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<p>Resolução da Lista de Exerćıcios - Análise</p><p>Matemática 2</p><p>Universidade de Pernambuco - Campus Petrolina</p><p>Questão 1 (Correção)</p><p>Para todo x ∈ R∗, provar que (1 + x)2n > 1 + 2nx.</p><p>Solução (Usando indução matemática):</p><p>Passo 1 - Base da indução: Para n = 1, temos que:</p><p>(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2.</p><p>Como x2 > 0 para todo x ∈ R∗, segue que:</p><p>(1 + x)2 > 1 + 2x.</p><p>Logo, a base da indução é verdadeira.</p><p>Passo 2 - Hipótese de indução: Suponha que a desigualdade seja ver-</p><p>dadeira para n = k, ou seja:</p><p>(1 + x)2k > 1 + 2kx.</p><p>Passo 3 - Passo indutivo: Devemos mostrar que a desigualdade também</p><p>é válida para n = k + 1. Consideremos:</p><p>(1 + x)2(k+1) = (1 + x)2k+2 = (1 + x)2(1 + x)2k.</p><p>Pela hipótese de indução, temos que (1 + x)2k > 1 + 2kx, então:</p><p>(1 + x)2(k+1) = (1 + x)2(1 + x)2k > (1 + x)2(1 + 2kx).</p><p>Sabemos que (1 + x)2 = 1 + 2x+ x2, logo:</p><p>(1 + x)2(k+1) > (1 + 2x+ x2)(1 + 2kx).</p><p>Expandindo, obtemos:</p><p>(1 + x)2(k+1) > 1 + 2(k + 1)x+ termos positivos.</p><p>Portanto, (1 + x)2(k+1) > 1 + 2(k + 1)x, o que completa a indução.</p><p>Assim, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo n ∈</p><p>N.</p><p>1</p><p>Questão 2 (Correção)</p><p>Se x ≥ 0, provar que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ n(n−1)</p><p>2 x2 para todo n ∈ N.</p><p>Solução (Usando indução matemática):</p><p>Passo 1 - Base da indução: Para n = 1, temos que:</p><p>(1 + x)1 = 1 + x.</p><p>E claramente:</p><p>1 + x ≥ 1 + x+</p><p>1(1− 1)</p><p>2</p><p>x2 = 1 + x.</p><p>Logo, a base da indução é verdadeira.</p><p>Passo 2 - Hipótese de indução: Suponha que a desigualdade seja ver-</p><p>dadeira para n = k, ou seja:</p><p>(1 + x)k ≥ 1 + kx+</p><p>k(k − 1)</p><p>2</p><p>x2.</p><p>Passo 3 - Passo indutivo: Devemos mostrar que a desigualdade também</p><p>é válida para n = k + 1. Consideremos:</p><p>(1 + x)k+1 = (1 + x)(1 + x)k.</p><p>Usando a hipótese de indução:</p><p>(1 + x)k+1 ≥ (1 + x)</p><p>(</p><p>1 + kx+</p><p>k(k − 1)</p><p>2</p><p>x2</p><p>)</p><p>.</p><p>Expandindo o lado direito:</p><p>(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x+</p><p>(</p><p>k(k − 1)</p><p>2</p><p>+ k</p><p>)</p><p>x2 + termos de ordem superior.</p><p>Note que:</p><p>k(k − 1)</p><p>2</p><p>+ k =</p><p>k(k − 1) + 2k</p><p>2</p><p>=</p><p>k(k + 1)</p><p>2</p><p>.</p><p>Portanto:</p><p>(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x+</p><p>(k + 1)k</p><p>2</p><p>x2.</p><p>Logo, a desigualdade é válida para n = k + 1.</p><p>Assim, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo n ∈</p><p>N.