Funções Matemáticas

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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2 
FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2 
FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 5 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 5 
IMAGEM ..................................................................................... 13 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ......................................... 13 
ZERO DA FUNÇÃO AFIM .......................................................... 17 
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES .................... 17 
SINAL DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 22 
SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 23 
INEQUAÇÕES ........................................................................... 27 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 31 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 31 
INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 37 
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 45 
RESPOSTAS ............................................................................. 57 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 62 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e 
adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o 
triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 1. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
FUNÇÃO IDENTIDADE 
 
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o 
nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando 
associa a cada elemento x  ℝ o próprio x, 
isto é: 
 
 
𝑓: ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
 
 Desta forma, todos os pares 
ordenados que pertencem à função 
identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que 
a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º 
quadrantes. 
 
 
 
 
 
A imagem da função identidade é Im = ℝ. 
 
 
FUNÇÃO LINEAR 
 
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o 
nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa 
a cada elemento x  ℝ o elemento ax  ℝ 
onde a  0 é o número real dado, isto é: 
 
 
𝑓: ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
 
 
 É possível demonstrar que o gráfico 
da função linear é uma reta que passa pela 
origem, mas veremos esta demonstração 
mais a frente, num caso mais geral. 
 
 
 
 A imagem da função identidade é Im = 
ℝ e isto pode ser percebido facilmente, veja: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 
𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 ⇔ 𝑥 =
𝑦
𝑎
 
 
assim, 𝑥 =
𝑦
𝑎
∈ ℝ, a  0, tal que: 
 
y)x(f
a
y
a)x(f
xa)x(f



 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função 
𝑦 = 2𝑥. 
 
Resolução: como já sabemos que o gráfico 
da função linear é uma reta e que dois pontos 
distintos determinam uma reta, basta que 
encontremos dois pontos para construir o 
gráfico. Além disso, o gráfico da função linear 
passa sempre pela origem assim, já temos o 
ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais 
um ponto. 
Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x 
e calcular o correspondente y = 2x. 
 
𝑥 2 ∙ 𝑥 𝑦 
1 2 ∙ 1 2 
 
Agora devemos localizar, num sistema 
cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e 
traçar a reta PQ que será o gráfico 
procurado. 
 
 
Note que Im(f) = ℝ. 
 
Veja o gráfico na coluna a seguir. 
 
 
Ex.2: 
Construir o gráfico da função 𝑦 = −2𝑥. 
 
Resolução: 
Analogamente, temos: 
 
𝑥 −2 ∙ 𝑥 𝑦 
1 −2 ∙ 1 −2 
 
Agora, P(0; 0) e Q(1; -2). 
 
 
 Mais a frente, vamos tratar de um 
assunto que já pode ser observado nestes 
dois gráficos. Vamos, então, de forma 
incipiente, aproveitar a oportunidade. 
 
No Ex.1, o termo que multiplica o x é 
2. Este fator é chamado de “taxa de 
variação”. Isto significa que para cada uma 
unidade que o x varia, há uma variação de 2 
unidades em y. 
 
No Ex.2, essa taxa de variação é 
-2, ou seja, cada unidade em x faz o y variar 
em –2 unidades. 
 
Agora vamos construir alguns 
gráficos. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
1) Construa, num mesmo sistema 
cartesiano, os 4 gráfico de funções 
constantes a seguir. 
 
a) y = 2 
 
b) y = 2 
 
c) y = -3 
 
d) y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Construir, num mesmo sistema 
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ 
a seguir. 
 
a) y = x 
 
b) y = 2x 
 
c) y = 3x 
 
d) 
2
x
y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
3) Construir, num mesmo sistema 
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ 
a seguir. 
 
a) y = -x 
 
b) y = -2x 
 
c) y = -3x 
 
d) 
2
x
y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO AFIM 
 
Uma função 𝑓:ℝ → ℝ recebe o nome 
de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada 
elemento 𝑥 ∈ ℝ o elemento 
𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ ℝ onde 𝑎  0, isto é: 𝑓:ℝ → ℝ 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎  0 
 
 
 
1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 
 
2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 
 
3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 
 
4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 
 
 
 Observe este último exemplo. Note 
que, quando 𝑏 = 0, a função 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 assume a forma da função 
linear e, assim, podemos dizer que a função 
linear é um caso particular de uma função 
afim. 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO 
DO 1º GRAU 
 
 O gráfico da função do primeiro grau é 
uma reta e isto pode ser facilmente 
demonstrado. A demonstração não faz parte 
da ementa deste curso. Caso tenha interesse 
ou curiosidade, ela foi acrescentada no final 
desta apostila. 
 
 
 
Ex.1: Construir o gráfico da função 
y = 2x + 1. 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Resolução; 
Sabendo que este gráfico é uma reta, 
vamos encontrar dois de seus pontos, 
localiza-los no plano cartesiano e, em 
seguida traçar a reta. 
 
x 2x+1 y 
0 2 • 0 + 1 1 
1 2 • 1 + 1 3 
 
O gráfico da função, então, é uma reta 
que passa pelos pontos (0; 1) e 
(1; 3). 
 
 
 
 
 É facilmente perceptível, pelo gráfico, 
que tanto o domínio quanto a imagem desta 
função são formados por todos os números 
reais, assim: 
 
𝐷(𝑓) = ℝ e𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
Ex.2: Construir o gráfico da função 
y = -x + 3 
 
Resolução: 
De modo análogo, temos: 
 
x -x + 3 y 
0 -0 + 3 3 
2 -2 + 3 1 
 
Assim, o gráfico da função, então, é a 
reta que passa pelos pontos 
(0; 3) e (2; 1). 
 
