livro-620

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- **Explicação:** Use a propriedade das integrais definidas e a fórmula para integrais do 
tipo \(\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \, dx\). 
 
86. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}\) converge absolutamente, 
condicionalmente ou diverge. 
 - **Resposta:** Converge condicionalmente 
 - **Explicação:** Use o critério de Dirichlet para séries. 
 
87. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas \(y = 
\ln x\), \(y = 0\), \(x = 1\), e \(x = e\) em torno do eixo \(y\). 
 - **Resposta:** \(2\pi\) 
 - **Explicação:** Use o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
88. Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx\). 
 - **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 - **Explicação:** Use a propriedade da função seno integrando. 
 
89. Determine a série de Maclaurin para \(f(x) = \sin^2 x\) até o termo de quarta ordem. 
 - **Resposta:** \(f(x) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)\) 
 - **Explicação:** Use a série de Maclaurin para \( \sin x\), e então eleve ao quadrado. 
 
90. Resolva a equação diferencial \(y'' + 4y = \tan 2x\). 
 - **Resposta:** \(y(x) = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x| + C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\) 
 - **Explicação:** Encontre a solução geral usando o método dos coeficientes a 
determinar. 
 
91. Calcule a soma da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}\). 
 - **Resposta:** \(\zeta(3)\) 
 - **Explicação:** Use a série de Fourier para a função \(x - x^2\) para encontrar a soma. 
 
92. Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\), \(y = 0\), \(x = 0\), e \(x = \ln 
2\). 
 - **Resposta:** \(2\) 
 - **Explicação:** Use a fórmula da área da região delimitada pelas curvas. 
 
93. Encontre o comprimento da curva \(y = \ln(\sin x)\) de \(x = 0\) a \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 - **Resposta:** \(\ln(\sqrt{2})\) 
 - **Explicação:** Use a fórmula do comprimento de arco para calcular o comprimento 
da curva. 
 
94. Determine o intervalo de convergência da série de potências \(\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(x-1)^n}{n 2^n}\). 
 - **Resposta:** \((0, 2)\) 
 - **Explicação:** Use o critério de convergência de séries de potências. 
 
95. Calcule a integral \(\int_{0}^{\pi} \ln(\sin x) \, dx\). 
 - **Resposta:** \(-\pi \ln 2\) 
 - **Explicação:** Use a propriedade das integrais definidas e a fórmula para integrais do 
tipo \(\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} f(\pi - 
 
 x) \, dx\). 
 
96. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}\) converge absolutamente, 
condicionalmente ou diverge. 
 - **Resposta:** Converge condicionalmente 
 - **Explicação:** Use o critério de Dirichlet para séries. 
 
97. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas \(y = 
\ln x\), \(y = 0\), \(x = 1\), e \(x = e\) em torno do eixo \(y\). 
 - **Resposta:** \(2\pi\) 
 - **Explicação:** Use o método dos discos cilíndricos para calcular o volume. 
 
98. Calcule a integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx\). 
 - **Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\) 
 - **Explicação:** Use a propriedade da função seno integrando.