APOSTILA 2 - Funcao do 2 grau e Modular

Prévia do material em texto

● Função do 2º Grau 
 
Definição 
As funções do segundo grau, relacionam a variável x à variável y e são escritas, geralmente, 
na forma reduzida a seguir: 
f(x) = y = ax² + bx + c 
f(x) = y = a(x - xv)² + yv 
f(x) = y = a(x - x’)(x - x”) 
 
● a, b e c são números reais quaisquer (coeficientes); 
● a sempre é diferente de zero; 
● f(x) é uma segunda notação muito utilizada nesse conteúdo que ajuda na organização dos 
cálculos, e tem o mesmo significado da variável y. 
 
Exemplos de função do segundo grau 
a) y = 2x² + 2x + 3. Observe que a = 2, b = 2 e c = 3; 
b) y = 3x² – 9. Observe que a = 3, b = 0 e c = – 9; 
c) f(x) = x². Observe que a = 1, b = 0 e c = 0; 
 
Domínio e imagem 
 
“Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de 
um conjunto B.” 
 
A variável independente x pode assumir qualquer valor entre os elementos do conjunto A. 
Como ela “comanda” o resultado encontrado na variável y, então o conjunto A é “dominante” e é 
chamado de Domínio. Por sua vez, a variável independente pode assumir qualquer valor entre os 
elementos do conjunto B; assim, esse conjunto recebe o nome de Contradomínio. Todos os 
elementos do conjunto B que são imagem de algum elemento do conjunto A são chamados de 
Imagem. 
 
Raízes da função do segundo grau 
 
As raízes de uma função são determinadas pelos valores que essas funções estabelecem 
(cortam) no eixo x (Abscissas), ou seja, quando os valores de y no gráfico dessa função são iguais a 
zero. Por esse motivo, também chamamos esse processo de zero da função. 
Para tanto, encontramos os valores de x que zeram a função utilizando a fórmula de 
Bháskara: 
Δ = b² – 4·a·c 
 
 
 
Exemplo: 
Resolva a equação x² + 8x – 9 = 0. 
 
Passo 1: separaremos os coeficientes dessa equação. O coeficiente a = 1, pois x2 não está 
sendo multiplicado por número algum, e b = 8 e c = – 9. 
Passo 2: Calculamos o discriminante utilizando a fórmula abaixo: 
 
Δ = b² – 4·a·c 
Δ = 82 – 4·1·(– 9) 
Δ = 64 + 36 
Δ = 100 
Passo 3: Calculamos os valores de x utilizando a fórmula de Bhaskara: 
x =
– 𝑏 ± √𝛥
 2·𝑎
 
 x = 
– 8 ± √100
2.1
 
x = 
– 8 ± 10
2
 
 
Observe agora que é necessário fazer um cálculo para + 10 e outro para – 10:
x' =
– 8 + 10
2
 
x' =
2
2
 
x' = 1 
 
e 
 
x'' =
 – 8 – 10
2
 
x'' =
−18
2
 
x'' = – 9
 
O Gráfico da função do 2º grau 
Toda função pode ser representada por um gráfico em um plano cartesiano. A figura 
relacionada com a função do segundo grau é a parábola. Se desenharmos todos os pontos da função 
y = x², visualizaremos o seguinte gráfico: 
 
Pode-se construir o gráfico da função do segundo grau com as raízes e o coeficiente c, ou 
com o vértice da parábola e pontos à sua direita e esquerda. 
 
 
 
Análise do sinal de Delta 
 
 
A primeira, em azul, é o gráfico da função y = x² + 1, que não possui raízes reais. É o caso 
em que Δ < 0 (Negativo) 
A segunda função, em roxo, é o gráfico de y = x². Observe que existe apenas uma raiz real, x 
= 0 e Δ = 0. 
A terceira função, em vermelho, é gráfico de y = x² – 1. Observe que ela possui duas raízes 
reais, x = 1 e x = – 1, e que Δ > 0 (Positivo). 
 