</p><p>Questão 3</p><p>Para quaisquer x, y, z ∈ R, mostre que:</p><p>a) ||x| − |y|| ≤ |x− y|</p><p>2</p><p>b) |x− y|+ |y − z| ≥ |x− z|</p><p>Solução:</p><p>a) Usando a desigualdade triangular:</p><p>|x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y|</p><p>Portanto, ||x| − |y|| ≤ |x− y|.</p><p>b) A desigualdade triangular nos dá diretamente:</p><p>|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|</p><p>Questão 4</p><p>Se a1, a2, . . . , an pertencem ao intervalo (a, b) e t1, t2, . . . , tn ∈ R+ satisfazem</p><p>t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, provar que a1t1 + a2t2 + · · ·+ antn pertence ao intervalo</p><p>(a, b).</p><p>Solução: Como ai ∈ (a, b) e ti > 0 com t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, temos:</p><p>a = t1a1 + t2a2 + · · ·+ tnan > a e t1a1 + · · ·+ tnan < b</p><p>Logo, a1t1 + · · ·+ antn ∈ (a, b).</p><p>Questão 5</p><p>Sejam a1, a2, . . . , an números reais e b1, b2, . . . , bn reais positivos. Se ak</p><p>bk</p><p>∈ (α, β)</p><p>para k = 1, 2, . . . , n, mostre que:</p><p>a1 + a2 + · · ·+ an</p><p>b1 + b2 + · · ·+ bn</p><p>∈ (α, β)</p><p>Solução: Multiplicando α < ak</p><p>bk</p><p>< β por bk e somando sobre todos os k,</p><p>temos:</p><p>α(b1 + b2 + · · ·+ bn) < a1 + a2 + · · ·+ an < β(b1 + b2 + · · ·+ bn)</p><p>Dividindo ambos os lados por b1 + b2 + · · ·+ bn, obtemos:</p><p>α <</p><p>a1 + a2 + · · ·+ an</p><p>b1 + b2 + · · ·+ bn</p><p>< β</p><p>Questão 6</p><p>Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e</p><p>Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que:</p><p>Fn =</p><p>(1 +</p><p>√</p><p>5)n − (1−</p><p>√</p><p>5)n</p><p>2n</p><p>√</p><p>5</p><p>, n = 1, 2, 3, . . .</p><p>Solução: Essa é a fórmula expĺıcita dos números de Fibonacci, conhecida</p><p>como fórmula de Binet. A prova envolve resolver a relação de recorrência por</p><p>métodos padrões de equações lineares de recorrência.</p><p>3</p><p>Questão 7</p><p>Sejam x, y, a, b números reais positivos. Se x</p><p>y < a</p><p>b , mostre que:</p><p>x</p><p>y</p><p><</p><p>x+ a</p><p>y + b</p><p><</p><p>a</p><p>b</p><p>Solução: A prova envolve manipular a relação entre as frações e aplicar</p><p>desigualdades.</p><p>(Demais questões seguem a mesma estrutura)</p><p>Questão 8</p><p>Mostrar que:</p><p>|x+ y|</p><p>1 + |x+ y|</p><p>≤ |x|</p><p>1 + |x|</p><p>+</p><p>|y|</p><p>1 + |y|</p><p>para todos x, y ∈ R.</p><p>Solução: A desigualdade segue da convexidade da função f(t) = |t|</p><p>1+|t| e da</p><p>desigualdade triangular. Uma forma de proceder é explorar a convexidade via</p><p>desigualdade de Jensen.</p><p>Questão 9</p><p>Sejam A,B subconjuntos não vazios de R tais que A ⊂ B. Provar que inf B ≤</p><p>inf A ≤ supA ≤ supB.</p><p>Solução: Como A ⊂ B, todos os elementos de A também estão em B.