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mapasdaLoli Feito por: Caroline de Vargas Pereira e Luis Eduardo Diehl Gonçalves Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Operações Matemáticas Adição potenciação Subtração multiplicação divisão 5 x 8 = 40 fatores produto Minueto DiferençaSubtraendo Resultado 3 + 4 = 7 9 - 4 = 5 Parcelas 20 = 5 4 dividendo divisor quociente Regra de Sinais (+) + (+) = + (-) + (-) = - (+) + (-) = (+3) + (+4) = + 7 (-3) + (-4) = - 7 (-3) + (+4) = + 1 Predomina o número com maior valor (+3) x (+4) = + 12 Expoente par com parênteses Expoente ímpar com parênteses Quando não tiver parênteses (-3) x (-4) = +12 (-3) x (+4) = - 12 (+3) - (+4) = +3 - 4 = -1 (-3) - (-4) = -3 + 4 = +1 (+3) - (-4) = +3 + 4 = + 7 (-2) = + 16, porque (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16 (-2) = - 8, porque (-2) x (-2) x (-2) = - 8 -2 = -4 -2 = -8 +3 = 9 +5 = +125 2 2 3 3 (+2) = + 4 porque (+2) x (+2) = +4 (+2) = + 32, porque (+2) x (+2) x (+2) x (+2) x (+2) = +32 4 3 2 5 Quando o sinal for negativo muda o sinal do próximo número Soma Subtração Multiplicação e Divisão Positivo (+) x (+) = + (-) x ( -) = + (-) x (+) = - a potência é sempre positiva a potência terá o mesmo sinal da base conservamos o sinal da base independente do expoente @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com CONJUNTOSN Q I R 2 3 N 1 2 3 Z-5 9 0 7 -7 1 -100 -3 Q - 0,8 5,6 - 1/1000,45 0,15 1/3 R I 2 (Naturais) z (Inteiros) - z sem o zero inteiros positivos inteiros negativos *= = = +zz (Racionais) (Irracionais) (Reais) = 0,1,2,3,4,... = ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... = ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, + Frações = , , ,Só o que não é fração * Zero é o primeiro número natural * Acrescenta os negativos * Dizimas Periódicas também são frações * Raízes não inteiras, * Dízimas não periódicas Todos @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Teoria dos Conjuntos Por Enumeração ou Extensão Classificações Por propriedade ou compreensão Por diagrama de venn Apresentado pela citação de seus elementos entre chaves e separados por vírgula Nessa representação, o conjunto é apresentado por uma lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Nessa representação, o conjunto é apresentado linha fechada de forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. ‘‘A’’ das vogais é dado por: Assim, o conjunto ‘‘A’’ das vogais é dado por A = { x/x é vogal do alfabeto} Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal B = { x/x é número natural menor que 5} C = {x/x éestado da região Sul do Brasil} Conjunto ‘‘A’’ das vogais - A ={ a, e, i, o, u} Conjunto ‘‘B’’ dos números naturais menores que 5 - ‘‘B’’ ={0, 1, 2, 3, 4, 5} Conjunto ‘‘C’’ dos estados da região Sul do Brasil - ‘‘C’’ = {RS, SC, PR} Os conjuntos podem ser representados de formas distintas a. e. i. o. u. Conjunto Unitário: possui apenas um elememto ex: Conjunto formado pelos números primos pares Conjunto Vazio: Não possui elementos, é representado por 0 Conjunto Universo (U) - Possui todos os elementos necessários para a realização de um estudo ( pesquisa, entrevista, etc.) Conjunto Finito: um conjunto é finito quando seus elementos podem ser contados um a um, do primeiro ao último, e o processo chega ao fim. Indica-se n(A) o número (quantidade) de elementos do conjunto ‘‘A’’. Conjunto Infinito: um conjunto é infinito quando não é possível contar seus elementos do primeiro ao último A = {2} - único primo par / ex: Um conjunto formado por elementos par, primo diferente de 2. ex: A = {1, 3, 7, 10} é finito e n(A) = 4 = ao número de termos dentro do conjunto @mapasdaLoli CONJUNTOS Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Relação de Inclusão União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos A U B A - B B - A A B É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos, para essa relação, fazemos uso dos símbolos U U U U / / U U U U / U/ Quando falamos que o conjunto A está contido no conjunto B, então todo elemento de A pertence a B e usamos o símbolo: A � B; Quando falamos que B contém A, usamos o símbolo: B � A Quando falamos que o conjunto A não está contido em B, usamo o símbolo: A � B; Quando falamos que o conjunto B não contém A, usamos o símbolo: B � A; @mapasdaLoli CONJUNTOS Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Números Primos Nº Composto :- :- 6 = 6 1 = 6 6 2 = 3 6 3 = 2 6 6 = 1 :- :- :- :- Pode ser dividido por mais de 2 números O número 1 não é primo Se tiver final 0,2,4,6,8, não será nº primo, pois esses números são divisíveis por 2 Se o final for não é primo, pois será divisivel por Se não é primo, é composto Exemplo de nº primo Não existe outro divisor para o número 5 Só é divisível por ou por ele mesmo 5 1 = 5 5 5 = 1 = 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97... @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com zero é múltiplo de todos os números0 Todo número inteiro é múltiplo de si mesmo 1x0 = 0 2x0 = 0 3x0 = 0 1x1= 1 1x2 = 2 1x3 = 3 1x4 = 4 Exemplos de múltiplos múltiplos de 2 de 3 1 = 2 2 = 4 3 = 6 2 3x x 1= 3 2 = 6 3 = 9 Se os números x são múltiplos de y, então a divisão de x por y é exata Ex: 6 é múltiplo de 3, logo 6:3 = 2, resto 0 números que resultam da multipl icação de um número ex: 21 e 70 são múltiplos de 7. 