 
𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
 
 
 
4) Construa nos planos cartesianos a seguir, 
o gráfico da cada uma das 8 funções 
apresentadas. 
(Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, 
inclusive, a tabela afim de que a construção fique 
organizada) 
 
 
 
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
a) y = 2x – 1 
x y 
 
 
 
 
 
 
b) y = x+2 
x y 
 
 
 
 
 
c) y = 3x+2 
x y 
 
 
 
 
 
 
d) 
2
3x2
y

 
x y 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
e) y = –3x – 4 
x y 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = –x – 1 
x y 
 
 
 
 
g) y = –2x + 3 
x y 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
2
x34
y

 
x y 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
5) Resolver analiticamente e graficamente o 
sistema de equações do 1º grau: 





4y3x2
3yx
 
(A resolução desta questão pode ser vista na 
secção de Respostas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Resolva analiticamente e graficamente os 
sistemas de equações do 1º grau: 
a) 





1yx
5yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b) 





8y3x2
14y2x3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 





4y4x2
2y2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO DO 1º GRAU7) Resolva os sistemas: 
a) 















4
1
yx
1
yx
1
4
3
yx
1
yx
1
 
 
Sugestão: faça b
yx
1
ea
yx
1




 
 
b) 















1
3yx2
3
1yx
2
12
5
3yx2
2
1yx
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
8) Obter a equação da reta que passa pelos 
pontos: 
a) (1; 2) e (3; -2). 
(A resolução deste item a) pode ser vista na secção de respostas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (2; 3) e (3; 5) 
 
 
 
 
c) (3; -2) e (2; -3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) (1; -1) e (-1; 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04 
 
 
 
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
IMAGEM 
O conjunto imagem de uma função 
afim 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
com 𝑎  0 é ℝ. 
De fato, qualquer que seja 𝑦  ℝ, 
existe 𝑥 =
𝑦−𝑏
𝑎
 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓 (
𝑦−𝑏
𝑎
) =
𝑎 ∙
𝑦−𝑏
𝑎
+ 𝑏 = 𝑦. 
 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM 
 O coeficiente a da função 
 f(x) = ax + b é denominado coeficiente 
angular ou declividade da reta representada 
no plano cartesiano. 
 
 O coeficiente b da função 
y = ax + b é denominado coeficiente linear. 
 
 Os coeficientes a e b tem influência 
sensível no gráfico da função afim. 
 
 Veja os exemplos a seguir onde são 
mostradas variações independentes em 
cada coeficiente. 
 
Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano 
cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note 
que em todos os casos, o coeficiente b não 
muda. A única variação é no coeficiente a. 
 
Observe que a variação do coeficiente 
a faz variar a declividade da reta que 
representa o gráfico da função. 
 
Ex.2: Agora você pode observar construções 
de funções que possuem o mesmo 
coeficiente angular variando, apenas, o 
coeficiente linear. 
 
Veja neste caso, que a variação do 
coeficiente b faz variar o ponto em que a reta 
do gráfico da função toca o eixo OY. 
 
 
9) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 
2. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de 
respostas) 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
10) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual 
a -3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-3; 1) e tem coeficiente angular igual 
a 
2
1
 . 
 
12) Obter a equação da reta que passa pelo 
ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual 
a 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Obter a equação da reta que tem 
coeficiente angular igual a -3 e passa pelo 
ponto (-3; -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
14) Dados os gráficos das funções 
de ℝ em ℝ, obter a lei de correspondência 
dessas funções. Para tal considere cada 
quadradinho como referência de uma 
unidade. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
ZERO DA FUNÇÃO AFIM 
 
 Zero ou raiz de uma função é todo 
número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. 
 
x é zero de y = f(x)  f(x) = 0 
 
 Assim, para determinar o zero de 
uma função afim, basta resolver a equação 
do 1º grau 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
 
que apresenta uma única solução 𝑥 = −
𝑏
𝑎
. 
 
 
Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1? 
2𝑥 − 1 = 0 → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 
1
2
 
Logo, a raiz da função é 
2
1
. 
 
Ex. 2: Podemos interpretar o zero da função 
afim como sendo a abscissa do ponto onde 
o gráfico corta o eixo OX. 
 
Note o gráfico da função 
f(x) = 2x – 1, intercepta o eixo das abscissas 
em 
2
1
x  , isto é, no ponto 





0;
2
1
. 
 
 
FUNÇÕES CRESCENTES OU 
DECRESCENTES 
 
 Uma função 𝑓: 𝐴  𝐵 definida por 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) é CRESCENTE no conjunto 
𝐴1  𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 
𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, temos 
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 
 
 Em termos técnicos, 𝑓 é crescente 
quando: 
 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐  𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐)) 
 
Esta expressão acima também pode 
ser escrita desta forma: 
 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏  𝒙𝟐 ⇒ 
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
> 𝟎) 
 
 
Em termos não técnicos, podemos 
dizer que uma função é crescente num certo 
intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor 
de y também aumenta. 
 
