Aula 07 - Derivação Funções Implícita Sucessiva e Taxa de Variação

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DERIVADA SUCESSIVAS E DE FUNÇÃO IMPLÍCITA 
 
Na aula anterior vimos como calcular a derivada das principais funções 
trigonométricas, que facilitam e muito no cálculo de derivadas dessas funções, 
evitando assim, de termos sempre que recorrer à definição de derivada ou a 
definição das funções trigonométricas. Nesta aula vamos aprender a calcular 
derivadas sucessivas da mesma função. Este procedimento é muito importante 
para as construções de gráficos e diversas aplicações de derivadas. Também 
veremos as derivadas das funções implícitas, porque é sabido que nem sempre 
as funções vem prontas para as aplicações, existem situações em que elas são 
apresentadas implicitamente. Por fim pretendemos mostrar a ideia do cálculo 
de diferencial fazendo uso de derivadas. 
 
DEFININDO OBJETIVOS 
Com esta aula esperamos que vocês sejam capazes de: 
 
 Fazer o cálculo de derivadas sucessivas; 
 Fazer o cálculo de funções apresentadas implicitamente; 
 Calcular diferencial utilizando derivadas. 
 
 
Derivadas Sucessivas 
 
Após termo visto, estudado e exercitado as regras de derivação em 
diversos tipos de funções, perceba que é possível derivar quantas vezes for 
interessante e necessário. Isso é o que chamamos de derivação sucessiva, a 
derivada da derivada, da derivada, da derivada etc. As derivadas sucessivas de 
uma função 𝑓 são denotadas por: 
 
 
 
 
 
 
Representação 01 da 
derivada sucessiva 
Representação 02 da 
derivada sucessiva 
Como se lê 
𝑓′′ = (𝑓′)′ 𝑑2𝑓
𝑑𝑥2
 
Derivada segunda de 𝑓 
ou derivada de segunda 
ordem 
𝑓′′′ = (𝑓′′)′ 𝑑3𝑓
𝑑𝑥3
 
Derivada terceira de 𝑓 
ou derivada de terceira 
ordem 
𝑓′𝑣 = (𝑓′′′)′ 𝑑4𝑓
𝑑𝑥4
 
Derivada quarta de 𝑓 ou 
derivada de quarta 
ordem 
⋮ ⋮ ⋮ 
𝑓𝑛−1 = (𝑓𝑛−2)′ 𝑑𝑛−1𝑓
𝑑𝑥𝑛−1
 
Derivada de ordem 𝑛 −
1 de 𝑓 
𝑓𝑛 = (𝑓𝑛−1)′ 𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑥𝑛
 
Derivada de ordem 𝑛 de 
𝑓 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 3ª ordem da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 −
4𝑥 + 1. 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 4 
 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 
 𝑓′′′(𝑥) = 12 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de 2ª ordem da função 𝑓(𝑥) =
√2𝑥 − 3𝑥2. 
Solução: 𝑓(𝑥) = √2 − 3𝑥2 = (2 − 3𝑥2)
1
2 
 𝑓′(𝑥) =
1
2
(2 − 3𝑥2)
1
2
−1. (2 − 3𝑥2)′ 
 𝑓′(𝑥) =
1
2
(2 − 3𝑥2)−
1
2. (−6𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
6𝑥
2√2 − 3𝑥2
 
𝑓′(𝑥) = −
3𝑥
√2 − 3𝑥2
 
 
 
Perceba que 𝑓′(𝑥) é uma função quociente, dessa forma para encontrar 
a segunda derivada iremos aplicar a regra do cociente. 
𝑓′′(𝑥) =
(√2 − 3𝑥2)(3𝑥)′ − (√2 − 3𝑥2)′(3𝑥)
(√2 − 3𝑥2)
2 
𝑓′′(𝑥) =
(√2 − 3𝑥2)3 − (
1
2
(2 − 3𝑥2)−
1
2(2 − 3𝑥2)′) (3𝑥)
(2 − 3𝑥2)
 
𝑓′′(𝑥) =
3(√2 − 3𝑥2) − (
1
2
(2 − 3𝑥2)−
1
2(−6𝑥)) (3𝑥)
(2 − 3𝑥2)
 