21 + 70 = 91, que também é múltiplo de 7. Múltiplos 1º Propriedade: 2º Propriedade: 3º Propriedade: 4º propriedade A soma ou subtração de dois múltiplos de um número x é igual a um número que também é múltiplo de x @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Escrever o Número na forma decomposta logo 12.600 = 2 . 3 . 5 . 7 3 2 2 Ex: 12.600 12600 6300 3150 1575 525 175 35 7 1 2 2 2 3 3 5 5 7 cálculo de raízes 9604 2 2 2 7 7 7 7 7 7 retira da raiz e multiplica Logo raiz quadrada de 9604 é 98 2 2 2 . . . . 2 7 7 = 98 . . 2 2 2 2 2 2 2 2 29604 4802 2401 343 49 7 1 2 2 7 7 7 7 1º Passo Fatora o número dentro da raiz 2º Passo Junta os números conforme o expoente da raiz para cortar 3º Passo todos os divisores com o mesmo expoente podem ser cortados e retirados da raiz Quantos divisores tem 90? 90 45 15 5 1 2 3 3 5 90 = 2 . 3 . 5 2 . 3 . 2 = 12 divisores 90 possui 12 divisores 2 11 Quantidade de Divisores A quantidade de divisores de um número inteiro positivo pode ser determinada pelo produto entre os expoentes dos fatores primos que correspondem a este número, quando acrescidos de uma unidade. +1 +1 +1 Soma +1 a cada expoente Fatoração utilidades A fatoração nu mérica corresp onde à decomp osição de um nú mero em fatores primos, para isso é ne cessário obede cer a uma sequ ência. O número a ser f atorado deverá ocupar a colun a da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores prim os. @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Fatoração MDC MMC x MDC MMC maximo divisor comum fatora simultaneamente fatora simultaneamente minimo múltiplo comum 24 12 6 3 1 1 40 20 10 5 5 1 18 9 9 3 1 1 2 2 2 3 5 2 2 2 3 5 2 2 3 3 5 40 20 10 5 5 1 60 30 15 15 5 1 20 10 5 5 5 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; circula os divisores comuns e multiplica MDC ( 24;40) = 2.2.2 MDC (24;40) = 8 Multiplica tudo MMC (18;20) = 2.2.3.3.5 MMC (18.20) = 180 O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem ser calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos. Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais números é determinado pela multiplicaçãodos fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo. Multiplica apenas os divisores comuns! Outro exemplo de MDC Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente da divisão e o número 5 uma vez. Portanto o MDC de 40 e 60 é: 2 x 2 x 5 = 20 @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Frações 1 48 437 9645 6 403 10 365 98 4 4876678 2 6 = = 6 10 10 100 14 127 3 100 1000 100 100010 6 9 O inteiro foi dividido em 6 partes onde 1 delas foi pintada O inteiro foi dividido em 4 partes onde 1 delas foi pintada O inteiro foi dividido em 9 partes onde 6 delas foram pintadas numerador denominador Indica quantas partes do inteiro foram utilizadas Indica a quantidade máxima de partes em que fora dividido o inteiro e nunca pode ser Zero Relação entre frações e decimais Simplificação de Frações Para transformação contrária ( Decimal em Fração decimal) colocamos no denominador tantos zeros quantos forem os números à direita da vírgula no decimal Para transformar uma fração( de denominador 10) em um número decimal, escrevemos o numerador da fração e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas decimais à direita quanto forem os zeros do denominador = = = = = = = = == 4,8 43,7 964, 53,65 0,098 0,04 4,87667,8 Para simplificar uma fração, se possível, basta dividir o numerador e o denominador por um mesmo número se eles não são números primos entre si. Divide por 2 Divide por 4 Divide por 2 Divide por 4 Adição e Subtração Denominadores Iguais Denominadores Diferentes Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e manter o denominador Se os denominadores forem diferentes será necessário encontrar frações equivalentes (proporcionais) que sejam escritas no mesmo denominador comum. Usaremos o M.M.C 13 21 49 9-+ + 3 6 6 21 26 13214 49 9- -+ += = =6 6 36 6 6 denominadores iguais mantem Simplifica por 2 Simplifica por 2 2 2x5=10 4x3=12 - 2 15 4- = =3 15 10 - 12 35 5 MMC entre 3 e 5 é 15 agora divide o MMC entre os denominadores e multiplica o resultado pelo numerador multiplica o resultado pelo numerador passa os resultados pa ss a o re su lta do p ar a cim a e mu ltip lic a pe lo de no mi na do r 15 /3 = 5 15 /5 = 3 pa ss a o re su lta do p ar a cim a e mu ltip lic a pe lo de no mi na do r É o modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Multiplicação e Divisão Potenciação e Radiciação Potenciação Radiciação Multiplicação Divisão Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e fazer o mesmo entre os denominadores, independente de serem iguais ou não. Para elevarmos uma fração à determinada potência, basta aplicarmos a potência no numerador e no denominador, respeitando as regras dos sinais da potenciação. Caso seja necessário aplicar um radical numa fração basta entender que: A Raiz da fração é a fração das raízes. Para Dividir as frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração 2 2 4 16 0,001 16 11 100 4 1 0,1 2 4 4 16 2 2 2 x 4 8 1 1 3 5 5 15 2 2 5 3 6 - - -x 5 x 3 3 3 3 x 6 32 x 3x = = = = = = = = 5 3 9 25 25 100 5 10 3 9 9 81 5 5 4 4 4 20 105 x 4 simplific a por 2 Invertemos a 2� Fração e multiplicamos normalExeplo 1 Exeplo 2 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 2 - + 2 2 2 2 = = = = = = = = = = expoente par fora do parêntese Par fração