Vértice da Parábola 
O ponto de máximo e o ponto de mínimo coincidem com o vértice de uma parábola e são, 
respectivamente, o ponto mais alto e o ponto mais baixo que uma parábola pode atingir. 
Se uma parábola possui o vértice voltado para baixo, então ela possui um ponto de mínimo 
e não possui ponto de máximo, pois segue infinitamente para cima, e vice-versa. 
Por ser um ponto na parábola, o vértice assume coordenadas: V(Xv, Yv) 
Xv = 
−𝑏
2𝑎
 Yv = 
−𝛥
4𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função do Segundo Grau 
 
1. (Enem 2021) O administrador de um teatro percebeu que, com ingresso do evento a R$ 
20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do 
ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem 
trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e 
pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da 
arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso. 
 
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é 
 
a
) 
 
 
b
) 
 
 
c
) 
 
 
d
) 
 
 
e
) 
 
 
 
2. (Unesp 2021) O dono de uma empresa dispunha de recurso para equipá-la com novos 
maquinários e empregados, de modo a aumentar a produção horária de até 30 itens. Antes de 
realizar o investimento, optou por contratar uma equipe de consultoria para analisar os efeitos da 
variação v da produção horária dos itens no custo C do produto. Perante as condições 
estabelecidas, o estudo realizado por essa equipe obteve a seguinte função: 
 
2C(v) 0,01v 0,3v 50,    com 10 v 30   
 
A equipe de consultoria sugeriu, então, uma redução na produção horária de 10 itens, o 
que permitiria enxugar o quadro de funcionários, reduzindo o custo, sem a necessidade de 
investir novos recursos. 
O dono da empresa optou por não seguir a decisão e questionou qual seria o aumento 
necessário na produção horária para que o custo do produto ficasse igual ao obtido com a 
redução da produção horária proposta pela consultoria, mediante os recursos disponibilizados. 
 
De acordo com a função obtida, a equipe de consultoria deve informar que, nesse 
caso, 
a) é impossível igualar o custo da redução proposta, pois os recursos disponíveis são 
insuficientes, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária de 50 
itens. 
b) é possível igualar o custo da redução proposta, uma vez que essa igualdade exigiria um 
aumento na produção horária de 15 itens, o que está dentro dos recursos disponíveis. 
c) é possível igualar o custo da redução proposta, uma vez que essa igualdade exigiria um 
aumento na produção horária de 20 itens, o que está dentro dos recursos disponíveis. 
d) é impossível igualar o custo da redução proposta, pois os recursos disponíveis são 
insuficientes, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária de 40 
itens. 
e) não é possível igualar o custo da redução proposta, desde que sejam empregados todos os 
recursos disponíveis, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária 
de 30 itens. 
 
3. (Fgv 2020) O número de turistas x que comparecem diariamente para um passeio de 
barco, relaciona-se com o preço p em reais cobrado por pessoa através da relação p 300 2x.  
Se o barco tiver 100 lugares, qual a receita máxima que pode ser obtida por dia? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 11.500,00 
c) R$ 10.750,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.250,00 
 
4. (Enem digital 2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos 
públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de 
janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura 
gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola 
y T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x), em milhar de real. 
 
A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é 
a) 2T(x) x 16x 57    
b) 2
11
T(x) x 11x 72
16
    
c) 2
3 24 381
T(x) x x
5 5 5
   
d) 2T(x) x 16x 87    
e) 2
11 11
T(x) x x 72
16 2
   
 
5. (Fuvest 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a 
R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela 
vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera 
obter com a venda desse combo? 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 3.200,00 
c) R$ 3.600,00 
d) R$ 4.000,00 
e) R$ 4.800,00 
 
6. (Uel 2020) Analise a figura a seguir. 
 