 Veja, agora, no gráfico, a 
caracterização de uma função crescente. 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Uma função 𝑓: 𝐴  𝐵 definida por 
𝑦 = 𝑓(𝑥) é DECRESCENTE no conjunto 
𝐴1  𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 
𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos 
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
 
 Em termos técnicos, 𝑓 é crescente 
quando: 
 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐  𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐)) 
 
Esta expressão acima também pode 
ser escrita desta forma: 
 
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏  𝒙𝟐 ⇒ 
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
< 𝟎) 
 
Em termos não técnicos, podemos 
dizer que uma função é decrescente num 
certo intervalo quando se, ao aumentar o x, 
o valor de y diminui. 
 
 Veja, agora, no gráfico, a 
caracterização de uma função decrescente. 
 
 
 
 
Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois 
tomados dois valores de x distintos x1 e x2 
com x1 < x2, temos: 
 
1x21x2xx 2121  
Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente 
pois tomados dois valores de x distintos x1 e 
x2 com x1 < x2, temos: 
2x32x3xx 2121  
 
Notemos que uma função y = f(x) pode 
assumir comportamentos variados 
(crescente ou decrescente) em todo o seu 
domínio. 
 
É bastante comum que, inclusive, que 
a função seja crescente em alguns intervalos 
e decrescentes em outros. 
 
 
Veja o exemplo abaixo. A função é 
decrescente em ℝ− e crescente em ℝ+ 
 
 
 
 
15) Com base nos gráficos a seguir, de 
funções de domínio e contradomínio reais, 
especificar onde a função é crescente e onde 
a função é decrescente. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 O estudo do comportamento quanto 
a crescimento ou decrescimento de uma 
função afim é feito em relação ao 
coeficiente angular. 
 
 A função afim é crescente se, e 
somente se, o coeficiente angular for 
positivo. 
 
Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, 
Se 𝒂 > 𝟎 então f é crescente. 
 
 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 

crescente é baxxf 
 
   

)xx(0
xx
xfxf
21
21
21 


 
   

0
xx
baxbax
21
21 


 

0
xx
baxbax
21
21 


 
 
0a
0
xx
xxa
21
21




 
 
 
Assim, podemos observar que 
 
f(x) = ax + b é crescente  a > 0 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e 
somente se, a < 0. 
 
17) Especificar se cada uma das funções 
abaixo é crescente ou decrescente. 
a) y = 2x + 8 
 
 
 
 
 
 
b) y = 3x – 9 
 
 
 
 
 
 
c) y = -4x + 6 
 
 
 
 
 
 
d) y = -2x – 6 
 
 
 
 
 
 
e) 1
5
x
y  
 
 
 
 
 
 
f) 
2
1
x2y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
g) 
2
x1
y

 
 
 
 
 
 
 
h) 
2
x3
1y  
 
 
 
 
 
 
18) Para quais valores de k a função 
f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Estudar, segundo os valores do 
parâmetro k, a variação (crescente, 
decrescente ou constante) das funções 
abaixo. 
a) y = (k – 1)x + 2 
(A resolução deste item a) pode ser vista na secção de respostas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = (k + 5)x – 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = (4 – k)x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d) y = k(x + 3) – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINAL DE UMA FUNÇÃO 
 
Seja a função 𝑓: 𝐴  𝐵 definidapor 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Estudar o sinal da função é 
determinar para que valores de x temos y 
maior, menor ou igual a zero. 
 
 Graficamente, isto pode ser feito 
observando os intervalos em que o gráfico 
está acima ou abaixo do eixo x. 
 
 Note que o que realmente interessa é 
o comportamento do gráfico em relação ao 
eixo OX não importando a posição do eixo 
OY. 
 
 
Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico 
está representado na figura a seguir. 
 
 
 
 Como foi dito, não importa a posição 
do eixo das ordenadas, então vamos retira-
lo e preparar um aspecto prático. 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: 
𝑓(𝑥) = 0 para 
𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 
 
𝑓(𝑥) > 0 para 
−3 < 𝑥 < 1 ou 1 < 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 8 
 
𝑓(𝑥) < 0 para 
𝑥 < −3 ou 4 < 𝑥 < 8 
 
 
 
20) Estudar o sinal das funções cujos 
gráficos estão representados a seguir. 
 
a) 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINAL DA FUNÇÃO AFIM 
 
Como vimos, estudar o sinal de uma 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa estabelecer, para 
cada valor de 𝑥  𝐷(𝑓), qual das sentenças 
é verdadeira: 
 
𝑦 > 0 𝑦 = 0 𝑦 < 0 
 
 Para a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
temos com dois casos a considerar: 
1º caso: 𝑎 > 0 
Neste caso a função é crescente. Como para 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎
)=0, vem: 
 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0 
 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0 
 
Considerando os valores de 𝑥 sobre 
um eixo, o sinal da função da função 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0, é: 
 
 
 Entende-se, com esta notação, que 
para valores de 𝑥 à direita de −
𝑏
𝑎
, a função 
retorna um valor positivo ( + ) e para valores 
à esquerda de −
𝑏
𝑎
, a função retorna valores 
negativos ( - ). 
 
 Um outro processo de analisarmos a 
variação do sinal da função afim é construir 
o gráfico cartesiano. 
 
 Já vimos que o gráfico cartesiano da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma reta e se o 
coeficiente angular a é positivo, a função é 
crescente. 
 