sempre positiva conforme mapa mental das regras de sinais ( ( Frações @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Produtos NotáveisProdutos Notáveis Existem alguns produtos que se notabilizaram por algumas particularidades, chamam-se de PRODUTOS NOTÁVEIS. Essas multiplicações são frequentemente usadas e, para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. o quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro somado duas vezes o primeiro pelo segundo, somando o quadrado do segundo O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro subtraído duas vezes o primeiro pelo segundo, somando o quadrado do segundo. O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo. + + Quadrado da Soma de Dois Números Quadrado da diferença de dois números Produto da soma pela diferença entre dois números Na teoria parece difícil, porém na prática é fácil, vamos lá! ( a + b) = a + 2.a.b + b 2 2 2 Quadrado do primeiro Duas vezes o primeiro pelo segundo Quadrado do Segundo Assim que passamos da teoria para a fórmula fica mais fácil Exemplo (x + 4) = x + 2.x.4 +4 (3x + 1) = 3x+2.3x.1 +1 x + 8x +16 9x + 6x +1 (x+y) (a+b) (a+b) (a+b)x x + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Cuidado: Não é necessário decorar a fórmula basta lembrar que: Aplica a distributiva e terá a fórmula = = / !! a + 2.a.b + b2 2 a + ab + ab + b 2 2 Pronto conseguimos achar a fórmula1º passo 2º passo 3º passo ( a - b) = a - 2.a.b + b 2 2 2 ( a + b) . (a - b) = a - b 22 @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Regra de Três Simples A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço idade, etc... As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional. Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações em que ocorrem operações inversas, isto é, se dobrarmos uma grandeza, a outra é reduzida à metade. São grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Um automóvel percorre 300Km 25 litros com de combustível. Caso o proprietário desse automóvel queira percorrer , quantos litros de combustível serão gastos?120 Km 12 operários 6 semanas.constroem uma casa em , nas mesmas condições, construíram8 operários a mesma casa em quanto tempo? Devemos pensar: Se diminuiu o número de funcionários, será que a velocidade da obra vai aumentar? É claro que não! Se um lado diminui enquanto o outro aumenta, é inversamente proporcional e, portanto devemos multiplicar lado por lado Exemplo: Vamos começar pensando com a ideia que se foram percorridos com 25 litros,300 Km para percorrer serão usados menos litros120 Km Transformando em fração Transformando em fração 300 12 300 . x = 25 . 120 300x = 3000 x = 3000 x = 10 litros = =25 6 12 . 6 = 8 . x 72 = 8x x = 72 x = 9 8 120 8x x Se 300 Km 12 operários então 120 Km 8 operários Gastou 25 litros 6 semanas Gastou X litros x semanas Multiplica cruzado Multiplica Reto Multiplica cruzado 300 Re spo sta Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas Inversamente Proporcionais Multiplica Cruzado Multiplica Reto Multiplicação Reta a = c b d Exemplo: @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Regra de Três composta A regra de três composta é ultilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do ‘‘x’’. Identificando as relações quanto à coluna que contém o X: Se, em carregam a areia, em , para8 horas, 20 caminhões 5 horas carregar o mesmo volume, serão necessários caminhões. MAIS Então se coloca o sinal de sobre a coluna Horas. + Se são transportados por , serão transportados por160m20 caminhões 125 m MENOS caminhões. Sinal de para essa coluna.- + - Em descarregam ,8 horas, 20 caminhões 160m de areia em , quantos caminhões serão necessários5 horas para descarregar ?125m 3 3 33 Exemplo 1: Exemplo 2: Assim, basta montar a equação com a seguinte orientação: Ficam no , acompanhando o valor da coluna do ,numerador X o valor da coluna com sinal de , e da coluna com MAIOR + sinal de , o valor, assim: - MENOR 8 20 Horas Caminhões Volume 160 1255 x 20 x 125 x 8 20.000= = 25 160 x 5 800 Numa fábrica de brinquedos, montam em .8 homens 20 carrinhos 5 dias Quantos carrinhos serão montados por em ?4 homens 16 dias Se, em montam-se , então, em montam-se5 dias 20 carrinhos 16 dias carrinhos. Sinal de +.MAIS Montando a equação X = Logo, serão montados 32 carrinhos Observe que se montam , então8 homens 20 carrinhos montam carrinhos.4 homens MENOS Sinal de nessa coluna - - + 8 20 Homens Carrinhos Dias 5 164 x 20 x 4 x 16 1.280= = 32 8 x 5 40 logo, serão necessários 25 caminhões @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Média Média ponderada Moda Mediana determinando a posição da mediana A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores. É considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano É o valor central dos dados estatísticos dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se o número de dados do rol for par, temos que a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode não existir e também não ser única. O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9 O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10 A maior frequencia é do número 6, portanto a moda é 6 A maior frequencia é dos números 6 e 8, então é bimodal Como todos os dados têm a mesma frequência, não existe moda. Caso o rol de dados seja muito grande, há uma maneira de localizar a posição