento sejam equivalentes? 
 
a) R$ 603,09 
b) R$ 678,78 
c) R$ 753,86 
d) R$ 848,45 
e) R$ 2.196,39 
 
20. (CESGRANRIO / BR - 2010) Supondo a taxa de juros compostos de 1% a. m., o valor presente 
líquido de um pagamento de R$ 100,00, a ser efetuado três meses no futuro, pode ser obtido 
exatamente pela expressão 
a) 100 ÷ 1,03 
b) 100 × 1,03 
c) 100 × (1,01)3 
d) 100 ÷ (1,01)3 
e) 100 + (0,01)3 × 100 
 
21. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010 - Adaptada) O fluxo de caixa a seguir corresponde a um 
projeto de investimento com taxa de 10% ao mês para equivalência dos capitais aplicado e 
recebido. 
 
O valor de X é, em reais, mais próximo de 
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a) 13.270 
b) 13.579 
c) 13.831 
d) 14.125 
e) 14.418 
 
22. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010) Um equipamento está sendo vendido a prazo, da seguinte 
forma: R$ 500,00 de entrada no ato da compra, mais duas parcelas, sendo a primeira, no valor 
de R$ 440,00, a ser paga em 30 dias após a compra, e a segunda, no valor de R$ 180,00, a ser 
paga em 60 dias após a compra. A taxa de juros simples praticada no mercado é de 10% a.m. O 
valor à vista desse equipamento é, em reais, de 
a) 535,00 
b) 580,00 
c) 1.050,00 
d) 1.100,00 
e) 1.120,00 
 
23. (CESGRANRIO / BNDES - 2010) Uma loja oferece duas opções de pagamento na compra de uma 
bicicleta: R$ 200,00 à vista, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$ 120,00, sendo 
a primeira delas paga no ato da compra. Tomando-se a opção de pagamento à vista como 
referência, a taxa mensal de juros cobrada pela loja na venda a prazo é 
a) 20% 
b) 25% 
c) 40% 
d) 50% 
e) 60% 
 
24. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2018 - Adaptada) Qual é o valor presente, aproximado, de uma 
sequência de 5 pagamentos mensais iguais a R$ 1.000,00, sendo o primeiro com vencimento na 
data de hoje, e os outros, nos quatro meses subsequentes, considerando-se uma taxa de juros 
de 1% a.m.? 
a) R$ 4.850,00 
b) R$ 4.853,43 
c) R$ 4.900,00 
d) R$ 4.901,97 
e) R$ 5.000,00 
 
25. (CESGRANRIO / BR - 2013) Um bem, cujo preço à vista é R$ 10.100,00, é vendido em doze 
prestações consecutivas, mensais e iguais, sendo a primeira prestação paga no atoda compra. 
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Se são cobrados juros compostos de 1% ao mês, o valor das prestações, em reais, é aproximadamente 
Dado: 1,01−12 = 0,8874 
a) 842 
b) 888 
c) 897 
d) 914 
e) 948 
 
26. (CESGRANRIO / CEF - 2012 - Adaptada) Um imóvel de 100 mil reais é financiado em 360 
prestações mensais, a uma taxa de juros de 1% ao mês, pelo Sistema de Amortização Francês 
(Tabela Price), gerando uma prestação de R$ 1.028,61. 
Reduzindo-se o prazo do financiamento para 240 prestações, o valor de cada prestação é, em reais, 
aproximadamente, 
Dado: 1,01−240 = 0,09 
a) 1.099,00 
b) 1.371,00 
c) 1.428,00 
d) 1.714,00 
e) 2.127,00 
 
27. (CESGRANRIO / PETROBRAS - 2010 - Adaptada) Uma dívida deve ser paga em 8 parcelas mensais 
e iguais no valor de R$ 800,00. Serão cobrados juros de 10% ao mês, sendo que a primeira 
parcela será paga 30 dias após o recebimento do empréstimo. O valor do empréstimo é, em 
reais, próximo de 
Dados: 1,1−8 = 0,4665 
a) 3.555,55 
b) 4.268,00 
c) 4.694,73 
d) 5.247,00 
e) 5.818,18 
 
28. (CESGRANRIO / CEF - 2008) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de 
R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será 
resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 
2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será 
Dado: 1,0212 = 1,268242 
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a) 1.200,00 
b) 1.224,00 
c) 1.241,21 
d) 1.368,03 
e) 2.128,81 
 
