Operações e Propriedades Matemáticas

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Matemática
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de mapas
MEnTAIS
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Operações 
MatemáticasAdição
potenciação
Subtração
multiplicação
divisão
5 x 8 = 40
fatores produto
Minueto DiferençaSubtraendo
Resultado
3 + 4 = 7
9 - 4 = 5
Parcelas
20
=
5
4
dividendo
divisor
quociente
Regra de Sinais
(+) + (+) = +
(-) + (-) = -
(+) + (-) = 
(+3) + (+4) = + 7 
(-3) + (-4) = - 7 
(-3) + (+4) = + 1 
Predomina o 
número com
maior valor
(+3) x (+4) = + 12 
Expoente par com parênteses 
Expoente ímpar com parênteses 
Quando não tiver parênteses 
(-3) x (-4) = +12 
(-3) x (+4) = - 12 
(+3) - (+4) = +3 - 4 = -1
(-3) - (-4) = -3 + 4 = +1
(+3) - (-4) = +3 + 4 = + 7 
(-2) = + 16, 
porque (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16
(-2) = - 8, 
porque (-2) x (-2) x (-2) = - 8
-2 = -4
-2 = -8
+3 = 9
+5 = +125
2
2
3
3
(+2) = + 4
porque (+2) x (+2) = +4
(+2) = + 32, 
porque (+2) x (+2) x (+2) x (+2) x (+2) = +32
4 
3 
2 
5 
Quando o sinal for negativo
muda o sinal do próximo número
Soma
Subtração
Multiplicação e Divisão
Positivo
(+) x (+) = +
(-) x ( -) = +
(-) x (+) = -
a potência é sempre positiva
a potência terá o mesmo sinal da base
conservamos o sinal da base independente
do expoente
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Números
Primos
Nº Composto
:-
:-
6 = 6 1 = 6
 6 2 = 3
 6 3 = 2
 6 6 = 1
:-
:-
:-
:-
Pode ser dividido por 
mais de 2 números
O número 1 
não é primo
Se tiver final
0,2,4,6,8, 
não será nº primo,
pois esses números
 são divisíveis por 2
Se o final for 
não é primo,
pois será 
divisivel por
Se não é primo,
é composto
Exemplo de
nº primo
Não existe outro divisor
para o número 5
Só é divisível
 por 
ou por 
ele mesmo
 5 1 = 5
 5 5 = 1
 =
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97...
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zero é múltiplo de 
todos os números0
Todo número inteiro
é múltiplo de si mesmo
1x0 = 0
2x0 = 0
3x0 = 0
1x1= 1
1x2 = 2
1x3 = 3
1x4 = 4
Exemplos
 de 
múltiplos
múltiplos
de 2 de 3
1 = 2
2 = 4
3 = 6
2 3x x
1= 3
2 = 6
3 = 9
Se os números x 
são múltiplos de y,
então a divisão
de x por y é exata
Ex: 6 é múltiplo de 3,
 logo 6:3 = 2, resto 0
números que resultam 
da multipl icação
de um número
ex: 21 e 70 são múltiplos de 7. 
21 + 70 = 91, que também é
múltiplo de 7.
Múltiplos
1º Propriedade:
2º Propriedade:
3º Propriedade:
4º propriedade
A soma ou subtração
de dois múltiplos de
um número x é igual a 
um número que também
 é múltiplo de x
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Escrever o Número na 
forma decomposta
logo 12.600 = 2 . 3 . 5 . 7
3 2 2
Ex: 12.600
12600
6300
3150
1575
525
175
35
7
1
2
2
2
3
3
5
5
7
cálculo de raízes
9604
2
2
2
7
7
7
7
7
7
retira da raiz e multiplica
Logo raiz quadrada
de 9604 é 98
2
2
2
.
.
.
.
2 7 7 = 98 . .
2
2
2
2
2
2
2 2
29604
4802
2401
343
49
7
1
2
2
7
7
7
7
1º Passo
Fatora o número 
dentro da raiz
2º Passo
Junta os números
conforme o expoente
da raiz para cortar
3º Passo
todos os divisores
com o mesmo expoente
 podem ser cortados
e retirados da raiz 
Quantos divisores tem 90?
90
45
15
5
1
2
3
3
5
90 = 2 . 3 . 5
2 . 3 . 2 = 12 divisores
90 possui 12 divisores
2 11
Quantidade de Divisores
A quantidade de divisores de um número inteiro 
positivo pode ser determinada pelo produto entre os 
expoentes dos fatores primos que correspondem a 
este número, quando acrescidos de uma unidade.
