Calculo diferencial e Integral

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Cálculo 
Diferencial e 
Integral
Mariele Vilela Bernardes Prado
Renata Karoline Fernandes
Keila Tatiana Boni
Cálculo Diferencial e 
Integral
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Prado, Mariele Vilela Bernardes 
 
 ISBN 978-85-8482-158-7
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Fernandes, 
Renata Karoline. II. Boni, Keila Tatiana. III. Título
 CDD 515
Prado, Renata Karoline Fernandes, Keila Tatiana Boni. – 
Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 212 p.
P896c Cálculo diferencial e integral / Mariele Vilela Bernardes 
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
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2015
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Unidade 2 | Cálculo de derivadas
Seção 1 - A derivada de uma função e regras de derivação
para a multiplicação e divisão
1.1 | O Cálculo de Derivadas de funções
1.2 | Técnicas de derivação
Seção 2 - A regra da cadeia e derivada de ordem superior
2.1 | A regra da Cadeia e sua aplicação
2.2 | Derivada de ordem superior
2.3 | Concavidade do gráfico
Unidade 1 | Funções, limite, continuidade e definição de derivada
Seção 1 - Revisando funções
1.1 | Domínio e Imagem de uma função
1.2 | Gráficos de funções
1.3 | Operações com funções
1.4 | Função composta
1.5 | Função Elementares
1.6 | Função crescente e decrescente
1.7 | Função injetora, sobrejetora e bijetora
1.8 | Função inversa
Seção 2 - Limite de uma função
2.1 | Propriedades de limites
2.2 | Teorema do Confronto
2.3 | Indeterminação
2.4 | Limites Laterais
2.5 | Limites e infinitos
2.6 | Assíntotas
2.7 | Limites fundamentais
2.8 | Definição formal de limite
Seção 3 - Funções contínuas
3.1 | Definição de continuidade
3.2 | Propriedades das funções contínuas
3.3 | Continuidade por intervalos
3.4 | Continuidade de funções inversas
3.5 | Valor intermediário
Seção 4 - A derivada
4.1 | Taxa de variação
4.2 | Função derivada
Sumário
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53
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67
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79
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Seção 3 - Derivadas implícitas e otimização de funções
3.1 | Aplicação de derivadas
3.2 | A Derivada e taxas relacionadas
89
89
95
Unidade 3 | Derivadas parciais, séries e sequências
Seção 1 - Derivadas parciais
1.1 | O Cálculo de Derivadas Parciais
Seção 2 - Derivadas parciais de ordem superior
2.1 | O cálculo de derivadas parciais de ordem superior
Seção 3 - Séries e sequências
3.1 | Cálculo e interpretações de séries e sequências
111
115
115
127
127
139
139
Unidade 4 | Equações diferenciais, integrais e integrais múltiplas
Seção 1 - Integrais, técnicas de integração e integrais definidas
1.1 | Introdução à integração
1.2 | Técnicas de integração
 1.2.1 | Técnica da substituição
 1.2.2 | Técnica da integração por partes
1.3 | A integral definida
 1.3.1 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – Parte I)
 1.3.2 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – parte II)
 1.3.3 | Teorema do Valor Médio para Integrais
Seção 2 - Integrais múltiplas
2.1 | A integral dupla
2.2 | A integral tripla
2.3 | Mudança de coordenadas: de cartesianas para polares
Seção 3 - Integral de linha e integral de superfície
3.1 | A integral de linha
 3.1.1 | Teorema de Green
Seção 4 - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e
de Segunda Ordem
4.1 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
 4.1.1 | Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária
 4.1.2 | Problema de Valor Inicial (PVI)
 4.1.3 | Métodos para obtenção de soluções de EDOs de Primeira Ordem
 4.1.3.1 | Equações diferenciais de variáveis separáveis
 4.1.3.2 | Equações diferenciais com coeficientes homogêneos
 4.1.3.3 | Equações diferenciais exatas
 4.1.3.4 | Equações diferenciais lineares
4.2 | Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem
 4.2.1 | Teorema de Existência e Unicidade de Soluções
 4.2.2 | EDOs Lineares Homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes
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Apresentação
Este livro foi elaborado com a intenção de auxiliar os estudantes no processo 
de aprendizagem da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do curso de 
Licenciatura em Matemática. Os conceitos aqui abordados objetivam estudar o 
comportamento de funções utilizando conceitos de limite, continuidade, derivas 
e integrais. 
Este material está dividido em quatro unidades. No início da unidade 1, será 
realizada uma revisão envolvendo a teoria de funções. Esta revisão é necessária, 
visto que os conceitos que serão abordados no decorrer deste livro tratarão 
diretamente sobre o assunto. No desdobrar da unidade, serão apresentados os 
conceitos de limite e continuidade para avaliação do comportamento de funções. 
Ao final da primeira unidade, será apresentada a definição de derivas a partir da 
ideia de taxa de variação.
Na unidade 2, serão apresentados os diferentes métodos de derivação de 
funções, em que não será mais necessária a utilização da definição de derivada 
apresentada na unidade 1. Ainda na unidade 2, serão trabalhados os conceitos de 
derivadas de ordem superior, derivadas implícitas e otimização de funções. 
A unidade 3 fecha os estudos de derivadas abordando derivadas parciais, em 
que a derivação é feita em relação a cada uma das variáveis de uma função com 
mais de duas variáveis. Em seguida, iniciaremos os estudos das séries e sequências, 
abordando a ideia de sequências infinitas e o estudo de sua convergência. 
O foco da unidade 4 serão as equações diferenciais e o cálculo de integrais. 
Serão apresentadas as equações diferenciais de primeira e segunda ordem e as 
técnicas de integração. Serão abordadas, também, aplicações de integrais.
Cabe ressaltar que a utilização dos links e materiais disponíveis nos "Para 
Saber Mais" deste livro são essenciais para que o aprendizado aconteça de forma 
completa. 
Bons estudos!
Unidade 1
FUNÇÕES, LIMITE, 
CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO 
DE DERIVADA
Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as 
principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes 
conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo.
Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. 
A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as 
indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos 
de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e 
assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite.
Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como 
as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e 
continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o 
Teorema de Valor Intermediário e suas consequências.
Seção 1 | Revisando funções
Seção 2 | Limite de uma função
Seção 3 | Funções contínuas
Objetivos de aprendizagem: 
Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de 
apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de 
derivadase integrais.
Mariele Vilela Bernardes Prado
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos 
conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes.
Seção 4 | A derivada
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Introdução à unidade
O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de 
funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e 
séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos 
matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). 
Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados 
apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados 
os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é 
necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na 
disciplina de Introdução ao Cálculo.
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Seção 1
Revisando funções
A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma 
quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz 
para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a 
definição a seguir:
As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até 
mesmo por meio de palavras. 
No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas 
letras do alfabeto, conforme a seguinte definição:
Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - 
normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função 
de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada 
variável dependente. 
Vejamos um exemplo:
A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela 
fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 .
Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa 
fórmula. 
Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6.
ƒ associa γ = 6 a χ = 2.
Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x 
determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.
Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a 
entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) .
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Na disciplina de Introdução ao Cálculo, você aprendeu que uma função também 
pode ser apresentada como uma relação entre dois conjuntos, de modo que, para 
cada valor do primeiro conjunto teríamos um valor do segundo conjunto. Mas, o que 
é mesmo uma relação?
Dados dois conjuntos A e B, denominamos relação binária de A em B a todo 
subconjunto R de A ×B, isto é, R é uma relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B ou 
ainda x R y ⇔ R ⊂ A × B, sendo A×B o produto cartesiano entre os conjuntos A e B.
Produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados cujos primeiros 
elementos pertencem a A e os segundos elementos pertencem a B, isto é: 
A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.
Vejamos um exemplo:
Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,4,5}, o produto cartesiano A×B={(x,y)|x∈A e 
y∈B} é dado por A×B= {(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5)}.
Atente para o fato de que o número de elementos de um produto cartesiano é dado 
pela multiplicação do número de elementos de cada um dos conjuntos envolvidos. 
No exemplo acima teríamos o conjunto A com 2 elementos e o conjunto B com 
3 elementos. Logo, o número de elementos do conjunto formado pelo produto 
cartesiano A×B é 2 . 3 = 6 elementos.
Considere, agora, a relação definida por R={(x,y)∈A×B| γ=2χ}, ou seja, deve-se 
considerar apenas os pares ordenados em que γ=2x.
χ = 1 ⇒ γ = 2 . 1 = 2
χ = 2 ⇒ γ = 2 . 1 = 4 
Logo, R={(1,2),(2,4)}.
Qualquer relação pode ser considerada como uma função?
Lembre-se: Uma relação de A em B é uma função se, e somente se:
• Todo elemento χ pertencente a A tem um correspondente γ pertencente a B 
definido pela relação. 
• A cada χ pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos 
de B por meio da relação. 
Simbolicamente, definimos uma função como ƒ: A → B .
Se ƒ é uma função definida pela relação de A em B, dizemos que ƒ é uma 
função definida em A com valores em B. Se tanto A quanto B forem subconjuntos 
dos reais (R), dizemos que ƒ é uma função real de variável real.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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1.1 Domínio e Imagem de uma função 
Em certos momentos, é necessário impor restrições aos possíveis valores de 
entrada de uma função. É o caso da função ƒ(χ)=x2 que representa a área de um 
quadrado de lado χ. Embora a equação γ=x2 apresente um único valor de γ para 
cada número real de χ, o fato de que os comprimentos devem ser números positivos 
limita γ tal que χ ≥ 0.
Em outros casos, a própria fórmula matemática de uma função impõe alguma 
restrição para os seus valores de entrada. Por exemplo, se γ=√χ devemos ter χ ≥0, uma 
vez que para χ<0 teríamos um número imaginário, e conforme definimos anteriormente, 
estamos trabalhando com funções reais de variáveis reais. O mesmo acorre para γ=1 ⁄ χ, 
em que x deve ser diferente de 0, pois divisão por zero não está definida. 
