Livro do Aluno Multicurso Matemática 1_ano

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LIVRO DO ALUNO
Matemática
PRIMEIRA SÉRIE
C O L E Ç Ã O
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LIVRO DO ALUNO
C O L E Ç Ã O
Matemática
PRIMEIRA SÉRIE
FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO
2a Edição - Rio de Janeiro - fevereiro de 2005
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ISBN – 85–7484–317–2
Multicurso – Ensino Médio
Matemática – Primeira Série
Copyright © Fundação Roberto Marinho
Rio de Janeiro, 2003
Todos os direitos reservados
Fundação roberto Marinho
Rua Santa Alexandrina, 336 – Rio Comprido
20.261–232 – Rio de Janeiro – RJ – Brasil
Tel.: 3232–8800
Fax: 3232–8031
e-mail: frm@frm.org.br
www.frm.org.br
2a Edição - 2005
M377
1. sér.
Matemática, primeira série, ensino médio:
 / autores, Ana Lúcia Bordeaux... [et al.], coordenação João Bosco Pitombeira; 
– Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2005
376p. :il. – (Multicurso; Coleção completa; v.1)
Inclui bibliografia
ISBN 85–7484–317–2
1. Matemática - Ensino médio. I. Bordeaux, Ana Lúcia, 1948-. II. Fundação 
Roberto Marinho. II. Título. III. Série.
04–0107 CDD 510
 CDU 51
15.01.04 19.012.04 005287
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ.
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GOVERNO DO ESTADO DO ESPÍRITO SANTO
 
Governador 
Paulo Hartung
Vice-Governador
Wellington Coimbra
Secretária de Estado da Educação 
Ana Maria Marreco Machado
Subsecretária de Educação Básica e Profissional
Adriana Sperandio
Subsecretário para Assuntos Administrativos
Jayme Rangel do Nascimento
fIchA TécNIcA
Gerente do Projeto
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coordenadora do Projeto
Mariana Pinho
Assistentes do Projeto
Ana Paula Teixeira
Cecilia Peixoto
Lívia Neiva
Estagiário
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fuNDAçãO ROBERTO MARINhO
Presidente
José Roberto Marinho
Secretário Geral
Hugo Barreto
Superintendente Executivo
Nelson Savioli
Gerente de Teleducação
Nelson Santonieri
coordenação Geral de conteúdo
João Bosco Pitombeira
Autores
Ana Lúcia Bordeaux
Carla Antunes
Cléa Rubinstein
Eduardo Wagner
Elizabeth Ogliari
Gilda Leventhal
Maria Isabel R. Ortigão
Mônica Mandarino
Nicola Siani Filho
Thales Couto
Projeto Editorial
Estação Palavra
Ilustração
Vicente Mendonça 
Jesualdo Gelain
capa
Inventum Design
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Editorial ........................................................................................................... 10
AuLA 1 
Os números e seus usos ................................................................................. 13
AuLA 2
Recordando operações ................................................................................... 19
AuLA 3
Frações e números decimais .......................................................................... 25
AuLA 4 
Os números reais e a reta numérica ................................................................ 32
AuLA 5 
Potências e raízes ........................................................................................... 37
AuLA 6 
A calculadora ................................................................................................... 42
AuLA 7 
O que é medir? ................................................................................................ 46
AuLA 8
Padrões de medida ......................................................................................... 50
AuLA 9
Números e grandezas ..................................................................................... 56
AuLA 10
Grandezas e potências de 10 ......................................................................... 59
AuLA 11
A linguagem matemática ................................................................................. 62
AuLA 12
Resolvendo equações ..................................................................................... 67
AuLA 13
Resolvendo problemas .................................................................................... 73
AuLA 14
Álgebra do dia a dia ........................................................................................ 77
AuLA 15
Área de um polígono ....................................................................................... 81
AuLA 16
Comprimento da circunferência ...................................................................... 89
AuLA 17
Área do círculo ................................................................................................ 96
AuLA 18
O teorema de Tales ......................................................................................... 104
AuLA 19 
Semelhança ..................................................................................................... 110
AuLA 20
Coordenadas ................................................................................................... 120
Í
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AuLA 21
Gráficos: leitura e construção ......................................................................... 126
AuLA 22 
O gráfico que é uma reta ................................................................................. 132
AuLA 23 
Grandezas diretamente proporcionais ............................................................ 140
AuLA 24 
Grandezas inversamente proporcionais .......................................................... 146
AuLA 25 
A noção de função .......................................................................................... 151
AuLA 26 
O gráfico de uma função ................................................................................. 158
AuLA 27
A função y = ax + b ......................................................................................... 165
AuLA 28
Progressões aritméticas .................................................................................. 173
AuLA 29
Somando os termos de uma progressão aritmética ....................................... 178
AuLA 30 
Revendo conceitos I ........................................................................................ 182
AuLA 31
Resolvendo sistemas ...................................................................................... 187
AuLA 32
Sistemas resolvem problemas ........................................................................ 192
AuLA 33
A interseção de retas e a resolução de sistemas ............................................ 197
AuLA 34
A equação do 2o grau ...................................................................................... 202
AuLA 35
Problemas do 2o grau ...................................................................................... 209
AuLA 36
Função do 2o grau e seu gráfico ..................................................................... 214
AuLA 37
Variação do sinal da função do 2o grau ........................................................... 222
AuLA 38
Máximos e mínimos: Função do 2o grau ......................................................... 229
AuLA 39
Triângulos ........................................................................................................ 233
AuLA 40 
O teorema de Pitágoras .................................................................................. 241
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AuLA 41 
Aplicando o teorema de Pitágoras .................................................................. 248
AuLA 42
Calculando distâncias indiretamente .............................................................. 252
AuLA 43
Medida de ângulos .......................................................................................... 257
AuLA 44 
A trigonometria do triângulo retângulo ............................................................ 266
AuLA 45 
Razões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o ..................................Agora, com o valor da receita ainda no visor, aperte a tecla – e, em seguida, as teclas MR e = :
 48 → receita
– MR 54,5 → a despesa guardada na memória aparece
 = – 6,5 → prejuízo
a CalCuladora
2 0 + 1 2 + 1 6 = 48 
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A raiz quadrada
Veja agora como extrair a raiz quadrada de números cujas raízes não são números naturais (5, 7, 15 etc.). 
Sabemos que =3, pois 32 = 9. Mas como calcular, por exemplo, ? 
Ou, perguntando de outro modo, qual é o número que elevado ao quadrado dá 2? Certamente é um número 
compreendido entre 1 e 2. Com a ajuda de uma calculadora, determinamos as seguintes potências:
a) 1,12=1,21 b)1,22=1,44 c)1,32=1,69 d)1,42=1,96 e)1,52=2,25
Como 1,96para a 
loja e meça, por exemplo, a vara pela posição do nó. 
É possível também medir essa largura e essa altura com 
instrumentos comuns, como a fita métrica ou a trena. A idéia é a 
mesma do uso do palmo: contar quantos palmos cabem no vão 
da janela é o mesmo que contar quantos centímetros cabem 
naquele vão. A diferença é que, na fita métrica ou na trena, existe uma unidade de medida (o metro), válida para qualquer 
pessoa que a use. Já o tamanho da mão varia de pessoa para pessoa.
Medir uma largura, área, temperatura, voltagem, velocidade, massa, dureza ou tempo, por exemplo, significa medir 
uma grandeza.
É claro que, para medir uma grandeza (no caso, a largura ou a altura do vão), é preciso escolher o instrumento adequado, 
aquele que dará a medida na unidade própria para aquela grandeza, numa unidade da mesma espécie que a grandeza. 
No exemplo anterior, o vão da janela deve ser medido com uma trena ou fita métrica, que darão a medida em 
centímetros, metros, polegadas etc., ou seja, em unidades de comprimento. O vão da janela não poderia ser medido 
em litros ou em quilogramas, que são unidades de volume e de massa.
Experimente comparar seu palmo com o de seus colegas. Você perceberá que o 
tamanho da mão varia mesmo.
Medir é comparar grandezas de mesma espécie;
ou
medir uma grandeza é contar quantas vezes cabe dentro dela uma certa unidade de 
medida que é tomada como padrão.
o que é medir?
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 Faça uma lista dos instrumentos de medida que você conhece. O que cada um deles mede?
 Você sabe que o homem começou a contar usando os dedos. Também é verdade que ele começou a medir usando 
como “padrão” uma parte do corpo, como é o caso do palmo. Que outras partes do corpo você acha que foram usadas 
como padrão de medida?
 Na lista a seguir, procure distinguir quais são as grandezas que podem ser medidas: cansaço, rapidez, energia, 
pontualidade, curiosidade, amor, temperatura, peso, distância, aceleração e coragem.
 Elabore um pequeno texto sobre situações que envolvam alguma contagem ou medida.
 Associe as grandezas com os instrumentos de medida. Uma grandeza pode estar associada a mais de um 
instrumento:.Grandeza: tempo, massa, comprimento, temperatura, capacidade, ângulo..Instrumento: balança, fita métrica, relógio, termômetro, xícara, transferidor, régua, colher de sopa, 
cronômetro, trena.
Isto mostra que, para medir algo de modo que todos entendam e aceitem, 
é necessário adotar um padrão, ou seja, uma só unidade de medida. Há 
vários instrumentos para medir comprimentos, mas todos adotam um 
padrão. Veja na figura ao lado alguns exemplos desses instrumentos:
Da mesma forma, há vários tipos de balança, mas todas 
adotam um padrão.
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Vamos supor que, ao medir o vão da janela, o resultado foi 1,83 m (1 metro e 83 centímetros) de comprimento. Para 
comprar a vara da cortina, você dirá ao vendedor que precisa de uma vara de 1,83 m de comprimento. Nesse caso:.a grandeza é o comprimento (largura do vão da janela);.a unidade de medida, a unidade padrão, é o metro;.a medida é um número expresso nesta unidade (1,83 m);.o instrumento utilizado na medição pode ser uma fita métrica ou uma trena.
Você sobe na balança e verifica que seu peso é 68 kg (68 quilogramas). Nesse caso:.a grandeza é a massa;.a unidade de medida, unidade padrão, é o quilograma;.a medida é o número expresso nesta unidade (68 kg);.o instrumento utilizado é a balança.
Seu livro deve ser preservado. Responda às questões no caderno.
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o CorPo Como instrumento de medida
Durante muito tempo, o homem utilizou partes de seu corpo como 
instrumentos de medida para medir comprimentos. Uma parte do 
polegar, o tamanho de um palmo, pé ou braço, o comprimento de 
um passo foram utilizados como medidas de comprimento durante 
muitos séculos por todos os povos.
Ainda hoje, principalmente em determinados setores da indústria e 
do comércio, alguns destes padrões continuam sendo utilizados. Veja 
os seus correspondentes em centímetros:.1 polegada = 2,54 cm.1 pé = 30,48 cm.1 jarda = 91,44 cm
O juiz apitou marcando a falta. A torcida vibra. Daquela distância é gol na certa. 
O árbitro conta os passos regulamentares. Pela regra, são 10 passos (9,15 metros) 
para a formação da barreira, mas ela nunca fica na posição certa. Os jogadores 
avançam, o árbitro ameaça, mostra o cartão para um jogador, eles se afastam, voltam 
a avançar e a falta acaba sendo batida assim mesmo. É gol válido? Nem sempre a 
culpa é da barreira. Afinal, quem garante que a distância estava certa? Será que os 
passos do juiz são um instrumento de medida confiável? E se ele for baixinho ou 
muito alto ou estiver mal-intencionado, querendo favorecer um dos times?
Padrões de medidaA
U
L
A
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um breve históriCo das medidas
Como as pessoas têm tamanhos diferentes, as medidas baseadas em partes do corpo variam de uma pessoa para outra, 
ocasionando problema. Para serem úteis, era necessário que os padrões fossem iguais para todos. Diante deste problema, 
os egípcios resolveram criar um padrão único: em lugar do próprio corpo, eles passaram a usar, em suas medições, 
barras de pedra com o mesmo comprimento. 
Com o tempo, as barras passaram a ser construídas em madeira, para facilitar o transporte. Como a madeira logo se 
gastava, foram gravados comprimentos iguais ao padrão nas paredes dos principais templos. Deste modo, cada um 
podia conferir periodicamente sua barra ou mesmo fazer outras, quando necessário.
a terra Como medida das Coisas
Com o desenvolvimento das ciências, do comércio e das relações entre as cidades e, principalmente, com as grandes 
navegações e os avanços no estudo da Astronomia, as pessoas sentiram a necessidade de medir distâncias muito 
superiores a seu próprio corpo. Ou seja, os padrões originários do corpo humano não eram os mais adequados. Era 
necessário criar padrões muito maiores. Mas como escolhê-los?
Para medir o tempo, já eram utilizados padrões relacionados com a Terra e seus movimentos:
• ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol;
• dia é o tempo que dura uma volta completa da Terra em torno de seu próprio eixo.
O Antigo Testamento da Bíblia é um dos registros mais antigos da história da humanidade. Em um dos livros do Antigo 
Testamento, o Gênesis, lê-se que o Criador mandou Noé construir uma arca com dimensões muito específicas, medidas 
em côvados.
O côvado, também chamado de cúbito, era uma medida-padrão da região onde vivia Noé. É equivalente a três palmos, 
aproximadamente 66 cm.
Em geral, essas unidades eram baseadas nas medidas do corpo do rei, sendo que tais padrões deveriam ser respeitados 
por todas as pessoas que, naquele reino, fizessem medições.
Você deve estar imaginando quantos problemas havia na comunicação dessas 
medidas. O palmo, por exemplo, ainda é usado, mas compare o seu palmo com 
o de outras pessoas: cada palmo pode ser muito diferente. Esta medida não seria 
útil para a indústria nem para o comércio. Imagine você pedir 5 palmos de tecido... 
Palmo de quem? 
A milha marítima é diferente da milha terrestre que, muito provavelmente, você já 
conhece. Junto com seu grupo, procure no dicionário o significado de cada uma 
delas e escreva com suas palavras qual a diferença entre as duas milhas.
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A palavra metro vem do grego métron, que significa “que mede”. A 
primeira definição do metro foi a seguinte: o metro é a décima 
milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador.
1 metro = do arco de meridiano que corresponde a 90o.
Foi então construído um padrão para o metro, marcado em uma 
barra de platina guardada em temperatura constante em Sèvres, 
na França, próximo de Paris.
Hoje, o metro (m) é uma unidade de medida universale é adequado 
para medir, por exemplo, o comprimento ou a largura de um corte de 
tecido, a altura de uma pessoa adulta, a altura de um edifício, a largura 
de um rio ou de uma rua etc. Para medir comprimentos muito menores 
ou muito maiores do que o metro, foram criadas unidades dele 
derivadas. O metro e suas unidades derivadas fazem parte do Sistema Métrico decimal.
O Sistema Métrico Decimal é hoje utilizado na maioria dos países (os Estados Unidos, por exemplo, utilizam outro sistema).
 
 
Na prática, não utilizamos todas essas unidades. As mais utilizadas são o quilômetro, o centímetro e o milímetro.
quilômetro
km
hectômetro
hm
decâmetro
dam
METRO
m
decímetro
dm
centímetro
cm
milímetro
mm
1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
submúltiplos do metromúltiplos do metro
Você saberia explicar por que o sistema métrico de medidas de comprimento é um 
sistema decimal?
A escolha da Terra como referência para a determinação de padrões de medida de comprimento possibilitou a criação de 
padrões universais mais precisos. Para isso, em 1790, um grupo de cientistas e matemáticos reuniu-se na França a fim de 
estabelecer um padrão que unificasse as medidas e um sistema simples e coerente de unidades, baseado em padrões fixos, 
imutáveis. Assim, surgiu o metro, que foi reconhecido internacionalmente em 1875. Só a partir dessa data é que começaram 
a existir instrumentos com a medida do metro (padronizada) em todo o mundo.
Uma nova definição para o metro
A maneira de se definir uma unidade é importante, pois a partir dela é que se constroem os padrões. A partir da 
primeira definição do metro, outras foram sendo propostas no decorrer do tempo. Entretanto, é importante ressaltar 
que essas mudanças só alteram a definição do metro, não seu comprimento, que foi definido em 1790. 
Atualmente, o metro é definido de maneira muito técnica, mas que em princípio pode ser reproduzida em qualquer 
local do universo, com uma precisão muito grande: é o comprimento de onda, no vácuo, da radiação correspondente 
à transição entre os níveis 2p
10
 e 5d
5
 do átomo de criptônio. A vantagem desta definição é que em qualquer laboratório 
de metrologia bem equipado é possível construir um padrão para o metro, sem ter que usar cópias de um padrão 
guardado em algum local. Mesmo se uma catástrofe destruísse todas as cópias do padrão de metro existentes no 
mundo, com essa definição seria possível, em laboratório, reconstruir com grande exatidão o que é o metro.
10 m
ilhões 
de m
etro
s
Padrões de medida
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As unidades mais utilizadas
Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações tecnológicas. Muitas dessas 
unidades, principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo, sendo substituídas por unidades 
do SI. Por enquanto, porém, elas ainda são utilizadas e é interessante conhecê-las. No quadro a seguir, você pode conferir 
algumas dessas unidades.
o sistema internaCional de medidas
O Sistema Internacional de Medidas (SI) estabelece 7 grandezas fundamentais das quais são derivadas todas as 
outras. São elas:
A Matemática lida, prioritariamente, com as quatro primeiras grandezas e suas derivadas. A Física, por exemplo, utiliza-se 
de todas elas. Cada unidade fundamental tem um padrão e a partir dele são estabelecidos os múltiplos e submúltiplos. 
 
Comprimento Massa Tempo Temperatura Corrente
elétrica
Número
de mol
Intensidade
luminosa
Algumas unidades derivadas do Sistema 
Internacional de Medidas
No quadro abaixo, você vai conhecer algumas das unidades derivadas do Sistema Internacional de Medidas (SI).
UNIDADEGRANDEzA SÍMBOLO
área metro quadrado m² 
volume metro cúbico m³
velocidade metro por segundo m/s
aceleração metro por segundo ao quadrado m/s²
Obs: note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final.
Trabalhando em grupo, pesquise quais são as unidades padronizadas utilizadas 
para expressar as grandezas acima.
Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias 
devidamente aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil, esta tarefa é 
desempenhada pelo Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial (INMETRO), órgão ligado ao Ministério da Indústria e do Comércio.
UNIDADEGRANDEzA SÍMBOLO
RELAÇÃO COM 
A UNIDADE 
CORRESPONDENTE
DO SI
Comprimento milímetro
centímetro
metro
quilômetro
polegada
pé
milha
mm
cm
m
km
in
ft
mi
0,001 m
0,01 m
—
1 000 m
0,0254 m ou 2,54 cm
0,3048 m ou 30,48 cm
1 609 m 53
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Massa grama
quilograma
tonelada
quilate
arroba
g
kg
t
—
—
0,001 kg
—
1 000 kg
0,0002 kg ou 0,2 g
14,688 kg
Tempo segundo
minuto
hora
dia
s (ou seg)
min
h
d
—
60 s
60min ou 3 600 s
24h ou 86 400 s
Área quilômetro quadrado
metro quadrado
centímetro quadrado
hectare
alqueire paulista
alqueire mineiro
alqueire do norte
km²
m²
cm²
ha
—
—
—
1 000 000 m²
—
0,0001 m²
10 000 m²
24 200 m²
48 400 m²
27 225 m²
Capacidade litro
mililitro
l
ml
—
0,001 l
Volume metro cúbico
centímetro cúbico
m³
cm³
—
0,000001m³
 
 
Você deve ter notado que algumas unidades têm símbolos diferentes, como a polegada ou o pé. Essas unidades foram 
adaptadas do inglês: polegada em inglês é inch, daí o símbolo in; pé é foot, por isso o símbolo ft. Atualmente, é comum 
também utilizar o símbolo pol para indicar a unidade polegada.
UNIDADEGRANDEzA SÍMBOLO
RELAÇÃO COM 
A UNIDADE 
CORRESPONDENTE
DO SI
1 1– Várias unidades são usadas para medir o tempo. Responda às perguntas, completando a equivalência, 
segundo o exemplo abaixo:
a) Sessenta SEGUNDOS (s) correspondem a quantos MINUTOS (min)?
b) Quatrocentos e vinte SEGUNDOS (s) correspondem a quantos MINUTOS (min)?
c) Vinte e quatro HORAS (h) correspondem a quantos DIAS (d)?
d) Sete DIAS (d) correspondem a quantas semanas? Trinta DIAS (d) correspondem a quantos meses? 
e) Dois MESES correspondem a quantos BIMESTRES? Quantos MESES correspondem a um TRIMESTRE? 
Quantos MESES correspondem a um SEMESTRE? Doze MESES correspondem a quantos ANOS?
f) Dez ANOS correspondem a quantas DÉCADAS? Um SÉCULO corresponde a quantos ANOS? E um MILÊNIO 
corresponde a quantos ANOS?
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
Padrões de medida
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 Explique por que é preciso usar diferentes unidades de medida para uma mesma grandeza.
 Dê exemplos de unidades usadas para expressar as seguintes grandezas: comprimento, tempo, massa, volume, 
velocidade, área, temperatura, ângulo.
 Atualmente, os disquetes de computador medem 
 
polegadas de diâmetro. Qual o diâmetro, em centímetros, 
desse tipo de disquete?
 Um comprimido contém 500 miligramas (500 mg) de vitamina C. Se uma pessoa tomar 1 comprimido por dia, 
durante uma semana, quanto vai ingerir de vitamina C?
 Qual o diâmetro (em centímetros) de um CD? Qual era o diâmetro (em centímetros) de um disco padrão de 
vinil (long-play)?
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4
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7
2 Observe o quadro abaixo. À esquerda, há uma relação de situações em que é preciso medir alguma coisa. À 
direita, há uma relação de unidades de medida. Para cada situação à esquerda, escreva em seu caderno pelo menos 
uma das unidades de medida. Note que em algumas situações há mais de uma unidade adequada e, portanto, 
qualquer uma delas pode ser escolhida por você.
SITUAÇÃO UNIDADE
a. metro quadrado (m²)
b. centímetro (cm)
c. quilograma (kg)
d. dia (d)
e. litro (l )
f. alqueire
g. quilômetro (km)
h. grama (g)
i. mês 
j. ano
k. tonelada (t)
l. milímetro (mm)
m. hora (h)
n. segundo (s)
o. quilômetro quadrado (km²)
p. hectare (ha)
q. galão
r. arroba
s. polegada (in)
t. metro cúbico (m³)
u. século
v. légua
w. real (R$)
1. Pesar farinha de bolo.
2. Saber qual a distância entre Recife e Curitiba. 
3. Avaliar a área de um terreno. 
4. Avaliar a áreade uma fazenda. 
5. Saber qual foi o consumo de água 
em uma casa durante um mês. 
6. Avaliar o tempo de gestação de um bebê 
e estimar o dia de seu nascimento. 
7. Medir a espessura de uma chapa de madeira. 
8. Calcular quanto se deve comprar de azulejo 
para revestir uma cozinha. 
9. Avaliar a extensão territorial do Brasil. 
10. Saber quanto de combustível 
é necessário para encher um tanque de gasolina. 
11. Avaliar o peso de uma pessoa. 
12. Avaliar o peso de um caminhão 
carregado de mercadoria. 
13. Saber a idade de uma pessoa. 
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grandezas, Padrões e medidas
É comum dizer, por exemplo, que uma coisa é grande ou pequena, que uma pessoa é alta ou baixa, que Ana gosta mais de Pedro 
do que de José. Tais classificações são sempre o resultado de uma comparação. Se alguém diz que você é alto, está comparando você 
com uma outra pessoa ou com a média das pessoas, mesmo que a comparação não tenha sido expressa. Nesse caso, porém, a 
comparação pode ser mensurada, ou seja, pode ser expressa por meio de uma medida. Basta uma fita métrica!
No entanto, nem toda comparação pode ser medida. Se você quiser comparar o sentimento que Ana tem em relação 
a Pedro ou a José, não poderá expressá-lo com uma medida. Da mesma forma, não é possível medir o cansaço de uma 
pessoa. Não teria sentido dizer que Ana tem 300 de amor por Pedro e 100 de amor por José ou que alguém tem 450 de 
cansaço. Esses números não significam nada porque não existe um padrão que permita estabelecer uma medida. Isso 
porque cansaço e amor não são grandezas. Grandeza é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser 
representada por um número e uma unidade.
No futebol. A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros.
A grandeza é o comprimento e a unidade de medida é a jarda ou o metro (m)..A bola de futebol deve ter entre 400 gramas e 500 gramas.
A grandeza é a massa e a unidade é o grama (g), um submúltiplo da unidade quilograma (kg)..O tempo de duração de uma partida é de 90 minutos.
A grandeza é o tempo e a unidade é o minuto (min), um múltiplo da unidade segundo (s).
Você já deve estar convencido, depois de estudar as Aulas 7 e 8 deste livro, de que 
medir e contar são atos tão importantes e tão necessários que existem desde que o 
ser humano começou a construir suas habitações, a desenvolver a agricultura etc. 
Mas será que tudo pode ser medido? Pense um pouco! Liste algumas coisas que 
podem ser medidas. Agora, faça uma lista de coisas que não podem ser medidas. 
Por que estas coisas não podem ser medidas?
números e grandezasA
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Exemplo 1
o que ComParar: grandezas ou números?
É possível medir a quantidade de líquido de uma jarra usando um copo como 
padrão. A jarra menor tem a capacidade de 4 copos e a jarra maior, 6 copos. 
Comparando os dois números 4 e 6, pode-se concluir que a capacidade da jarra 
maior é uma vez e meia a da jarra menor.
Geralmente, é deste modo que relacionamos duas grandezas da mesma espécie. 56
1
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Exemplo 2
algarismos signifiCativos
Quando se trabalha com medidas, quase sempre aparece uma dúvida: com quantos algarismos se escreve uma 
medida?
O comprimento desta sala é de 8 m e a largura é de 4 m. 
Comparando os dois números, observa-se que o compri-
mento é o dobro da largura. Ou a largura equivale à metade do 
comprimento.
Ou seja, em vez de comparar diretamente uma com a outra (a capacidade das duas jarras), comparamos as duas com 
uma terceira, escolhida como padrão, no caso, o copo. Dessas duas comparações resultam dois números. Usando-os, 
comparam-se as grandezas correspondentes. 
e grandezas derivadas
Na Aula 8, vimos que o Sistema Internacional de Medidas (SI) estabelece sete grandezas fundamentais das quais todas 
as outras são derivadas. Nos exemplos, utilizamos as três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A 
partir dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras grandezas que, por isso, são chamadas de grandezas 
derivadas. São exemplos de grandezas derivadas: a área de uma superfície, o volume e a densidade de um corpo, a 
velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor etc.
grandezas fundamentais 
• Uma lata de óleo de 900 cm³ contém 720 g (720 gramas) de óleo. A densidade (d) 
desse óleo é:
d = 720 ÷ 900 = 0,8 g/cm³ (0,8 gramas por centímetro cúbico).
O grama por centímetro cúbico é uma unidade de densidade e deriva do quilograma e 
do metro.
• Um carro percorre 120 km (120 quilômetros) em 2 h (2 horas). A sua velocidade média 
(Vm) é de:
Vm = 120 ÷ 2 = 60 km/h (60 quilômetros por hora).
O quilômetro por hora é uma unidade de velocidade e deriva do metro e do segundo.
Onde aparecem grandezas derivadas e suas unidades?
• Um terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundos. A sua área (A) é: 
A = 8 × 25 = 200 m² (200 metros quadrados). 
O metro quadrado é uma unidade de área que deriva do metro.
• Uma caixa retangular tem 10 centímetros de comprimento, 10 centímetros de largura e 
9 centímetros de altura. Seu volume (V) é:
V = 10 × 10 × 9 = 900 cm³ (900 centímetros cúbicos).
O centímetro cúbico é uma unidade de volume e deriva do metro. O centímetro 
é um submúltiplo do metro.
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3
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Essa pergunta tem inúmeras respostas e todas podem estar 
certas!
Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 
7 mm, ou talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se você dispõe de 
um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um 
paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. 
Tente medir o diâmetro de seu lápis. Caso seu lápis seja do mesmo tipo que o de 
seus colegas, compare o resultado obtido por você com o de seus colegas. Que 
números vocês obtiveram? 7 mm? 7,1 mm? 7,15 mm?
Micrômetro
Paquímetro
Se você repetir a medição várias vezes, pode ser que em cada uma ache um valor diferente para a medida. Como saber qual 
é o valor correto? Como escrever esse valor?
Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valor de uma medida depende do instrumento 
utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes, do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida.
Por exemplo, a medida do diâmetro do lápis obtida com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada 
(centímetro, milímetro ou polegada) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse 
caso, o segundo algarismo é avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso (paquímetro, por 
exemplo), é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o duvidoso. 
Todos os algarismos obtidos ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são algarismos significativos. 
1
2
 Observe as figuras abaixo, construídas sobre uma malha quadrangular.
A
B
Figura 1 Figura 2
Figura 3 Figura 4
a) Considerando a figura A como unidade de 
área, calcule a área das outras figuras.
b) Considerando a figura B como unidade de 
área, calcule a área das outras figuras.
 Na organização da festa de fim de ano da escola, Ana ficou responsável pela compra dos refrigerantes. Decidiu-se 
por uma estimativa de 4 copos por aluno. Se ao todo são 30 alunos, quantas garrafas de 2 litros devem ser compradas? 
Considere o copo de 200 ml.
 Monte uma tabela com as unidades mais utilizadas para expressar cada uma das grandezas: tempo, massa, 
capacidade, área, volume, temperatura, comprimento.
 Responda no seu caderno:
a) Quantos milímetros há em 1 quilômetro? b) Quantos gramas há em 1 tonelada?
c) Quantos centímetros quadrados há em 1 metro quadrado? d) Quantos segundos há em 1 hora?
3
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números e grandezas
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Lembre-se:
 101 = 10 e 100=1
Esta maneira de escrever o número é chamada de forma polinomial do 
número. Pode-se escrever qualquernúmero na forma polinomial. 
as PotênCias de 10
Nesta aula, você vai recordar alguns cálculos com potências de 10 que, embora simples e fáceis, 
são muito importantes para as ciências de maneira geral e, especificamente, para a Matemática. 
10² = 10 × 10 =100
103 =10 × 10 × 10=1 000
104 = 10 × 10 × 10 × 10=10 000
7 × 105 = 7 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 700 000
Imagine um quadrado de 1 centímetro (1 cm) de lado. Sua área é de 1cm². O que você conseguiria 
colocar dentro deste espaço? Ou seja, o que cabe em um quadrado de 1 cm² de área?
Agora, pense no que você conseguiria colocar dentro de espaço maior:. um quadrado de 1 m² de área;. um quadrado de 1 km² de área.
Vamos diminuir um pouco mais a área do quadrado. Pense no que cabe em:. um quadrado de 1 mm² de área.
grandezas e PotênCias de 10A
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Observando os resultados acima e usando o que você já aprendeu sobre potências, 
escreva uma regra para os cálculos com potências de base 10. 
Para isso, preencha os espaços em branco e complete a frase abaixo:
“Assim como 103 é um número cuja representação em notação decimal tem o algarismo 1 
seguido de 3 zeros, o número 10 elevado a um expoente qualquer n (10n) é um número...”
o sistema deCimal
O nosso sistema de numeração é um sistema de numeração posicional com base 10, ou seja, decimal. Assim, ao escrever 
o número 53 457, você sabe que o algarismo 3, pela posição que ocupa, não representa 3, mas sim 3 unidades de milhar. 
Desta maneira, esse número pode ser escrito considerando os algarismos que o formam:
53 457 = 5x10 000 + 3x1 000 + 4x100 + 5x10 + 7
 dezena de milhar milhar centena dezena unidade
 (ou unidade de milhar)
Também é possível escrever esse número usando potências de base 10:
53 457 = 5x104 + 3x103 + 4x102 + 5x101 + 7x100
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números deCimais e PotênCias de base 10
Nos exemplos anteriores, você viu como representar um número inteiro na forma polinomial. Antes de mostrar como 
representar, na forma polinomial, um número decimal, vamos relembrar como escrever números decimais na forma 
de potências de base 10. Observe que: 100 = 102 10 = 101 1 = 100
 
