AP Controle Continuo

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Controle Contínuo 
Atividade Prática 
Prof. Samuel Polato Ribas 
1 
 
 
Projeto e Análise de Compensadores por Intermédio da 
Resposta em Frequência Utilizando o Fator k 
1. OBJETIVO 
Realizar o projeto e a análise de compensadores utilizando a técnica do fator 
k, aplicado a um conversor CC-CC abaixador de tensão; 
2. MATERIAL UTILIZADO 
A Atividade Prática de Controle Contínuo será utilizada com a utilização do 
software de simulação gratuito Scilab. O aluno poderá fazer o download do software 
no endereço. 
https://www.scilab.org/download/6.1.1 
Além disso, aconselha-se fortemente, assistir a Aula prática 1 (Aula 7) 
e a Aula Prática 3 (Aula 9). 
O aluno deverá simular e resolver os seguintes exercícios e entregar o 
relatório em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA no ícone 
Trabalhos. 
3. INTRODUÇÃO 
Os conversores CC-CC são circuitos eletrônicos de potência que tem a 
finalidade de alterar um nível de tensão em corrente contínua, da sua entrada para 
a sua saída, por isso são chamados de conversores CC-CC. Eles podem elevar ou 
diminuir uma tensão CC, dependendo da topologia e do funcionamento. 
Para esta Atividade Prática, vamos utilizar o conversor CC-CC abaixador de 
tensão, cujo circuito é mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1 – Conversor CC-CC abaixador-elevador de tensão. 
 
Este circuito possui uma função de transferência dada por 
𝐺(𝑠) =
𝑣𝑐(𝑠)
𝑑(𝑠)
=
𝐸
𝐿𝐶𝑠2 +
𝐿
𝑅 𝑠 + 1
 
https://www.scilab.org/download/6.1.1
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onde vc(s) que representa a tensão no capacitor saída é o sinal de saída, e d(s) que 
representa a razão cíclica é o sinal de entrada. 
Para os exercícios a seguir, considere os seguintes parâmetros da função 
de transferência. 
- L = 2 mH 
- C = 470 F 
- R = 2 Ω 
- E = 100 V 
- D = 0,25 
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar 
um sistema de controle para este conversor. 
O fator k é uma técnica de controle que permite o projeto de três tipos de 
compensadores, cada qual com sua característica específica, denominados de 
compensadores Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3, mostrados na Figura 2. 
Nos circuitos da Figura 2, o sinal IN é o sinal amostrado da tensão de saída 
do conversor CC-CC. O sinal Vref é o valor normalizado que se deseja na saída. 
 
 
Figura 2 – Compensadores do Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3. 
Por exemplo, vamos supor que um circuito como mostrado na Figura 1, 
possui uma tensão de saída (que é a tensão sobre o capacitor e sobre o resistor) 
seja de 100 V. Então deve-se projetar um divisor resistivo, por exemplo, de modo 
que a tensão no ponto médio seja equivalente a 100V. Esta tensão pode ser de 2,5 
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V, por exemplo, e será o sinal IN do compensador. 
Assim sabe-se que se no ponto médio do divisor resistivo houver 2,5 V, na 
saída haverá 100 V. Portanto, a tensão Vref deve ser de 2,5 V. 
Então os compensadores atuam sobre a diferença entre o sinal Vref e IN, e 
com base na atuação, resulta-se no sinal OUT, que atuará sobre o conversor, 
regulando a tensão de saída. 
Independentemente do tipo de compensador utilizado, alguns passos devem 
ser seguidos para o projeto dos compensadores. 
Passo 1) Obter o diagrama de Bode da planta em malha aberta. 
Passo 2) Escolher a frequência de corte desejada (fc). 
Passo 3) Escolher a margem de fase desejada (MF). 
A margem de fase é um valor escolhido pelo projetista que deve ficar entre 
45º e 90º. Para a maioria dos casos, 60º é uma boa escolha. 
Passo 4) Determinar o ganho do compensador (G). 
Este ganho é calculado fazendo 
 