Tais restrições são apresentadas ao estabelecermos o domínio de uma função 
( Dƒ ). Ou seja, o domínio natural de uma função são todos os números reais para 
os quais a função apresente valores reais. Ou ainda, o domínio de uma função é o 
conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores de χ para os quais existe 
um único γ em correspondência.
A partir de agora, sempre que falarmos de funções e não definirmos seus conjuntos 
de entrada e saída, vamos assumir que estamos trabalhando com funções reais de 
variáveis reais.
Para conhecer mais sobre a história das funções acesse: Disponível em:
<http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=hist_funcao>. 
No estudo de relações, há um caso particular denominado aplicação, 
cuja definição é apresentada abaixo: 
Sejam A e B conjuntos quaisquer, todo elemento x ∈ A apresenta um 
correspondente γ ∈ B, sendo γ único para cada χ, definido conforme a 
relação. 
Mas esta é a definição que você conhece de funções, não é verdade?
Qual seria a diferença então?
As funções são um caso particular de aplicação em que o contradomínio 
de uma aplicação é um conjunto numérico. 
Perceba que até este momento estamos trabalhando apenas com 
conjuntos numéricos e por isso utilizamos o conceito de funções. Em 
estudos futuros, vocês trabalharão com conjuntos não numéricos e o 
conceito aplicação poderá ser empregado.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Exemplo: 
Apresente o domínio natural das funções:
 a. ƒ ( χ ) = χ4
 b. ƒ ( χ ) = √χ - 5
Exemplo: 
I. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = 5 + √χ - 1 ?
Resposta:
a. A função ƒ tem valores reais para todo χ real. Logo, seu domínio é o intervalo 
( - ∞, ∞ ), ou simplesmente o próprio conjunto dos reais (R). 
b. A função ƒ apresenta valores reais exceto quando a expressão dentro do radial 
for negativa. Logo, χ - 5 deve ser maior que zero, ou seja, χ - 5 ≥ 0 ⇔ χ ≥ 5.
Se considerarmos que o domínio de ƒ( χ )=γ é o conjunto formado por todas 
as entradas possíveis, isto é, os possíveis valores para χ, podemos considerar que a 
imagem desta função (Imƒ) é o conjunto formado por todos os valores de saída a partir 
dos valores assumidos para x. Isto é, a imagem é dada apenas pelos valores de saída 
que apresenta relação com algum valor de entrada.
Resposta:
O domínio de ƒ é o intervalo [1,∞), pois para χ - 1 ≥ 0 (radicando deve ser maior ou 
igual a zero) temos χ ≥ 1. 
Quais os possíveis valores de saída quando x assume valores dentro de seu domínio?
Observe que para cada valor que χ assume em seu domínioos valores de γ serão 
sempre maiores que 5. Sendo assim, a imagem de ƒ é o intervalo [5,∞), ou ainda, Imƒ 
= {γ ∈ R | γ ≥ 5}.
χ = 1 → γ = 5
χ = 3 ⁄ 2 → γ ≅ 5,71
χ = 2 → γ = 6
χ = 5 → γ = 7
χ = 65 → γ = 13
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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II. Qual a imagem de ƒ ( χ ) = ?
χ - 1
χ + 1
Observe que, para que o denominador seja diferente de zero, devemos ter χ - 1 ≠ 0 
⇒ χ ≠ 1 . Logo, o domínio natural de ƒ é dado por Dƒ = {χ ∈ R | χ ≠ 1}. 
Observe, porém, que para γ=1 não teríamos um valor possível para χ , uma vez que 
a divisão por zero não é definida. Logo, Imƒ = {γ ∈ R | γ ≠ 1}.
Foi definido acima que a imagem de uma função é o conjunto formado apenas 
pelos valores de saída que apresenta relação com algum valor de entrada. Assim, 
podemos esperar que alguns valores de saída de uma função podem não se relacionar 
com os valores de entrada. O conjunto formado por todos os elementos do conjunto 
de saída, independentemente se este valor se relaciona ou não com algum elemento 
do conjunto de entrada, é chamado de contradomínio de ƒ.
Agora, sendo quais os possíveis valores que y pode assumir? 
χ - 1
χ + 1
γ =
Para encontrarmos estes valores, façamos:
 ⇒ γ (χ-1) = χ + 1 ⇒ γχ - γ = χ + 1 ⇒ γχ - χ = 1 + γ
χ - 1
χ + 1
γ =
Observe que χ = 1, = 1 ⇒ γ + 1 = γ - 1 ⇔ 1 = - 1, o que é um absurdo. Logo, 
a restrição denominada por Dƒ não implica restrição para a Imƒ.
γ - 1
γ + 1
Para complementar o estudo inicial das funções, você pode acessar:
<http://ellalves.net.br/textos/conteudo/43/funcao_dominio_e_imagem>.
1.2 Gráficos de funções
Sendo ƒ uma função real de variável real, temos que o gráfico de ƒ no plano 
cartesiano χγ é dado pelo gráfico da equação γ=ƒ(χ). Ou ainda, o gráfico de ƒ é o 
conjunto dos pontos dados pelos pares ordenados (χ,γ) em que χ∈Dƒ e γ∈Imƒ. 
Por exemplo, o gráfico da função f(x)=x^2 é uma parábola construída 
considerando os pares ordenados (x,y).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Fonte: Adaptado da ferramenta online Function Graphs (2015).
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.1 | Gráfico de f(x)=x2
Figura 1.2 | Projeção de y=f(x) sobre os eixos coordenados
O domínio e a imagem de uma função podem ser encontrados projetando o 
gráfico γ=ƒ(χ) sobre os eixos coordenados. Observe na figura 1.2 que a projeção de 
γ=ƒ(χ) sobre o eixo χ é o conjunto dos possíveis valores de χ, isto é, o domínio de ƒ. Já 
a projeção de γ=ƒ(χ) sobre o eixo γ é o conjunto dos valores de γ que se relacionam 
com os valores do Dƒ.
Nas definições dadas no início da unidade aprendemos que, para que uma função 
exista, é preciso que exista um único valor da variável dependente para cada valor da 
variável independente, ou seja, para cada χ pertencente ao conjunto de entrada existe 
um único γ pertencente ao conjunto de saída. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015).
Figura 1.3 | Esboços de gráficos 
Fundamentado nesta observação, podemos utilizar uma forma prática para 
verificarmos se uma curva no plano χγ é ou não uma função, tal método é também 
conhecido como “Teste da reta vertical”. 
Imagine retas verticais, paralelas ao eixo γ, passando pelos elementos do domínio. 
Caso todas as retas que você imaginou tocarem a curva em apenas um ponto, esta 
será uma função. É o caso do gráfico (a), da figura 1.3. Já no gráfico (b) as retas verticais 
tocam a curva em dois pontos, logo, não existe uma função representada por esta curva.
Você consegue explicar por que o uso do “Teste da reta vertical” 
é válido?
Para conhecer os gráficos das principais funções acesse: Disponível em:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/graficos-das-
principais-funcoes-reconheca-as-curvas-mais-comuns.htm>.
1.3 Operações com funções
Assim como os números são passíveis de operações, permitindo que sejam 
somados, multiplicados e divididos para se obter novos números, existem operações 
possíveis de serem realizadas entre duas ou mais funções, afim de se encontrar uma 
nova função.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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(ƒ + g)(χ) = ƒ(χ) + g(χ)
(ƒ - g)(χ) = ƒ(χ) - g(χ)
(ƒ . g)(χ) = ƒ(χ) . g(χ)
(ƒ / g)(χ) = ƒ(χ) / g(χ), para g(χ) ≠ 0
ƒ + g = ƒ(χ) + g(χ) = χ2 + χ - 2
ƒ - g = ƒ(χ) - g(χ) = χ2 - (χ - 2) = χ2 - χ + 2
ƒ . g = ƒ(χ) . g(χ) = (χ2) . (χ - 2) = χ3 - 2χ2
ƒ / g = ƒ(χ) / g(χ) = χ2 / (χ - 2), para χ ≠ 2
Sendo ƒ(χ) e g(χ) duas funções, definimos:
O domínio de ƒ + g, ƒ - g e ƒ . g é definido como sendo a intersecção dos 
domínios de ƒ e g. Já para a função ƒ/g , o domínio é definido como a intersecção 
dos domínios de ƒ e g, eliminando os pontos em que g(χ)=0.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 e g(χ)=χ - 2, apresente ƒ + g, ƒ - g, ƒ . g e ƒ/g.
Exemplo: 
Sejam, ƒ(χ)= χ2 - 2 e g(χ)=χ + 3, apresente ƒ o g e g o ƒ.
Resposta:
1.4 Função composta
Veremos agora outra operação possível de ser realizada entre funções que não 
apresenta analogia com nenhuma operação entre números. 
Sejam as funções ƒ e g, define-se função composta de ƒ em g, denotada por ƒ o 
g (lê-se ƒ composta g) por:
(ƒ o g)(χ) = ƒ(g(χ))
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Resposta:
1.5 Função Elementares
ƒ o g = ƒ(g(χ)) = [g(χ)]2 - 2 [g(χ)]
 = (χ + 3)2 - 2 (χ + 3) = χ2 + 6χ + 9 - 2χ - 6
 = χ2 + 4χ + 3
g o ƒ = g(ƒ(χ)) = [ƒ(χ)] + 3 (χ2 - 2) + 3
 = χ2 -2χ + 3
Podemos ter [ƒ o g](χ) = [g o ƒ](χ) ?
Para saber mais sobre funções compostas acesse: Disponível em:
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/
conteudo/capitulos/cap71s2.html>.
Vamos relembrar agora os as funções mais conhecidas e utilizadas na prática. Uma 
função polinomial de grau n, ƒ: R → R é definida por:
Sendo a
i 
∈R, i = 0,1,...,n e a
n 
≠ 0, n∈N.
