Tema 8- Limites de Uma Função e Derivadas para Funções de Uma Variável

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Derivadas de uma função
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Introdução
Qual é o significado de variar? Mudar? Entrando no contexto matemático, o que poderia ser conceituado por taxa
de variação? Neste tema, entenderemos que a derivada é uma taxa de variação e seu estudo requer atenção
devido as suas regras e definições. A aplicação desse conceito é ampla e contempla várias outras ciências, tais
como: Medicina, Economia, Física, Administração, dentre outras. Acompanhe os estudos deste tema e entenda.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• entender o conceito de derivada, utilizando-o para o cálculo da derivada de uma função num ponto e sua 
interpretação geométrica em funções elementares;
• aplicar o conceito de derivadas no estudo das funções custo, lucro e receita, interpretando seus 
resultados e sua marginalidade.
Derivada de uma função
A derivada de uma função mede a taxa de variação de uma função em determinado ponto. A definição formal
é fundamentada através do conceito de limite e afirma que a derivada de uma função em relação à variável x
é a função cujo valor em é:
Chamamos este limite, quando ele existe, na derivada, de em , ou seja, a derivada é a taxa instantânea de
variação de em relação a .
A simbologia matemática usada para denotar uma função que foi derivada é como resultado da derivação da
função e a derivada de uma função pode ser representada também pelos símbolos: ou .
Agora que já conhecemos o conceito de derivada de uma função, vejamos como realizar a interpretação gráfica
de uma derivada.
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SAIBA MAIS
A elaboração e o desenvolvimento do cálculo são vinculados aos teóricos: Isaac Newton e
Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton teria descoberto o cálculo diferencial, enquanto Leibniz
aprofundou os estudos. Ao segundo estudioso é atribuída a simbologia associada às derivadas.
Para saber mais sobre esse assunto, leia “Infinitesimal: a teoria matemática que revolucionou o
mundo”, de Alexander (2014).
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Interpretação gráfica da derivada
A derivada de uma função em um ponto , simbolicamente representada por , equivale à inclinação na reta
tangente da curva no ponto da abscissa (STEWART, 2017). Essa inclinação recebe o nome de coeficiente
angular ( ) e permite mensurar a inclinação em relação ao gráfico, ou seja, .
Na figura a seguir é possível visualizar uma reta encostando, ou seja, tangenciando a curva no ponto 
. Para encontrar a equação da reta tangente, substitui-se o ponto e o valor de m na seguinte
relação: .
Figura 1 - Reta tangenciando a função f (x)
Fonte: Elaborada pela autora, 2019.
Passemos agora ao estudo sobre o cálculo da taxa de variação.
O cálculo de taxa de variação
A maioria das grandezas variam, logo, existe a taxa de variação, ou seja, a derivada. Funções existentes na
cinemática, componente da Física, sobre velocidade e aceleração permitem o cálculo de suas respectivas
derivadas. A velocidade representa a taxa de variação da função espaço, já a aceleração apresenta a taxa de
variação da função velocidade. Essa proximidade da Matemática e da Física, nesse exemplo, representa apenas
uma das aplicações da derivada em nosso cotidiano, permitindo aproximar esse conceito de cálculo da nossa
realidade.
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Figura 2 - Proximidade da Matemática com outras ciências no uso cotidiano
Fonte: Milles Studio, Shutterstock, 2019.
De maneira prática e objetiva, calcular a taxa de variação da variável y em relação à variável x consiste em
calcular a seguinte razão . O resultado dessa operação é interpretado como a rapidez com que a variável
y muda no momento em que x também se altera.
Propriedades das derivadas
Conforme Thomas (2002), considere como uma constante real e e como uma função derivável e diferentek u v
de zero e analise a seguir as principais propriedades associadas às derivadas.
A derivada de uma constante é zero: .
A derivada do produto entre uma constante e uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da
função: .
A derivada da soma é a soma das derivadas: .
A derivada da diferença é a diferença das derivadas: .
Técnicas de variação
O cálculo de derivadas pode se tornar muito trabalhoso e complexo de acordo com a função a ser trabalhada,
logo, aplicar a regra geral que existe para a determinação de derivadas facilita a resolução.
De maneira geral, dada uma função denominada por e considerando como seu respectivo expoente, éu n
possível calcular a derivada através da relação:
Essa fórmula define a derivada de funções relativamente simples e que não possuem um grau mais elevado de
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Essa fórmula define a derivada de funções relativamente simples e que não possuem um grau mais elevado de
complexidade. Para outras situações, existem outras regras que podem ser utilizadas, como a regra do produto, a
regra do quociente e a regra da cadeia (STEWART, 2017).
Regra do produto
Essa regra é utilizada para resolver a derivada de produto entre duas funções. Considerando e como duasu v
funções deriváveis, a relação existente para encontrar a derivada é dada por:
Regra do quociente
Regra utilizada para encontrar a derivada de um quociente. Considerando e como duas funções deriváveis e u v v
diferente de zero, encontrar a derivada desse modelo é ocorre por meio da seguinte regra:
Vejamos agora o conceito da regra da cadeia.
Regra da cadeia
A regra da cadeia é aplicada a situações que envolvem o somatório ou diferença de termos, que, juntos, são
elevados a um certo expoente, podendo este ser fracionário ou não. São exemplos de funções que precisam da
regra da cadeia para serem resolvidas: e .
