Quantificadores e Provas

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Quantificadores
Prof. Fermín A. Tang
Quantificador Universal
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ 𝑝 𝑥 𝐴
𝐴 ≠ ∅ 𝑉𝑝
i) “Para todo elemento 𝑥 de 𝐴, 𝑝 𝑥 é verdadeira (V)”
ii) “Qualquer que seja o elemento 𝑥 de 𝐴 , 𝑝 𝑥 é
verdadeira (V)”
𝑉𝑝 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 𝑥
𝑉𝑝 = 𝐴
✘
i) “Para todo 𝑥 de 𝐴, 𝑝 𝑥 ”
ii) “Qualquer que seja 𝑥 de 𝐴, 𝑝 𝑥 ”
✘ 𝐴
𝑝 𝑥
✘
𝐴 = 𝑉𝑝
𝑥
✘
Quantificador Universal
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ ∀
𝑖) ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥)
✘
𝐴 𝑥
𝑖𝑖) ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝(𝑥)
𝑖𝑖𝑖) ∀ 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑝(𝑥)
𝑖𝑣) ∀ 𝑥 𝑝(𝑥)
𝑣) ∀ 𝑥, 𝑝(𝑥)
𝑣𝑖) ∀ 𝑥: 𝑝(𝑥)
✘
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑉𝑝 = 𝐴
Quantificador Universal
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘
✘ 𝑝 𝑥
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝 𝑥
𝑉𝑝 = 𝐴
𝑉𝑝 ≠ 𝐴
✘ 𝑝 𝑥 𝐴 ∀
𝑥
𝑝 𝑥 𝑝 𝑥
𝐴
✘
∀
Quantificador Existencial
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ 𝑝 𝑥 𝐴
𝐴 ≠ ∅ 𝑉𝑝
i) “Existe pelo menos um elemento 𝑥 de 𝐴 tal
que 𝑝 𝑥 é verdadeira (V)”
ii) “Para algum elemento 𝑥 de 𝐴 , 𝑝 𝑥 é
verdadeira (V)”
𝑉𝑝 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 𝑥
𝑉𝑝 ≠ ∅
✘
i) “Existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑝 𝑥 ”
ii) “Para algum 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝 𝑥 ”
✘ 𝐴
𝒑 𝒙
✘ 𝑉𝑝
𝑥
𝐴
✘
Quantificador Existencial
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ ∃
𝑖) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥)
✘
𝐴 𝑥
𝑖𝑖) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝(𝑥)
𝑖𝑖𝑖) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑝(𝑥)
𝑖𝑣) ∃ 𝑥 𝑝(𝑥)
𝑣) ∃ 𝑥, 𝑝(𝑥)
𝑣𝑖) ∃ 𝑥: 𝑝(𝑥)
✘
∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑉𝑝 ≠ ∅
Quantificador Existencial
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘
✘ 𝑝 𝑥
∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑝 𝑥
𝑉𝑝 ≠ ∅
𝑉𝑝 = ∅
✘ 𝑝 𝑥 𝐴 ∃
𝑥
𝑝 𝑥 𝑝 𝑥
𝐴
✘
∃
Variável Livre e Variável Aparente
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘
✘
✘
𝑖) 3𝑥 − 1 = 14 Equação
𝑖𝑖) 𝑥 + 1 > 𝑥 Inequação
✘ 𝑥
✘
𝑖𝑖𝑖) ∃ 𝑥 3𝑥 − 1 = 14
𝑖𝑣) ∀ 𝑥 𝑥 + 1 > 𝑥
✘ 𝑥
Quantificador de existência e Unicidade
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ 𝑥3 = 27 ℝ , ✘
∃ ! 𝑥 ∈ ℝ 𝑥3 = 27
✘ ∃ ! é
𝑖) ∃ 𝑥 ∈ ℝ 𝑥3 = 27
𝑖𝑖) 𝑥3 = 27 ∧ 𝑦3 = 27 ⇒ 𝑥 = 𝑦
o
𝑥 ∈ ℝ 𝑥3 = 27
o
𝑥 ∈ ℝ 𝑥3 = 27
o
𝑥 ∈ ℝ 𝑥3 = 27
Negação de Proposições com Quantificador
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘
¬
✘
✘
✘ 𝐻
∀𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 fala francêsi)
∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 foi à luaii)
✘
¬ ∀𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 fala francêsiii)
¬ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 foi à luaiv)
Negação de Proposições com Quantificador
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘
∀𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 fala francêsi)
∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 foi à luaii)
✘
¬ ∀𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 fala francêsiii)
¬ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 foi à luaiv)
“Todas as pessoas falam francês”
“Existem pessoas que foram à lua”
“Todos falam francês”
“Alguém foi à lua”
“Nem todas as pessoas falam francês”
“Existem pessoas que não falam francês”
“Não existem pessoas que foram à lua”
“Ninguém foi à lua”
“Todas as pessoas não foram à lua”
Negação de Proposições com Quantificador
Equivalências
Prof. Fermín A. Tang
✘