As funções polinomiais apresentam alguns casos particulares. Esses casos são 
classificados quanto ao grau da função ou aos seus coeficientes. 
A função ƒ(χ) = aχ + b (primeiro grau) recebe o nome de função afim. 
Quando uma função afim apresenta um coeficiente linear nulo ( ) recebe o nome 
de função linear.
ƒ(χ) = a0 + a1χ + a2χ
2 + ... + a
n
χn
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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A função linear em que a = 1 é classificada por função identidade. 
A função do tipo ƒ(χ) = b é chamada de função constante.
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.4 | Esboços de gráficos de funções polinomiais de primeiro grau
As funções de segundo e terceiro grau recebem o nome de função quadrática e 
função cúbica respectivamente. 
As funções de segundo grau estarão presentes em diversos estudos e aplicações. 
Por isso, é importante lembrarmos algumas características destas funções. 
Sendo ƒ(χ) = aχ2 + bχ + c, e a ≠ 0 temos que:
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria 
paralelo ao eixo γ.
 Para a>0, a parábola apresenta concavidade voltada para cima e para a<0, 
concavidade voltada para baixo.
 As raízes, ou zeros da função, são definidos pela intersecção da parábola 
com o eixo χ.
O vértice da parábola apresenta coordenadas , sendo ∆ = b2 - 4ac.
-b
2a( (-∆4a
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
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Fonte: O autor (2015).
Figura 1.5 | Esboços de gráficos de funções quadrática e cúbica
Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, 
isto é:
 ƒ(χ) = 
p(χ)
q(χ)
Sendo p(χ) e q(χ) polinômios e q(χ) ≠ 0.
Sejam a > 0 e a ≠ 1 , a função exponencial de base a de ƒ : 
i
 →
 i
 definida por ƒ(χ) = aχ.
Sobre as funções exponenciais é importante lembrar que: Im (ƒ) = R
+
*
ƒ é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.
Sejam a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica de base a denotada por log
a
χ de ƒ : 
i 
+ → 
i 
é 
definida como ƒ(χ) = log
a
χ .
Existem também as funções trigonométricas. As mais comuns são seno, 
cosseno e tangente. Estas funções serão definidas e seus gráficos apresentados nafigura 1.6, para isso assumimos ƒ: R → R.
Para saber mais sobre funções quadráticas, assista ao vídeo. Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=W7NbQuiNnsc>.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
22
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.6 | Funções trigonométricas
Para saber mais sobre algumas funções elementares, acesse os links: 
Disponível em:
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. 
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. 
<http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/funcoes_trig_circ_
trig/funcoes_trigon.htm>.
Muitas vezes, as funções podem assumir comportamentos diferentes em 
intervalos do domínio, ou seja, uma mesma função pode ser classificada 
em crescente e decrescente, dependendo do intervalo considerado.
Para saber mais sobre crescimento e decrescimento de funções acesse: 
Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/
cresc_decresc/cresc_decresc.htm>.
1.6 Função crescente e decrescente
Dizemos que uma função ƒ é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que 
se aumenta o valor de χ, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também 
aumentam. Em outras palavras, ƒ é crescente em [a, b] se para quaisquer valores χ
1 
e 
χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) < ƒ(χ
2
).
Da mesma forma, podemos dizer que ƒ é decrescente em um intervalo [a, 
b], se à medida que se aumenta o valor de χ , dentro do intervalo, as imagens 
correspondentes vão diminuindo. Isto é, ƒ é decrescente em [a, b] se para quaisquer 
valores χ
1
 e χ
2
 ∈[a, b], com χ
1 
< χ
2
, tivermos ƒ(χ
1
) > ƒ(χ
2
).
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
23
1.7 Função injetora, sobrejetora e bijetora
Seja ƒ : A → B uma função, dizemos que:
 ƒ é injetora, se para todo χ
1
, χ
2 
∈ A , se ƒ(χ
1
) = ƒ(χ
2
) ⇒ χ
1 
=
 
χ
2
. 
ƒ é sobrejetora se Im(ƒ) = B ou, em outra palavras, .
ƒ é bijetora se, e somente se, ƒ é injetora e sobrejetora.
Através do gráfico da função podemos reconhecer se ƒ é ou não uma função 
bijetora. Para isso, devemos traçar retas paralelas ao eixo χ pelos pontos que 
pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas retas interceptar 
o gráfico em um único ponto, a função é bijetora.
Para entender de uma forma mais fácil as três definições anteriores, assista ao vídeo 
do link: Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=vTJCbbHFMxU>
- O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das 
ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo corta o gráfico simetricamente.
- O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem.
- Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem paridade.
A função é par se para todo , . 
Vejamos alguns exemplos: 
 é uma função par, pois .
 é uma função par, pois .
A função é ímpar se para todo , .
Vejamos alguns exemplos:
 é uma função ímpar pois,
 é uma função ímpar pois,
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
24
1.8 Função inversa
A inversa de , denotada por , é a função que satisfaz,
sendo i a função identidade.
Para evidenciarmos a definição dada acima, vamos considerar os conjuntos A = 
{1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e a função ƒ : A → B definida por ƒ(χ) = 2χ + 3. A função 
inversa de ƒ é ƒ-1(χ) = χ .1
2
3
2
Verificamos assim que ƒoƒ-1= ƒ-1oƒ = i satisfeito, então ƒ-1 (χ) = . 1
2
χ - 3
2
É importante perceber que apenas funções bijetoras admitem 
inversa. Reflita o porquê de a afirmação acima ser verdade.
A função inversa pode ser encontrada aplicando uma regra simples.
Dada a função bijetora ƒ: A→B definida pela sentença γ = ƒ(χ), para obtermos a 
sentença aberta que define ƒ-1 devemos seguir os seguintes passos:
i. Na sentença γ = ƒ(χ), trocamos as variáveis, isto é, colocamos χ no lugar do γ e 
γ no lugar do χ.
ii. Transformamos algebricamente a expressão χ = ƒ(γ), expressando γ em função de χ.
χ - 7
4
Exemplo:
Qual a função inversa da função ƒ bijetora em i definida por ƒ(χ) = 4χ + 7?
A função dada é γ = ƒ(χ) = 4χ + 7
i. γ = 4χ + 7 → χ = 4γ + 7
ii. χ = 4γ + 7 ⇒ 4γ + 7 = χ ⇒ 4γ = χ - 7 ⇒ γ = .
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
25
Logo, a inversa de ƒ, isto é, ƒ-1 é dada por γ = . 
χ - 7
4
2. Seja ƒ(χ) = χ2 e g(χ) = χ -3. A composta ƒog é: 
a. χ2 - 3
b. χ2 - 6χ + 9
c. χ2 - 6χ - 3
d. χ2 + 6χ + 9
e. χ2 - 6χ + 3
1. Considere a afirmação: ‘A função ƒ(χ)=√(χ2-1) é injetora e 
par’. Tal afirmação está:
a. Correta.
b. Incorreta, pois ƒ(χ) é injetora, mas não é par.
c. Incorreta, pois ƒ(χ) é par, mas não é injetora.
d. Incorreta, pois não é possível analisar ƒ(χ).
e. Incorreta, pois ƒ(χ) não é par e não é injetora.
a. ƒ-1 = 
b. ƒ-1 = 
c. ƒ-1 = 
e. ƒ-1 = 
d. ƒ-1 = 
χ + 2
3
χ - 2
3
2 - χ
3
χ
3
- (2 + χ)
3
3. Seja ƒ(χ): R → R definida por ƒ(χ) = 3χ - 2 . A sua inversa ƒ-1 é:
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
26
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
27
Seção 2
Limite de uma função
Uma das noções básicas no cálculo é o conceito de limite. A ideia de limite será 
abordada inicialmente de forma intuitiva. Em seguida, será trabalhada sua definição 
formal e seu cálculo.
O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função na 
vizinhança de um ponto fora de seu domínio. Isto é, podemos identificar como 
uma função se comporta próximo a um ponto, mesmo que este ponto não esteja 
em seu domínio. 
Para entendermos melhor a ideia de limite, vamos analisar a função:
Vamos estudar ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2. 
Para χ < 2 teremos:
Se χ ≠ 2, podemos dividir o numerador e o denominador por χ - 2 e assim obtermos 
ƒ (χ) = χ + 1. 
definida para χ ∈ R / χ ≠ 2.
A função não está definida para χ = 2 . Como será o comportamento 
de ƒ (χ) quando χ assume valores bem próximos de 2?
χ 1,00 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999
ƒ (χ) 2,00 2,50 2,75 2,90 2,99 2,999
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
28
Para χ > 2 teremos:
χ 3,00 2,50 2,25 2,10 2,01 2,001
ƒ (χ) 4,00 3,50 3,25 3,10 3,01 3,001
Os limites para χ < 2 e χ > 2 são chamados de limites laterais. O tema será abordado 
de forma mais completa ainda neste material. 
Você já deve ter percebido que, conforme o valor de χ se aproxima de 2, ƒ (χ) fica 
cada vez mais próxima de 3. Ou ainda, podemos tornar ƒ (χ) tão próximo de 3 quanto 
desejarmos, basta tomarmos χ suficientemente próximo de 2, conforme observado 
na figura 1.7.
A partir desta observação podemos definir, de forma informal: seja ƒ uma função 
definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente no próprio 
a, dizemos que:
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.7 | Esboço do gráfico de ƒ (χ)=χ+1 para χ≠2
O limite descreve o comportamento da função em pontos extremamente 
próximos de , mas jamais no próprio .
Para saber mais sobre os conceitos de limite, assista ao vídeo: Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=iUxAIFuX7f4&list=PLB938B2
80064A4AB4>.
3
1
1 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
29
2.1 Propriedades de limites
Teorema 3: Se e , então:
Ainda explorando a ideia intuitiva de limite, vamos agora apresentar suas 
propriedades a as regras básicas para seu cálculo. 
A apresentação será feita por meio de teoremas. 
