estatistica

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ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 9: COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
10. Coeficiente de Variação 
 
O desvio padrão por si só não representa muita coisa. Assim, um desvio padrão de 2 
unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cuja média é 200, 
mas, se a média for 20, o mesmo não pode ser dito. Para contornar essa limitação, 
deve-se calcular o coeficiente de variação, que serve como uma medida relativa de 
dispersão. O coeficiente de variação indica o grau de dispersão do conjunto de dados 
em relação a sua média. Ele é calculado dividindo-se o desvio padrão pela respectiva 
média e multiplicando o resultado por 100. Dessa forma, o coeficiente de variação 
expressa a porcentagem de variação dos dados em relação à média. 
 
𝐶𝑣 =
𝑆
�̅�
∗ 100 
 
O resultado é dado em porcentagem pois o coeficiente de variação analisa a dispersão 
em termos relativos. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais 
 
 
homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De 
uma forma geral, se o CV: 
- For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneos; 
- For entre 15 e 30% → média dispersão, 
- For maior que 30% → alta dispersão: dados 
 
Estes referenciais podem variar de acordo com o objeto de estudo. Para trabalhos 
técnicos de pesquisa, uma variação menor que 5% é considerada excelente. 
 
Exemplo: A tabela apresenta dados agrupados para o número de passageiros: 
 
 
Os dados registram uma média de 79,20 passageiros por dia, com um desvio padrão 
de 12,14 passageiros. Suponha que a TAL também coletou dados, durante o mesmo 
período, para o número de milhas voadas pela companhia e que a média diária e o 
desvio padrão são, respectivamente, 1267,5 e 152,7 milhas. O alto desvio padrão para 
as milhas voadas pode sugerir que esses dados exibem uma variação maior que para 
o número de passageiros. Contudo, se calcularmos o coeficiente de variação para o 
número de passageiros, encontraremos: . 
 
𝐶𝑣 =
𝑆
�̅�
∗ 100 
 
𝐶𝑣 =
12,14
79,20
∗ 100 = 15,33% 
 
 
 
 
 
Ao efetuarmos o mesmo cálculo para milhas, encontraremos: 
 
𝐶𝑣 =
𝑆
�̅�
∗ 100 
 
𝐶𝑣 =
152,7
1267,5
∗ 100 = 12,05% 
 
Está claro, portanto, que comparando-se a variação nos dois conjuntos de dados, 
percebemos que é melhor usar, também, o coeficiente de variação e não apenas o 
desvio padrão. 
 
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
O desvio padrão e o coeficiente de variação podem ser usados para concluir se os 
dados em questão estão normalmente distribuídos. O conceito de distribuição normal 
é de considerável importância. Estudamos distribuição normal quando abordamos a 
construção do histograma. Entretanto, uma introdução desse importante conceito 
permitirá demonstrarmos um uso prático do desvio padrão. A distribuição normal é 
uma distribuição para dados contínuos que produzem uma curva simétrica na forma 
de sino, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que temos um grande número de observações, em minutos, dos tempos que 
atletas levam para completar determinada corrida. Se os dados são distribuídos 
normalmente, um gráfico das frequências com que cada observação ocorre ficará com 
a forma da figura acima. As observações de cada extremo não ocorrem 
frequentemente, mas as observações próximas ao centro vão aumentando, 
produzindo assim a curva em forma de sino. A observação modal, 5 nesse caso, é a 
que ocorre com maior frequência e, assim, é o ponto de máximo dessa curva. Numa 
distribuição normal, a média, a mediana e a moda são iguais. A metade das 
observações está acima da média e a outra metade está abaixo. Isso significa que 
metade da área sob a curva está à esquerda da média e a outra metade está à direita. 
Para ilustrar como o desvio padrão aplica-se na distribuição normal, suponha que 
1000 atletas completaram determinada corrida. Os tempos de todos os corredores são 
distribuídos normalmente, com uma média de µ = 5 minutos e um desvio padrão de 1 
minuto. A distribuição empírica diz que, se considerarmos as observações localizadas 
no intervalo formado pela média menos um desvio padrão e pela média mais um 
desvio padrão, teremos 68,3% de todas as observações. Isto é, não importa qual é a 
média, nem o desvio padrão, 68,3% das observações caem no intervalo de amplitude 
de dois desvios padrão e com ponto médio dado pela média das observações. Como 
os atletas levaram em média 5 minutos para completar a corrida, tomando um desvio 
padrão de 1 minuto acima e abaixo da média, produzimos o intervalo 4 a 6 minutos. 
Assim, de acordo com a distribuição empírica 683 (68,3% de 1000) atletas levaram de 
4 a 6 minutos para completar a corrida. Claro que, se tomarmos mais de um desvio 
padrão acima ou abaixo da média, vamos incluir uma maior porcentagem das 
observações. A distribuição empírica especifica que: Dados os tempos dos atletas 
com um desvio padrão de 1 minuto acima e abaixo da média de 5 minutos, 
construímos o intervalo de 4 a 6 minutos. Com dois desvios padrão acima e abaixo da 
média de 5 minutos, construímos o intervalo de 3 a 7 minutos. Com três desvios 
padrão acima e abaixo da média de 5 minutos, construímos o intervalo de 2 a 8 
minutos. Portanto, de acordo com a distribuição empírica, 997 dos 1000 atletas 
gastaram de 2 a 8 minutos para completar a corrida. Apenas 3 dos 1000 atletas são 
muito bons e levaram menos de 2 minutos ou são péssimos corredores levando mais 
de 8 minutos para completar a corrida. Uma observação afastada da média mais de 
 
 
três desvios padrão é uma raridade e acontece em 0,3% dos casos se os dados 
obedecem a distribuição normal. 
 
A curva normal abaixo apresenta a porcentagem de dados que temos à medida em que 
variamos a quantidade de desvios-padrão. 
 
 
Informações obtidas pela análise do desvio padrão nos permite realizar análises mais 
conclusivas em relação às informações que possuímos, tendo a certeza de que os 
dados estão dispersos ou não. O coeficiente de variação nos ajuda na análise de 
dispersão, é utilizado quando temos o valor médio e duas ou mais séries de valores 
apresentam unidades de medida diferentes. Assim, podemos dizer que o coeficiente 
de variação é uma forma de expressar a variabilidade dos dados excluindo a influência 
da ordem de grandeza da variável. 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
8. Medidas deDispersão 
 
Em nosso esforço para descrever um conjunto de números, vimos que é útil localizar 
o centro do conjunto de dados. Mas identificar a medida de tendência central 
raramente é suficiente. Uma descrição completa de dados pode ser obtida se 
medirmos o quanto os dados estão dispersos ao redor do ponto central. É exatamente 
o que as medidas de dispersão fazem. Elas mostram o quanto as observações 
desviam-se de sua média. Considere, por exemplo, os três pequenos conjuntos de 
dados: 
 
X : 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10 
Y : 7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13 
Z : 3, 4, 5, 6, 10, 10, 14, 15, 16, 17 
 
Os três conjuntos têm uma característica comum, que é o valor da média. Essa média 
é 10 para as três séries. Entretanto, elas diferem entre si com relação ao agrupamento 
 
 
dos dados em torno dessa média. Na série X todos os dados são iguais a 10 e, 
portanto, a média representa muito bem essa série. Na sequência Y vê-se que vários 
dados diferem da média, mas estão próximos dela, ou seja, apresentam grande 
concentração em torno de 10: a média 10 representa razoavelmente bem a série. Na 
sequência Z existem muitos valores muito afastados do valor 10 e, portanto, a média 
10 não representa muito bem a série. Chamando de dispersão ou variabilidade a maior 
ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de 
tendência central tomado como ponto de comparação, pode-se dizer que o conjunto 
X apresenta uma dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto Y apresenta uma 
dispersão ou variabilidade menor que o conjunto Z. Em resumo, em X os dados estão 
totalmente concentrados na média 10 e, portanto, não há dispersão de dados. Em Y 
existe forte concentração de dados em torno da média e fraca dispersão. Em Z há 
fraca concentração de valores em torno da média e grande dispersão de dados. 
Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou 
menor dispersão entre esses valores e sua medida de posição, a Estatística recorre 
às medidas de dispersão. Dessas medidas, serão estudadas a amplitude total, a 
variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
8.1. Amplitude Total 
 
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado: 
 
AT = xmáx − xmín 
 
A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos 
da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre 
invalida a idoneidade do resultado. Ela é apenas uma indicação aproximada da 
dispersão. 
Exemplo 1: Determinando a amplitude total para a variável discreta (no de acidentes) 
descrita na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: AT = 30 − 0 = 30 acidentes 
 
Exemplo 2: Determinando a amplitude total para a variável contínua (salários) descrita 
na tabela abaixo: 
 
 
Solução: AT = 2000 −1000 =1000 reais 
 
8.2. Variância e Desvio-padrão 
Como comentado, a amplitude total é instável por ser influenciada por valores 
extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso. A variância e o desvio padrão 
são medidas que não possuem essa falha, pois levam em consideração a totalidade 
dos valores da variável em estudo, o que faz dessas medidas, índices de dispersão 
bastante estáveis, e por isso mesmo, os mais empregados. A variância baseia-se nos 
desvios em torno da média, determinando, porém, a média dos quadrados dos 
desvios das observações em relação à média. Assim, para o cálculo da variância é 
mais interessante o uso das fórmulas: 
 
 
Variância Populacional 
 
𝜎2 =
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛
 
 
Onde n é o total de dados. 
 