 Construindo o gráfico de 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0 e lembrando o 
que está sendo dito na página 22, que a 
posição do eixo y não importa, temos: 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
2º caso: 𝑎 < 0 
 
Neste caso a função é decrescente. Também 
para 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎
)=0, vem: 
 
 
𝑥 < −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0 
 
𝑥 > −
𝑏
𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎
) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0 
 
 
Considerando os valores de 𝑥 sobre 
um eixo, o sinal da função da função 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 < 0, é: 
 
 
 
 Entende-se, com esta notação, que 
para valores de 𝑥 à direita de −
𝑏
𝑎
 a função 
retorna um valor negativo ( - ) e para valores 
à esquerda de−
𝑏
𝑎
, a função retorna valores 
positivo ( + ). 
 
 Também podemos analisar com a 
construção do gráfico lembrando que para 
𝑎 > 0, a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
Podemos fazer um resumo do estudo 
do sinal da função afim como está no quadro 
em destaque na coluna ao lado. Observe: 
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0,
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 0,
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
 
 
Ex.1: Estudar o sinal da função 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
Resolução 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −
1
2
 
 
Como 𝑎 > 0 (𝑎 = 2), temos que 𝑓 é 
crescente, assim: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
1
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −
1
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
1
2
 
 
 Note que, de fato, quando 
procuramos, pela função acima, a imagem 
de um número qualquer maior que−
1
2
, 
encontraremos um valor positivo. A imagem 
de −
1
2
 é zero e a imagem de qualquer valor 
menor que −
1
2
 é um número negativo 
Só para exemplificar, vamos 
encontrar os valores de 𝑓(3) e de 𝑓(−5) 
 
𝑓(3) = 2 ∙ 3 + 1 = 7 
𝑓(−5) = 2 ∙ (−5) + 1 = −9 
 
Como previsto, a imagem de 3 é 
positiva e a imagem de -5 é negativa
 
 
 
MATEMÁTICA I 25 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Ex.2: Estudar o sinal da função 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3. 
Resolução: 
−2𝑥 + 3 = 0 ⟺ ⋯⟺ 𝑥 =
3
2
 
 
Como 𝑎 < 0 (𝑎 = −2), temos que a função 
𝑓 é decrescente, assim: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 <
3
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 =
3
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 >
3
2
 
 
 
Mais uma vez vamos verificar a resposta 
com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro 
menor que a raiz ( 1 ). 
 
    113121  ff 
 
    713525  ff 
 
 
 
 
21) Estudar os sinais das seguintes funções 
definidas em ℝ: 
a) f(x) = 2x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = -3x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) f(x) = 4 – x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = 5 + x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)  
2
3
x
xf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)  
2
3
3

x
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)  
3
4
2  xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) f(x) = -x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 163 – Exercícios 18 a 20 
 
 
 
MATEMÁTICA I 27 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
22) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 5. Determine os valores do 
domínio para os quais a função produz 
imagem maior que 0 (zero). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES 
 O último exercício apresentado (22) é 
um exemplo de inequação. Vamos agora 
resolver outras inequações. 
 
 
Ex.: Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 
f(x) = 4x – 5. Determine os valores do 
domínio para os quais a função produz 
imagem maior que 3. 
Resolução: 
Note que este exemplo é bem parecido com 
o último exercício. Para encontrar a solução, 
basta resolver a inequação 
 
4x – 5 > 3 
4x > 8 
x > 2 
Logo a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2} 
 
 
Ex.2: Considerando as funções 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3, determine 
os valores de x para os quais temos 
f(x)  g(x).
Resolução: 
Vamos resolver a inequação: 
4𝑥 − 1 ≤ −𝑥 + 3 
4𝑥 + 𝑥 ≤ 3 + 1 
5𝑥 ≤ 4 
𝑥 ≤
4
5
 
Solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤
4
5
} 
 
Esta solução pode ser verificada de fato 
quando você substitui em ambas as funções 
valores iguais. Vamos testar completando a 
tabela abaixo. Os dois primeiros valores são 
menores que 
4
5
 e os dois últimos são maiores. 
𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Qual é maior? 
−1 
1
3
 
4
5
 
1 
4 
 
Este mesmo exemplo pode ter uma 
solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, 
você pode ver os gráficos das duas funções. 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 Note que em 𝑥 = 
4
5
, as funções são 
iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para 
valores menores que
4
5
, a função 𝑓 é menor 
que a função 𝑔 e isto pode ser verificado pois 
à esquerda de 𝑥 =
4
5
 . o gráfico de 𝑓 está 
abaixo do gráfico de 𝑔. Esta situação se 
inverte à direita de 𝑥 =
4
5
. 
 
23) Para que valores reais de x a função 
𝑓(𝑥) =
2
3
−
𝑥
2
 é negativa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Para que valores do domínio da função 
de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =
3𝑥−1
2
 a 
imagem é menor que 4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 
𝑔(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =
4𝑥−1
2
 definidas e, ℝ, 
para quais valores de x tem-se: 
a) f(x) > g(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x) < h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 29 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
c) f(x)  h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) 
 
Dados os gráficos das funções 𝑓, 𝑔 e ℎ 
definidas em ℝ e considerando cada 
quadrinho como uma unidade, determine os 
valores de 𝑥  ℝ, tais que: 
a) f(x) > g(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x)  h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x)  h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) g(x) > 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f(x)  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
27) Dado um número real k, a função𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada 
de função linear (pág. 2). 
a) Prove que o gráfico da função linear passa 
pela origem do sistema de ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Prove que se f é linear então 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
28) Uma grandeza y é diretamente 
proporcional a uma grandeza x quando y é 
uma função linear de x. Se y é diretamente 
proporcional a x e quando 𝑥 = 4 temos 
 𝑦 = 10. Então, para 𝑥 = 10, qual é o valor 
de y? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 31 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES 
Um sistema de inequações é um 
conjunto de duas ou mais inequações 
consideradas simultaneamente o que 
equivale a inequações em x separadas pelo 
conectivo e. O conjunto solução do sistema 
de inequações é a INTERSECÇÃO dos 
conjuntos-solução das diversas 
inequações que a formam. 
 