29. (CESGRANRIO / BR - 2012 - Adaptada) Um jogador de futebol, cansado de entrar em campo por 
anos e de nunca ter conquistado um título, deseja, ao se aposentar, retirar uma vez por ano o 
equivalente a R$ 120.000,00 anuais, por um período infinito. Com um amigo investidor, ele 
conseguiu um fundo em que pode aplicar suas economias e que lhe garante rendimento de 10% 
ao ano. 
Para alcançar seu objetivo, o jogador terá de aplicar 
a) R$ 100.000,00 
b) R$ 109.090,90 
c) R$ 120.000,00 
d) R$ 1.000.000,00 
e) R$ 1.200.000,00 
 
30. (CESGRANRIO / BR - 2015) Um gestor deparou com a necessidade de calcular o valor presente 
de uma série perpétua de fluxos de caixa. Ele não sabia se calcularia considerando um fluxo 
constante ou com uma taxa de crescimento de 0,5% ao período. A taxa de desconto a ser 
utilizada no cálculo é de 1% ao período. Sendo assim, a razão entre o resultado do cálculo do 
valor presente da série com crescimento e do valor presente da série constante é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
31. (FGV / BANESTES - 2018) Um bem, cujo preço à vista é R$ 500,00, será adquirido por meio de 
duas prestações mensais consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira delas paga um mês após 
a compra. 
Nessa venda, a taxa mensal de juros compostos aplicada é: 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 40% 
e) 50% 
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32. (FGV / BANESTES - 2018) Um equipamento eletrodoméstico custa R$ 175,00 à vista, mas pode 
ser adquirido a prazo por intermédio de três prestações antecipadas mensais iguais e 
consecutivas de R$ 100,00. 
A taxa de juros efetiva composta ao mês cobrada nesse financiamento é de: 
a) 100% 
b) 80% 
c) 75% 
d) 72% 
e) 36% 
 
33. (FGV / ALE RO - 2018) Suponha que um consumidor entre em uma loja e verifique que o preço 
à vista de um ar condicionado é de R$ 1.000,00. No entanto, ele opta pelo financiamento, que 
exige uma entrada de R$ 200,00 e mais duas parcelas mensais iguais com taxa efetiva mensal 
de juros de 1%, sob regime composto. 
 O valor de cada parcela será igual a 
a) R$ 808,00 
b) R$ 406,01 
c) R$ 404,25 
d) R$ 402,50 
e) R$ 507,51 
 
34. (FGV / Pref. Salvador - 2017) O cartão de crédito usado por Alberto cobra 10% de juros ao mês, 
e a fatura vence no dia 5 de cada mês. 
A fatura do mês de junho apresentava uma dívida de 1200 reais, mas Alberto nada pagou. Daí por diante, 
também não fez novas despesas no cartão. 
No dia do vencimento da fatura de julho, Alberto pagou 600 reais; no dia do vencimento da fatura de agosto, 
pagou também 600 reais; e, no dia do vencimento da fatura de setembro, liquidou sua dívida. 
O valor pago por Alberto em setembro, em reais e desprezando os centavos, foi de 
a) 120 
b) 132 
c) 158 
d) 192 
e) 211 
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35. (FGV / ISS Cuiabá - 2016) Suponha que João tenha obtido um financiamento de R$ 100,00 à taxa 
efetiva de 50% ao ano, no regime de juros compostos. Por sua vez, Maria obteve um 
financiamento de R$ 1.000,00 sob as mesmas condições de João. Em ambos os casos, o prazo 
de operação é de dois anos. 
As prestações anuais para João e Maria são, respectivamente, iguais a 
a) R$ 100,00 e R$ 1.000,00. 
b) R$ 95,00 e R$ 1.200,00. 
c) R$ 90,00 e R$ 900,00. 
d) R$ 85,00 e R$ 1.000,00. 
e) R$ 80,00 e R$ 800,00. 
 
36. (FGV / IBGE - 2016) João recebeu a fatura de R$ 2.600,00 do cartão de crédito que cobra 10% de 
juros ao mês. No dia do vencimento, pagou R$ 1.000,00, um mês depois pagou mais R$ 1.000,00 
e, um mês depois desse pagamento, liquidou a dívida. 
Sabendo-se que João não utilizou o cartão nesse período, o valor do último pagamento de João foi de: 
a) R$ 720,00 
b) R$ 780,00 
c) R$ 836,00 
d) R$ 860,00 
e) R$ 1.046,00 
 
37. (FGV / IBGE - 2016) Em certa loja, uma bolsa custa R$120,00 para pagamento à vista. A loja 
oferece a alternativa de pagar por essa bolsa R$50,00 no ato da compra e R$80,00 um mês 
depois. 
A taxa de juros ao mês que está implícita nessa alternativa é de, aproximadamente: 
a) 8,3% 
b) 10,3% 
c) 14,3% 
d) 15,3% 
e) 17,3% 
 
