Áreas de Figuras Geométricas

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Coroa circular
Dados dois círculos concêntricos (de mesmo centro) cujos comprimentos dos raios me-
dem r e R, com r < R. Chamamos de coroa circular a parte limitada por esses dois círculos.
A medida de área A de uma coroa é dada por:
A 5 pR 2 2 pr 2 5 p(R2 2 r 2)
	16.	Determine a medida de área dos setores circulares 
destacados de laranja escuro nas figuras abaixo. O raio 
de todas tem medida de comprimento de 6 cm.
	a) 
	b) 
	c) 
120¡
	17.	Um terreno, que custa R$ 15.000,00, tem a forma da fi-
gura abaixo. Considerando as medidas de comprimen-
to indicadas e que a parte B é um semicírculo, calcule a 
medida de área desse terreno.
6 m
A
B
8 m
18p cm2
9p cm2
12p cm2
p 125 48
2





 m2
	 2.	Calcule quantas pessoas cabem, aproximadamen-
te, em uma praça circular cujo raio tem 20 m de 
medida de comprimento, considerando 5 pessoas 
por metro quadrado. (Use p 5 3,14.)
Resolução
Temos que A 5 pr 2, p 5 3,14 e r 5 20 m. Assim:
A 5 202 ? 3,14 ~ A 5 1 256
1 256 ? 5 5 6 280
Logo, cabem aproximadamente 6 280 pessoas nes-
sa praça.
	 3.	Calcule a medida de área do 
setor circular destacado de 
roxo escuro na figura ao lado.
Resolução
Medida de área do setor:
p ?
5
°
°
A
6
45
360
setor
2 ~
~ A
setor
 5 
1
8
 ? p ? 36 5 
p9
2
A área do setor circular mede 
p9
2 m2.
Atividades resolvidas
45¡6 m 6 m
Atividades Não escreva no livro.
8p cm2
	18.	Qual é a medida de área da arruela representada a seguir? 
O
r
2
 5 1 cm
r
1
 5 3 cm
	19.	(FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços pro-
porcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio 
igual a 80% do raio da grande, seu preço será:
	a) 59% do preço da grande.
	b) 64% do preço da grande. 
	c) 69% do preço da grande.
	d) 74% do preço da grande.
	e) 80% do preço da grande.
	20.	(Faap-SP) Uma chapa de metal circular, com 1 m de 
raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, sofreu 
uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considere 
p 5 3,14.) A área dessa chapa após a dilatação (em 
metros quadrados) é:
	a) 3,14.
	b) 3,32.
	c) 3,10.
	d) 3,20.
	e) 3,45.
Alternativa b.
Alternativa d.
O
R
r
W
Y
M
 D
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Um pouco da história do círculo e do número p
As tentativas para calcular a medida de área de um círculo a partir da medida de comprimento do diâmetro 
estiveram sempre presentes em toda a história da Matemática. Provavelmente, a mais antiga está no Papiro de 
Rhind, um documento egípcio de cerca de 1650 a.C. que contém a resolução de 80 problemas matemáticos 
dos mais diferentes tipos. 
O problema 50 do Papiro de Rhind pode ser traduzido da seguinte maneira:
Um campo circular tem diâmetro 9 khet. Qual é sua área?
A resposta dada no papiro é 64 setat (que seria equivalente à 
unidade de medida khet elevada ao quadrado). 
No Egito antigo, os enunciados e as sentenças não eram colo-
cados à prova, ou seja, não havia demonstrações matemáticas; ha-
via apenas uma coleção de regras práticas para efetuar os cálculos 
necessários na vida diária. Entre essas regras, algumas eram exatas 
e outras eram simplesmente aproximações, que, entretanto, fun-
cionavam bem para as exigências da época. Para o problema 50, a 
solução pode ser traduzida da seguinte maneira:
Tire 
1
9
 da solução, ou sa, 1, e restam 8. Faça a multiplicação 8 ve-
zes 8; a solução dará 64, o montante dele, ou seja, a área de 64 setat.
Esse texto do Egito antigo está afirmando que a medida de área de um círculo de medida de compri-
mento de diâmetro 9 é igual à medida de área de uma região quadrada cujo comprimento do lado mede 8. 
Vamos, então, avaliar qual é o valor de p utilizado na resolução desse problema.
Sabemos que a medida de área do círculo de medida de comprimento de diâmetro D é 
D
4
2
p ?
. Sabendo 
que, para os egípcios antigos, a medida de área do círculo de medida de comprimento de diâmetro 9 é igual 
à de uma região quadrada cujo comprimento do lado mede 8, temos 
9
4
2
p ?
 5 64, ou seja, p 5 
256
81
, que é 
aproximadamente 3,1605. Esse valor contém um erro menor do que 0,6%, o que era perfeitamente adequa-
do para os cálculos de que os egípcios necessitavam. 
Desde o século III a.C. até o século XVI, a medida de área de um círculo calcu-
lada a partir da medida de comprimento do raio era aproximada pelas medidas 
de área de regiões limitadas por polígonos regulares inscritos ao círculo, com 
grande número de lados. Como se pode ver na figura ao lado, a região limitada 
pelo polígono regular de 36 lados já parece “praticamente” um círculo. Na Gré-
cia antiga (século III a.C.), Arquimedes de Siracusa calculou a medida de área de 
uma região limitada por um polígono regular de 96 lados e pôde estimar que o 
número que atualmente representamos por p estava entre 
223
71
 e 
22
7
, ou seja, 
entre 3,1408 e 3,1429.
A estimativa que Arquimedes fez é excelente, pois o erro em relação ao 
valor real é de aproximadamente 0,025% para 
223
71
 e de aproximadamente 0,038% para 
22
7
. Nos sécu-
los seguintes, aproximações melhores para p foram sendo obtidas com regiões limitadas por polígonos 
regulares com cada vez mais lados. O recorde absoluto no uso desse processo é do matemático alemão 
Ludolph van Ceulen (1540-1610), que utilizou um polígono regular de 2 061 584 326 080 lados para obter 
uma aproximação de p com 20 casas decimais exatas. Com o desenvolvimento do cálculo diferencial e in-
tegral por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), processos mais sofisticados 
puderam ser criados e o número de casas decimais de p aumentou vertiginosamente.
Professor, se julgar oportuno, proponha aos estudantes uma pesquisa para conhecimento geral sobre o 
Papiro de Rhind.
Região limitada por um 
polígono regular de 36 lados.
Imagem do problema 50 do Papiro de Rhind.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
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Reprodução/Museu Britânico, Londres, Inglaterra.
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