Indução em Teoria dos Números

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Teoria dos Números 21
(c) Mostre que
√
a < a, para todo a ≥ 2;
(d) Supondo que an < a, prove que an+1 <
√
2a;
(e) Mostre que an+1 < a;
(f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.
(24) (ENADE-2011) Considere a sequência númerica definida por:{
a1 = a
an+1 = 4an
2+a2n
, para n ≥ 1
Use o prinćıpio de indução finita e mostre que an <
√
2 para todo número
natural n ≥ 1 e para 0 < a <
√
2, seguindo os passos indicados nos itens a
seguir:
(a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada;
(b) Mostre que s = 4a
2+a2
> 0 para a > 0;
(c) prove que s2 < 2, para todo 0 < a <
√
2;
(d) Mostre que 0 < s <
√
2
(e) Suponha que an <
√
2 e prove que an+1 <
√
2.
(f) Conclua a prova por indução.
22 Teoria dos Números
Respostas da Lista de Exerćıcios 2
(01.a) Fazendo n = 5 na sentença dada, temos:
P (5) : 4 + 10 + 16 + ... + (6.5 − 2) = 5.(3.5 + 1). Isso indica que o somatório no lado
esquerdo tem o número 4 na primeira parcela e 28, na última parcela. Ficando então:
P (5) : 4 + 10 + 16 + 22 + 28 = 5.16. Como os valores resultantes em ambos os lados são
iguais a 80, verifica-se a identidade, logo P (5) é verdadeira;
(01.b) P (7) : 4 + 10 + 16 + 22 + 28 + 34 + 40 = 7.22. Ambos os resultante são iguais a
154, logo P (7) é verdadeira;
(01.c) P (k) : 4 + 10 + 16 + ...+ (6k − 2) = k(3k + 1);
P (k + 1) : 4 + 10 + 16 + ...+ (6k − 2) + (6(k + 1)− 2) = (k + 1)(3k + 4);
P (k + 2) : 4 + 10 + 16 + ...+ (6(k + 1)− 2) + (6(k + 2)− 2) = (k + 2)(3k + 7).
(02.a) P (4) : 4! > 43, a qual é falsa, pois 4! = 24 < 43 = 64;
(02.b) P (6) : 6! > 63, a qual é verdadeira, pois 6! = 720 > 63 = 216;
(02.c) P (k) : k! > k3; P (k + 1) : (k + 1)! > (k + 1)3; P (k + 2) : (k + 2)! > (k + 2)3.
(06) Fazendo a demonstração por indução em n:
(i) Base de Indução:
Para n = 1, temos a igualdade: 12 = 1.(1+1)(2.1+1)
6 . Logo P (1) é verdadeira;
(ii) Passo Indutivo: P (n)⇒ P (n+ 1):
ou seja,
12 + 22 + ...+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6︸ ︷︷ ︸
P (n)−Hipótese de Indução
⇒ 12 + ...+ n2 + (n+ 1)2 =
(n+ 1)((n+ 1) + 1)(2(n+ 1) + 1)
6︸ ︷︷ ︸
P (n+1)
Suponha P (n) verdadeira. Somando (n+ 1)2 em ambos os lados em P (n) obtemos:
12 + 22 + ...+ n2 + (n+ 1)2 = n(n+1)(2n+1)
6 + (n+ 1)2.
Somando agora as parcelas no lado direito:
12 + 22 + ... + n2 + (n + 1)2 = (n+1)
6 (n(2n + 1) + 6(n + 1)) = (n+1)(n+2)(2n+3)
6 , a qual é a
identidade dada em P (n+ 1). Com isto mostramos a implicação P (n)⇒ P (n+ 1).
De (i) e (ii), segue que P (n) é verdadeira para todo n ≥ 1.
(16) Fazendo a demonstração por indução em n:
(i) Base de Indução:
Para n = 10, verifica-se a desigualdade, pois 210 = 1024 > 103 = 1000.
(ii) Passo Indutivo: P (n)⇒ P (n+ 1):
ou seja,
2n > n3︸ ︷︷ ︸
P (n)−Hipótese de Indução
⇒ 2n+1 > (n+ 1)3︸ ︷︷ ︸
P (n+1)
Suponha P (n) verdadeira. Então
2n+1 = 2.2n > 2.n3 - pela hipótese de indução
= n3 + n3 > n3 + 3n(n+ 1) + 1 - pela questão (15)
= n3 + 3n2 + 3n+ 1 = (n+ 1)3.
Portanto 2n+1 > (n+ 1)3. Com isto mostramos a implicação P (n)⇒ P (n+ 1).
De (i) e (ii) segue que P (n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ 10.
(20.a)
∑5
i=1(2i+ 3) = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) = 45;
(20.b)
∑4
i=1(i+ 1)(i+ 2) = (2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6) = 68;
(20. c)
∑2
j=1
∑3
i=1 2i.3j =
∑3
i=1 2i.3 +
∑3
i=1 2i.32 = (2 + 4 + 8).3 + (2 + 4 + 8).9 = 168.