P1 com Resposta - Farmácia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 2024.1
INSTITUTO DE MATEMÁTICA MAC108 - Cálculo Para Farmácia
Professor: Yan Robert Ortiz Blyth
Prova 1 - Funções e Limites - 15/05/2024
Orientações para a Prova:
• Somente será permitido ir ao banheiro após decorridos 1h do ińıcio da Prova. Para se ausentar em
definitivo, apenas após 1h e 30min do ińıcio da prova.
• Em hipótese alguma será permitido se ausentar da sala levando esta folha de questões nem o caderno
de respostas.
• O aluno deve responder a primeira questão da prova na primeira folha da prova, a segunda questão
na segunda folha e assim por diante. Os alunos que responderem às questões em folhas incorretas
não terão, inicialmente, estas questões corrigidas.
• Não é permitido consulta a qualquer fonte. Caso seja detectada qualquer tentativa de fraude
acadêmica, serão tomadas as medidas cab́ıveis.
• Justifique todas as respostas no caderno de respostas! Respostas sem justificativas
SERÃO zeradas.
Questão 1: (2,5 pts) Determine o Domı́nio, em notação de intervalo, para as funções abaixo:
a) (1,5 pts) f(x) = ln
(
x2 + 1
x2 − 4
)
b) (1,0 pts) g(x) =
ex√
x2 + 6x+ 5
Questão 2: (2,5 pts) Use o gráfico das funções elementares para esboçar o gráfico da função abaixo
e determine os pontos onde a função é cont́ınua. Em caso de descontinuidade, verifique também se é
cont́ınua pela esquerda ou pela direita.
f(x) =

sen (x) Se x ≤ 0
2(x− 2)2 − 8 Se 0 ≤ x < 2
2x− 4 Se 2 ≤ x
Questão 3: (2,5 pts) Em cada item, diga se existe ou não o limite. Se existir, escreva o valor do limite.
a)(1,5 pts) lim
x→3
2
√
x+ 1− 2
x− 3
b) (1,0 pts) lim
x→2
x3 − 6x2 + 11x− 6
x3 − 2x2
Questão 4: (2,5 pts) Para a função abaixo, determine o domı́nio e as asśıntotas verticais e horizontais,
caso existam.
f(x) =
√
x
x+ 2
Questão Extra: (1,0 pt) Considere a função f(x) = x2 − 2x. Encontre a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) em (1, f(1)). Para isso, siga os seguintes passos:
a) (0,25 pts) Calcule f(1).
b) (0,25 pts) Calcule o valor de lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
. Esse valor é o coeficiente angular da reta tangente,
também conhecido como a derivada de f(x) em x = 1
c) (0,25 pts) Considerando a equação da reta dada por y = a(x − 1) + f(1), use os itens a) e b) para
escrever a equação no formato y = ax+ b.
d) (0,25 pts) Esboce o gráfico de f(x) e desenhe a reta tangente ao gráfico no ponto (1, f(1))
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 2024.1
INSTITUTO DE MATEMÁTICA MAC108 - Cálculo Para Farmácia
Professor: Yan Robert Ortiz Blyth
Prova 1 - Funções e Limites - 15/05/2024
Respostas (Resolução será feita em sala no dia da Vista)
Questão 1:
a) D(f) = (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
b) D(g) = R = (−∞,−5) ∪ (−1,+∞)
Questão 2:
Ainda, f é cont́ınua em R− {2}. Em x = 2 é cont́ınua apenas pela direita.
Questão 3:
a)
1
4
b)
−1
4
Questão 4: Temos D(f) = (−∞,−2)∪ [0,+∞). Existe asśıntota vertical em x = −2. Existe asśıntota
horizontal y = 1.
Questão extra:
a) f(1) = −1
b) O limite é zero.
c) A reta tem equação y = −1 (reta horizontal)
2
d)
3