Para representar, por exemplo, o número 0,0003 na já conhecida forma polinomial do número, fazemos assim:
 
Observe que o sinal negativo no expoente indica que o número é fração decimal. 
Assim: 103 10–3, pois 103 = 1 000 e 10–3 = 0,001.
Por exemplo:.a distância entre a Terra e o Sol: 150 000 000 000 m = 1,5x1011 m; .a quantidade de glóbulos vermelhos que uma pessoa tem em seu sangue: 2,5x1011;.o comprimento que um vírus pode atingir: 1,5x10–6 m;.a probabilidade de acertar a Sena principal com um só cartão: 8,4 x10–8 %.
647 = 6x102 + 4 x 101 + 7 x 100
1 205 300 = 1 x 106 + 2 x 105 + 0 x 104 + 5 x 103 + 3 x 102 + 0 x 101+ 0 x 100 = 1 x 106 + 2 x 105 + 5 x 103 + 3 x 102
Para números muito Pequenos, 
PotênCias negativas
Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas para representar números muito pequenos – os números 
minúsculos. Na Aula 5, você viu que essa forma de escrever os números é também usada na notação científica.
Discuta com seu grupo: qual é a relação entre o expoente em uma potência de 
base 10 e a quantidade de zeros do resultado da potência?
Exemplo 1
Como escrever um número muito pequeno 
em notação científica
Uma das partículas de um átomo chama-se próton. A massa de um próton, medida em gramas, é:
0,00000000000000000000000165g
A leitura deste número nesta forma certamente pode levar a um engano devido à quantidade de zeros. Por isso, usa-se a 
notação científica. Para começar, faça uma marca depois do primeiro algarismo que fica após a seqüência de zeros:
0,000000000000000000000001 65 g 
O primeiro fator na notação será 1,65. Para encontrar o segundo fator, conte quantos algarismos existem ente a vírgula 
e a marca feita (no exemplo, corresponde a 24). Assim, temos: 1,65x10–24 g.
números e grandezas
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 Escreva, no seu caderno, os números a seguir usando a notação científica.
a) o comprimento de um vírus é de 0,00025 mm:
b) a carga de um elétron é de 0,00000000000000000016 Coulomb:
c) a superfície do globo terrestre é de 510000000 km2:
d) a massa do Sol é de 1983000000000000000000000000000 kg:
e) a distância da Terra até a nebulosa Andrômeda é de 9500000000000000000 km:
 A massa de um próton é de 1,65 ·10–24 gramas. Qual é a massa de 30 prótons?
 Muitas fábricas lançam na atmosfera uma substância chamada dióxido de enxofre. A Organização Mundial de 
Saúde (OMS) estabeleceu que a quantidade máxima dessa substância no ar deve ser de 4 x 10–5 gramas em cada metro 
cúbico de ar. Acima desse valor, o ar é considerado poluído. Certo dia, em uma atmosfera de 2,5 m3 de ar de Sorocaba 
(SP), havia 0,135x10–3 gramas de dióxido de enxofre. O ar de Sorocaba estava poluído?
 Escreva, no seu caderno, a forma polinomial do número 45078.
 Para transformar uma medida expressa em gramas (g) em quilogramas (kg), é preciso multiplicar o número por 
10 elevado a que expoente?
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as Cores do arCo-íris
A luz branca não é uma luz pura, mas uma composição de sete diferentes cores, chamada de espectro da luz branca: 
Como medir no miCroesPaço?
Além do universo intergaláctico, o ser humano necessita pesquisar o microcosmo. Precisa medir células e átomos e expressar 
essas medidas usando números bastante pequenos. Para determinar pequenas dimensões como as das células ou das 
partículas atômicas, o milímetro não é o padrão mais adequado. O tamanho das células varia entre 5 e 50 milionésimos 
de milímetro. Para determinar essas dimensões, foi necessário estabelecer um padrão de medida compatível: o micrometro, 
cujo símbolo é m. A letra grega (mi), que faz parte do símbolo do micrometro, representa um milionésimo.
1 m = 0,001 mm (10–3 mm) = 0,000001 m (10–6 m)
A dimensão dos átomos também varia, mas geralmente eles apresentam diâmetro da ordem de 0,0000001 do 
milímetro, ou seja, 10–7 mm. Esse comprimento é um submúltiplo do metro, o angström, cujo símbolo é Å.
1 Å = 10–7 mm = 10–10 m
violeta, anil, azul, verde, amarelo, alaranjado e vermelho. Essas sete cores são 
denominadas cores fundamentais. 
De acordo com a teoria ondulatória da luz, a luz branca é constituída por um grupo de 
ondas eletromagnéticas, com freqüências e comprimentos de onda diferentes. A tabela 
ao lado mostra os intervalos de variação do comprimento de ondas de diversas cores.
Assim, uma luz cujo comprimento de onda mede 5,5x10–5 cm é considerada verde. 
Outra, cujo comprimento é de 6,0 x 10–5 cm é considerada alaranjada. Em situações 
como essas percebe-se claramente a importância do estudo da notação científica.
cor (cm)
violeta 4,0 x 10–5 a 4,5 x 10–5
anil 4,5 x 10–5 a 5,0 x 10–5
azul 5,0 x 10–5 a 5,3 x 10–5
verde 5,3 x 10–5 a 5,7 x 10–5
amarelo 5,7 x 10–5 a 5,9 x 10–5
alaranjado 5,9 x 10–5 a 6,2 x 10–5
vermelho 6,2 x 10–5 a 7,5 x 10–5
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Em um congresso de professores de Matemática, quatro deles tentavam, sem sucesso, 
discutir um problema matemático. Só que um deles falava apenas inglês; outro, só 
russo; o terceiro só sabia falar português; e o quarto, só japonês.
Que problemão, hein? Será que existe algum jeito de eles se entenderem?
a linguagem matemátiCaA
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a álgebra e seus usos
A característica mais forte da Álgebra é, sem dúvida, o uso de letras e de símbolos. Esse uso, porém, deve ser feito com 
muita cautela. É essencial não perder de vista o que uma determinada letra representa. Observe, nos exemplos a seguir, 
a diferença entre variável e incógnita.
Discuta com seus colegas e tente resolver os exemplos em conjunto, antes de 
olhar a resolução!Em Matemática, é costume dizer que existe um “triângulo amoroso”. Ele é formado pela Aritmética, que trata basicamente 
dos números e suas operações; pela Geometria, que estuda o espaço e as formas; e a Álgebra, que é a linguagem usada 
para “escrever” Matemática. É o “matematiquês”. Além dos símbolos que já conhecemos (+, –, x,÷, () [] {} etc.), essa 
linguagem também usa letras (a, b, c, x, y etc.) para generalizar resultados ou resolver problemas. Por exemplo, a frase 
“O produto de 1 por qualquer número é igual ao próprio número” pode ser escrita, em linguagem matemática, assim:
1 . x = x
Nesse caso, a letra x está representando um número qualquer.
A Álgebra é a “irmã mais nova” da Aritmética e da Geometria. A forma conhecida hoje começou a surgir nos séculos 
XV e XVI, embora raciocínios algébricos já fossem utilizados bem antes, mas sem o simbolismo característico da Álgebra 
atual. Já os conhecimentos de Aritmética e Geometria datam de mais de quatro milênios atrás.
Muitas contribuições importantes foram dadas ao longo da construção da ciência Matemática, por diversos povos: 
babilônios, egípcios, gregos, indianos, árabes etc. Todos eles ajudaram a desenvolver o que é estudado hoje.
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Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Observe: 
 2 = 1 + 1
 3 = 2 + 1
 4 = 3 + 1
 5 = 4 + 1
 6 = 5 + 1
Pedro e José têm, juntos, R$ 15,00. Pedro tem o dobro do que José. Quanto dinheiro tem José? 
Aqui, podemos chamar de x o dinheiro que José tem. 
Pedro tem o dobro: ele tem 2 . x.
Juntos, os dois têm R$ 15,00 : x + 2 . x = 15.
Resolvendo essa equação: x = 5. 
Resposta: José tem R$ 5,00.
Aqui, a letra representa algo a ser descoberto. Ela é uma incógnita.
Caso você não se lembre de como resolver uma equação, não se preocupe, pois elas serão revistas em breve. Por enquanto, 
o objetivo é que você compreenda a representação usada: x, 2 . x etc.
Solução
Observe a seqüência de figuras ao lado.
Como fazer para encontrar o número de bolinhas da figura 6? 
E da figura 7? E de uma figura n qualquer?
Solução
Como se escreve, em linguagem matemática, a frase: “A ordem dos fatores não altera o produto”?
Primeiro, é preciso compreender o que a frase significa: fatores são termos da multiplicação e produto é o resultado 
da conta. Em 3 × 5 = 15, os números 3 e 5 são os fatores e 15 é o produto. 
Sabemos que 3 × 5 = 5 × 3. Queremos escrever que isso vale para todos os números.
Para isso, são necessárias duas letras, que vão representar dois números quaisquer. Por exemplo, a e b. A frase escrita 
em linguagem matemática fica, então: a . b = b . a
Resposta: a . b = b . a
Nesse exemplo, as letras representam qualquer número. São, portanto, chamadas de variáveis (pois variam de valor).
Solução
Exemplo 1
Exemplo 2
Primeiro, faça uma tabela com o número de bolinhas em cada figura:
A partir dessa tabela, tentamos compreender o padrão com o qual a seqüência é formada e, também, estabelecer uma 
relação entre o número da figura e o número de bolinhas que a figura tem. 
Número da figura 1 2 3 4 5 6 7 n
Número de bolinhas 2 3 4 5 6 ? ? ?





Número da figura 1 2 3 4 5 6 7 n
Número de bolinhas 2 3 4 5 6 ? ? ?
no de bolinhas no da figura
Exemplo 3


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Continuando com esse raciocínio:
6 + 1 = 7 A figura 6 terá 7 bolinhas.
7 + 1 = 8 A figura 7 terá 8 bolinhas.
n + 1 A figura n terá n + 1 bolinhas.
A conclusão aqui foi que, nesta seqüência, para saber quantas bolinhas haverá em uma determinada figura, basta somar 
o número da figura com 1. 
Resposta: para saber quantas bolinhas terá a centésima figura, basta calcular 100 + 1 = 101 bolinhas. 
Aqui, houve o uso da letra como variável. Essa variável serve para escrever, em linguagem matemática, o padrão em 
que a seqüência foi formada.
Calcule a área de um quadrado de lado:
a) 5 cm b) 10 cm c) cm
Solução
A área de um quadrado é calculada elevando-se ao quadrado a medida do lado. Então:
a) Área = 52 = 25.
b) Área = 102 = 100.
c) Área = 2.
A letra foi usada para encontrar uma fórmula: para qualquer medida do lado de um quadrado, sua área é encontrada 
efetuando 2. Ela era uma variável.
Chamando a área do quadrado de A, podemos escrever A = 2.
Resposta: a) 25 cm2 b) 100 cm2 c) 2 cm2 
A soma de dois números consecutivos é igual a 125. Que números são esses?
Solução
Dois números inteiros são consecutivos se eles são números “vizinhos”, isto é, não há nenhum número inteiro entre eles. 
Por exemplo, 9 e 10 são consecutivos, mas 13 e 15 não são consecutivos, pois o número 14 está entre eles. Quando há dois 
números consecutivos, por exemplo 9 e 10, dizemos que 9 é o antecessor de 10, e 10 é o sucessor de 9. 
Vamos agora escolher uma letra qualquer para representar o menor dos dois números. A escolha mais comum quando 
o número é inteiro é a letra n. Então, o outro número será n + 1. Para chegar a essa conclusão, é preciso pensar: qual 
é a operação a ser feita com um número n qualquer para encontrar seu sucessor? Somar 1.
Os próximos passos são montar e resolver uma equação. Como já foi dito, isso será recordado mais tarde. 
Mas, para matar sua curiosidade, aqui está: 
n + (n + 1) = 125 
n = 62 
Resposta: os números são 62 e 63.
Neste exemplo, a letra n representou algo que queríamos descobrir: era uma incógnita.
Exemplo 4
Exemplo 5
João é eletricista e faz consertos em domicílio. Cobra R$ 10,00 pela visita e R$ 5,00 por hora de trabalho.
a) Se ele gastou duas horas em minha casa, quanto pagarei pelo conserto?
b) Escreva uma fórmula que dê o preço P a pagar por um conserto que durou x horas.
Exemplo 6
a linguagem matemátiCa
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 Escreva as sentenças a seguir em linguagem matemática (usando a letra que quiser):
a) o dobro de um número b) o triplo de um número c) um número menos sete 
 Como você escreveria, em linguagem matemática, as frases abaixo?
a) A ordem das parcelas não altera a soma. 
b) O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes a medida do seu lado. 
 
Solução
a) A visita custa R$ 10,00 e cada hora de trabalho sai por R$ 5,00. Como foram gastas duas horas, pagarei 2 × 5 = 10 
reais pelas horas. Juntando os R$ 10,00 da visita, tem-se 10 + 10 = R$ 20,00.
Resposta: pagarei R$ 20,00 pelo conserto.
b) A visita custa R$ 10,00 e cada hora de trabalho sai por R$ 5,00. Como foram gastas x horas, serão pagos 5 . x = 5x 
pelas horas.
Juntando os R$ 10,00 da visita, encontramos p = 10 + 5x .
Resposta: p = 10 + 5x.
Agora, pense um pouco: x é uma variável ou uma incógnita? Se você concluiu que x é uma variável, acertou: ela pode 
assumir qualquer valor não-negativo, já que representa o número de horas que João trabalhou. 
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Resposta: a) R$ 40,00 e b) 0,8x
Uma loja fez uma promoção na qual cada mercadoria foi vendida com 20% de desconto.
a) Uma calça que custava R$ 50,00 antes da promoção foi vendida por quanto na promoção?
b) Encontre uma fórmula para o preço, na promoção, de uma mercadoria que custava x reais antes da promoção.
Solução
Lembre-se que 20% = = 0,2. Como esse foi o desconto, o preço na promoção foi de 100% – 20% = 80% do preço 
antes da promoção. De novo, lembre-se que 80% = = 0,8.
a) O preço antes da promoção era de R$ 50,00. Na promoção, o preço será 80% de R$ 50,00. Para calcular o preço na 
promoção, basta multiplicar 50 por 0,8: 50 × 0,8 = 40.
b) O preço antes da promoção era de x reais. Na promoção, o preço será 80% de x reais. Para calcular o preço na 
promoção, vamos multiplicar x reais por 0,8: x . 0,8 = 0,8 x.
Exemplo 7
Será que depois das explicações e dos exemplos você já sabe resolver o proble-
ma daqueles quatro professores de Matemática lá do começo da aula? Discuta 
com seus colegas e veja se vocês também conseguiram se entender.
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
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 Primeiro, observe a seqüência de figuras abaixo.
Agora, copie e complete a tabela a seguir.
 Considere um retângulo de perímetro igual a 20 cm.
a) Escreva, em linguagem matemática, uma igualdade para representar esse fato.
b) Dê alguns exemplos de medidas possíveis para os lados desse retângulo.
 Copie a frase abaixo, completando-a:
50% de um número é igual à metade desse número, pois 50 é a metade de 100; se o número é x, então 50% de x é igual 
a ____.
 Dona Rita é costureira e cobra R$ 20,00 por dia para costurar na casa de cada cliente. Ela cobra, também, 
R$ 2,00 por cada peça de roupa feita.
a) Se ela trabalhou durante dois dias e fez dez peças de roupa na casa de uma cliente, quanto recebeu pelo serviço?
b) Se ela trabalhou durante cinco dias e fez n peças de roupa, encontre, em função de n, uma expressão para o valor V 
recebido por dona Rita, em reais.
4
6
5
3
Número da figura
Número de bolinhas
1 2 3 4 5 6 7 10 n
3 5 7 9 11    
fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5
7
9
8
10
 A seqüência abaixo é formada por quadradinhos arrumados em quadrados maiores. Quando contamos o número 
de quadradinhos de cada figura, aparecem os quadrados perfeitos.
a) Diga quantos quadradinhos 
haverá na figura 11.
b) Dê a expressão, em função de 
N, do número de quadradinhos 
da figura N.
 Escreva, em seu caderno, uma equação que resolva cada problema. Não precisa resolvê-la!
a) Somando as quantias que Rosana e Solange têm juntas, dá R$ 60,00. Rosana tem R$10,00 a mais do que Solange. 
Quantos reais tem Solange?
b) Meu amigo Tonico e seu irmão têm, juntos, 50 figurinhas. Tonico tem o dobro de figurinhas de seu irmão. Quantas 
figurinhas tem o irmão de Tonico?
 Copie, no seu caderno, as igualdades verdadeiras.
a) x . x = 2x b) x . x = x 2 c) 2 . x = x + x d) 3 . x = x . x . x 
 Uma loja fez uma promoção na qual cada mercadoria foi vendida com 25% de desconto.
a) Uma calça que custava R$ 50,00 antes da promoção foi vendida por quanto, na promoção?
b) Encontre uma fórmula para o preço, na promoção, de uma mercadoria que custava x reais antes da promoção.
fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5
a linguagem matemátiCa

66
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equações e suas soluções
Existem equações de muitos tipos, desde as mais simples até as mais complicadas. Veja só alguns exemplos:
Nesta aula, vamos falar das equações do 1o grau. Elas têm esse nome porque a incógnita tem sempre expoente 1. Por 
exemplo, 2x + 1 = 7 é uma equação do 1o grau, pois x1 = x.
Mas o que significa resolver uma equação?
João gasta um quarto de seu salário pagando aluguel e outras contas da casa. Com um terço 
ele faz as compras do mês no supermercado. Restam R$ 100,00. Qual é o salário de João?
Para encontrar a solução do problema usando a Álgebra, podemos pensar assim:. salário de João 
. aluguel e outras contas 
. supermercado . restam 
Somando os gastos com o aluguel, o supermercado e o que resta, encontramos o 
salário de João: .
Essa é uma equação que leva à solução do problema. Para encontrar essa resposta, é 
preciso resolver a equação.
resolvendo equaçõesA
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 1
2
Os árabes utilizavam a Álgebra para resolver, por exemplo, problemas envolvendo heranças. Naquela época, ainda não 
eram usadas letras. Em vez disso, palavras representavam a quantidade a ser encontrada.
Por exemplo, uma equação naquele tempo seria mais ou menos assim: 
 
 é igual a salário.
67
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Para a maioria das pessoas, resolver uma equação significa simplesmente “achar o valor de x”. Até aí, tudo bem, mas 
que valor de x é esse? Por exemplo, na equação 2x + 1 = 7, o que acontece se substituirmos x por 2?
Chegamos a um absurdo, pois 5 não é igual a 7! Mas e se substituirmos x por 3?
Esta é uma igualdade verdadeira. Logo, x = 3 é a solução ou a raiz da equação.
Resolver uma equação é encontrar números que, quando colocados no lugar de x, dêem origem a uma igualdade verdadeira.
Há equações com várias soluções, com uma só solução e até mesmo equações sem solução. 
Resolva a equação 3x + 5 = 8.
Nesse tipo de equação, o ideal é raciocinar com operações inversas. Há um número x que foi multiplicado por 3 e o 
resultado foi somado com 5. Tudo isso deu 8. Para encontrar o número x, é preciso fazer o “caminho de volta”: subtrair 
5 e dividir por 3. Veja:
3x + 5 = 8 3x = 8 – 5 3x = 3 x = 3 ÷ 3 x = 1
Discuta com seus colegas antes de ler a explicação.
Discuta com seus colegas e tente resolver os exemplos em conjunto, antes 
de olhar a resolução.
Solução
Exemplo 1
Resposta: a solução da equação é x = 1.
Resolva 3x + 5 – 2x + 9 = 8.
Aqui, o raciocínio deve ser diferente do exemplo anterior, pois há vários “pedacinhos” com x (no exemplo: 3x e –2x). 
Primeiro, é preciso juntar esses pedacinhos, que chamamos de termos, usando o fato de que três vezes uma quantidade 
menos duas vezes uma quantidade é igual a uma vez essa quantidade. Veja:
 
Agora, a equação é do mesmo tipo do exemplo anterior e pode ser resolvida por operações inversas:
 
Junto com seus colegas, substitua x por 1 na equação e verifique se essa é mesmo 
a solução.
Solução
Exemplo 2
Resposta: a solução da equação é x = – 6.
resolvendo equações
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3
2
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Resolva a equação 
A novidade dessa equação são os parênteses. Em uma expressão numérica, as operações entre parênteses devem ser 
resolvidas em primeiro lugar, para que eles possam ser eliminados.
Aqui não é possível resolver essas operações entre parênteses, já que ainda não se conhece o valor de x. Então é preciso 
eliminar esses parênteses de outro modo. Repare que (x – 2) está sendo multiplicado por 3. Isso significa que todos os 
termos dentro dos parênteses devem ser multiplicados por 3. Acompanhe:
Reparou? Multiplicamos x por 3, obtendo 3x, e –2 por 3, obtendo –6. Encontramos 3x – 6. Esse é o resultado de 3(x – 2). 
Fazendo isso, eliminamos os parênteses e encontramos uma equação do tipo do exemplo anterior. Para terminar:
Junto com seus colegas, substitua x por –1,5 na equação e verifique se essa é 
mesmo a solução.
Solução
Exemplo 4
Resolva a equação 5x – 7 = 3x – 10.
Nessa equação, também há vários termos com x. Só que eles estão em “lados” diferentes da igualdade (membros 
diferentes da equação). Como resolver? Mudando todos os termos com x (no exemplo: 5x e 3x) para o mesmo membro 
da equação. Para fazer isso, uma das maneiras é retirar quantidades idênticas de ambos os membros para que a igualdade 
se mantenha e, ao mesmo tempo, tenhamos x em apenas um dos lados. Veja só:
 
Chegamos a uma equação que é do mesmo tipo do exemplo anterior, já que 3x – 3x = 0. Juntando então os “pedacinhos” 
com x e resolvendo:
 
 
Junto com seus colegas, substitua x por –6 na equação e verifique se essa é 
mesmo a solução.
Solução
Exemplo 3
Resposta: a solução da equação é .
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Resolva a equação .
A resolução dessa equação envolve operações com frações.
Solução
Junto com seus colegas, substitua x por 14 na equação e verifique se essa é 
mesmo a solução.
 
 
 
Resposta: a solução da equação é x = 14.
Na equação, há uma fração com 2 como denominador e outra com 5 como denominador . 
É preciso reduzi-las ao mesmo denominador, que será 10. Como há outros termos na equação, todos eles terão que 
“ganhar” denominador 10. Para fazer isso de uma forma mais prática, simplesmente multiplique por 10 os dois lados 
da equação. Assim:
 
Em seguida, simplifique o que for possível.
 
Agora, temos uma equação como a do exemplo anterior. Resolvendo-a:
 
 
 
 
Para somar ou subtrair frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador.
Exemplo 5
Resposta: a soluçãoda equação é 
resolvendo equações
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Resolva a equação .
Você já aprendeu como se resolve esse tipo de equação. O que será que ela tem de diferente? Para descobrir, é preciso 
tentar resolvê-la!
 
 
Ao tentar resolver a equação, chega-se a uma igualdade falsa (5 não é igual a 4) e que não depende do valor x. Não existe 
valor de x que seja solução para a equação, já que, para qualquer valor que substituirmos por x, encontraremos sempre 
uma igualdade falsa e nunca uma verdadeira.
Resposta: essa é uma equação impossível, pois não existem valores de x que tornem a igualdade verdadeira.
 
 
 
 
Agora, será que você já consegue descobrir o salário de João? Resolva junto com 
seus colegas e só depois olhe a resolução a seguir.
Solução
Solução
Resposta: o salário de João é de R$ 240,00.
Exemplo 6
Exemplo 7
Depois de todos esses exemplos e explicações, está na hora de tentar, você 
mesmo, resolver algumas equações. Mesmo que não acerte “de primeira”, 
não desanime. O erro faz parte do aprendizado e, além disso, só erra aquele 
que tenta fazer e, conseqüentemente, aprende.
Aqui, o que acontece é parecido com o exemplo anterior, só que, dessa vez, a igualdade é verdadeira (5 é igual a 5). Isso 
quer dizer que, para qualquer valor que substituirmos por x, sempre chegaremos a uma igualdade verdadeira. Ou seja, 
qualquer valor de x serve como solução.
Resposta: a equação é uma identidade, logo qualquer valor é solução da equação.
Resolva a equação 
Veja o que essa “inocente” equação tem de especial, tentando resolvê-la.
 
 
71
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 Verifique se –7 é raiz da equação 
 Para cada equação determine o valor de x que é sua solução:
a) c) e) x + 2x – 9 = 0 
b) d) 
 Resolva as seguintes equações no seu caderno:
a) 2x – 7 = 20 e) 
b) 7x + 12 – 5x = 15 f) 
c) 15x – 13 + 11x = –26 g) 
d) 4x + 7 = 12x – 11 
h) 
 Para as equações abaixo, diga quais são impossíveis e quais são identidades.
a) 3x + 5 = 2 (x – 1) + x
b) 
c) 
d) 
4
3
2
1
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
É importante que você desenvolva sua autoconfiança para defender seus pontos de 
vista e sua maneira de resolver problemas.
resolvendo equações
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A Álgebra é uma ferramenta poderosa para resolver problemas às vezes bastante 
complicados. Na utilização dessa ferramenta, um passo é fundamental: equacionar 
o problema, ou seja, “traduzi-lo” para a linguagem matemática.
Imagine, por exemplo, a seguinte situação: o marcador de gasolina do carro de Sílvia 
apresenta um erro e ela deseja conhecê-lo. Assim, poderá compensar o erro nas 
próximas leituras do marcador. Há pouco, o aparelho marcava do tanque e Sílvia 
precisou de 10 litros para enchê-lo completamente. A capacidade do tanque é de 50 
litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos?
resolvendo ProblemasA
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3
a álgebra e a resolução de Problemas
João propôs à professora de Português o seguinte problema: “Pensei em um número. Multipliquei o número por 2, somei 5 
e encontrei 17. Em que número pensei?”
A professora de Português pensou um pouco e acertou o desafio de João. Qual foi o número pensado por João?
Para resolver esse problema não é necessário usar Álgebra. Podemos usar o raciocínio do “caminho de volta”, ou seja, 
as operações inversas. No problema, as operações usadas foram multiplicar por 2 e somar 5. As inversas serão subtrair 
5 e dividir por 2. Logo: 17 – 5 = 12 e 12 2 = 6. 
Resposta: ele pensou no número 6.
Realmente, 6 × 2 = 12 e 12 + 5 = 17.
Seria possível resolver qualquer problema da mesma forma? Alguns problemas são mais fáceis de serem resolvidos 
utilizando a Álgebra. Vejamos como ficaria a solução desse problema:
Em primeiro lugar, chamamos de x o número que queremos descobrir:
 número em que João pensou x
Depois, lemos o problema e escrevemos algebricamente o que ele diz sobre x:
Solução
Exemplo 1
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1
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.multipliquei o número por 2 x . 2 = 2x. somei 5 2x + 5. encontrei 17 2x + 5 = 17
Chegamos à equação que dá a solução desse problema, ou seja, equacionamos o problema. Agora, usando o que 
estudamos na Aula 12, resolvemos essa equação:
Resposta: João pensou no número 6.
Marina subtraiu 4 de certo número e dividiu o resultado por 2. Depois, somou esse novo resultado ao triplo do número. Isso 
tudo é igual a do número, mais 7. Qual é o número?
Solução
Viu só? Fomos “traduzindo” cada trecho do problema para 
a linguagem algébrica e chegamos a uma equação.
Equacionado o problema, agora é hora de resolver a 
equação.
Para resolver esse problema, realmente é preciso usar 
Álgebra. Vamos lá:.número que queremos descobrir x.Marina subtraiu 4 de certo número x – 4
.dividiu o resultado por 2 
.somou ao triplo do número 
 .isso é igual a do número, mais 7
 
 
Resposta: o número é 3.
Exemplo 2
 A caixa-d’água estava só com uns 100 litros de água e o abastecimento foi interrompido. O jeito foi fazer 45 viagens carregando 
uma lata cheia de água para encher de novo os 1 000 litros que cabem na caixa. Qual era a capacidade aproximada da lata? 
E quanto pesa a lata cheia de água?
Para saber a capacidade da lata, lembre-se de que foram necessárias 45 viagens para encher 1 000 – 100 = 900 litros 
que faltavam. Ora, 900 45 = 20 litros. Essa é a capacidade da lata.
Solução
Exemplo 3
resolvendo Problemas
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3
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Um feirante levou 60 mamões para vender na feira. Começou vendendo cada um por 50 centavos. Depois, como a venda 
estava fraca, baixou o preço para 30 centavos e acabou vendendo todos os mamões. Nesse dia ele arrecadou R$ 22,80. Quantos 
mamões ele vendeu pelo preço mais caro?
.quantidade de mamões vendidos pelo preço mais caro x.quantidade de mamões vendidos pelo preço mais barato 60 – x.dinheiro arrecadado com a venda dos mais caros 0,50 x.dinheiro arrecadado com a venda dos mais baratos 0,30 . (60 – x).nesse dia ele arrecadou R$ 22,80 0,50x + 0,30 . (60 – x) = 22,80
Pronto! Essa é a equação que resolve o problema. 
 