20 log 𝐺 = 𝐺𝑑𝐵 
O valor de GdB é o valor obtido no gráfico de magnitude, em dB, do diagrama 
de Bode, na frequência de corte (fc) escolhida. 
Passo 5) Determinar o avanço de fase desejado (α). 
O avanço de fase desejado é dado por 
 
𝛼 = 𝑀𝐹 − 𝑃 − 90º 
onde P é a defasagem provocada pelo sistema, que é o ângulo na frequência de 
corte no gráfico de fase no diagrama de Bode. 
Passo 6) Escolher o compensador (Tipo 1, Tipo 2 ou Tipo 3). 
Passo 7) Cálculo do fator k 
Para um compensador do Tipo 1, o fator k é sempre 1. 
Para um compensador do Tipo 2, o fator k é dado por 
𝑘 = 𝑡𝑔 (
𝛼
2
+ 45º) 
 
Para um compensador do Tipo 3, o fator k é dado por 
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𝑘 = [𝑡𝑔 (
𝛼
4
+ 45º)]
2
 
 
Após o Passo 7, cada um dos compensadores possui um equacionamento 
específico para a determinação de seus componentes. 
Independentemente do tipo do compensador escolhido, deve-se atribuir um 
valor para o resistor R1, e a partir dele, e de alguns dados determinados nos Passos 
de 1 a 7, determina-se o valor dos demais elementos. 
A seguir segue o equacionamento de cada um dos compensadores. 
Compensador Tipo 1 
 
 
 
 
Compensador Tipo 2 
 
𝐶1 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
 
 
 
 
 
 
 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑅1
 
 
 
𝐶1 = 𝐶2(𝑘2 − 1) 
 
 
𝑅2 =
𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1
 
 
 
 
Compensador Tipo 3 
 
𝐶2 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅1
 
 
𝐶1 = 𝐶2(𝑘 − 1) 
𝑅2 =
√𝑘
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ 𝐶1
 
𝑅3 =
𝑅1
𝑘 − 1
 
𝐶3 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓𝑐 ∙ √𝑘 ∙ 𝑅3
 
 
 
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4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência do conversor CC-CC, apresente a 
reposta em frequência (diagrama de Bode) para uma frequência de 1 mHz até 1 MHz. 
Mostre o código que foi implementado no Scilab. 
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. 
 
Código 
Implementado 
no Scilab para a 
declaração da 
função de 
transferência e 
da resposta em 
frequência do 
conversor 
 
Execução de iniciação: 
carregando o ambiente inicial 
--> s = %s; 
 
--> L = 2e-3; //L = 2 mH 
 
--> C = 470e-6; //C = 470 uF 
 
--> R = 2; //R = 2 ohms 
 
--> Vi = 100; //Vi = 100 V 
 
--> D = 0.25; //D = 0,25 
 
--> fmin = 1e-3; //frequência mínima de 1 mHz 
 
--> fmax = 1e6; //frequência máxima de 1 MHz 
 
--> Gs = syslin('c',Vi/(L*C*s^2+(L/R)*s+1)); //funcão de transferência do 
conversor 
 
--> bode(Gs,fmin,fmax) //Digrama de Bode entre 1 mHz e 1 MHz 
Figura da 
resposta em 
frequência do 
conversor. 
Gráfico de 
módulo e de 
fase entre 1 
mHz e 1 MHz 
 
 
QUESTÃO 2) Para uma margem de fase de 60º projete os componentes de um compensador do 
Tipo 2, para o referido conversor CC-CC. 
Adote 100 Hz como frequência de corte desejada. 
Para o valor do resistor R1 adote o número do seu RU divido por 1000, sem arredondamentos. 
Exemplo 
𝑅𝑈 1649402 → 𝑅1 =
1649402
1000
→ 𝑅1 = 1649,402 
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Preencha a tabela com o que é solicitado. 
 