Variância Amostral 
 
𝑆2 =
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
 
Onde n é o total de dados. 
 
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em 
unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista 
prático é um inconveniente. Por isso mesmo, imaginou-se uma medida que tem 
utilidade e interpretação práticas, denominada desvio padrão, definido como a raiz 
quadrada do valor da variância, ou seja: 
 
Desvio-padrão Populacional 
 
𝜎 = √𝜎2 ou 𝜎 = √
∑(𝑥− �̅�)2
𝑛
 
 
Desvio-padrão Amostral 
 
𝑆 = √𝑆2 ou 𝑆 = √
∑(𝑥− �̅�)2
𝑛−1
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: O Sr. Bonani é o gerente da empresa "Investimentos Ninho Seguro". 
Recentemente, Bonani estava interessado nas taxas de retorno de dois fundos de 
investimentos durante os últimos cinco anos. Megainvest Inc. apresentou taxas de 
rendimentos de 12%, 10%, 13%, 9% e 11% nesse período, enquanto as taxas da 
Dinâmica Empresarial foram de 13%, 12%, 14%, 10% e 6%. Um cliente procurou 
Bonani e mostrou-se interessado em investir em fundos. Qual deles Bonani deve 
escolher para seu cliente? 
 
Solução: Os dois fundos oferecem taxa média de retorno de 11% (calcule!). O 
investimento mais seguro é aquele que tem o menor grau de risco, ou seja, o menor 
desvio padrão. 
Para a Megainvest, Bonani encontra variância e desvio padrão, respectivamente, 
iguais a: 
𝑆2 =
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
=
(12 − 11)2 + (10 − 11)2 + (13 − 11)2 + (9 − 11)2 + (11 − 11)2
5 − 1
= 2,5 
 
𝑆 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √2,5 = 1,58% 
 
 
Para Dinâmica Empresarial: 
 
𝑆2 =
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
=
(13 − 11)2 + (12 − 11)2 + (14 − 11)2 + (10 − 11)2 + (6 − 11)2
5 − 1
= 10 
 
𝑆 = √
∑(𝑥 − �̅�)2
𝑛 − 1
= √10 = 3,16% 
 
Portanto, como Megainvest e Dinâmica têm as mesmas taxas médias de retorno de 
investimentos, observamos, pelo desvio padrão, que a primeira apresenta menor risco 
e deve ser a aplicação escolhida. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determinando a variância amostral e o respectivo desvio padrão para a 
variável discreta descrita no quadro abaixo. 
 
 
 
 
Solução: Para facilitar o cálculo da variância e do desvio padrão, monta-se a tabela 
abaixo, usando 𝑥 ̅= 12,60 acidentes/dia. 
 
Neste caso, como há frequência, devemos levá-la em consideração no cálculo da 
média, da variância e do desvio-padrão. 
 
𝑆2 =
∑(𝑥 − �̅�)2 ∗ 𝑓
𝑛 − 1
=
1206
25 − 1
= 50,25 
 
𝑆 = √
∑(𝑥 − �̅�)2 ∗ 𝑓
𝑛 − 1
= √50,25 = 7,09 
 
Portanto, o desvio padrão amostral é, aproximadamente, 7 acidentes/dia. Assim, o 
departamento de trânsito pode decidir se é necessária a colocação de um semáforo 
nesse cruzamento, baseando-se no desvio padrão, ou seja, na flutuação do número 
de acidentes diários que varia de 5 a 19 acidentes. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: O diretor de vôos da TAL requer informações relativas à dispersão do 
número de passageiros. Decisões relativas à escala de horários, ao tamanho mais 
eficiente dos aviões para serem usados, dependem da variação do número de 
passageiros. Se essa variação em número de passageiros for grande, aviões maiores 
serão necessários para que se evite super lotação em dias determinados. É 
necessário, portanto, calcular a variância e o respectivo desvio padrão. A tabela de 
frequências para a TAL é a seguinte (foi considerado aqui dados agrupados em 
classes): 
 
Solução: Para facilitar o cálculo da variância e do desvio padrão, montou-se a tabela acima. 
Calcula-se a média como: 
 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
=
3960
50
= 79,2 
 
A variância e do desvio padrão, são, portanto: 
𝑆2 =
∑(𝑥 − �̅�)2 ∗ 𝑓
𝑛 − 1
=
7218
50 − 1
= 147,31 
 
𝑆 = √
∑(𝑥 − �̅�)2 ∗ 𝑓
𝑛 − 1
= √147,31 = 12,14 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 
 
Portanto, o diretor de voos pode decidir se os atuais aviões acomodam as flutuações 
do número de passageiros baseando-se no desvio padrão de 12,14. Caso não 
acomodem, talvez aviões maiores sejam usados nos dias com maior número de 
passageiros. 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 7: MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo:Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
7. MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
As medidas separatrizes são números reais que dividem a sequência ordenada de 
dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série. A mediana, 
por exemplo, que divide a sequência ordenada em dois grupos, cada um deles 
contendo 50% dos valores da sequência, é também uma medida separatriz. Além da 
mediana, neste capítulo, serão destacadas outras medidas separatrizes, ou seja, 
quartis, decis e percentis. 
 
7.1. Quartis 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, como pode ser 
visto esquematicamente: 
 
 
 
 
 
Desta forma, temos: 
Q1 = 1º quartil, composto por 25% dos elementos. 
Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana, composto por 50% dos elementos. 
Q3 =3º quartil, composto por 75% dos elementos. 
 
Os quartis serão utilizados, apenas, para dados agrupados em classes. As fórmulas 
para a determinação dos quartis Q1 e Q3 são semelhantes àquelas usadas para o 
cálculo da mediana. 
 
Determinação de Q1: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
𝑛
4
 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe de Q1 pela Fac 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
𝑄1 = 𝑙 +
𝑛
4 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
Onde, 
l = limite inferior da classe da separatriz 
𝑛
4
 = posição da separatriz 
Fac = frequência acumulada da classe anterior à classe da separatriz 
f = frequência simples da classe da separatriz 
h = intervalo da classe da separatriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinação do Q3: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
3𝑛
4
 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe de Q3 pela Fac 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
𝑄1 = 𝑙 +
3𝑛
4 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
Exemplo: Em conjunto com uma auditoria anual, uma empresa de contabilidade 
pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 52 balanços contábeis, 
tal como indicado na tabela abaixo. Determinando os valores do 1º quartil e do 3º 
quartil. 
 
 
 
Solução para Q1: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
𝑛
4
=
52
4
= 13 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe de Q1 pela Fac → 29 Ͱ 39 
 
 
 
 
 
 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
l = 29 
𝑛
4
= 13 
Fac = 8 
f =10 
h = 10 
 
𝑄1 = 𝑙 +
𝑛
4 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
𝑄1 = 29 +
13 − 8
10
∗ 10 
 
𝑄1 = 29 +
5
10
∗ 10 
 
𝑄1 = 29 +
50
10
 
 
𝑄1 = 29 + 5 = 34 minutos/balanço 
 
 
Solução para Q3: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
3𝑛
4
=
156
4
= 39 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe de Q3 pela Fac → 49 Ͱ 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
l = 49 
𝑛
4
= 39 
Fac = 32 
f =20 
h = 10 
 
𝑄1 = 𝑙 +
3𝑛
4 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
𝑄1 = 49 +
39 − 32
20
∗ 10 
 
𝑄1 = 49 +
7
20
∗ 10 
 
𝑄1 = 49 +
70
20
 
 
𝑄1 = 49 + 3,5 = 52,5 minutos/balanço 
 
Interpretação: 25% dos balanços são realizados em até 34 minutos e 75% dos balanços são 
realizados em até 52,5 minutos. 
 
7.2. DECIS 
Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais. Os decis serão 
utilizados, apenas, para dados agrupados em classes. O procedimento para a 
determinação dos decis é semelhante àquele usados para o cálculo dos quartis: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
𝑖∗𝑛
10
 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe pela Fac 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
 
 
𝐷𝑖 = 𝑙 +
𝑖 ∗ 𝑛
10 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
Onde, 
l = limite inferior da classe da separatriz 
𝑖∗𝑛
10
 = posição da separatriz 
Fac = frequência acumulada da classe anterior à classe da separatriz 
f = frequência simples da classe da separatriz 
h = intervalo da classe da separatriz 
 
Exemplo: Determinando o valor do 4o decil (D4) para a situação apresentada. 
 
Solução: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
4∗52
10
= 20,8 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe pela Fac → 39 Ͱ 49 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
𝐷𝑖 = 𝑙 +
𝑖 ∗ 𝑛
10 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
l = 39 
posição = 20,8 
Fac = 18 
f = 14 
h = 10 
 
 
 
 
 
𝐷4 = 39 +
20,8 − 18
14
∗ 10 
 
𝐷4 = 39 +
2,8
14
∗ 10 
 
𝐷4 = 39 +
28
14
 
 
𝐷4 = 39 + 2 = 41 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 
 
Interpretação: 40% dos balanços são realizados em até 41 minutos e 60% dos 
balanços, portanto, são realizados em tempos acima de 41 minutos. 
 
