Prof Cesar Bastos - Empuxos

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PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
Estado de equilíbrio plástico de Rankine
Pressões laterais de terra (empuxos de terra) f(deslocamentos e
deformações da massa de solo) f(pressões aplicadas) problema
indeterminado.
É necessário estudar o solo no estado de equilíbrio plástico (condição de
ruptura) tensão cisalhante = resistência ao cisalhamento as pressões
laterais são determináveis.
– Condição de repouso
O conceito do empuxo em repouso é empírico e sua determinação
experimental.
Areias K0 de 0,4 a 0,8 (função da compacidade)
Argilas K0 muito variável
Equação empírica de Jaky (para areias) 
z
’v
’h
z' v
v0h 'K'
K0 COEFICIENTE DE 
EMPUXO DE REPOUSO
sen1K0
– Condição de ruptura - caso ativo e passivo
Duas situações de ruptura a partir do repouso por variação nas tensões
horizontais atuantes. No diagrama de Mohr:
a) CASO ATIVO
Diminuindo o esforço horizontal, mantendo o vertical constante expansão
horizontal.
Na ruptura:
b) CASO PASSIVO
Aumentando o esforço horizontal, mantendo constante o vertical 
compressão horizontal
Na ruptura:
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
zK' ah
z1
zKa3
sen1
sen1
1
sen1
sen1
zKz a
zK' ph
Ka COEFICIENTE DE
 EMPUXO ATIVO 
Kp COEFICIENTE DE
 EMPUXO PASSIVOzKp1
z3
sen1
sen1
zzKp )245(tan
sen1
sen1
K o2
p
)245(tan
sen1
sen1
K o2
a
45o + /2
45o - /2
envoltória de resistência
Ka. .z
K0. .z
.z
Kp. .z
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
Pelo diagrama p x q:
Linhas de ruptura:
– Deformações associadas
 - deformação nula (repouso) estado K0
- deformação no sentido da compressão horizontal mobilização completa do
empuxo passivo para h 2%
- deformação no sentido da expansão lateral mobilização completa do empuxo
ativo para h 0,5%
q
p
Linha Ka
Linha K0
Linha Kp
CASO ATIVO CASO PASSIVO
45o - /245o + /2
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
Teoria de Rankine
Basea-se na aplicação da Teoria do Equilíbrio Plástico para o cálculo dos
empuxos de terra.
– Solos não coesivos (c = 0)
Considerando terrapleno semi-infinito homogêneo de superfície plana e
inclinada.
AB
z
CD
W
a
b
c
d
v
CDzW cosABCD
AB
cosABz
1AB
W
v
coszv
• Caso ativo
Do OFC
ou onde
O empuxo será:
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
F
C
Pa
A
O
D
.z.sen .cos
Pa.cos
.z.cos2
coszOD aa POP
cosCPcosOC
cosCPcosOC
FPOF
FPOF
cosz
P
OD
OP
a
a
a
aaa
senOCACCPa
senOC
senOC
CP
FC
sen
a
2
22
sen
coscos
cos
2
22
2
22
2
22
2
22
a
sen
coscos
sencos
sen
coscos
sencos
sen
coscos
senOCcosOC
sen
coscos
senOCcosOC
cosz
P
22
22
a
coscoscos
coscoscos
cosz
P
22
22
a
coscoscos
coscoscos
coszP
aa KcoszP
22
22
a
coscoscos
coscoscos
K
a
2
H
0
aa KcosH
2
1
dzKcoszE
• Caso passivo
Considerando o círculo de Mohr no caso passivo (tracejado na figura), por
analogia:
onde
– Solos coesivos
• Terrapleno com superfície horizontal
Na ruptura: onde:
– Caso ativo
onde
– Caso passivo
onde
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
p
2
H
0
pp KcosH
2
1
dzKcoszE
pp KcoszP
22
22
p
coscoscos
coscoscos
K
c
caso ativo
caso passivo
Pa
.z
Pp
Nc2N31
sen1
sen1
N
z1
a3 P
Nc2NPz a
N
1
c2
N
z
Pa
aaa Kc2KzP
sen1
sen1
N
1
Ka
p1 P
z3
sen1
sen1
NKp
Nc2NzPp
ppp Kc2KzP
No caso ativo até certa profundidade (z0) pressões horizontais
negativas (tração).