+1 +1 +1
Soma +1 a 
cada expoente
Fatoração
utilidades
A fatoração numérica corresponde à decomposição de um número em 
fatores primos, para isso é necessário obedecer a uma sequência. O 
número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna 
da direita será preenchida com os fatores primos.
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Fatoração
MDC MMC x MDC MMC
maximo divisor comum
fatora simultaneamente fatora simultaneamente 
minimo múltiplo comum
24
12
6
3
1
1
40
20
10
5
5
1
18
9
9
3
1
1
2
2
2
3
5
2
2
2
3
5
2
2
3
3
5
40
20
10
5
5
1
60
30
15
15
5
1
20
10
5
5
5
1
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
circula os
divisores
comuns
e multiplica
MDC ( 24;40) = 2.2.2
MDC (24;40) = 8
Multiplica tudo
MMC (18;20) = 2.2.3.3.5
MMC (18.20) = 180
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o 
máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem 
ser calculados simultaneamente através da 
decomposição em fatores primos.
Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais 
números é determinado pela multiplicação dos 
fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação 
dos números que os dividem ao mesmo tempo.
Multiplica apenas os 
divisores comuns!
Outro exemplo de MDC
Na fatoração de 40 e 60, 
podemos perceber que o 
número 2 foi capaz de dividir 
duas vezes o quociente 
da divisão e o número 5 uma vez.
Portanto o MDC de 40 e 60 é: 2 x 2 x 5 = 20 @mapasdaLoli
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Frações
1
48
437 9645
6 403 10
365
98
4 4876678
2
6
=
=
6
10
10 100
14 127 3
100
1000
100 100010
6
9
O inteiro foi dividido em 6 partes 
onde 1 delas foi pintada
O inteiro foi dividido em 4 partes 
onde 1 delas foi pintada
O inteiro foi dividido em 9 partes 
onde 6 delas foram pintadas
numerador
denominador
Indica quantas partes
 do inteiro foram utilizadas
Indica a quantidade máxima
de partes em que fora
dividido o inteiro e nunca
pode ser Zero
Relação entre frações e decimais Simplificação 
de Frações
Para transformação contrária 
( Decimal em Fração decimal)
colocamos no denominador tantos zeros quantos
forem os números à direita da vírgula no decimal
Para transformar uma fração( de denominador 10) em
um número decimal, escrevemos o numerador da fração
e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas
decimais à direita quanto forem os zeros do denominador
=
= =
= =
=
=
= ==
4,8
43,7 964, 53,65
0,098
0,04 4,87667,8
Para simplificar uma fração, se possível,
basta dividir o numerador e o denominador
por um mesmo número se eles não são
números primos entre si.
Divide 
por 2
Divide 
por 4
Divide 
por 2
Divide 
por 4
Adição e Subtração
Denominadores Iguais
Denominadores Diferentes
Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair
os numeradores e manter o denominador
Se os denominadores forem diferentes será necessário 
encontrar frações equivalentes (proporcionais) que
sejam escritas no mesmo denominador comum.
Usaremos o M.M.C
13
21 49 9-+ +
3
6 6
21 26 13214 49 9- -+ += = =
6 6 36 6 6
denominadores iguais mantem
Simplifica por 2
Simplifica por 2
2
2x5=10 4x3=12
- 2
15
4- = =3 15
10 - 12
35
5
MMC entre 3 e 5 é 15
agora divide o MMC entre os
denominadores e multiplica o
resultado pelo numerador
multiplica o resultado pelo numerador
passa os resultados
pa
ss
a 
o 
re
su
lta
do
 p
ar
a 
cim
a
e 
mu
ltip
lic
a 
pe
lo 
de
no
mi
na
do
r
15
/3
 = 
5 15
/5
 = 
3
pa
ss
a 
o 
re
su
lta
do
 p
ar
a 
cim
a
e 
mu
ltip
lic
a 
pe
lo 
de
no
mi
na
do
r
É o modo de expressar uma quantidade a partir 
de uma razão de dois números inteiros
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Multiplicação e Divisão Potenciação e Radiciação
Potenciação
Radiciação
Multiplicação
Divisão
Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si
e fazer o mesmo entre os denominadores, independente de serem
iguais ou não.
Para elevarmos uma fração à determinada potência, basta
aplicarmos a potênciano numerador e no denominador,
respeitando as regras dos sinais da potenciação.
Caso seja necessário aplicar um radical numa fração
basta entender que: 
A Raiz da fração é a fração das raízes.