Teorema 1: Se existe, ele é único.
Teorema 2: Se a, b e c são números reais e ƒ(χ) = bχ + c. 
Então 
a. .
b..
c. .
d. desde que .
e. desde que quando n for par.
f. e . 
h. , desde que L
1
 > 0.
g.
Você pode ver a demonstração de algumas das propriedades 
apresentadas acima acessando: Disponível em <http://www.uff.br/
webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap05_Calc1.html#PropriedadesLimite>.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
30
Utilizando as propriedades apresentadas acima, temos:
Qual é o limite de quando χ tende a 2?
2.2 Teorema do Confronto
Seja a um número real e ƒ,g e h funções que satisfazem ƒ(χ) ≤ h(χ) ≤ g(χ), para 
todo χ∈R, exceto eventualmente para χ=a. Se lim ƒ(χ) = lim g(χ) = L.
lim h(χ) = L.Então
χ → a
χ → a
χ → a
O Teorema do Confronto é também conhecido como 
Teorema do Sanduíche. 
Reflita o porquê do termo sanduíche ser aplicado neste 
contexto.
Mais informações sobre o Teorema do Confronto, bem como sua demonstração, 
você encontra acessando o site: Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/
ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/teo_confronto.htm>. 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
31
2.3 Indeterminação
Agora, e . 
Exemplo:
Calcule .
Resposta:
Podemos afirmar que .
Multiplicando a desigualdade por χ4, temos: 
Pelo Teorema do Confronto, temos que 
A propriedade d do teorema 3 nos diz que o desde que L
2
 ≠ 0. Tal 
restrição é clara, uma vez que a divisão por zero não está definida.
Como calcular, então, o ?
Sendo , não podemos aplicar a propriedade.
Caso você não percebesse, a princípio, que o denominador tende a zero, e 
aplicasse a propriedade, você encontraria a expressão , pois também é 
igual a 0. Temos aqui um caso de indeterminação.
Para casos como este, deve-se, quando possível, reescrever a expressão estudada 
de outra forma equivalente.
Para χ ≠ 2, temos que
Logo
0
0
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
32
Outros casos de indeterminação são , 0.∞ e ∞ - ∞ (e suas variações).
Para conhecer alguns exemplos de indeterminações, acesse: Disponível em: 
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/cap07_TiposIndeterm.html>.
∞
∞
Exemplo:
I. Calcule
II. Calcule
Como
Fatorando os polinômios do numerador e do denominador, podemos escrever:
Logo, 
O limite apresenta mais uma vez uma indeterminação do tipo . Neste caso, não 
se trata de um quociente de polinômios e para reescrever a expressão pode-se usar o 
artifício de multiplicar o numerador e o denominador por . 
temos uma indeterminação do tipo . e 0
0
0
0
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
33
III. Calcule
O exemplo III apresenta outro tipo de indeterminação do tipo . Aqui, uma solução 
possível para encontrarmos uma expressão equivalente que permita o cálculo do 
limite é utilizar o artifício da mudança de variável.
Assumindo , reescreveremos toda a expressão em função de u.
Se então, , logo χ = 9 - u3.
Se χ → 1, então . Logo u → 2.
Assim, 
A expressão pode ser reescrita na forma .
Logo,
0
0
No início dos estudos de limites foi mencionada a existência dos limites laterais. 
Vimos que o estudo do comportamento de uma função nos valores próximos a a, isto 
é, uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, exceto eventualmente 
no próprio a, deve ser feita para valores menores que a e maiores que a. Para χ < a, é 
calculado o limite lateral à esquerda, e para χ > a calculamos o limite lateral à direita. 
Esses limites são definidos da seguinte forma:
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]a,b[ . O limite de ƒ(χ) , quando 
χ se aproxima de a pela direita é L
1
 e escrevemos .
2.4 Limites Laterais
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
34
Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto ]c,a[. O limite de ƒ(χ), quando χ 
se aproxima de a pela esquerda é L
2
 e escrevemos . 
Exemplo:
Observe os limites das funções apresentadas na figura 1.8. Os limites laterais de ƒ(χ)
quando χ tende a a são lim ƒ(χ) = 2 e lim ƒ(χ) = 6 . Logo, podemos afirmar que lim ƒ(χ) 
não existe, pois seus limites laterais são diferentes. Já na função g(χ), os limites laterais 
são lim g(χ) = 5 e lim g(χ) = 5 . Sendo os limites laterais iguais, podemos afirmar que lim 
g(χ) existe e é igual a 5. Mesmo que o valor de g em χ=b seja diferente do limite de g(χ)
quando χ→b.
Condição de existência para lim ƒ(χ) é que os limites laterais existam e 
sejam iguais. Isto é:
χ → a
χ → a χ → a χ → a
lim ƒ(χ) = L se, e somente se, lim ƒ(χ) + lim ƒ(χ) = L. 
Para o caso de termos lim ƒ(χ) ≠ lim ƒ(χ), dizemos que lim ƒ(χ) não existe.
χ → a+
χ → b+ χ → b-
χ → a- χ → a
χ → a χ → a
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.8 | Esboços de ƒ(χ) e g(χ)
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
35
II. Seja ƒ(χ)=χ2 - 4, temos que lim ƒ(χ) = 0 e lim ƒ(χ) = 0. Logo, lim ƒ(χ) existe e é 
também igual a 0. 
III. Seja vamos determinar lim g(χ) e lim g(χ).
O primeiro passo é reescrevermos g(χ) eliminando o valor absoluto. 
Como χ2 - 4 = (χ - 2)(χ + 2), podemos escrever:
Agora fica fácil calcularmos os limites laterais, basta utilizarmos a ideia apresentada 
no início da seção.
Como, lim g(χ) = lim g(χ) temos que lim g(χ) não existe.
Logo, 
χ → 2+
χ → 2+
χ → 2-
χ → 2-
χ → a
logo
χ → 2+ χ → 2- χ → 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
36
Em alguns casos, a função pode assumir valores cada vez maiores, ou cada vez 
menores. 
Observe a função ƒ(χ) = definida para R*. 
Como é o comportamento de ƒ(χ) próximo a 0?
Para χ < 0 teremos:
A partir da tabela acima e do gráfico de ƒ(χ) apresentado na figura 1.9 é fácil perceber 
que, conforme χ se aproxima de 0 pela direita, os valores de ƒ(χ) crescem infinitamente 
e de forma positiva. Quando χ se aproxima de 0 pela esquerda, ƒ(χ) assume valores 
negativos e decrescem infinitamente.
Para χ > 0 teremos:
2.5 Limites e infinitos
χ
1
χ -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
ƒ (χ) -1 -10 -100 -1.000 -10.000
χ 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
ƒ (χ) 10.000 1.000 100 10 1
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.9 | Gráfico de ƒ(χ) = χ
1
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
37
Quando lim ƒ(χ) = + ∞ e lim ƒ(χ) = + ∞ , podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe, e ainda 
lim ƒ(χ) = + ∞. De forma análoga, temos que lim ƒ(χ) = + ∞ se lim ƒ(χ) = lim ƒ(χ) = + ∞.
Outra caso que envolve valores infinitos é quando χ assume valores cada vez maiores, 
ou menores. Nestes casos, teremos limite no infinito.
Para definir esses limites, usamos a seguinte notação:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ cresce indefinidamente. 
Da mesma forma podemos dizer que:
lim ƒ(χ) = L se os valores de ƒ(χ) forem se aproximando cada vez mais de L à 
medida que χ decresce indefinidamente. 
Além das propriedades para o cálculo de limites já apresentadas, que são válidas 
para limites no infinito, devemos saber também que:
χ → a+
χ → a+
χ → a-
χ → a-
χ → a
χ → a
χ → + ∞
χ → - ∞
χ → a
As demonstrações das propriedades acima podem ser conferidas 
acessando o link: Disponível em:
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap07_Calc1.
html#Observacao_7-1>.
Exemplo:
Calcule . 
Funções, limite, continuidade e definição de derivadaU1
38
Observe que o limite apresenta uma indeterminação do tipo . Afim de resolvermos 
o problema, vamos dividir o numerador e o denominador da função por χ3. Observe 
que tal argumento só é válido pois χ ≠ 0.
∞
∞
Como , temos
Vamos voltar ao exemplo do tópico anterior, a função ƒ(χ) = definida para R* , com 
o gráfico apresentado na figura 1.9. 
Observe que ƒ(χ) aproxima-se da reta χ = 0 cada vez mais, chegando a confundir-se 
com ela. Do mesmo modo, ƒ(χ) aproxima-se da reta γ = 0 cada vez mais. 
Retas que apresentam características como as descritas acima são chamadas de 
assíntotas e são definidas da seguinte maneira:
2.6 Assíntotas
1
χ
• Uma reta χ = a é uma assíntota vertical ao gráfico de ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = + ∞ ou
lim ƒ(χ) = + ∞
χ → a+
χ → a-
-
-
• Uma reta γ = a é uma assíntota horizontal ao gráfico da função ƒ(χ) caso lim ƒ(χ) = b.
χ → + ∞-
• lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), sendo a um ponto de descontinuidade de ƒ. Caso esses 
limites sejam +∞, temos que a reta χ = a é uma assíntota vertical.
-
-
• Calcular os lim ƒ(χ) e lim ƒ(χ), e se o valor encontrado for um número real a, 
temos que a reta γ = a é uma assíntota horizontal.
χ → + ∞ χ → - ∞
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
39
Verificar a existência de assíntotas e identificá-las facilita a construção do gráfico de 
uma função, tornando mais fácil o seu estudo.
Exemplo:
O esboço do gráfico de ƒ(χ) pode ser verificado na figura 1.10.
Vamos verificar a existência de assíntotas verticais:
Temos que χ=-3 é um ponto crítico de , pois para χ=-3, teríamos o valor 
zero no denominador. Vamos, então, calcular .
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
, temos que γ=1 é uma assíntota horizontal.
Seja a função vamos encontrar, caso exista, suas assíntotas.