 
Resposta: o feirante vendeu 24 mamões pelo preço mais caro.
E o problema do marcador de gasolina?
O marcador de gasolina do carro de Sílvia apresenta um erro e ela deseja conhecê-lo. Assim, poderá compensá-lo nas 
próximas leituras do marcador. Há pouco, o aparelho marcava do tanque, e Sílvia precisou de 10 litros para enchê-lo 
completamente. A capacidade do tanque é de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais 
ou para menos?
Quando o marcador apontava para do tanque, havia, na verdade, 50 – 10 = 40 litros no tanque, quando deveria 
haver de 50 litros, ou seja, 50 ÷ 4 x3 = 37,5 litros.
O marcador errou em 40 – 37,5 = 2,5 litros para menos, pois marcava 37,5 litros quando no tanque havia 40 litros.
O erro, então, era de 2,5 litros para menos, o que, em 40 litros, dá:
 
Ou, usando a Álgebra:
x quantidade de gasolina que deveria haver no tanque, de acordo com o marcador
 
y quantidade de gasolina que realmente havia no tanque
 
Solução
Exemplo 4
Agora, lembre-se de que 1 litro de água tem 1 quilograma de massa. Então, 20 litros de água têm 20 quilogramas. 
Essa é a massa da lata cheia de água. Por isso não dá para carregar tudo sozinho! 20 quilogramas é muito “peso”.
Não é necessário usar Álgebra para resolver este problema. Mas vamos nos familiarizar com seu uso mesmo assim:.capacidade da lata, em litros x.45 viagens 45 x.são necessários 900 litros para encher de novo os 1 000 litros que cabem 45x = 1 000 – 100
Equacionado o problema, resolvemos a equação:
 
Resposta: a capacidade da lata é de 20 litros e a lata cheia d’água pesa 20 quilogramas.75
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 Pai e filho têm, respectivamente, 31 e 8 anos. Daqui a quantos anos o pai terá o dobro da idade do filho?
 Uma escola tem apenas turmas de 5a, 6a e 7a séries. A metade dos alunos está na 5a série. A terça parte dos alunos 
está na 6a série e 32 alunos estão na 7a série. Quantos alunos tem a escola?
 Maria saiu de casa com algum dinheiro. Comprou uma camiseta por R$ 6,00 e gastou a quarta parte do restante 
num lanche. Se Maria voltou para casa com metade do dinheiro que tinha, quanto ela levava quando saiu de casa?
 Jorge deu a João tanto quanto João tinha. Ambos ficaram com R$ 16,00. Quanto tinha cada um?
6
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8
x – y erro do marcador
 
Resposta: o marcador apresenta um erro percentual de 6,25% para menos.
Agora que você já viu alguns exemplos, é hora de arregaçar as mangas e trabalhar mais um pouco. Lembre-se: é 
resolvendo problemas que se aprende a resolver problemas. Diante de um erro, não desanime. Só não erra quem não 
tenta aprender.
 Para cercar todo o perímetro de seu terreno quadrado e ainda gastar 26 metros no caminho que leva à estrada, 
Procópio precisou comprar 94 metros de cerca. Qual é a área do terreno?
 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que pretendo vender para que, descontados 20%, eu ainda fique 
com R$ 100,00?
 Antônio, Bruno e Carlos são irmãos. Bruno é dois anos mais velho do que Antônio e Carlos é três anos mais 
velho que Bruno. A soma das idades desses três irmãos é 55 anos. Qual a idade de cada um deles?
 Em um supermercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e outra com uma dúzia e meia de ovos 
custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais econômica?
 Cada banco de ônibus possui dois lugares. Entraram 50 passageiros em um ônibus, mas 14 tiveram que viajar 
em pé. Quantos bancos tem o ônibus?
9
5
4
3
2
1
Seu livro deve ser preservado. Responda às questões no caderno.
resolvendo Problemas
erro percentual
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a álgebra na mediCina
Os médicos utilizam muitas fórmulas matemáticas, principalmente para calcular as quantidades certas de remédios que devem 
ser dados aos doentes. Algumas fórmulas só mesmo os médicos entendem.Mas outras são simples e úteis para todos.
A altura de uma criança depende de sua idade e de muitos outros fatores. Entretanto, os médicos examinaram uma 
quantidade muito grande de crianças brasileiras e tiraram uma média. Dessa pesquisa surgiu uma fórmula que você mesmo 
pode usar para acompanhar o desenvolvimento de seus filhos. A fórmula, que vale para crianças de 4 a 13 anos, é a seguinte: 
Nessa fórmula, x é a idade da criança (em anos) e y é a altura da criança (em centímetros).
Qual é a altura esperada para uma criança de 5 anos?
Solução 
Lembrando que x é a idade da criança em anos, temos:
 
Resposta: a altura esperada para uma criança de 5 anos é de aproximadamente 110 cm, ou seja, um metro e dez 
centímetros. Em geral, como o desenvolvimento da criança depende de outros fatores, como a altura dos pais, a 
alimentação etc., são consideradas crianças com alturas normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a menos 
que o valor dado pela fórmula.
Nesta aula, você vai perceber que, em diversas profissões e atividades, surgem 
problemas que podem ser resolvidos com auxílio da Álgebra. Alguns problemas são 
tão comuns que existem fórmulas prontas para que sua resolução seja mais rápida. 
Outros, menos comuns, requerem mais raciocínio e criatividade em sua resolução. 
Mas, em todos, você poderá perceber a importância da Álgebra como ferramenta.
álgebra do dia-a-diaA
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Exemplo 1
Cada criança tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem de forma muito próxima aos valores dados pela 
fórmula. Já os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos.
Com a fórmula apresentada, você pode fazer previsões. Suponha que uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. 
Essa criança tem, portanto, 5 cm a mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essa diferença 
deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim, se você quiser saber que altura ela terá aos 10 
anos, aplique a fórmula e acrescente esses 5 centímetros. 77
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a álgebra na marCenaria
Será que a Álgebra pode ser usada em uma marcenaria?
Claro que sim. Existem problemas que o marceneiro pode resolver de maneira mais fácil com a ajuda da Álgebra.
Um dia, um marceneiro recebeu uma tarefa que não 
era nada simples: cortar os cantos de uma mesa 
quadrada, de 120 cm de lado, para transformá-la em 
uma outra, com 8 lados iguais. Veja o problema do 
marceneiro nas figuras ao lado. Os cortes precisam ser 
feitos em lugares certos, senão o marceneiro pode 
estragar a mesa. Quantos centímetros o marceneiro 
deve cortar a partir de cada canto da mesa para 
transformá-la em uma com 8 lados iguais?
Exemplo 3
 a álgebra em uma Pequena emPresa
Mesmo em pequenas empresas, surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, os custos, os 
investimentos, a divisão dos lucros etc. Muitos desses problemas podem ser resolvidos com a ajuda da Álgebra.
Em uma confecção, trabalham 16 costureiras, duas supervisoras e uma diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais do que 
uma costureira e a diretora ganha 50% a mais do que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento 
é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança 
tinha R$ 1 440,00. Como fazer a distribuição dessa caixinha mantendo a mesma proporção dos salários?
Solução
Essa é uma excelente oportunidade para usar a Álgebra. Em primeiro lugar, como quem tem o menor salário é a 
costureira, ela receberá a menor quantia, que chamaremos de C.
C é a quantia que cada costureira receberá.
S = C + 25% de C é a quantia que cada supervisora receberá.
 
D = C + 50% de C é a quantia que cada diretora receberá.
 
Agora, lembrando que são 16 costureiras, duas supervisoras e uma diretora a dividir a poupança, é possível escrever a 
seguinte equação:
 
Resposta: cada costureira receberá R$ 72,00; cada supervisora, R$ 90,00; e a diretora, R$ 108,00.
Exemplo 2
mesa
novamesa
antiga
?120 cm
álgebra do dia-a-dia
78
4
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Hipotenusa
Catetos
(iguais)
Solução
As partes que serão cortadas dessa mesa quadrada são triângulos 
retângulos com dois lados iguais. Esses lados iguais chamam-se catetos. 
O lado maior, onde será feito o corte, chama-se hipotenusa.
Para saber mais sobre esse triângulo, o marceneiro fez um grande desenho de 
um triângulo desse tipo, com catetos de 1 metro de comprimento, e mediu a 
hipotenusa. O valor que ele encontrou para a hipotenusa foi de 1 metro e 41 
centímetros (esse valor não é exato, mas é bem aproximado).
1,41 m
1 m
1 m
O marceneiro sabia, por experiência, que para aumentar ou diminuir o tamanho de uma figura mantendo sua forma 
basta multiplicar todos os comprimentos dessa figura por um mesmo número. Por exemplo, um triângulo desse tipo 
com catetos de 10 metros terá lados com medidas de 10 metros, 10 metros e 14,1 metros.
O marceneiro colocou então a letra x como a medida dos catetos dos 
triângulos que serão retirados. Dessa forma, a medida da hipotenusa 
desses triângulos será 1,41x. Na nova mesa de 8 lados, todos eles têm 
que ser iguais. Logo, a medida de cada um deles será de 1,41x. 
Agora, pelo que você pode ver no desenho, teremos:
 
 
x
1,41x
1,41x 1,41x
1,41x
1,41x 1,41x
1,41x 1,41xx
x
x
x
x
x x
Cada cateto dos triângulos retirados mede, mais ou menos, 35,2 cm. A partir de cada canto da mesa, o marceneiro vai 
então medir 35,2 cm e passar a serra nas hipotenusas dos triângulos formados.
Cada lado da nova mesamedirá 120 – 2 X 35,2 = 120 – 70,4 = 49,6cm. 
Resposta: o marceneiro deve cortar 35,2 cm a partir de cada canto da mesa.
Viu só? É, parece que a Álgebra é mais útil do que você imaginava... Agora, para não perder o hábito, é a sua vez!
 Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos medidas em seu consultório ao longo de uma semana:
125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm.
a) De acordo com a fórmula dada no início desta aula, qual é a altura esperada para uma criança de 8 anos?
b) Quantas dessas meninas estão acima da altura esperada?
c) Qual é a altura média dessas meninas?
1
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
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 Na Europa, existem empresas em que o salário mais alto é, no máximo, quatro vezes o salário mais baixo. Imagine 
uma empresa dessas, formada por operários, técnicos, engenheiros e diretores. Cada técnico ganha o dobro de um operário. 
Cada engenheiro ganha o triplo de um operário e cada diretor ganha o quádruplo de um operário. Sabendo que essa empresa 
tem 80 operários, 20 técnicos, 4 engenheiros e 2 diretores, e que sua folha de pagamento é de R$ 74.200,00, responda:
a) Quanto ganha cada operário? b) Quanto ganha cada diretor?
 A cantina de uma escola, ao fazer refresco para as crianças, diluiu 1 litro de suco concentrado de maracujá em 9 
litros de água. Foram feitos 10 litros de refresco, com 10% de suco concentrado e 90% de água. Como o refresco não ficou 
bom, resolveu-se acrescentar mais suco concentrado, até que a porcentagem de suco concentrado no refresco fosse igual 
a 20% do refresco. Que quantidade de suco concentrado foi acrescentado ao refresco já pronto?
Observe o quadro:
 
 Uma construtora encomendou tábuas de pinho a 4 fornecedores diferentes. O primeiro entregou tábuas com 225 cm 
de comprimento; o segundo, com 236 cm; o terceiro, com 230 cm; e o quarto, com x cm. O mestre de obras calculou 
que a média dos comprimentos das tábuas era de 231 cm. Qual foi o comprimento das tábuas entregues pelo quarto 
fornecedor?
6
5
3
4
2
10 refresco
20 refresco
litros de suco 
concentrado
litros de 
água
total de 
refresco
101 9
1 + x 9 10 + x
Lembre-se de que o suco concentrado tem que ser igual a 20% do refresco.
 Três tipos de tábua de 2,5 cm de espessura estão à venda. A de 20 cm de comprimento custa R$ 2,00 a unidade; 
a de 30 cm custa R$ 2,50; e a de 25 cm, R$ 2,30. Qual dos três tipos de tábua é mais econômico?
 Nelson quer cercar um terreno quadrado para fazer um jardim. Para isso, quer aproveitar alguns rolos de arame 
farpado que tem guardados. Depois de alguns cálculos, viu que fazendo uma cerca com três voltas de arame sobram 14 m 
do arame que ele tem. Já se a cerca tiver quatro voltas, terá de comprar mais 14 metros de arame para completá-la.
a) Qual é o perímetro do terreno que Nelson quer cercar?
b) Quanto mede cada lado do terreno?
c) Quantos metros de arame farpado Nelson tem guardados?
A média de vários números é a soma desses números dividida pela 
quantidade de números somados.
álgebra do dia-a-dia
80
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BICO
Uma cerâmica
quadrada
Está vendo por que dissemos que seu Raimundo 
enfrenta verdadeiros quebra-cabeças no seu ofício de 
pedreiro? Problemas desse tipo são comuns também 
em outras áreas profissionais, como na marcenaria, 
costura, agronomia e em muitas outras áreas. 
Agora, você vai ajudar o senhor Raimundo a montar o quebra-cabeças. A sugestão é comparar a área do salão que 
apresenta o bico com a área de um salão retangular (é mais fácil calcular a área do retângulo), ambos forrados com o 
mesmo tipo de cerâmica. Onde cortar o salão retangular para obter o salão com bico?
BICO
Salão com bico Salão retangular
Seu Raimundo é pedreiro. Assim, freqüentemente ele se depara com verdadeiros 
quebra-cabeças na hora de encaixar os últimos pedaços de cerâmica ou taco no piso 
de um cômodo que apresenta bicos. Agora mesmo ele precisa forrar um salão com 
cerâmica, só que ele apresenta um bico como mostra a figura. De quantas cerâmicas 
ele vai precisar para formar o bico deste salão?
área de um PolígonoA
U
L
A
 1
5
Discuta com seus colegas se em suas profissões ou atividades aparece esse tipo 
de situação. 
Quantas cerâmicas serão necessárias para o 
senhor Raimundo forrar o bico do salão? 
Quantas cerâmicas serão necessárias para 
o senhor Raimundo forrar todo o salão? BICO
Salão com bico Salão retangular
Polígonos
polígonos são figuras for-
madas por segmentos de 
reta (seus lados) dispostos 
numa linha poligonal fe-
chada simples. Aqui estão 
alguns exemplos de po-
lígonos: 
D
A
C
B
Triângulo ABC
( tri=3; três lados)
Lados: AB, AC, BC
A
D
C
B
Quadrilátero ABCD
( quadri=4; quatro lados)
Lados: AB, BC,CD, AD
E
C
B
A
Pentágono ABCDE
( penta=5; cinco lados)
Lados: AB, BC,CD, DE, EA
F
E D
C
A B
Hexágono de lados iguais
( hexa=6; seis lados)
Lados: AB, BC,CD, DE, EF, FA 81
1
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Cozinha retangular
8 cerâmicas
4 cerâmicas
1 unidade
de área
(1 cerâmica)
áreas de retângulos e quadrados
O retângulo é uma das figuras mais comuns do dia-a-dia. Está presente em casas, móveis, quadros, campos de futebol, 
quadras de basquete etc. A área de um retângulo é muito fácil de ser calculada.
Área= 8 X 4 = 32 unidades de área (no caso, cerâmicas).
Se cada cerâmica tem 1 metro de lado, a área do salão retangular será também (8 X 4) m² = 32 m². Do mesmo modo, 
pode-se calcular a área de um retângulo de altura a e largura b. 
 
Os pontos em que dois dos segmentos de reta se encontram são os vértices do polígono. Os segmentos de reta são os 
lados do polígono. Há também octógonos (8 lados), decágonos (10 lados), dodecágonos (12 lados) etc. Você não 
precisa decorar esses nomes. Mais importantes são os fatos geométricos que estão por trás das situações cotidianas.
É claro que os polígonos descritos são apenas quatro exemplos entre a infinidade de formas que existem. Mas já dá para 
perceber que todo polígono ocupa uma certa quantidade de superfície, uma certa área.
Na vida prática, conhecer essa área pode ajudar muito, seja para calcular o tamanho de um terreno, a quantidade de tacos 
para um piso, a quantidade de tecido para um vestido, o gasto de papel para imprimir um folheto e muitas outras coisas.
Trabalhando em grupo, observe as figuras que são e as que não são polígonos. 
Procurem, juntos, explicar o que é uma figura poligonal fechada simples.
Os incas da América do Sul foram habilidosos construtores em pedra. Para 
desenhar suas construções, precisamos empregar diversos polígonos.
As figuras ao lado não são polígonos.
A
A
B
B
E
D
C
C
FD
área de um Polígono
82
2
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áreas de Paralelogramos e losangos
a
h
Já o quadrado é um retângulo no qual a = b. Portanto, 
sua área é calculada da mesma forma. Veja:
Se a e b forem expressos em centímetros, então A será dada em cm². Se estiverem em 
metros, A será dada em m², e assim por diante.
A = a a = a
a
a
quadrado
2
Como já foi visto que um paralelogramo tem os lados 
opostos paralelos dois a dois, podemos concluir que esses 
lados opostos são também iguais dois a dois, como mostra 
a figura ao lado:
Em uma folha, desenhe um paralelogramo como o da figura abaixo. Corte-os em duas partes e depois reagrupe-
as até formar um retângulo. Siga o desenho:
Logo, para calcular a área de um palarelogramo basta multiplicar a altura pela largura. Por exemplo: um paralelogramo 
tem largura igual a 10 cm e altura igual a 3,5cm. Qual é a área do paralelogramo? (10 X 3,5) cm² = 35 cm².
O paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos 
são paralelos dois a dois. Para determinar sua área vamos 
utilizar um processo do tipo quebra-cabeça. 
retirar
colocar
aqui
Cortar com a
tesoura aqui
h
b
A paral. = b h
obtemos273
AuLA 46 
A lei dos co-senos ........................................................................................... 280
AuLA 47
Lei dos senos .................................................................................................. 290
AuLA 48 
Distâncias inacessíveis .................................................................................... 299
AuLA 49 
O círculo trigonométrico .................................................................................. 306
AuLA 50
Várias medidas para os arcos ......................................................................... 311
AuLA 51 
A relação fundamental da trigonometria ......................................................... 315
AuLA 52 
A função seno ................................................................................................ 319
AuLA 53
A função co-seno ............................................................................................ 325
AuLA 54
Revendo conceitos II ....................................................................................... 330
AuLA 55 
Inequações do 1o Grau .................................................................................... 334
AuLA 56 
Inequações do 2o Grau .................................................................................... 341
AuLA 57 
Sistemas de inequações ................................................................................. 347
AuLA 58
Polígonos inscritos .......................................................................................... 356
AuLA 59 
Polígonos circunscritos ................................................................................... 361
AuLA 60 
Revendo conceitos III ...................................................................................... 365
Sugestão de leitura ......................................................................................... 371
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Caro alunoe
 d
 i
 t
 O
 R
 i
 A
 L
E
ste livro foi feito para você que está cursando o Ensino Médio ou se 
preparando para cursar uma universidade, que já trabalha ou está 
prestes a entrar no mercado de trabalho – cada vez mais competitivo.
Sempre que possível, os conceitos e procedimentos apresentados nas aulas 
são aplicáveis em situações reais. É que a Matemática trabalhada no Ensino 
Médio tem muitas aplicações no mundo do trabalho; relaciona-se com questões 
econômicas (como os cálculos de porcentagens e juros); auxilia a compreensão 
de informações divulgadas pela imprensa; permite a defesa de seus direitos 
como cidadão, entre diversas outras aplicações, que você encontrará neste 
livro. Lembre-se, no entanto, que nem tudo na vida tem aplicação imediata, 
instantânea. Como na construção de um prédio, algumas coisas importantes 
têm de ser preparadas com antecedência para que a construção fique sólida e 
não venha a ruir mais tarde. Não podemos esquecer, também, que há conteú-
dos da Matemática que são poderosas ferramentas para a própria Matemática 
e para outras ciências, como a Física, a Biologia e a Química.
Você nunca será um bom jogador de futebol, somente assistindo aos jo-
gos em um estádio ou pela televisão, não é? Da mesma maneira, você não 
aprenderá Matemática se não fizer Matemática, pois ela não é um esporte para 
espectadores; ela exige participação, envolvimento e entusiasmo. 
Para ajudá-lo nessa jornada, nossa seqüência de aulas foi planejada para 
você desenvolver modos de solucionar, com sucesso, situações envolvendo 
números, grandezas, dados ou informações numéricas e figuras no plano 
ou no espaço. Ou seja, para você adquirir as competências e habilidades 
relativas ao saber matemático do Ensino Médio. Para um aprendizado é pre-
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ciso que você participe e se envolva bastante. Principalmente quando se tratar 
de conceito ou procedimento novos. Convença-se de que você entendeu. Se 
tiver dúvidas, troque idéias com seus colegas e converse com seu professor. 
Ao resolver um problema, verifique sempre se há outras maneiras de resolvê-
lo, observe como outros alunos encaminharam suas soluções e se a solução 
proposta no livro lhe parece a mais adequada. 
Assim, mais importante do que simplesmente dar a resposta correta, são os 
caminhos da solução e as justificativas, o que você deve sempre registrar no seu 
caderno. O caderno é o seu diário de Matemática. Ele deve conter sua história na 
construção dos conhecimentos. É importante que você desenvolva sua autocon-
fiança para defender seus pontos de vista e sua maneira de resolver problemas. 
É necessário saber conferir e justificar suas respostas e saber ouvir, respeitar e 
prestigiar as idéias e pontos de vista das outras pessoas.
Discuta suas dificuldades com seus colegas e com o professor. Não tenha 
medo de mostrar que não sabe. Nenhum de nós detém todo o conhecimento. 
Sempre há o que aprender. O importante é querer aprender! Sucesso!
os autores
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Números são fundamentais! Estão sempre presentes na escola, em casa, no trabalho, 
no supermercado. Para viver em sociedade, você precisa dos números. Quer ver? 
Imagine se você conseguiria responder a essas perguntas sem utilizar números:
• Quantas pessoas moram em sua cidade?
• Qual é a sua altura?
• Qual é a classificação de seu time de futebol no campeonato brasileiro?
• Qual é o seu código de endereçamento postal (CEP)?
Forme um grupo com dois ou três colegas. Procurem formular perguntas rela-
cionadas a situações cotidianas que só possam ser respondidas com números. 
os números e seus usosA
U
L
A
 1
Para que servem os números
Contar
Quantos países existem no mundo?
Existem hoje, no mundo, cerca de 220 países.
O uso dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 para representar cálculos e contagens é tão comum que chega a ser 
considerado uma habilidade natural do ser humano, como andar, falar ou correr.
Mas houve uma época em que os homens não sabiam contar. Ainda hoje existem povos que desconhecem os números 
quase por completo, como os botocudos (Brasil), os zulus e os pigmeus (África). 
As civilizações antigas, como a egípcia e a maia, utilizavam traços verticais ou horizontais e pontos para registrar as 
contagens. Atualmente, os algarismos são utilizados para registrar as contagens.
Medir 
Qual é a distância rodoviária entre Brasília e Rio de Janeiro?
A distância rodoviária entre Brasília e Rio de Janeiro é de aproximadamente 1 160 km.
13
3
2
1
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Para chegar a esse resultado é preciso medir a distância entre as duas cidades usando a unidade padronizada de medida 
mais adequada para a situação, ou seja, o quilômetro.
As medidas surgiram com a necessidade de saber mais sobre a forma, o tamanho ou “peso” dos objetos. O ser humano 
sentiu que era preciso medir, por exemplo, a duração das estações para saber o momento de plantar e de colher, o 
período de gestação de uma mulher ou a distância da Terra à Lua.
Hoje, medir faz parte do dia-a-dia. Você pode medir a altura, a temperatura, a pressão arterial ou o “peso” de uma 
pessoa, o consumo mensal de água e de energia elétrica e assim por diante.
Ordenar
Segundo pesquisa realizada pelo Fundo das Nações Unidas para a População (Funap), as dez cidades mais populosas 
do mundo, em 2015, serão:
 O homem começou a contar usando 
os dedos. Depois, começou a me-
dir usando como “padrão” partes do 
corpo, como é o caso do palmo. Que 
outras partes do corpo você acha que 
já foram usadas como padrão de medi-
da? Trabalhando em dupla, pense 
sobre o assunto e troque idéias 
com seus colegas.
Observando a tabela, sabe-se que São Paulo ocupa a 6a posição na pesquisa. Para obter esse resultado foi preciso ordenar 
os dados a partir.
83
3
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Ângulos
consecutivos
Este sinal significa
"paralelo ao outro lado"
Trapézios isósceles:
Dois lados paralelos e
os outros dois lados
não-paralelos com 
a mesma medida
Trapézio retângulo:
Tem dois ângulos retos consecutivos
Como calcular a área do trapézio desenhado abaixo, no qual 
B = base maior, b = base menor e h = altura?
Observe que, utilizando dois trapézios iguais, você pode formar um paralelogramo:
Neste caso, a área do paralelogramo é o dobro da área do trapézio. Portanto: A
trapézio
 = 
Os losangos são paralelogramos com os quatro lados iguais. Sua área é 
calculada do mesmo jeito: multiplica-se um dos lados pela altura. 
Veja a seguir alguns exemplos de losangos:
área de um traPézio
Os quadriláteros que têm apenas dois lados opostos paralelos são chamados de trapézios. Os mais comuns são os 
trapézios isósceles, que têm os dois lados não-paralelos com a mesma medida.
h
b
B
h h
b
bB
B
h� h
bB+
bB+
Juntando dois trapézios iguais Obtemos um paralelogramo de largura
B+b e altura h
 
área de um Polígono
84
4
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Sabemos que o trapézio tem a base maior B = 50 m e 
a base menor b = 35 m, mas não temos a altura h. No 
entanto, a altura pode ser calculada aplicando o 
teorema de Pitágoras. 
Voltando à resolução do problema: observe que o 
terreno pode ser decomposto em um triângulo 
retângulo e um retângulo.
Solução
Relembrando o teorema de pitágoras: 
Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos 
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 
Resposta: a área do trapézio é 850 m2.
No triângulo retângulo, a hipotenusa mede 25 m e um 
dos catetos mede 50 m – 35 m = 15 m. Aplicando o 
teorema de Pitágoras, temos: .
Logo, . Com o 
valor de h, já dá para calcular a área:
Você pode usar uma calculadora para fazer o cálculo do problema anterior. Consiga uma máquina de calcular e forme 
um grupo com os seus colegas. O cálculo é:
252 = h2+ 152
Digite os números 2 e 5, nesta ordem. No visor aparecerá o número 25. Em seguida, aperte a tecla seguida da 
tecla .Faça o mesmo para calcular 15
2
. Para calcular h2, resolva 625 – 225. Você encontrará h2 = 
 
400. Digite 400, 
em seguida aperte a tecla 
 
para encontrar 20. Ainda trabalhando em grupo, faça o restante dos cálculos.
área de triângulos
Como fazer para transformar um triângulo qualquer em um 
paralelogramo, para que seja mais fácil calcular a área? Lembre-
se do que foi feito com quadriláteros anteriores! Experimente 
com o triângulo desenhado ao lado. Se quiser, desenhe o 
triângulo em uma folha de papel e recorte-o.
Exemplo 1
Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo, como mostra a figura. Como determinar a área desse terreno?
35 m
50 m
25 m
cateto
cateto
hipotenusa
h h
35 m
35 m 15 m
25 m
a
b
c
h
 A
trapézio
 = 
85
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A maneira de resolver este problema é análoga à já utilizada no caso do trapézio: basta duplicar o triângulo e teremos 
um paralelogramo.
Neste caso, a área do paralelogramo é o dobro da área do triângulo. Portanto:
 
Calcule agora a área do triângulo desenhado a seguir:
 
O primeiro passo é dividir o pentágono em três triângulos: .
Agora, basta calcular separadamente as áreas e depois 
somá-las, para obter a área do pentágono:
 
DA
B
B C
D
A
A
3
2
E
DA
A D
B
E
C
1 cm
1 cmO desenho foi feito sobre um papel quadriculado, a fim de 
facilitar o cálculo de sua área. Se cada quadradinho tem 
lados medindo 1cm, calcule a área delimitada pelo 
pentágono ABCDE.
Exemplo 3
Calcule a área da figura desenhada ao lado.
Solução
 
3 cm
6,5 cm
b
b
b
b
ca a a a
h h
Exemplo 2
Solução
Resposta: a área do trapézio é 9,75 cm2.
Resposta: a área da figura é 34,5 cm2.
área de um Polígono
86
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 Desenhe um losango com as medidas reais repre-
sentadas na figura. Utilizando a técnica de recortar e colar, 
transforme-o em um retângulo e depois calcule a sua área.
 