𝑓′′(𝑥) =
3(√2 − 3𝑥2) − (
1
2 .
(−6𝑥)
√2 − 3𝑥2
) (3𝑥)
(2 − 3𝑥2)
 
𝑓′′(𝑥) =
3(√2 − 3𝑥2) − (
(−9𝑥2)
√2 − 3𝑥2
)
(2 − 3𝑥2)
 
Exemplo 3: Calcule a derivada de segunda ordem de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥 +
2) 
Solução: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥 + 2) 
 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥 + 2). (𝑥 + 2)′ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥 +
2) 
 𝑓′′(𝑥) = −2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2). (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2))′ 
𝑓′′(𝑥) = −2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2). (−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥 + 2). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥 + 2)) 
𝑓′′(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥 + 2). (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥 + 2)) 
 
Exemplo 4: Calcule a derivada de ordem n para função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 𝑓′′′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
 𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 ⋮ 
 𝑓𝑛(𝑥) = {
𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 5, 9, …
−𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2, 6, 10, …
−𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 3, 7, 11, …
𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4, 8, 12, …
 
 
 
 
Atividade 1 
01) Calcule as derivada sucessivas até a ordem 𝑛 indicada. 
 
a) 𝑦 = 2𝑥4 − 5𝑥; 𝑛 = 5 
b) 𝑦 =
1
𝑥−2
; 𝑛 = 4 
c) 𝑦 =
1
𝑒2𝑥
; 𝑛 = 4 
d) 𝑦 = √3 − 𝑥2; 𝑛 = 2 
e) 𝑦 = ln 3𝑥 ; 𝑛 = 2 
f) 𝑦 = −2 sen
𝑥
3
; 𝑛 = 5 
 
02) Mostre que a derivada de ordem 𝑛 da função 𝑦 =
1
𝑥
 é dada por 
𝑦(𝑛) =
(−1)𝑛𝑛!
𝑥𝑛+1
. 
03) Mostre que a derivada de ordem 𝑛 da função 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥 é dada por 
𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑒𝑎𝑥. 
 
Derivada de uma função na forma implícita 
 
Antes de calcular a derivada de uma função na forma implícita, vamos 
entender o que é uma função escrita na forma implícita. 
Vejamos a equação 
𝑥3 − 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
Perceba que se isolarmos o valor de 𝑦 teremos uma equação de terceiro 
grau, expressa por 
𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 − 1 
Neste caso, temos que uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) está definida na forma 
implícita se for possível escrever como a equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 e, ao 
substituirmos o 𝑦 por 𝑓(𝑥), esta equação ser tornar uma identidade, como na 
equação que segue. 
 
 
Na equação 𝑥3 − 𝑦 = 2𝑥 + 1, se substituirmos o 𝑦, por 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 −
1, temos o seguinte: 
𝑥3 − 𝑦 = 2𝑥 + 1 → 𝑥3 − 𝑥3 + 2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1 → 0 = 0 
Isso significa que temos uma função identidade. 
 
Sendo assim, por que se falar em função implícita? 
Esse estudo se justifica, porque não é sempre que conseguimos 
encontrar a função na forma explícita, ou ainda se possível, há situações em 
que existem infinitas formas explícitas de uma mesma função. Vejamos duas 
situações. 
Situação 01: na função 2𝑦2 + 𝑥3𝑦 − ln 2𝑥𝑦 = 0, não é possível 
encontrar a 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Situação 02: na função 𝑥2 + 𝑦2 = 16 existem infinitas maneiras de 
escrever 𝑦 = 𝑓(𝑥). Dentre elas temos: 
𝑦 = √16 − 𝑥2
2
 
𝑦 = −√16 − 𝑥2
2
 
Por isso, percebemos a importância de se determinar a derivada de 
funções na forma implícita, ou seja, sem a necessidade de se isolar uma das 
variáveis em ralação as outras. 
Sendo assim, para se derivar uma função escrita na forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, 
fazemos uso das regras de derivação e a regra da cadeia sem que seja 
necessário escrever 𝑦 = 𝑓(𝑥). Os exemplos adiante irão ajuda-los a entender 
melhor a derivação de funções na forma implícita. 
Exemplo 01: Sabendo que 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função derivável definida 
implicitamente pela equação 𝑥2 + 𝑦2 = 16, calcule 𝑦′. 
Solução: primeiro passo é derivar ambos os lados da equação. 
(𝑥2 + 𝑦2)′ = (16)′ 
(𝑥2)′ + (𝑦2)′ = (16)′ 
Fazendo uso da regra da cadeia temos o seguinte: 
2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0 
Isolando o valor de 𝑦′, obtemos: 
𝑦′ = −
2𝑥
2𝑦
= −
𝑥
𝑦
 