Vamos verificar a existência de assíntotas horizontais:
Para facilitar o cálculo dos limites, vamos reescrever ƒ(χ)
Logo, e χ=-3 é assíntota vertical.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
40
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.10 | Gráfico de ƒ(χ) e suas assíntotas
Para saber mais sobre as assíntotas, acesse os links: Disponível em:
<http://checkmath.wordpress.com/2013/06/20/retas-assintotas/>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=-FfodxO713c>. 
Limites de funções também podem ser calculados a partir de limites já conhecidos, 
chamados de limites fundamentais. São três os limites fundamentais que iremos trabalhar:
1.
2.
3.
2.7 Limites fundamentais
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
41
Agora que você já entendeu o conceito de limite de forma intuitiva, será apresentada 
a definição formal. Para apresentar tal definição, vamos mais uma vez usar um exemplo:
Seja,
Seja u=5χ, então χ=u / 5 e se χ→0 , u→0. Substituindo na função inicial, temos
Exemplos:
I. Calcule . 
II. Calcule . 
III. Calcule . 
Calculamos, então, o limite.
Colocando 35χ em evidência, tem-se . Para obtermos um expoente igual 
ao denominador, podemos ainda multiplicar a expressão por , obtendo .
A expressão pode ser escrita na forma . O artifício é utilizado a fim 
de se obter o expoente χ igual ao denominador 2χ. Feito isso, temos que:
2.8 Definição formal de limite
-3
-3
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
42
Usando a ideia de limite que aprendemos anteriormente, podemos concluir 
que lim ƒ(χ) = 5. Isso significa que ƒ(χ) pode estar o mais próxima de 5 quanto 
se queira, desde que, para isso, χ seja o mais próximo de 2. Em outras palavras, 
podemos tornar a distância entre ƒ(χ) e 5 tão pequena quanto desejarmos, desde 
que a distância entre χ e 2 seja suficientemente pequena, mas diferente de 0.
Você deve recordar que a distância entre ƒ(χ) e 5 e entre χ e 2 é dada por |ƒ(χ) 
= -5| e |χ-2| respectivamente.
Vamos reescrever, então, o que foi dito anteriormente: Podemos tornar |ƒ(χ) 
= -5| tão pequeno quanto desejarmos, desde que tomemos |χ-2| suficientemente 
pequeno, mas diferente de 0.
Supondo que desejamos que |ƒ(χ) = -5| < . Quais valores de |χ-2| devemos ter?
Se |ƒ(χ) = -5| < e sendo ƒ(χ) = 2χ + 1 para χ ≠ 2, 
Portanto, devemos tomar χ, tal que |χ-2| < e χ ≠ 2.
Para quantificar o quão pequenas devem ser essas diferenças, faremos uso das letras 
ε (epsilon) e δ (delta).
Assim, dado um número positivo ε, supostamente pequeno, é possível tornar |ƒ(χ) = 
-5| < ε desde que se tome |χ-2| < δ e χ ≠ 2 . O que pode ser escrito da seguinte forma:
Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que |ƒ(χ) = -5| < δ sempre que 0 < |χ-2| < δ.
Usando os conceitos apresentados acima, podemos definir o limite da seguinte 
forma: seja ƒ uma função definida em um intervalo que contenha o ponto a, 
exceto, eventualmente, no próprio a, dizemos que o limite de ƒ, quando χ tende a 
a, é L se para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que |ƒ(χ) - L| < ε, sempre que 0 < |χ-a| < δ.
χ → 2
1
100
1
200
1
100
Mais informações sobre a definição formal de limites você encontra em: 
Disponível em: <http://manthanos.blogspot.com.br/2011/06/sobre-
definicao-formal-de-limite.html>.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
43
Exemplos:
Mostre que utilizando a definição formal de limites.
É preciso mostrar que, dado ε > 0, pode-se encontrar um δ > 0 tal que
se .
Deve-se encontrar um valor de que δ garanta a afirmação acima e, em seguida, 
provar que tal afirmação é válida para δ indicado.
|2χ - 4| < ε se 0 < |χ - 2| < δ
Pode-se reescrever a afirmação acima de forma que torne mais fácil encontrar o δ 
apropriado.
2|2χ - 4| < ε se 0 < |χ - 2| < δ
|χ - 2| < se 0 < |χ - 2| < δ
Portanto, quando 0 < |χ - 2| , então |ƒ(χ) -1| < ε. Basta tomar δ = , qualquer que 
seja ε > 0. Logo, .
ε
2
ε
2
ε
2
1. Calcule lim
χ → - ∞
4χ2 + 11
3χ2 + χ - 7
lima.
χ → 0
(2 + χ)2 - 4
χ
a. O limite da função ƒ(χ) = quando χ tende a ∞ é:
5χ2 - 4χ + 3
3χ - 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
44
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
45
Seção 3
Funções contínuas
Podemos apresentar a ideia de continuidade como processos que ocorrem de 
maneira ininterrupta, sem mudanças repentinas. Imagine que você deixe cair uma 
moeda de uma altura de 2m. A moeda não pode, ao seguir sua trajetória, estar a 1,5m 
do chão e, em seguida, aparecer a 0,5m, não é mesmo? A trajetória da moeda deve 
percorrer todos os valores entre 0 e 2m. Funções que representam processos como 
esse são chamadas de funções contínuas.
Nesta seção, vamos definir a noção de continuidade e estudar algumas de suas 
propriedades.
Sejam ƒ(χ) uma função real e χ = a um ponto no interior de seu domínio. Dizemos 
que ƒ é contínua em χ = a se as seguintes condições forem satisfeitas:
i. ƒ (a) existe. ii. lim ƒ(χ) existe. iii. lim ƒ(χ) = im ƒ(a) .
Caso uma ou mais dessas condições não sejam satisfeitas, dizemos que ƒ apresenta 
uma descontinuidade em χ = a, ou é descontínua em χ = a.
Agora que apresentamos a condição de continuidade para um ponto da função 
podemos concluir que:
ƒ é uma função contínua quando ƒ é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Exemplos:
I. A função ƒ(χ) = é contínua em χ=2?
Devemos verificar as condições necessárias apresentadas na definição de função 
contínua.
• ƒ(2) existe?
3.1 Definição de continuidade
χ → a χ → a
χ2 - 4
χ - 2
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
46
Como os limites laterais são iguais, podemos afirmar que lim ƒ(χ) existe e é igual a 4.
• lim ƒ(χ) = ƒ(2) ?
Se ƒ(χ) = χ + 2, então ƒ(2) = 2 + 2 = 4.
Logo, ƒ(2) existe e é igual a 4.
• lim ƒ(χ)existe?
χ → 2
χ → 2
χ → 2
χ → 2
A partir das duas primeiras condições, chegamos que lim ƒ(χ) = ƒ(2) = 4.
Sendo todas as condições de continuidade satisfeitas, conclui-se que é uma 
função contínua.
II. A função g(χ) = é contínua?
Observando o esboço do gráfico de g(χ) apresentado na figura 1.11 (a), vimos que 
existe uma quebra no gráfico no ponto χ - 3 e que g(χ) não está definida neste ponto. 
Assim, a condição (i) não é satisfeita. Logo, g apresenta uma descontinuidade no ponto 
χ - 3, isto é, g(χ) é uma função descontínua.
1
χ - 3
III. A função é contínua?
O esboço do gráfico de h(χ) é apresentado na figura 1.11 (b). O gráfico de h(χ)
apresenta uma quebra em χ = 3, porém, pela definição, h(χ) está definida para χ = 3 e 
h(3)=0. Assim, a condição (i) está satisfeita. 
Vamos agora verificar a existência do lim h(χ).
χ → 3
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
47
Como os limites laterais são diferentes, temos que lim h(χ) não existe e a condição 
(ii) não é satisfeita. Logo, h(χ) é descontínua em χ=3.
A continuidade pode ser verificada graficamente. Quando o gráfico de uma função 
não apresenta interrupções, isto é, quando podemos desenhá-lo sem tirar o lápis do 
papel, assumimos que a curva apresentada no gráfico é uma função contínua.
A partir das propriedades de limites apresentadas na seção 2, podemos concluir 
que soma, subtração, multiplicação e divisão de funções contínuas em χ = a é também 
contínua em χ = a. É o que nos apresentada o teorema a seguir.
Teorema 4: Se as funções e forem contínuas em , então:
1. ƒ + g é contínua em χ = a.
2. ƒ - g é contínua em χ = a.
3. ƒ . g é contínua em χ = a.
4. ƒ / g é contínua em χ = a se g(a) ≠ 0 e tem uma descontinuidade em a se g(a) = 0. 
Outras propriedades importantes são:
I. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
II. Toda função racional é contínua em seu domínio.
III. As funções trigonométricas sen(χ) e cos(χ) e a função exponencial ex são 
contínuas para todo χ real.
χ → 3
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.11 | Esboço de gráficos
3.2 Propriedades das funções contínuas
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
48
Assim como nas operações entre funções, a composição de duas funções 
contínuas é também contínua.
Teorema 5: Se lim g(χ) = L e ƒ é contínua em L, então lim ƒ(g(χ)) = ƒ (L), ou seja,
Exemplo:
Vamos estudar a função h(χ) = √9 - χ2. Seria h(χ) contínua?
Podemos escrever h(χ) como uma função composta h = ƒog, sendo ƒ(χ) = √χ 
e g(χ) = 9 - χ2. Como ƒ e g são funções contínuas em seu domínio, pelo teorema 5 
podemos afirmar que h é também continua em seu domínio.
lim ƒ(g(χ)) = ƒ (lim g(χ)).
χ → a
χ → a
χ → a+
χ → a
χ → a
Dizemos que uma função ƒ é contínua em um intervalo aberto ]a,b[ se ƒ for 
contínua em todos os pontos deste intervalo. 