 Os terrenos A, B e C foram medidos com quadrados iguais, medindo 1m2 cada um. Responda no seu caderno:
a) Qual é o menor terreno? 
b) Qual é o maior terreno? 
 Ao lado, está desenhado um terreno com as suas 
dimensões. Calcule a área deste terreno em seu caderno.
Mais um problema para o grupo resolver: o 
hexágono ABCDEF ao lado foi dividido em 
quatro triângulos: ABC, ACD, ADE e AEF. A 
área em cm² foi calculada pela fórmula dada 
anteriormente e escrita dentro 
do respectivo triângulo. Qual é a área do 
hexágono ABCDEF?
F
E
D
C
B
A
1,80
2,79
2,45
1,31
A partir dos problemas anteriores, é possível constatar 
propriedades muito importantes no cálculo de áreas de 
polígonos. 
Qualquer polígono pode ser dividido 
num certo número de triângulos, 
número esse que depende do número 
de lados do polígono.
Quando reunimos duas figuras sem 
superpô-las, a área da figura total 
é a soma das áreas de cada figura que 
a forma.
2
1
3
Outra propriedade foi usada para calcular a área do 
trapézio, do paralelogramo e do triângulo.
A
B
C
2 m
2 m
5 m
6 m
1,5 m
4 cm
3 cm
87
6
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5
6
8
7
4
9
12 cm
18 cm
25 cm
 Aplique o teorema de Pitágoras para determinar a 
altura do triângulo eqüilátero abaixo. Depois, calcule a sua 
área. Use uma calculadora para determinar .
8 cm 8 cm
8 cm
 Empregando retângulos de papel cartão, foi feita 
uma caixa com tampa, como mostra a figura ao lado. 
Quantos centímetros quadrados de papel cartão foram 
gastos, no mínimo, na confecção dessa caixa?
 Calcule as áreas dos paralelogramos abaixo:
 Para construir um metro quadrado de telhado, 
são necessárias 15 telhas francesas. Quantas telhas 
serão necessárias para fazer um telhado com a forma 
de um trapézio isósceles de bases medindo 18 m, 12 m 
e altura 8 m?
(a)
2,1
5,2
(c)
2
5
3,2
(d)
4
2,5
 Determine a área do hexágono regular.
(b)
6
2
10 cm 10 cm
10 cm
h
d
D
 Proceda da mesma forma que no Exercício 1 para 
escrever uma fórmula para a área do losango (D: diagonal 
maior; d: diagonal menor).
área de um Polígono
88
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Acompanhe este exemplo e faça o mesmo com os outros objetos, anotando as 
medidas na tabela abaixo.. Pegue um copo e um pedaço de barbante. Coloque o copo com a boca 
para baixo e contorne a borda do fundo do copo com o barbante. Marque 
com uma caneta o ponto do barbante que toca o seu começo. Estique o 
barbante e meça com a régua o comprimento do começo do barbante até 
a marquinha que você fez. . Depois, meça o diâmetro. Lembre-se que todos os diâmetros de uma 
circunferência têm a mesma medida e que o diâmetro passa pelo centro 
da circunferência.
Você já ouviu falar no número Pi? Que símbolo é usado para representá-lo?
O número Pi é usado em muitas situações práticas que envolvem objetos circulares. 
O número Pi está relacionado com circunferências e círculos. Vamos descobrir que 
relação é essa!
Trabalhando em grupo, recolha quatro objetos que tenham alguma parte circular. 
Podem ser copos, pratos, moedas, polias ou discos etc. Para cada um dos objetos, 
meça o comprimento da borda circular e o diâmetro.
ComPrimento da 
CirCunferênCiaA
U
L
A
 1
6
CírCulo e CirCunferênCia
Quando se fala em círculo ou circunferência, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessas figuras geométricas. No 
entanto, em Geometria, costuma-se fazer uma diferenciação entre círculo e circunferência.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Já o contorno do círculo é chamado de circunferência.
O compasso é o instrumento de desenho utilizado para desenhar circunferências.
O compasso possui duas “pernas”. Uma delas tem uma ponta metálica quedeve ser 
fixada no papel. O ponto onde a ponta metálica é fixada é o centro da circunferência. 
A outra “perna”, que tem um pedaço de grafite, é usada para desenhar a circunferência, 
girando o compasso sem deixar que a ponta metálica se mova.
Agora, copie esta tabela no seu caderno e anote nela as medidas obtidas .
OBJETO COMPRIMENTO DIÂMETRO
49 mm155 mm Fundo do copo
89
1
2
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 89 3/5/2008 18:10:25
corda
diâmetro
É possível desenhar muitos diâmetros para uma circunferência – na verdade, uma infinidade deles. Porém, todos os 
diâmetros de uma mesma circunferência possuem a mesma medida.
Para saber qual a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, basta medir o seu diâmetro, ou seja, basta que o 
instrumento de medida de comprimento (régua, trena ou fita métrica) seja colocado sobre a circunferência de modo que passe 
pelo centro.
Em que situações do cotidiano podemos precisar da medida do diâmetro?
Usando o compasso, é possível desenhar circunferências de vários tamanhos. O 
que define o tamanho da circunferência é a abertura escolhida para as “pernas” 
do compasso, ou seja, o raio da circunferência.
A distância de qualquer ponto de uma circunferência ao seu centro é sempre 
igual ao raio (igual à abertura do compasso).
e se você precisar desenhar uma circunferência e não tiver um compasso?
centro
Você já deve ter usado um objeto circular para desenhar uma circunferência. Basta colocá-lo sobre o papel e riscar seu 
contorno. Essa é uma saída muito utilizada.
Corda, diâmetro e arco
e s e você não tiver um objeto circular, mas conhece o centro da circunferência a ser desenhada?
Conhecendo o compasso e como 
ele é usado, você pode também 
improvisar um instrumento, usando 
uma tachinha e um barbante. 
Costureiras, pedreiros, jardineiros 
e operários costumam improvisar 
seus compassos.
Que tal improvisar um compasso 
e traçar circunferências?
corda é qualquer segmento que une dois 
pontos da circunferência. 
diâmetro é qualquer corda que passe pelo 
centro da circunferência.
ComPrimento da CirCunferênCia
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semicírculo
Semicircunferência AB
semicírculo
B
A
raio diâmetro
O
raio
P
Q
O diâmetro é uma corda especial, a maior delas. Os dois arcos que 
podem ser associados a um diâmetro também são especiais e são 
denominados semicircunferências. Quando consideramos a semicir-
cunferência e a região delimitada por ela e pelo diâmetro, esta região 
é denominada semicírculo.
Um diâmetro tem comprimento igual a duas vezes a medida do 
raio.Logo, se r representa a medida do raio e d é a medida do diâmetro, 
podemos escrever: d=2r.
Algumas vezes – na construção civil, por exemplo – necessita-se apenas 
de uma parte da circunferência, de um arco de circunferência.
Na figura, vemos que tanto a corda (em azul) quanto o arco (em ver-
melho) unem os pontos P e Q. Para diferenciá-los, representamos por 
PQ ou PQ a corda com extremidades em P e em Q, e por PQ, o arco.
desCobrindo uma relação
Vamos voltar à experiência que você realizou com seu grupo no início desta aula. Quanto maior o diâmetro, maior será 
o comprimento da circunferência, como você pode comprovar no exemplo abaixo. Foram desenhadas três circunferências 
e, depois, cada uma delas foi cortada e esticada.
Sabemos que existe uma relação 
entre comprimento (C) e diâ-
metro (d) de uma circunferência. 
A experiência matemática ensi-
na que, nesses casos, é preciso 
verificar se existe uma razão 
constante entre as variáveis.
A cada arco corresponde uma corda com as mesmas extremidades e para cada 
corda podemos associar dois arcos. Troque idéias com seus colegas.
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1 volta
30 cm
Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26?
Solução
Com a bicicleta do problema anterior, quantas voltas completas são necessárias para 
percorrer uma distância de 4 km ou 4 000 m?
Solução
Dividindo-se a distância total pelo comprimento de uma volta completa, obtém-se o número de voltas completas 
necessárias.
4 000 ÷ 1,884 = 2 123 voltas completas e mais “um pouquinho”, pois o resultado é um número decimal.
Resposta: são necessárias 2 124 voltas completas para percorrer os 4 km.
Exemplo 1
Resposta: o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26 é 1,884 m.
Exemplo 2
OBJETO COMPRIMENTO (C) DIÂMETRO (d)
49 mm155 mmFundo do copo
Veja a tabela com as medidas de dois objetos.
RAzÃO: 
Mesa de jantar 4,40 m 1,4 m
3,16
3,14
Usando suas medidas, você pode verificar que a razão é sempre um número um pouco maior do que 3. Esse valor 
não é constante porque as medidas não são exatas. Quanto mais precisas forem as medidas, mais a razão se aproxima 
de um número constante, conhecido como número pi, cujo símbolo é .
O número é um número irracional, isto é, não pode ser escrito como fração; sua notação decimal possui infinitas 
casas decimais, mas não é uma dízima periódica.
 Se é um número irracional, como podemos fazer cálculos com ele?
Na maioria das vezes, usa-se 3,14 como um valor aproximado de 
Podemos agora obter uma expressão geral para o comprimento de uma circunferência:
 
Divida C por d em cada linha de sua tabela.
Numa bicicleta com aro 26, o raio 
mede 30 cm. Substituindo r = 30 cm 
na expressão C = 2 r e usando o 
valor aproximado de = 3,14, 
temos:
C = 2 . . 30 C = 2 . 3,14 . 30 
C = 188,40 cm ou C = 1,884 m
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Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 a.C., foi um gênio da Matemática e da Física, 
além de grande construtor de máquinas de guerra. 
Ele desenvolveu muitos estudos para obter o cálculo aproximado de . Sabia que a 
divisão do comprimento da circunferência por seu diâmetro é um número constante, 
qualquer que seja o tamanho da circunferência. 
Para calcular o valor do número , Arquimedes aproximou polígonos por dentro e 
por fora da circunferência e mediu os perímetros. 
Quanto maior era o número de lados do polígono, mais ele se aproximava da medida 
da circunferência. O valor obtido por Arquimedes para foi:
A fração foi utilizada durante muitos anos como uma aproximação bastante 
boa de para grande parte das aplicações. Foi apenas em 1761 que Lambert 
(1728–1777) provou que é um número irracional.
6 lados 8 lados 12 lados
6 lados 8 lados 12 lados
6 lados 8 lados 12 lados
Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o número com 707 casas decimais. Para 
realizar esta tarefa, precisou de 15 anos! Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número com 
quantas casas decimais se desejar em apenas alguns segundos.
 =3,1415926535897932384626433832795028...
Calcule o comprimento da correia do sistema de polias representado pela figura abaixo.
40 cm
20 cm 20 cm
Exemplo 3
Solução
Em primeiro lugar, observe que a correia une as duas polias (círculos) passando pela metade do comprimento 
(semicircunferência) de cada uma delas. O comprimento da correia será igual ao perímetro da figura, que é 
composto de duas semicircunferências iguais (com diâmetros iguais, d=20 cm) e dois segmentos de reta (com 
comprimento c = 40 cm).
Como as duas semicircunferências possuem o mesmo diâmetro, basta uni-las para formar uma circunferência 
completa, com 20 cm de diâmetro. 93
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1 Usando um compasso, desenhe no seu caderno:
a) uma circunferência com raio de 5 cm
b) uma circunferência com 8 cm de diâmetro
c) duas circunferências com o mesmo centro e com raios medindo 3 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento?
 Medindo uma circunferência com uma fita métrica, obtém-se 62,8 cm de comprimento. Qual a medida do 
diâmetro dessa circunferência?
 
 Descubra o número correspondente às letras a seguir:
 Se uma circunferência tem 18,84m de comprimento, qual o comprimento de sua semicircunferência?
 Divida a mesma circunferência de 18,84 m de comprimento em 4 partes iguais. Qual o comprimento de cada 
arco obtido?
 Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda possível?
Logo, o comprimento da correia é igual a:
L = . d + 2 . c = x 20 + 2 x 40 = 3,14 x 20 + 80 = 62,8 + 80 = 142,8
L 143 cm
3
Resposta: o comprimento da correia do sistema de polias é, aproximadamente, 143 cm.
20 cm
Raio = r Diâmetro = d
12,5642
1
d
18,84
Comprimento = 2 r
c
e f
a b
5
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
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7 Calcule o comprimento da pista de atletismo representada abaixo:
 O comprimento da linha do Equador da Terra tem aproximadamente 40 000 km. Qual o raio da Terra?
 
 Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cercá-la?
 Numa bicicleta de aro 26, quantas voltas completas as rodas precisam dar em um percurso de 3,76 km? (veja 
o Exemplo 1 desta aula).
20 m
80 m
É necessário saber conferir e justificar suas respostas e saber ouvir, respeitar e 
prestigiar as idéias e pontos de vista das outras pessoas.
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Numa fábrica de latões, um funcionário precisa calcular 
a quantidade de material necessário para a fabricação 
das tampas dos latões. 
O que é preciso fazer para saber a quantidade de 
material necessário?
área do CírCuloA
U
L
A
 1
7
tampa
A figura ao lado poderá ajudá-los 
a responder às questões.
tampa
Acertou quem pensou em descobrir qual a área das tampas! Nesta aula, você vai 
estudar como calcular a área do círculo.
Reúna-se com o seu grupo. Desenhem, em uma folha de papel A4, a maior 
quantidade possível de círculos, todos com o mesmo raio. Antes de desenhar 
os círculos, pensem nas questões abaixo:
• Vocês conseguirão usar toda a folha ou haverá um certo desperdício de 
papel? Por quê?
• Uma folha de tamanho A4 tem 29,7 cm de comprimento e 21 cm de 
largura. Experimentem desenhar circunferências com 7 cm de diâmetro. 
É uma boa medida? Por quê?
• Como calcular o desperdício de material? 
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3
2
1
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O comprimento de uma 
circunferência depende da 
medida de seu raio e é dado 
pela expressão C=2 r, na qual:
• C é o comprimento da 
circunferência;
• r é a medida do seu raio;
• é um número irracional 
aproximado para 3,14.
Para obter uma expressão 
para o cálculo da área do círculo, lembre-se de que ele é a região do plano 
delimitada pela circunferência.
Você já conhece algumas unidades de medida usadas para expressar área: 
cm2, m2 e km2, por exemplo. Estas unidades podem ser representadas por 
quadrados cujos lados medem, respectivamente, 1 cm, 1 m e 1 km.
Este quadradinho tem 1 cm 
de lado e representa 1 cm2.
Afastem as carteiras e desenhem, no chão da sala de aula, um quadrado com 1 m2 de 
área. O que vocês fariam para desenhar um retângulo com comprimento diferente 
da largura e que também tenha 1 m2 de área?
Calcular a área de uma figura é verificar quantos quadradinhos de uma certa unidade cabem dentro dessa figura.
Se uma figura for recortada e rearrumada, sua área se mantém a mesma, desde que estejam preservadas todas as suas 
partes. Essa propriedade já foi estudada, na Aula 15, para o cálculo, por exemplo, da área de um trapézio.
Trabalhando em grupo, use a ilustração para obter a área do trapézio!
1 cm
cm2
r
círculo
circunferência
B
b
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6
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1
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1 2 3 4 5 6 7 8
1
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2 3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15 16
r
Exemplo 1
A área de um retângulo é igual ao produto do compri-
mento pela altura. Como C =2 r, chega-se à expressão 
para o cálculo da área de um círculo de raio r : 
A áREA DO CÍRCULO
Para encontrar a expressão de cálculo da área do círculo é preciso recortá-lo, de forma conveniente, para formar outra 
figura mais simples. Lembre-se que as figuras mais simples para o cálculo de área são os quadriláteros.
a. Divida um círculo de raio r em 16 partes iguais. Cada 
uma destas partes é chamada setor circular.
c. Depois, encaixa-se a outra metade sobre a primeira, 
de forma a não deixar espaços vazios. A figura obtida 
ainda não é um quadrilátero.
d. Com um pouco de imaginação, é possível obter um 
quadrilátero dividindo o círculo em setores circulares 
cada vez menores.
b. Agora, a metade destas 16 partes iguais (ou setores) 
devem ser rearrumadas, como mostra a figura ao lado.
e. Repetindo o que foi feito antes com as 16 partes, pega-
se a metade dos setores em uma posição e encaixa-se a 
outra metade sobre os primeiros. Com setores bem 
pequenos, conseguimos uma figura que é praticamente 
um retângulo de altura igual ao raio do círculo e 
comprimento igual à metade do comprimento da 
circunferência deste círculo.
Calcule a área dos círculos de raios:
a) 1 km b) 2 m c) 3 cm
Solução
Conhecendo a fórmula e as medidas dos raios, basta substituir o valor de r na fórmula. 
a) Se r= 1 km, temos que A = r2 = .12 = = 3,14 km2.
Para calcular a área de um círculo “grande” (raio de 1 km), você pode usar uma aproximação de com mais casas 
r
C
2
área do CírCulo
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7
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A área do círculo pode ser obtida ainda de outra forma. Imagine que o círculo é formado por várias circunferências 
concêntricas (circunferências que possuem o mesmo centro). Ao cortar e esticar todas essas circunferências, transforma-
se o círculo em um triângulo retângulo.
decimais. Usando = 3, 1416, temos: A = 3, 1416 km2, ou seja, A = 3 141 600 m2.
Para encontrar o valor da área em m2, é possível converter a medida do raio para metros: r = 1 km = 1 000 m. 
Então: A = . r2 = . 1 0002 = . 1 000 000 = 3,1416 . 1 000 000 = 3 141 600 m2.
Resposta: a área do círculo é 3 141 600 m2.
b) Para um círculo com r = 2 m, a área será: A = r2 = . 22 = . 4 = 3,14 x 4 = 12,56 m2.
Resposta: a área é 12,56 m2.
Lembre-se que para transformar unidades de medida de área é preciso “andar” de duas em duas ordens numéricas. 
Assim, 12,56 m2 correspondem a 125 600 cm2. A decisão da unidade a ser utilizada depende da precisão da medida 
que se deseja e, conseqüentemente, o número de casas decimais de depende da necessidade de obter uma medida 
com maior precisão ou não.
Utilizando = 3,1416, para fornecer a área em cm2, o resultado seria A = 125 664 cm2.
c) Sendo r = 3 cm, a área será A = . r2 = . 32 = . 9 = 3,14 x 9 = 28,26 cm2.
Para esta área, basta usar com duas casas decimais, o que leva a uma precisão de milímetros quadrados, quase sempre 
um exagero. Represente no papel um quadrado de 1 mm de lado e portanto com 1 mm2 de área.
Resposta: a área do círculo é 28,26 cm2.
Assim, usando que a área do triângulo é dada por 
Para calcular a quantidade de material necessário para produzir tampas para latões 
cilíndricos, é preciso calcular a área do círculo destas tampas. 
Solução
Sabendo que o raio de cada latão mede 40 cm e substituindo-se este valor na expressão 
A= r2, é determinada a área de cada tampa: 
A= r2 = . 402 = . 1 600 = 3,14 x1 600 = 5 024 cm2 .
Exemplo 2
Resposta: a área do círculo das tampas é 5 024 cm2.
40 cm
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9
8
10
11
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10%
20%
30%
25%
15%
Trabalhando em grupo, avalie esse desperdício em termos percentuais.
�����Sempre que é preciso cortar círculos de determinado material, há certo desperdício. 
Na figura a seguir, você pode perceber isso. Qual é a área desperdiçada?
 
Solução
Se o lado do quadrado mede 10 cm, o diâmetro do círculo também mede 10 cm 
e seu raio, 5 cm. Então:
Áreado quadrado = . 
Área do círculo .
Desperdício =100 – 78,5 = 21,5 cm2.
área de setores CirCulares
Um setor circular é uma “fatia” de círculo.
Exemplo 3
Resposta: a área desperdiçada é 21,5 cm2.
Numa circunferência de centro O e raio r, a cada setor 
circular corresponde um arco da circunferência e um 
ângulo central como mostra a figura:
Setor circular é a região do círculo de centro em O e 
raio r delimitada pelo ângulo central AÔB.
Para calcular a área de um setor circular há duas 
estratégias possíveis, que dependem dos dados 
conhecidos.
Uma pizza em fatias está cortada em setores. Gráficos circulares que aparecem em jornais ou revistas 
trazem o círculo dividido em setores.
1a: Se você sabe em quantas partes o círculo foi dividido.
Neste caso, basta dividir a área total do círculo pelo número de partes.
área do CírCulo
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2a: Se você conhece a medida do ângulo central correspondente ao setor circular. 
Neste caso, para calcular a área do setor usa-se proporcionalidade. Lembre-se de que o ângulo que corresponde 
a toda a região circular é o ângulo de uma volta completa, ou seja, de 360o.
Como a área de um setor é diretamente proporcional à medida de seu ângulo central, usa-se a fórmula para o cálculo 
da área total do círculo e escreve-se a seguinte proporção:
Área do círculo 360o
Área do setor ângulo central
Simbolicamente: 
Calcule a área de um setor circular de um ângulo de 50o num círculo de 3 cm de raio.
Solução
Como a área do setor é diretamente proporcional 
a seu ângulo central, temos:
Círculo: 28,26 cm2 360o
Setor: A
s
 50o 
3 cm
50º
3 cm
 b) 4 partes iguais
 área do setor:
Exemplo 4
Calcule a área de cada setor do círculo, dividido em:
a) 2 partes iguais b) 4 partes iguais c) 6 partes iguais
Resposta: 
a) a área de cada setor do círculo é aproximadamente 6,28 cm2; b) a área de cada setor do círculo é aproximadamente 
3,14 cm2.; c) a área de cada setor do círculo é aproximadamente 2,09 cm2..
Exemplo 5
Resposta: a área desse setor é 3,93 cm2. 
 área do círculo: Solução
 a) 2 partes iguais
 área do setor:
 c) 6 partes iguais
 área do setor:
Daí que: 
Coroa CirCular
Uma coroa circular é uma figura plana formada por dois círculos concêntricos de 
raios diferentes, como mostra a figura.
As representações planas de um eclipse, de um pneu e de outros objetos que encon-
tramos no cotidiano são coroas circulares.
2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
O O O O
2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
O O O O
 
 
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14
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4
3
2
1
5
 Para construir o gráfico de setores abaixo, utilizamos 
um círculo com 2 cm de raio. Calcule a área de cada setor.
10%
20%
30%
40%
 Calcule, em seu caderno, a área de um círculo:
a) cujo raio mede 6 cm b) cujo diâmetro mede 8 cm
 Se um círculo com raio de 10 cm foi dividido em 9 partes iguais, calcule:
a) a área de um dos setores circulares assim obtidos
b) a medida do ângulo central correspondente
 Use proporcionalidade para calcular a área de um setor circular de 150o de abertura num círculo com 1m de raio.
Pense em outros exemplos!
r
R
Calcular a área de uma coroa circular é muito simples. Basta calcular a área de cada 
círculo e depois subtrair a área do círculo menor da área do círculo maior.
Sendo R a medida do raio do círculo maior, sua área é R2.
Para o círculo menor, a área é r2.
Usando esse resultado, calcula-se a área da parte pintada da figura, ou seja, a 
área da coroa circular, que será igual à diferença R2– r2.
Colocando em evidência, ficamos com a seguinte expressão:
Área da coroa circular = (R2–r2).
 Calcule a área da varanda representada na figura. 
A parte central da varanda é um retângulo e cada uma das 
partes laterais é a quarta parte de um círculo.
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
área do CírCulo
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7 Calcule a área dos círculos das figuras abaixo:
 Determine a área da coroa circular limitada pelas 
circunferências inscrita e circunscrita num mesmo 
quadrado de lado l = 4 cm .
 Num círculo de raio r =10 cm, calcule no seu 
caderno:
a) a área de um setor circular com = 45o
b) a área de um setor circular com = 60o
c) a área de um setor circular com = 120o
 Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia.
2 cm
2 cm
5 cm
5 cma) circunferência
circunscrita
8
b) circunferência
inscrita
9
é a medida do ângulo central
10
 Se o raio de um círculo é o triplo do raio de outro círculo, quantas vezes a área do primeiro é maior do que a área 
do segundo?
6
103
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A figura ao lado representa uma 
quadra delimitada pelas ruas 41 e 
42 e avenidas A e W. Para dividir a 
quadra em dois terrenos, a pro-
posta é colocar um muro paralelo 
às ruas 41e 42. 
Qual será o valor de x?
o teorema de talesA
U
L
A
 1
8
No Egito, por volta de 2500 a.C., os agrimensores já usavam seus conhecimentos geométricos para medir terrenos. 
As grandes pirâmides demonstram como os egípcios conheciam e sabiam usar bem a Geometria – embora, para eles, 
a Geometria fosse uma ciência puramente experimental. 
Por volta de 600 a.C., filósofos e matemáticos gregos passaram a modificar a maneira de fazer Geometria: 
começaram a transformá-la de uma coleção de resultados empíricos em um sistema bem organizado e sistemático. 
Foram os gregos os primeiros a introduzir o raciocínio dedutivo na Matemática. Cerca de 300 anos depois, o 
matemático grego Euclides escreveu um livro de Geometria que se tornou famoso, Os Elementos de Euclides, no 
qual apresentou de maneira organizada, utilizando o raciocínio dedutivo, a matemática grega elementar conhecida 
em sua época.
Para resolver um problema prático como o da divisão da quadra com um muro paralelo às ruas, é preciso recorrer a 
essas sistematizações e, particularmente, a um teorema elaborado por outro filósofo grego, Tales, nascido em Mileto, e 
que viveu provavelmente entre 624 e 548 a.C.
Rua 41
Rua 42
A
venida WAv
en
id
a 
A
48 m
40 m 35 m
x
teoremas
Para estudar Geometria, os matemáticos aceitam certos objetos sem procurar defini-los. São as chamadas noções 
primitivas. Estas noções são as de ponto, reta e plano. São tão simples que é mais complicado tentar defini-las do 
que simplesmente aceitá-las.
Em seguida, os matemáticos aceitam, sem discutir, certos fatos básicos e importantes chamados de axiomas. Por 
exemplo, Euclides já aceitava que dados dois pontos distintos é possível passar uma reta pelos dois pontos, e somente 
uma. Os axiomas são as regras do jogo em Geometria – e todo mundo sabe que se regras não são aceitas pelos 
jogadores cria-se uma enorme confusão.104
1
2
3
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m r
s
t
n
A
B
C
E
D
F
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
m r
s
t
n
A
B
C
E
D
F
u coube 
4 vezes 
em AB
u coube 
6 vezes 
em AB
Por fim, utilizando as noções primitivas, as definições e os axiomas, os matemáticos demonstram teoremas.
Demonstrar, em Matemática, é provar, usando o raciocínio lógico, que uma afirmação, uma proposição, é verdadeira. 
Para isso, os matemáticos podem usar somente as noções primitivas, as definições, os axiomas e teoremas já provados 
anteriormente. Uma afirmação demonstrada da maneira descrita acima é um teorema.
Geralmente, os teoremas se apresentam na forma “se” alguma coisa acontece, “então” alguma outra coisa tem 
forçosamente que acontecer. Aquilo que sabemos que acontece, que é verdadeiro, é o que chamamos de hipótese do 
teorema. O que desejamos demonstrar é o que chamamos de tese do teorema.
teorema de tales
Observe que, ao dividir AC em dez segmentos congruentes de medida u, o segmento DF também ficoudividido em dez 
segmentos congruentes de medida que chamaremos de v. Considerando estas divisões, podemos concluir que:
.
.
.
Portanto, os segmentos AB, BC, DE e EF são proporcionais. Este resultado pode ser enunciado de maneira geral. 
Na figura ao lado, você pode ver três retas paralelas 
(que foram chamadas de r, s e t) e duas outras 
retas, m e n, que cortam r, s e t. As retas paralelas 
r, s e t são um exemplo de um feixe de retas 
paralelas. As retas m e n são chamadas 
transversais, pois cortam transversalmente as 
retas do feixe.
Examine agora a figura a seguir. Nela, você vê o feixe de paralelas r, s e t cortadas pelas transversais m e n. Suponha que o 
segmento de medida u cabe um número exato de vezes tanto em AB quanto em BC: 4 vezes em AB e 6 vezes em BC.
105
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Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos de 
comprimentos proporcionais. 
 
Não demonstramos o teorema de Tales. Simplesmente o verificamos no caso particular ilustrado na figura. Uma 
demonstração deste teorema teria que ser válida para qualquer feixe de retas paralelas cortadas por transversais, e deveria 
ser feita sem utilizar resultados da figura, baseando-se totalmente no raciocínio lógico.
Aplicando o teorema de Tales
40 m 35 m
48 m x
a a a
b b b
c c c
d d dz
w
x
y
Agora, você pode resolver o problema proposto no início da aula, utilizando 
o teorema de Tales para determinar o lado x no problema da divisão da quadra 
em dois terrenos. Em primeiro lugar, as ruas 41 e 42 podem ser representadas 
por um feixe de paralelas cortadas pelas transversais, que são as avenidas A e 
W. Aplicando o teorema de Tales, obtemos a seguinte proporção:
,
Uma forma mais geral do teorema de Tales
Considere um feixe de retas paralelas com as transversais, como 
mostra a figura. Você verá que é possível ampliar o que foi aprendido 
para várias situações propostas.
Observe que, além das retas paralelas, surgiram também 
triângulos entre elas, e que os segmentos de medidas a, b, c, d e 
x, y, w, z, determinadas nas retas transversais, formam segmentos 
proporcionais. Portanto temos as proporções a seguir:
Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura.
Solução
É possível representar por x a medida que desejamos calcular e juntos 
podemos aplicar o teorema de Tales para descobrir esta medida sem 
efetuar medições. Como as laterais são paralelas, temos:
Rua das Marrecas
R
u
a 
d
o
s 
G
an
so
s
lote A
lo
te
 C
lote B
24
 m
x
20
 m
30
 m
Exemplo 1
m n
r
s
t
A
B
C
D
E
F
o teorema de tales
106
4
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 106 3/5/2008 18:10:29
2 A planta ao lado mostra as medidas de dois 
terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que 
as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 
metros.
A
Bx
y
30 m 45 m
4
9
a
b
c
x + 1
2x + 3
t r
b
a
c
tr
d
4
3
2
8
z
y
Exemplo 2
Sabendo que, em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos:
30 x = 20 · 24
x = 16
Resposta: sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B mede 16 metros.
Sabendo que a // b // c // d, e que t e r são transversais, determine x, y e z em cada figura.
Solução
a) Aplicando o teorema de Tales, obtém-se a seguinte 
proporção:
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 
temos que: x x8 12 9 9+ = +
 
b) 
 
 
 a) x = 3 Resposta: 
b) y = 4 e z = 6
x
1,4
2,4
1,2
a
b
c
x
a b c
4
6
8
 Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas a, b e c são paralelas).
a) b) 
1
Seu livro deve ser preservado. Responda às questões no caderno.
107
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 107 3/5/2008 18:10:29
3
4
r t
b
c
y
8 cm
10 cm
x
a
 A figura representa três terrenos que ocupam uma 
quadra. Determine as medidas de x, y e z. 
 Na figura a seguir, a, b e c são retas paralelas, e r e 
t, transversais. Sabendo que xou que os três pares de lados sejam ordenadamente proporcionais. Usando a linguagem 
matemática, isso fica mais claro.
Se:
 ≅ Â, ≅ , ≅ 
Ou
Então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. 
Assim, na prática, é suficiente verificar se há congruência dos ângulos ou proporcionalidade dos lados. Para polígonos 
de mais de três lados, é necessário verificar as duas condições.
A
A'
B B'C C'
 b 
b'
c
c'
a a'
Podemos aplicar o teorema de Tales e concluir que dois pares de lados dos triângulos são proporcionais. pense! Será 
que as bases dos triângulos também estão na mesma proporção? A resposta é sim! A idéia que está por trás desse fato 
é o que chamamos de semelhança de triângulos. Nos triângulos ABC e A’B’C’, dizemos que os segmentos AB e A’ B’ 
(lados de ABC e A’B’C’, respectivamente) são correspondentes quando ambos são opostos a ângulos congruentes. 
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente 
congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Em linguagem matemática, isso 
quer dizer que:
Se o ABC é semelhante ao A'B'C', temos:
Aqui, k é a razão de semelhança ou constante de proporcionalidade entre os lados dos 
triângulos. 
OBS: O símbolo ( ) é utilizado para denotar a congruência entre os ângulos.
A lenda diz que Tales de Mileto, ao fazer uma viagem pelo Egito, foi desafiado a determinar a altura de uma das pirâmides 
sem recorrer à medição direta.
Parece que Tales valeu-se da sombra projetada, em um mesmo instante, pela pirâmide e por um bastão.
 ≅ Â'
 ≅ '
 ≅ ' e 
Â, ≅ , 
111
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 111 3/5/2008 18:10:29
Vamos reconstruir o processo utilizado por Tales?
Inicialmente, é preciso examinar as secções verticais dessas figuras.
Na figura, identificamos:
H: altura da pirâmide
d: distância do eixo da pirâmide a sua borda
S: extensão da sombra projetada no solo pela pirâmide (sombra visível)
h: altura do bastão
s: extensão da sombra projetada no solo pelo bastão
Observe que, nos dois triângulos retângulos, podemos destacar:.as bases, que são paralelas (pois o solo é horizontal).as alturas, que são paralelas (pois são ambas verticais).os lados inclinados, que são paralelos (pois podemos considerar que os raios solares são paralelos, 
devido à grande distância entre a Terra e o Sol).
Como esses triângulos apresentam os três lados correspondentemente paralelos, seus ângulos são congruentes dois a 
dois (lembre-se de que, neste caso, se os lados de dois ângulos são paralelos, então eles são congruentes). Assim, os 
triângulos são semelhantes, logo seus lados são proporcionais.
É possível então obter a dimensão H da pirâmide, como fez Tales, com o auxilio da seguinte proporção:
Substituindo os valores conhecidos de h, d, S e s, obtém-se H, que é a altura da pirâmide.
raios
solares
H
d s s
h
Exemplo 1
Os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo são semelhantes com  ≅ Â' e ≅ '. Determine os valores de x e y.
Solução
A
B C
x
y
10
4 5
7B'
A'
C'
semelhança
112
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3o caso de semelhança: LLL (Lado-Lado-Lado)
Se dois triângulos possuem lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
 
A
B C
P
RQ
R
P
Q
A
CB é semelhante a 
Verificamos que os dois triângulos são semelhantes, pois possuem ângulos congruentes. Logo, os lados correspondentes 
são proporcionais:
 
Dessa forma, a razão de semelhança é igual a 2. Ou k = 2. 
Critérios de semelhança de triângulos
Como ter certeza de que dois triângulos dos quais só conhecemos alguns dados (ângulos ou lados) são semelhantes? 
É preciso olhar menos que três pares de lados e ângulos para garantir isso. Os critérios de semelhança dão condições 
mínimas para que isso aconteça. Vamos verificar os três casos.
1o caso de semelhança: AA (Ângulo-Ângulo)
Se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes entre si, então esses triângulos são semelhantes.
Resposta: .
 ≅ Q̂ 
é semelhante a 
Se o ângulo  é congruente ao ângulo P̂ e se o 
ângulo é congruente ao ângulo Q̂, então os 
triângulos ABC e PQR são semelhantes.
A
B C
P
RQ
2o caso de semelhança: LAL (Lado-Ângulo-Lado)
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados correspondentes de outro triângulo e os ângulos compreendidos 
entre esses lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
A
B
C
Q
P
R
A
B
C
Q
P
R
AB, PQ, AC e PR são os lados proporcionais e são 
os ângulos congruentes compreendidos entre 
eles.
 