 
 
 
Exemplo 2: determine 𝑦′ da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida implicitamente pela 
equação 2𝑥𝑦2 + 3𝑥3 = −3𝑦. 
Solução: primeiro derivamos ambos os lados da equação. 
(2𝑥𝑦2 + 3𝑥3)′ = (−3𝑦)′ 
(2𝑥𝑦2)′ + (3𝑥3)′ = (−3𝑦)′ 
2𝑥2𝑦𝑦′ + 2𝑦2 + 9𝑥2 = −3𝑦′ 
4𝑥𝑦𝑦′ + 2𝑦2 + 9𝑥2 = −3𝑦′ 
Agora isolamos o valor de 𝑦′ 
4𝑥𝑦𝑦′ + 3𝑦′ = −2𝑦2 − 9𝑥2 
𝑦′(4𝑥𝑦 + 3) = −2𝑦2 − 9𝑥2 
𝑦′ =
−2𝑦2 − 9𝑥2
4𝑥𝑦 + 3
 
 
Exemplo 3: Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), definida por 𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0, determine 𝑦′. 
Solução: neste caso temos que 𝑦 = 𝑓(𝑥) e derivando em relação a 𝑥 com o 
auxílio da regra da cadeia, temos: 𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 
(𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦)′ = (0)′ 
(𝑥2𝑦3)′ + (𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦)′ = (0)′ 
𝑥23𝑦2𝑦′ + 2𝑥𝑦3 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦. 𝑦′ + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 
Isolando o valor de 𝑦′, temos: 
𝑥23𝑦2𝑦′ − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦. 𝑦′ = −2𝑥𝑦3 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 
𝑦′(𝑥23𝑦2 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦) = −2𝑥𝑦3 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 
𝑦′ =
−2𝑥𝑦3 − 𝑐𝑜𝑠𝑦
3𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦
 
 
Exemplo 4: Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑅, a função definida implicitamente pela 
equação 𝑦3 + 𝑦 = 𝑥, determine 𝑦′. 
Solução: 
(𝑦3 + 𝑦)′ = (𝑥)′ 
(𝑦3)′ + (𝑦)′ = 1 
3. 𝑦2. 𝑦′ + 𝑦′ = 1 
𝑦′(3. 𝑦2 + 1) = 1 
 
 
𝑦′ =
1
3. 𝑦2 + 1
 
 
Isso que segue abaixo, parte pode ser colocada em destaque como observação 
até mesmo ao lado. (Ao diagramador) 
 
Resumindo segue os passos para uma derivação de uma função implícita. 
Passos para derivação implícita 
Primeiro passo Derive os dois lados da equação em 
relação a 𝑥, considerando 𝑦 como 
uma função derivável de 𝑥. 
Segundo passo Reúna os termos que tem 𝑦’ em um 
lado da equação. 
Terceiro passo Fatore isolando 𝑦’. 
Quarto passo Encontre 𝑦’. 
 
Atividade 02 
01) Use a derivação implícita para determinar a derivada dasfunções abaixo: 
a) 𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦3 = 6 
b) 𝑥3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 1 
c) 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑦 
d) 3𝑦. 𝑠𝑒𝑛 (
2
𝑦
) = 1 − 𝑥𝑦 
e) 3𝑥𝑦 + 𝑦3 = 𝑥 + 𝑦 
f) 𝑥3 =
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
 
 
02) Calcule a equação da reta tangente a elipse 
𝑥2
4
+ 𝑦2 = 1 no ponto (2,0). 
 
Diferencial 
Até este momento quando você calculava ou determinava o valor de 𝑦’ na 
verdade está calculando também o valor de 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 que é uma outra notação para 
derivada de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
Neste momento da aula, você entenderá o significado de 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 que permite 
fazer uma análise de 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 como uma razão que representa taxas de variação. 
 