Para Dividir as frações, basta multiplicar a primeira
fração pelo inverso da segunda fração
2 2
4
16
0,001
16
11
100
4
1
0,1
2
4
4
16
2 2 2 x 4 8
1
1
3
5 5
15
2
2
5
3 6
-
- -x
5 x 3
3
3
3
x
6 32 x 3
x =
= =
= =
=
= =
5 3
9
25 25
100
5
10
3
9
9
81
5 5
4
4
4
20 105 x 4
simplifica por 2
Invertemos
a 2� Fração
e multiplicamos normalExeplo 1
Exeplo 2
(
(
(
(
(
(
(
(
2
2
- +
2
2
2
2
=
=
=
= = = =
=
=
=
expoente par fora do parêntese Par fração sempre positiva
 conforme mapa mental
 das regras de sinais 
( (
Frações
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Regra de Três Simples
A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço idade, etc...
As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que 
uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.
Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações
em que ocorrem operações inversas, isto é, se dobrarmos uma grandeza,
a outra é reduzida à metade. São grandezas que quando uma aumenta a 
outra diminui e vice-versa.
Um automóvel percorre 300Km 25 litros com de combustível.
Caso o proprietário desse automóvel queira percorrer
, quantos litros de combustível serão gastos?120 Km
12 operários 6 semanas.constroem uma casa em
, nas mesmas condições, construíram8 operários
a mesma casa em quanto tempo?
Devemos pensar: Se diminuiu o número 
de funcionários, será que a velocidade 
da obra vai aumentar? É claro que não!
Se um lado diminui enquanto o outro 
aumenta, é inversamente proporcional 
e, portanto devemos multiplicar lado por lado
Exemplo:
Vamos começar pensando com a ideia que
se foram percorridos com 25 litros,300 Km
para percorrer serão usados menos litros120 Km 
Transformando em fração Transformando em fração
300 12
300 . x = 25 . 120
300x = 3000
x = 3000
x = 10 litros
= =25 6
12 . 6 = 8 . x
72 = 8x
x = 72
x = 9
8
120 8x x
Se 300 Km 
12 operários 
então 120 Km 8 operários 
Gastou 25 litros 6 semanas 
Gastou X litros x semanas 
Multiplica
cruzado
Multiplica
Reto
Multiplica
cruzado
300
Resposta
Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas Inversamente Proporcionais
Multiplica 
Cruzado
Multiplica 
Reto
Multiplicação Reta
a
=
c
b d
Exemplo:
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Regra de Três composta
A regra de três composta é ultilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do ‘‘x’’.
Identificando as relações quanto à coluna que contém o X:
Se, em carregam a areia, em , para8 horas, 20 caminhões 5 horas
carregar o mesmo volume, serão necessários caminhões. MAIS
Então se coloca o sinal de sobre a coluna Horas. +
Se são transportados por , serão transportados por160m 20 caminhões 125 m
MENOS caminhões. Sinal de para essa coluna.-
+ -
Em descarregam ,8 horas, 20 caminhões 160m de areia
em , quantos caminhões serão necessários5 horas
para descarregar ?125m
3
3
33
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Assim, basta montar a equação com a seguinte orientação:
Ficam no , acompanhando o valor da coluna do ,numerador X
o valor da coluna com sinal de , e da coluna com MAIOR +
sinal de , o valor, assim: - MENOR
8 20
Horas Caminhões Volume
160
1255 x
20 x 125 x 8 20.000
= = 25 
160 x 5 800
Numa fábrica de brinquedos, montam em .8 homens 20 carrinhos 5 dias
Quantos carrinhos serão montados por em ?4 homens 16 dias
Se, em montam-se , então, em montam-se5 dias 20 carrinhos 16 dias
 carrinhos. Sinal de +.MAIS
Montando a equação X = 
Logo, serão montados 32 carrinhos
Observe que se montam , então8 homens 20 carrinhos
 montam carrinhos.4 homens MENOS
Sinal de nessa coluna -
- +
8 20
Homens Carrinhos Dias
5
164 x
20 x 4 x 16 1.280
= = 32 
8 x 5 40
logo, serão necessários 25 caminhões
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Média
Média ponderada
 Moda Mediana
determinando a posição da mediana
A média aritmética é uma das formas de obter um valor
intermediário entre vários valores. É considerada uma
medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano
É o valor central dos dados estatísticos dispostos em ordem
crescente ou decrescente. Se o número de dados do rol 
for par, temos que a mediana é a média aritmética
dos dois valores centrais.
A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre 
com maior frequência. A moda pode não existir e também
não ser única.