Como o solo não resiste ao esforço abertura de trincas de tração.
z = z0 Pa = 0 
• Terrapleno com superfície inclinada
Duas situações possíveis: < e > 
– <
Como não há simetria em relação ao eixo
 quanto > z > inclinação das superfícies de ruptura
em relação a horizontal
As superfícies de ruptura são curvas que se aprofundam indefinidamente
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
N
c2
z0
+
z0
2
1
90o+
90o+
1 2
passivo
ativo
– > 
Neste caso os círculos de Mohr possíveis limitam-se a uma profundidade z1, a
qual tendem assintoticamente cada uma das linhas de ruptura. Abaixo de
z1 o solo não é solicitado.
Por relação de triângulos:
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
c
.z1
.cos
2
1
costantan
c
z
– Solos puramente coesivos (condição = 0)
• Caso ativo
• Caso passivo
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
 = 0
Pa
.z
Pp
Su
ua S2zP
z
S2
1
z
S2z
'
P
K
uu
v
a
a
up S2zP
z
S2
1
z
S2z
'
P
K
uu
v
p
p
Teoria de Coulomb
Baseada no equilíbrio do corpo rígido cunha de solo determinada por um
plano de ruptura - frente a um anteparo estrutura de arrimo.
– Hipóteses da teoria
• solo isotrópico, homogêneo e não coesivo. O efeito da coesão pode
ser considerado isoladamente;
• superfície de ruptura plana;
• forças de atrito uniformemente distribuídas ao longo da superfície de
ruptura;
• a ruptura é analisada como um problema bidimensional;
• é considerado uniforme atrito entre o solo e o anteparo, desenvolvido
quando do movimento da cunha de solo.
O atrito na interface da cunha de ruptura e o anteparo f(ângulo de atrito
entre o solo e o material do anteparo - ) 0 < < 
Terzaghi /2 < < 2/3 
Teng:
Material do anteparo (aproximado)
estaca de aço 15o
estaca de aço coberta com betume 30o
muro de concreto 20o
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
at
ri
to
movimento da
cunha de ruptura
cunha de
ruptura
CASO ATIVO
muro
terrapleno
at
ri
to
movimento da
cunha de ruptura
cunha de
ruptura
CASO PASSIVO
muro
terrapleno
movimento 
do anteparo
movimento 
do anteparo
– Linhas de ruptura - anteparo com atrito
– Equilíbrio da cunha de ruptura como um corpo rígido -
cálculo dos empuxos
• Empuxo ativo
Pela lei dos senos:
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
H
R
 - 
 + 
180o - -
W
E
B
A
D
Ea
sen
H
AB senAB180senABBD o
sen
sen
ABAE
sen
BA
sen
AE
Área da cunha de solo (A):
O peso da cunha (W):
Equilíbrio das forças atuantes:
Pela lei dos senos:
Substituindo:
Ea f(ângulo da cunha de ruptura - )
Para o valor máximo do empuxo 
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
sen
sen
ABsenAB
2
1
AEBD
2
1
A
sen
sen
sen
sen
H
2
1
A
2
2
1AW
Ea
W
R
180o- - 
 = - 
 = - 
o
a
180sen
W
sen
E
o
a
180sen
W
sen
E
o
a
180sen
senW
E
o2
a
180sen
sen
sen
sen
sen
sen2
E
sen
sen
sen
sen2
W
2
0
d
dEa
Derivando, tem-se:
ou
onde:
• Empuxo passivo
Desenvolvimento análogo:
PRESSÕES LATERAIS DE TERRA
2
2
2
a
sensen
sensen
1sensen
sen
2
E máx
aa K
2
E máx
2
2
2
a
sensen
sensen
1sensen
sen
K
H
R
 - 
 + 
180o - -
W
E
B
A
D
Ep
Ep
W
R
180o- - 
 = + 
 = + 
pp K
2
E máx 2
2
2
p
sensen
sensen
1sensen
sen
K