7.3. Percentis 
Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais. Os percentis serão 
utilizados, apenas, para dados agrupados em classes. O procedimento para a 
determinação dos percentis é semelhante àquele usados para o cálculo dos quartis e 
dos decis: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
𝑘∗∑ 𝑓
100
 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe pela Fac 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
𝑃𝑘 = 𝑙 +
𝑘 ∗ ∑ 𝑓
100 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
 
Onde, 
l = limite inferior da classe da separatriz 
𝑘∗∑ 𝑓
100
 = posição da separatriz 
 
 
Fac = frequência acumulada da classe anterior à classe da separatriz 
f = frequência simples da classe da separatriz 
h = intervalo da classe da separatriz 
 
Exemplo: Determinando o valor do 82º percentil (P82) para a situação apresentada: 
 
 
Solução: 
- 1º passo: calcula-se a posição → 
𝑘∗∑ 𝑓
100
=
82∗52
100
= 42,64 
 
- 2º passo: Identifica-se a classe pela Fac → 49 Ͱ 59 
- 3º passo: Aplica-se a fórmula 
 
𝑃𝑘 = 𝑙 +
𝑘 ∗ ∑ 𝑓
100 − 𝐹𝑎𝑐
𝑓
∗ ℎ 
l = 49 
Posição = 42,64 
Fac = 32 
f = 20 
h = 10 
 
𝑃82 = 49 +
42,64 − 32
20
∗ 10 
 
 
 
 
𝑃82 = 49 +
10,64
20
∗ 10 
 
𝑃82 = 49 +
106,4
20
 
 
𝑃82 = 49 + 5,32 = 54,32 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 
 
Interpretação: 82% dos balanços são realizados em até 54,32 minutos e 18% dos 
balanços, portanto, são realizados em tempos acima de 54,32 minutos 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 6: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
6.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS AGRUPADOS COM 
INTERVALO DE CLASSE 
 
6.1.1 Média 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, deve-se utilizar 
para o cálculo da média, a média aritmética ponderada. Nesse caso, consideram-se 
as frequências absolutas das classes como sendo as ponderações dos pontos médios 
destas classes. 
 
Exemplo: Os salários (em R$) de 25 funcionários selecionados em uma empresa 
estão representados na tabela abaixo. Para cálculo da média utilizaremos a fórmula: 
 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
 
 
 
 
 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
 
 
�̅� =
37300
25
= 1.492 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠/𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 
 
Obs.: Os pontos médios das classes (xi) são determinados tomando-se a média 
aritmética entre o extremo inferior e superior de cada classe. 
 
6.1.2 – Moda 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, pode-se optar 
por vários procedimentos, como moda de Pearson, moda de King, moda de Czuber, 
entreoutros, para se determinar a moda. Será dado destaque à moda de Czuber. 
 
MODA DE CZUBER 
CZUBER levou em consideração, em sua fórmula, a frequência absoluta da classe 
anterior, a frequência absoluta da classe posterior, além da frequência absoluta da 
classe modal, o que leva a um valor mais preciso para a moda de uma variável 
contínua. A fórmula de Czuber é a seguinte: 
 
𝑀𝑜 = 𝑙 + 
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
∗ ℎ 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
l = limite inferior da classe modal 
D1 = frequência da classe modal – frequência da classe anterior 
D2 = frequência da classe modal – frequência da classe posterior 
h = intervalo da classe modal 
 
Exemplo: Determinando a moda para a distribuição abaixo: 
 
Por observação, a classe modal é a terceira classe, já que esta é a classe de maior 
frequência. Neste caso, 
I = limite inferior da classe modal = 1.400,00 
f = frequência absoluta da classe modal = 10 
fant = frequência absoluta da classe anterior à classe modal = 6 
fpost = frequência absoluta da classe posterior à classe modal = 5 
D1 = f – fant = 10 – 6 = 4 
D2 = f – fpost = 10 – 5 = 5 
h = amplitude do intervalo de classe = 200,00 
 
𝑀𝑜 = 𝑙 + 
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
∗ ℎ 
 
𝑀𝑜 = 1400 + 
4
4 + 5
∗ 200 
 
 
 
 
 
 
𝑀𝑜 = 1400 + 
4
9
∗ 200 
 
𝑀𝑜 = 1400 + 
800
9
 
 
𝑀𝑜 = 1400 + 88,89 
 
𝑀𝑜 = $ 1.488,89 
 
Observação Importante: Ocorrem, algumas vezes, dois ou mais picos distintos de 
igual frequência nos dados. Nesses casos, a distribuição é bimodal (duas modas) ou de 
modas múltiplas, respectivamente. 
 
6.1.3 - Mediana 
 
Se os dados apresentados são classificados como variável contínua, deve-se utilizar 
para o cálculo da mediana, o procedimento a seguir. 
1. Calcula-se a ordem 2 n (como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou 
ímpar); 
2. Pela frequência acumulada Fac, identifica-se a classe que contém a mediana 
(classe da x ~ ); 
3. Então, utiliza-se a fórmula: 
 
𝑀𝑑 = 𝑙 +
∑ 𝑓
2
− 𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓
∗ ℎ 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
l = limite inferior da classe da mediana 
∑ 𝑓
2
 = posição da mediana 
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana 
f = frequência simples da classe da mediana 
h = intervalo da classe da mediana 
 
Exemplo: Determinando a mediana da situação apresentada: 
 
 
 
1) Calcula-se a posição da mediana 
∑ 𝑓
2
=
25
2
= 12,5 
 
2) A classe da mediana é 1400 Ͱ 1600 
3) Desta classe teremos: 
- l = 1400 
- 
∑ 𝑓
2
= 12,5 
- Fant = 8 
- f = 10 
- h = 200 
 
 
 
 
 
 
 
4) Cálculo da mediana 
 
 𝑀𝑑 = 𝑙 +
∑ 𝑓
2
−𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓
∗ ℎ 
 
 𝑀𝑑 = 1400 +
12,5 −8
10
∗ 200 
 
 𝑀𝑑 = 1400 +
4,5
10
∗ 200 
 
 𝑀𝑑 = 1400 +
900
10
 
 
 𝑀𝑑 = 1400 + 90 
 
 𝑀𝑑 = $ 1490 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 5: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
5.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS AGRPADOS SEM 
INTERVALO DE CLASSE 
5.1.1 Média 
Quando os dados são provenientes de uma variável discreta, deve-se utilizar a média 
aritmética ponderada, considerando as frequências absolutas fi como sendo as 
ponderações dos elementos xi correspondentes. Deve-se, portanto, utilizar a fórmula 
da média ponderada para determinar a média de uma distribuição de frequências: 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
 
 
Onde, 
x = valores 
f = frequência 
n = total de dados ou soma da frequência 
 
 
Exemplo: O departamento de trânsito da cidade de São Paulo coletou o número de 
acidentes ocorridos em certo cruzamento de ruas na zona oeste, por 25 dias úteis do 
mês de março, com o objetivo de estudar a possibilidade de colocação de um 
semáforo no citado cruzamento. 
 
A variável em estudo é o número de acidentes e, por isso, será o x. O número de dias 
corresponde ao número de vezes em que a variável x ocorreu e, portanto, passa a ser 
nossa frequência. Para calcularmos a média deveremos multiplicar x por f e somarmos 
os resultados. 
 
 
 
O cálculo da média se dará por: 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
 
�̅� =
315
25
 
�̅� = 12,6 ≈ 13 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎. 
 
 
 
Exemplo: Para cálculo da média ao final do curso também utilizamos a média 
ponderada. Vamos imaginar que certo aluno, ao final das atividades, tenha as 
seguintes notas: 
Atividade Nota obtida 
Exercícios 8,0 
Fórum 10,0 
Avaliação Final 4,0 
 
A média desse aluno não é calculada simplesmente pela média aritmética das notas, 
ou seja: 
�̅� =
8 + 10 + 4 
3
=
22
3
= 7,3 
Para o cálculo da média, a faculdade considera pesos para cada um dos elementos 
da avaliação. No caso da Ítalo, os pesos são: 
- Exercícios: peso 3 
- Fórum: peso 1 
- Avaliação Final: peso 6 
Para o cálculo da nota levamos em consideração os pesos: 
Atividade Nota obtida (x) Peso (f) x*f 
Exercícios 8,0 3 24 
Fórum 10,0 1 10 
Avaliação Final 4,0 6 24 
Total 10 58 
 
�̅� =
∑ 𝑥 ∗ 𝑓
𝑛
 
�̅� =
58
10
= 5,8 
A média é chamada de ponderada porque leva em consideração os pesos, ou seja, a 
frequência de cada dado avaliado. 
 
 
 
 
 
5.1.2 - Moda 
A moda Mo de uma distribuição de frequências é o valor que ocorre com maior 
frequência na distribuição. Para distribuições sem agrupamento de classes, a 
identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que se 
apresenta com maior frequência. 
 