Dizemos que uma função ƒ é contínua em um intervalo fechado [a,b] se ƒ for 
contínua no intervalo aberto ]a,b[ e ainda satisfazer as condições de continuidade lim 
ƒ(χ) = ƒ(a) e lim ƒ(χ) = ƒ(b).
Sendo ƒ uma função injetora, o gráfico de ƒ-1 é uma reflexão do gráfico de ƒ 
em relação à reta χ=γ. Conhecendo esta informação, podemos concluir que, se o 
gráfico de ƒ não apresenta rupturas, o gráfico de ƒ-1 também não apresentará. A partir 
desta conclusão, e sendo a imagem de f igual ao domínio de ƒ-1, tem-se o seguinte 
resultado: se f é uma função bijetora, contínua em cada ponto de seu domínio, então 
ƒ-1 é contínua em cada ponto de seu domínio.
3.3 Continuidade por intervalos
3.4 Continuidade de funções inversas
χ → b-
Veja alguns exemplos de como identificar uma função contínua. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=PTwiNgefl7U>.
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
49
Observe a figura 1.12, que apresenta o gráfico de uma função ƒ contínua no 
intervalo [a,b]. O gráfico nos mostra que, estando k entre ƒ(a) e ƒ(b), para qualquer 
reta horizontal γ=k que traçarmos, esta reta cruzará a função ƒ pelo menos uma vez 
no intervalo entre a e b. Essa ideia é apresentada no teorema 6, também conhecido 
como Teorema do Valor Intermediário.
Teorema 6: Seja ƒ contínua em [a,b] e k um número qualquer entre ƒ(a) e ƒ(b), 
então existe pelo menos um número χ no intervalo [a,b], tal que ƒ(χ) = k.
Embora o teorema 6 apresente um enunciado intuitivo e bastante simples, sua 
demonstração requer conhecimentos que não serão abordados neste livro. A 
demonstração do teorema pode ser encontrada em livros de cálculo avançado. 
Uma das consequências do Teorema do Valor Intermediário é que ele é útil para 
identificarmos intervalos em que a raiz de uma função pertença.
Teorema 7: Se ƒ é contínua em [a,b], e se ƒ(a) e ƒ(b) forem diferentes de zero 
com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação ƒ(χ) = 0 no 
intervalo (a,b). 
Vamos aplicar o teorema 7 na função polinomial p(χ) = χ2 + 3χ + 4 no intervalo [2,5].
Para χ = 2 temos p(2) = 6 e para χ = 5 temos p(5) = -6.
Você já sabe que funções polinomiais são contínuas, e pelo teorema 7 podemos 
afirmar que p(χ) = χ2 + 3χ + 4 assume pelo menos um valor c entre [2,5] tal que ƒ(c)=0.
Vamos encontrar as raízes de p(χ) e comprovar que pelo menos uma delas 
pertence ao intervalo [2,5].
3.5 Valor intermediário
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.12 | Gráfico de uma função contínua
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
50
Utilizando , temos que:
Como 4 ∈ [2,5], temos que pelo menos uma das raízes de p(χ) está no intervalo 
analisado. 
Veja outro exemplo em que podemos aplicar o teorema 7: 
A função χ - cos2 χ = 0 possui pelo menos uma raiz no intervalo
Como ƒ(χ) = χ - cos2 χ é contínua no intervalo dado;
Pelo teorema 7 podemos afirmar que existe um k ∈ tal que ƒ(k) = 0.
Para mais informações sobre o Teorema do Valor Intermediário e seus 
resultados, acesse: Disponível em:
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap06_Calc1.
html#VI-2_TVI>. 
Nos links abaixo você encontra um material completo sobre limites e 
continuidade. Disponível em:
<http://www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/limites.
pdf>. 
<http://portal.virtual.ufpb.br/biblioteca-virtual/files/pub_1291086101.
pdf>. 
Funções, limite, continuidade e defi nição de derivada
U1
51
1. A função ƒ(χ) = é contínua para quais valores?
2. Determine os valores para os quais g(χ) seja contínua:
χ3 + 1
χ2 - 9
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
52
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
53
Seção 4
A derivada
A derivada estuda a taxa segundo qual varia uma quantidade em relação a outra, 
conhecida como taxa de variação.
A taxa de variação é utilizada em diversas áreas. Receita, custo e lucro marginais, são 
exemplos de taxas de variação estudados pelos economistas. A taxa de crescimento de 
bactéria na medicina laboratorial. A velocidade de queda de um determinado corpo que 
você calculou na aula de física no ensino médio também é um exemplo de taxa de variação. 
Seja a função contínua γ = ƒ(χ) definida no intervalo I∈R, com χ
1
 e χ
2
 pertencentes 
a I. Geometricamente, a taxa de variação média de γ em relação à χ no intervalo 
[χ
1
,χ
2
] é a inclinação da reta secante pelo pontos p(χ
1
,ƒ(χ
1
)) e q(χ
2
,ƒ(χ
2
)) e a taxa de 
variação instantânea de γ em relação à χ em χ
1
 é a inclinação da reta tangente no 
ponto p(χ
1
,ƒ(χ
1
)), conforme figura 1.13.
4.1 Taxa de variação
Antes de continuarmos os estudos a respeito das derivadas, faça a 
leitura do texto disponível no link a seguir. Você aprenderá mais sobre 
a origem do conceito de derivada. Disponível em:
<http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>.
Fonte: O autor (2015).
Figura 1.13 | Retas secante e tangente à curva de ƒ(χ)
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
54
Vamos denotar a diferença entre as abscissas de Q e P por h, ou seja, h=χ
2 
- χ
1
. A 
inclinaçãoda reta secante PQ é dada por desde que a reta 
PQ não seja vertical.
Exemplos:
Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de γ=χ2-2χ+3 no ponto (χ1, γ2).
Sendo h=γ
1
-χ
1
 e ƒ(χ
1
)=χ
1
2 - 2χ
1 
+ 3, temos que 
Vamos considerar o ponto P fixo e o ponto Q movendo-se em direção a P, isto 
é, Q tende a P. Se Q tende a P, h tende a 0. 
Quando P=Q, a secante gira em torno do ponto P. Observe que este movimento 
no leva a infinitas retas, sendo uma delas a reta tangente a ƒ em P. 
Vamos, então, assumir que a inclinação da reta tangente à ƒ em P, dada por 
m(χ
1
), seja o limite de m
sec
 quando h tende a zero, se este limite existir. 
Assim, .
Quando m(χ
1
) tende a ±∞ temos a reta χ=χ
1
.
Como h=χ
2 
- χ
1
, podemos escrever χ
2
=h+χ
1
. A inclinação de PQ pode ser escrita 
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
55
Vamos agora encontrar uma equação para a reta tangente a curva dada no exemplo I 
no ponto (3,2). 
Como a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (χ
1
, γ
1
) é dada por m(χ
1
)=2χ
1 
- 2, 
a inclinação da reta tangente no ponto (3,2) é m(3)=4.
Conhecendo a inclinação da reta no ponto (3,2), e sabendo que uma possível equação 
da reta tangente a ƒ(χ) no ponto (χ
1
, γ
1
) é dada por (γ - γ
1
)=m(χ
1
).(χ - χ
1
), temos que
Acabamos de aprender que se existe, ele pode ser interpretado 
como a inclinação da reta tangente à curva γ=ƒ(χ) no ponto χ=χ
1
, ou ainda, como a taxa 
de variação instantânea de γ em relação a χ
1
, em χ
1
=χ
1
. Aprendemos também que a taxa 
de variação pode ser empregada em diversas áreas e para diferentes usos. Devido à sua 
importância, este limite possui uma notação especial:
4.2 Função derivada 
Se ƒ'(χ) existir, esta é denominada derivada de ƒ em relação χ, sendo o domínio de 
ƒ' composto por todos χ pertencentes ao domínio de ƒ para os quais existe o limite. 
O termo derivada decorre do fato de ƒ' derivar da função ƒ por meio de um limite.
Exemplo:
Utilizando a definição de derivada, encontre ƒ' da função ƒ(χ) = 5√χ para χ = 9.
Que nos leva à indeterminação .
Podemos escrever
0
0
Funções, limite, continuidade e definição de derivada
U1
56
Vamos encontrar agora a ƒ' da função ƒ(χ)=5√χ para qualquer χ > 0.
Procedendo de forma análoga, chegamos que
Para os casos em que não existe para algum ponto pertencente 
ao domínio de ƒ, temos que a derivada não está definida. 
Assim, dizemos que uma função ƒ é diferenciável (ou derivável) em χ, se existe 
Se ƒ é diferenciável em cada ponto do intervalo aberto (χ, γ), então dizemos que ƒ 
é diferenciável em (χ, γ).
A derivada pode também ser representada pela notação de Leibniz . dγ
dχ
Para saber mais sobre taxa de variação e os conceitos iniciais de derivada, 
acesse: Disponível em:
<http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/rz_de_varinst/tx_var_inst.htm>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=mQSVKCmeAQE>. 
Funções, limite, continuidade e defi nição de derivada
U1
57
1. Calculando obtemos:
a. 4
b. 1/2
c. 0
d. 1
 Calculando obtemos:
2. O :
a. √5
d. √5
c. 4√5
b. √5
10
3
3
 O :
3. O é:
b. 7
c. 7
d. +∞
a. Não existe.
5
5
 O é:
Funções, limite, continuidade e defi nição de derivada
U1
58
5. Utilizando a definição de derivada, podemos afirmar que 
ƒ' de ƒ(χ) = 2χ + 1 é: 
a. 4
b. 2χ
c. 2
d. χ + 1
4. Estudando a função abaixo, podemos afirmar que:
a. ƒ(χ) é continua nos pontos χ = 0 e χ = 1
b. ƒ(χ) não é continua nos pontos χ = 0 e χ = 1
c. ƒ(χ) é continua apenas no ponto χ = 0
d. ƒ(χ) é continua apenas no ponto χ = 1
Nesta unidade você aprendeu:
• Que o conhecimento sobre funções é fundamental para os 
estudos envolvendo derivadas e integrais e que, por isso, foi 
necessária uma revisão sobre o assunto.