Defasamento provocado 
pelo sistema na 
frequência de corte 
desejada (P) 
 
 
Ganho em dB na 
frequência de corte 
desejada (GdB) 
 
 
Cálculo e valor do ganho 
do compensador (G) 
20*log (G)=41,03 
G= 113 
Cálculo e valor do 
avanço de fase desejado 
(alfa) 
 
 
 
 
 
Cálculo e valor do fator k 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo e valor de R1 R1= RU/1000 
R1=4406320/1000 
R1=4406,320 
Cálculo e valor de C2 
 
 
 
 
 
Cálculo e valor de C1 C1=C2.(k²-1) 
2.45nF×(1.3032−1) 
C=1.69nF 
Cálculo e valor de R2 
 
 
R2=1224KΩ 
 
 
QUESTÃO 3) Apresente a dedução matemática para a obtenção da função de 
transferência do compensador do Tipo 2, e a função de transferência numérica, 
considerando os valores dos componentes encontrados na QUESTÃO 2. 
 
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Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado. 
 
Dedução 
matemática da 
função de 
transferência do 
compensador 
do Tipo 2 
 
 
 
1224x1.69nF s
4406.320x1224Ωx1.69𝑛𝐹x(2.5𝑛𝐹 𝑠² + 4406.320x(1.69 + 2.45𝑛𝐹). 𝑠)
 
 
QUESTÃO 4) Considerando a função de transferência do compensador do Tipo2, 
dada por 
𝐶(𝑠) =
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
 =
𝑅2𝐶1𝑠 + 1
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2𝑠2 + 𝑅1(𝐶1 + 𝐶2)𝑠
 
 
Apresenta a função de transferência do compensador, preenchendo a tabela a 
seguir. 
 
Código Implementado no 
Scilab para a declaração da 
função de transferência e da 
resposta em frequência do 
compensador. 
 
--> // Definir a função de transferência 
 
 
--> Cs = syslin('c', (1224 * 1.69 * 10^-9 * s + 
1) / (4406.320 * 1.69 * 2.45 * 10^-9 * s^2 + 4406.320 * 
(1.69 * 10^-9 + 2.45* 10^-9) * s + 1)); 
 
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Figura da resposta em 
frequência do compensador. 
Gráfico de módulo e de fase 
entre 1 mHz e 1 MHz 
 
 
 
QUESTÃO 5) Obtenha a resposta ao degrau para o sistema em malha aberta sem 
compensação. 
- Sistema em malha aberta sem compensação: 
 
Em que d(s) = 0,25 e G(s) é a função de transferência da planta. O vetor de tempo 
deve ser declarado como t = (0:0.0001:0.03). 
Preencha a tabela a seguir com as respostas 
 
Código implementado no 
Scilab para a visualização 
da resposta ao degrau em 
malha aberta sem 
compensação. 
Execução de iniciação: carregando o 
ambiente inicial 
--> // Definir a variável s 
--> s = %s 
--> // Definir a função de transferência 
--> G = syslin('c', 100 / ((0.002 * 0.000470 * s^2) + 
((0.002 / 2) * s) + 1)); 
--> // Criar vetor de tempo 
--> t = 0:0.0001:0.03; 
--> // Calcular a resposta ao degrau 
 
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 --> y = csim('step', t, G); 
--> // Plotar o gráfico 
--> plot(t, y) 
--> title('Resposta ao Degrau') 
--> xlabel('Tempo (s)') 
--> ylabel('Amplitude') 
--> xgrid 
Figura da resposta ao 
degrau em malha aberta. 
 
 
 
QUESTÃO 6) Considerando o seguinte diagrama em malha fechada com 
compensação. 
 
em que C(s) é a função de transferência do compensador, e que G(s) é a função 
de transferência da planta. Apresente a resposta em frequência em malha aberta. 
 
Código 
implementado 
no Scilab para 
a visualização 
da resposta 
em frequência 
da função de 
 
Execução de iniciação: carregando o 
ambiente inicial 
--> // Definir a variável s 
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transferência 
em malha 
aberta. 
--> s = poly(0, 's'); 
--> // Definir as funções de transferência G e G2 
--> G = syslin('c', 100 / ((0.002 * 0.000470 * s^2) + 
((0.002/2) * s) + 1)); 
--> G2 = syslin('c', ((911000 * 0.00000175 * s) + 1) / 
((4317.5 * 0.911000 * 0.000000025 * s^2) + ((0.00000175 + 
0.0000025) * s))); 
--> // Somar as funções de transferência para obter a FTD 
--> FTD = G + G2; 
--> // Calcular a FTMF (Função de Transferência em Malha 
Fechada) 
--> FTMF = FTD / (1) 
--> // Bode Plot 
--> bode(FTMF, 0.001, 1000000); 
Figura da 
resposta em 
frequência da 
função de 
transferência 
em malha 
aberta de 1 
mHz até 1 
MHz. 
 