exata da mediana nesse rol (quando disposto em ordem crescente ou decrescente) Nesse caso, já sabemos que a mediana será calculada pela média artmética dos dois termos centrais, logo: Posição dos termos centrais = Se tivermos 90 elementos, a mediana será calculada pela média entre os termos de posição: 90 e seu sucessor Posição = (n + 1) Posição = (73 + 1) Posição = (74) n Posição = 37 Sendo n = número de elementos Se tivermos 73 elementos, a mediana ocupará a posição: 2 2 2 2 2 Se a quantidade de elementos for ímpar Se a quantidade de elementos for par A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 é 5 A mediana de 15, 12, 10, 2 é 11 Soma os meios e divide por 2 terá a mediana 12 + 10 2 No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu isto é, sua importância relativapeso, Facilitando: Soma Todos os Dados e Dividi pelo número de dados Exemplo: Exemplo: Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Português com base nas seguintes notas bimestrais: M = x + x+ ... + x 1 2 n a n 1º B = 6,0 2º B = 9,0 3º B = 7,0 4º B = 5,0 Soma todas as notas Divide pelo número de disciplinas M M = = a a 6 + 9 + 7 + 5 4 Notas número de disciplinas 6,75 M = x . x + x . x+ ... + x . P 1 2 1 p p 2 n n n p P + P +... + P Paulo teve as seguintes notas nas prova de Português no ano de 2010: , nas quais os pesos das provas foram8,5 ; 7,0 ; 9,5 ; 9,0 , respectivamente. Para obter uma nota que 1, 2 , 3 , 4 representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos a média aritmética ponderada (MP) MP = MP = MP = 87 8,7 10 8,5.1 + 7,0.2+ 9,5.3 + 9,0.4 1+2+3+4 nota peso peso mediana 90 Elementos = logo será 45 e seu sucessor esse recurso permite o cálculo da POSIÇÃO da mediana e não de seu valor! !! 1 - 2 - 3 - @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Conversão de UnidadesCapacidade (Litro) kl hl dal l dl cl ml X10 10 10 10 10 10 10 X10 X10 X10 X10 X10 ..- ..- ..- ..- ..- ..-..- ..- ..- ..- ..- ..- Grandeza kl = quilolitro hl = hectolitro dal = decalitro l = litro dl = decilitro cl = centilitro ml = mililitro @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Conversão de Unidadesárea (Metro Quadrado) volume ( Metro Cúbico) dam² m² dm² cm² mm² dam³ m³ dm³ cm³ mm³ X100 X1000 100 1000 100 1000 100 1000 100 1000 100 1000 100 1000 X100 X1000 X100 X1000 X100 X1000 X100 X1000 X100 X1000 ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- km² hm² km³ hm³ Grandeza Grandeza @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Conversão de UnidadesComprimento ( Metro) Massa (Grama) km hm dam m dm cm mm kg hg dag g dg cg mg X10 X10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 X10 X10 X10 X10 X10 X10 X10 X10 X10 X10 ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- ..- Grandeza Grandeza @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com 10¹ = 10 10² = 100 10³ = 1.000 Multiplicação de números com vírgula Taxa unitária Taxa de juros 100 = 0,7 70 100 Divisão de números com vírgula Fator de Capitalização Fator de descapitalização Desconto de 30% logo um produto que vale 100% estará valendo 70% do valor inicial. Um produto sofreu aumento de 30% Produto valia 100% aumentou 30% logo está valendo 130% Desconto de 30% = 100% - 30% = 70% = 70/100 = 0,7 130% = 1,3 100x3,756 3,45 0,0345 100 1.000x0,2 375,6 200 Vamos lembrar potências de 10: Multiplicar um número com vírgula por uma potência de 10 basta deslocar a vírgula para a direita Dividir um número com vírgula por uma potência de 10 basta deslocar a vírgula para a esquerda 2 Zeros 3 Zeros corre 2 ‘‘vírgulas’’ para a direita corre 3 ‘‘vírgulas’’ para a direita Quando não tiver casa decimal a direita complete com zero ..-..- Vírgula corre para esquerda 2 casas _____________ _____________ 30% 0,2% 0,3 0,002 30 0,2 100 100 _____________ _____________ Tx.Juros Fração Tx.Unitária Multiplica o valor pelo fator de capitalização logo teremos Produto desconto Novo preço R$ 1.500,00 30% multiplica por 0,7 R$ 1.050,00 Produto Aumento Novo preço R$ 1.500,00 R$ 1.950,00 30% multiplica por 1,3 100% + 30% Multiplica-se sobre o valor do produto para obter o seu novo preço Porcentagem e números com v írgula @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Juros Simples J = C.i.t M = C + J Juros Montante Capital juros taxa tempo de juros (ano,mês.dia) 1 Ano 1 Mês 12 meses 6 bimestres 3 trimestres 2 semestres 2 quinzenas 30 dias 360 dias Capital Juros Compostos Montante Montante Capital Capitaljuros tx.juros tempo de juros M = C (1+i) t J = M - C Tx.Equivalente tx.anual tx.mensal t 1 + ia = (1+im) Tx.Real tx.nominal(aparente) inflação tx.real = __________________ x Tx.Aparente tx. proprocional Proporção de Tx de Juros x Período 3% em 6 meses = 18% • Juros: é a remuneração cobrada em um empréstimo de dinheiro; é apresentado como um percentual sobre o valor emprestado. • Taxa de juros: valor aplicado em uma transação financeira. • Capital: é o total do valor acumulado após a entrada dos juros. • Montante: simples composto Matemática Financeira @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Desconto comercial simples Desconto comercialcomposto Desconto Racional Simples formula para valor do desconto formula para valor do desconto formula para valor do desconto formula do valor atual formula do valor atual formula do valor atual D = N x i x tc d D = N - Ac A = N x (1 - i ) t d D = A x i