• O conceito intuitivo de limites e como calcular limites utilizando 
propriedades e limites fundamentais.
• Que artifícios algébricos podem ajudar a resolver problemas de 
indeterminação no cálculo de limites.
Funções, limite, continuidade e defi nição de derivada
U1
59
• Calcular limites quando x tende a infi nito e reconhecer limites que 
tendem a infi nito.
• Reconhecer funções contínuas e as características para que um 
intervalo seja contínuo.
• Limite e continuidade são fundamentais para a compreensão dos 
conceitos de derivada e integral que serão abordados nas próximas 
unidades.
• A relação entre taxas de variação, retas tangentes e derivadas.
• Calcular a derivada de uma função a partir da defi nição.
Nesta unidade você iniciou os estudos do Cálculo Diferencial e 
Integral. Todo o conteúdo trabalhado até aqui são fundamentais 
para a compreensão dos conceitos de derivada e integral que 
serão abordados nas próximas unidades.
É importante que você faça uso dos materiais sugeridos nos 
Saiba mais e Aprofundando o conhecimento para que sua 
aprendizagem seja completa e que não restem dúvidas sobre o 
conteúdo. A bibliografi a também apresenta um bom material para 
pesquisas e grande número de exercícios, o que é fundamental 
para a fi xação do conteúdo aqui abordado.
1. Calculando , obtemos:
2. O é:
 Calculando , obtemos:
 O é:
Funções, limite, continuidade e defi nição de derivada
U1
60
3. O é?
4. Estudando a função, podemos afirmar que: 
5. Utilizando a definição de derivada, podemos afirmar que 
ƒ´de ƒ(χ) = 2χ + 1 é: 
 O é?
a. ƒ(χ) é continua nos pontos χ = 0 e χ = 1
b. ƒ(χ) não é continua nos pontos χ = 0 e χ = 1
c. ƒ(χ) é continua apenas no ponto χ = 0
d. ƒ(χ) é continua apenas no ponto χ = 1
U1
61Funções, limite, continuidade e definição de derivada
Referências
FUNCTION GRAPHS. Ferramenta gráfica. Disponível em: <http://rechneronline.de/
function-graphs/>. Acesso em: 31 mar. 2015.
SUGESTÃO DE LEITURA 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. São Paulo: Atual, 2003.
ERCOLE, G.; PINTO, M. M. F. Introdução ao Cálculo Diferencial. Belo Horizonte: 
UFMG, 2009.
GIMENEZ, C. S. C.; STARK, R. Cálculo 1. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2011.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e 
funções. 8. ed. São Paulo: Atual Editora 2004.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: limites, derivadas e 
noções de integral. 8. ed. São Paulo: Atual Editora 2004.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
MORETTIN, P.; BUSSAB, W.; HAZZAR, S. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. 
São Paulo: Saraiva, 2003.
Unidade 2
CÁLCULO DE DERIVADAS
Nesta seção, vamos aprender a respeito das derivadas de funções por 
meio da utilização de técnicas quando as funções envolvem operações 
de soma, subtração, multiplicação e divisão. No final da unidade 1, 
aprendermos o que é uma derivada e como derivar funções por meio da 
definição, mas tendo em mente que o cálculo de algumas derivadas pela 
definição pode ser muito trabalhoso, aprenderemos regras que facilitarão 
nosso trabalho. 
A derivada tem diferentes interpretações, mas uma das mais 
Seção 1 | A derivada de uma função e regras de derivação 
para a multiplicação e divisão
Objetivos de aprendizagem: 
Essa unidade tem como objetivo auxiliar no processo de aprendizagem de 
conteúdos e conceitos de grande importância, que é o cálculo de derivadas. 
A derivada faz parte do que conhecemos como cálculo moderno e, mesmo 
não sendo um conteúdo que não consta no currículo do Ensino Fundamental 
e Ensino Médio, é imprescindível que você,como futuro(a) professor(a), saiba 
como realizar derivadas de funções, suas aplicações e técnicas. 
Ao final dessa unidade, espera-se que você seja capaz de realizar derivadas de 
funções, utilizar a regra do produto, do quociente e da cadeia, conheça e saiba 
utilizar aplicações para esse conceito. Saiba realizar derivadas em funções 
com duas variáveis, derivadas implícitas, bem como calcular e interpretar o 
gradiente de uma função.
Estes conceitos serão aplicados em várias disciplinas ao longo do curso e da 
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, sendo assim, desejo a você bons 
estudos, dedicação e esforço.
Renata Karoline Fernandes
Cálculo de derivadas
U2
64
Na seção anterior, aprendemos técnicas para derivar funções sem 
a necessidade de aplicar a definição de derivadas, mas até o momento 
nossas técnicas se limitam para funções simples, ou então aquelas que 
envolvem operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Nesta seção, nos aprofundaremos e conheceremos uma técnica muito 
importante, a regra da cadeia, que é utilizada para derivar funções compostas.
Nesta seção, aprenderemos a respeito de derivação implícita, ou seja, a 
derivada de funções que não conseguimos expressar de forma explicita a 
variável dependente em função da variável independente. 
Será nessa seção também que aprenderemos a respeito de uma 
aplicação muito importante para as derivadas, a otimização de funções.
Seção 2 | A regra da cadeia e derivada de ordem superior
Seção 3 | Derivadas implícitas e otimização de funções
importantes é a derivada como coeficiente angular de uma reta tangente 
a uma determinada curva, e será nessa unidade que aprenderemos mais 
a respeito dessa aplicação.
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
U2
65
Introdução à unidade
Todos os principais conceitos do cálculo moderno são: limites, derivadas e 
integrais.
Nesta unidade, nossa atenção se volta para o cálculo de derivadas de funções. A 
derivada de funções tem sua definição oriunda do estudo dos limites, por esse motivo 
aprendemos limites e depois derivadas, porém historicamente isso não aconteceu.
O desenvolvimento desses conceitos se deu ao contrário, ou seja, primeiro 
desenvolveu-se o cálculo de derivadas e, posteriormente, o estudo dos limites.
Um dos principais fatores que motivou o estudo das derivadas foi a intenção 
de determinar o coeficiente angular de uma reta tangente a uma curva, pois por 
meio desse coeficiente angular podemos realizar diferentes estudos, por exemplo, 
o ponto de máximo e de mínimo de uma função.
Aprenderemos a respeito das técnicas de derivação, bem como algumas de 
suas aplicações.
Bons estudos!
Cálculo de derivadas
U2
66
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
U2
67
Seção 1
Nessa seção estudaremos conceitos relativos à derivada de funções. Aprendemos, 
na unidade anterior, a calcular a derivada de uma função por meio de sua definição, 
agora veremos como aplicar algumas técnicas para obter suas resoluções.
Além das técnicas, aprenderemos também algumas aplicações para elas e a 
importância de compreender tais conceitos.
1.1 O Cálculo de Derivadas de funções
A derivada teve uma grande importância para o desenvolvimento da Matemática, 
tendo ela alguns aspectos principais, entre eles, o geométrico, algébrico e 
computacional.
Além de sua importância para a própria Matemática, esse conteúdo tem aplicações 
na física, química, engenharia, tecnologia, ciências econômicas e várias outras.
A interpretação geométrica da derivada foi o principal impulso para seu 
desenvolvimento, pois está relacionada ao coeficiente angular de uma curva em um 
ponto e, também, com taxa de variação de uma função.
Nós estudamos a derivada como coeficiente angular da reta tangente que passa 
por um ponto de uma curva na unidade anterior desse material impresso, mas 
sempre é bom relembrar.
Para conhecer mais a respeito da história da derivada desde sua 
descoberta, acesse o seguinte link: Disponível em: <http://www.joinville.
udesc.br/portal/professores/eliane/materiais/historia_calculo.pdf>.
A derivada de uma função e regras de derivação
para a multiplicação e divisão
Cálculo de derivadas
U2
68
Vamos relembrar o que é o coeficiente angular de uma curva estudando 
os links a seguir. Disponível em:
<http://www.youtube.com/watch?v=oLEsg0BPdik>. 
<http://www.vestibular1.com.br/revisoes/matematica/aulas_
matematica/aula46.pdf>. 
Para aprender mais a respeito da derivada de uma função em um ponto 
específico, estude os links abaixo. Disponível em:
<http://www.mat.ufmg.br/protem/Teste/Calc/der/RetaTan.html>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=AzqYhgmDWsE>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=2xqYJKVcb4Y>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=WcFfGlH02uI&index=11&list=PL9
18074FE0AD0458B>. 
Como vimos nos materiais anteriores, o coeficiente angular de uma curva 
está relacionado com a inclinação dela. Em uma função na qual o gráfico é uma 
reta (função linear, constante e afim), o coeficiente angular é o mesmo em todos 
os pontos (a inclinação é sempre a mesma), mas em funções com inclinações 
diferentes, para cada ponto temos um coeficiente angular também diferente.
Com o estudo dos links anteriores, aprendemos a calcular o coeficiente angular 
de uma reta de modo algébrico e, agora, retomaremos a definição de coeficiente 
angular da reta tangente a uma curva em um ponto, como sendo uma derivada da 
função em um ponto específico, no próximo Para saber mais.
Você percebeu que a derivada nada mais é do que o limite de uma função 
quando a distância entre estes dois pontos dessa função tende a zero?
Ao calcular este limite, obtemos a derivada da função em um ponto e, ainda, o 
coeficiente angular da reta tangente que toca a função que queremos em apenas 
um ponto.
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
U2
69
No segundo link sugerido anteriormente e no final da unidade 1 desse material 
impresso, você aprendeu a realizar o cálculo de uma derivada pela definição. Todas 
as funções para as quais existe derivada em determinado ponto podem ser calculadas 
pela definição, ou seja, aplicando o seguinte limite:
Vale lembrar que o cálculo desse limite será uma derivada, desde que ele exista; se 
não existir em um determinado ponto, significa que não existe derivada nesse ponto, 
mas pode existir em outros pontos da mesma função. Esse limite foi desenvolvido 
a partir de variações, de modo similar ao que utilizamos para calcular o coeficiente 
angular de uma reta. Vamos ver a figura 2.1 para compreender melhor.