38. (FGV / Pref. Niterói RJ - 2015) Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de 
um terreno. São cobrados juros compostos de 30% ao semestre. As parcelas são de R$ 
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120.000,00; R$ 180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, 
respectivamente. 
 Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, no valor, em reais, 
de: 
a) 458.461,54 
b) 518.461,54 
c) 536.000,00 
d) 596.000,00 
e) 638.000,00 
 
39. (FGV / ISS Niterói - 2015) Um equipamento agrícola pode ser alugado anualmente ou comprado. 
Esse equipamento custa R$ 40.400,00, tem vida útil de 5 anos e, ao final desse período, tem 
valor residual de R$ 16.100. O custo anual com a manutenção é de R$ 2.000,00. Se o 
equipamento for alugado, o custo com manutenção é do locador. 
Considerando a taxa mínima de atratividade de 10% ao ano, o valor do aluguel que torna indiferente comprar 
ou alugar o equipamento é, aproximadamente, em reais: 
Utilize: 1,10 -5 = 0,62 e 1,105 = 1,61 
a) 8.000 
b) 10.000 
c) 12.000 
d) 14.000 
e) 16.000 
 
40. (FGV / CGE MA - 2014) Um terreno foi vendido em três parcelas sendo a primeira de R$ 9.000,00 
no ato da compra, a segunda de R$ 12.000,00 um ano após a compra e a terceira de R$ 28.800,00 
dois anos após a compra. 
A taxa de juros praticadafoi de 20% ao ano. 
O valor total à vista no momento da compra de tal mercadoria é 
a) R$ 49.800,00 
b) R$ 41.862,72 
c) R$ 41.448,00 
d) R$ 39.000,00 
e) R$ 38.565,12 
 
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41. (FGV / ISS Angra dos Reis RJ - 2010) Um investidor deseja depositar uma determinada quantia 
em um banco, para ter o direito de retirar R$ 22.000,00 no prazo de cinco meses e R$ 30.000,00 
no prazo de dez meses. Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de 
juros simples de 2% ao mês, o menor valor a ser depositado por esse investidor é 
a) 38.750,00 
b) 20.000,00 
c) 45.000,00 
d) 60.200,00 
e) 48.500,00 
 
42. (FGV / BADESC - 2010) Um investidor deseja depositar uma determinada quantia em um banco 
para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo de um ano e mais R$ 10.000,00 no prazo de 
quatro anos. 
Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de juros simples de 6,25% ao trimestre, o 
menor valor presente a ser depositado por esse investidor é: 
a) R$ 6.667,66 
b) R$ 10.000,00 
c) R$ 13.000,00 
d) R$ 14.535,32 
e) R$ 30.250,00 
 
43. (FGV /BANESTES - 2018) O diagrama a seguir apresenta as projeções dos fluxos de caixa líquidos 
de um projeto, em reais, durante dez meses. 
 
Se a Taxa Interna de Retorno (TIR) é 4% a.m., então o valor de P é: 
Dados: 1,049 = 1,42 ; 1,0410 = 1,48 ; 1,0411 = 1,54 
a) R$ 1.370,00 
b) R$ 1.427,00 
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c) R$ 1.480,00 
d) R$ 1.565,00 
e) R$ 1.623,00 
 
44. (FGV / BANESTES - 2018) Um empréstimo deverá ser quitado em 6 prestações mensais iguais 
de R$ 670,00, segundo o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price.), com a primeira 
prestação vencendo um mês após a contratação. A taxa de juros nominal é de 60% ao ano, com 
capitalização mensal. 
O saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª prestação será: 
Dado: 1,056 = 1,34 
a) R$ 2.900,00 
b) R$ 2.830,00 
c) R$ 2.800,00 
d) R$ 2.730,00 
e) R$ 2.700,00 
 
45. (FGV / BANESTES - 2018) Antônia faz um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, que será 
quitado em 5 prestações mensais antecipadas de R$ 1.400,00 cada uma e um pagamento final 
junto com a última prestação. O banco cobra juros efetivos de 7% a.m. sob regime de 
capitalização composta e estipula um período de carência de dois meses. 
O valor do pagamento final é: 
Dado: 1,07 5 = 1,40 
a) R$ 69,80 
b) R$ 72,20 
c) R$ 722,00 
d) R$ 6.980,00 
e) R$ 7.220,00 
 
