Programa para Números Primos

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Para implementar um programa que receba um número \( n \) e retorne os \( n \) primeiros números primos maiores que \( n \), precisamos seguir alguns passos importantes em C++. Vamos abordar isso detalhadamente, desde a definição de números primos até a implementação do programa completo.
### O que são números primos?
Números primos são números naturais maiores que 1 que têm apenas dois divisores positivos: 1 e eles mesmos. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são números primos porque são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos.
### Estratégia para resolver o problema
1. **Verificação de Primalidade**: Para determinar se um número \( x \) é primo, devemos verificar se ele é divisível por qualquer número inteiro de 2 até \( \sqrt{x} \). Isso porque, se \( x \) fosse divisível por um número maior que \( \sqrt{x} \), o outro fator seria menor que \( \sqrt{x} \), e já teríamos verificado a divisibilidade.
2. **Implementação do Programa**: O programa deve aceitar um número \( n \) como entrada, verificar se é válido (ou seja, maior que zero), e então encontrar os \( n \) primeiros números primos maiores que \( n \).
### Implementação em C++
Aqui está a implementação do programa em C++ que atende aos requisitos mencionados:
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
// Função para verificar se um número é primo
bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false; // 0 e 1 não são primos
 if (num == 2) return true; // 2 é primo
 if (num % 2 == 0) return false; // Números pares maiores que 2 não são primos
 // Verifica divisibilidade a partir de 3 até a raiz quadrada de num
 for (int i = 3; i <= sqrt(num); i += 2) {
 if (num % i == 0) {
 return false;
 }
 }
 return true;
}
// Função para encontrar os próximos n números primos após um número dado n
std::vector<int> findNextPrimes(int n, int start) {
 std::vector<int> primes;
 // Começa a busca a partir do próximo número maior que n
 int current = start + 1;
 // Encontra os próximos n números primos após start
 while (primes.size() < n) {
 if (isPrime(current)) {
 primes.push_back(current);
 }
 current++;
 }
 return primes;
}
int main() {
 int n;
 // Loop infinito para receber entradas e processar
 while (true) {
 std::cout << "Digite um numero n (n > 0 para continuar, n <= 0 para sair): ";
 std::cin >> n;
 if (n <= 0) {
 std::cout << "Programa encerrado." << std::endl;
 break;
 }
 // Encontra os n primeiros números primos maiores que n
 std::vector<int> primeList = findNextPrimes(n, n);
 // Exibe os resultados
 std::cout << "Os " << n << " primeiros numeros primos maiores que " << n << " sao: ";
 for (int prime : primeList) {
 std::cout << prime << " ";
 }
 std::cout << std::endl;
 }
 return 0;
}
```
### Explicação do Código
1. **Função `isPrime`**: Verifica se um número é primo. Utiliza a abordagem de verificação até a raiz quadrada do número para otimizar o desempenho.
 
2. **Função `findNextPrimes`**: Encontra os próximos \( n \) números primos maiores que um número dado \( start \). Utiliza um loop para incrementar \( start \) até encontrar \( n \) primos.
3. **Função `main`**: Inicia um loop infinito que continua solicitando entrada do usuário até que \( n \) seja menor ou igual a zero. Para cada \( n \) válido, chama `findNextPrimes` e exibe os resultados.
### Exemplo de Execução
Quando executamos o programa e inserimos um número \( n \), ele retorna os \( n \) primeiros números primos maiores que \( n \). Por exemplo, se inserirmos \( n = 2 \), a saída será "Os 2 primeiros números primos maiores que 2 são: 3 5".
### Conclusão
Desenvolver um programa para encontrar os \( n \) primeiros números primos maiores que um número dado \( n \) envolve entender o conceito de números primos e implementar uma lógica eficiente para verificação e geração desses números. O código em C++ apresentado utiliza funções para verificar primalidade e encontrar os próximos primos, garantindo que o programa funcione de maneira eficiente e correta, conforme especificado pelos requisitos do problema.