¬ ∀𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 fala francês ⟺ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ¬𝑥 fala francêsiii)
¬ ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 foi à lua ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ¬𝑥 foi à luaiv)
Negação de Proposições com Quantificador
Equivalências
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✘
∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥)
∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ¬𝑝(𝑥)
✘
∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥)
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ¬𝑝(𝑥)
¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥) ⟺ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬𝑝(𝑥)
✘
¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑝(𝑥) ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬𝑝(𝑥)
✘
o
o
Negação de Proposições com Quantificador
Exemplos
Prof. Fermín A. Tang
✘ 𝐴
o 𝐴
o 𝐴
✘ 𝐴
o 𝐴
o 𝐴
Negação de Proposições com Quantificador
Exemplos
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✘ 𝑛 n + 2 > 8
o 𝑛 n + 2 ≯ 8
¬ ∀𝑛 ∈ ℕ n + 2 > 8 ⟺ ∃𝑛 ∈ ℕ n + 2 ≤ 8
ℕ
✘
o
o
¬ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 é habitável ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝑃 𝑥 não é habitável
𝑃
Negação de Proposições com Quantificador
Exemplos
Prof. Fermín A. Tang
✘
¬ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥2 < 0 ⟺ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥2 ≥ 0
✘
¬ ∀𝑥 ∈ ℝ 3𝑥 − 5 = 0 ⟺ ∃𝑥 ∈ ℝ 3𝑥 − 5 ≠ 0
✘
¬ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ 0 ⟺ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑥 < 0
✘
¬ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ⟺ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≠ 0
Provas por Contra-exemplo
Definição
Prof. Fermín A. Tang
✘ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑝 𝑥
∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬𝑝 𝑥
✘ 𝑥0 ∈ 𝐴
𝑝 𝑥0
✘ 𝑥0
∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑝 𝑥
Provas por Contra-exemplo
Exemplos
Prof. Fermín A. Tang
✘
∀𝑛 ∈ ℕ 2𝑛 > 𝑛2
o
𝑛0 2𝑛 ≯ 𝑛2
𝑛0 = 2 22 = 22
𝑛1 = 3 23 < 32
𝑛2 = 4 24 = 42
✘
∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 0
o 𝑥0 𝑥0 = 0
o 𝑥0 = 0 0 = 0
✘
∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥2 > 𝑥
o 𝑥0 𝑥2 ≯ 𝑥
o 𝑥0 =
1
3
1
3
2
<
1
3
Provas por Contra-exemplo
Exemplos
Prof. Fermín A. Tang
✘ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 4
o 𝑥0
o 𝑥0 = 1 1 + 2 2 ≠ 12 + 4
9 ≠ 5
✘ ∀𝑥 ∈ ℤ+ 𝑥2 + 𝑥 + 41 é primo.
o 𝑥0
o 𝑥0 = 40 402 + 40 + 41 =
40 40 + 1 + 41=
40 41 + 41=
412
𝑥2 + 𝑥 + 41 não é primo.
o
𝑥 + 2 2 ≠ 𝑥2 + 4
Referências
✘
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	Slide 1: Quantificadores
	Slide 2: Quantificador Universal Definição
	Slide 3: Quantificador Universal Definição
	Slide 4: Quantificador Universal Definição
	Slide 5: Quantificador Existencial Definição
	Slide 6: Quantificador Existencial Definição
	Slide 7: Quantificador Existencial Definição
	Slide 8: Variável Livre e Variável Aparente Definição
	Slide 9: Quantificador de existência e Unicidade Definição
	Slide 10: Negação de Proposições com Quantificador Definição
	Slide 11: Negação de Proposições com Quantificador Definição
	Slide 12: Negação de Proposições com Quantificador Equivalências
	Slide 13: Negação de Proposições com Quantificador Equivalências
	Slide 14: Negação de Proposições com Quantificador Exemplos
	Slide 15: Negação de Proposições com Quantificador Exemplos
	Slide 16: Negação de Proposições com Quantificador Exemplos
	Slide 17: Provas por Contra-exemplo Definição
	Slide 18: Provas por Contra-exemplo Exemplos
	Slide 19: Provas por Contra-exemplo Exemplos
	Slide 20: Referências