Exemplo: Determinando a moda do conjunto de dados 
 
Por observação, a moda é 15, ou seja, Mo = 15, pois esse valor aparece com maior 
frequência nesta distribuição (10 vezes) 
 
5.1.3 – Mediana 
Para identificação da mediana em uma distribuição de frequências deveremos 
observar que, se os dados, provenientes de uma variável discreta, estão apresentados 
em tabelas, eles já estão naturalmente ordenados. Como a mediana é o elemento que 
ocupa a posição central do conjunto ordenado de dados, basta verificar se o número 
de elementos da série é ímpar ou par. 
• n = ímpar  a mediana será o elemento central, ordem = 2 n +1 
• n = par  a mediana será a média aritmética entre os elementos centrais. 
 
Exemplo: Determinando a mediana do conjunto de dados do exemplo acima: 
 
 
 
Para determinar a mediana, o primeiro passo será determinarmos a posição da 
mediana. 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 =
∑ 𝑓
2
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 =
25
2
= 12,5 
Após calcular a posição da mediana, abre-se a coluna de Fac e, pelas frequências 
acumuladas, encontra-se a posição da mediana. 
Nº de Acidentes Nº de Dias Fac 
0 2 2 
5 4 6 
10 5 11 
15 10 21 
20 2 23 
25 1 24 
30 1 25 
Total 25 
 
O valor das frequências acumuladas é obtido somando-se cada frequência pelo valor 
da frequência seguinte e assim sucessivamente. A seguir devemos verificar onde se 
encontra a posição da mediana. 
- O valor de 12,5 é maior que 2, então a mediana não se encontra na primeira linha. 
- O valor de 12,5 é maior que 6, então a mediana não se encontra na segunda linha. 
- O valor de 12,5 é maior que 11, então a mediana não se encontra na terceira linha. 
 
 
- O valor de 12,5 é menor que 21, então a mediana se encontra nessa linha e, portanto, 
a mediana é 15 acidentes/dia. 
Exemplo: Uma indústria metalúrgica embala peças em caixas com 100 unidades. O 
controle de qualidade selecionou50 caixas na linha de produção e anotou em cada 
caixa o número de peças defeituosas. A seguir, obteve a seguinte distribuição de 
frequências: 
Peças Defeituosas Nº de caixas 
0 15 
1 10 
2 12 
3 8 
4 5 
Total 50 
 
Para cálculo da mediana, devemos verificar sua posição: 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 =
∑ 𝑓
2
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 =
50
2
= 25 
 
Vamos, agora, procurar este número na coluna de frequência acumulada: 
 
 
Peças Defeituosas Nº de caixas Fac 
0 15 15 
1 10 25 
2 12 37 
3 8 45 
4 5 50 
Total 50 
 
Verifique que, neste caso, o valor da posição da mediana que buscamos aparece na 
coluna de Fac. Isto significa que é possível dividir essa tabela em duas partes iguais. 
25 25 
 
 
Se passarmos um traço logo abaixo da posição 25, veremos que haverá 25 elementos 
acima da linha e 25 elementos abaixo da linha. 
Peças Defeituosas Nº de caixas Fac 
0 15 15 
1 10 25 
2 12 37 
3 8 45 
4 5 50 
Total 50 
 
A mediana é, nesse caso, a média aritmética desses dois valores que ficam acima e 
abaixo da linha: 
𝑀𝑑 =
1+2
2
= 1,5 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠/𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 4: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de dados numéricos. 
Para interpretar os dados corretamente é necessário organizar e sumarizar os 
números. Um conjunto de números pode reduzir-se a uma ou a algumas medidas 
numéricas que resumem todo o conjunto. Usualmente, empregam-se as seguintes 
medidas: 
- Medidas de tendência central - média, mediana e moda. 
- Medidas de dispersão - amplitude total, variância e desvio padrão. 
- Medidas separatrizes - quartil, decil e percentil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA DADOS ISOLADOS 
4.1.1 - Média Aritmética  Notação: �̅� 
Calcula-se a média aritmética efetuando-se a soma das observações dividida pelo 
número total de observações. 
�̅� =
∑ 𝑥
𝑛
 
onde x são os valores avaliados e n é o total e dados. 
Exemplo 1: Durante um determinado mês de verão, os quinze vendedores de uma 
empresa de calefação central e ar condicionado venderam os seguintes números de 
ar condicionado central: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 17, 7, 9, 11. 
Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número 
médio de unidades vendidas é: 
�̅� =
8 + 11 + 12 + 5 + 14 + 12 + 8 + 11 + 16 + 12 + 12 + 17 + 7 + 9 + 11
15
 
 
�̅� =
165
15
 
 
�̅� = 11 
A média é de 11 aparelhos de ar-condicionado vendidos 
 
4.1.2: Moda  Notação: �̂� ou Mo 
A moda é o valor (observação) que ocorre com maior frequência num conjunto de 
dados, ou seja, o valor que mais se repete. 
Exemplo: Os quinze vendedores citados no exemplo anterior venderam as seguintes 
quantidades de aparelhos de ar-condicionado: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 
17, 7, 9, 11. A moda para esse conjunto de dados é o valor que ocorre com maior 
frequência, ou seja, Mo = 12. 
Exemplo: Se, para o exemplo anterior, os valores fossem: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 
16, 12, 12, 17, 7, 11, 11, qual seria o valor da moda? 
Neste caso, temos 2 valores que se repetem na mesma frequência, a saber, 11 e 12. 
Então temos 2 modas e dizemos que a distribuição é bimodal. Da mesma forma 
poderíamos ter 3 modas (trimodal) e assim sucessivamente. 
 
 
Exemplo: Os quinze vendedores citados no exemplo anterior venderam as seguintes 
quantidades de aparelhos de ar-condicionado: 8, 11, 12, 5, 14, 10, 7, 15, 16, 17, 18, 
19, 6, 9, 13. Qual a moda da distribuição? 
Neste exemplo não temos números repetidos, ou seja, não há moda. Dizemos que o 
sistema é amodal. 
 
4.1.3: Mediana  Notação: �̃� ou Md 
Colocados os dados brutos em ordem crescente ou decrescente (ROL), a mediana é 
o elemento que ocupa a posição central. Sua característica principal é dividir um 
conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a metade terá valores inferiores 
à mediana e a outra metade terá valores superiores à mediana. Para se calcular a 
mediana, determina-se o número n de elementos do rol, utilizando o seguinte critério: 
Se n é ímpar , haverá um valor no centro. 
 Exemplo: Os quinze vendedores citados no Exemplo 1 venderam as seguintes 
quantidades de aparelhos de ar-condicionado: 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 11, 16, 12, 12, 
17, 7, 9, 11. 
O primeiro passo é colocarmos os números em ordem crescente: 
5, 7, 8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17. 
Como a distribuição tem 15 elementos, então podemos formar 2 grupos com 7 
elementos. O elemento que ficar no centro é a mediana. 
5, 7, 8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17. 
 
 
 
O elemento central dessa distribuição é o número 11. Abaixo desse valor temos 7 
números e, acima desse valor, temos mais 7 números. O número 11 divide a 
distribuição ao meio, ou seja, é o valor central. Então a mediana é 11 (Md = 11) 
 
Outro exemplo: Se a distribuição fosse 8, 11, 12, 5, 14, 12, 8, 12, 16, 12, 12, 17, 7, 9, 
10, 11, qual seria a mediana? 
Novamente colocaremos os valores em ordem crescente 
5, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17 
 
 
 
Neste novo exemplo, o número de elementos é 12. Como a mediana divide o grupo 
em 2 partes iguais, teremos 16 ÷ 2 = 8. Vamos dividir em 2 grupos de 8: 
5, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17 
 
 
 
Como não há um número na posição central, vamos utilizar a média entre os dois 
centrais: 
5, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 16, 17 
 
 
A mediana será calculada por: 𝑀𝑑 =
11+12
12
=
23
2
→ 𝑀𝑑 = 11,5. 
 
Embora 11,5 seja um número que não está presente na distribuição, ele serve de 
referência: abaixo dele temos 8 valores e acima dele mais 8 valores. 
 
Em resumo, o procedimento para se determinar a mediana é o seguinte: 
1. Ordenar os valores (rol); 
2. Verificar se há um número ímpar ou par de observações; 
3. a) Para um número ímpar n de observações, a mediana é o valor central. 
b) Para um número par n de observações, a mediana é a média aritmética das duas 
observações centrais. 
Muitas distribuições que surgem na prática são razoavelmente simétricas com a 
maioria dos valores concentrada próximo ao centro. Em tal caso, média, moda e 
mediana estão muito próximas umas das outras ou são até coincidentes. 
 
4.1.4: Comparando Média, Moda e Mediana 
A média é a medida de tendência central mais usada. Ela é fácil de calcular e 
interpretar. Infelizmente, a média é afetada por valores extremos ou atípicos e, 
diferente da mediana, pode ser drasticamente desviada por observações que ficam 
extremamente acima ou abaixo da maioria das observações. Por exemplo, para os 
dados 4, 5, 6, 6, 7, 8, a média e a mediana são 6 e representam uma medida excelente 
do ponto central do conjunto de dados. Se a última observação fosse 80 e não 8, a 
 
 
média não seria 6, seria 18, mas a mediana ainda seria 6. Como a mediana não é 
afetada pelo valor extremo, ela representa melhor as seis observações. A moda 
também é pouco afetada por algumas observações atípicas e, continua sendo 6, 
mesmo se o último valor fosse 80. De qualquer maneira, se não há moda ou se o 
conjunto dedados for bimodal, seu uso pode ser confuso. Isso não significa que uma 
medida é melhor que a outra. A medida escolhida depende da natureza dos dados ou 
da maneira como os dados são usados. Por exemplo, uma loja de equipamentos para 
camping, fará pouco uso da informação de que o tamanho médio das botas para 
escaladas vendidas é 41,8. Muito mais útil, para decisões nos negócios, seria 
conhecer a moda do tamanho das botas, pois saberia que o tamanho mais vendido é 
o 40. Entretanto, suponha que essa loja deseja colocar no mercado uma nova barraca. 
As dimensões da barraca dependem, dentre outras coisas, da estatura média dos 
adultos. A experiência tem mostrado que a média serve muito bem como uma medida 
de tendência central quando se trata de produtos confeccionados para uso de 
pessoas. O tamanho das portas, a altura do pé-direito em casas, os balcões em lojas 
e muitas mobílias produzidas têm como base a estatura média dos adultos. 
 
