Teoria das Estruturas

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Nome Completo: Mário Régio 
Matrícula: 01454948 
Curso: Engenharia Civil 
Polo: Guarulhos-SP 
Conteúdo do exercício 
 
Quando iniciamos no curso de engenharia civil e chegando nas disciplinas de 
cálculo estrutural nos deparamos com um monte de perguntas, uma delas é qual 
é a função das vigas na construção civil? As vantagens de cada modelo de viga 
e o que levar em conta na hora de definir qual é o ideal para um projeto. Segundo 
a ABNT 6118, que estabelece especificações técnicas para a construção de 
projetos de estruturas de concreto, elementos estruturais são aqueles cujo 
“comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão 
da seção transversal, sendo também denominados barras”. Tais elementos 
estruturais podem receber vários nomes, de acordo com suas funções. A viga é 
um elemento estrutural linear em que a flexão é preponderante. A principal 
função das vigas é fornecer a sustentação para as lajes, transferindo a carga 
(vertical), as forças de cisalhamentos e os momentos de flexão dela e dos 
demais elementos (como portas ou paredes) para as colunas. 
 
As vigas podem ser feitas de diferentes materiais – madeira, ferro ou concreto – 
e são utilizadas em projetos de construção residenciais, comerciais ou públicos. 
Muitas vezes, o posicionamento das vigas é feito entre duas colunas e acima 
das paredes e, geralmente, elas têm a mesma largura da parede – contanto que 
não tenha revestimento, ficando aparentemente escondidas quando a obra 
termina. A resistência de uma viga varia conforme seu tamanho: quanto mais 
alta, mais resistente. Um dos modelos mais utilizados é o de vigas contínuas, 
que são vigas com mais de dois pontos de apoio, nesses apoios internos surgem 
os momentos negativos, que são compatibilizados pelo processo interativo da 
regra de Cross. 
 
Agora, mãos à obra! 
 
Parte de um vão de um edifício residencial no 7° pavimento, apresenta uma viga 
contínua com as características abaixo, tendo a viga contínua uma inércia e 
módulo de elasticidade constante. 
 
 
Encontre o momento fletor negativo máximo, no apoio intermediário B, em kN.m, 
utilizando o processo de Cross. 
 
o Viga contínua: são vigas com mais de dois pontos de apoio; 
 
o Processo de Cross: É um processo destinado a resolver estruturas 
hiperestáticas (vigas continuas e pórticos deslocáveis e não 
deslocáveis) por meio de aproximações sucessivas e de fácil 
execução, por se resolver apenas com as quatro operações 
fundamentais; 
 
o Momento fletor negativo: a viga tem uma deformação com 
concavidade para baixo, as fibras superiores da seção transversal 
são tracionadas e as fibras inferiores são comprimidas. 
 
 
Conteúdo proposto: 
 
 
1) Separar as vigas pelo método de deslocamento, tornando o apoio 
engastado 
 
 
2) Cálculo do coeficiente de rigidez da viga: 
 
Sendo KAB = largura de 4 m e KBC = largura de 6 m. 
 
O cálculo de rigidez se dá pela formula: 𝐾𝑎𝑏 =
3EI
L onde E é ó módulo de 
elasticidade e I é o momento de inércia da viga. 
 
 
K ab = 
3
4
 = 0,75 EI 
 
K bc = 
3
6
 = 0,50 EI 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Viga
3) Cálculo do coeficiente de distribuição (d) 
 
 
O Cálculo de coeficiente de distribuição, se dá peça seguinte fórmula: 
 
𝑑 = 
K1
K1+k2 
, onde K1 e K2 é o resultado do coeficiente de rigidez da barra 
conectada ao nó da estrutura. 
 
dab = 
Kab 
Kab+kbc 
 = 
0,75 EI 
0,75 EI+0,500EI 
 = 
0,75 EI 
1,250 EI 
 = 0,6 
 
dbc = 
Kbc 
Kab+kbc 
 = 
0,50 EI 
0,75 EI+0,50EI 
 =
0,50 EI 
1,250EI 
 = 0,4 
 
 
A soma dos dois resultados finais sempre terá que ser igual a 1,0: 
dab + dbc = (0,6 +0,4) = 1,0 
 