 é semelhante a 
113
3
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 113 3/5/2008 18:10:30
Determinar a altura do sabendo que ele é 
semelhante ao , com  ≅ Â' e ≅ '.
Solução
Sabendo-se que é semelhante a 
, podemos escrever:
A
B C
8
h
5
6
A'
B' C'
A
P G C
N
F
B
M
E
a - x
b - a
x
x
a
a b D
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Resposta: a altura do mede aproximdamente 6,66. 
Na figura abaixo, os quadrados ABCD, EFGC e MNPG 
têm os lados medindo b, a e x, respectivamente. Determine 
x em função de a e b.
Solução
Sendo os triângulos FMN e BEF semelhantes, temos:
Resposta: 
(UFMG) Dois círculos, de raios 6 m e 4 m, têm centro na 
altura relativa à base do triângulo isósceles da figura e são 
tangentes exteriormente. A altura do triângulo relativa à 
base, em metros, é:
a) 25 b) 26 c ) 30 
d) 32 e) 36
Solução
Destacando dois triângulos retângulos semelhantes, podemos escrever a proporção:
Resposta: a altura do triângulo mede 36 m.
A
B C
8
h
5
6
A'
B' C'
x
O
O'
4
6
semelhança
 
114
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Exemplo 7
A
9
E D
B F G C
5
Na figura, o quadrado DEFG está inscrito no triângulo ABC. 
Sabendo que , calcule 
a medida do lado do quadrado.
Solução
G F
A
ED
CB
x
x
x
x
Exemplo 5
Exemplo 6
Resposta: a altura do quadrado mede .
Considere os triângulos semelhantes GBD e CFE. Temos:
Calcule o lado do quadrado inscrito no triângulo ABC:
a) a razão entre seus perímetros é k;
b) a razão entre as alturas correspondentes é k;
c) a razão entre as medianas correspondentes é k, e k é a razão de 
semelhança entre os triângulos.
Solução
Considerando os triângulos semelhantes ADE e ABC e chamando 
o lado do quadrado de l , temos as figuras ao lado.
Aplicando-se a proporcionalidade entre os lados 
correspondentes, temos:
 
Resposta: o lado do quadrado mede aproximadamente 3,21.
A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um 
bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Determine a altura do poste.
Chamando-se de h a altura do poste, podemos obter a relação: 
Resposta: a altura do poste é de 20 m.
Solução
l
l
115
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 115 3/5/2008 18:10:30
Um prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo instante em que uma baliza de 1 m projeta uma sombra de 40 cm. 
Se cada andar desse prédio tem 3 m de altura, então qual é o número de andares do prédio?
Solução
Chamando-se de h a altura do prédio e de x o número de andares do prédio, e sabendo-se que cada andar tem 3 m, 
temos que: 
 h = 3.x
Portanto: 
Resposta: o prédio possui 5 andares.
Exemplo 8
Duas figuras são semelhantes quando, ao mesmo tempo:.os ângulos correspondentes têm a mesma medida;.as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais.
Veja agora uma maneira muito utilizada de ampliar ou reduzir figuras.
O
O
O
Escolha um ponto qualquer O. Ligue este ponto O a cada vértice da figura.
Meça as distâncias do ponto O aos vértices e 
multiplique essas distâncias por uma constante, 
marcando novos pontos sobre as retas que ligam 
o ponto 0 aos vértices da figura. Ligue os novos 
pontos e está feita a ampliação.
semelhança
116
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O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura
O O
Os trapézios ABCD e MNOP são semelhantes.A razão de semelhança entre ABCD e MNOP é 0,25. Se o perímetro de 
MNOP é 48,4 cm, qual é o perímetro de ABCD?
Solução
Resposta: o perímetro do trapézio ABCD é 12,1 cm.
Um tipógrafo deseja fazer um cartão de visita de comprimento 6 cm e de largura tal que, quando dobrado ao meio, ele terá 
a mesma forma que antes. Qual deve ser a largura?
Solução
O cartão tem 6 cm de comprimento e, se dividido ao meio, haverá um novo valor para o comprimento, que será igual 
ao da largura do cartão primitivo.
Como são retângulos semelhantes, temos:
Exemplo 9
Exemplo 1010
Resposta: a largura do cartão deve ser, aproximadamente, 4,2 cm.
Esse método para obter figuras semelhantes pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto O pode estar em qualquer 
posição. Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados 
correspondentes quaisquer dos polígonos. Por isso, é possível reduzir ou ampliar as figuras sem mudar sua forma. Logo, 
os perímetros serão sempre proporcionais na mesma razão que os lados.
Observe, portanto, que dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos forem ordenadamente congruentes e se 
os lados que formam ângulos congruentes forem proporcionais.
117
4
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 Um trapézio tem bases de comprimentos 8 cm e 4 cm e mede 9 cm de altura. A que distância da base maior 
cortam-se as diagonais?
 Obtenha o perímetro do quadrado inscrito em um triângulo de base 12 cm e de altura 8 cm,
como mostra a figura.
 
Num vôo de São Paulo a Maceió, haverá uma escala em Salvador para embarque de novos passageiros. O piloto observa 
um mapa que tem escala indicando que 1 cm corresponde a 25 km e observa que a distância total a ser percorrida no 
mapa até Salvador corresponde a 76 cm e de Salvador a Maceió, a 24 cm. Quais são as distâncias de São Paulo a Salvador 
e de Salvador a Maceió? Se a velocidade do avião for de 900 km/h, qual será o tempo total de vôo até Maceió?
 O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a 
figura. Se AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, qual o valor do lado y do 
losango?
1
2
3
4
A escala é sempre escrita na forma a:b. Isso significa que o tamanho de um dos 
segmentos do desenho, quando multiplicado por b, devolve o tamanho do mesmo 
segmento em relação à figura original. No caso mais geral, há escalas indicadas por 
1:b e aí basta multiplicar b pelo tamanho indicado nos segmentos de desenho ou 
pelo tamanho de um segmento que normalmente o acompanha. A escala também 
indica a unidade a ser utilizada (cm, m, km etc.). Se o desenho é maior do que o 
objeto, então a é maior do que b.
 Se α = β, determine x e y nos casos abaixo:5
8
8
8
4
6
6
2
12 xx
y
y
a) b)
y
y
y
y
A
B
E C
D
F
8
12
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
semelhança
118
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 Prolongando-se os lados oblíquos às bases de um trapézio ABCD, obtemos um ponto E e os triângulos ECD 
e EAB. Determine a relação entre as alturas dos dois triângulos, relativas aos lados que são bases do trapézio, 
sendo 12 cm e 4 cm as medidas das bases do trapézio.
 
 Determine x e y na figura ao lado.
 
 Num retângulo ABCD, os lados AB e BC medem 20 cm e 
12 cm, respectivamente. Sabendo que M é o ponto médio do lado 
AB, calcule EF, distância do ponto E ao lado AB, sendo E a 
interseção da diagonal BD com o segmento CM.
 Um lado de um de dois triângulos semelhantes é cinco vezes maior que o lado correspondente do outro. Se a 
área do triângulo menor é 6 cm2, qual é a área do maior?
 Demonstre que, dados dois triângulos semelhantes, então:
a) a razão entre seus perímetros é k
b) a razão entre as alturas correspondentes é k
c) a razão entre as medianas correspondentes é k, e k é a razão de semelhança entre os triângulos
6
7
8
9
10
D C
A B
E
M F
4
x
y
16
3
6
9
C
A B
E
D
119
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 119 3/5/2008 18:10:31
O conceito de coordenada está relacionado com 
localização e tem aplicação na Geografia, na Matemática 
e em outras atividades cotidianas. As situações a seguir 
exigem a compreensão de um código para especificar 
uma localização. Esses códigos são formados por pares 
de números ou letras. Qual a localização da torre no 
tabuleiro de xadrez?
CoordenadasA
U
L
A
 2
0
A figura mostra parte da 
cidade do Rio de Janeiro. Nesta 
planta você pode encontrar a 
Rua da Matriz na posição 2B e 
o shopping Rio Sul na posição 
4C. Discuta com seus colegas 
as possibilidades de ir desta rua 
ao shopping. 
 R
ua
 R
ua
Enseada
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Morro de
Da. Marta
Morro de
São JoãoCemitério
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A
B
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A
B
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1 2 3 4
1 2 3 4
A
B
C
A
B
C
Você já aprendeu, na Aula 4 deste livro, que a reta numérica possui:.uma origem, que corresponde ao número zero;.um sentido de orientação, indicado por uma seta, que corresponde ao sentido 
de crescimento dos números;.uma unidade de medida de comprimento constante, que corresponde à distância 
entre dois números inteiros consecutivos.
Temos então:
120
2
1
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Colocando essas retas de maneira que tenham a mesma origem e 
formem um ângulo reto, temos um plano cartesiano, ou seja, um 
plano no qual se desenhou um par de eixos perpendiculares.
Essas retas são denominadas eixos e a unidadede medida utilizada 
para marcar os números inteiros sobre os eixos não tem que ser a 
mesma para as duas retas. No entanto, escolhida uma unidade para 
um dos eixos, esta unidade precisa ser mantida em toda a extensão 
da reta. A não ser em casos especiais, é aconselhável usar a mesma 
unidade nos dois eixos.
Cada ponto do plano pode ser localizado por um par de números (x;y) que são suas coordenadas. O ponto onde os 
dois eixos se cruzam é denominado origem e a ele estão associadas as coordenadas (0;0).
Apesar de a figura representar apenas um trecho da reta numérica, ela é ilimitada 
tanto à direita como à esquerda, e possui um sentido de orientação. Ou seja, quanto 
mais à direita, maior o número; quanto mais à esquerda, menor.
A reta numérica é completa, ou seja, cada um dos seus infinitos pontos representa 
exatamente um número real e todos os infinitos números reais nela têm lugar. 
Veja como representamos, a seguir, os números e 2,6 na reta numérica.
Para representar números racionais com mais casas decimais, é possível ampliar 
a unidade de medida utilizada para marcar os números inteiros. Como exemplo, 
na reta abaixo o intervalo entre os números 3 e 4 foi ampliado e na reta está 
marcado o número 3,14, que costuma ser utilizado como aproximação de π.
o Plano Cartesiano
Quando é necessário localizar 
pontos sobre um plano, que 
pode ser um mapa ou um 
gráfico, não basta uma reta 
numérica. São necessárias duas 
retas numéricas, uma horizontal 
e outra vertical.
121
4
3
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Afastem as carteiras e tracem um sistema de eixos no chão da sala de aula para 
que possam dar a localização dos móveis, por exemplo. 
Como você acabou de ver, as coordenadas de um ponto são um par de números colocados entre parênteses numa 
determinada ordem. Por isso, esse par é denominado par ordenado (horizontal; vertical). A primeira coordenada é 
chamada abscissa e a segunda, ordenada. Temos então:
A(1; 2) par ordenado
 abscissa ordenada
D(-3;1)
C(-2;-2)
B(4;-1)
A(1;2)
Para qualquer ponto do plano, a primeira coordenada indica sua posição horizontal, ou seja, a que distância, à direita ou 
à esquerda, o ponto está da origem. Se o deslocamento é para a direita, a coordenada será um número positivo e, se for 
para a esquerda, será um número negativo. A segunda coordenada indica o deslocamento vertical, ou seja, a que distância, 
acima ou abaixo da origem, o ponto se encontra. Neste caso, quando o deslocamento é para cima da origem, a 
coordenada será positiva e, quando for para baixo, a coordenada será um número negativo.
Veja agora alguns pontos e suas respectivas coordenadas, assinalados 
num plano cartesiano.
As coordenadas (1;2) do ponto A mostram que, para encontrá-lo, 
precisamos nos deslocar uma unidade para a direita e duas unidades 
para cima. Para os outros três pontos temos:. ponto B(4;–1): 4 unidades para a direita e 1 unidade para baixo;. ponto C(–2;–2): 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para 
baixo;. ponto D(–3;1): 3 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima. 
Da mesma forma, o eixo horizontal é conhecido como eixo das 
abscissas, e o vertical, como eixo das ordenadas. Os eixos também 
são chamados de eixo dos x (horizontal) e eixo dos y (vertical).
O sistema de coordenadas cartesianas divide o plano em quatro 
regiões denominadas quadrantes. Para se referir a estas regiões, é 
costume numerar os quadrantes no sentido anti-horário, como 
mostra a figura ao lado:
Usando uma folha de papel quadriculado, construa um plano cartesiano, marque 
alguns pontos e troque de folha com um colega para que cada um coloque as 
coordenadas dos pontos marcados pelo outro.
Foi o filósofo e matemático francês René Descartes (1596–1650) quem inventou uma maneira de visualizar relações entre 
números. Sua idéia de representar graficamente pontos e curvas funcionou tão bem que o sistema ficou conhecido como 
plano cartesiano, em sua homenagem. O estudo das curvas usando coordenadas é chamado de Geometria Analítica.
Quadrante I
Quadrante IVQuadrante III
Quadrante II
y
x
Coordenadas
122
5
6
7
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Parábola
Este gráfico, chamado parábola, mostra a relação 
da medida do lado de um quadrado com sua 
área. Na Aula 36, você vai aprender a construir 
um gráfico deste tipo.
Cada ponto (x;y) representa, nesta ordem, a 
medida do lado de um quadrado e sua área, ou 
seja, poderíamos representar esses pares como 
(lado ; área). Você pode conferir, por exemplo, 
que a área de um quadrado de lado 2 cm mede 
4 cm2; a área de uma quadrado de lado 3 cm 
mede 9 cm2 e assim por diante.
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
lado (cm)
área (cm )2
(4;16)
(2;4)
(1;1)
(3;9)
visualizando relações
O plano cartesiano possibilitou a construção de gráficos para visualização de relações entre duas variáveis. Hoje em 
dia, os gráficos são muito utilizados não só para relações matemáticas, mas para a apresentação de dados em geral. Ao 
abrir um jornal ou uma revista, você encontrará representações gráficas dos mais variados tipos.
Colunas
O gráfico abaixo apresenta as despesas fixas (luz, gás, telefone, impostos etc.) de uma pessoa durante um ano. É um 
gráfico de colunas, onde o eixo horizontal mostra os meses e o eixo vertical traz as despesas.
A leitura da despesa para cada mês se faz por um par ordenado (mês; despesa) que determina a altura de cada coluna. 
Observe que, no mês de junho, para marcar a despesa de R$ 500,00, precisamos localizar o ponto (jun;500), como foi 
visto anteriormente para pares ordenados em geral.
R$
600
500
400
300
200
100
0
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
(jun; 500)
meses
jan
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
out
nov
dez
R$
300
410
540
380
320
500
490
570
380
430
420
400
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9
8
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1 Escreva a localização da capital brasileira (Brasília) no mapa do Brasil.
Consulte um atlas geográfico e seu professor de Geografia para verificar como 
são determinadas as coordenadas geográficas e como usá-las.
Hoje em dia, os recursos tecnológicos facilitaram muito a construção de gráficos. Existem muitos programas de 
computador que auxiliam a organização de dados e a construção de gráficos como os que aparecem diariamente na 
imprensa escrita. Esses programas são conhecidos como “planilhas eletrônicas”. Se essas planilhas contêm os dados que 
se quer visualizar em um gráfico, é suficiente escolher o tipo de gráfico desejado (de setores, de barras etc.) e a planilha 
automaticamente cria o gráfico.
A Geografia utiliza coordenadas para a localização de pontos sobre a Terra. Essas coordenadas geográficas são conhecidas 
como latitude e longitude.
R
. B
ra
nc
o
R. Pur
u s
R.
Ta
pa
jó
s
R.
To
ca
nt
in
s
R
. G
ur
up
R
.P
ar
na
íba
R . Jagu
ari
b e
R. São Francisco
R
.
Sã
o
Fr
anci
s co
R. Tietê
R. Iguaçu
R.
Pa
raná
R.
Urug
ua
i
R. Grande
R.
Paranaíba
R. Solimões
Rio
Amazona s
Rio Negro
R
. A
ra
gu
aia
R.
Ar
ag
ua
ia
R.
Pa
rna
íba
 Ilha de
Marajó
Ilha do
Bananal
Manaus
Boa Vista
Rio Branco
Macapá
Belém
São Luís
Teresina
Fortaleza
Natal
João Pessoa
Recife
Maceió
Aracajú
Salvador
Vitória
Rio de
Janeiro
Belo 
Horizonte
Porto 
Velho
Cuiabá
Campo 
Grande
Palmas
Brasília
Distrito 
Federal
Goiânia
São Paulo
Curitiba
Florianópolis
Porto Alegre
Chuí
 Lagoa 
dos Patos
Baía de Guanabara
Cachoeira de
Paulo Afonso
A B C D E F G H I
A B C D E F G H I
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Coordenadas
Utilizeseu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
124
10
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 Copie as frases no seu caderno, completando-as:
a) pontos sobre o eixo das abscissas (horizontal ou eixo dos x) terão sempre.............
b) pontos sobre o eixo das ordenadas (vertical ou eixo dos y) terão sempre.............
Discuta o que ocorre com a abscissa e a ordenada dos pontos de cada um dos quatro quadrantes.
 Observe a figura e determine se a abscissa e a ordenada de cada ponto são positivas (+), negativas (-) ou nulas (0).
 
 
 
 
 
 
 
 
 Numa folha de papel quadriculado, desenhe um sistema de eixos cartesianos que divida a folha em quatro 
quadrantes aproximadamente de mesma área. Para cada um dos itens abaixo marque os pontos solicitados e depois 
una-os por segmentos de reta, na ordem A, B, C e D. Verifique que figura geométrica foi obtida.
a) A(1; – 2), B(3;3), C(1;8) e D(–1;3)
b) A(8;–1), B(12;–1), C(8;3) e D(12;3)
c) A(–3;0), B(3;0) e C(3;– 6)
d) A(– 3;– 2), B(0;– 5) e C(– 6;– 6)
e) A(–12;8), B(– 3;8), C(–10;6) e D(– 5;6)
 Crie mais 3 figuras e dê as coordenadas de pontos que permitam a um colega desenhá-las. Em seguida, o colega 
deverá fazer o mesmo para você. 
 Consultando o gráfico do item Colunas desta aula, responda:
a) em que mês a despesa foi maior?
b) em que mês a despesa deu o maior “salto” para cima?
c) em que mês a despesa deu o maior “salto” para baixo?
 Consultando o gráfico do exemplo mostrado na aula, verifique o que ocorre se considerássemos valores negativos 
para x. Seria possível ampliar aquele gráfico? Como ele ficaria?
5
8
3
4
B
A
6
7
2 O ponto de coordenadas (1;4) coincide com o ponto de coordenadas (4;1)? Por quê? Marque esses pontos em 
um sistema de eixos cartesianos.


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Organize com sua turma uma coleção de gráficos recortados de jornais e revistas. 
Observem como é fácil encontrar gráficos dos mais variados tipos na imprensa 
escrita. A partir dessa coleção, identifiquem características semelhantes nos gráficos 
e criem critérios de classificação. Usando seus próprios critérios, separem a coleção 
em grupos menores.
gráfiCos: leitura 
e ConstruçãoA
U
L
A
 2
1
Em 1786, William Playfair utilizou pela primeira vez um gráfico de barras que, diferentemente dos gráficos geométricos 
precedentes, representava medidas não-geométricas, como renda e despesas da Escócia. Assim, começaram a aparecer 
as representações gráficas que têm como objetivo a apresentação visual de informações.
Hoje, os gráficos são um recurso muito utilizado pela imprensa, por empresas, organizações e em todos os níveis e 
modalidades de ensino. Por isso, é cada vez mais necessário saber ler e interpretar gráficos.
tiPos de gráfiCos
Existem vários tipos de gráficos. Os mais comuns são os gráficos de barras ou colunas, gráficos poligonais, gráficos de 
setores, cartogramas e pictogramas. O tipo escolhido depende das informações que se deseja mostrar e da finalidade 
do gráfico.
Gráficos de barras ou colunas
São os mais simples, tanto para construção quanto para leitura e interpretação. Ótimos para comparações rápidas entre 
valores. Nos gráficos de barras ou colunas, valores numéricos podem ser associados a valores não-numéricos, utilizando um 
retângulo para cada par ordenado. Todos os retângulos devem ter o lado que toca um dos eixos com a mesma medida e 
a outra dimensão deve variar de acordo 
com a escala escolhida para o outro eixo. 
Este é um gráfico de colunas. Associa, 
para cada mês, a despesa de uma 
pessoa. Todos os retângulos possuem 
a mesma medida no lado que toca o 
eixo horizontal (meses) e suas alturas 
dependem da despesa de cada mês, 
que varia numa escala de 0 a 600, no 
eixo vertical.
R$
600
500
400
300
200
100
0
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
meses
despesa
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1
3
4
2
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Fonte: Organização Mundial do Turismo - OTM, Banco de Dados
1997 1998
Brasília
Torres
Curitiba
Manaus
Fortaleza
Camboriú
Búzios
Recife
Porto Alegre
Foz do Iguaçu
Salvador
Florianópolis
São Paulo
Rio de Janeiro
Cidades mais visitadas do Brasil, por turistas
estrangeiros - 1997-1998
0 5 10 15 20 25 30 35 40
%
Considerando que a velocidade de um carro de corrida 
é constante e igual a 320 km/h, podemos construir a 
tabela ao lado.
Tempo (h)
0
1
2
3
4
Distância (km)
0
320
640
960
1 280
Exemplo 2
Liste três observações que mais lhe chamam a atenção no gráfico. Reúna todas as 
observações de sua turma e verifique as que mais se repetem.
Gráficos poligonais
Também chamados gráficos de linha, são muito utilizados quando uma das variáveis é o tempo. Permitem visualizar 
facilmente períodos de crescimento, decrescimento e estagnação de uma variável durante um certo tempo. Os gráficos 
poligonais são comuns em análises econômicas, incidências de moléstias, índices de crescimento populacional, de 
mortalidade infantil etc.
O gráfico mostra a porcentagem de analfabetos 
de mais de 15 anos de idade na população 
brasileira no período de 1900 a 2000, incluindo 
também projeções até 2020. No eixo das 
abscissas, estão os anos, de 10 em 10, igualmente 
espaçados. No eixo das ordenadas foram 
assinaladas as porcentagens de analfabetos. 
Assim, cada par ordenado é do tipo (ano; %).
Pelo gráfico, você pode verificar que a quantidade 
de analfabetos decaiu bastante no século XX, 
baixando de 65% da população em 1910 para menos de 20% em 2000 e estima-se que estará na faixa de 10% em 2020. 
O bom seria que o Brasil já não tivesse analfabetos, mas pelas estimativas do IBGE nem em 2020 isto terá ocorrido!
Taxa de analfabetismo da população de 15 anos
ou mais de idade - 1900/2020
70
60
50
40
30
20
10
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
%
Fonte: Censo demográfico 1900-1920. Rio de Janeiro; Diretoria-Geral de Estatística
1910-1940; Censo Demográfico 1940-1991. Rio de Janeiro: IBGE, 1950-1997.
Este é um gráfico de barras. Agora os retângulos têm a 
mesma altura e suas bases variam de acordo com os 
valores numéricos apresentados no eixo horizontal.
O gráfico de barras facilita a escrita e a leitura dos valores 
de uma variável não-numérica, como os nomes das 
cidades mais visitadas por turistas estrangeiros. 
No gráfico ao lado, há na verdade dois gráficos 
desenhados num mesmo sistema de eixos e, por isso, 
foi preciso usar uma legenda com cores para diferenciar 
duas épocas: 1997 (rosa) e 1998 (lilás). O eixo 
horizontal, numa escala de 0 a 40, mostra valores 
percentuais. Lendo o gráfico, você pode verificar que, no ano de 1998 (barra lilás), a cidade do Rio de Janeiro recebeu 
aproximadamente 30% dos turistas estrangeiros que vieram ao Brasil. 
Exemplo 1
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6
8
5
9
10
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Gráficos de setores
Apresentam os dados em um círculo dividido proporcionalmente. Utilizados principalmente quando é preciso mostrar 
a relação das partes com o todo. O gráfico de setores – também conhecido como gráfico circular, de pizza ou de torta – não 
deve ser usado para uma quantidade de dados que implique muitas divisões, a ponto de prejudicar a leitura dos dados.
A tabela ao lado apresenta os salários de 65 em-
pregados de uma empresa. 
Para construir o gráfico de setores, é preciso 
primeiro calcular o ângulo central de cada setor. 
Sabendo que os 65 empregados correspondem ao 
total e que o círculo todo possui 360o, calcula-se 
quantos graus cada empregado ocupa no círculo:
360o ÷ 65 = 5,538461538... ≅ 5,54o.
Número de EmpregadosSalário
500
600
700
800
900
1 000
1 100
8
10
16
14
10
5
2
TOTAL 65
GrausSalário
500
600
700
800
900
1 000
1 100
44
55
89
78
55
28
11
TOTAL 360
Exemplo 3
Para construir o gráfico ao lado, é necessário desenhar 
umsistema de eixos perpendiculares e marcar no eixo 
horizontal valores da variável tempo e, no eixo vertical, 
os valores calculados para a distância percorrida pelo 
carro. A seguir, localizamos, para cada par ordenado, os 
pontos do plano. Ligando estes pontos, temos o 
gráfico.
distância (km)
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
(1; 320)
tempo (h)0 1 2 3 4
500
600
700
800
900
1 000
1 100
Com estes dados, desenhamos um círculo e traçamos um 
de seus raios para iniciar o traçado dos setores. Com o 
transferidor, marcamos o primeiro ângulo e traçamos 
outro raio para delimitá-lo. A partir deste novo raio, 
marcamos o próximo ângulo e assim por diante.
Multiplicando 5,54o pelo número de 
empregados de cada linha e arredon-
dando os resultados temos:
gráfiCos: leitura e Construção
128
12
11
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1 Observe o gráfico e responda no seu caderno:
a) Em que cidades o número de turistas aumentou 
de 1997 para 1998?
b) Em que cidades diminuiu?
c) Que região do Brasil é mais visitada pelos 
estrangeiros? 
 
Cartogramas
Representações gráficas muito utilizadas para apresentar dados 
relacionados com áreas geopolíticas. Costumam ser apresentadas em 
atlas geográficos e livros de Geografia. 
Pictogramas
Gráficos pictóricos ou pictogramas são cada vez mais utilizados pela imprensa. A intenção deste tipo de gráfico vai além 
da transmissão de uma informação estatística e procura ilustrar, enfatizar ou ressaltar os dados. Normalmente um 
pictograma é criado acrescentando-se efeitos visuais sobre gráficos de colunas, barras ou setores. 
A representação gráfica de dados deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil: simplicidade, 
clareza e veracidade. Os melhores gráficos são os mais simples. Quanto menos detalhes secundários, como traços 
desnecessários e “enfeites” artificiais, melhor e mais imediata será a análise. A representação gráfica deve ser utilizada 
para informar, esclarecer, sintetizar e nunca para enganar ou confundir.
O C E A N O 
A T L Â N T I C O
Equador
40º
0º
20º
30º
0º
20º
10º
10º
30º
60º 50º70º
40º60º 50º70º
Manaus
Boa Vista
Rio Branco
Macapá
Belém
São Luís
Teresina
João
Pessoa
Fortaleza
Natal
Recife
Maceió
Aracajú
Salvador
Vitória
Rio de
Janeiro
Belo 
Horizonte
Porto 
Velho
Cuiabá
Goiânia
Campo 
Grande
Palmas
Brasília
São Paulo
Curitiba
Florianópolis
Porto Alegre
BRASIL
População
0 250 750500
Km
LEGENDAS
Habitantes por km
Mais de 280
De 50 a 200
De 25 a 50
De 10 a 25
De 2 a 10
até 2
2
O pictograma foi construído com 
os dados do Exercício 3, Aula 1. 
Compare as duas representações 
e discuta com seus colegas qual 
delas é mais clara.
250
200
150
100
50
0
JAN FEV MAR ABR MAI JUN 
PRODUÇÃO DO 1º SEMESTRE
Fonte: Organização Mundial do Turismo - OTM, Banco de Dados
1997 1998
Brasília
Torres
Curitiba
Manaus
Fortaleza
Camboriú
Búzios
Recife
Porto Alegre
Foz do Iguaçu
Salvador
Florianópolis
São Paulo
Rio de Janeiro
Cidades mais visitadas do Brasil, por turistas
estrangeiros - 1997-1998
0 5 10 15 20 25 30 35 40
%
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
129
13
7
14
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 Um avião voa com velocidade constante. Copie a tabela e complete os pares ordenados (tempo; distância).
 Com os dados do exercício anterior, calcule a distância percorrida após o avião ter voado 1 hora e meia.3
2
4
distância (km)
1 400
1 200
1 000
800
600
400
200
(1; 320)
tempo (h)0 1 2 3 4
 
 O gráfico mostra o perfil de desempenho das turmas 
A e B em Matemática, no ano passado.
Responda, no seu caderno:
a) Qual a média da turma A em junho? E da turma B?
b) Em que meses a turma A teve média mais alta do que a 
turma B?
c) Qual a média máxima e a média mínima de cada uma das 
turmas? Em que meses ocorreram?
d) Em que períodos o desempenho da turma A foi crescente? Em 
que período foi decrescente? Quando se manteve constante?
e) A turma B teve desempenho constante em algum período?
f) Qual das duas turmas apresentou um desempenho mais 
equilibrado?
5
6 y
x
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
mar abr mai jun ago set out nov
m
éd
ia
 d
e 
te
st
es
A
B
x
–1
0
1
2
3
y = 2 ⋅ x – 3
y = 2 x 1 – 3 = –1
 