Para entendermos melhor o conceito de diferencial, vamos analisar a figura 01, 
logo abaixo: 
 
Figura 01: representação de acréscimos e diferenciais 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Nota histórica: Newton e Leibniz usavam notações diferentes para a 
representar a derivada de uma função. Por vários anos, chegou até a existir 
uma certa disputa sobre de quem seria a melhor notação. Prevaleceu a notação 
usada por Leibniz, que denota a derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 como uma razão das diferencias 
𝑑𝑦 e 𝑑𝑥. (BOYER, 1974) 
 
É possível representar a variação de 𝑥 da seguinte maneira: 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1. 
A variação de 𝑥 origina uma variação de 𝑦, chamada ∆𝑦 e representada da 
seguinte maneira: 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1). 
 
 
 
Perceba na figura 01 a representação de ∆𝑥 e ∆𝑦. Os símbolos 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 que 
costumamos ver nas derivadas são chamadas de diferenciais. Assim, temos que 
diferencial de uma variável independente 𝑥 pode ser dada por: 
𝑑𝑥 = ∆𝑥. 
Dessa forma, podemos dizer que a diferencial da variável dependente y, será 
dada por: 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥. 
Como 𝑑𝑥 = ∆𝑥, então podemos dize que 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥). 
Veja as representações das diferenciais 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 na figura 01. 
Nesta mesma figura, veja que quando ∆𝑥 fica pequena, a diferença 
entre ∆𝑦 e 𝑑𝑦 torna-se cada vez menor. Para facilitar o entendimento veja que 
quando ∆𝑥 tende a zero, é possível perceber que ∆𝑦 fica aproximadamente 
igual a 𝑑𝑦 (∆𝑦 ≅ 𝑑𝑦). 
Vamos analisar o exemplo a seguir, para perceber a diferença. 
Exemplo 01: calcule o acréscimo ∆𝑦 e a diferencial 𝑑𝑦 para a função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 quando 𝑥 = 2 e ∆𝑥 = 0,01. 
Solução: inicialmente, vamos calcular ∆𝑦 fazendo: 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) 
∆𝑦 = 𝑓(2 + 0,01) − 𝑓(2) 
∆𝑦 = 𝑓(2,01) − 𝑓(2) 
∆𝑦 = (2,01)2 + 3(2,01) − (2)2 − 3.2 
∆𝑦 = 4,0401 + 6,03 − 4 − 6 
∆𝑦 = 10,0701 − 10 
∆𝑦 = 0,0701 
 
Agora vamos calcular fazendo uso da diferencial. A diferencial 𝑑𝑦 será 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥, sendo 𝑓’(𝑥) a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥. 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3 
Considerando ainda, 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0,01 e 𝑥 = 2, temos que 
 
 
𝑑𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 
𝑑𝑦 = (2.2 + 3).0,01 
𝑑𝑦 = 7.0,01 
𝑑𝑦 = 0,07 
 
Perceba que a diferença entre ∆𝑦 e 𝑑𝑦 é pequena. 
 
Exemplo 02: determine ∆𝑦 e 𝑑𝑦 na função 𝑦 = √𝑥 no ponto 𝑥 = 9 
com ∆𝑥 = 0,2. 
Solução: ∆𝑦 = 𝑓(9 + 0,2) − 𝑓(9) 
 ∆𝑦 = √9,2 − √9 
 ∆𝑦 = 3,033 − 3 
∆𝑦 = 0,033 
 
 𝑑𝑦 = (√𝑥)′𝑑𝑥 
𝑑𝑦 =
1
2√𝑥
. 0,2 
𝑑𝑦 =
1
2√9
. 0,2 
𝑑𝑦 =
1
2.3
. 0,2 
𝑑𝑦 =
1
6
. 0,2 
𝑑𝑦 = 0,166.0,2 
𝑑𝑦 = 0,033 
 
Exemplo 03: obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa 
cilíndrica de altura 10m, raio interior 5m e espessura 0,05m. Qual o erro 
decorrente se resolvermos usando diferenciais? 
Solução: o volume interior do cilindro é dado por: 
 𝑉 = 𝜋𝑟2. ℎ 
𝑉 = 𝜋. 52. 10 
𝑉 = 𝜋. 25.10 
𝑉 = 250. 𝜋 𝑚3 
 