 
Ex.1: Resolver o sistema de inequações 
{
3 − 2x ≤ 1 ①
 3x − 1 ≤ 5 ②
 
 
Resolução: 
De ①, 
3 − 2x ≤ 1 
−2𝑥 ≤ −2 
2𝑥 ≥ 2 
𝑥 ≥ 1 
 
 
De ②, 
3x − 1 ≤ 5 
3𝑥 ≤ 6 
𝑥 ≤ 2 
 
 
 
Vamos, agora, fazer a interseção entre as 
soluções: 
 
 
 
Logo, a solução é: 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
Ex.2: Resolver o sistema 
{
𝑥 − 1
3
−
𝑥 + 1
4
≥ 4 ①
1 −
𝑥 + 2
3
≥ 0 ②
 
 
 
 
 
De ①, 
   
2929
245243322
4
6
1312
4
2
1
3
1








xx
xxx
xxxx
 
 
 
 
De ②, 
11
23
3
2
10
3
2
1






xx
x
xx
 
 
 
 
 
Solução: 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −29} 
 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS 
 
Uma dupla desigualdade 
f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em 
duas desigualdades simultâneas, isto é, 
equivale a uma sistema de duas inequações 
em x separadas pelo conectivo e, aquele 
mesmo da intersecção entre conjuntos que 
estudamos na primeira apostila. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Por isso, para resolver uma situação 
com inequações simultâneas, devemos 
gerar um sistema de duas (ou mais) 
inequações e fazer a intersecção entre as 
soluções de cada inequação. Assim: 
     
   
   





xhxg
xgxf
xhxgxf 
 
 Indicando por S1 o conjunto solução 
da primeira inequação e por S2 o conjunto 
solução da segunda inequação, o conjunto 
solução das inequações simultâneas é: 
S = S1  S2 
 
 
Ex.: Resolver 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 
Resolução: 
 
{
3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ①
−𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 ②
 
 
De ①, De ②, 
4
1
14
323



x
x
xx
 
x
x
xx



2
1
21
43
 
 
A intersecção desses dois conjuntos é 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| −
1
2
≤ 𝑥 <
1
4
} 
 
 
29) Resolver os sistemas a seguir: 
a) 





0123
033
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
b) 





4826
2315
xx
xx
 
 
 
 
c) 
   
 




0225
01212
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d) 
   
 




xxx
xx
71136
152231
 
 
 
30) Resolver as inequações em : 
a) -2 < 3x – 1 < 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) -4 < 4 – 2x  3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
c) -3 < 3x – 2 < x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 1
2
371 
x
xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 3x + 4 < 5 <6 – 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
31) Com base nos gráficos das funções f, g 
e h definidas em , determinar os valores 
de x  , tais que: 
 
 
a) f(x) < g(x)  h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) g(x)  f(x)  h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) h(x)  f(x) < g(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 37 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
INEQUAÇÕES-PRODUTO 
 
Sendo 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) duas funções na 
variável 𝑥, as inequações 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) < 0 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥)  0 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥)  0 
 
são denominadas inequações-produto. 
 
 Vejamos, por exemplo, como 
determinamos o conjunto solução S de uma 
inequação do tipo 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0. 
 
 De acordo com a regra dos sinais do 
produto de números reais, um número 𝑥0 é 
solução da inequação 𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 se, e 
somente se, 𝑓(𝑥0) e 𝑔(𝑥0), não nulos, têm o 
mesmo sinal. 
 
 Assim, são possíveis dois casos: 
 
1º: 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) > 0 
 Se S1 e S2 são, respectivamente, os 
conjuntos-soluções dessas inequações, 
então S1  S2 é o conjunto solução do 
sistema. 
 
 
2º: f(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) < 0 
 Se S3 e S4 são, respectivamente, os 
conjuntos-soluções dessas inequações, 
então S3  S4 é o conjunto solução do 
sistema. 
 
 Daí concluímos que o conjunto-
solução da inequação produto 
𝑓(𝑥)  𝑔(𝑥) > 0 é: 
 
S = (S1  S2 )  (S3  S4 ) 
 
 Um raciocínio análogo poderia ser 
feito para f(x)  g(x) < 0 porém buscando 
intervalos onde as funções possuem sinais 
diferentes. 
 Também no caso de f(x)  g(x)  0 ou 
f(x)  g(x)  0, podemos agir da mesma forma 
sendo possível, neste caso, marcar os 
pontos que anulam cada função. 
 
 
Ex.1: Resolver em ℝ a inequação 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) > 0. 
 