Copie e complete a tabela. Com estes dados, 
construa um gráfico para a relação matemática 
y = 2x – 3.
 Observe o cartograma e faça uma redação discutindo a 
afirmação: “O Brasil é um país litorâneo”. 
O C E A N O 
A T L Â N T I C O
Equador
40º
0º
20º
30º
0º
20º
10º
10º
30º
60º 50º70º
40º60º 50º70º
Manaus
Boa Vista
Rio Branco
Macapá
Belém
São Luís
Teresina
João
Pessoa
Fortaleza
Natal
Recife
Maceió
Aracajú
Salvador
Vitória
Rio de
Janeiro
Belo 
Horizonte
Porto 
Velho
Cuiabá
Goiânia
Campo 
Grande
Palmas
Brasília
São Paulo
Curitiba
Florianópolis
Porto Alegre
BRASIL
População
0 250 750500
Km
LEGENDAS
Habitantes por km
Mais de 280
De 50 a 200
De 25 a 50
De 10 a 25
De 2 a 10
até 2
2
Tempo (h)
0
1
2
3
4
Distância (km)
0
320







gráfiCos: leitura e Construção
130
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9 População residente total, por sexo e grupos de idade
1980/1996
MulheresHomens
15 10 5 0 5 10 15 
1980 1991 1996
Em milhões
Fonte: IBGE
10
8
O gráfico ao lado é conhecido como pirâmide
 populacional. Consultando o gráfico, responda no seu 
caderno:
a) Por que o Brasil é considerado um país de jovens?
b) Comparando os dados de 1980, 1991 e 1996, 
podemos dizer que o número de nascimentos vem 
aumentando ou diminuindo?
c) Os brasileiros estão morrendo mais tarde?
 No último verão, observaram-se as vestimentas de 2 400 mulheres que passaram por uma rua movimentada 
durante um certo período de tempo. Com os dados da tabela, construa um gráfico de setores.
Vestimenta Vestido Saia longa Saia curta calça jeans Bermuda Short
No de mulheres 100 200 100 400 1 200 400
(FUVEST-SP) Um depósito, contendo inicialmente 600 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte 
inferior. Um dispositivo foi utilizado para registrar o volume de água no reservatório, a cada instante, a partir 
do momento em que a válvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o gráfico 
do volume em função do tempo.
Responda no seu caderno:
a) Quantos minutos decorreram até o volume da 
água existente no depósito cair à metade?
b) Em quanto tempo o depósito fica vazio?
7
 O gráfico ao lado ilustra uma pesquisa sobre 
segurança no trânsito. Foram feitos testes em alguns 
automóveis e obteve-se o seguinte resultado médio, 
que também está sendo comparado com um avião 
Jumbo 747:
Responda no seu caderno:
a) É possível encontrar um carro que percorra mais de 
23 m até a parada e que esteja a 48 km/h? Por quê?
b) Este gráfico poderia ser apresentado de outras 
formas? Quais?
c) Seria possível fazer essa ilustração com setores 
circulares? Por quê?
131
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 131 3/5/2008 18:10:33
O que há de semelhante entre os dois gráficos? E qual a diferença entre eles?
O primeiro mostra a relação que há entre o espaço percorrido por um automóvel, 
em velocidade constante, num determinado tempo. E o outro, o que representa?
Por que o primeiro gráfico é uma reta inclinada? E o segundo, que tipo de reta 
apresenta? O que significa?
o gráfiCo que é uma retaA
U
L
A
 2
2
1 2 3 t ( h )
v
(km/h)
60
0
Velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo de percurso.
Ou, em linguagem matemática:
, onde v é a velocidade, e é o espaço e t é o tempo. 
 (km)
180
120
60
1 2 3 t (h)
0
e
Você sabe o que é um “pardal”? Não o pássaro, mas aqueles equipamentos eletrônicos que ficamde um dado inicial – neste caso, a cidade mais populosa.
Ordenar faz parte do cotidiano. Você pode ordenar o número de votos obtidos pelos candidatos numa eleição, o número 
de medalhas conquistadas por cada país numa competição esportiva etc.
Identificar
Quem é o famoso jogador da camisa 10, um dos maiores atletas do século XX ?
Você já deve ter associado o nome de Pelé à camisa 10.
Os números também são utilizados para identificar endereços, placas de carro, telefones, linhas de ônibus, camisas de 
jogadores, CEP (código de endereçamento postal) etc.
Em que outras situações você utiliza os números para identificar? 
Discuta com seus colegas. 
1– Tóquio (Japão) ...................... 29
2– Bombaim (Índia) .................... 27,5
3– Lagos (Nigéria) ...................... 24,2
4– Xangai (China) ....................... 23,7
5– Jacarta (Indonésia) ................ 21,8
 População (em milhões) 
6– São Paulo (Brasil) ........................21,5
7– Karachi (Paquistão) .....................20,5
8– Pequim (China) ............................19,5
9– Dacar (Senegal) ...........................19
10– Cidade do México (México) ......18,3
os números e seus usos
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5
7
6
5
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os números no dia-a-dia
São muitos os exemplos de situações nas quais dados numéricos devem ser analisados e interpretados. Para isso, você 
precisa ter familiaridade com números e saber operar com eles.
Os números na indústria
As fábricas de calçados utilizam a seguinte fórmula para determinar o tamanho do sapato de uma pessoa:
 
 onde S = número do sapato e p = comprimento do pé em centímetros.
Qual é o número do sapato de uma pessoa cujo pé mede, aproximadamente, 26 cm?
Solução
Para resolvermos esta situação, substituímos p, na fórmula, por 26 cm.
Temos, então:
 
Efetuando as operações, temos:
 
 
Resposta: como o número obtido não é um número inteiro, é feita uma aproximação e dizemos que essa pessoa 
calça tamanho 40.
Trabalhando em grupo, tente resolver esses exemplos. Lembre-se de que muitas 
“cabeças” pensam melhor do que uma!
Os números no orçamento doméstico
Seu Vicente e dona Marta leram o seguinte artigo no jornal:
Exemplo 1
Exemplo 2
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8
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Observe que os números utilizados nesta informação estão escritos de uma forma abreviada, para facilitar a leitura.
Por exemplo, R$ 7 000 000,00 foi escrito como R$ 7 milhões. Também foi escrito 140 mil em vez de 140 000.
Veja: 1,7 milhão = 1,7 vezes 1 milhão
 = 1,7 × 1 000 000
 = 1 700 000
Qual supermercado apresenta o maior número de artigos com preços mais baixos? Quais são esses artigos? Ao comprar 
uma unidade de cada artigo indicado na tabela, qual supermercado o casal deveria escolher para economizar mais 
dinheiro? Por quê? 
Solução
Observando a tabela, é possível comparar os preços de cada artigo nos três supermercados para encontrar aquele que 
apresenta o maior número de artigos com preços mais baixos. Neste caso, o supermercado OFERTÃO oferece o menor 
preço em três artigos (feijão, arroz e óleo).
Para decidir em qual supermercado o casal economizará mais dinheiro, é necessário calcular o valor das despesas totais 
para cada supermercado. Neste caso, temos:
TEM TUDO: 0,85 + 3,69 + 2,48 + 2,39 + 2,10 = 11,51
OFERTÃO: 0,81 + 3,50 + 2,62 + 2,52 + 1,40 = 10,85
PREÇO BOM: 0,85 + 3,52 + 2,55 + 2,34 + 1,50 = 10,76
Resposta: o supermercado OFERTÃO oferece o maior número de artigos (feijão, arroz e óleo) com preços mais 
baixos e o PREÇO BOM apresenta mais vantagem ao comprar uma unidade de cada artigo da oferta.
esCrita dos números
Notícias com dados numéricos costumam aparecer quase todos os dias em jornais e revistas. Por exemplo:
Atenção! 
Embora 1,7 milhão esteja escrito na 
forma abreviada como um número 
decimal, ele representa um número 
inteiro.
A campanha “O câncer de mama no alvo da moda”, que já arrecadou 
R$ 7 milhões com a venda de 1,7 milhão de camisetas, possibilitou atendimento a 140 mil 
pessoas só no ano passado.
Texto adaptado do jornal O GLOBO de 6/10/2000, 2o caderno, pág. 3.
1 Responda no seu caderno: quantos triângulos há na figura?
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
os números e seus usos
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 Quantos números de três algarismos diferentes você pode escrever, usando os algarismos 1, 2 e 3?
 O gráfico abaixo representa a produção de uma fábrica de calça jeans, no período de janeiro a junho.
Observe o gráfico e responda no seu caderno:
a) Quantas calças foram produzidas no mês de janeiro?
b) Em que mês houve a maior produção de calças jeans? E a menor?
c) Em que mês a produção foi de 190 calças?
d) Em que período houve a maior queda de produção? Justifique sua resposta.
e) Registre os dados do gráfico numa tabela.
f) Qual foi a média (ou média aritmética) mensal do número de calças fabricadas?
g) Em que meses a produção esteve acima da média? E abaixo?
h) Em que meses a produção ficou entre 180 e 250 calças produzidas?
 Copie e continue as seqüências, encontrando mais de três termos de cada uma delas:
a) 23, 28, 33...
b) 8, 11, 10, 13, 12...
c) 128, 64, 32...
 Um ônibus tem capacidade para levar, no máximo, 36 passageiros sentados. Qual o menor número de viagens 
que ele fará para levar 201 pessoas sentadas?
 Observe o resultado de exame de sangue de seu João:
Responda no seu caderno:
a) Algum desses elementos listados está acima dos valores desejáveis?
b) Em caso afirmativo, qual é esse elemento?
c) O resultado do exame de colesterol total de seu Antônio deu 243 mg/dl. Esse valor está acima dos valores desejáveis? Por quê?
d) Uma taxa de colesterol alta pode provocar doenças cardíacas. Como prevenir-se contra essas doenças?
3
2
Média aritmética é o resultado da soma de várias parcelas dividida pelo 
número dessas parcelas.
4
6
5
250
200
150
100
50
0
JAN FEV MAR ABR MAI JUN 
PRODUÇÃO DO 1º SEMESTRE
LIPIDOGRAMA (perfil lipídico) valores de referência
colesterol total.....128 mg/dl (desejáveis:instalados ao longo das 
rodovias e avenidas para flagrar motoristas que “voam”. No Rio de Janeiro, esses radares de velocidade são chamados de 
“pardais”; em Belém (PA), recebem o nome de “araras”. Na localidade onde você mora existem esses radares? Eles têm 
algum nome popular?
O “pardal” descobre a velocidade do carro por um 
procedimento muito engenhoso. No chão, há duas 
linhas que atravessam a pista. É anotado o instante 
em que as rodas dianteiras do carro passam pela 
primeira linha e o instante em que passam pela 
segunda linha. Como é conhecida a distância entre 
as duas linhas, o computador do “pardal” calcula 
a velocidade. Se o veículo estiver acima da velo -
cidade permitida, será automaticamente fotogra-
fado e seu motorista, multado.
132 3
2
1
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gráfiCo do esPaço em função do temPo
Para calcular o espaço percorrido por esse carro num determinado tempo, basta fazer:
 
O gráfico permite visualizar a relação entre o espaço percorrido (e) e o tempo de percurso (t). Observe que o valor de 
e depende do valor de t. Para construir o gráfico, você já aprendeu que é necessário fazer uma tabela. Atribuindo valores 
a t, calculamos o valor de e. Determinado o par ordenado (t;e), marcamos o ponto correspondente do plano cartesiano. 
Daí, é só ligar os pontos com a régua e tem-se o gráfico.
 
No gráfico, há uma reta inclinada que passa pela origem 
do plano cartesiano e mostra que o espaço varia 
uniformemente em função do tempo. Para cada segundo 
que passa, o veículo percorre 25 metros. Observe que, 
nesse exemplo, o eixo vertical do plano cartesiano 
representa e (espaço), e o eixo horizontal, t (tempo), que 
são grandezas diferentes: uma é medida em metros e a outra em segundos, respectivamente. Por isso, a graduação dos 
eixos, isto é, a marcação dos pontos sobre os eixos, pode ser feita com unidades diferentes. No eixo vertical, cada unidade 
equivale a 25 metros; já no eixo horizontal, cada unidade corresponde a 1 segundo. Não esqueça: os eixos de um gráfico 
devem ter sempre a indicação da grandeza que estão representando.
Imagine um carro a uma velocidade de 90 km/h e essa velocidade é constante. Em 1 hora, ele percorre 90 km. Quantos 
metros esse carro percorre em 1 segundo?
Solução
Resposta: em 1 segundo o carro percorre 25 m.
gráfiCo da veloCidade em função do temPo
Este gráfico mostra que a velocidade não variou em função do tempo, ou seja, a velocidade não depende do tempo. 
Dizemos que a velocidade foi constante: v = 25m/s . Neste gráfico, o eixo vertical representa v (velocidade) e o eixo 
horizontal representa t (tempo).
e = 25t
e
150
125
100
75
50
25
0 1 2 3 4 5 6 t
( metros)
( segundos )
Exemplo 1
t e = 25t (t ; e) 
t v = 25 (t; v)
0 25 (0; 25)
1 25 (1; 25)
2 25 (2; 25) 
4 25 (4; 25) 
6 25 (6; 25)
t (s)
v
(m/s)
25
0 1 2 4 6
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4
6
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Quando não se trata de situação específica, onde estão bem definidas as grandezas envolvidas na expressão matemática, 
convencionamos associar ao eixo horizontal a letra x, que representa a abscissa, e ao eixo vertical a letra Y, que 
corresponde à ordenada do par ordenado (x; y).
Os gráficos de y =ax: retas que passam pela origem
a) y = x
 
 
x y (x ; y)
0 0 (0; 0) 
1 1 (1; 1)
2 2 (2; 2)
 
b) 
x y (x ; y)
No gráfico a, a reta passa do 3o para o 1o quadrante. No gráfico b, a reta passa do 2o para o 4o quadrante. 
1 2 x
y
-1
-1/2
1 2 x
1
2
y
o gráfiCo que é uma reta
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7
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Os eixos cartesianos dividem o plano 
em quatro regiões chamadas quadrantes 
e numeradas no sentido contrário ao 
do movimento dos ponteiros do relógio. 
 
Antes de prosseguir seus estudos, responda aos itens a e b do Exercício 1. 
Use papel quadriculado para facilitar a construção de gráficos. Compare 
seus gráficos com os dos exemplos acima e descubra por que há retas que 
passam do 3o para o 1o quadrante e outras que passam do 2o para o 4o. 
Discuta as conclusões com os seus colegas.
O gráfico da relação e = 25t mostra, para cada instante de tempo t, o espaço e percorrido pelo carro, desde o início 
do movimento até o tempo t.
A figura abaixo ilustra o deslocamento de um carro que se move a 90 km/h, que corresponde a 25 m/s. A seta v, desenhada 
no carro, sempre do mesmo tamanho, representa que sua velocidade é constante.
Agora, imagine que o cronômetro só tivesse sido disparado depois de o carro já haver percorrido 40 metros. No total, 
quantos metros o carro teria percorrido?
No total, o carro teria percorrido 25t (como antes) mais 40 metros. A expressão matemática que representa o 
espaço percorrido em função do tempo, agora, é e = 25t +40. Veja, na próxima página, a tabela e o gráfico para 
essa nova situação.
início do tempo
0
v = 25 m/s v = 25 m/s
0
e = 25t (metros)
e e (espaço)
depois de t segundos
início do tempo
0
v = 25 m/sv = 25 m/s v = 25 m/s
40
40 25t
0 e e (espaço)
depois de t segundos
Y
X
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Observe como o espaço inicial, que aqui é de 40 metros, aparece nas linhas do gráfico, deslocando a reta anterior 
(e = 25 t) para cima.
e
150
125
100
75
50
25
90
65
40
e = 25t
e = 25t + 40
(2;90)
(2;50)
1 2 3 4 5 6 t
+40
+40
+40
+40
190
 
140
os gráfiCos de y = ax+C: retas que 
não Passam Pela origem
No exemplo abaixo, partimos do gráfico de y = ax para obter o gráfico de y = ax + c, ou seja, a partir do gráfico de 
y = x, chegamos ao de y = x + 2. Desse modo, fica mais fácil você perceber o que acontece quando a uma expressão 
do tipo y = ax soma-se uma constante c. 
 
Observe que no gráfico a constante c (no caso c = 2) “empurra’’ a reta y = x duas unidades para cima. Na prática, você 
não precisa traçar a reta que representa y = ax para obter o gráfico de y = ax + c.
Comparando o gráfico de y = x + 2 e o de y = 3x – 3, você pode ver que, quando c é positivo, a reta y = ax + c 
corta o eixo Y acima da origem. Quando c é negativo, a reta y = ax+c corta o eixo Y abaixo da origem.
Antes de prosseguir seus estudos, reúna-se com o seu grupo e, juntos, façam o 
gráfico de y = 3x –3.
y = x + 2 
x y (x ; y)
0 2 (0; 2)
1 3 (1; 3)
2 4 (2; 4) 
t e = 2t + 40 (t; e)
y = x
y = x + 2
Y
X
+2
3
2
1
1
o gráfiCo que é uma reta
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9
11
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Os gráficos de y = c: retas horizontais
Nesta aula, você já estudou o gráfico da velocidade em função do tempo. É desse tipo de gráfico que voltamos a falar 
agora: gráficos que são retas horizontais.
Por dois pontos distintos, é possível traçar somente uma reta. Assim, daqui por diante, para obter gráficos que são retas, 
passaremos a determinar apenas dois dos pontos dessas retas.
Veja o exemplo:
y = 2,5
Para qualquer valor que se atribua a x, y vale sempre 2,5.
0 1
1
2
x
2,5
y
y = 2,5
Faça agora o gráfico de y = – 2. No gráfico acima, você pode observar que a reta y = 2,5 
corta o eixo Y acima da origem. E a reta y = – 2, onde corta o eixo Y?
Os gráficos de ax+by=c: retas quaisquer
A expressão matemática ax + by = c também tem como representação gráfica uma reta. Essa expressão
pode ser escrita de outra forma.
Se 
 
 
A expressão ax + by = c, com a e b não-nulos, é representada graficamente por uma reta inclinada que corta o 
eixo x no ponto ( ; 0) e o eixo Y no ponto (0; ). Na prática, para você traçar o gráfico dessas expressões, basta 
descobrir esses dois pontos e por eles passar uma reta. Observe que no gráfico a reta corta o eixo x no ponto ( ; 0) 
e o eixo Y no ponto (0; – ) ou (0; –1,7).
Exemplo 2
Traçar o gráfico que representa a expressão: 2x– 3y = 5
-1,7
5
2
0 x
y
x y (x ; y)
0 2,5 (0; 2,5)
1 2,5 (1; 2,5)
x (x ; y)
0 – = – 1,7 (aprox.) (0 ; – 1,7)
 0 ( ; 0)
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13
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Traçar o gráfico de x + 0 y = 3
x = 3
O gráfico da expressão x = c, onde c é uma constante, é uma reta vertical. Se c > 0, a reta vertical corta o eixo horizontal 
à direita da origem; se ce na Veterinária”, de Paulus Gerdes.
Exemplo 3
Solução
Primeiramente, é preciso montar uma tabela com os dados do gráfico. 
 peso do corpo 1 kg 2 kg 3 kg ...
 Quantidade de água correspondente 150 ml 300 ml 450 ml ...
 Quantidade de sulfa correspondente 100 mg 200 mg 300 mg ...
x 2
x 3
grandezas diretamente ProPorCionais
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3
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ProPorções
As receitas culinárias determinam certas proporções entre os ingredientes. Se o número de pessoas aumentar, é preciso 
aumentar as quantidades dos ingredientes. Se o número de pessoas diminuir, é preciso também diminuir as quantidades 
dos ingredientes. Mas lembre-se de que é preciso aumentá-las ou diminuí-las proporcionalmente.
No rótulo de um suco de caju vem escrito: “Misture 1 copo de suco para 9 copos de água e adoce a gosto”.
Seu Roberto quer preparar refrescos de caju para o almoço de domingo de sua família. Como a família de seu Roberto é numerosa, 
ele resolveu colocar na jarra 4 copos de suco. Quantos copos de água ele deve colocar na jarra?
Solução
Para que o refresco de caju não perca suas características, é necessário manter a proporção de suco de caju e de água:
suco de caju 1 4
água 9 ?
Se a quantidade de suco aumentou 4 vezes, o mesmo deve acontecer com a quantidade de água.
Resposta: seu Roberto deve colocar 36 copos de água na jarra. 
Desta forma, a quantidade de água continua a ser 9 vezes a quantidade de suco. Observe a igualdade: .
Quando há uma igualdade entre duas razões, a relação matemática é chamada de proporção e dizemos que as 
quantidades medidas são proporcionais. Vamos recordar algumas proporções conhecidas:
a) b) 
É fácil verificar que:
a) 1 x 36 = 36 
 9 x 4 = 36
Logo, 1 x 36 = 9 x 4
Exemplo 4
Como a quantidade de sulfa necessária para cada frango é diretamente proporcional a seu peso, conclui-se que, para 
250 kg (peso dos frangos), necessita-se de: 250 x 100 mg = 25 000 mg = 25 g de sulfa.
Pela tabela, é possível constatar também que a quantidade de água bebida é diretamente proporcional ao 
peso dos frangos. Assim, para 250 kg de frangos, são necessários: 250 x 150 ml = 37 500 ml de água = 37,5 
litros de água. 
Resposta: para curar 300 frangos, de peso total de 250 kg, necessita-se de 25 g de sulfa que devem ser dissolvidos 
em 37,5 litros de água.
b) 150 x 2 = 300
100 x 3 = 300
Logo, 150 x 2 = 100 x 3
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Exemplo 5
Como calcular o número que não se conhece na proporção 
Esta é uma propriedade muito importante e bastante usada em Matemática:
Numa proporção, os produtos do numerador de uma das frações pelo denominador 
da outra fração são iguais;
ou:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Solução
Primeiramente, substitui-se o ponto de interrogação (?) pela letra x, que é usada em lugar do termo desconhecido.
Aplicando a propriedade que vimos anteriormente:
120 x = 2 · 180 120 x = 360 x = 360 120 (operação inversa) x = 3
Resposta: o número desconhecido é 3.
As medidas da tela de uma televisão não são escolhidas por acaso.
As medidas da altura, da base e da diagonal da tela têm sempre medidas proporcionais a 3, 4 e 5. Isto quer dizer que a medida 
da altura está para 3 assim como a medida da base está para 4 e a medida da diagonal está para 5.
Experimente! Tire a medida da altura da tela da sua televisão. Pegue o resultado da medida e divida-a por 3. Depois 
multiplique o resultado por 4. Verifique, usando uma fita métrica, se você encontrou, aproximadamente, a medida da 
base da tela.
1
2
 A planta de uma casa foi feita em escala de 1: 50. Quanto medirá na planta uma parede que mede 20 m?
 Para fazer um doce, são usados os seguintes ingredientes:
 Para manter as proporções da receita, que quantidades 
de cada ingrediente devem ser usadas caso você tenha 
apenas 240 g de farinha de trigo?
farinha de trigo 360 g
manteiga 120 g
ovos 6
açúcar 180 g
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
grandezas diretamente ProPorCionais
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4
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 A razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região é chamada densidade demográfica. 
Segundo a Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), em 1998 a população do Estado do Paraná 
era de 9 003 804 habitantes.
a) Sabendo que a área do estado é de 199 709,1 km2, faça uma estimativa da densidade demográfica do Estado do 
Paraná, em 1998.
b) Calcule, aproximadamente, a densidade demográfica do Estado do Paraná, em 1998. Use sua máquina de calcular.
c) Pesquise, em livros ou na internet, o número de habitantes do Estado do Paraná atualmente e depois calcule a 
densidade demográfica. Compare o resultado obtido com o do ano de 1998. Discuta com seus colegas as conclusões a 
que vocês chegaram.
 Trabalhando durante 40 minutos, uma 
máquina produz 125 peças. Quantas peças essa 
máquina produzirá em 2 horas?
Para percorrer 360 km, um automóvel consome 30 l de gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá?
 Densidade de um corpo é a razão entre sua massa e seu volume. Um cubo de ferro de 1 cm de aresta tem massa 
igual a 7,9 g. Para calcular a densidade do ferro, fazemos o seguinte:
 
 
Isto quer dizer que 1 cm3 do ferro pesa 7,9 g.
Um cubo de chumbo de 1 cm de aresta tem massa igual 
a 11,3 g. Qual é a sua densidade?
 Um automóvel fez um percurso de 420 km em 6 h de viagem. Qual é a sua velocidade média? 
3
4
5
6
7
Não se esqueça: 1 hora tem
 60 minutos!
Lembre-se que o volume do 
cubo é a medida da aresta 
elevada ao cubo.
É necessário saber conferir e justificar suas respostas e saber ouvir, respeitar e 
prestigiar as idéias e pontos de vista das outras pessoas.
145
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Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe alguns retângulos de área 36 
(considere cada quadradinho como uma unidade de área). Anote em uma tabela 
os valores encontrados para as dimensões (comprimento e largura) de cada um dos 
retângulos que você desenhou. Observando a tabela, o que você pode afirmar sobre 
a variação dessas dimensões? Trabalhando em dupla, pense sobre o assunto e troque 
idéias com seus colegas.
grandezas inversamente 
ProPorCionaisA
U
L
A
 2
4
Se o número de pintores dobra, passando de 2 para 4, será que o tempo gasto no 
serviço também dobrará? Discuta isso com seus colegas.
Você aprendeu, na Aula 23, que duas grandezas que mantêm entre si uma relação de dependência podem variar 
proporcionalmente. É fácil perceber que se desejamos dobrar a quantidade de determinado ingrediente de uma receita, 
é preciso também dobrar as quantidades dos outros ingredientes. Dizemos, então, que as quantidades dos ingredientes 
são proporcionais ou grandezas diretamente proporcionais.
Existem situações, porém, em que as grandezas mantêm entre si uma relação inversamente proporcional.
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Em quanto tempo 4 pintores fariam o mesmo serviço?
Solução
 Pintores Tempo
 2 18 h
 4 x
 
Exemplo 1
Organizando os dados em uma tabela, verifica-se que as grandezas não 
são diretamente proporcionais.
Pintores Tempo
 2 18 h
 4 9 h
 x 2
Observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar, pois 
são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, 
o tempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores 
dobrou, o tempo será reduzido à metade. 
Resposta: os pintores gastarão 9 horas para pintar a parede. Neste caso, as duas grandezas (o número de pintores 
e o tempo) são grandezas inversamente proporcionais. 
Para encher uma caixa-d’água cuja capacidade é de 500 litros, uma torneira leva 6 horas. Em quanto tempo três torneiras 
iguais a essa encherão a mesma caixa-d’água? 
Exemplo 2
÷ 2
146
2
1
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Desenvolvendo maior velocidade média,o automóvel gastará menos tempo para percorrer o mesmo percurso. 
As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionais.
Observe a tabela e veja que:
 6h x 120 km/h = 720 km
 8h x 90 km/h = 720 km
Daí, pode-se concluir que duas grandezas são inversamente proporcionais quando os valores x e y a elas correspondentes 
são tais que: x . y = k.
Solução
É possível organizar os dados em uma tabela:
Capacidade da caixa-d’água Quantidade de torneiras Tempo
 500 l 1 6 h
 500 l 3 x
Essas grandezas também são inversamente proporcionais. Isso quer dizer que elas variam em razão inversa.
Como a razão entre os dois valores para as torneiras é 3, a razão entre os dois valores do tempo será o inverso de 
.
Resposta: as três torneiras juntas encherão a caixa-d’água em 2 horas.
Para resolver problemas, a primeira coisa a fazer é verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente 
proporcionais. Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entre os valores da segunda 
grandeza é o inverso da proporção entre os valores da primeira grandeza. 
Observe o gráfico que relaciona a velocidade média de 
um automóvel e o tempo gasto para fazer um percurso 
de 720 km.
tempo
( em h )
Velocidade
média
 ( km/h )
180
160
140
120
100
80
60
2 4 6 8
Solução
Colocando os dados do gráfico em uma tabela, tem-se que:
Exemplo 3
Aumentando-se o número de torneiras de 1 para 3, ou seja, triplicando-se o número de torneiras, o que 
acontecerá com o tempo necessário para encher a caixa-d’água?
Distância percorrida Tempo (h) Velocidade média (km/h)
 720 km 6 120
 720 km 8 90
 720 km x 60
5
Quanto tempo o automóvel gastará 
para percorrer o mesmo percurso 
se desenvolver velocidade média 
de 60 km/h? As grandezas tempo e 
velocidade são direta ou inversamente 
proporcionais?
147
4
3
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 147 3/5/2008 18:10:36
 
Em um supermercado, as embalagens diferentes de uma mesma marca de pasta dental têm os seguintes preços:
Solução
Colocando os dados em uma tabela, temos:
Exemplo 4
k é um valor constante e positivo chamado constante de proporcionalidade. 
Pode-se afirmar ainda que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma é diretamente proporcional 
ao inverso da outra.
 