 
 
Utilizando duas retas graduadas eperpendiculares, um estudioso caracteriza cada ponto da 
obra de Johannes Vermeer, como um par ordenado no plano cartesiano, de forma que um ponto no 
brinco de pérola esteja associado à origem (0, 0). De acordo com a associação feita, o estudioso 
constata que os pontos de coordenadas ( 10, 0) e ( 8, 8) se localizam, respectivamente, na boca e 
no olho retratados. 
 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma propriedade da parábola que 
passa pelos três pares ordenados presentes no texto. 
a) Tem por equação 2y x 5x 0   
b) Tem concavidade voltada para cima. 
c) Tem por vértice um ponto na região do ombro retratado. 
d) Tem por equação 22y x 10x 0   
e) Admite três raízes reais distintas, todas localizadas no turbante. 
 
7. (Enem digital 2020) Uma empresa de chocolates consultou o gerente de produção e 
verificou que existem cinco tipos diferentes de barras de chocolate que podem ser produzidas, com 
os seguintes preços no mercado: 
 
- Barra I: R$ 2,00; 
- Barra II: R$ 3,50; 
- Barra III: R$ 4,00; 
- Barra IV: R$ 7,00; 
- Barra V: R$ 8,00. 
 
Analisando as tendências do mercado, que incluem a quantidade vendida e a procura pelos 
consumidores, o gerente de vendas da empresa verificou que o lucro L com a venda de barras de 
chocolate é expresso pela função 2L(x) x 14x 45,    em que x representa o preço da barra de 
chocolate. 
 
A empresa decide investir na fabricação da barra de chocolate cujo preço praticado no 
mercado renderá o maior lucro. 
 
Nessas condições, a empresa deverá investir na produção da barra 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
8. (Enem PPL 2019) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram 
a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do 
tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática 
de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: 
 
t 
(hora) 
0
 
1
 
2
 
Q 
(miligrama) 
1
 
4
 
6
 
 
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os 
pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando 
na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado. 
 
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a 
a) 4. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
9. (Fuvest 2019) Considere a função polinomial f: R → R definida por 
 
2f(x) ax bx c,   
 
em que a, b e c ϵ R e a 0. No plano cartesiano xy, a única intersecção da reta y 2 com 
o gráfico de f é o ponto (2; 2) e a intersecção da reta x 0 com o gráfico de f é o ponto (0; 6). 
O valor de a b c  é 
a) 2 
b) 0 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
10. (Unesp 2019) Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em 
O(0, 0), um avião se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantendo sempre um ângulo de 
inclinação de 45 com a horizontal. A partir de P, o avião inicia trajetória parabólica, dada pela 
função 2f(x) x 14x 40,    com x e f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da 
trajetória parabólica, no ponto V, o avião passa a se deslocar com altitude constante em relação ao 
solo, representado na figura pelo eixo x. 
 
 
 
Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou 
a) 2,5 km. 
b) 3 km. 
c) 3,5 km. 
d) 4 km. 
e) 4,5 km. 
 
11. (Enem PPL 2018) Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância 
de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que 
atinge em relação ao solo é de 25 metros. 
 
 
 
Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a 
altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o 
canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. 
 
A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é 
a) 2y 150x x  
b) 2y 3.750x 25x  
c) 275y 300x 2x  
d) 2125y 450x 3x  
e) 2225y 150x x  
 
12. (Uel 2018) Em uma população totalmente suscetível a uma doença infecciosa, o 
número de novas infecções C(n), no instante de tempo n, cresce em progressão geométrica de 
razão q 0. Isto é, n0C(n) C q , onde n é expresso em uma certa unidade de medida e 0C é a 
quantidade de infectados no instante inicial n 0. A seguir, é apresentada uma tabela com 
exemplos. 
 
Doença 
q
 
Unidade de 
medida 
Sarampo 
15
 
4 dias 
Difteria 
6
 
4 dias 
SARS 
5
 
10 dias 
Influenza (cepa pandêmica 
de 1918) 
3
 
7 dias 
Ebola (surto de 2014) 
2
 
2 semanas 
(Adaptado de: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number>. 
Acesso em: 25 maio 2017.) 
 