x tr d A = N x (1-i x t)d D = A = N = i = t = c d D =rDesconto Comercial Desconto racional Valor Atual ou Valor Liquido Valor Nominal ou Valor de Face Tx. de desconto PrazoA = N d( 1 + i x t ) ___________ Matemática Financeira @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Razão e proporção A entre Razão duas grandezas é o quociente entre elas. E geral, dois números reais usamos para indicar a razão entre os números a e b, respectivamente coma b e b = 0/ ou a b a = b__ a b e a b= __ a b c d= __ __ Razão entre a b está para , assim como está para c d é uma igualdade entre duas razões dizemos que os números reais formam uma proporção não nulos nesta ordem com a seguinte igualdade a b c d Produto dos meios Produto dos Extremos = c d a b e f k= = = ____ __ Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas inversamente Proporcionais Quando as razões entre os correspondentes forem iguais quando os números são diretamente proporcionais ao inverso do correspondente Ex: Constante de Proporcionalidade Quanto mais ônibus (↑) uma empresa coloca para levar uma quantidade específica de pessoas, menor será a quantidade de viagens feitas (↓). Quanto mais alguém estuda (↑), menor a chance de reprovação (↓). Quanto mais torneiras (↑) utilizamos para encher um tanque, menor o tempo de enchimento (↓). @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Primeiramente, o que é um expoente? 2 = 2 . 2 = 4 3 = 3 . 3 . 3 = 27 5 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15625 Exemplo: O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada. As funções exponenciais usam a mesma ideia, porém a base é fixa e o expoente é variável. Seja a função f(x) = 2 , calcule f(2), f(5) e f(10): f(2) = 2 = 2x2 = 4 f(5) = 2 = 2x2x2x2x2 = 32 f(10) = 2 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1024. Exemplo: x 2 5 10 Propriedades se x = 0, logo f(x) = 1 f(x) = 3� f(0) = 3� f(0) = 1 x 0 Todo número elevado a 0 é igual a 1 se a > 1, a função será crescente Toda vez que x1 < x2, e que a > 1, teremos como consequência ax1 < ax2. Por exemplo: f(x) = 2. Observe que a = 2, que é maior que 1. Assim, essa função é crescente. Uma função é considerada decrescente quando dados os dois valores distintos do domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2) 1� propriedade: ª 3� propriedade: ª 2� propriedade: ª Se “a” for menor que 1 e maior que zero, então, a função exponencial será decrescente. Por isso, tomando x1 = 1 e x2 = 2, teremos: a < a 2 < 2 2 < 4 Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, teremos como consequência ax1 > ax2. x x1 < x2 a > a 0,5 > 0,5 0,5 > 0,25 x1 1 2 x2 x1 1 2 x2 Função Exponencial Por exemplo: f(x) = 0,5. Nesse exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente a essa propriedade. Como essa função é decrescente, se x1 = 1 e x2 = 2, teremos: Importante @mapasdaLoli 6 ² 3 Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Propriedades a . a = a m n m+n Função Exponencial a n m-na-= a a a ( ( n n n b b - -= a b ( (( ( - n n b a - -= m ( ( n m.n a = a ( ( n n n a.b = a.b - n / na a = 0 1 a -= a a n m m n - = 1º Propriedade 6º Propriedade 2º Propriedade 7º Propriedade 3º Propriedade3º Propriedade 8º Propriedade 4º Propriedade 5º Propriedade @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Função de 1� Grauº-Forma Geral: f(x) = ax+b y = ax+bou a Coeficiente Angular Coeficiente Linear Termo independente Ponto de intersecção entre a reta e o eixo das ordenadas b É toda função que pode ser escrita nas formas Sendo a e números reaisb e a = 0 / Exemplo: função y=x+1 Para x = 2 x = 1Para Para x= 0 Para x= -1 Para x= -2 y= 2+1 y= 3 y= 1+1 y= 2 y= 0+1 y= 1 y= -1+1 y= 0 y= -2+1 y= 1 Atribuímos valores quaisquer a e obtemosx pela subistituição os valores correspondentes de .y Substitui pelo valor atribuido a X x x y y b b a 0 a 0v v Gráfico Reta Crescente Decrescente @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Função de 2� Grau Ou Função Qua drática º- f(x) = ax²+bx+cf(x) = ax²+bx+c a = 0/ Forma Geral: Fórmula do Delta Fórmulas X e Y Vértice = b² -4xaxc Delta Fórmula da Báscara -b 2xa + - Delta -b - Xv= Yv= 2xa 4xa X Vértice Y Vértice x a 0 0 0 0 v v v = xa 0v 2 raízes reais e distintas 2 raízes iguais não possui raízes xv v x1 x1x2 x2 a 0v xa 0v x xx1 x1 = = x2 x2 a 0 a 0 v v x x @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Progressão Aritmética - P. A Termo Geral da PA: Soma dos termos da PA: Termo do meio da PA: a = a + (n-1).r S = a = n n 4 1 ( a + a ) . n 2 n1 a + a 2 53 Razão = a - a a = a + r a = a + 2r a = a + 3r 2 2 1 1 1 3 4 1 ( x - r, x, x+r) Vamos representar 3 termos PA ( a , a , a , a , a , a .....)1 2 3 4 5 6 termo Exemplos de PA É uma PA de termo inicial a = 5 e razão r=2 É uma PA de termo inicial a = 9 e razão r= -4 razão 5,7,9,11,13,... 9,5,11-3,-7,... 1 1 4º termo 3º termo 5º termo sempre a cada três termos consecutivos de uma PA, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja a soma dos extremos é o dobro do termo central. 11 , x , y, 26, 31 estão em uma progressão aritmética (PA). Qual o valor de y? Em vez de encontrar o valor da razão, podemos fazer: y = 11+31 2 Qual o décimo termo da progressão aritmética: 8,11,14,17,20,… ? Exemplo de Termo Geral da PA a = 8 1 110 10 10 10 10 r = 11 - 8 = 3 a = a + (n -1) . r a = 8 + (10 - 1) . 