PROVA IME MATEMÁTICA

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RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA: IME 2004/2005 – MAX PAIVA 
 
 
 
 
 
CONCURSO DE ADMISSÃO 
AO 
CURSO DE FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO 
 
MATEMÁTICA 
2004/2005 
 
 
1a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Dada a função 
(156 156 )
( )
2
x x
f x
−
+
= , demonstre que: 
( ) ( ) ( ) ( )2f x y f x y f x f y+ + − =  
 
 
2a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme 
ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que: 
• A senha utilizada possui 4 dígitos. 
• O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha. 
• O segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior. 
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que 
com certeza ele consiga entrar na casa. 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
 
Teclado numérico 
 
 
3a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Sejam a, b, c, e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log
a
d , 
log
b
d e log
c
d são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre 
que: 
( )
log2 a b
c ac= 
 
 
4a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Determine o valor das raízes comuns das equações 
 
x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0 e x4 – 12x3 + 44x2 – 32x – 52 = 0 
 
 
 
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5a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Resolva a equação 
2sen11 cos3 3 sen 3 0x x x+ + = 
 
 
6a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que 
PA/PC = q, e o ponto Q sobre o lado BC de maneira que QB/QC = r. As cevianas AQ 
e BP encontram-se em T, conforme ilustrado na figura. Determine a área do 
triângulo ATP em função de S, q e r. 
 
 
 
 
7a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se 
por M duas secantes MF e MF’, que interceptam a elipse em P e P’, 
respectivamente. Demonstre que a soma 
'
' '
MF MF
FP F P
+ é constante. 
 
Obs.: Calcule inicialmente a soma 
1 1
MF FP
+ . 
 
 
8a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
 
Sejam a, b, e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + r ∙ x – t, onde r e t são números 
reais não nulos. 
 
A) Determine o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t. 
 
B) Demonstre que Sn + 1 + r ∙ Sn – 1 – t ∙ Sn – 2 = 0 para todo número natural n ≥ 2, onde 
Sk = ak + bk + ck, para qualquer número natural k. 
 
 
 
 
 
 
 
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9a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal 
que b2 ≠ 1. 
2
2
2
2
2
1 0 .... 0 0
1 .... 0 0
0 1 .... 0 0
.... .... .... .... ....
0 0 0 .... 1
0 0 0 ... 1
b b
b b b
b b
b b
b b
+
+
+
+
+
 
 
 
 
10a QUESTÃO Valor: 1,0 
 
Considere os pontos P e Q sobre as faces adjacentes de um cubo. Uma formiga 
percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre P e Q, cruzando a 
aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado na figura abaixo. É dado 
que os pontos P, Q, M e N são coplanares. 
 
A) Demonstre que MN é perpendicular a AC. 
 
B) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M 
em função de BC = a e BM = b.