Topografia I - Erros e Tolerâncias

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Topografia I
Poligonal Fechada – Erros e Tolerâncias
Leonardo Augusto Carneiro
2023
CÁLCULO DE POLIGONAL FECHADA
• 1) Cálculo do erro de fechamento angular: verificar se os ângulos medidos em 
campo estão corretos antes e calcular os azimutes:
✓Para ângulos externos: (n+2) x 180° 
✓Para ângulos internos: (n – 2) x 180°, sendo n = número de estações/pontos;
✓ea (erro de fechamento angular) = somatório dos ângulos medidos – (n+2) x 180°;
✓𝜀𝑎 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 3 ∙ 𝑝 ∙ 𝑛 + 10", 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 (fornecida 
pelo exercício e n = número de ângulos medidos;
✓O erro angular deve ser menor que a tolerância → 𝑒𝑎 < 𝜀𝑎
CÁLCULO DE POLIGONAL FECHADA
✓Correção angular:
✓𝑒𝑎 é distribuído nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal;
✓Ou é distribuído proporcionalmente para cada estação:
✓𝐶𝑎 = −
𝑒𝑎
𝑛
EXERCÍCIO 1 - POLIGONAL FECHADA
• Uma poligonal topográfica fechada, com quatro vértices foi levantada em 
campo, conforme indicado na figura e na caderneta de campo. Os ângulos 
horizontais foram medidos em sentido horário. Calcule o erro, a tolerância e a 
correção angular. Considere p = 15”
Estação Ponto Visado Ângulo Externo 
lido
Ângulo externo 
corrigido
P1 P2 239°44’17”
P2 P3 275°18’25”
P3 P4 294°34’08”
P4 P1 270°23’38”
1080°00’28’ (soma)
EXERCÍCIO 1 – GABARITO
• 𝑒𝑎 = 1080°00′28" − 4+2 ∙180°=+28"
• 𝜀𝑎 = 3 ∙ 15" ∙ 4 + 10"= (3 ∙1′∙2) +10" = 𝟏′𝟒𝟎"
• 𝐶𝑎 = −
(+28")
4
= −𝟕"
Ângulo Externo Corrigido
239°44’10”
275°18’18”
294°34’01”
270°23’31”
CÁLCULO DE POLIGONAL FECHADA
• 2) Cálculo dos Azimutes:
✓𝐴𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝐴𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 − 180°
✓Se o azimute for maior que 360°: subtrair 360°;
✓Se o azimute for negativo: somar 360°;
✓Importante: o ângulo horizontal utilizado para o cálculo dos azimutes 
sempre será o ângulo horizontal corrigido (aplicada a correção angular).
EXERCÍCIO 2 - POLIGONAL FECHADA
• Dados os ângulos lidos e o azimute inicial de uma poligonal fechada, 
calcule o erro de fechamento angular, a tolerância angular (p=1’), os 
ângulos corrigidos e os azimutes.
Estação Ponto Visado Ângulo 
Interno lido
Ângulo 
interno 
corrigido
Distância 
Horizontal 
(m)
Azimute
P1 P2 90°39’50” 65,62 313°12’50”
P2 P3 88°35’00” 31,61
P3 P4 90°45’10” 65,28
P4 P1 89°59’20” 31,00
359°59’20” (soma) Soma: 193,31
EXERCÍCIO 2 – GABARITO
• 𝑒𝑎 = 359°59′20" − 4−2 ∙180°=−40"
• 𝜀𝑎 = 3 ∙ 1′ ∙ 4 + 10" = (3 ∙1′∙2) +10" = 𝟔′𝟏𝟎"
• 𝐶𝑎 = −
(−40")
4
= +𝟏𝟎"
✓𝐴𝑧2−3 = 313°12’50” + 88°35′10" − 180° = 𝟐𝟐𝟏°𝟒𝟖′𝟎𝟎"
✓𝐴𝑧3−4 = 221°48′00 +90°45′20 − 180° = 𝟏𝟑𝟐°𝟑𝟑′𝟐𝟎"
✓𝐴𝑧4−1 = 132°33′20" +89°59′30" − 180° = 𝟒𝟐°𝟑𝟐′𝟓𝟎"
✓𝐴𝑧1−2 = 𝟑𝟏𝟑°𝟏𝟐′𝟓𝟎"
Ângulo 
interno 
corrigido
90°40’00”
88°35’10”
90°45’20”
89°59’30”
CÁLCULO DE POLIGONAL FECHADA
• 3) Coordenadas Parciais:
✓𝑋𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑋𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∙ 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
✓𝑌𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 = 𝑌𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∙ 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
✓𝑋1 = 𝑋0 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑧0−1 ∙ 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎0−1
✓𝑌1 = 𝑌0 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝑧0−1 ∙ 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎0−1
EXERCÍCIO 3- POLIGONAL FECHADA
• Calcule as coordenadas parciais do exercício anterior.