Resolução 
Como estamos procurando valores 
para x que tornem o produto 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) positivo, então sabemos 
que (𝑥 + 2) e (2𝑥 − 1) devem ter o mesmo 
sinal. 
A forma mais prática de encontrar os 
intervalos onde isto acontece é fazer um 
estudo dos sinais de cada parte e montar 
num quadro como você verá. 
 
f(x) = x + 2 
x + 2 = 0  x = -2 
Como a função é crescente, 
 
 
 
 
 
2
1
012
12


xx
xxg
 
Esta função também é crescente, então, 
 
 Vamos agora montar um quadro para 
o estudo do sinal da inequação produto: 
 
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
Assim temos a solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 >
1
2
} 
 
 
Ex.2: Resolver em ℝ a inequação 
(3𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) ∙ (3 − 𝑥) < 0 
 
Resolução: 
 
3
2
023
23


xx
xxf
 
 
 
101
1


xx
xxg
 
 
 
303
3


xx
xxh
 
 
 
 O próximo passo é montar o quadro 
de sinais onde a linha S é a solução obtida 
de 
     xhxgxf  
 
E temos a solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 <
2
3
 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 Quando uma inequação-produto 
apresenta  ou , devemos lembrar que as 
raízes de cada uma das funções que formam 
a inequação-produto zeram toda a 
inequação e, desta forma, devem fazer parte 
da solução. 
 
 Veja no exemplo. 
 
 
Ex.1: Resolver, em ℝ, a inequação 
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) ≥ 0 
 
 
f(x) = x + 2 
x + 2 = 0  x = -2 
 
 
 
2
1
012
12


xx
xxg
 
 
 
 
 
Assim temos a solução: 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥
1
2
} 
_____________________________ 
 
 
 Dentre as inequações-produto, são 
importantes as inequações do tipo: 
 
     
      00
00


nn
nn
xfxf
xfxf
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 39 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 Para resolver estas inequações, 
vamos lembrar duas propriedades das 
potências de base real e expoente inteiro: 
 “toda potência de base real e 
expoente par é um número real não 
negativo”, isto é: 
 
Nn,a,a n  02
 
 
 “toda potência de base real e 
expoente ímpar conserva o sinal da 
base”, ou seja: 
 
Nnaa
aa
aa
n
n
n






00
00
00
12
12
12
 
 
Assim sendo, temos as seguintes 
equivalências: 
 
  
 
 





parénsexf
ímparénsexf
xf
n
0
0
0 
 
  
 






parénsex
ímparénsexf
xf
n 0
0 
 
  
 
 





parénsefDx
ímparénsexf
xf
n 0
0 
 
  
 
 





parénsexf
ímparénsexf
xf
n
0
0
0 
 
 
 
 
Ex.1: 
 







3
2
023023
3
x|xSxx 
Ex.2: 
 






4
3
034034
6
x|xSxx 
 
Ex.3: 
 







2
1
512012
5
x|xSxx 
 
Ex.4: 
   Sx 02
4
 
 
Ex.5: 
   4028028
7
 x|xSxx 
 
Ex.6: 
   Sx 013
2
 
 
Ex.7: 
   4048048
4
 Sxx 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
32) Resolver em ℝ as inequações a seguir: 
a)    03533  xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)    02524  xx 
c)     034225  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)     064323  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 41 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
e)    07216  xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)    02725  xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)     0351423  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)     0412735  xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
33) Resolver em ℝ as inequações a seguir: 
a)   03
4
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)   083
3
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)   054
6
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)   071
5
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)   053
2
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)   015
3
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)   034
4
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)   083
5
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 43 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
34) Resolver em ℝ a inequação 
    0323
65
 xx 
(Esta questão está resolvida na seção de Respostas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Resolver em ℝ as inequações: 
a)     02745
34
 xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b)       045213
853
 xxx c)       054266
1047
 xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
d)       0646215
68
 xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 164– Ver R.7 
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE 
 
Sendo f(x) e g(x) duas funções de 
variável real x, as inequações do tipo 
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
0
xg
xf
 
 
 
são denominadas inequações-quociente. 
 
 Considerando que regras de sinais do 
produto e do quociente de números reais são 
análogas, podemos, então, construir o 
quadro-quociente de modo análogo ao 
quadro-produto observando o fato de que o 
denominador de uma fração nunca pode ser 
nulo. 
 
 
 
Ex.: Resolver em ℝ a inequação 2
1
43



x
x
. 
 Resolução: 
Inicialmente devemos transformar a 
desigualdade de forma a compará-la a 0 
(zero). 
 
 
0
1
25
0
1
2243
0
1
12
1
43
02
1
43
2
1
43


















x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
5
2
025
25


xx
xxf
 
 
 
101
1


xx
xxg
 
 
 
Fazendo o quadro-quociente para o estudo 
dos sinais, temos: 
 
Solução: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −
2
5
 𝑜𝑢 𝑥 > 1} 
 
 
36) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 0
2
12



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 0
23
23



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 0
18
43



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
d) 0
13
23



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 1
43
35



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2
43
25



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 3
1
1



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 1
42
53



x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
38) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 
  
 
0
4
4321



x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
  
0
3552
13



xx
x
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 
  
 
0
45
1445



x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
  
0
35
21



xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 51 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
39) Resolver em ℝ as inequações: 
a) 
3
2
4
1


 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
2
1
1


 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 
4
3
2
1





x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
53
2
23
5





x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 53 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
e) 
54
15
14
25





x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 0
3
3
2
2
1
1





 xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 54 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
g) 
1
1
1
1
13
2




 xxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 168– Análise de Resolução 
 
40) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = x 
g(x) = x + 3 
h(x) = x - 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
41) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = -x 
g(x) = -x + 3 
h(x) = -x - 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) Construa, num mesmo plano cartesiano, 
o gráfico das funções abaixo. 
f(x) = 2x - 4 
g(x) = x - 4 
h(x) = -x - 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 56 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
43) Construa o gráfico da função: 
 






