Relações Trigonométricas

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6 cm
x z
8 cm
y
x
z
y
8 cm
cm
17
120
Não escreva no livro.
x
A
B C
D
25 m
y
z
45 m
50 m
25 m
caminho
4 cm
cm
13
8 13
24
25. Construa um triângulo retângulo e calcule o 
comprimento da altura relativa à hipotenusa 
e das projeções dos catetos sobre a hipotenu-
sa. Em seguida, apresente algumas dessas 
medidas para um colega e peça que ele deter-
mine as outras medidas.
 22. Um triângulo retângulo possui os compri-
mentos de dois de seus lados iguais a 4 cm e 
6 cm. Calcule o comprimento do terceiro lado 
sabendo que o comprimento da altura relativa 
à hipotenusa é 
4√
―
5―
3
 cm .
20. De acordo com a imagem a seguir, elabore um 
problema contextualizado e troque com um 
colega. Resolvam os problemas, destroquem 
e avaliem se as resoluções estão corretas.
 19. Em cada triângulo, calcule os valores de x, y e z.
a ) 
b ) 
 21. Em uma praça com formato de triângulo retângulo, 
um caminho em linha reta será construído ligando 
um “vértice” a um de seus lados, conforme o 
esquema.
Desconsiderando a largura do caminho, calcule:
a ) o comprimento do maior lado da praça.
b ) o comprimento do caminho que será construído.
 23. Um poste, de largura desprezível, foi fixado per-
pendicular ao chão com dois cabos auxiliando na 
sua sustentação, de maneira que os pontos de 
fixação são vértices de um triângulo, conforme o 
esquema. (Dado: √
―
 2 . 1,414 .)
Sabendo que os dois cabos possuem mesmo com-
primento, estão fixados no chão a 10 metros da 
base do poste e formam um ângulo reto entre 
eles, responda às questões a seguir.
a ) A que altura do chão os cabos foram fixados no 
poste?
b ) Qual é o comprimento de cada cabo?
 24. Calcule a área do triângulo a seguir.
poste
ponto de fixação
ponto de 
fixação
ponto de 
fixação
x 5 3,6 cm , y 5 4,8 cm , z 5 6,4 cm 
x 5 15 cm , y 5 17 cm , z 5 
64―
17
 cm 
aproximadamente 55,9 m
Resposta pessoal. Possível resposta: o 
esquema a seguir mostra a posição em 
que está situada a casa de Carlos (no 
aproximadamente 22,4 m
22. Oriente os alunos a considerar que o terceiro lado pode ser um dos catetos ou a hipotenusa, além de calcular o comprimento do terceiro 
lado e da altura relativa à hipotenusa para ambos os casos, verificando qual possui a altura com o comprimento apresentado.
10 m
aproximadamente 14,14 m
 12 cm 
2
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos verifiquem se as 
medidas apresentadas são suficientes para que as outras 
medidas possam ser determinadas pelo colega.
 2 √
―
 5 cm 
ponto C ) e de alguns de 
seus colegas. Sabendo 
que Diogo mora na 
casa que está situada 
no ponto D, determine 
a menor distância 
entre a casa de 
Diogo e Carlos.
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af
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l L
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n
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25
C
B A 
4,5 
G 
E 
C 
A B D F
1,5 
2,5 
2 
4 
6 
5 
7,5 
3 
Seno, cosseno e tangente
• Razão entre os comprimentos dos catetos adjacentes em rela-
ção ao ângulo ̂ A e os comprimentos das hipotenusas.
 
AB
 ― 
AC
 5 
AD
 ― 
AE
 5 
AF
 ― 
AG
 ä
ä 
2
 ― 
2,5
 5 
4
 ― 
5
 5 
6
 ― 
7,5
 5 0,8 
Nesse caso, as razões obtidas também são iguais. Chamamos 
essa razão de cosseno do ângulo ̂ A , e indicamos por cos ̂ A 5 0,8 .
• Razão entre os comprimentos dos catetos opostos e os com-
primentos dos catetos adjacentes em relação ao ângulo ̂ A .
 
BC
 ― 
AB
 5 
DE
 ― 
AD
 5 
FG
 ― 
AF
 ä 
1,5
 ― 
2
 5 
3
 ― 
4
 5 
4,5
 ― 
6
 5 0,75 
Nesse outro caso, as razões obtidas também são iguais. Chama-
mos essa razão de tangente do ângulo ̂ A , e indicamos por 
 tg ̂ A 5 0,75 .
A palavra seno vem de sinus, tradução 
latina de jaib, que faz parte do 
vocabulário árabe e significa enseada ou 
baía. Antes, porém, seno, para os hindus, 
tinha nome de jiva, metade da corda, e, 
para os árabes, jiba. Hoje, jiba é uma 
palavra que não tem sentido em árabe, 
passou-se a usar jaib.
Fonte de pesquisa: BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, 
Uta C. História da matemática. 3. ed. Trad. Elza F. Gomide. 
São Paulo: Edgard Blucher, 2012.
Dá-se o nome de trigonometria ao ramo da geometria que estuda os métodos para cal-
cular o comprimento dos lados e a medida dos ângulos de um triângulo qualquer. Aplicável 
em várias áreas, como Engenharia, Astronomia, Geografia e Topografia, a trigonometria é 
fundamental na prática de profissionais dessas áreas.
Neste tópico, iremos estudar as relações trigonométricas no triângulo retângulo, ou seja, 
aquelas que envolvem os comprimentos dos lados e as medidas dos ângulos internos de um 
triângulo retângulo.
Antes, porém, vamos determinar quais são os catetos oposto e adjacente de um triângulo 
retângulo em relação a um determinado ângulo interno.
Considere o triângulo retângulo ABC.
• Em relação ao ângulo ̂ A , o lado ‾ BC é o cateto oposto e o lado ‾ AB é o cateto 
adjacente.
• Em relação ao ângulo ̂ C , o lado ‾ AB é o cateto oposto e o lado ‾ BC é o cateto 
adjacente.
Agora, considere os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG, semelhantes pelo 
1º caso (AA).
De acordo com o teorema de Tales, vamos estabelecer a igualdade das se-
guintes razões.
• Razão entre os comprimentos dos catetos opostos em relação ao ângulo ̂ A 
e os comprimentos das hipotenusas.
 
BC
 ― 
AC
 5 
DE
 ― 
AE
 5 
FG
 ― 
AG
 ä 
1,5
 ― 
2,5
 5 
3
 ― 
5
 5 
4,5
 ― 
7,5
 5 0,6 
Note que as razões obtidas são iguais. Chamamos essa razão de seno do 
ângulo ̂ A , e indicamos por sen ̂ A 5 0,6 .
Trigonometria: 
palavra do 
latim que 
significa 
medida do 
triângulo. 
Trigon: 
triângulo; 
metria: medida.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), pela Norma 
ABNT NBR ISO 80000-2, válida desde 17 de agosto de 2012, 
recomenda o uso da notação tan x. Porém, nesta coleção, 
manteremos tg x por ser a notação mais convencional em sala 
de aula.
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