Estação Ponto Visado Ângulo 
interno 
corrigido
Distância 
Horizontal 
(m)
Azimute Coord X Coord Y
P1 P2 90°40’00” 65,62 313°12’50” 100 100
P2 P3 88°35’10” 31,61 221°48’00”
P3 P4 90°45’20” 65,28 132°33’20”
P4 P1 89°59’30” 31,00 42°32’50”
EXERCÍCIO 3 – GABARITO 
• 𝑋𝑃2 = 100 + (𝑠𝑒𝑛 313°12′50" ∙ 65,62) = 𝟓𝟐, 𝟏𝟕𝟓𝟗 𝒎
• 𝑌𝑃2 = 100 + (𝑐𝑜𝑠 313°12′50" ∙ 65,62) = 𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟑𝟏𝟓 𝒎
• 𝑋𝑃3 = 52,1759 + (𝑠𝑒𝑛 221°48′00" ∙ 31,61) = 𝟑𝟏, 𝟏𝟎𝟔𝟖 𝒎
• 𝑌𝑃3 = 144,9315 + (𝑐𝑜𝑠 221°48′00" ∙ 31,61) = 𝟏𝟐𝟏, 𝟑𝟔𝟕𝟎 𝒎
• 𝑋𝑃4 = 31,1068 + (𝑠𝑒𝑛 132°33′20" ∙ 65,28) = 𝟕𝟗, 𝟏𝟗𝟑𝟒 𝒎
• 𝑌𝑃4 = 121, 3670 + cos 132°33′20" ∙ 65,28 = 𝟕𝟕, 𝟐𝟏𝟕𝟖 𝒎
EXERCÍCIO 3 – GABARITO
• 𝑋𝑃1 = 79,1934 + (𝑠𝑒𝑛 42°32′50" ∙ 31,00) = 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝟓 𝒎
• 𝑌𝑃4 = 77,2178 + cos 42°32′50" ∙ 31,00 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟏 𝒎
Coord X Coord Y
100 100
52,1759 144,9315
31,1068 121,3670
79,1934 77,2178
100,1555 100,0561
CÁLCULO DE POLIGONAL FECHADA
• 4) Cálculo do erro de fechamento linear:
✓𝐸𝑙 =
1
𝑍
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑍 =
σ 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 (𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)
𝑒𝑥
2+𝑒𝑦
2
𝑒𝑥 = 𝑋𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑋𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑒𝑦 = 𝑌𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑌𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜
Erro da poligonal:
𝑒𝑝 = 𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑦
2
✓Compara-se o erro linear com a tolerância permitida. Se 𝐸𝑙 > 𝑇𝑙 ,deve-se refazer as medições 
lineares. Se 𝐸𝑙 < 𝑇𝑙 , faz-se as correções.
EXERCÍCIO 4 - POLIGONAL FECHADA
• Calcule as coordenadas parciais e o erro de fechamento linear. 
Tolerância linear 1:1000.