163
12
xparax
xparax
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) Construa o gráfico da função: 
 









45
423
232
xparax
xparax
xparax
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 57 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
RESPOSTAS 
1) 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
4) a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 58 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 f) 
 
 
 
 g) 
 
 
 h) 
 
 
5) Resolução: 
SOLUÇÃO ANALÍTICA. 
Existem diversas formas de se 
resolver analiticamente esta questão como, 
por exemplo, por substituição, por adição ou 
por comparação. Aqui vou resolver apenas 
por adição, mas você pode [e deve] escolher 
outra forma. 
{
𝑥 − 𝑦 = −3 × (−2)
2𝑥 + 3𝑦 = 4
 →
−2𝑥 + 2𝑦 = 6 
2𝑥 + 3𝑦 = 4 
 
Fazendo + encontramos: 
5𝑦 = 10 → 𝑦 = 2 
Substituindo em 
2𝑥 + 3 ∙ 2 = 4 → ⋯ → 𝑥 = −1 
 
 Solução: 𝑆 = {(−1; 2)} 
 
 
 SOLUÇÃO GEOMÉTRICA 
 O primeiro passo para resolver pelo 
método geométrico é escrever um sistema 
equivalente àquele dado porém isolando y 
em ambas as equações. 














3
4x2
y
3xy
4y3x2
3yx
 
Agora vamos construir os gráficos de cada 
umas das funções afins e o ponto de 
intersecção entre os dois gráficos será a 
solução do sistema. 
x 3x y x 
3
4x2  
Y 
0 30 3 2 
3
422  0 
-4 
34
 
-
1 
 -4 
 
3
442  
4 
 
 
 
 
Solução: 𝑆 = {(−1; 2)} 
 
6) a) 𝑆 = {(3; 2)} 
 
 
 b) 𝑆 = {(−2; 4)} 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 59 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 c) 𝑆 = Ø 
 
 
7) a) 𝑆 = {(3; −1)} 
 b) 𝑆 = {(2; 1)} 
8) ResoluçãoSe estamos procurando uma 
equação de reta, então esta equação 
assumirá a forma de uma função afim do tipo 
y = ax + b. 
Desta forma, considerando que o 
ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = 
ax + b, temos a sentença verdadeira 
2 = a • 1 + b  a + b = 2 
 Analogamente, para o ponto 
(3, -2) obtemos: 
-2 = a • 3 + b  3a + b = -2 
Resolvendo, agora, o sistema 





2ba3
2ba
 
encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e 
b em y = ax + b, encontramos a equação 
procurada que, neste caso, é: 
y = -2x + 4 
 
 b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 c) 𝑦 = 𝑥 – 5 
 d) 𝑦 =
1−3𝑥
2
 
 
9) Resolução 
 A equação procurada é da forma y = ax + b. 
Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x 
= 1, y = 3 e 
a = 2 em y = ax + b, vem: 
 
3 = 2 • 1 + b  b = 1 
Logo, a equação procurada é 
 
y = 2x + 1 
 
10) 𝑦 = −3𝑥 − 2 
 
11) 𝑦 = −
𝑥
2
−
1
2
. 
 
12) 𝑦 =
3
2
𝑥 − 4. 
13) 𝑦 = −
𝑥
3
− 3. 
 
14) a) 𝑦 =
𝑥
3
+
1
3
 
 b) 𝑦 = −
𝑥
2
+ 4 
 c) 𝑦 =
2𝑥
3
−
1
3
 
 d) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
15) a) Crescente: 
 ] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ 
Decrescente: 
]-7; -6[ e ]-4; 1[ 
 b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [ 
Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ 
 c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0;  [ 
 
16) Demonstração 
 
17) Crescente: a, b, e, f, g. 
Decrescente: c, d, h. 
 
18) 𝑘 > −5 
 
19) a) Crescente para 
k – 1 > 0  k > 1 
Constante para 
k – 1 = 0  k = 1 
Decrescente para 
k – 1 < 0  k < 1 
 b) Cresc.: k > -5 
Const.: k = -5 
Decresc.: k < -5 
 c) Cresc.: k < 4 
Const.: k = 4 
Decresc.: k > 4 
 d) Cresc.: k > 0 
Const.: k = 0 
Decresc.: k < 0 
 
20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou 
x = 4 ou x = 7 
f(x) > 0 para x < -1 ou 
0 < x < 4 ou x > 7 
f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 
4 < x < 7 
 b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou 
x = 6 
f(x) > 0 para -4 < x < 1 
 
CÁSSIO VIDIGAL 60 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
f(x) < 0 para x < -4 ou 
1 < x < 6 ou x > 6 
 c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou 
x = 2 
f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 
f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 
0 < x < 2 
 
21) a) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
3
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −
3
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −
3
2
. 
 b) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 
2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >
2
3
. 
 c) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 4
. 
 d) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −5
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −5
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −5
. 
 e) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 6
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 6
. 
 f) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
9
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −
9
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −
9
2
. 
 g) 
{
 
 
 
 𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 
2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2
3
. 
 h) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
. 
 