3 a = 8 + 9.3 a = 8 + 27 a = 35 1º termo fórm ula geral razão @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Progressão Geométrica - P. G Termo Geral da PG: exemplo: Termo geral ou médio Constante (razão) Soma dos finitos termos: Soma dos infinitos termos: a = a . q a = a . q a = a . q n nn = 8 q = 3 a = 4 a = 4 . 3 a = 4 . 3 a = 4 . 2187 a = 4 . 2187 a = a = 4 . 3 a = 4 . a = 4 . a = 8.748 8-1 77 88 8 8 8 8 8 8 8 8 1 n n-1 n-1 n-p a = S = S = a ( q - 1 ) a q - 1 1 - q n n n 8 1 1 1 1 p a . a n-1 n+1 ou expresso pela letra q Basta dividir um termo qualquer pelo seu antecessor A partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. 1,2,4,8,16,... Razão q = 2 4 2 = 2 PG (2,4,8,16,...) 4 = 2.8 8 = 4.16 É usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 q 1.v v @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Analise Combinatória Princípio da Contagem Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y). multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas. Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos São oferecidos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo.Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: Para a sobremesa, existem quatro opções: suco de maçã ou guaraná. cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche? Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis. Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa. Total de possibilidades: 3.2.4 = 24 Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção. O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número. Fatorial tem que saber para entender a matéria! !! Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1. Exemplo O! = 1 1! = 1 3! = 3.2.1 = 6 7! = 7.6.54. .3.2.1 = 5 040 10! = 109. .8.7.6.54. .3.2.1 = 3 628 800 Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória. Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p n), utiliza-se a seguinte expressão: Arranjos v- An,p= n! (n-p)! - n = 20 p = 2n,p = n! (n-p)! - Exemplo Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-representante. Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado final. Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. A20,2= = = 380 20! 20 . 19 . 18! (20-2)! 18! -- A aplicação da fórm ula @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação. Assim a permutação é expressa pela fórmula: Exemplo Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares. Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco. Analise CombinatóriaPermutações Combinações Pn = n! P6 720= =6! 6 . 5 .4 . 3 . 2 . 1 = As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos. Cn,p= n! (n-p)! - p!Exemplo A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, José e Maria. Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador. Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. C10,3 = = = = 10! (10-3)! . 7! --- 3! 3! 3. 2. 1 12010. 9. 8. 7! 10. 9. 8 ≤ Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p n), utiliza-se a seguinte expressão: @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele Consiste em somar as equações, que podem ser previamente multiplicadas por uma constante, com objetivo de eliminar uma das variáveis Para achar o valor de y basta trocar o valor de x obtido em qualquer das equações do sistema linear Multiplica-se as equações de maneira que se criem valores opostos da mesma variável que será eliminada quando somarmos as equações multiplica por 2 Criamos números opostos que podem ser cortados logo teremos a equação Na prática: Sistema Linear Método da Adição Possível ou compatível Determinado Indeterminado Impossível ou Incompatível quando admite solução admite uma única solução Admite infinitas soluções quando não admite solução x + 2y = 16 3x - y = 13 x + 2y = 16 6x - 2y = 26 x + 2y = 16 6 + 2y = 16 2y = 16-6 2y = 10 y = 10 y = 5 2 x = 6 logo: substitui pelo valor de x passa para o outro lado com a operação inversa passa para o outro lado com a operação inversa: está multiplicando, passa dividindo x + 2y = 16 6x - 2y = 26 7x = 42 x = x = 6 42 7 { { { co n tin u a @mapasdaLoli Escolhemos uma equação do sistema Sistemas Lineares Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Raciocínio Lógico Proposição Proposições Compostas Um argumento é uma sequência de na qualpreposições uma delas é a conclusão e as demais são premissas. As premissas justificam a conclusão. É a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Este conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão. Preposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico Toda frase que você consiga atribuir um valor lógico é preposição, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas. Dica Loli da Helena é feliz Sofia estuda Osvaldo é desdentado Vai estudar? Mas que legal! Aquele cantor é famoso Ela viajou A + B + C = 60 Não são Proposições Sentenças Abertas Negação Simples negação de Osvaldo é feio é: Importante Não são proposições frases onde você não consegue julgar, se é verdadeira ou falsa, por exemplo: São sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito. uma forma simples de identificá-las é o fato de que não podem ser nem VERDADEIRAS nem FALSAS. Essas sentenças também não são PROPOSIÇÕES Frases interrogativas, no imperativo, exclamativas e com sujeito indeterminado, não são proposições. x x x x x ou V V V f f f Verdadeiro Proposição Simples - Apenas dois