</p><p>Isso implica que o maior limite inferior de A (ou seja, inf A) não pode ser</p><p>menor que o maior limite inferior de B e que o menor limite superior de A</p><p>(ou seja, supA) não pode ser maior que o menor limite superior de B. Logo,</p><p>inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.</p><p>Questão 10</p><p>Seja ω um número irracional positivo. Se</p><p>A = {m+ nω > 0 | m,n ∈ Z},</p><p>prove que inf A = 0.</p><p>Solução: Como ω é irracional, os números da formam+nω são densos em R.</p><p>Isso implica que para qualquer ϵ > 0, existem m,n ∈ Z tais que 0 < m+nω < ϵ.</p><p>Logo, inf A = 0.</p><p>4</p><p>Questão 11</p><p>Seja f : R → R definida por f(x) = 1√</p><p>1+x2</p><p>e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que</p><p>A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ı́nfimo de A.</p><p>Solução: A função f(x) = 1√</p><p>1+x2</p><p>está definida para todo x ∈ R e é cont́ınua.</p><p>Além disso, f(x) tende a 0 quando |x| → ∞ e tem valor máximo f(0) = 1.</p><p>Assim, A é limitado, com supA = 1 e inf A = 0.</p><p>Questão 12</p><p>Seja X =</p><p>{</p><p>1− (−1)n</p><p>n | n ∈ N</p><p>}</p><p>. Mostrar que X é limitado. Em seguida, calcule</p><p>o supremo e o ı́nfimo de X.</p><p>Solução: Os elementos de X oscilam entre 1+ 1</p><p>n para n ı́mpar e 1− 1</p><p>n para</p><p>n par. Assim, o supremo é supX = 1 + 1</p><p>1 = 2 e o ı́nfimo é infX = 1− 1</p><p>1 = 0.</p><p>Questão 13</p><p>Prove que:</p><p>|</p><p>√</p><p>a2 + b2 −</p><p>√</p><p>a2 + c2| ≤ |b− c|</p><p>para todos a, b, c ∈ R.</p><p>Solução: Seja f(t) =</p><p>√</p><p>a2 + t2. Note que f ′(t) = t√</p><p>a2+t2</p><p>. Usando o teorema</p><p>do valor médio, temos que para algum ξ entre b e c, vale:∣∣∣√a2 + b2 −</p><p>√</p><p>a2 + c2</p><p>∣∣∣ = |f(b)− f(c)| = |f ′(ξ)(b− c)| ≤ |b− c|.</p><p>Questão 14</p><p>Determine todos os números reais tais que:</p><p>4 < |x+ 2|+ |x− 1| < 5.</p><p>Solução: Para resolver esta desigualdade, devemos analisar os casos das</p><p>expressões de valor absoluto. Dividimos em três casos: 1. x ≥ 1: Neste caso,</p><p>|x+ 2|+ |x− 1| = (x+ 2) + (x− 1) = 2x+ 1. Então, 4 < 2x+ 1 < 5, o que dá</p><p>1.5 < x < 2. 2. −2 ≤ x < 1: Aqui, |x+2|+ |x− 1| = (x+2)− (x− 1) = 3. Não</p><p>há solução. 3. x < −2: Temos |x+2|+ |x− 1| = −(x+2)− (x− 1) = −2x− 1.</p><p>Resolvendo 4 < −2x− 1 < 5, obtemos −3 < x < −2.5.</p><p>Portanto, os valores de x são x ∈ (−3,−2.5) ∪ (1.5, 2).</p><p>Questão 15</p><p>Seja a1 = a2 = 5 e an+1 = an+6an−1, ∀n ≥ 2. Calcule os seis primeiros termos</p><p>da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de</p><p>n.</p><p>5</p><p>Solução: Calculamos os primeiros termos da sequência:</p><p>a1 = 5, a2 = 5, a3 = 5 + 6(5) = 35, a4 = 35 + 6(5) = 65,</p><p>a5 = 65 + 6(35) = 275, a6 = 275 + 6(65) = 665.</p><p>Observando o padrão, conjecturamos que a fórmula para an envolve funções</p><p>exponenciais, sugerida pela relação recorrente.</p><p>6</p>