Uma técnica utilizada para obtenção da média, de modo que valores discrepantes não 
afetem o valor final é descartarmos os valores maior e menor. Isto é facilmente 
observado em provas esportivas ou na apuração do vencedor das escolas de samba. 
Observem que, para obtenção da nota média, o maior e o menor valor são 
descartados, de tal forma que uma nota muito fora do padrão não vai afetar 
drasticamente a média obtida. 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
AULA 3: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
No capítulo anterior mostrou-se a utilidade das tabelas como instrumento de 
apresentação e análise de dados estatísticos. A apresentação gráfica é um 
complemento importante da apresentação tabular. Uma das maneiras mais concisas 
de se apresentar os dados estatísticos de uma tabela é através de gráficos. A principal 
vantagem de um gráfico sobre uma tabela é que ele permite conseguir uma 
visualização imediata da distribuição dos valores observados. Os gráficos propiciam 
uma ideia preliminar mais satisfatória da concentração e dispersão de valores, uma 
vez que através deles, os dados estatísticos se apresentam em termos de grandezas 
visualmente interpretáveis. Além disso, os fatos essenciais e as relações que 
poderiam ser difíceis de reconhecer em massas de dados estatísticos podem ser 
observados mais claramente através dos gráficos. Entretanto, é preciso ter cuidado, 
pois até mesmo os gráficos mais simples podem ser usados para sutilmente enganar 
e confundir. Como exemplo, vejamos os lucros obtidos por uma empresa no último 
semestre do ano passado. 
 
 
 
 
 
Agora, vamos construir dois gráficos para essa situação. 
 
 
Esses gráficos são baseados nas mesmas informações, mas por que parecem 
diferentes? No gráfico da esquerda, parece que o lucro da empresa foi praticamente 
o mesmo a cada mês. Já no gráfico da direita o lucro da empresa parece que cresceu 
muito de julho para dezembro. O que está acontecendo? Eles apresentam versões 
drasticamente diferentes das mesmas informações. Observemos com atenção como 
os eixos verticais são diferentes em cada gráfico. No gráfico da esquerda observa-se 
que o lucro é quase constante. Isso é obtido com o eixo vertical começando em zero, 
escolhendo-se uma escala de 0,5 em 0,5 e, em seguida, marcando-se o lucro para 
cada mês em função disso. No gráfico da direita, o eixo vertical começa em 2,0 e foi 
escolhida uma escala de 0,1 em 0,1. À primeira vista, os lucros parecem estar 
aumentando drasticamente a cada mês. Só quando se observa mais de perto é que 
se consegue ver o que está realmente acontecendo. Portanto, aí está o papel 
importantíssimo da ESCALA. 
 
3.1 - DIFERENTES TIPOS DE REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE DADOS 
ESTATÍSTICOS 
 
A distribuição de frequências, tanto de variáveis discretas como de variáveis 
contínuas, pode ser interpretada mais facilmente quando os valores dessas variáveis 
são apresentados em forma de gráficos. A estatística utiliza vários tipos de gráficos: 
 
 
de barras, de colunas, de linhas, de setores ou pizza, histogramas e polígonos de 
frequência. Mas, por que nos preocuparmos com os gráficos? Os softwares gráficos 
resolvem tudo rapidamente e geram gráficos eficientes... Na verdade, os softwares 
gráficos não podem pensar por nós! Softwares podem traduzir dados em gráficos mas 
não podem garantir que o gráfico esteja correto e nem que esteja transmitindo a 
mensagem desejada (basta lembrarmos do exemplo acima sobre o lucro da 
empresa!). 
 
GRÁFICO DE COLUNAS SIMPLES 
Um gráfico de colunas é uma representação que serve para retratar os dados 
qualitativos ou quantitativos discretos que foram sintetizados em uma distribuição de 
frequências absolutas, frequências relativas ou frequências relativas percentuais. No 
eixo horizontal do gráfico são especificadas as categorias. A escala de frequências é 
colocada no eixo vertical. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, são apresentados o número de pacotes de férias vendidos 
por uma operadora de turismo para alguns dos principais destinos em julho do ano 
passado. 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios, não existindo nenhuma 
conexão com a realidade. O gráfico em questão foi criado com o objetivo pedagógico 
de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico pode ser utilizado. 
Representando-se, graficamente, com colunas simples a situação descrita acima, 
têm-se: 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE BARRAS SIMPLES 
Um gráfico de barras simples serve para retratar o mesmo tipo de variável que o 
gráfico de colunas simples, ou seja, variáveis qualitativas ou quantitativas discretas. A 
diferença entre o gráfico de colunas e de barras é que no eixo vertical do gráfico de 
barras são especificadas as categorias e a escala de frequências é colocada no eixo 
horizontal. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo é apresentada a classificação (em porcentagem) das 
entidades sem fins lucrativos (ONGs) por setor de atividade existentes no Brasil no 
ano passado. 
 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios, não existindo nenhuma 
conexão com a realidade. O gráfico em questão foi criado com o objetivo pedagógico 
de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico pode ser utilizado. 
Representando-se, graficamente, com barras simples, a situação descrita acima, têm-
se: 
 
 
 
GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS 
É a representação gráfica em que os retângulos referentes a determinado dado são 
dispostos um ao lado do outro, evidenciando suas diferenças, para facilitar a 
comparação entre eles. Serve para retratar os dados qualitativos ou quantitativos 
discretos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo está indicada a formação em cursos superiores por área 
de conhecimento no Brasil e na Coréia do Sul no ano passado (em porcentagem). 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios, não existindo nenhuma 
conexão com a realidade. O gráfico em questão foi criado com o objetivo pedagógico 
de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico pode ser utilizado. 
Representando-se, graficamente, com colunas duplas, a situação descrita acima, têm-
se: 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE LINHA 
É uma aplicação do processo de representação das funções num sistema decoordenadas cartesianas. Neste tipo de gráfico se utiliza uma linha poligonal para 
representar a série estatística. É útil para se visualizar a variação de uma grandeza 
em relação à outra. Este gráfico serve para retratar dados quantitativos. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo, está indicada a Produção de Soja no Brasil (em milhões 
de toneladas) de 2000 a 2014. 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios. O gráfico em questão foi criado 
com o objetivo pedagógico de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico 
pode ser utilizado. Determinados, graficamente, todos os pontos da série usando os 
 
 
pares ordenados, o ano no eixo horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-se 
esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que gera uma linha poligonal, que 
é o gráfico em linha correspondente à série em estudo. 
 
 
 
GRÁFICO DE LINHAS MÚLTIPLAS 
É uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de 
coordenadas cartesianas. Neste tipo de gráfico se utiliza linhas poligonais para 
representar as séries estatísticas. É útil para comparar a variação de uma grandeza 
em relação à outra. Este gráfico serve para retratar dados quantitativos. Exemplo: Na 
tabela abaixo, estão indicadas as variáveis Oferta e Demanda de Etanol no Brasil (em 
milhões de litros) de 2000 a 2014. 
 
 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios. O gráfico em questão foi criado 
com o objetivo pedagógico de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico 
pode ser utilizado. Determinados, graficamente, todos os pontos das séries usando 
os pares ordenados, o ano no eixo horizontal e as quantidades no eixo vertical, ligam-
se esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, para cada uma das variáveis, 
gerando, nesse caso, duas linhas poligonais (podem ser múltiplas), que é o gráfico 
em linhas correspondente às séries em estudo. 
 
 
HISTOGRAMAS 
Representação gráfica da distribuição de frequências somente de variável contínua. 
Os dados agrupados em intervalos de classe podem ser representados graficamente 
por meio de um histograma. O histograma é uma representação gráfica formada por 
retângulos justapostos, cujas bases se apoiam no eixo horizontal. A altura de cada 
retângulo deve ser proporcional à frequência correspondente a cada classe e o ponto 
médio da base de cada retângulo deve coincidir com o ponto médio do respectivo 
intervalo de classe. 
 
Exemplo: Na tabela abaixo estão indicados os valores arrecadados de IPTU (em reais) 
em um município brasileiro de acordo com o número de propriedades que o pagam 
anualmente. 
 