Nós calculamos o coeficiente angular de uma reta como sendo a variação na 
variável dependente dividido pela variação na variável independente, no caso:
Em que m representa o coeficiente angular e h a variação entre um ponto e outro. 
Como queremos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente, sabemos que 
essa reta não pode tocar em dois pontos, deste modo é preciso que a distância entre 
os dois pontos que utilizamos para calcular a variação seja desprezível, ou seja, se 
aproxime muito de zero.
Para isso, após realizar a possível operação no denominador, aplicamos o limite 
com a distância h entre os pontos tendendo a zero, assim, obtemos:
Fonte: O autor (2015).
Figura 2.1 | Interpretação geométrica da Derivada
Cálculo de derivadas
U2
70
Anteriormente, foi dito que para toda função que existe 
derivada no ponto podemos calcular essa derivada por meio 
da definição. Sabendo que a definição de derivada vem de 
um limite, reflita a respeito de quando uma função não tem 
derivada em um ponto. 
Vejamos um exemplo para aprofundar nosso conhecimento a respeito do cálculo 
de derivadas por meio da definição.
EXEMPLO: 
Determine o coeficiente angular da curva y= em qualquer ponto x = a, a ≠0. 
Qual é o coeficiente angular no ponto x = -1? Em que ponto o coeficiente angular 
é igual a ?
Calculando esse limite:
REPOSTA: 
Para responder os itens a e b é preciso determinar o coeficiente angular, e para 
isso utilizamos. Substituindo f(x
0
+h) e f(x
0
) na função y= , no ponto 
a e realizando as simplificações, obtemos:
-1
4
1
x
1
x
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
U2
71
Então, o coeficiente angular da curva y = no ponto a, com a≠0, vale . 
Agora podemos responder aos itens do exemplo, para isso temos que substituir no 
coeficiente angular (que chamaremos de m) o valor -1. Assim: 
-1
a2
1
x
Deste modo, o coeficiente angular no ponto x = -1 nessa curva vale -1.
Agora, substituímos m por para saber o valor de x em que o coeficiente 
angular tem o valor esperado:
Sendo assim, a=2 ou a= -2. A curva tem coeficiente angular nos pontos (2, ) 
e (2, ).
-1
4
-1
4-1
2
1
2
Fonte: Thomas (2012, p.118)
Para saber mais a respeito do cálculo de derivadas por meio da definição, 
estude: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/
derivadas.pdf> (até a página 64).
<http://eaulas.usp.br/portal/video?idItem=2674>.
Nós já aprendemos que todas as funções que têm derivada em um ponto podem 
ser calculadas por meio da definição, mas mesmo existindo a definição de derivada, 
calcular algumas funções por meio dela pode ser muito trabalhoso e, por vezes, 
complicado. 
Com a intenção de facilitar nosso trabalho e porque matemáticos perceberam 
regularidades de acordo com as funções e com suas derivadas, desenvolveram-se 
técnicas de derivação, ou seja, modos de resolver derivadas sem utilizar a definição. 
Vamos aprender a respeito delas.
Cálculo de derivadas
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1.2 Técnicas de derivação
No quadro a seguir, vamos aprender as técnicas, suas interpretações e exemplos 
que com certeza nos ajudarão com as derivadas.
Quadro 2.1 | Técnicas de derivação
Função e sua derivada Interpretação
Derivada de uma função constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
A derivada de uma função constante 
é sempre zero.
Exemplos:
Regra da potência para inteiros positivos
Se n for um número inteiro positivo, então Essa regra é conhecida como a “regra do 
tombo”, pois o expoente inteiro positivo desce 
multiplicando a constante e a variável e subtrai 
uma unidade do valor do expoente.
Exemplos:
Regra da potenciação
Se n for um número inteiro real, então
Para todo x em que as potências xn e nxn-1 forem 
definidas.
A interpretação dessa regra é a mesma que 
a da anterior, porém, de modo geral, com o 
expoente sendo um número real.
Exemplos:
Regra da multiplicação da derivada por 
uma constante
Se v for uma função derivável de x, e c for uma 
constante, então:
A derivada de uma função que é multiplicada 
por uma constante é a derivada da função vezes 
a constante.
(Perceba que já utilizamos essa regra em alguns 
exemplos)
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
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Nós acabamos de conhecer algumas das regras de derivação que podemos 
sempre aplicar e que facilitam na hora de resolver atividades e problemas, pois não 
precisamos utilizar a definição. Quando a função envolve uma soma ou subtração 
de parcelas, nós derivamos a primeira parcela, somamos ou subtraímos a segunda 
parcela, e assim por diante. 
Vejamos exemplos do cálculo de algumas derivadas.
EXEMPLO: Calcule a derivada da função f(x) = x³ + 5x² - 6x +12.
Para resolver essa derivada, devemos utilizar as técnicas aprendidas anteriormente 
e, como envolvem as operações de soma e subtração, devemos derivar cada uma 
das parcelas, assim:
EXEMPLO: Calcule a derivada da função 
Para resolver a derivada dessa função, é necessário organizar as parcelas, ou seja, 
escrever a fração como um expoente fracionário e mudar o sinal da variável que está 
no denominador para que ela fique no numerador, assim:
Exemplos:
Fonte: Do autor (2015).
As técnicas que estamos aprendendo vieram da definição de 
derivadas. Como seria possível provar que essas técnicas são 
realmente válidas? Reflita a respeito.
Cálculo de derivadas
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Agora que já organizamos a função, podemos utilizar as técnicas de derivação 
para derivá-la.
Vamos treinar a aplicação dessas técnicas nas nossas atividades de aprendizagem.
Não podemos esquecer que existem 
diferentes notações para representar 
derivadas, algumas delas são: 
1. Utilize as técnicas de derivação, calcule a derivada da função 
f(x)= √x+12x-π e assinale a alternativa correta.
1. Utilize as técnicas de derivação, calcule a derivada da função 
t(x)= +5x2-ex e assinale a alternativa correta.
a. f'(x) = + 12 - 1
b. f'(x) = + 12
d. f'(x) = + 12
c. f'(x) = + 12 - 1
e. f'(x) = 
a. t'(x) = + 10x - ex 
b. t'(x) = + 10x - ex 
1√x
2
1
2√x
x
2
1
2√x
1
2√x
-2
x4
8
x5
8
x3
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
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Que tal conhecer mais algumas regras que serão de grande ajuda no nosso 
estudo? Nos links a seguir, veremos como é possível calcular uma derivada sem a 
necessidade de utilizar sua definição.
Ao estudar os links sugeridos, você teve contato com regras importantes para a 
derivação, entre elas, a regra da soma e subtração de funções, mas nesses links você 
c. t'(x) = + 10x 
d. t'(x) = + 10x 
e. t'(x) = + 10x - ex 
8
x5
8
x3
6
x5
Técnicas de derivação
Para aprender mais a respeito das técnicas de derivação, veja mais 
exemplos acessando os seguintes links: Disponível em:
<https://www.youtube.com/watch?v=DuGtJNuMh08>. 
<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf>. (A partir 
da página 64)
<http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas.htm>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=WZnpYljB368&index=12&list=P
L918074FE0AD0458B>. 
<http:// l todi .est . ips .pt/anal ise1/documentos/DERIVADAS/
FolhasRegrasDeriv.pdf>. 
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=553>. 
<http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=P4nYv6p8DQc&index=13&list=
PL918074FE0AD0458B>. 
Cálculo de derivadas
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aprendeu também sobre a regra derivada da multiplicação de funções e a regra da 
derivada de divisão de funções. 
Além disso, aprendemos algo muito importante também, que só existe derivada 
em um ponto dado da função se nesse ponto ela for contínua. Acabamos de 
associar o que aprendemos na unidade anterior com o que estamos aprendendo 
nessa unidade.
Vamos aprofundar mais nosso conhecimento.
Para entender melhor as regras, podemos ler a regra da derivada do produto 
como: copia a primeira função e deriva a segunda, mais copia a segunda função e 
copia a primeira. Aplicando essa regra, já resolvemos a derivada.
Podemos também ler a regra da derivada do quociente como: copia o 
denominador e deriva o numerador, menos, copia o numerador deriva o denominador 
e o resultado, divide pelo denominador ao quadrado. Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO: Se h(x)=(2x-3)(3x-1), então a derivada dessa função é: 
Para calcular a derivada dessa função, precisamos utilizar a regra do produto, pois 
temos o termo (2x-3) vezes o termo (3x-1), assim:
Se for derivar uma função que tenha a soma ou subtração de parcelas, 
você deriva cada uma das parcelas separadamente, ou seja, a derivada da 
soma e/ou subtração de funções é a soma e/ou subtração da derivada 
das funções.
A derivada da multiplicação de funções NÃO é a multiplicação da derivada 
das funções. Sempre para derivar multiplicação de funções você precisa 
utilizar a seguinte fórmula: 
Essa é a regra da derivada do produto.
A derivada da divisão de duas funções, NÃO é a divisão das derivadas. 
Para derivar uma divisão, você sempre deve utilizar a fórmula: 
Essa é a regra da derivada do quociente (divisão).
d
dx
dv
dx
du
dx(uv) = u + v
du
dx
dv
dxv -u
v2
d
dx
u
v
=
Cálculo de derivadas Cálculo de derivadas
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Substituindo na abscissa de valor 1, temos:
g' (1)=2.1.ln(1)+1=1
Lembre-se de que quando copiamos o x² e derivamos ln(x), obtemos como 
resposta x² dividido por x, por isso obtivemos como resposta a variável x.
EXEMPLO: Derive a função
Vamos praticar a aplicação dessas