EXERCÍCIO 4 – GABARITO
• 𝑋𝑃2 = 100 + (𝑠𝑒𝑛 117°59′33" ∙ 78,52) = 𝟏𝟔𝟗, 𝟑𝟑𝟑𝟖 𝒎
• 𝑌𝑃2 = 100 + (𝑐𝑜𝑠 117°59′33" ∙ 78,52) = 𝟔𝟑, 𝟏𝟒𝟔𝟏 𝒎
• 𝑋𝑃3 = 169,3338 + (𝑠𝑒𝑛 65°55′44" ∙ 135,5) = 𝟐𝟗𝟑, 𝟎𝟓𝟎𝟕 𝒎
• 𝑌𝑃3 = 63,1461 + cos 65°55′44" ∙ 135,5 = 𝟏𝟏𝟖, 𝟒𝟏𝟐𝟓 𝒎
• 𝑋𝑃4 = 293,0507 + (𝑠𝑒𝑛 302°13′37" ∙ 174,993) = 𝟏𝟒𝟓, 𝟎𝟏𝟔𝟔 𝒎
• 𝑌𝑃4 = 118,4125 + 𝑐𝑜𝑠 302°13′37" ∙ 174,993 = 𝟐𝟏𝟏, 𝟕𝟑𝟏𝟕 𝒎
• 𝑋𝑃1 = 145,0166 + (𝑠𝑒𝑛 202°02′40" ∙ 120,35) = 𝟗𝟗, 𝟖𝟒𝟔𝟏 𝒎
• 𝑌𝑃1 = 211,7317 + cos 202°02′40" ∙ 120,35 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟏 𝒎
EXERCÍCIO 4 – GABARITO 
• 𝑒𝑥 = 99,8461 − 100 = −𝟎, 𝟏𝟓𝟑𝟗 𝒎
• 𝑒𝑦 = 100,1801 − 100 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟏 𝒎
• 𝑍 =
509,363
(−0,1539)2+(0,1801)2
= 𝟐 𝟏𝟓𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟔𝟔𝟒
• Como calcular o Z na calculadora?: 𝟓𝟎𝟗. 𝟑𝟔𝟑 ÷ ( −𝟎. 𝟏𝟓𝟑𝟗 2 + (𝟎. 𝟏𝟖𝟎𝟏)² 
(não se fecha o primeiro parênteses aberto).
• 𝑬𝒍 =
1
2150
<
1
1000
𝑇𝑙 , 𝑜𝑘!
EXERCÍCIO 5 - POLIGONAL FECHADA
• Calcule o erro de fechamento linear. Tolerância linear 1:1000.
Estação Ponto Visado Ângulo 
interno 
corrigido
Distância 
Horizontal 
(m)
Azimute Coord X Coord Y
P1 P2 90°40’00” 65,62 313°12’50” 100 100
P2 P3 88°35’10” 31,61 221°48’00” 52,1759 144,9315
P3 P4 90°45’20” 65,28 132°33’20” 31,1068 121,3670
P4 P1 89°59’30” 31,00 42°32’50” 79,1934 77,2178
100,1555 100,0561
EXERCÍCIO 5 – GABARITO 
• 𝑒𝑥 = 100,1555 − 100 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟓𝟓 𝒎
• 𝑒𝑦 = 100,0561 − 100 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟔𝟏 𝒎
• 𝑍 =
193,510
(0,1555)2+(0,0561)2
= 𝟏 𝟏𝟕𝟎, 𝟓𝟖𝟕𝟐𝟐𝟑
• 𝑬𝒍 =
1
1170
<
1
1000
𝑇𝑙 , 𝑜𝑘!
	Slide 1: Topografia I
	Slide 2: Cálculo de poligonal fechada
	Slide 3: Cálculo de poligonal fechada
	Slide 4: EXERCíCIO 1 - poligonal fechada
	Slide 5: EXERCíCIO 1 – GABARITO
	Slide 6: Cálculo de poligonal fechada
	Slide 7: EXERCíCIO 2 - poligonal fechada
	Slide 8: EXERCíCIO 2 – GABARITO
	Slide 9: Cálculo de poligonal fechada
	Slide 10: Exercício 3- poligonal fechada
	Slide 11: EXERCíCIO 3 – GABARITO 
	Slide 12: EXERCíCIO 3 – GABARITO
	Slide 13: Cálculo de poligonal fechada
	Slide 14: Exercício 4 - poligonal fechada
	Slide 15: EXERCíCIO 4 – Gabarito
	Slide 16: EXERCíCIO 4 – GABARITO 
	Slide 17: Exercício 5 - poligonal fechada
	Slide 18: Exercício 5 – GABARITO