 
Suponha que uma cidade totalmente suscetível, na Europa medieval, tenha sido tomada 
pela Peste Negra, que se iniciou com 0C 15 infectados. 
Considerando que, em 8 dias, a soma de infectados desde o início da infestação totalizou 
195 pessoas e que a unidade de medida seja de 4 dias, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, a razão q. 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
e) 10 
 
13. (Enem 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de 
Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas 
parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 
fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 
 
 
 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? 
a) 
16
3
 
b) 
31
5
 
c) 
25
4
 
d) 
25
3
 
e) 
75
2
 
 
14. (Enem (Libras) 2017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu 
salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está 
pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais 
acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. 
 
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de 
a) R$ 10,00. 
b) R$ 10,50. 
c) R$ 11,00. 
d) R$ 15,00. 
e) R$ 20,00. 
 
15. (Enem (Libras) 2017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja 
necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas 
ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de 
uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da 
parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base 
da abertura do túnel, conforme Figura 2. 
 
 
 
A equação que descreve a parábola é 
a) 2
2
y x 10
5
   
b) 2
2
y x 10
5
  
c) 2y x 10   
d) 2y x 25  
e) 2y x 25   
 
16. (Fgv 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em 
uma região retangular, com um lado adjacente a um rio. 
 
Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área 
máxima da superfície que conseguirá cercar é: 
a) 2430 m 
b) 2440 m 
c) 2460 m 
d) 2470 m 
e) 2450 m 
 
17. (Fuvest 2017) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento 
AB 3 e BC 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos R, S e T pertencem aos 
lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no 
ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB. 
 
 
 
Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do 
triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto  0, 3 , é 
a) 
61
8
 
b) 
33
4
 
c) 
17
2d) 
35
4
 
e) 
73
8
 
 
18. (Enem 2ª aplicação 2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de 
entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. 
 
 
 
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: 
 
- nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro 
linear é R$ 20,00; 
- nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. 
 
A empresa dispõe de R$ 5.000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal 
maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a 
empresa deve comprar é 
a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. 
b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B. 
c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. 
d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B. 
e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B. 
 
19. (Fgv 2016) A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, 
relaciona-se com seu preço por tonelada p, em reais, através da equação p 2000 0,5x.  
O custo de produção mensal em reais desse produto é função da quantidade em toneladas 
produzidas x, mediante a relação C 500.000 800x.  
O preço p que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal é: 
a) 1.400 
b) 1.550 
c) 1.600 
d) 1.450 
e) 1.500 
 
20. (Enem 2ª aplicação 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma 
cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se 
que o número f de infectados é dado pela função 2f(t) 2t 120t   (em que t é expresso em dia e 
t 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da 
epidemia. 
 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que 
o número de infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou 
acontecer. 
 
A segunda dedetização começou no 
a) 19º dia. 
b) 20º dia. 
c) 29º dia. 
d) 30º dia. 
e) 60º dia. 
 
21. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que, em janeiro de 2016, um economista 
tenha afirmado que o valor da dívida externa do Brasil era de 30 bilhões de reais. Nessa ocasião, 
ele também previu que, a partir de então, o valor da dívida poderia ser estimado pela lei 
29D(x) x 18x 30
2
     em que x é o número de anos contados a partir de janeiro de 2016 
(x 0). Se sua previsão for correta, o maior valor que a dívida atingirá, em bilhões de reais, e o ano 
em que isso ocorrerá, são, respectivamente, 
a) 52 e 2020. 
b) 52 e 2018. 
c) 48 e 2020. 
d) 48 e 2018. 
 
22. (Fuvest 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um 
terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado 
na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado 
pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge 
o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a 
distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima 
do terreno estava o projétil quando foi lançado? 
 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
23. (Uerj 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C 
(p, q) se desloca de A até B (3, 0). 
 
 
 
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo 
igual a 4,5. 
O comprimento do segmento AB corresponde a: 
a) 5 
b) 6 
c) 3 5 
d) 6 2 
 
24. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor 
mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x  e o custo mensal da produção é 
dado por 2C(x) 5x 40x 40.   Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
a) 4 lotes. 
b) 5 lotes. 
c) 6 lotes. 
d) 7 lotes. 
e) 8 lotes. 
 
25. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) A função f tem lei de formação f(x) = 3 - x e a função 
g tem lei de formação g(x) = 3x². Um esboço do gráfico da função f(g(x)) é dado por 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
26. (Mackenzie 2016) O polinômio do 2º grau f(x) que verifica a identidade f(x + 1) = x² - 7x +6 
é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Função Modular 
 
A função modular é um tipo de função que possui como característica em sua lei de 
formação a presença da variável dentro do módulo. O domínio e o contradomínio de uma função 
desse tipo é o conjunto dos números reais. 
Vale lembrar que o módulo de um número é o valor absoluto dele, ou seja, a distância que 
esse número está do 0. A distância é uma grandeza que é sempre positiva, logo, o módulo de um 
número sempre será positivo. Ter o módulo na lei de formação faz com que o gráfico de uma função 
modular, fique com a sua maior parte acima do eixo horizontal. 
 
Definição 
Uma função f: R → R é conhecida como função modular quando a lei de formação da função 
apresenta a variável dentro do módulo. 
Exemplos: 
 
a) f(x) = |x| 
 
b) g(x) = | 2x – 3| 
 
c) h(x) = | x² – 5x + 4| 
 
Nesse caso, é importante lembrar a definição de módulo. 
Para representar o módulo de um número n, representamos o número entre barras retas 
|n|: 
 
O módulo n pode ser dividido em dois casos: 
● quando n é positivo |n| = n, 
● quando n é negativo, então |n| = – n. 
 
➔ Exemplo de função modular do 1ºgrau 
Começando pelo exemplo mais simples, faremos a construção do gráfico de funções 
modulares em que há uma função do 1º grau dentro do módulo. 
Exemplo: 
f(x) = |x| 
Nesse caso, podemos dividir a lei de formação em dois casos, consequentemente o gráfico 
também será dividido em dois momentos. Aplicando a definição de módulo temos que: 
 
 
Sendo assim, o gráfico da função também será composto pelo gráfico das funções f(x) = -x, 
antes de interceptar o eixo y, e f(x) = x. 
Para construir o gráfico, devemos encontrar o valor para alguns números: 
 
 
➔ Exemplo de função modular de 2º grau 
Além da função polinomial do 1º grau, outra função bastante comum é a função quadrática 
dentro do módulo. Quando há uma função do 2º grau no módulo, é importante lembrar o estudo de 
sinal dessa função, para compreender melhor esse caso, vamos resolver um exemplo de função 
modular de 2º grau: 
Exemplo: 
f(x) = |x² – 8x + 12| 
 
Agora vamos calcular o vértice da função quadrática e calcular seu módulo, caso seja 
necessário: 
Xv= (6+2) : 2 = 4 
Yv = |x² – 8x + 12| = |4² – 8·4 +12 | = |16 – 32 + 12| = | – 4| = 4 
Vale lembrar que entre os 0 da função, a função x² – 8x + 12 teria valores negativos, mas 
pela definição de módulo esse valor mantém-se positivo. 
Por fim, sabemos que o gráfico toca o eixo Y no ponto em que x = 0. 
f(0) = |x² – 8x + 12| 
f(0) = |0² – 8·0+12| = 12 
Então, conhecemos quatro pontos do gráfico da função: 
● Os 0: A(6,0) e B(2,0) 
● O seu vértice C(4,4) 
● O ponto em que o gráfico toca o eixo y D(0,12) 
Lembrando-se do estudo de sinal de uma função quadrática, na função x² – 8x + 12 temos a 
= 1, o que faz com que a concavidade da função seja para cima. Quando isso ocorre, entre os 0 da 
função, y é negativo. Como estamos trabalhando com uma função modular, entre os vértices, o 
gráfico será simétrico em relação ao eixo x gráfico da função x² – 8x + 12. 
Vamos traçar o gráfico da função: 
 