O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9
O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 
Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10 
A maior frequencia é do número 6, portanto a moda é 6
A maior frequencia é dos números 6 e 8, então é bimodal
Como todos os dados têm a mesma frequência, não existe moda.
Caso o rol de dados seja muito grande, há uma maneira de 
localizar a posição exata da mediana nesse rol
(quando disposto em ordem crescente ou decrescente)
Nesse caso, já sabemos que a mediana será calculada 
pela média artmética dos dois termos centrais, logo:
Posição dos termos centrais = 
Se tivermos 90 elementos, a mediana será 
calculada pela média entre os termos de posição: 
 90 
e seu sucessor 
Posição = (n + 1)
Posição = (73 + 1) Posição = (74)
n
Posição = 37
Sendo n = número de elementos
Se tivermos 73 elementos, a mediana ocupará a posição:
2
2 2
2
2
Se a quantidade de elementos for ímpar
Se a quantidade de elementos for par
A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 é 5
A mediana de 15, 12, 10, 2 é 11
Soma os meios e 
divide por 2
terá a mediana
12 + 10
2
No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor
do conjunto por seu isto é, sua importância relativapeso,
Facilitando: Soma Todos os Dados e Dividi pelo número de dados
Exemplo:
Exemplo:
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de
Português com base nas seguintes notas bimestrais:
M = 
x + x+ ... + x 1 2 n 
a n
1º B = 6,0
2º B = 9,0
3º B = 7,0
4º B = 5,0
Soma todas 
as notas
Divide pelo
número de
disciplinas
M
M
=
=
a
a
6 + 9 + 7 + 5
4
Notas
número de
disciplinas
6,75
M = 
x . x + x . x+ ... + x . P 1 
2 1 
p p 2 n n 
n 
p 
P + P +... + P
Paulo teve as seguintes notas nas prova de Português no ano
de 2010: , nas quais os pesos das provas foram8,5 ; 7,0 ; 9,5 ; 9,0
, respectivamente. Para obter uma nota que 1, 2 , 3 , 4
representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos
a média aritmética ponderada (MP)
MP = 
MP = MP = 87 8,7 
10 
8,5.1 + 7,0.2+ 9,5.3 + 9,0.4 
1+2+3+4 
nota peso
peso
mediana
90 Elementos = logo será 45 e seu sucessor 
esse recurso permite o cálculo da POSIÇÃO da mediana e não de seu valor! !!
1 -
2 -
3 -
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Razão e
proporção
A entre Razão
duas grandezas é 
o quociente entre
elas.
E geral, dois números reais
usamos
para indicar a razão entre os 
números a e b, respectivamente
coma b e b = 0/
ou
a 
b
a = b__
a b e a 
b= __
a 
b
c 
d= __ __
Razão entre
a b está para , assim
como está para c d
é uma igualdade entre duas razões
dizemos que os números reais
formam uma proporção
não nulos
nesta ordem
com a seguinte igualdade
a b c d
Produto dos meios
Produto dos Extremos
 = 
c 
d
a 
b
e 
f
k== = ____ __
Grandezas Diretamente Proporcionais
Grandezas inversamente
 Proporcionais
Quando as razões entre os 
correspondentes forem iguais
quando os números são 
diretamente proporcionais 
ao inverso do correspondente
Ex:
Constante de 
Proporcionalidade
Quanto mais ônibus (↑) uma empresa coloca para levar 
uma quantidade específica de pessoas, menor será a 
quantidade de viagens feitas (↓).
 Quanto mais alguém estuda (↑), 
menor a chance de reprovação (↓).
 Quanto mais torneiras (↑) utilizamos para encher 
um tanque, menor o tempo de enchimento (↓).
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Primeiramente, o que é um expoente?
2 = 2 . 2 = 4
3 = 3 . 3 . 3 = 27
5 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15625
Exemplo:
O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada.
As funções exponenciais usam a mesma ideia, 
porém a base é fixa e o expoente é variável.
Seja a função f(x) = 2 , calcule f(2), f(5) e f(10):
f(2) = 2 = 2x2 = 4
f(5) = 2 = 2x2x2x2x2 = 32
f(10) = 2 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1024.
Exemplo:
x
2
5
10
Propriedades
se x = 0, logo f(x) = 1
f(x) = 3�
f(0) = 3�
f(0) = 1
x
0 Todo número elevado 
a 0 é igual a 1
se a > 1, a função 
será crescente
Toda vez que x1 < x2, e que a > 1, 
teremos como consequência ax1 < ax2.