46. (FGV / ALERO - 2018) Um imóvel custa, à vista, R$ 262.000,00, mas pode ser financiado em 30 
meses, de acordo com o seguinte fluxo de pagamentos: 
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Se a taxa composta de juros utilizada durante todo o fluxo é de 2% a.m., então o valor do pagamento Final é 
a) R$ 270.000 
b) R$ 260.000 
c) R$ 200.000 
d) R$ 170.000 
e) R$ 160.000 
 
47. (FGV / ISS Niterói - 2015) Um empréstimo no valor de R$ 163.982,69 deve ser pago em 18 
prestações iguais de R$ 10.000,00, vencendo a primeira um período após a liberação dos 
recursos seguindo o Sistema francês de amortização - tabela Price. Os juros são de 1% ao 
período. Após o pagamento da 9ª prestação, o estado da dívida é, em reais, de: 
Utilize: 1,01−9 = 0,91 
a) 81.000 
b) 81.990 
c) 82.800 
d) 90.000 
e) 94.710 
 
48. (FGV / Pref. Recife - 2014) O valor presente para um único valor com vencimento futuro no ano 
n é dado por 𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝒏⁄ . Considerando uma taxa de desconto de 25% ao ano, assinale a opção 
que indica o valor presente de um imóvel adquirido por meio de um conjunto de 20 pagamentos 
anuais de R$ 25.000,00. 
Dado: 1,2520 = 86,7362 
a) R$ 79.280,30 
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b) R$ 98.847,08 
c) R$ 115.365,24 
d) R$ 216.840,43 
e) R$ 500.000,00 
 
49. (FGV / SEFAZ RJ - 2010) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser 
financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa 
de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas 
é feito considerando-se os meses com 30 dias. 
Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: 
a) R$ 525,68 
b) R$ 545,34 
c) R$ 568,24 
d) R$ 576,19 
e) R$ 605,00 
 
50. (FGV / ISS Angra dos Reis RJ - 2010) Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de 
valor presente de séries uniformes de pagamento, na qual n é o número de prestações mensais 
e i a taxa de juros. 
 
Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 
cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.858,55 
c) R$ 1.895,43 
d) R$ 1.914,30 
e) R$ 1.654,80 
 
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51. (FGV / Pref. Niterói - 2015) Uma instituição financeira oferece resgate do valor equivalente às 
reservas de um plano de benefícios perpétuos em uma única vez. O acordo dará quitação geral 
e definitiva dos benefícios, com a consequente extinção dos contratos. 
Para um cliente que recebe R$ 3.000,00 mensais, foi oferecido o valor do pagamento de R$ 60.000,00. 
Desconsidere impostos e taxas. 
A taxa mensal de juros compostos praticada pela instituição nesse tipo de operação foi: 
a) 5,0% 
b) 5,5% 
c) 7,1% 
d) 8,0% 
e) 10,2% 
 
52. (FGV / ISS Niterói - 2015) Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados 
mensalmente a uma taxa de 6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, 
supondo taxa de juros de 10% ao mês, é, em reais: 
a) 12.500 
b) 20.000 
c) 22.000 
d) 50.000 
e) 55.000 
 
53. (FGV / BNB - 2014) Fernando possui um título que tem taxa de desconto de 0,75% ao mês e que 
paga mensalmente a quantia de R$ 900,00, perpetuamente. Se Fernando quiser vender esse 
título, o seu preço justo é de: 
a) R$ 12.000,00 
b) R$ 67.500,00 
c) R$ 90.000,00 
d) R$ 120.000,00 
e) R$ 675.000,00 
 
54. (FGV / ISS Recife - 2014) Uma pessoa investe um montante de x reais para garantir um 
recebimento anual perpétuo de 100 reais. Sabendo que esse montante é remunerado à taxa de 
1% ao ano, o valor de x é igual a: 
a) 10 
b) 100 
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c) 1.000 
d) 10.000 
e) 100.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
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159 
 
GABARITO 
1. D 
2. A 
3. D 
4. D 
5. E 
6. A 
7. A 
8. B 
9. C 
10. B 
11. E 
12. E 
13. C 
14. B 
15. C 
16. C 
17. B 
18. E 
19. B 
20. D 
21. A 
22. C 
23. D 
24. D 
25. B 
26. A 
27. B 
28. D 
29.E 
30. B 
31. E 
32. A 
33. B 
34. E 
35. C 
36. C 
37. C 
38. C 
39. B 
40. D 
41. C 
42. C 
43. C 
44. A 
45. D 
46. A 
47. D 
48. B 
49. D 
50. D 
51. A 
52. D 
53. A 
54. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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