 
No exemplo, a constante de proporcionalidade inversa é 720 e a velocidade e o tempo são as variáveis x e y. Como as 
variáveis são grandezas inversamente proporcionais, tem-se que:
 8 . 90 = x . 60
 720 = 60 x
 x = 12 
Resposta: desenvolvendo a velocidade média de 60 km/h, o automóvel fará o percurso em 12 horas.
Nem tudo é proporcional...
Para que duas grandezas sejam direta ou inversamente proporcionais, não basta que 
uma aumente quando a outra também aumenta. Ou que uma aumente quando a outra 
diminui. É necessário que variem na mesma razão, direta ou inversamente. 
Os preços são proporcionais aos pesos 
das embalagens?
 Peso Preço
 50 g 0,98
 90 g 1,42
Para que as grandezas fossem proporcionais, a razão entre os valores da primeira deveria ser igual à razão entre os 
valores da segunda. Ou seja: 
 
 
Aplicando-se a propriedade de que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (vista na Aula 23), tem-se que:
 
Resposta: não há proporcionalidade entre os preços e os pesos das embalagens, embora quanto maior o peso da 
embalagem, maior seja o preço.
R$0,98 R$1,42
grandezas inversamente ProPorCionais
148
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 148 3/5/2008 18:10:36
 
Resposta: são necessários 3 quilos e 900 gramas de balas para fazer 18 sacos de 26 balas.
Para fabricar uma certa quantidade de parafusos, são necessárias 8 máquinas trabalhando 6 horas por dia, durante 4 dias. 
Se 5 máquinas quebrarem, em quantos dias as máquinas restantes fabricarão a mesma quantidade de parafusos, trabalhando 
4 horas por dia?
Exemplo 7
Com 3 kg de balas, você consegue fazer 15 sacos de balas com 24 balas em cada saco. Quantos quilos de balas são necessários 
para fazer 18 sacos com 26 balas em cada saco?
 Quantidade de balas (em kg) Número de sacos Número de balas em cada saco
 3 15 24
 x 18 26
Calcule agora o número total de balas em cada situação:
1a) 15 . 24 = 360
2a) 18 . 26 = 468
Como todas as balas são do mesmo tamanho, podemos escrever a proporção: 
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, tem-se que:
Exemplo 6
Os exemplos apresentados a seguir envolvem três grandezas. Mostraremos como resolvê-los reduzindo-os ao caso 
de duas grandezas.
Solução Organizando os dados em uma tabela:
Qual seria então a embalagem em que se paga menos por uma mesma quantidade?
Solução
Primeiro, é preciso calcular o valor de 1 g de cada embalagem.
 • 1 g da embalagem de 50 g custa 0,0196 (0,98 : 50 = 0,0196)
 • 1 g da embalagem de 90 g custa 0,01577... (1,42 : 90 = 0,01577...)
Resposta: ao comparar os preços de 1 g das duas embalagens, constata-se que é mais vantajoso (ou seja, mais 
econômico) comprar a embalagem de 90 g.
Exemplo 5
Junto com seus colegas, visite um supermercado e comparem preços de 
embalagens de um mesmo produto. Não se esqueçam de levar papel, 
lápis e, se possível, uma máquina de calcular. É importante identificar as 
embalagens para as quais o produto tem menor preço unitário (preço por 
unidade de medida). Façam o mesmo em uma farmácia. 
149
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 149 3/5/2008 18:10:37
1 As tabelas ao lado apresentam uma relação entre 
dois números. Identifique as tabelas em que os números 
são diretamente ou inversamente proporcionais ou não 
são proporcionais.
Solução
Colocando os dados na tabela: Número de máquinas Horas por dia Número de dias
 8 6 4
 3 4 d
Calculando o tempo necessário (em horas) para fabricar a quantidade de parafusos:
1a) 6 × 4 = 24 h
2a) 4 · d = 4 d
Com menos máquinas, maior será o tempo necessário para fazer o mesmo trabalho. Então, dá para concluir que número 
de máquinas e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Então, podemos escrever: .
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos:
 
Resposta: são necessários 16 dias.
2
3
4
5
6
7
 Uma torneira, despejando 10 litros de água por minuto, demora 3 horas para encher um reservatório. Se despejar 
20 litros por minuto, quanto tempo levará para encher esse reservatório?
 A assinatura de uma revista mensal custa R$ 25,00 por um período de 6 meses. Sabendo que a revista custa 
R$ 4,50, verifique se esse preço é proporcional ao período da assinatura. Justifique sua resposta.
 Para percorrer a distância entre duas cidades, um automóvel leva 8 horas numa velocidade de 60 km/h. Se a 
velocidade do automóvel fosse de 80 km/h, quanto tempo seria necessário para ele fazer esse mesmo percurso?
 Forme um grupo com mais três colegas e faça um levantamento de preço de diversos produtos que são 
apresentados em embalagens de diferentes quantidades e verifique se esses produtos possuem preços proporcionais 
aos pesos da embalagem.
 Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários seriam necessários para completar 
essa mesma obra em 2 dias?
 Uma confecção costuma fazer 250 blusas em 5 dias com 12 máquinas. A confecção recebeu um pedido para 
produzir 600 blusas para uniforme de uma empresa, mas 4 máquinas apresentaram defeito. Quantos dias serão 
necessários para atender ao pedido da empresa?
 Tabela I
 x y 
 1 1,5 
 2 2,5 
 3 3,5 
 Tabela II
 x y 
 1 3 
1,5 2
 3 1,5
 Tabela III
 x y 
 1 1,5 
 2 3 
 3 4,5 
grandezas inversamente ProPorCionais
150
6
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 150 3/5/2008 18:10:37
a noção de funçãoA
U
L
A
 2
5
Joana e Marina estavam participando do jogo “Adivinhe a regra”. Joana dizia um 
número e Marina respondia outro, aplicando a regra que só ela conhecia. O objetivo 
do jogo é Joana descobrir qual a regra que Marina estava aplicando. Joana resolveu, 
então, fazer uma tabela, escrevendo para cada número dito por ela o númerocorrespondente respondido por Marina.
Forme uma dupla com um colega e procurem responder às seguintes perguntas:
a) Qual era a regra aplicada por Marina?
b) Para cada número dito existe apenas um número respondido?
c) O número respondido depende do número dito? Por quê? 
o ConCeito de função
Um dos conceitos mais utilizados em Matemática é o de função. Aplica-se não apenas à Matemática, mas também à 
Física, à Química, à Economia e à Biologia, entre outras áreas do conhecimento. Além disso, está muito presente no 
dia-a-dia, ajudando a compreender melhor o mundo.
No cotidiano, há muitos exemplos de função:
• o “peso” de uma criança é função de sua idade;
• o salário de um vendedor é função do volume de vendas;
• a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;
• o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;
• o tempo de viagem é função, entre outras coisas, da velocidade;
• o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição.
A quantia que uma dona de casa gasta com macarrão, por mês, depende de quantos pacotes ela compra. Observe a tabela:
Exemplo 1
Para entender o conceito 
de função, pense em 
duas grandezas que 
variam, sendo que 
a variação de uma 
depende da variação 
da outra.
Número dito Número 
 1 3
 3 7
 0 1
 –1 –1
151
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 151 3/5/2008 18:10:37
Qual é a expressão matemática que representa o preço a pagar (p) em função do 
número de pacotes comprados (n)? Discuta com o seu grupo.
O gráfico refere-se ao cresci-
mento de uma determinada 
pessoa, desde o nascimento até o 
final da adolescência.
Observe que a altura dessa pessoa 
varia nos primeiros anos de vida, ou 
seja, a altura de uma criança é 
função de sua idade.
180
150
120
90
60
30
0
altura
(cm)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 idade (anos)
Exemplo 2
 Número de pacotes de 500g Valor em reais 
 1 1,21
 2 2,42
 3 3,63
 4 4,84
Observe que o preço a pagar varia de acordo com o número de pacotes comprados, ou seja, o preço a pagar é função 
do número de pacotes comprados.
Você também pode verificar que, para cada valor de uma das grandezas (número de pacotes), existe um único valor 
para a outra grandeza (valor pago).
Observe como calcular o valor a ser pago:
No de pacotes Preço de 1 pacote Total a pagar
 1 x 1,21 = 1,21
 2 x 1,21 = 2,42
 3 x 1,21 = 3,63
Este é um novo exemplo de uma função. A situação é parecida com a anterior. Mas a diferença é que, neste caso, não 
é possível escrever uma expressão matemática que permita determinar antecipadamente que altura corresponde a uma 
determinada idade. Mas, tal como no exemplo anterior, para cada valor de uma das grandezas (idade) existe um único 
valor correspondente para a outra grandeza (altura).
Como rePresentar uma função
Para analisar uma função, podemos utilizar os dados apresentados por tabelas, diagramas, gráficos ou por uma expressão 
matemática que a represente.
a noção de função
152
2
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 152 3/5/2008 18:10:37
 
A P
1
2
3
4
5
120
240
360
480
600
Por gráficos
Por expressões matemáticas
É possível também representar uma função por uma expressão ou fórmula matemática. Em algumas situações, não é 
suficiente uma tabela ou um gráfico para definir a função. Com uma tabela ou um gráfico, seriam conhecidos apenas 
os valores da função em alguns elementos do conjunto, mas não qualquer valor da função.
O exemplo do preço de um armário por metro quadrado mostra essa situação. Observe que a tabela abaixo apresenta 
o preço de algumas áreas.
Área (m2) 1 2 3 4 5
Preço (R$) 120,00 240,00 360,00 480,00 600,00
área
 (em m )
preço
(em reais)
600
480
360
240
120
0
1 2 3 4 5
2
Cada ponto do gráfico tem por coordenadas um número que expressa a medida da área (representado no eixo horizontal) 
e outro que representa o preço do armário para cada área correspondente (representado no eixo vertical). Por exemplo, no 
par (2; 240), o primeiro número (2) representa a área e o segundo (240) representa o preço correspondente a essa área.
Por tabelas
Uma tabela pode ser utilizada para representar duas grandezas que dependem uma da outra.
A tabela abaixo mostra a variação do preço de um modelo de armário embutido por metro quadrado.
Área (m2) 1 2 3 4 5
Preço (R$) 120,00 240,00 360,00 480,00 600,00
Veja que a área do armário é uma grandeza variável e que a variação do preço depende da variação da área. Dizemos, 
então, que o preço é função da área.
Por diagramas
É também muito comum a representação da dependência entre duas grandezas que variam (variáveis) por meio de 
conjuntos e flechas. Observe como ficaria representada a função apresentada no 
exemplo anterior:
O conjunto A é o conjunto dos números que expressam a medida da área e o 
conjunto P é o conjunto dos preços do armário para cada área. A cada elemento 
de A corresponde um único elemento de p, ou seja, para cada área há um único 
preço.
Uma função também pode ser representada por gráficos. Há vários 
tipos de gráficos para ilustrar a dependência entre duas grandezas, 
utilizando barras, segmentos ou outros recursos. De modo geral, 
para construir um gráfico que representa a dependência entre duas 
grandezas que variam, são utilizados dois eixos perpendiculares, 
com origem comum, um para cada grandeza. Esses gráficos são 
chamados cartesianos (reveja a Aula 20 para uma explicação mais 
detalhada dos gráficos cartesianos).
Observe o gráfico ao lado, que representa a função apresentada 
no exemplo anterior.
153
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 153 3/5/2008 18:10:37
Nesse caso, precisamos escrever uma expressão matemática (ou fórmula matemática) que associa uma grandeza (área) 
em relação a outra grandeza (preço).
Calculamos o valor a ser pago da seguinte maneira:
Total a pagar Área (em m2) Preço de 1 m2
120,00 = 1 x 120,00
240,00 = 2 x 120,00
360,00 = 3 x 120,00
480,00 = 4 x 120,00
600,00 = 5 x 120,00
Portanto, a correspondência entre a medida da área e o preço a pagar é expressa por:
preço a pagar = medida da área x 120,00,
em que o preço de 1 m2 é R$ 120,00.
Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática:
y = x · 120,00 ou y =120,00 x
onde x representa as grandezas variáveis do 10 conjunto (medida da área do armário) e y representa as grandezas variáveis 
do 20 conjunto (preço). Com essa expressão, podemos calcular o preço de qualquer armário, se conhecermos a medida 
de sua área.
notação de uma função
Utilizamos a letra f para representar uma função. No exemplo do armário embutido, representamos:
 
Em Matemática, como você já sabe, letras são usadas para representar grandezas variáveis. Numa função, há sempre duas 
variáveis: chamamos x a variável do primeiro conjunto e y a variável que depende do valor da primeira.
y = f (x) significa que y é função de x
Função que relaciona a 
área com o preço do armário
Função de A em P; o 
preço é função da área
f: A P
preço = f (área)
Neste exemplo, a notação significa o seguinte:
 
f : A P
y = f (x)
 
Dizemos que x é a variável independente e y a variável dependente.
A é o conjunto das medidas da área
P é o conjunto dos preços
y é o preço
x é a medida da área
domínio e imagem
No exemplo anterior, o conjunto A dos números que expressam a medida da área é chamado domínio e o conjunto B 
dos números que expressam o preço do armário é chamado imagem.
Pense nas seguintes questões:.Nos outros exemplos, quais eram o domínio e a imagem?.Quais são as leis que relacionam as variáveis daquelas funções?.É possível representar essas leis matematicamente?
a noção de função
154
3
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 154 3/5/2008 18:10:37
Trabalhando em dupla, pense sobre o assunto, troque idéias com seus colegas e 
depois compare suas respostas com as apresentadas no livro.
f : N P Domínio = N Imagem = P
y = f (x) = x . 1,21 N éo conjunto do número de pacotes
 P é o conjunto dos valores a pagar
f : I A Domínio = I Imagem = A
 I é o conjunto das idades
 A é o conjunto das medidas das alturas
Não podemos escrever uma fórmula matemática para esta função.
Exemplo 1
Mário é um vendedor que recebe mensalmente seu salário em duas partes: uma é fixa, no valor de R$ 300,00, e a outra é 
variável, sendo igual a 1% do total que ele vende no mês. Chame de x o total de vendas no mês e de y o salário de Mário. 
Como você já deve ter notado, y = f (x), ou seja, o salário do vendedor é função do total de suas vendas no mês.Qual é a lei 
da Matemática que expressa essa situação?
Solução
Agora, podemos calcular os valores de y (o salário) atribuindo valores para x (o total de vendas) e construir uma tabela 
para essa função:
Sabendo que o menor valor do total de vendas de um 
funcionário é de R$ 2 000,00 e o maior valor já conseguido 
é R$ 80 000,00, o domínio dessa função é o conjunto de 
valores de R$ 2 000,00 a R$ 80 000,00.
domínio: R$ 2 000,00 R$ 80 000,00
Nesse exemplo, como podemos observar na tabela 
Exemplo 2
Exemplo 3
Resposta: a lei matemática que expressa essa situação é y = 300 + 0,01x.
Total de vendas (x) 1% de x Salário ( y )
 2 000,00 20,00 300,00 + 20,00 = 320,00
 5 000,00 50,00 300,00 + 50,00 = 350,00
10 000,00 100,00 300,00 + 100,00 = 400,00
50 000,00 500,00 300,00 + 500,00 = 800,00
80 000,00 800,00 300,00 + 800,00 = 1100,00
anterior, os valores de y variam de R$ 320,00 a R$ 1100,00.
imagem: R$ 320,00 R$ 1 100,00
A lei matemática que relaciona y com x pode ser escrita assim: 
 
Observe que, utilizando esta lei, podemos calcular y para qualquer valor de x que esteja no domínio:
f (2 000,00) = 300,00 + 20,00 = 320,00
f (3 550,00) = 300,00 + 35,50 = 335,50
f (4 000,00) = 340,00
f (4 200,00) = 342,00 e assim por diante.
Para calcular mentalmente 1% de 
determinada quantia, basta dividir 
essa quantia por 100.
155
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O gráfico representa a relação entre o lado e o perímetro de um hexágono regular.
Observe o gráfico e responda:
a) Quando o lado medir 5 cm, qual o valor do perímetro desse 
hexágono?
b) E para = 3,2 cm?
c) O perímetro do hexágono regular depende do comprimento 
do seu lado? Justifique sua resposta.
d) O perímetro do hexágono é função do comprimento de seu lado?
e) Escreva uma expressão matemática que represente o perímetro 
p de um hexágono regular cujo lado tenha um comprimento 
qualquer .
 Expresse por uma fórmula matemática a função f: → que a cada número real x associa:
a) a sua metade b) o seu triplo
c) o seu dobro aumentado de 4 d) a sua terça parte diminuída de 5
e) o seu cubo
1
2
3
 Em cada uma das situações abaixo, há uma correspondência entre as grandezas. Identifique a grandeza (variável) 
dependente e a grandeza (variável) independente:
a) o tempo que uma pessoa leva para correr 200 metros e a velocidade do corredor
b) o peso de uma criança em relação a sua idade
c) a distância percorrida por um automóvel e o tempo gasto
d) o consumo de energia elétrica e o total a pagar
 Forme uma dupla com seu colega e procurem dar exemplos de funções que estão presentes no dia-a-dia.
 Um automóvel percorre 8 km com um litro de gasolina e seu tanque comporta 50 litros.
a) Copie e complete a tabela:
Consumo ( em litros ) 0 0,5 1 1,5 2 5 10 25 50
Distância percorrida (em km) 
b) Que grandezas estão variando nessa situação?
c) O que acontece com o consumo de gasolina à medida que aumenta a distância percorrida?
d) Podemos dizer que o consumo de gasolina é função da distância percorrida? Por quê?
e) Sendo função, dê o domínio e a imagem.
f) Faça um esboço do gráfico cartesiano para esta situação, considerando o consumo de apenas um tanque de combustível.
g) Escreva uma expressão matemática que associe a distância percorrida x ao consumo de gasolina y.
4
5
lado
 (em cm)1 2 3
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
perímetro
(em cm)
Hexágono é o polígono que possui 6 
lados.
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
a noção de função
156
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6
7
x y
0 
1 
 
t a 
–2 
4
 
 
É necessário saber conferir e justificar suas respostas e saber ouvir, respeitar e 
prestigiar as idéias e pontos de vista das outras pessoas.
 Considere o conjunto A = {–1, 0, 1, 2, 3} e uma função f: A → B definida por y = x + 1. Determine:
a) o domínio de f
b) os valores de f (–1); f(2); f(1); f(0) e f(3)
c) a imagem de f
 Copie e complete as tabelas para cada uma das funções representadas pelas expressões:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x c) a = t2 – t
x y
– 1 
0 
0,5 
157
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 157 3/5/2008 18:10:38
Todos os dias, os jornais 
trazem gráficos que procuram 
retratar uma determinada 
situação. Veja, por exemplo, o 
gráfico ao lado, publicado no 
jornal O Globo, em 23 de
janeiro de 2001:
Analise o gráfico junto com 
o gráfiCo de uma funçãoA
U
L
A
 2
6
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000*
* janeiro a novembroFonte IBGE
Nível de
emprego em
porcentagem
(%)
-10,1%
-7,7%
-1,9% -1,9%
-2,2%
-9,1%
-7,3%
-5,8%
+0,6%
-11,1%
O COMPORTAMENTO DO EMPREGO NA DÉCADA
Tabelas e gráficos são comuns em jornais e revistas. Tentam transmitir de forma simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em 
elevação e queda da Bolsa de Valores, de lucros de empresas, da variação do preço da gasolina, inflação. E lá está um 
gráfico. Fala-se também em máximos e mínimos, variação lenta, variação rápida. Tudo isso a partir da leitura e 
interpretação de gráficos. Quem não estiver familiarizado com essas interpretações perde muitas das informações 
fornecidas. Esta aula retoma o estudo dos gráficos, mas agora ligados às funções.
um colega e a seguir responda:.Que grandezas o gráfico relaciona?.Em que período o percentual de emprego passou de negativo para positivo?.No período de 1997 a 1998, o percentual de emprego aumentou ou diminuiu?.Em que período o nível de emprego apresentou uma queda mais acentuada? 
Por quê?
Num exercício da aula anterior, você viu que o perímetro de um hexágono regular é função da medida do lado. A 
expressão matemática que associa o perímetro y à medida do lado x é: y = 6x.
Vamos considerar hexágonos regulares com lados medindo números naturais variando de 1 cm a 5 cm e construir uma 
tabela e o gráfico dessa função. No eixo das abscissas, também conhecido como eixo x, vamos marcar os valores de x 
(medida do lado). No eixo das ordenadas, também conhecido como eixo y, vamos marcar os valores de y (valor do 
perímetro) para cada valor de x.158
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 158 3/5/2008 18:10:38
x y = 6 x
1 6
2 12
3 18
4 24
5 30
Este é o gráfico da função f de A em B, definida pela 
expressão matemática y = 6 x. Neste caso, estamos 
considerando:
 domínio = A = {1, 2, 3, 4, 5}
 imagem = B = {6, 12, 18, 24, 30}
Isso significa que calculamos apenas o perímetro dos 
hexágonos regulares cuja medida do lado é um número 
natural entre 1 e 5.
No entanto, é possível construir hexágonos regulares 
com outras medidas, como por exemplo: 0,5 cm; 
1,3 cm; cm; etc. A única restrição é que não 
pode haver hexágonos regulares com lado menor 
ou igual a zero. Desta forma, ampliamos o domínio 
da função para: 
lado
 (em cm)
1 2 3 4 5
perímetro
(em cm)
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
lado
 (em cm)1 2 3 4 5 6 
perímetro
(em cm)
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
 d = conjunto dos números reais positivos
Neste caso, é fácil concluir que a imagem da função é também o conjunto dos números reais positivos.
 i = conjunto dos números reais positivos
O gráfico da função é o da figura ao lado:em vez de 
pontos isolados, temos uma semi-reta.
Gráficos que ilustram a dependência de uma grandeza 
em relação à outra podem ser construídos em forma 
de barra, coluna, de setor ou de segmento. Por meio 
dos gráficos, é possível obter diversas informações 
sobre as funções que eles representam.
159
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Exemplo 1
No gráfico estão assinaladas as informações conhecidas 
sobre a renda média a cada ano. Os pontos foram 
ligados por segmentos de reta. Unir, por linhas, pontos 
isolados de um gráfico auxilia a visualização e a análise 
da função. Também ajuda a obter informações sobre 
a tendência crescente ou decrescente da função 
retratada no gráfico.
Observe agora o gráfico da renda média dos brasileiros 
assalariados. Esta função relaciona a renda com os 
anos.
Em que ano a renda média salarial foi maior? Em que período a renda salarial 
apresentou quedas (ou diminuição)? Discuta as questões com seus colegas.
Observando atentamente esse gráfico, podemos concluir que a renda média salarial cresceu no período de 1992 a 1996, 
sendo a maior taxa de crescimento verificada entre 1994 a 1995.
Mas o que é taxa de crescimento?
Em Matemática, taxa é a razão entre as variações de duas grandezas, sendo que a primeira depende da segunda. Numa 
função, como você já sabe, há duas variáveis. Para calcular a taxa de variação, verificamos como y, a segunda grandeza, 
varia em função de x, a primeira grandeza. Para calcular essa taxa, dividimos a variação de y pela variação de x.
No exemplo, para um mesmo período de tempo, a maior taxa de crescimento ocorre quando y cresce mais 
rapidamente.
Como calcular a taxa de variação entre dois pontos do gráfico? 
Solução
Basta dividir a diferença dos valores de y pela diferença dos valores correspondentes de x.
De 1992 a 1993: 
De 1993 a 1994: 
Exemplo 2
ano
Rendimento
médio mensal
(em real)
A VARIAÇÃO DA RENDA
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
580
570
560
550
540
530
520
510
500
490
480
470
460
450
440
430
420
410
400
402
434
455
561
577 570
565
525
Fonte: IBGE
o gráfiCo de uma função
160
2
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 160 3/5/2008 18:10:38
Temperatura
(ºC)
Temperatura
(ºC)
Temperatura
(ºC)
Precipitação 
(mm)
Precipitação 
(mm)
Precipitação 
(mm)
600
500
400
300
200
100
600
500
400
300
200
100
600
500
400
300
200
100
30
25
20
15
10
5
30
25
20
15
10
5
30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D J F M A M J J A S O N D
Sertão baiano Região SulZona da Mata
nordestina
Observe os três gráficos acima. Eles mostram duas funções no mesmo plano cartesiano: a precipitação de chuvas no 
primeiro eixo vertical e a temperatura no segundo eixo vertical, ambas durante todos os meses do ano. O gráfico das 
chuvas está representado por barras e o da temperatura, por uma linha contínua. Assim, para cada mês (x) temos um 
índice pluviométrico (y).
Você deve estar se perguntando por que foram utilizadas formas diferentes de representação. A resposta está na própria 
maneira como as variáveis dessas duas funções se relacionam. A quantidade de chuva é medida durante certo período 
de tempo e a temperatura pode ser medida a cada instante. 
Esses gráficos, chamados climogramas, são muito utilizados para explicar o clima de uma região e seu potencial agrícola, 
por exemplo. Observe que, dessas três regiões, a que possui maior variação de temperatura é a Região Sul e a que possui 
maior variação de precipitação é a Zona da Mata nordestina.
Exemplo 3
De 1994 a 1995: 
De 1995 a 1996: 
Obtidos esses resultados, é possível comparar os crescimentos em períodos diferentes. O crescimento mais rápido 
da renda média salarial, por exemplo, se deu em 1994 e 1995. No período, o crescimento foi, em média, de R$ 106 por 
ano. A noção de taxa de variação é extremamente importante nas aplicações da Matemática em vários campos. Sempre 
que uma quantidade varia em função de outra, é importante saber qual a variação da grandeza dependente para uma 
variação da grandeza independente. 
No gráfico, você pode observar que a maior taxa de crescimento está no segmento mais inclinado – o segmento de reta 
entre 1994 e 1995, que faz um ângulo maior em relação ao eixo horizontal.
Vamos exemplificar agora os pontos mínimos utilizando 
o gráfico da temperatura.
 
Região Temperatura mínima
zona da Mata junho
Sertão baiano julho
Região Sul junho
A observação dos gráficos também leva a noções de 
máximo e mínimo de uma função. Nas representações 
gráficas da precipitação, vemos que o máximo, ou seja, o 
maior índice pluviométrico, ocorre em meses diferentes 
para cada região.
Região Precipitação máxima
zona da Mata maio
Sertão baiano fevereiro
Região Sul junho
Com esses exemplos, você já deve estar mais seguro para ler e interpretar gráficos, bem como compreender melhor 
as funções mais corriqueiras. 161
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 161 3/5/2008 18:10:38
0 tempo
 (em h)
1 2 3 4
distância
(em km)
450
360
270
180
90
ProPorCionalidade e gráfiCo de funções
No dia-a-dia, você encontra diversas situações em que duas grandezas são diretamente proporcionais. Na Aula 23, 
você já viu vários exemplos envolvendo algumas dessas situações.
Um motorista, viajando em uma auto-estrada, dirige seu automóvel a uma velocidade constante de 90 km/h. A distância 
que ele percorre com o automóvel pode ser calculada pela expressão matemática:
d = 90 . t onde t representa o tempo em horas
 d representa a distância em quilômetros
Podemos afirmar que a distância percorrida é dada em função do tempo.
Vamos representar essa situação por meio de uma tabela e de um gráfico.
Exemplo 4
O gráfico é formado por pontos, cujas coordenadas são 
respectivamente (1; 90), (2; 180), (3; 270), (4; 360)... 
Neste caso, os pontos situam-se todos sobre uma mesma 
reta que passa pela origem dos eixos.
Observando a tabela, você pode ver que, quando o 
tempo triplica (por exemplo, de 1 para 3 horas), a 
distância percorrida também triplica; quando o tempo 
reduz à metade, a distância percorrida também é 
reduzida à metade. E assim por diante. Conclusão:. a distância percorrida é diretamente 
t (em h) d (em km)
1 90
2 180
3 270
4 360
Como a constante de proporcionalidade se comporta num gráfico?
Sempre que duas grandezas x e y são 
diretamente proporcionais, o gráfico 
cartesiano de y como função de x é 
uma reta, que passa pela origem.
proporcional ao tempo gasto;
. o número 90 é a constante de proporcionalidade, ou seja: 
Observe que a cons-
tante de proporcionali-
dade (nesse exemplo, a 
velocidade do auto-
móvel) está relacionada 
com a inclinação da 
reta. Os gráficos ao lado 
mostram a mesma si-
tuação, mudando ape-
nas a velocidade.
km
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 (h)
40 km/h
km
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 (h)
70 km/h
km
500
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 (h)
120 km/h
o gráfiCo de uma função
162
3
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Quanto maior for a velocidade, mais inclinada será a reta. Viajando a uma velocidade maior, percorre-se uma distância 
maior (marcada no eixo das ordenadas) no mesmo intervalo de tempo (marcado no eixo das abscissas).
Por que em cada uma dessas situações o gráfico é representado por uma reta em 
vez de um conjunto de pontos isolados? Pense e discuta com seus colegas.
1
2
 Observe os climogramas abaixo:
Responda no seu caderno:
a) Qual o valor mínimo da temperatura no oeste do Rio Grande do Sul e em que mês ocorre?
b) E no norte do Paraná?
c) Qual das regiões possui um índice pluviométrico mais estável?
d) Em que meses ocorre maior variação na precipitação de chuvas no norte do Paraná?
e) Qual o mês mais quente nas duas regiões?
 O gráfico abaixo mostra a evolução da temperaturadurante um dia de outono na cidade do Rio de Janeiro.
Responda no seu caderno:
a) Qual é domínio da função?
b) Qual foi aproximadamente a temperatura às 4 horas?
c) Que horas eram quando a temperatura foi 27o Celsius?
d) Qual foi a temperatura mínima? E a que horas 
ocorreu aproximadamente?
e) Qual foi a temperatura máxima? E a que horas 
ocorreu?
f) Qual a variação entre as temperaturas máxima e 
mínima nesse dia?
600
500
400
300
200
100
30
25
20
15
10
5
Oeste do
Rio Grande do Sul
Precipitação Temperatura
(ºC)(mm)
J F M A M J J A S O N D
600
500
400
300
200
100
30
25
20
15
10
5
Norte do Paraná
Precipitação Temperatura
(ºC)(mm)
J F M A M J J A S O N D
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
163
4
5
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 O gráfico abaixo representa as importações e exportações brasileiras.
Responda no seu caderno:
a) Quantas funções estão representadas nesse gráfico? Quais são 
elas?
b) De 1992 a 1995 as importações aumentaram ou diminuíram?
c) A partir de que ano as importações foram superiores às 
exportações?
d) Calcule as taxas de crescimento das exportações para cada um 
dos períodos. Qual a maior taxa? E a menor?
e) Calcule as taxas de crescimento das importações para cada um 
dos períodos. Qual a maior taxa? E a menor?
f) Sabendo que a balança comercial é calculada pela diferença 
entre exportações (E) e importações (I), construa a tabela e o 
gráfico da função B = E – I.
3
 
 O gráfico representa a distância percorrida por Nelson numa caminhada em função do tempo.
Responda no seu caderno:
a) Quanto tempo durou a caminhada?
b) Num determinado momento, Nelson encontrou seu 
irmão e parou para conversar. Quanto tempo durou essa 
conversa?
c) Nelson caminhou mais rápido antes ou depois de ter 
encontrado o irmão? Justifique sua resposta.
6
5
4
3
2
1
distância (em km)
5 10 15 20 25 30 35 40 
tempo (em min)
4
importação
exportação
0
70
60
50
40
30
20
10
valores (bilhões de dólares)
1990 1992 1995 1996 ano
O caderno é o seu diário de Matemática. Ele deve conter sua história na construção 
dos conhecimentos.
o gráfiCo de uma função
164
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 164 3/5/2008 18:10:39
O vendedor de uma loja ganha um salário fixo mensal de R$ 250,00, acrescido de 
3% (0,03) do valor total das vendas efetuadas durante o mês.
Forme uma dupla com um colega e procurem responder a essas perguntas:
a) Se x é o valor total das vendas efetuadas no mês, qual a expressão matemática da 
função que representa o salário do vendedor?
b) Em um mês em que o valor total das vendas foi de R$ 2 000,00, qual foi o salário 
do vendedor?
c) Em um mês em que o salário foi de R$ 280,00, qual foi o valor total das vendas?
d) Qual seria o salário do vendedor em um mês em que não houvesse vendas?
a função y = ax + bA
U
L
A
 2
7
a função y = ax
Nas Aulas 22 e 26, você aprendeu que:
• Sempre que duas grandezas x e y são diretamente proporcionais, o gráfico cartesiano de y como função de x é uma 
reta, que passa pela origem.
• A expressão matemática que representa essa função é y = ax, onde a é a constante de proporcionalidade.
• A função y = ax chama-se função linear e a é uma constante diferente de zero.
Por que o gráfico da função y = ax é uma reta?
1 2
y
x
3
3
3
6
-1
-3
1 1
Veja por exemplo a função f: → dada pela expressão y = 3x.
Observe a tabela e o gráfico dessa função. Enquanto os valores de x 
aumentam de 1 em 1, os valores de y aumentam de 3 em 3.
+3
+3
+3
+1
+1
+1
 x y
 –1 –3
 0 0
 1 3
 2 6
 
165
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 165 3/5/2008 18:10:39
A característica da função é que aumentos iguais na variável x correspondem a aumentos iguais na variável y. Isso significa 
que a representação gráfica dos pares ordenados (x ; f (x)) são pontos, todos pertencentes a uma mesma linha reta.
a função y = ax + b
Qual será a fórmula matemática que permite calcular a conta telefônica?
Na conta telefônica de uma residência, o valor total a ser pago é calculado da seguinte maneira:.A assinatura da linha telefônica dá direito a um certo número de ligações e custa R$ 19,77. Ultrapassado o 
limite, o valor das ligações (pulsos) excedentes é calculado multiplicando-se o número de pulsos extras pelo 
valor de cada pulso, que é de R$ 0,09..Em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura e chega-se ao valor total da conta.
Solução
Se y é o valor da conta telefônica e x o número de pulsos, tem-se que:
 y = 19,77 + 0,09 · x
 