 
 
 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios. O gráfico em questão foi criado 
com o objetivo pedagógico de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico 
pode ser utilizado. Representando-se, graficamente, por meio de um histograma, a 
variável quantitativa contínua Arrecadação Anual do IPTU (em reais) em um município 
brasileiro, têm-se: 
 
 
GRÁFICO DE SETORES 
O gráfico de setores ou pizza é um dispositivo gráfico comumente usado para 
apresentar as distribuições de frequência relativa. Sua construção é feita com base 
em um círculo que é dividido em setores com áreas proporcionais às frequências das 
diversas categorias. Este gráfico serve para retratar, principalmente, dados 
qualitativos. 
 
 
Exemplo: Um informativo financeiro relatou que, no último ano, pessoas investiram 
em fundos coletivos no Brasil, segundo a distribuição de frequências relativas abaixo: 
 
Importante: Os dados aqui apresentados são fictícios. O gráfico em questão foi criado 
com o objetivo pedagógico de oferecer um melhor entendimento de como um gráfico 
pode ser utilizado. Para que o ângulo correspondente a cada setor seja determinado, 
utiliza-se regra de três simples: 
 
Determina-se, analogamente, os ângulos dos outros setores. Representando-se, 
graficamente, com um gráfico de setores, a situação descrita acima, têm-se: 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
AULA 2: ORGANIZAÇÃO DE DADOS 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
2.1 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Uma distribuição de frequência é um sumário tabular de dados que mostra a 
frequência (ou o número) de observações em cada uma das diversas classes não 
sobrepostas. O objetivo da distribuição de frequências é reduzir a quantidade de 
dados: 
• Frequência Absoluta (fi)  número de vezes em que cada resultado aparece 
no conjunto de dados. 
• Total de observações (n)  a soma das frequências absolutas. 
• Frequência Relativa (ou proporção) (fri)  proporção de cada realização em 
relação ao total. É mais usual exprimir a frequência relativa em porcentagem 
(frequência relativa percentual). 
 
A frequência absoluta não é comparativa, pois um mesmo valor pode apresentar 
diferentes significados dependendo do número total de observações. 
 
 
 
Exemplo 1: para a variável qualitativa grau de escolaridade: Na empresa ALFA, 
metade dos funcionários, ou seja, 20 funcionários, possuem o 1o grau. Na empresa 
BETA, a totalidade de seus 20 funcionários tem o 1o grau. Apesar de a frequência 
absoluta ser a mesma nas duas empresas, o significado desse número é bem 
diferente. Para tornar os dados comparativos utiliza-se a proporção (frequência 
relativa) ou a frequência relativa percentual. 
 
Exemplos 
Tabela 2 – Frequência absoluta e frequência relativa percentual de 36 funcionários do 
departamento de recursos humanos da empresa GAMA, segundo o grau de 
escolaridade. 
 
Tabela 3 – Frequência absoluta e frequência relativa percentual dos 2000 funcionários 
da empresa GAMA, segundo o grau de escolaridade. 
 
Não podemos comparar diretamente as colunas das frequências absolutas das 
tabelas 2 e 3, pois os totais de empregados são diferentes nos dois casos. Mas, as 
colunas de porcentagens são comparáveis, pois reduzimos as frequências a um 
mesmo total (no caso 100). 
 
Além das frequências absoluta e relativa pode-se tabular a frequência acumulada: 
• Frequência acumulada (Fac)  soma da frequência absoluta de um elemento 
com as frequências absolutas dos elementos que o sucedem (até o total n). 
 
 
• Frequência acumulada relativa (FRi)  soma da frequência relativa percentual 
de um elemento com as frequências relativas percentuais dos elementos que 
o sucedem (até o total 100%). 
 
Exemplo: 
Tabela 4 – Frequência absoluta, frequência relativa percentual, frequência acumulada 
e frequência acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos 
humanos da empresa GAMA, segundo a variável qualitativa Grau de Escolaridade. 
 
 
Análise de alguns valores da distribuição de frequências apresentados na Tabela 4: 
• 12 funcionários não possuem 2o e 3o graus; 
• 50,00% dos funcionários possuem 2o grau; 
• 16,67% dos funcionários possuem 3o grau; 
• 30 funcionários possuem até 2o grau; 
• 33,33% dos funcionários possuem somente o 1o grau; 
• 83,33% dos funcionários não possuem 3o grau. 
 
 
2.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS – VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
Um conjunto de dados, frequentemente, é difícil de interpretar diretamente na forma 
em que é reunido. Para sintetizar dados,utiliza-se a distribuição de frequências. No 
caso das variáveis quantitativas discretas, a representação em tabelas é muito útil, 
pois fornece meios de organizar e resumir os dados de modo que padrões sejam 
revelados e os dados sejam mais facilmente interpretados. Observe na Tabela 5, 
abaixo, na qual além de outras informações, é apresentada a variável quantitativa 
discreta Número de Filhos de 36 funcionários do departamento de recursos humanos 
da empresa GAMA. 
 
 
 
Tabela 5 – Informações sobre estado civil, grau de escolaridade, no de filhos, salário, 
idade e procedência de 36 funcionários do departamento de recursos humanos da 
empresa GAMA, localizada na cidade de São Paulo. 
 
 
Para agrupar os dados da variável quantitativa discreta Número de Filhos basta 
proceder à contagem para cada um dos valores diferentes da variável em estudo e 
construir a tabela de distribuição de frequências. 
 
 
 
Tabela 6 – Frequência absoluta, frequência relativa percentual, frequência acumulada 
e frequência acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos 
humanos da empresa GAMA, segundo a variável quantitativa discreta Número de 
Filhos 
 
 
2.3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS – VARIÁVEL CONTÍNUA (COM 
INTERVALOS DE CLASSE) 
 
Um dos objetivos de se construir a distribuição de frequências é resumir o conjunto de 
dados. No caso de variáveis contínuas, não se pode construir a distribuição de 
frequências listando os resultados um a um, pois não havendo observações iguais, 
não há redução dos dados em uma tabela. Desta forma, é interessante agrupar os 
resultados em classes não sobrepostas, calculadas de forma mais elaborada. Para 
agrupar os dados de uma variável contínua em classes, é necessário adotar classes 
de mesma amplitude, sempre que possível, e: 
1. Determinar a extensão (amplitude) total dos dados a tabelar; 
2. Determinar o número de classes não sobrepostas; 
3. Determinar a extensão (amplitude) de cada classe; 
4. Determinar os limites de classe. 
 
• Amplitude total de uma sequência (At)  diferença entre o maior e o menor 
elemento de uma sequência. Representa o comprimento total da sequência. At 
= xmax − xmin 
• Número de Classes (k)  existem vários critérios para se calcular o número de 
classes k. O mais utilizado é a fórmula empírica: 𝑘 = √𝑛, onde n é o número 
de elementos observados. 
 
 
• Amplitude de classe ou Intervalo de classe (h)  é determinado por: ℎ =
𝐴𝑡
𝑘
. 
 
Neste ponto é importante observar que o número de classes deve ser determinado 
adequadamente. Quando se adota um grande número de classes não há redução dos 
dados, enquanto que para um número pequeno de classes as informações podem ser 
perdidas. Sugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma amplitude. 
 
Exemplo: A partir da Tabela 5, computando as frequências absolutas de cada classe 
para a variável quantitativa contínua salários, é possível construir a tabela de 
frequências. Pode-se observar que estão tabelados 36 salários que vão de 4,00 até 
21,90 salários mínimos. Portanto, calcula-se: 
 
Tabela 7 – Frequência absoluta, frequência relativa percentual, frequência acumulada 
e frequência acumulada percentual dos 36 funcionários do departamento de recursos 
humanos da empresa GAMA, segundo a variável quantitativa contínua Salário. 
 
 
 
 
Análise de alguns valores da distribuição de frequências apresentados na Tabela 7: 
• 11 funcionários recebem salários entre 7,00 e 10,00 s.m. 
• 16,67% dos funcionários, o que equivale a 6 funcionários, recebem salários 
entre 10,00 e 13,00 s.m. 
 
 
• 5,55% dos funcionários, o que equivale a 2 funcionários apenas, recebem os 
maiores salários, que situam-se entre 19,00 e 22,00 s.m. 
• 11,11% dos funcionários recebem salários entre 16,00 e 19,00 s.m. 
• 30 funcionários recebem menos que 16,00 s.m. ou salários entre 4,00 e 16,00 
s.m. 
• 6 funcionários recebem pelo menos 16,00 s.m. 
• 66,67% dos funcionários recebem menos que 13,00 s.m. 
• 33,33% dos funcionários recebem pelo menos 13,00 s.m 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
UNIDADE 1 – CONCEITOS 
 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Estatística é a ciência que fornece métodos e processos quantitativos para 
planejamento, coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados. 
Dados são fatos ou números com base nos quais podemos tirar conclusões. 
 
A estatística realmente se constitui em usar o método científico para responder 
questões feitas pelo mundo cotidiano, científico, empresarial. Os métodos estatísticos 
estão envolvidos em todos os passos de um bom estudo, desde o planejamento da 
pesquisa, na coleta de dados, na organização e no resumo da informação para se 
fazer uma análise até sua conclusão, na discussão das limitações e, finalmente, no 
 
 
planejamento de novos estudos para responder às novas perguntas que surgiram. A 
estatística é muito mais do que números, ela é um processo. 
 
