Álgebra Linear - UFRPE

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Álgebra linear - UFRPE
N1 - 2020.1
Michele Mendes Novais
14 de abril de 2021
Departamento de Matemática - UFRPE
Michele Mendes Novais
Álgebra linear - UFRPE
Sistemas lineares
Equação linear
Uma equação linear é uma equação do tipo
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b
trata-se de uma equação na qual cada termo tem grau, no
máximo, igual a 1. Os elementos de uma equação linear são:
• variáveis (incógnitas): x1, ..., xn.
• coeficientes: a1, ..., an.
• b ∈ R.
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Sistemas lineares
Equação linear
Resolver uma equação é encontrar o conjunto de todas as suas
soluções chamado conjunto solução da equação.
Exemplo 1.
Encontrar o conjunto solução da equação linear dada por x + y + z = 1.
x + y + z = 1⇒ x = 1− y − z .
Segue que o conjunto solução da Equação é
S = {(1− y − z , y , z); x , y , z ∈ R}
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Sistemas lineares
Sistema de Equações lineares
A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de
equações lineares.
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
...
am1x2 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
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Sistemas lineares
Sistema de Equações lineares
Exemplo 2. Encontrar o conjunto solução dos seguintes sistemas
lineares.
•
{
x + y = 3
x − y = 1
•
{
x + y = 3
2x + 3y = 8
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Sistemas lineares
Exemplo 2 - solução
•
{
x + y = 3
x − y = 1
fazendo L1 + L2 obtemos 2x = 4⇒ x = 2
e portanto, y = 1
Segue que S = {(2, 1)}
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Sistemas lineares
Exemplo 2 - solução
{
x + y = 3
2x + 3y = 8
fazendo − 2L1 obtemos
{
−2x − 2y = −6
2x + 3y = 8
Agora fazemos L1 + L2 (Considerando L1 do novo sistema,
obtemos y = 2 e portanto, x = 1
Segue que S = {(1, 2)}
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Sistemas lineares
Matrizes associadas a um sistema linear
Considerando o sistema
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Podemos representá-lo na forma matricial do seguinte modo
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
. . . · · ·
...
am1 am2 ... amn
 ·

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bn

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Sistemas lineares
Matrizes associadas a um sistema linear
A matriz

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
. . . · · ·
...
am1 am2 ... amn
 é a matriz dos coefecientes.
A matriz

b1
b2
...
bn
 é a matriz dos dos termos independentes
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Sistemas lineares
Matrizes associadas a um sistema linear
A matriz 
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 ... amn bn

é a matriz aumentada ou ampliada do sistema.
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Sistemas lineares
Exemplo 3.
O seguinte sistema linear
2x − 3y + 4z = 18
x + y − 2z = −5
−x + 3z = 4
, posui as seguintes matrizes:
 2 −3 4
1 1 −2
−1 0 3
 ,
 18
−5
4
 e
 2 −3 4 18
1 1 −2 −5
−1 0 3 3
 ,
Matriz dos coeficientes, Matriz dos termos independentes e Matriz ampliada,
respectivamente.
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Sistemas lineares
Conjunto Solução
Nosso objetivo é encontrar o conjunto solução de um sistema de
equações lineares. Paratanto, podemos migrar de um sistema para
outro que lhe seja equivalente e de resolução mais simples. Para
isso, usaremos as operaçẽs elementares sobre as linhas na matriz
amplianda do sistema linear.
Observação
Seja S um sistema linear com matriz ampliada A. Se aplicarmos às
linhas de A operações elementares, obtemos uma matriz A′, tal
que o sistema linear S ′, da matriz ampliada A′, é equivalente a S .
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Sistemas lineares
Operações elementares
Dada uma matriz A ∈ Mm×n(R), chamam-se operações
elementares as seguintes ações:
• Permutar duas linhas de A. Indicamos a troca das linhas Li e Lj
por Li ←→ Lj .
• Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo.
Indicamos a multiplicação de uma linha Li de A por um número
real λ escrevendo Li ←− λLi .
• Somamos a uma linha Li de A a uma outra linha Lj de A:
Indicamos por Li ←− Li + Lj .
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Sistemas lineares
Exemplo 3.
Vamos aplicar algumas operações elementares às linhas da matriz −3 2 5
0 1 6
8 4 −2
 .
Solução
 −3 2 5
0 1 6
8 4 −2
 L1 ←→ L3
 8 4 −2
0 1 6
−3 2 5

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Sistemas lineares
Exemplo 3. solução...
 −3 2 5
0 1 6
8 4 −2
 L2 ←− −3L2
 8 4 −2
0 −3 −18
−3 2 5

 −3 2 5
0 1 6
8 4 −2
 L2 ←− L2 + 2L3
 8 4 −2
16 9 2
8 4 −2

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Principais Referências
BOLDRINE José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;
FIGUEIREDO, Vera Lúcia e WETZLER, Henry G. Álgebra
Linear. 3a Edição. São Paulo:HARBRA,1986.
STEINBRUCH,Alfredo, Álgebra linar,2.ed/Alfredo Steinbruch,
Winterle, Paulo - São Paulo: pearson Makron Books,1987.
CALLIOLI, Carlos Alberto; DOMINGUES, Higino Hugueros e
COSTA, Roberto Celso Fabricio. Álgebra Linear e Aplicações.
6a Edição. São Paulo: Atual, 2003.
HOFFMAN, Kenneth; KUNZE, Ray Alden. Linear Álgebra. 2a
Edição, Prentice Hall, 1971
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