Eletricidade e magnetismo (49)

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6.2 Propriedades das linhas de campo elétrico 87
campo elétrico é sempre simétrica. Isso implica que os valores próprios dessa matriz
serão sempre reais e nunca complexos. Assim, os únicos pontos de equilíbrio que
podem existir num campo elétrico são nós e pontos de sela. Um nó pode ser atrativo
ou repulsivo. Se for atrativo, será um ponto onde existe uma carga pontual negativa;
se for repulsivo, será um ponto onde existe uma carga pontual positiva. Os pontos
de sela são pontos onde o campo é nulo, mas não existe nenhuma carga nesse ponto.
No exemplo apresentado na figura 6.2, existe um ponto de sela em (0.4, 0), onde o campo
é nulo. Existem duas linhas de campo que terminam nesse ponto de sela, e duas linhas de
campo que começam nesse ponto.
Outro exemplo são as linhas de campo de um dipolo elétrico, formado por duas cargas
iguais mas de sinais opostos. Se admitirmos que as duas cargas estão localizadas nos
pontos (−1, 0) e (1, 0), o campo desenha-se com os seguintes comandos:
(%i5) Ex: (x+1)/((x+1)^2+y^2)^(3/2)-(x-1)/((x-1)^2+y^2)^(3/2)$
(%i6) Ey: y/((x+1)^2+y^2)^(3/2)-y/((x-1)^2+y^2)^(3/2)$
(%i7) plotdf([Ex, Ey], [x, -3, 3], [y, -3, 3]);
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
3
-20 -10 0 10
-10
0
10
Figura 6.4.: Campo elétrico criado por um dipolo (esquerda) e por um sistema de 7 cargas
no segmento de reta entre x =−3 e x = 3.
O resultado aparece no lado esquerdo da figura 6.4.
Uma distribuição contínua de cargas pode ser aproximada por uma série de cargas pontuais.
Por exemplo, se existirem cargas distribuidas uniformemente no segmento do eixo dos x
entre x =−3 e x = 3, podemos admitir um sistema de cargas pontuais, equidistantes, sobre
o segmento entre x =−3 e x = 3. Com 7 cargas pontuais, os comandos de Maxima para
desenhar o campo são:
(%i8) Ex: sum((x-i)/((x-i)^2+y^2)^(3/2),i,-3,3)$
(%i9) Ey: sum(y/((x-i)^2+y^2)^(3/2),i,-3,3)$
(%i10) plotdf([Ex,Ey],[x,-20,20],[y,-20,20]);
88 O campo elétrico
O gráfico obtido é apresentado no lado direito da figura 6.4.
6.3. Fluxo elétrico
Para calcular o campo elétrico produzido por um objeto com carga, teriamos que somar
os campos produzidos por todas as partículas com carga no objeto. Esse cálculo pode
ser bastante complexo, inclusivamente se dividirmos o objeto em alguns pedaços que são
considerados como cargas pontuais. Nos sistemas em que existe alguma simetria, é mais
fácil calcular o campo usando a lei de Gauss. Para enunciar a lei de Gauss, precisamos
primeiro definir o conceito de fluxo elétrico.
O fluxo Φe de um campo elétrico uniforme, através de um plano com área A, define-se
como o produto da componente perpendicular do campo, vezes a área da superfície:
Φe = AE cosθ (6.4)
onde θ é ângulo entre o campo e a perpendicular ao plano (ver figura 6.5).
S1 S2
θ
θ
Figura 6.5.: Fluxo elétrico através de dois planos S1 e S2 (vistos de lado).
O fluxo através de dois planos atravessados pelas mesmas linhas de campo elétrico é o
mesmo. Por exemplo, na figura 6.5 o fluxo através dos planos S1 e S2 é o mesmo. No
plano S1, como o campo é perpendicular, o fluxo é igual a A1 E; no plano S2 o fluxo é
A2 E cosθ ; os dois fluxo são iguais, já que A2 cosθ = A1.
No caso de campos não uniformes e superfícies curvas, a superfície é aproximada por
pequenos planos e em cada plano admite-se que o campo é uniforme; o fluxo na superfície
completa é igual á soma dos fluxos em todos os pequenos planos. A aproximação será
exata no limite em que a superfície for aproximada por um número infinito de planos;
nesse limite a soma dos fluxos constitui um integral de superfície.
Em geral, inclusivamente para campos não uniformes, nas superfícies onde passem o
mesmo número de linhas de campo o fluxo elétrico será o mesmo. As linhas de campo que
passam pela fronteira de uma superfície formam um tubo de fluxo. A figura 6.6 mostra
um desses tubos de fluxo.
Em qualquer superfície delimitada pelo tubo de fluxo, o fluxo terá o mesmo valor. Por
exemplo, na figura 6.6 o fluxo através das superfícies S1, S2 e S3 tem o mesmo valor.
	O campo elétrico
	Fluxo elétrico