 
4) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito nas seções AB e BC: 
 
M0b1 = - 
𝑞.𝑙²
8
 = - 
10 (
kN
m
) . 4 𝑚²
8
 = 
10 (
kN
m
) . 16 𝑚 
8
 = - 20 KN.m 
 
M0b2= 
𝑞.𝑙²
8
 = 
10 (
kN
m
) . 6 𝑚²
8
 = 
10 (
kN
m
) . 36 𝑚 
8
 = 45 KN.m 
 
 Existe duas forças com sentidos opostos no momento em B, uma no sentido 
horário que é para MAB sendo o sinal negativo e outra no sentido anti-horário 
que para MBC com sinal positivo. Existe uma variação de carga entre M0b1 e 
M0b2 que será distribuída. 
 
 
5) Temos então o intervalo do momento, Δ M = -20 kn.m + 45 kn.m = 25 
kn.m 
 
6) Multiplicamos o coeficiente de distribuição pelo intervalo de momento. 
Utilizando o sinal de (-) para o momento que está mais em desiquilíbrio 
 
dab . Δ M = 0,6 . -25 = - 15 KN.m 
dbc . Δ M = 0,4 . -25 = - 10 KN.m 
 
 
7) O resultado final, fica sendo : 
 
 M0b1 - (dab . Δ M) = -20 -15 = -35 KN.m e M0b2 - (dbc . Δ M) = 45-10 = 35 
KN.m 
 
O Método de Cross também conhecido como processo de Cross e método de 
distribuição de momentos é um método relativamente simples para o cálculo de 
momentos fletores. Um método que faz uso do processo dos deslocamentos no 
intuito de analisar estruturas hiperestáticas, como vigas contínuas, pórticos, 
arcos ou treliça. 
 
O método de Cross se resolve apenas com quatro operações fundamentais. A 
soma dos momentos atuantes em uma estrutura precisa estar em equilíbrio, a 
soma dos momentos atuantes nas extremidades das barras precisa chegar a um 
nó que deve ser nula. 
 
Consiste na aplicação das várias etapas do método dos deslocamentos a cada 
um dos nós da estrutura, procedendo-se em cada fase, a verificação do 
equilíbrio, um processo iterativo, a aproximação pode ser para mais ou para 
menos. 
 
O método foi criado por Hardy Cross em 1932 e introduzido no Brasil pelo 
professor Cândido Holanda de Lima em 1941. 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
 
BARRETO, Vitor. Apontamento do Método de Cross. Universidade do 
Algarve, Set-2002 
 
CAMARA, V. (2008). Resolução de Vigas Contínuas pela Equação dos 3 
Momentos. Notas de Aula. Universidade Federal do Amazonas. 
 
GUEDES João Miranda. MÉTODO DE CROSS. FEUP - Universidade do Porto 
Faculdade de Engenharia. 2001/2002 
 
MARTHA Luiz Fernado: Diposnível em: https://www.tecgraf.puc-
rio.br/ftp_pub/lfm/CIV2801-ProcessoCross.pdf. Acesso em 25/05/2024 
 
PINHEIRO Libânio Miranda. Deslocamentos e Momentos de Engastamento 
Perfeito. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS. Escola de engenharia de São 
Carlos, fevereiro de 2010 
 
SER EDUCACIONAL – AVA. Fundamentos do processo de Cross. Disponível 
em:https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_240633_1/outline/lti/launchFr
ame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboar
d~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_240633_1%26content_i
d%3D_10942748_1%26from_ultra%3Dtrue . Acesso em 23/05/2024 
 
SORIANO, H. L. L. e Souza S. (2006). Análise de Estruturas – Método das 
Forças e Método dos Deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência 
Moderna Ltda. 
https://www.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/CIV2801-ProcessoCross.pdf
https://www.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/CIV2801-ProcessoCross.pdf
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_240633_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_240633_1%26content_id%3D_10942748_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_240633_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_240633_1%26content_id%3D_10942748_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_240633_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_240633_1%26content_id%3D_10942748_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_240633_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_240633_1%26content_id%3D_10942748_1%26from_ultra%3Dtrue