 
 
Dando um acréscimo ∆𝑟 o volume da coroa será igual à variação ∆𝑉 em V. 
Usando diferenciais, temos: 
 ∆𝑉 = 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ∆𝑟 
∆𝑉 = 2𝜋. 5.10.0,05 
∆𝑉 = 2𝜋. 5.10.0,05 
∆𝑉 = 5𝜋 𝑚3 
O volume exato será: 
 ∆𝑉 = 𝜋(𝑟 + ∆𝑟)2. ℎ − 𝜋. 𝑟2. ℎ 
∆𝑉 = 𝜋(5 + 0,05)2. 10 − 𝜋. 52. 10 
∆𝑉 = 𝜋(5,05)2. 10 − 𝜋. 250 
∆𝑉 = 𝜋(5,05)2. 10 − 𝜋. 250 
∆𝑉 = 255,025𝜋 − 250𝜋 
∆𝑉 = 5,025𝜋 
Neste caso, o erro cometido na aproximação usada foi 
∆𝑉 − 𝑑𝑣 = 5,025𝜋 − 5𝜋 
∆𝑉 − 𝑑𝑣 = 0,025𝜋 𝑚3 
 
Atividade 3 
01) Encontre ∆𝑦 − 𝑑𝑦 das seguintes funções dadas. 
a) 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 + 3; 
b) 𝑦 = 3√𝑥; 
 
02) Encontre ∆𝑦 e 𝑑𝑦 para os valores dados. 
a) 𝑦 = 5𝑥2 − 3𝑥; com ∆𝑥 = 0,03; 𝑥 = 0; 
b) 𝑦 =
2𝑥+1
𝑥−1
; com ∆𝑥 = 0,01; 𝑥 = −2; 
 
03) Calcular a diferencial das seguintes funções: 
a) 𝑦 = ln(2𝑥2 − 3𝑥) ; 
b) 𝑦 =
𝑥+1
𝑒𝑥
; 
 
 
 
04) Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com 
espessura de 
1
4
 cm. Se o lado da caixa é de 3 m, usando diferencial, encontrar a 
quantidade de revestimento necessária. 
 
05) Use diferencias para obter o aumento aproximado do volume da esfera 
quando o raio varia de 4 cm a 4,1 cm. 
 
 
[LEMBRE-SE! – Nesta aula, fizemos um estudo sobre o cálculo da derivada 
sucessivas de uma mesma função, em seguida fizemos um estudo sobre como 
proceder para calcular a derivada de funções quando a mesma está na forma 
implícita e por fim vimos como a derivada pode nos auxiliar no calculo de 
diferencias. Após o estudo desta aula, finalizamos uma etapa e com isso você 
começa a ter uma base importante para que possa compreender as diversas 
aplicações que as derivadas possuem em situações práticas. Na próxima aula, 
apresentaremos as aplicações da derivada é importante que exercite bem essas 
regras de derivação para que possam apresentar um bom desempenho na 
próxima aula. 
 
 
AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
 
01) Determine 𝑓′; 𝑓′′; 𝑓′′′. 
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥4 + 2𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 −
1
𝑥3
 
02) Determine a derivada de ordem 𝑛. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 
 
03) Se 𝑥3 + 𝑦3 = 16, encontre o valor de 𝑦′′ no ponto (2,2). 
 
04) Use a derivação implícita para determinar 𝑦′ nas funções abaixo: 
 
 
a) 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 
b) 𝑥2 =
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
 
c) 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥𝑦 
 
05) Calcule a diferencial da seguinte função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(5𝑥2 + 6). 
 
06) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 30 placas 
quadradas de 50 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou 
que os lados das placas tinham 
1
2
 cm a mais. Usando diferencial, 
encontre o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 
 
 
 
CONHECENDO AS REFERÊNCIAS 
 
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 3. Ed. São Paulo: 
Ática, 2008. 
 
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. 6. Ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. Ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2001. 1v. 
 
IEZZI, Gelson, MACHADO, Nilson José, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos 
de Matemática Elementar: limites, derivadas, noções de integral. 6. Ed. São 
Paulo: Atual, 2005.