A fórmula geral para a resolução é a seguinte:
A grande diferença dessa fórmula para a regra geral é a de que, após derivar a função, deve-se multiplicar esse
resultado pela derivada da função .u
De posse de todas essas informações acerca das regras que determinam a derivada de funções, vamos agora
resolver exercícios aplicando o conhecimento adquirido.
Encontre a derivada das seguintes funções:
Solução:
FIQUE ATENTO
A regra do produto e a regra do quociente comprovam que a derivada do produto não é o
produto das derivadas, e a derivada do quociente não é o quociente das derivadas.
Obrigatoriamente, para resolver situações que apresentem produto ou quociente entre as
funções, é necessário recorrer as essas regras.
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a) 
De posse da regra geral da derivada e do conceito de derivada de uma função, é possível obter: 
b) 
Nessa situação, é preciso identificar o produto entre duas funções e aplicar a regra do produto, mas antes é
necessário sinalizar quem é e .u v
Agora, basta substituir na fórmula:
c) 
Assim como no exercício anterior, determinaremos a expressão que será representada por e e, em seguida,u v
substituiremos na fórmula relacionada à regra do quociente.
Substituindo na fórmula:
d) 
Nesse exercício, recorreremos à regra da cadeia:
Derivada de uma função em um ponto
O cálculo da derivada em um ponto consiste no resultado encontrado na derivação e, depois, substituir o ponto
de abscissa estabelecido previamente. Situações como essa se tornam necessárias para o cálculo do coeficiente
angular, bem como outras situações predeterminadas no enunciado e/ou contexto.
Aplicação das derivadas no estudo das funções 
marginais
O cálculo diferencial é o instrumento matemático que os profissionais ligados à gestão empresarial utilizam para
determinar funções marginais relacionadas à produção, dando suporte para que procedam ao seu estudo e
análise, de forma eficiente e confiável.
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Figura 3 - As derivadas no processo de tomada de decisões
Fonte: ra2studio, Shutterstock, 2019.
O uso de derivadas na análise marginal objetiva encontrar a variação ocorrida na variável dependente, pois a
marginal denota derivada, ou seja, uma variação instantânea. Assim, denomina-se função marginal de f(x) a sua
respectiva função derivável. Dessa forma, são obtidas novas funções a partir de outras já preestabelecidas.
Como a função marginal é a derivada da função original, dadas as funções custo, funçãoreceita e função lucro, ao
realizar o processo de derivada, são obtidas pelas: função custo marginal, função receita marginal e função lucro
marginal. Essas funções podem ser interpretadas como a taxa de variação num ponto previamente estabelecido
(THOMAS, 2002).
Essas funções são muito úteis à economia e à administração por permitirem a variação de fatores que compõem
as funções, ou seja, as parcelas dependentes que são diretamente atreladas ao resultado.
O exemplo a seguir demonstrará como esse tipo de conteúdo está inserido no meio administrativo.
FIQUE ATENTO
Para representar a derivada corretamente, deverá ser utilizada a seguinte simbologia
matemática para diferenciar as funções: a função custo marginal será descrita por: ; a
função receita marginal, por e, por fim, a função lucro marginal, por .
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Acompanhe agora a resolução do problema apresentado no exemplo.
a) Para encontrar a função custo marginal, basta derivar a função custo seguindo as regras de derivação:
b) Para determinar o custo marginal para a extração de 10.000 metros cúbicos é preciso encontrar , e,
uma vez encontrada a função custo marginal, basta substituir os valores.
Figura 4 - Extração de petróleo e a utilização de função custo marginal
Fonte: Michael Rosskothen, Shutterstock, 2019.
A derivação está relacionada à descrição de como as grandezas variam, crescem ou decrescem, enfim, sua
utilização permite prever desenvolvimentos futuros facilitando as estimativas. Esta é apenas uma das aplicações
do cálculo nos vários ramos do conhecimento, em especial, neste contexto na administração, pois simboliza uma
ferramenta para que os administradores possam determinar as funções marginais de seus processos de
produção, como o custo marginal, a receita marginal e o lucro marginal, e assim interpretar sua marginalidade.
EXEMPLO
Uma petroleira identificou que, para a extração de petróleo de uma plataforma, possui como
função custo a relação em que x é informado em metros cúbicos e o
custo é dado em reais. A partir dessa relação encontre:
a função custo marginal;
o custo marginal para a extração de 10.000 metros cúbicos.
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Fechamento
Neste tema, pudemos entender que conhecer o processo de derivação, suas regras e aplicação geométrica são
requisitos básicos para utilizar essa ferramenta de maneira correta e direcionada ao objetivo estabelecido,
especialmente no contexto empresarial, em que se precisa tomar decisões diariamente.
Referências
ALEXANDER, A. : a teoria matemática que revolucionou o mundo. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.Infinitesimal
THOMAS, G. B. . Trad. Paulo Boschcov. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. v. 1.Cálculo
STEWART, J. . 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.Cálculo
	Introdução
	Derivada de uma função
	Interpretação gráfica da derivada
	Reta tangenciando a função f (x)
	O cálculo de taxa de variação
	Proximidade da Matemática com outras ciências no uso cotidiano
	Propriedades das derivadas
	Técnicas de variação
	Regra do produto
	Regra do quociente
	Regra da cadeia
	Derivada de uma função em um ponto
	Aplicação das derivadas no estudo das funções marginais
	As derivadas no processo de tomada de decisões
	Extração de petróleo e a utilização de função custo marginal
	Fechamento
	Referências