 
 
QUESTÃO 7) Apresente graficamente os polos e zeros da planta e do 
compensador. Utilize o comando plzr do Scilab. 
 
Código 
implementado 
no Scilab para 
 
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a visualização 
os polos e 
zeros da 
planta 
Execução de iniciação: 
carregando o ambiente inicial 
--> // Definir a variável s 
--> s = poly(0, 's'); 
--> // Definir a função de transferência da planta G 
--> G = syslin('c', 100 / ((0.002 * 0.000470 * s^2) + ((0.002 
/ 2) * s) + 1)); 
--> // Visualizar polos e zeros da planta G 
--> plzr(G); 
Figura dos 
polos e zeros 
da planta da 
planta, G(s) 
 
 
 
 
 
 
Código 
implementado 
no Scilab para 
a visualização 
os polos e 
zeros do 
compensador 
 
Execução de iniciação: carregando o 
ambiente inicia 
--> // Definir a variável s 
--> s = poly(0, 's') 
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--> // Definir a função de transferência da planta G 
--> G = syslin('c', 100 / ((0.002 * 0.000470 * s^2) + ((0.002 
/ 2) * s) + 1)); 
--> // Encontrar polos e zeros da planta G 
--> polos_G = roots(G.den); 
--> zeros_G = roots(G.num); 
--> // Exibir polos e zeros 
--> disp('Polos da planta G:'); "Polos 
da planta G:" 
--> disp(polos_G); 
-31.91489 + 883.68339i 
-531.91489 - 883.68339i 
--> disp('Zeros da planta G:') "Zeros 
da planta G:" 
--> disp(zeros_G); 
--> // Plotar polos e zeros 
--> plot2d(real(polos_G), imag(polos_G), style = 6, rect = [-5, -
5, 5, 5], axesflag = 'equal'); 
-> plot2d(real(zeros_G), imag(zeros_G), style = 5, rect = [- 5, -5, 
5, 5], axesflag = 'equal'); 
--> xlabel('Parte Real'); 
--> ylabel('Parte Imaginária'); 
--> title('Polos e Zeros da Planta G'); 
 
 
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Figura dos 
polos e zeros 
do 
compensador, 
C(s) 
 
 
Observações: 
Todas as observações a seguir devem OBRIGATORIAMENTE, serem atendidas. 
Qualquer uma delas que não seja atendida o trabalho será DESCONSIDERADO: 
 Não serão aceitas figuras na forma de fotos de caderno e fotos de tela do 
computador. Questões que não atenderem este item serão desconsideradas; 
 Todos os cálculos devem ser digitados utilizando um editor de equações. 
Figuras e textos com baixa resolução, ou em tamanho desproporcional serão 
desconsiderados. 
 As questões devem ser respondidas EXCLUSIVAMENTE no espaço 
destinado a cada cálculo nas tabelas apresentadas em cada questão. 
 O tamanho das tabelas pode ser alterado para que os cálculos e figuras 
caibam no espaço destinado à resposta. 
 Quaisquer outras dúvidas, podem ser esclarecidas pela tutoria. 
 
 
Opcional: 
Para os alunos que desejarem se aprofundar mais em relação a projetos de 
controladores por meio do fator k, podem ler o artigo, em inglês, no link 
https://cdn2.hubspot.net/hubfs/4867466/White%20Papers/Documents%20/The%2 
0K%20Factor.pdf 
Vale ressaltar que a leitura do artigo é opcional, não sendo necessária a sua 
leitura para a realização desta Atividade Prática. 
https://cdn2.hubspot.net/hubfs/4867466/White%20Papers/Documents/The%20K%20Factor.pdf
https://cdn2.hubspot.net/hubfs/4867466/White%20Papers/Documents/The%20K%20Factor.pdf