Por exemplo: 
f(x) = 2. 
Observe que a = 2, 
que é maior que 1. 
Assim, essa função é crescente. 
Uma função é considerada decrescente quando dados 
os dois valores distintos do domínio 
x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2)
1� propriedade: ª
3� propriedade: ª
2� propriedade: ª
Se “a” for menor que 1 e maior que zero, 
então, a função exponencial será decrescente.
Por isso, tomando 
x1 = 1 e x2 = 2, teremos:
a < a
2 < 2
2 < 4
Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, 
teremos como consequência ax1 > ax2.
x
x1 < x2
a > a
0,5 > 0,5
0,5 > 0,25
x1
1 2
x2
x1
1 2
x2
Função 
Exponencial 
Por exemplo: f(x) = 0,5.
 Nesse exemplo, a = 0,5 
e está no intervalo 
referente a essa 
propriedade. 
Como essa função é 
decrescente, 
se x1 = 1 e x2 = 2, 
teremos:
Importante
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6
²
3
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Propriedades
a . a = a
m n m+n
Função 
Exponencial a 
n
m-n
a
-= a
a a ( (
n n
n
b b
- -= 
a b 
( (( (
- n n
b a- -= 
m
( (
n m.n
a = a
( (
n n n
a.b = a.b - n
/
na a = 01 
a
-= 
a a 
n
m
m 
n
-
= 
1º Propriedade 6º Propriedade
2º Propriedade 7º Propriedade
3º Propriedade3º Propriedade 8º Propriedade
4º Propriedade
5º Propriedade
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Função de
1� Grauº-Forma Geral:
f(x) = ax+b y = ax+bou
a Coeficiente Angular
Coeficiente Linear
Termo independente
Ponto de intersecção entre 
a reta e o eixo das ordenadas
b
É toda função que pode 
ser escrita nas formas
Sendo a e números reaisb
e a = 0 /
Exemplo:
função y=x+1
Para x = 2
x = 1Para 
Para x= 0
Para x= -1
Para x= -2
y= 2+1 y= 3 
y= 1+1 y= 2 
y= 0+1 y= 1 
y= -1+1 y= 0 
y= -2+1 y= 1 
Atribuímos valores quaisquer a e obtemosx
pela subistituição os valores correspondentes de .y
Substitui pelo
valor atribuido a X
x x
y y
b b
a 0 a 0v v
Gráfico Reta
Crescente
Decrescente @mapasdaLoli
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Função de
2� Grau
Ou Função Quadrática
º-
f(x) = ax²+bx+cf(x) = ax²+bx+c
a = 0/
Forma Geral:
Fórmula do Delta
Fórmulas X e Y Vértice 
 = b² -4xaxc
Delta
Fórmula da Báscara 
-b
2xa
+
-
Delta
-b
-
Xv=
Yv=
2xa
4xa
X Vértice 
Y Vértice 
x
a 0
0
0
0
v
v
v
=
xa 0v
2 raízes reais
 e distintas
2 raízes iguais
não possui raízes
xv
v
x1
x1x2
x2
a 0v
xa 0v
x xx1
x1
=
=
x2
x2
a 0
a 0
v
v
x
x
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Todo sistema linear é classificado de 
acordo com o número de soluções
apresentadas por ele 
Consiste em somar as equações, que 
podem ser previamente multiplicadas
por uma constante, com objetivo de
eliminar uma das variáveis 
Para achar o valor de y basta trocar
o valor de x obtido em qualquer das
equações do sistema linear 
Multiplica-se as equações de maneira 
que se criem valores opostos da mesma
 variável que será eliminada quando 
somarmos as equações
 
multiplica por 2 
Criamos números opostos
que podem ser cortados 
logo teremos a equação 
Na prática: 
Sistema
Linear
Método da Adição
Possível ou compatível
Determinado
Indeterminado
Impossível ou Incompatível
quando admite solução
admite uma única solução
Admite infinitas soluções
quando não admite solução
x + 2y = 16
3x - y = 13
x + 2y = 16
6x - 2y = 26
x + 2y = 16
6 + 2y = 16
2y = 16-6
2y = 10
y = 10 y = 5
2
x = 6
logo:
substitui pelo valor de x
passa para o outro lado
com a operação inversa
passa para o outro lado com a operação 
inversa: está multiplicando, passa dividindo
x + 2y = 16
6x - 2y = 26
7x = 42
x = 
x = 6 
42 
7 
{
{
{
co
n
tin
u
a
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Escolhemos uma equação do sistema
Sistemas
Lineares
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