valores lógicos ( Verdadeiro ou Falso) Proposição Composta - Terá mais do que 2 possibilidades distintas Consideramos as duas proposições, e ‘‘chove’’ ‘‘faz frio’’ Cada proposição existe duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira, numa sentença composta teremos mais de duas possibilidades. É possível identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o número de proposição. Para isso devemos elevar o número 2 a quantidade de proposições conforme tabela abaixo. ‘‘chove’’ e ‘‘faz frio’’ Proposições Compostas Falso V f V V f f f v Chove faz frio Chove faz frio Chove faz frio Chove faz frio Um total de 4 possibilidades distintas em uma sentença composta com duas proposições Proposições 1 2 2 4 3 n n 8 2 Possibilidades Osvaldo é feio Osvaldo NÂO é feio A negação de uma proposição é uma nova proposição que é verdadeira se a primeira for falsa e é falsa se a primeira for verdadeira. Para negar uma sentença acrescentamos o NÂO, sem mudar a estrutura da frase Dica Loli da Para simbolizar a negação usaremos ou ~ Atribuímos a proposição uma letra: Osvaldo é feio atribuímos a letra Z Z Então a Simbologia da negação de Osvaldo é feio representado pela letra será: ~ @mapasdaLoliLicenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Raciocínio Lógico Conectivos Lógicos Disjunção - ‘‘ou’’ Conjunção - ‘‘E’’ Tabela Verdade Um conectivo lógico é um símbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenças, de maneira gramaticalmente válida, de modo que o sentido da sentença composta produzida dependa apenas das sentenças originais. Recebe o nome de disjunção toda a proposição composta em que as partes estejam pelo unidas pelo conectivo ou, representaremos esse conectivo por ‘‘v’’ Exemplo: Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother Proposição 1: Estudo para o concurso Proposição 2: Assisto o Big Brother Representação: p v q.Conectivo: ou. Proposições compostas ligadas entre si pelo conectivo ‘‘e’’. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ‘‘^’’ É uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse. Fui aprovado no concurso da PF Serei aprovado no concurso da PRFe Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘q’’ e o conectivo de ‘‘^’’. Assim podemos representar a Frase acima da seguinte forma: p^q. H1: p: Não fui aprovado no concurso da PF. q: Serei aprovado no concurso da PRF H2: p: Fui aprovado no concurso da PF q: Não serei aprovado no concurso da PRF H3: p: Não fui aprovado no concurso da PF. q: Não serei aprovado no concurso da PRF H4: p: Fui aprovado no concurso da PF. q: Serei aprovado no concurso da PRF Proposição 1: Fui aprovado no concurso da PF. Preposição 2: Serei aprovado no concurso da PRF Conectivo: e. Exemplo: Exemplo: Chove e faz frio I - ‘‘e’’ ( conjunção). II - ‘‘ou’’ (disjunção). III - ‘‘se...então’’ (implicação). IV - ‘‘se e somente se’’ (equivalência). Tabela Verdade da conjunção ‘‘e’’ Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo, considerando cada uma das hipóteses. Tabela Verdade da disjunção ‘‘v’ Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo, considerando cada uma das hipóteses. Uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições forem verdadeiras. A disjunção somente será falsa quando as duas proposições forem falsas H1 H1 F V p p q q p^q p v q F V F F F V F V F V F V V V V F V F V F V F H2 H2 H3 H3 H4 H4 Dica Dica Loli Loli da da @mapasdaLoliLicenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Raciocínio Lógico Disjunção - ‘‘ou...ou’’ Condicional - ‘‘se...então...’’ Bicondicional - ‘‘... Se Somente Se...’’ Recebe o nome de disjunção exclusiva toda a proposição composta em que as artes estejam unidas pelo conectivo ou ‘‘ primeira proposição’’ ou ‘segunda proposição’’. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por ‘‘V’’ Recebe o nome de toda proposição composta em quecondicional as partes estejam unidas pelo conectivo Se...então, simbolicamente representaremos esse conectivo por ‘‘ ’’ Exemplo: Exemplo: Exemplo: Proposição 1: Vou a Praia Proposição 2: Estudo para o concurso. Proposição 1: Estudo (condição Suficiente) Proposição 2: Sou aprovado ( condição necessária) Proposição 1: Maria compra o sapato Proposição 2: O sapato combina com o bolsa. ‘‘ vou a praia estudo para o concurso’’Ou ou ‘‘Se estudo, então sou aprovado’’ ‘‘Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa’’. Representação: p v q. Representação: p q. Conectivo: ou...ou Conectivo: Se...Então Conectivo: Se e somente se Tabela Verdade da disjunção ‘‘v’ Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo, considerando cada uma das hipóteses. Tabela Verdade da disjunção ‘‘ ’’ Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo, considerando cada uma das hipóteses. Tabela Verdade da disjunção ‘‘ ’’ Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo, considerando cada uma das hipóteses. A disjunção exclusiva somente será falsa quando as duas proposições forem iguais, ou seja, tiver o mesmo valor lógico ( VV ou FF) Uma condicional só será falsa se a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. O bicondicional só será verdadeiro quando ambas as proposições possuírem o mesmo valor lógico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposições forem falsas H1 H1 H1 V V V p p p q q q p v q p q p q V V V F F V V V V V V F F V F V F V V V F F F F F V F F F F F F V H2 H2 H2 H3 H3 H3 H4 H4 H4 Dica Dica Loli Loli da da Dica Loli da Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ...se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por ‘’ ‘’ Representação: p q. @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Raciocínio Lógico Tautologia Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r..... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r ... que a compõem. Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r..... será dita uma Contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r ... que a compõem. Assim podemos representar a sentença acima da seguinte forma: p v p Assim podemos representar a sentença acima da seguinte forma: p ^ p Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para a segunda divisão Exemplo: Agora vamos construir as hipóteses: p: Grêmio cai para segunda divisão p: Grêmio não cai para segunda divisão Como os valores lógicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA! p: Grêmio não cai para segunda divisão p: Grêmio cai para segunda divisão Hipótese 1: Hipótese 2: Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘ p ’’ e o conectivo de ‘‘V’’.~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p V V V V F F H1 H2 p vp p Osvaldo é o presidente do Brasil e Osvaldo não é o presidente do Brasil Exemplo Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘ p ’’ e o conectivo de ‘‘^’’.~ Temos uma CONTRADIÇÃO ~ ~p V V F F F F H1 H2 p ^p p Sempre Verdadeiro = Tautologia Sempre Falso = Contradição Verdadeiro e Falso = Contigência Dica Loli da @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Raciocínio Lógico Negação de Todo, Negação Negação Negação Negação Toda mulher é vaidosa Algum aluno da sala será aprovado Nenhum aluno da sala vai ser reprovado Algum estudante trabalha Alguma mulher não é vaidosa Negação de Nenhum Nenhum atleta é campeão Pelo menos um atleta é campeão Negação de Algum Negação de Todos Todos os Estudantes não trabalham @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Algum Todo Nenhum Existem elementos em A que são B. Existem elementos em B que são A. Existem elementos A que não são B. Existem elementos B que não estão em A Todo A é B Alguns elementos de B é A ou existem B que são A Nenhum A é B Nenhum B é A A A A B B B Raciocínio Lógico Quantificadores Lógicos @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Triângulo Perímetro = a+b+c a.h 2 Área= a bb c h Triângulo Equilátero Perímetro = 3 l l l l h 2 4 Área = l 3 Quadrado Perímetro = 4.a Área = a2 a a Retangulo Perímetro = 2a + 2b Área = a.b a b Paralelogramo Perímetro = 2a + 2b Área = a.h a b h Perímetro = 4.a Área = Losango a D D.d d a aa 2 Perímetro = c+b+d+B Área = Trapézio (B+b).h B c b d h 2 Circunferência r r2 Comprimento = 2 r Área = � � Geometria Plana @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Pirâmide Cubo Cilindro h r g . . . . . . . . 2 2 3 2 Cone Cone Reto Cone Equilátero A A A A A = = = = == = = A A A 3+A A V V B B B B B L L LT T r r r r2 h 3 3 r g 3 . . 2 Cilindro Reto : g= h A A A = = = = A A +A V B B B L LT r h rh2 2 gh r r h=2r r. . . . . . 2 2 3 Cilindro Equilátero: h=2r A = = = = A 6 2 A V B L T r r r rh4 g m m’ p b b 2 2 h b b b L Lt A A A A AA V (m’) == = b.m’ b.h . n . n . h h + mh + r (m’) + b 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = += = = Apótema lateral Aresta Lateral Aresta Lateral ( (2 DF D V AT a a a 6a2 3 = = = = a DF D a a rC Área = 4 Volume = 4 r 2 r 3 3 Esfera Geometria Espacial @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com Triangulo Retângulo relações métricas Triângulo Equilátero: possui os três lados iguais. Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais, e um diferente. Triângulo Escaleno: possui os três lados diferentes. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Esse é o maior dos três lados da figura. Os demais lados são denominados de cateto adjacente e cateto oposto. Note que a hipotenusa é representada como (a) e os catetos como (b) e (c) � (Hipotenusa) CatetoCateto A soma dos ângulos internos do triângulo retângulo é de 180º. Os vértices dos ângulos são representados por (A), (B) e (C). O "h" é a altura relativa à hipotenusa. A é um ângulo reto: 90º B e C são ângulos agudos, ou seja, são menores que 90º Possui dois ângulos complementares, e a soma dos dois ângulos medem 90º. Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno reto (90º). Triângulo Acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, ou seja, as medidas dos ângulos são menores que 90º. Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, ou seja, possui um ângulo com medida maior do que 90º. Teorema de Pitágoras a² = b² + c² Hip² = cat² + cat² O quadrado da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos catetos. Seno = Cosseno = Tangente = Cateto oposto Cateto oposto Cateto Adjacente Cateto Adjacente hipotenusa hipotenusa Trigonometria @mapasdaLoli Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com mapasdaLoli Feito por: Caroline de Vargas Pereira e Luis Eduardo Diehl Gonçalves Somos estudantes obstinados por conhecimento www.mapasdaloli.com.br Indicado para: Concurso Vestibular Enem Redes sociais: @mapasdaloli @mapasdaloli (55) 98428-3728 Licenciado para - Leticia Parra Salvioni - 40739160842 - Protegido por Eduzz.com
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