22) 𝑥 > −
5
4
 
 
23) 𝑥 >
4
3
 
 
24) 𝑥 < 3 
 
25) a) 𝑥 ≥ −
1
5
 
 b) 𝑥 >
1
2
 
 c) ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
26) a) 𝑥 > 2 
 b) 𝑥  0 
 c) ∄𝑥 ∈ ℝ 
 d) 𝑥 < −2 
 e) 𝑥  3 
 
27) (Demonstração) 
 
28) 𝑦 = 25 
 
29) a)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 < 𝑥 < 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 <
1
2
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
4
3
} 
 d) 𝑆 = ∅ 
 
30) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 <
5
3
} 
 b)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 
1
2
≤ 𝑥 < 4} 
 c)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 < 1} 
 d)𝑆 = ∅ 
 e)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
1
3
} 
 f)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 1} 
 
31) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 ≤ 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
 c) 𝑆 = ∅ 
 
32) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 >
3
5
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
2
𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
3
4
𝑜𝑢 −
2
5
< 𝑥 < 2} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
2
3
< 𝑥 <
4
3
𝑜𝑢 𝑥 > 6} 
 e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
7
2
𝑜𝑢 𝑥 ≥
1
6
} 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
2
7
≤ 𝑥 ≤
5
2
} 
 g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
3
5
𝑜𝑢 −
1
4
≤ 𝑥 ≤
3
2
} 
 h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |
1
4
≤ 𝑥 ≤
5
3
𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
2
} 
 
33) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
8
3
} 
 c) 𝑆 = ∅ 
 
 
 
MATEMÁTICA I 61 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <
1
7
} 
 e) 𝑆 = ℝ 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −
1
5
} 
 g) 𝑆 = {−
4
3
} 
 h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
8
3
} 
 
34) Solução: 
 Estudaremos, separadamente, os 
sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e 
g(x) = (2x + 3)6. 
 
 Lembrando que potência de 
expoente ímpar e base real tem sinal da 
base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao 
sinal de x – 3, isto é: 
 
 
 A potência de expoente par e base 
real não nula é sempre positiva, então (2x 
+ 3)6 é positivo se 
2
3
x e é nulo se 
2
3
x , isto é: 
 
 
 
Montando o quadro para estudo de sinais, 
temos: 
 
 
Assim, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 ≠ −
3
2
} 
 
35) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
2
7
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
3
< 𝑥 <
2
5
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −6 𝑜𝑢 𝑥 =
1
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
5
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥
1
5
𝑜𝑢 𝑥 = −3} 
 
36) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > −
1
2
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
2
3
𝑜𝑢 𝑥 >
3
2
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
1
5
< 𝑥 ≤
3
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −
3
2
𝑜𝑢 𝑥 > −
1
3
} 
 
37) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <
7
8
𝑜𝑢 𝑥 >
4
3
} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −10 𝑜𝑢 𝑥 > −
4
3
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 ≤ 𝑥 < −1} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 2} 
 
38) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
3
4
< 𝑥 <
1
2
𝑜𝑢 𝑥 > 4} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
2
 𝑜𝑢 −
3
5
< 𝑥 < −
1
3
} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤
4
5
𝑜𝑢 −
1
4
≤ 𝑥 <
5
4
} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |
1
2
≤ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 5} 
 
39) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 11} 
 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 4 < 𝑥 < −2} 
 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
3
𝑜𝑢 −
29
24
≤ 𝑥 < −
2
3
} 
 e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −
5
4
< 𝑥 < −
9
42
𝑜𝑢 𝑥 >
1
4
 } 
 f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 1 𝑜𝑢
3
 2
< 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 
1
3
<
𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3} 
 
40) 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 62 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
41) 
 
 
42) 
 
 
43) 
 
 
 
44) 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; Matemática. 
São Paulo, Ática, 2004 
MACHADO, Antônio dos Santos; 
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, 
Atual, 1988 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição 
 
 
Links para as vídeos-aulas sugeridas 
 
Pág. 06 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ 
graficof1g/ 
 
Pág. 25 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ 
estudosinalf1g 
 
Pág. 39 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ 
inequacao-produto/ 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 63 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Demonstração: 
 
 
 
Sejam A, B e C três pontos quaisquer 
distintos pertencentes ao gráfico cartesiano 
da função y = ax + b com a  0 e (x1; y1), (x2; 
y2) e (x3, y3), respectivamente, as 
coordenadas cartesianas destes pontos. 
 
Para provar que os pontos A, B e C 
pertencem a uma mesma reta, vamos 
mostrar, em princípio, que os triângulos 
ABD e BCE são semelhantes. 
 
Note que 
: 
 
 
  3baxyfy;x
2baxyfy;x
1baxyfy;x
3333
2222
1111



 
 
Fazendo 23  , temos: 
  4xxayy
baxy
baxy
2323
22
33



 
 
Fazendo 12  , temos: 
  5xxayy
baxy
baxy
1212
11
22



 
 
De 4 , 
 
12
12
1212
xx
yy
a
xxayy




 
 
 
De 5 , 
 
23
23
2323
xx
yy
a
xxayy




 
 
 
Assim, 
23
23
12
12
xx
yy
xx
yy
a





 
 
 
Logo os triângulos ABD e BCE são 
semelhantes e assim, os ângulos  e  são 
iguais e, consequentemente A, B e C estão 
alinhados. Daí está provado que o gráfico da 
função afim é uma reta. 
 
 Sabendo, agora, que o gráfico da 
função afim é uma reta e que para 
determinar uma reta precisamos apenas de 
dois pontos, vamos usar deste recurso para 
construir tais gráficos. Veja nos exemplos a 
seguir.