Propriedades da função modular 
Vale lembrar que em uma função modular, todasas propriedades do módulo são válidas, 
são elas: 
Considere n e m como números reais. 
● 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto: 
|n| = |-n| 
● 2ª propriedade: o módulo de n ao quadrado é igual ao módulo do quadrado de n: 
|n²|= |n|² 
● 3ª propriedade: o módulo do produto é igual ao produto dos módulos: 
|n·m| = |n| ·|m| 
● 4ª propriedade: o módulo da soma é sempre menor ou igual a soma dos módulos: 
|m + n| ≤ |m| + |n| 
● 5ª propriedade: o módulo da diferença é sempre maior ou igual à diferença dos módulos: 
|m – n| ≥ |m| – |n| 
Função Modular 
1. (Espcex (Aman) 2019) Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real 
f(x) | x 2 | | x 3 |,    então o valor de a b c  é igual a 
 
 
a) 7. 
b) 6. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 10. 
 
2. (Ufrgs 2019) O gráfico de f(x) está esboçado na imagem a seguir. 
 
 
 
O esboço do gráfico de | f(x 3) | 2  está representado na alternativa 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Eear 2017) Seja f(x) | x 3 |  uma função. A soma dos valores de x para os quais a 
função assume o valor 2 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
4. (G1 - cftmg 2017) Seja f(x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, 
| f(x) |, 
a) nunca passará pela origem. 
b) nunca passará pelo 3º ou 4º quadrante. 
c) intercepta o eixo x somente se f(x) for do primeiro grau. 
d) intercepta o eixo y somente se f(x) for do segundo grau. 
 
5. (Mackenzie 2016) Os gráficos de 2f(x) 2 | x 4 |  e 2g(x) (x 2)  se interceptam em 
a) apenas um ponto. 
b) dois pontos. 
c) três pontos. 
d) quatro pontos. 
e) nenhum ponto. 
 
6. (Ueg 2016) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R 
 
 
 
A função f é dada por 
a) 
| 2x 2 |, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
 
 
 
 
b) 
| x | 2, se 1 x 2
f(x)
| 2x 3 |, se x 1 e x 2
    
 
   
 
c) 
| x 1|, se x 0
f(x)
| x 2 |, se x 0
 
 
 
 
d) 
| x 2 |, se 1 x 2
f(x)
| 2x | 1, se x 1 e x 2
    
 
   
 
 
7. (G1 - cftmg 2015) O domínio da função real f(x) 1 | x |  é o intervalo 
a) {x | x 1   ou x 1} 
b) {x | x 1   ou x 1} 
c) {x | 1 x 1}    
d) {x | 1 x 1}    
 
8. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por  f x x e 
 g x 1 x ,  os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
determina um polígono. 
 
A área desse polígono é 
a) 0,125. 
b) 0,25. 
c) 0,5. 
d) 1. 
e) 2. 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Para fazer um estudo sobre certo polinômio  P x , um estudante recorreu ao gráfico da 
função polinomial  y P x , gerado por um software matemático. 
Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores de x , de 5 até 2,7 . 
 
 
 
 
9. (Uesc 2011) O número de raízes da equação  P x 1 , no intervalo  5,2,7 , é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
10. (Udesc 2009) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = | x 1| + 2 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
11. (UFPE) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções 
reais f e g. Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? 
 
 
 
 
 
a) g(x) f(x 3)  
b) g(x 3) f(x)  
c) g(x) f( x 3)   
d) g( x) f( x 3)    
e) g(3 x) f(x)   
 
12. (PUC) O valor de │2 - 5 │ + │3 - 5 │ é: 
a) 5 - 2 5 
b) 5 + 2 5 
c) 5 
d) 1 + 2 5 
e) 1 
 
 
 
13) (PUC) Se x é uma solução de │2x - 1│< 5 - x, então: 
 
a) 5 < x < 7 
b) 2 < x < 7 
c) - 5 < x < 7 
d) - 4 < x < 7 
e) - 4 < x < 2 
 
14. (UFRN) Um posto de gasolina encontra-se localizado no km 100 de uma estrada 
retilínea. Um automóvel parte do km 0, no sentido indicado na figura 
abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num 
dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao 
km 0. Nesse instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto 
de gasolina é: 
 
a) |100 + x| 
b) x – 100 
c) 100 – x 
d) |x -100|