Particularmente em administração, economia e ciências contábeis, uma grande 
razão para entender estatística é dar aos tomadores de decisão um melhor 
entendimento/controle do ambiente administrativo, possibilitando decisões objetivas, 
previsões precisas e transmissão da mensagem desejada de forma eficaz. 
 
Essencialmente, toda área de pesquisa científica séria pode beneficiar-se da 
análise estatística. Decisões em relação à taxa de juros, programas sociais, gastos 
com defesa e segurança, podem ser feitos com inteligência somente com a ajuda da 
análise estatística. Profissionais da área de negócios, em sua busca eterna por lucros, 
acham a estatística essencial em seus processos de tomada de decisões. Esforços 
em controle de qualidade, minimização de custos, produção e estoque, e outros tantos 
assuntos ligados aos negócios, podem ser administrados eficientemente usando 
procedimentos estatísticos já comprovados. Para aqueles que atuam em pesquisa de 
mercado, a estatística é de uma utilidade inestimável para determinar se um novo 
produto será um sucesso. A Estatística também é muito útil na avaliação de 
oportunidades de investimento para consultores financeiros. Mesmo a pesquisa 
médica, para verificar a eficiência de uma nova droga, encontra na estatística uma 
ótima aliada. 
 
 
1.1 PARTE DA NOMENCLATURA UTILIZADA EM ESTATÍSTICA 
 
 Todo ramo da pesquisa científica tem seu vocabulário próprio. Estatística não 
é exceção. Assim, vamos a ele: 
 
• População é o conjunto de todos os elementos sob investigação em 
determinado estudo. 
 
 Exemplos: Se a renda de todos os assalariados brasileiros for 
interessante para o estudo de um economista que está ajudando o 
Congresso Nacional a formular um plano nacional de impostos, então, as 
 
 
rendas de todos os assalariados brasileiros constituem a população. Se o 
proprietário de uma indústria fabricante de pasta de dente estiver 
interessado na porcentagem exata de tubos que são enchidos de acordo 
com as especificações, então, todos os tubos de pasta de dente 
constituem a população. 
 
 Censo é um estudo ou pesquisa que envolve a população inteira e, por 
isso, no caso do economista, ele está conduzindo um censoda população 
de assalariados brasileiros; o proprietário da indústria de pastas de dente 
está conduzindo um censo da sua população de tubos de pasta de dente. 
Outro exemplo muito conhecido é o censo demográfico da população 
brasileira realizado pelo IBGE a cada 10 anos. 
 
 
• Amostra é uma parte da população que é selecionada para estudo. Num dos 
exemplos acima, o economista quer descobrir a renda média dos assalariados 
brasileiros, mas, não tem tempo nem recursos suficientes para coletar esses 
dados. Assim, ele seleciona um pequeno número de indivíduos da população, 
estuda a renda desses indivíduos e utiliza essa informação para chegar a 
conclusões sobre toda a população. Essa pequena parte da população mais 
fácil de trabalhar é chamada amostra. Entretanto, uma amostra deve 
representar efetivamente a população. 
 
• Uma estatística é qualquer medida que descreve a amostra. A renda média dos 
assalariados brasileiros, por exemplo, é uma estatística. A porcentagem de 
tubos de pasta de dente da indústria é, também, uma estatística. 
 
• Variável é a característica da população que está sendo analisada no estudo 
estatístico. 
 
• Dados estatísticos são fatos ou números que são coletados, organizados em 
tabelas e/ou gráficos, analisados e interpretados tornando-se informações. 
 
 
 
 Aqui cabe um parêntesis: Dados se referem a fatos e números 
puros que foram coletados, o que é diferente de informação. 
Informações são dados que possuem algum tipo de significado 
adicional. Como exemplo, tome os números 5, 6 e 7. Sozinhos, eles 
são simplesmente números. Não se sabe o que significam ou 
representam. Eles são dados. Se associarmos a esses números a 
idade de três crianças, passamos a ter informação, pois os números 
5, 6 e 7 anos passam a ter um significado. 
 
• Dados brutos são uma sequência de dados estatísticos não organizados, 
obtidos diretamente da observação de um fenômeno. 
 
• Rol é a sequência ordenada de dados brutos. 
 
 
1.2 A IMPORTÂNCIA DA AMOSTRA 
 
 Como mencionado anteriormente, muito do trabalho do estatístico é feito com 
amostras. Amostras são necessárias, pois frequentemente a população é 
demasiadamente grande para ser estudada. Isso levaria muito tempo e também seria 
muito caro, então, devemos escolher uma amostra da população, calcular a estatística 
da amostra e usá-la para estimar o valor correspondente para a população. 
 
 Essa análise da amostra determina dois ramos distintos da Estatística: a 
estatística descritiva e a estatística inferencial. A Estatística Descritiva é o processo 
de coletar, organizar e apresentar os dados de maneira que seja rápido e fácil 
interpretá-los. A Estatística Inferencial utiliza-se de uma amostra para tirar alguma 
conclusão sobre a população da qual a amostra foi selecionada. 
 
 A exatidão de qualquer estimativa é de extrema importância. Ela depende, em 
grande parte, da maneira com que a amostra foi escolhida e quão cuidadosa foi essa 
escolha para se certificar que essa amostra é um retrato fiel da população. 
 
 
 
 Contudo, não é raro que a amostra não represente exatamente a população e 
que ocorra um erro amostral. Existe pelo menos duas possíveis causas para esse 
erro. A primeira fonte de erro amostral nasce do processo de escolha da amostra. 
Devido ao fator aleatório na seleção dos elementos da amostra é possível, sem 
conhecimento, escolher elementos que são atípicos e que, portanto, não representam 
a população. Para estimar a característica da população, é possível, por exemplo, 
escolher um elemento na amostra que está extremamente anormal, o que produzirá 
uma estimativa que não representa a população. Por outro lado, a aleatoriedade na 
escolha pode produzir um grande número de elementos da amostra que são valores 
extremamente baixos causando subestimação do parâmetro desejado. Nos dois 
casos houve um erro amostral. Uma amostra viciada é outro erro amostral porém mais 
grave. A amostra é considerada viciada quando para escolhê-la existiu uma tendência 
maior de selecionar certos tipos de elementos do que outros. Por exemplo, se o 
processo de amostragem favorecer a seleção de homens em detrimento das mulheres 
ou favorecer a escolha de pessoas casadas excluindo os solteiros. 
 
 
1.3 AS TAREFAS DA ESTATÍSTICA 
 
 Embora o primeiro passo em um estudo estatístico seja a coleta dos dados, é 
prática comum começar um curso de estatística supondo que os dados já foram 
coletados e estão à disposição. Assim, nosso trabalho começa organizando e 
apresentando esses dados de uma maneira significativa e descritiva. Os dados devem 
ser organizados de tal forma que com uma rápida olhada revelem a real informação 
contida neles. Este procedimento consiste da análise descritiva e será estudado nos 
próximos capítulos. Depois dos dados serem organizados e apresentados para serem 
examinados, o estatístico deve analisá-los e interpretá-los. Esses procedimentos 
fazem parte da inferência estatística e constituem grande vantagem da análise 
estatística na tomada de decisões e no processo da resolução de problemas. 
 
 Pela aplicação precisa de um procedimento estatístico é até possível realizar 
previsões com algum grau de exatidão. Qualquer empreendimento que encare a 
pressão da competição pode tirar vantagem da habilidade de antecipar futuras 
situações antes que essas aconteçam. Se uma empresa sabe qual o valor de suas 
 
 
vendas num futuro próximo, administradores podem direcionar precisamente e com 
maior eficiência os planos operacionais. Se as vendas futuras são estimadas com 
exatidão e confiabilidade, administradores podem, facilmente, tomar importantes 
decisões relativas aos estoques, materiais para a produção, atender requisições dos 
funcionários ou resolver qualquer outro aspecto do gerenciamento operacional. 
 
 
1.4 VARIÁVEIS 
 
A análise estatística apropriada de uma determinada variável depende de sua 
natureza. É importante conhecer a natureza da variável, pois para cada tipo de 
variável, há uma técnica mais apropriada para se resumir as informações e otimizar a 
análise. As variáveis são classificadas como Variáveis Qualitativas e Variáveis 
Quantitativas. 
 
• Variáveis Qualitativas: apresentam características de um elemento, podendo 
ser não-numéricos ou numéricos sem significado específico. 
 
Exemplos: sexo (masculino, feminino), estado civil (solteiro, casado, 
divorciado, separado judicialmente, viúvo), grau de escolaridade (fundamental, 
médio, superior, pós-graduação, etc). Essas características podem ser, 
também, representadas por números que não tem significado numérico ("1" 
indica sexo feminino e "2" indica sexo masculino). As variáveis qualitativas são 
sub-divididas em: nominais  variáveis sem ordenação (estado civil: solteiro, 
casado, divorciado, separado judicialmente, viúvo) e ordinais  variáveis que 
devem respeitar ordem estabelecida (grau de escolaridade: fundamental, 
médio, superior, pós-graduação, etc). 
 
• Variáveis Quantitativas: apresentam números resultantes de contagem ou de 
medida. 
 
Exemplos: número de filhos, salário de trabalhadores, idade, etc. As variáveis 
quantitativas podem ser: discretas  quando os valores são provenientes de 
 
 
uma contagem, portanto, seus valores são expressos por números inteiros 
(número de filhos, número de funcionários de uma empresa, número de 
defeitos em um veículo produzido, número de livros em uma biblioteca, etc) e 
contínuas  quando os valores são provenientes de uma medida, portanto, 
essa variável pode assumir qualquer valor em determinado intervalo, ou seja, 
números inteiros e decimais (peso, altura, temperatura, idade, custos, lucros, 
etc). 
 
 
 Referindo-se ao conjunto de dados na Tabela 1, abaixo, como mais um 
exemplo, os dados relativos à variável Bolsa de Valores (NYSE, AMEX e OTC) são 
rótulos usados para identificar onde as ações são comercializadas.Assim, os dados 
são qualitativos e a Bolsa de Valores é uma variável qualitativa. O Símbolo no Painel 
Eletrônico é também uma variável qualitativa e os valores de dados AWRD, CHK, 
CRG, etc. são os rótulos usados para identificar a empresa correspondente. A variável 
Número de Negócios Realizados Anualmente é uma variável quantitativa discreta, 
pois essa variável só pode assumir valores inteiros. As variáveis Vendas Anuais, 
Preço da Ação e Relação Preço/Ganhos são variáveis quantitativas contínuas já 
que podem assumir qualquer valor num determinado intervalo de valores. 
 
 Para propósitos de análise estatística, a diferença importante e relevante entre 
dados qualitativos e quantitativos é que as operações aritméticas comuns só têm 
significado com dados quantitativos. Por exemplo, com dados quantitativos, os valores 
de dados podem ser adicionados e divididos pelo número total de dados para calcular 
seu valor médio. Essa média tem significado e, em geral, é facilmente interpretada. 
No entanto, quando dados qualitativos são registrados como valores numéricos, tais 
operações aritméticas fornecem resultados sem nenhum significado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 – Conjunto de dados contendo informações financeiras referentes a 25 empresas. 
Empresa 
Bolsa 
de 
Valores 
Símbolo 
do Painel 
Eletrônico 
No de Negócios 
Realizados 
Anualmente 
Vendas 
Anuais 
(US$ milhões) 
Preço 
da Ação 
(US$) 
Relação 
Preço/Ganhos 
Award Software OTC AWRD 63.334 15,7 11,500 22,5 
Chesapeak Energy NYSE CHK 1.123.401 255,3 7,880 12,7 
Craig Corporation NYSE CRG 121.237 29,4 17,000 7,5 
Edisto Resources AMEX EDT 1.115.678 254,6 9,688 6,0 
Franklin Elect. Pbls NYSE FEP 378.990 88,7 12,880 15,7 
Gentia Software OTC GNTIY 118.365 27,7 5,750 27,4 
Giant Group NYSE GPO 30.002 7,2 6,563 2,1 
Hot Topic OTC HOTT 200.458 48,3 15,750 27,2 
Hudson General AMEX HGC 123.877 30,2 39,750 11,2 
ICU Medical OTC ICUI 115.432 26,5 8,500 15,7 
Jackpot Enterprises NYSE J 499.456 90,6 10,875 17,0 
Kentek Information OTC KNTK 246.367 60,5 9,500 11,4 
Larscom, Inc. OTC LARS 310.998 71,1 10,313 24,6 
Lumisys, Inc. OTC LUMI 109.211 23,7 7,375 14,2 
Maynard Oil OTC MOIL 147.954 38,2 10,750 4,8 
Mechanical 
Dynamics 
OTC MDII 
114.981 26,0 6,688 17,1 
Metrika Systems AMEX MKA 261.934 67,2 15,250 15,7 
National Home 
Health 
OTC NHHC 
130.870 34,9 5,130 7,7 
National Tech 
Team 
OTC TEAM 
345.698 78,1 10,875 32,0 
OrCad OTC OCAD 85.384 21,9 11,375 18,3 
OroAmerica OTC OROA 689.004 164,8 5,125 16,0 
Overland Data OTC OVRL 256.156 66,5 7,000 13,5 
PIA Merchandising OTC PIAM 545.890 123,1 7,500 28,8 
Plenum Publishing OTC PLEN 229.786 52,5 44,000 10,7 
Premier Research OTC PRWW 64.489 16,5 8,250 28,4 
Fonte: Stock Investor Pro, American Association of Individual Investors. 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
AULA 10: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: 
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à 
Administração e Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007. 
2. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 5.ed. 
São Paulo: Saraiva, 2002. 
3. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 2.ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
4. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 
1995. 
5. MEDEIROS, E. S. et al. Estatística para os Cursos de Economia, Administração 
e Ciências Contábeis. vol. 1 e 2. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: 
Harbra, 2001. 
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
 
Exemplo: Suponha que um analista toma uma amostra aleatória de 10 carregamentos 
por caminhão feitos por uma companhia e anota a distância em quilômetros e o tempo 
de entrega em dias (arredondado para o meio dia mais próximo), conforme a tabela 
abaixo. 
 
 
 
 
Uma boa maneira de determinar se há relação entre a distância rodoviária percorrida 
e o tempo de entrega do carregamento é traçar um gráfico. É interessante plotar um 
diagrama, no qual cada ponto plotado representa um par observado de valores para 
as variáveis dependente e independente. O valor da variável independente, x, no caso 
a distância rodoviária, é plotado no eixo horizontal, enquanto o valor da variável 
dependente, y, no caso o tempo de entrega, é plotado no eixo vertical. Para cada 
observação será marcado um ponto. Este tipo de gráfico é chamado diagrama de 
dispersão (ver figura abaixo). 
 
 
Pelo diagrama acima, parece que os pontos seguem uma relação linear. Assim, é 
apropriado ao caso, a análise de regressão linear 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
É a medida que descreve o grau da associação linear entre duas variáveis aleatórias 
contínuas, por exemplo, x e y. Para avaliar o coeficiente de correlação linear entre 
duas variáveis, ou seja, medir o grau de ajuste dos valores em torno de uma reta, é 
utilizado o coeficiente de correlação de Pearson. Este coeficiente de correlação é dado 
por: 
 
𝑟𝑥,𝑦 = √
𝑛 ∗ ∑𝑥𝑦 − ∑𝑥 ∗ ∑𝑦
[𝑛 ∗ ∑𝑥2 − (∑𝑥)2] ∗ [𝑛 ∗ ∑𝑦2 − (∑𝑦)2]
 
Onde n é o número de observações e x e y são as variáveis de estudo. 
 
 
 
Os valores do coeficiente de correlação r estão sempre entre –1 e +1. Um valor +1 
indica que as duas variáveis x e y estão perfeitamente relacionadas de forma linear 
positiva. Isto é, todos os pontos dados estão numa linha reta que tem inclinação 
positiva (função linear crescente). Um valor -1 indica que as duas variáveis x e y estão 
perfeitamente relacionadas de forma linear negativa. Isto é, todos os pontos dados 
estão numa linha reta que tem inclinação negativa (função linear decrescente). 
Valores do coeficiente de correlação próximos a zero indicam que x e y não estão 
linearmente relacionados. 
 
Estas afirmações podem ser observadas abaixo, pelas configurações dos diagramas de 
dispersão para diferentes valores de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determinando o coeficiente de correlação linear de Pearson para os dados 
apresentados na tabela. 
 
 
 
 
 
Para avaliarmos o coeficiente de correlação: 
- entre 0,6 e 1,0: correlação forte 
- entre 0,3 e 0,6: correlação fraca 
- entre 0 e 0,3: não há correlação 
 
No exemplo dado temos uma correlação positiva (o valor é positivo) forte. 
 
AJUSTE DE UMA RETA - MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
Estabelecido o modelo y = a.x + b, é necessário calcular-se os valores de a e b de 
forma que a reta passe, tão próxima quanto possível, dos pontos assinalados no 
diagrama de dispersão. Isto é, deseja-se minimizar a discrepância total entre os 
pontos marcados e a reta, cujos coeficientes, a e b, serão determinados. O melhor 
método para a determinação dos parâmetros a e b é o Método dos Mínimos 
Quadrados. Segundo esse método, é possível calcular os parâmetros a e b pela 
aplicação das seguintes fórmulas: 
 
�̂� = 𝑎 ∗ 𝑥 + 𝑏 
 
𝑎 =
𝑛 ∗ ∑𝑥𝑦 − ∑𝑥 ∗ ∑𝑦
𝑛 ∗ ∑𝑥2 − (∑𝑥)2
 
 
𝑏 = �̅� − 𝑎 ∗ �̅� 
 
 
 
Exemplo: Determinando a equação de regressão de mínimos quadrados para os dados 
apresentados na tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, y = a.x +b  y = 0,0036.x + 0,12 é a reta ajustada, que está traçada no 
diagrama de dispersão do Exemplo 1, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Usando a equação de regressão desenvolvida acima, pode-se estimar o tempo de 
entrega de um carregamento para qualquer distância, desde que as viagens não 
ultrapassem 1.350 km, que é a distância máxima para a qual essa equação de 
regressão foi estimada. Para a distância de 1.000 km, por exemplo, o cálculo é o 
seguinte: 
 
 
 
y = 0,0036.x + 0,12 = 0,0036.1000+ 0,12 = 3,72 dias 
 
Logo, o tempo de entrega para um carregamento pela distância rodoviária de 1.000 
km é igual a 3,72 dias.