Como calcular, por exemplo, o valor de uma conta com 132 pulsos excedentes?
É só substituir o x da fórmula por 132..para x = 132, temos y = 19,77 + 0,09 . 132 
 y = 19,77 + 11,88
 y = 31,65
Resposta: o valor total a ser pago será R$ 31,65.
Valor da 
assinatura
Valor 
do pulso
Número
de pulsos
excedentes
Exemplo 1
Qual seria o valor de uma conta com 86 pulsos excedentes?
O gráfico determinado pelos 4 pontos da tabela ao 
lado pertence a uma mesma reta? Por quê? Tente 
responder sem marcar os pontos no gráfico. Discuta 
sua conclusão com a de seu colega.
 x y
 1 2
 2 5
 3 9
 4 10
Essa função também pode ser representada pela fórmula:
y = 0,09x + 19,77
De um modo geral, a expressão matemática dessa função é dada por:
y = ax + b, com a 0
A função y = ax + b chama-se função afim, com a e b constantes e a diferente de zero.
No exemplo da conta telefônica, temos: y = 0,09x + 19,77 , onde a = 0,09 e b = 19,77.
→ → →
a função y = ax + b
166
2
3
4
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6
Podemos dizer que o gráfico da função y = ax + b é sempre uma reta.
Na prática, como construir o gráfico da função y = ax + b?
Se é uma reta, então bastam dois pontos para sua determinação.
Outros exemplos de função afim
a) y = 5x + 1, onde a = 5 e b = 1
b) y = 3 – 2x, onde a = –2 e b = 3
c) onde e b = – 4 
d) y = 5x, onde a = 5 e b = 0 (nesse caso, temos uma função linear, que é um 
caso particular da função afim).
Compare os valores de y da função y = 3x (2a coluna) com os valores de y da 
função y = 3x + 1 (3a coluna) para um mesmo valor de x. O que você concluiu? 
Troque idéias com seus colegas.
 x y = 3x y = 3x + 1
 –1 –3 –2
 0 0 1
 1 3 4
 2 6 7
Como pode ser obtido o 
gráfico da função y = 3x – 1, 
a partir do gráfico de y = 3x?
y
x
y = 3 x + 1
y = 3 
-1
1
10
O gráfico de y = 3x + 1 pode ser obtido a 
partir do gráfico de y = 3x, deslocando-o 
em uma unidade para cima.
o gráfiCo da função y = ax + b
Seja a função f: → dada pela expressão y = 3x + 1.
Vamos obter o gráfico dessa função, partindo do gráfico da função y = 3x.
Observe a tabela:
Podemos concluir que:.para x = –1, o valor de y, que em y = 3x é igual a –3, passa a ser –2 em y = 3x + 1;.para x = 0 , o valor de y, que em y = 3x é igual a 0, passa a ser 1 em y = 3x + 1;.para x = 1, o valor de y, que em y = 3x é igual a 3, passa a ser 4 em y = 3x + 1.
167
7
5
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Construa o gráfico da função:
 
Solução
É preciso atribuir a x dois valores quaisquer e calcular os valores correspondentes de y. Na tabela a seguir, fizemos 
x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados, os pontos foram marcados no plano cartesiano e o gráfico, construído.
 x y 
 
y
x1 2 3 4
5
3
Exemplo 2
o CoefiCiente angular
Na função y = ax + b, a é o coeficiente angular ou declividade, porque determina a inclinação da reta; b é o coeficiente 
linear e mostra o lugar em que a reta corta o eixo dos y, ou seja, quando x é igual a zero.
Atribuindo a x os valores 0 e 1 na função y = ax + b, construímos a tabela e o gráfico:
 x y
 0 b
 1 a +b
y
x
a
a+b
b
1
1
Observe que quando x varia de 0 a 1, y varia de b a a+b. 
A taxa de variação correspondenteé: 
Na conta telefônica de uma residência, como você já viu, a 
expressão matemática que representa a função é dada por 
y = 0,09x + 19,77.
Observe agora o gráfico ao lado:
Note que 19,77 é o coeficiente linear e que 0,09 é o coeficiente 
angular. Veja no gráfico que o coeficiente angular é o valor 
que a função aumenta quando x cresce uma unidade. É a 
altura do degrau da escada que o gráfico mostra.
Exemplo 3
O coeficiente angular é a variação da função quando se aumenta a variável x em uma unidade.
a função y = ax + b
 (0;3)
 (4; 5)
168
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Solução
A conta a ser paga por corrida em UTs é: y = ax + b 
em que: x representa o número de quilômetros percorridos;
 a representa o número de UT para cada quilômetro;
 b representa a bandeirada;
 y representa a conta em UT.
Colocando os dados em uma tabela:
Como a função é y = ax + b, vamos substituir os valores que já temos:.para x = 3 e y = 3, ou seja, o ponto (3; 3), temos:
 3 = a . 3 + b 
 3 = 3a + b
 3a + b = 3 (I)
os zeros de uma função 
Os zeros da função y = f(x) são os valores de x para os quais os valores correspondentes de y são nulos. Assim, um zero 
da função y = ax + b é um valor de x que torna y igual a zero. Vamos calcular, por exemplo, o zero da função y = 2x – 3. 
Fazendo y = 0, temos:
 
Para achar os zeros de uma função y = f (x), 
é preciso resolver a equação f (x)=0.
y
x3
2
-3
y = 2x-3
determinação de uma função 
afim ConheCendo seus valores 
em dois Pontos diferentes
O taxímetro determina o preço da corrida em unidades taximétricas (UTs). Estas são depois convertidas em reais e a tabela 
de conversão é diferente em cada cidade. O taxímetro parte de um valor de UTs chamada bandeirada e acrescenta o mesmo 
valor de UTs para cada quilômetro rodado.
Uma pessoa fez várias corridas de táxi. Verificou que, percorrendo 3 km, o taxímetro marcou 3 UTs; percorridos 8 km, 
o taxímetro marcou 5 UTs. Qual a expressão de y em função de x que representa esta situação?
Exemplo 4
O valor é o único zero da função y = 2x – 3. 
Como você vê no gráfico ao lado, o zero da função é 
o ponto onde a reta corta o eixo dos x.
Distância percorrida (em km) Valor de UTs a pagar
 x y 
 3 3
 8 5
169
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Com base na fórmula obtida, como descobrir quantas UTs uma pessoa pagaria em uma corrida de 20 km?
Exemplo 5
.para x = 8 e y = 5, ou seja, o ponto (8; 5), temos:
 5 = a . 8 + b
 5 = 8a + b
 8a + b = 5 (II)
Organizando as equações I e II, temos um sistema: 
Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar as duas.
 Logo, 
Substituindo a = 0,4 na primeira equação, temos:
 3 . 0,4 + b = 3
 1,2 + b = 3
 b = 3 – 1,2 
 b = 1,8
Resposta: a função procurada é y = 0,4 x + 1,8.
Solução
Basta substituir x por 20 na função y = 0,4x + 1,8.
 y = 0,4 . 20 + 1,8 y = 8 + 1,8 y = 9,8
Resposta: numa corrida de 20 km, uma pessoa pagaria 9,8 UTs.
· Se a = 0, a função fica com a forma y = b e passa a ser 
chamada de função constante.
O gráfico é uma reta horizontal.
· Se a > 0 (a positivo), a função y = ax + b é uma função crescente. 
Isso porque aumentando os valores de x, os valores corres-
pondentes de y também aumentam, como mostra o gráfico: 
O ângulo formado pela reta e o eixo x, chamado de ângulo de 
inclinação da reta, é agudo, ou seja, mede entre 0o e 90o.
Já vimos que a função y = ax + b tem como gráfico uma reta. y
x
y = b
b
a o
1 2
1
2
y
x xx
y
y
α
a função y = ax + b
170
8
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 170 3/5/2008 18:10:40
 Quais das tabelas abaixo determinam 4 pontos que estão alinhados? 
Tente responder sem desenhar o gráfico.
a) b) c) 
 
 Considere a função f: → dada pela expressão y = 4x.
a) Atribuindo à variável x os valores –1,0 e 1, quais serão os valores correspondentes de y?
b) À medida que a variável x aumenta uma unidade, o que acontece com os valores correspondentes de y?
c) O gráfico dessa função é uma reta? Justifique sua resposta.
 No Brasil, as temperaturas são medidas em graus celsius. Nos Estados Unidos, são medidas em outra escala: em 
graus Farenheit. Um técnico está trabalhando com um motor americano e as temperaturas de funcionamento estão 
nessa escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma fórmula que permite relacionar a escala americana com a usada 
aqui: é a temperatura em graus Celsius (oC) e x é a temperatura em graus Farenheit (oF).
Como é o gráfico dessa função? Qual é o coeficiente angular?
 Considere a função y = 3x – 6. Sem construir o gráfico, responda:
a) Qual é o coeficiente angular? b) Qual é o coeficiente linear?
c) Qual é a raiz da função? d) O ponto (12; 30) pertence a essa função?
 Faça o gráfico da função y = 0,4x + 2.
 
 Determine a função cujo gráfico contém os pontos:
a) (1; –3) e (6; 7)
b) (1; 3) e (5; –1) 
6
5
4
3
2
 x y
 1 3
 2 5
 3 7
 4 9
1
 x y
 1 1
 2 4
 3 9
 4 16
 x y
 1 10
 2 7
 3 4
 4 1
· Se a0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1... 173
1
2
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 173 3/5/2008 18:10:40
Dada uma progressão aritmética, como podemos calcular sua razão? 
Pense e discuta isso com seus colegas.
Suponha que você conheça o primeiro termo de uma progressão aritmética (a
1
) e a razão (R). Como calcular qualquer 
outro termo dessa progressão aritmética? Para isso, observe as igualdades:
a
2
 = a
1
 + R
a
3
 = a
1
 + 2R
a
4
 = a
1
 + 3R
a
5
 = a
1
 + 4R
Uma seqüência na qual, dado um termo, podemos obter o termo seguinte somando-se 
sempre a mesma quantidade ao termo precedente chama-se progressão aritmética.
É comum designar uma progressão aritmética pela abreviação PA. A quantidade acrescentada a cada termo para obter 
o termo seguinte é chamada de razão e representada pela letra R.
Os termos de uma progressão aritmética são representados, em geral, pelo símbolo a
n
 . O índice n indica a ordem do 
termo na seqüência.
Assim, nos exemplos 1, 2 e 3 vistos anteriormente, temos: 
1) a
1
 = 5, a
2
 = 8, a
3
 = 11 e R = 3.
2) a
1
 = 10, a
2
 = 7,5, a
3
 = 5, a
4
 = 2,5 e R = – 2,5.
3) 
O que você pode concluir examinando essas igualdades? 
Discuta com seus colegas.
Imagine que você está no 1o degrau de uma escada e deseja subir ao 10 o. Quantos degraus você deve subir? Você deve 
subir 9 degraus. Se você está no 1o degrau e deseja subir ao 25o, quantos degraus deve subir? Deve subir 24, não é mesmo? 
Então, se estamos no primeiro degrau, para chegar ao degrau número n, devemos subir n–1 degraus.
Qual é o trigésimo (30o) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38,...
Exemplo 1
Solução
A razão desta progressão aritmética é R =17– 10 =7 e o primeiro termo é 10.
Vamos aplicar a fórmula do termo geral para calcular o 30o termo, ou seja, a
30
. Neste caso, n = 30 e, assim, 
a
30
 = a
1
 + (30 – 1)R.
Como , temos que:
Resposta: o trigésimo termo da progressão aritmética é 213.
1 2 3 4 5 6 n
Progressões aritmétiCas
174
3
4
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 174 3/5/2008 18:10:40
uma outra fórmula
Se você está no 6o degrau de uma escada e deseja chegar ao 10o, quantos degraus deve subir?
Junto com seus colegas, escreva a sentença matemática que 
indica esse fato.
R
R
R
R
Ra
a
a
a
a
a
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
o gráfiCo
Os termos de uma progressão aritmética podem ser 
visualizados por meio de um gráfico. 
Os valores dos termos são representados pelas linhas 
verticais que formam o desenho de uma escada. Nessa 
escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão 
aritmética.
Exemplo 2
Exemplo 3
Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu?
Solução
A progressão escrita pelo aluno é 17, 19, 21, 23, 25, 27,..., 63.
O primeiro termo, a
1
, é 17, o último termo, a
n 
, é 63 e a razão R é 2. Substituindo esses valores na fórmula do termo 
geral, calcularemos n, que é o número de termos da progressão aritmética:
Substituindo na expressão os valores conhecidos, tem-se que:
Resposta: a progressão tem 24 termos.
Em janeiro de certo ano, João estava ganhando R$ 250,00 por mês. O patrão prometeu aumentar o salário de João em 
R$ 40,00 todos os meses. Quanto ele estará ganhando em dezembro do mesmo ano?
Solução
A seqüência de salários de João é uma progressão aritmética de razão 40, já que aumenta R$ 40,00 todos os meses.
Janeiro a
1
= 250
Fevereiro a
2 
= a
1 
+
 
 R = 250 + 40 = 290
Dezembro a
12 
= a
1 
 + 11 R = 250 + 11 X 40 = 690
Resposta: o salário de João em dezembro será R$ 690,00.
 Faça com seu grupo os Exercícios 1, 2 e 3.
175
5
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2
1
8
7
6
5
4
3
 Calcule a razão de uma PA em que o primeiro termo é 74 e o décimo termo é 47.
 Calcule o milésimo múltiplo de 7.
Exemplo 4
 Determine quantos termos tem uma PA de razão –4 e cujo primeiro termo é –20 e o último é –52.
 Uma indústria fabrica um determinado produto e sua produção anual vem crescendo em progressão aritmética. Em 1996, 
produziu 327 864 peças e em 1 999 produziu 1 150 728 peças. Quantas peças essa indústria produziu em 1997 e em 1998?
 
 Em uma PA, o décimo primeiro termo é 28 e o décimo quinto é 48. Calcule o trigésimo termo dessa PA.
 Uma pessoa que possui na sua conta bancária R$ 500,00 precisa tirar R$ 50,00 a cada dia de uma semana.
a) Escreva a PA mostrando a quantia que sobra na conta após cada dia de retirada durante toda a semana.
b) Qual a quantia que sobrou no final da semana? 
c) Se continuasse a fazer essas retiradas, quantos dias levaria para “zerar” a quantia no banco?
 Calcule o centésimo múltiplo de 5.
 
 Sabendo que o 10o termo de uma PA é e a razão é 1, calcule o primeiro termo dessa progressão.
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
Progressões aritmétiCas
Podemos assim calcular um termo da progressão conhecendo-se um outro termo qualquer.
Se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m, devemos subir m – n degraus. 
Podemos então escrever uma nova fórmula que relaciona dois termos quaisquer: 
Todos os anos, uma fábrica aumenta sua produção em uma quantidade constante. No 5o ano de funcionamento, ela produziu 
1 460 peças; no 8o ano, 1 940. Quantas peças ela produziu no 1o ano de funcionamento?
Solução
A seqüência das produções anuais dessa fábrica forma uma progressão aritmética, já que aumenta a mesma quantidade 
a cada ano.
Sabemos que, nessa progressão, a
5
=1 460 e a
8
=1 940
Usando a última fórmula vista:
a
8
= a
5
 + (8–5) R 1 940 = 1 460 + 3 R 1 940 –1 460 = 3 R
480 = 3 R R = 480 : 3=160.
A razão dessa progressão é 160, ou seja, a produção da fábrica aumenta em 160 peças a cada ano.
Como calcular agora o 1o termo da progressão que é a produção inicial da fábrica?
Usando a mesma fórmula, com os termos a
5
 e a
1
:
a
5
= a
1 
+ (5–1) R 1 460 = a
1
 + 4 . 160 1 460 – 640 = a
1 
a
1
= 820.
Resposta: a fábrica produziu no 1o ano de funcionamento 820 peças.
176
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11
10
9 Qual a ordem do termo 27,5 na PA 17;17,5; 18; ...
 Ache um número m entre 7 e 11 de maneira que os três números, 7, m e 11, formem uma progressão 
aritmética.
 Escreva cinco números entre 10 e 130, de modo a formar uma PA.
Atenção!
Ordem é o lugar que 
o número ocupa na 
progressão aritmética.
Mais importante do que simplesmente dar a resposta correta, são os caminhos da solução e 
as justificativas, o que você deve sempre registrar no seu caderno.
177
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É possível calcular a soma dos 100 primeiros números inteiros, rapidamente e sem 
usar a calculadora? Ou seja, qual o resultado de 1 + 2+ 3+ 4+...+ 100?
Pense um pouco, discuta a situação com seus colegas e veja a solução mais adiante.
somando os termos de uma 
Progressão aritmétiCaA
U
L
A
 2
9
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), nascido na Alemanha, é considerado um dos maiores matemáticos de todos os 
tempos. Desde criança, Gauss revelou grande aptidão para a Matemática. Aos 10 anos de idade, quando estudava numa 
escola da cidade de Brunswick, na Alemanha, o professor pediu aos alunos da classe que somassem todos os números 
de 1 a 100, isto é, que efetuassem a seguinte adição:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100.
Para surpresa do professor, em poucos minutos Gauss deu a resposta correta: 5 050. Como ele fez “de cabeça” esta conta?
Vamos representar essa soma por S. Em seguida, escrevemos a mesma soma na ordem inversa das parcelas e somamos 
as duas somas, termo a termo:
 S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
 S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 +...+ 101 + 101 +101
O que você pode observar em relação a esta soma?
A soma tem 100 parcelas iguais a 101. Assim, podemos escrever: 2Sde um problema.
Você e seus colegas organizaram uma festa na escola a fim de arrecadar fundos para a reforma da quadra de esportes. 
Montaram barraquinhas de salgados, doces, brincadeiras etc. Na barraca de doces, onde você ficou com mais dois colegas, 
os preços eram:
1 docinho = R$ 0,50
3 pés-de-moleque = R$ 0,50
As vendas estavam boas, até que um dos convidados quis comprar uma caixa fechada de pés-de-moleque e queria saber quanto 
deveria pagar. Você contou e descobriu que na caixa havia 35 pés-de-moleque. Como calcular o valor da caixa?
.Bianca quer comprar uma bicicleta. A da marca Bike custa R$ 169,00. A da marca 
Roler custa R$ 16,00 a mais. Quanto custa a bicicleta da marca Roler?.Bianca tem R$ 150,00. Quanto ela precisa juntar para comprar a bicicleta da marca 
Bike? E para comprar a outra bicicleta?.A lanchonete do Otávio oferece sanduíches que combinam um tipo de frio com 
um tipo de queijo. Se há cinco tipos de frios (salame, mortadela, presunto, lombinho 
e carne assada) e quatro tipos de queijo (minas, coalho, prato e mussarela) 
disponíveis, quantos sanduíches diferentes podem ser feitos?.Quero vender 52 limões embalados em saquinhos de 4 limões. Quantos sacos 
poderei formar?
Exemplo 1
19
2
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 19 3/5/2008 18:10:10
Solução 1
Dividindo 35 por 3, temos 11 e restam 2. Os alunos resolveram dar 2 pés-de-moleque de brinde e venderam a caixa 
por R$ 5,50. Para isso, eles fizeram a seguinte conta:
 35 ÷ 3 = 11, resto 2
 50 centavos × 11 = 0,50 × 11 = 5,50
 0,50 + 0,50 + 0,50 +...+ 0,50 = 5,50
 11 vezes 0,50 = 5,50
Resposta: o valor da caixa é R$ 5,50.
Solução 2
Um outro grupo, ao saber do problema, discordou da primeira solução. Usando uma calculadora, os alunos fizeram o 
seguinte cálculo:
 35 ÷ 3 = 11,6666...
Depois, multiplicaram esse resultado por 0,50, obtendo 5,8333... Para esse grupo, a caixa deveria ter sido vendida 
por R$ 5,83.
Resposta: o valor da caixa é R$ 5,83. 
A soma 
A operação de adição, ou soma, é usada quando é preciso juntar coisas que estão separadas.
Ana, Pedro e Carla resolveram juntar suas poupanças para comprar CDs. Ana tem R$ 53,00, Pedro tem R$ 59,00 e 
Carla tem R$ 37,00. Quanto eles têm ao todo?
Solução
Para juntar as poupanças, deve-se somar as quantias de cada um. A operação a ser feita é:
 53 + 59 + 37 = 149
Resposta: juntos, eles têm R$ 149,00.
Cada um dos números de uma soma chama-se parcela. Na operação de adição, é possível somar as parcelas em qualquer 
ordem. Por isso, temos certeza de que 53 + 37 + 59 também é igual a 149. Esta propriedade da adição é chamada 
de comutatividade (propriedade comutativa da adição). 
A subtração
A operação de subtração é necessária quando é preciso tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra.
Antônio comprou a prazo o material escolar de seu filho. Deu uma entrada de R$ 23,00 e dividiu o restante em duas 
prestações iguais. Se o material custou R$ 87,00, qual o valor que será parcelado?
Solução
Se você pensou em usar a subtração para resolver o problema, muito bem. Afinal, esse é um exemplo claro de operação 
de subtração ou conta de menos. A operação é:
 87 – 23 = 64
Resposta: Antônio deveria parcelar a quantia de R$ 64,00 em duas vezes.
Exemplo 2
Exemplo 3
A subtração é irmã da adição
Costuma-se dizer que a subtração desfaz o que a adição faz. A adição e a 
subtração são operações inversas uma da outra. Observe:
23 + 12 = 35 e 35 – 12 = 23 64 + 36 = 100 e 100 – 64 = 36
reCordando oPerações
20
3
4
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A subtração também fornece outros resultados importantes. A subtração compara, ou seja, verifica quanto uma 
quantidade tem a mais que outra.
Pedro e Flávio colecionam chaveiros. Pedro já conseguiu 46 chaveiros e Flávio, 27. Quantos chaveiros Flávio precisa conseguir 
para ter a mesma quantidade que seu amigo?
Solução
A operação a fazer é: 
 46 – 27 = 19
Resposta: Flávio deverá conseguir mais 19 chaveiros para ficar com a mesma quantidade que Pedro.
Agora é sua vez! Verifique se a subtração possui a propriedade comutativa. 
A multiplicação
A multiplicação é a operação que simplifica uma soma de parcelas iguais. Por exemplo:
 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 56
O número 7 apareceu oito vezes. Ou seja, estamos somando o número 7 oito vezes. Então, representamos esta soma 
de parcelas iguais por uma multiplicação.
 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 8 = 56
Em uma multiplicação, cada número chama-se fator. Você deve se lembrar de que a multiplicação tem algumas 
propriedades. São elas:
1. Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado.
 8 x 7 = 7 x 8 = 56
2. Quando há várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. 
 2 x 3 x 5 = (2 x 3) x 5 = 6 x 5 = 30
 2 x 3 x 5 = 2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30
 2 x 3 x 5 = (2 x 5) x 3 = 10 x 3 = 30
1 DÚZIA DE LARANJAS
DUAS LARANJAS ESPREMIDAS
FALTA ESPREMER 12 - 2 = 10
A subtração também pode ser utilizada 
para verificar a quantidade que falta para 
completar uma tarefa. Por exemplo, se 
você vai fazer suco com uma dúzia (1 
dúzia=12 unidades) de laranjas e já 
espremeu duas laranjas, utiliza a 
subtração para saber quantas faltam 
para completar a tarefa.
Exemplo 4
21
8
7
6
5
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A divisão
Você já aprendeu que a operação inversa é aquela que desfaz o que a outra faz. O inverso de multiplicar é dividir.
Você já sabe que:
8 x 4 = 32
Observe o que faz a divisão.
32 4 = 8 (32 dividido por 4 é igual a 8)
ou
32 8 = 4 (32 dividido por 8 é igual a 4)
Quando usar a divisão?
A divisão é usada quando é preciso dividir um total em partes iguais ou quando 
queremos saber quantas vezes um número “cabe” em outro.
Os 4 frentistas de um posto de gasolina vão dividir o total de R$ 140,00 da caixinha 
semanal entre eles. Quanto cada um receberá?
Solução
Para resolver este problema, basta dividir 140 por 4.
140 4 = 35
Resposta: cada frentista deverá receber R$ 35,00.
O princípio multiplicativo
A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante na Matemática, chamado de princípio 
multiplicativo. Para entender melhor, acompanhe o seguinte exemplo:
Maria Angélica tem três blusas e quatro saias. De quantas maneiras diferentes Maria Angélica pode se vestir?
Pela tabela, observamos que Maria 
Angélica tem 12 possibilidades de 
se vestir: são 3 blusas para combinar 
com 4 saias, o que dá a Maria 
Angélica 3 x 4 = 12 alternativas.
Exemplo 5
3. Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:
 2 x (5 + 7 + 4) = 2 x 16 = 32
Ou, ainda: 2 x (5 + 7 + 4) = 2 x 5 + 2 x 7 + 2 x 4 = 10 + 14 + 8 = 32
Esta propriedade chama-se lei distributiva. É constantemente usada em Matemática.
reCordando oPerações
22
9
10
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Atenção! O resto é sempre menor 
que o divisor.
1
No exemplo, a divisão foi exata. O valor da caixinha foi dividido entre os 4 frentistas 
e todos receberam a mesma quantia. O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 
R$ 143,00 para distribuir entre os quatro frentistas, sem que sobrasse dinheiro? 
Cada frentista continuaria com R$ 35,00, mas sobrariam R$ 3,00.
Veja a conta:
 143 dividendo
 143 4 4 divisor
 23 35 35 quociente
 3 3 resto
Na operação acima, 143 é o dividendo, 4 é o 
divisor, 35 é o quociente e 3 é o resto. 
Esses quatro números se relacionam da 
seguinte forma:
 143 = 4 x 35 + 3
(dividendo) = divisor x quociente + resto
2
Não desperdice água. Um vazamento de 20 gotas por minuto pode 
gerar um desperdício de 100 litros de água no final de um mês. 
Seu livro deve ser preservado. Responda às questões no caderno.
 Observe os gráficos abaixo e responda às perguntas:
a) Nas últimas décadas, o que vem acontecendo com a pirâmide de idades do Brasil? Por quê?
b) Pelo gráfico, o que você pode dizer sobre a mortalidade infantil no Brasil?= 100 x 101, logo, 2S = 10 100.
Portanto S = 5 050.
A idéia brilhante de Gauss pode ser aproveitada para se chegar à fórmula da soma dos termos de qualquer progressão 
aritmética.
Reúna-se com alguns colegas e calculem a soma dos 1 000 primeiros números 
naturais, ou seja, a soma 1 + 2 +...+ 999 + 1 000. E como vocês calculariam a 
soma dos 20 primeiros números ímpares, 1 + 3 + 5 + 7+...+ 39?
a soma dos termos de uma 
Progressão aritmétiCa
Recordando a Aula 28, os termos de uma progressão aritmética podem ser 
associados aos degraus de uma escada. Veja o exemplo de uma progressão 
aritmética de 7 degraus: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7178
1
2
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Calcule a soma dos 30 primeiros números ímpares.
Solução
Os números ímpares são 1, 3, 5, 7... que formam uma progressão aritmética de razão igual a 2.
O trigésimo número ímpar (30o) pode ser calculado por meio da fórmula do termo geral vista na aula anterior: 
a
n
 = a
1 
+ (n –1) R
Neste caso, substituindo n por 30, teremos:
a
30 
 = a
1
 + (30 –1) R a
30 
 = 1 + 29 x 2 a
30 
 = 1 + 58 = 59
Vamos calcular agora a soma dos 30 número ímpares usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão 
aritmética.
 
 
 
Resposta: a soma dos 30 primeiros números ímpares é 900.
Em um dos exemplos da Aula 28, vimos que o salário de João em janeiro de determinado ano era R$ 250,00 e que ele passou 
a ganhar a cada mês um aumento de R$ 40,00. Em dezembro do mesmo ano, João já estava ganhando R$ 690,00.
Calcule quanto João ganhou durante o ano inteiro.
Exemplo 1
Exemplo 2
Como fazer para calcular a soma das alturas dos 7 degraus?
Vamos usar a idéia do menino Gauss e considerar duas escadas iguais, 
encaixando uma na outra, invertendo a posição da segunda, como mostra 
a figura a seguir:
O que você pode observar no desenho?
a
1
 + a
7 
é igual a a
2
 + a
6
 que é igual a a
3 
 + a
5 
 e assim por diante.
Podemos escrever, então:
Somando as duas igualdades, tem-se, do lado esquerdo, 2S; do lado direito, 7 parcelas iguais a a
1 
 + a
7 
. Logo:
 
Este raciocínio foi utilizado para chegarmos à soma dos 7 termos de uma progressão aritmética. 
Da mesma forma, será possível obter a fórmula para calcular a soma dos n termos de uma progressão aritmética. 
Pense e discuta com seus colegas qual seria essa fórmula.
a a a a a a a
a a a a a a a 
1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1
+ + + + + +
+ + + + + +
a a a a a a a
a a a a a a a
1 2
7 6 5 4 3 2 1
3 4 5 6 7S =
S =
somando os termos de uma 
Progressão aritmétiCa
179
3
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Primeiro, é preciso somar todos os salários mensais que João recebeu durante esse ano, que são: 250, 290, 330, ... , 690.
Eles formam uma progressão aritmética de razão 40 e com 12 termos. Aplicando a fórmula, temos:
Solução
Vejamos agora mais alguns recursos da calculadora que podem ajudar nos cálculos com 
progressões aritméticas.
Uma calculadora semelhante à do desenho ao lado pode mostrar, com muita facilidade, 
os termos de uma progressão aritmética qualquer. Vamos, por exemplo, achar os termos 
da progressão de razão 7 e cujo primeiro termo é 9.
Para isso, digite:
Resposta: João recebeu durante o ano o total de R$ 5 640,00.
A primeira vez que você apertar a tecla o visor mostrará 16, 
que é o segundo termo da progressão. Cada vez que você apertar 
a tecla , aparecerá no visor mais um termo da progressão.
A seqüência exata de teclas 
a apertar depende do modelo 
da calculadora.
Tente fazer isso na sua calculadora e verifique quais são os termos desta 
progressão aritmética. Compare o resultado com o de seus colegas de grupo.
Como calcular, usando a calculadora, a soma dos 5 primeiros termos de uma progressão 
aritmética de razão 0,25 e cujo primeiro termo é 10,25?
Para isso, é preciso fazer o mesmo que no exemplo anterior, mas apertando após cada termo que aparecer no visor a 
tecla . Isso faz com que os termos da progressão sejam acumulados na memória da calculadora.
Depois que você apertar pela quinta vez a tecla , aperte a tecla e a soma dos 5 termos da progressão aritmética 
aparecerá no visor.
O esquema da operação descrita acima é o seguinte:
MRM+M+M+M+M+ + ====Ra
1
% OFF
MR M - M+
ON
C
+
7 8 9
4
1
0
5
2
.
6
3
= +
-
x
 + + + 7 ==9
somando os termos de uma Progressão aritmétiCa
180
4
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 180 3/5/2008 18:10:41
 Calcule a soma dos duzentos primeiros múltiplos naturais de 10.
 Calcule a soma dos 20 termos da PA: 50, 43, 36 ...
 Um corredor planejou seu treinamento da seguinte forma: no primeiro dia, correrá 5 km e depois irá aumentando 
a distância em 500 m todo dia.
a) Quanto ele vai correr no trigésimo (30o) dia do treinamento?
b) Nesses 30 dias, qual a distância total que ele percorrerá?
 Um escritor escreveu, em um determinado dia, as 20 primeiras linhas de um conto. A partir desse dia, ele passou 
a escrever cinco linhas a mais do que havia escrito no dia anterior. Ao final do 10o dia, quantas linhas havia escrito?
 Calcule, utilizando a calculadora, a soma dos 6 primeiros termos de uma PA de razão 1,15 e cujo primeiro termo 
é 10,58.
 Determine a soma dos 18 primeiros termos da PA na qual a
1
 = 2,5 e a
10 
= 7.
 20 clubes participam de um campeonato regional de futebol. Sabendo que todos os clubes devem jogar entre si 
uma única vez, quantas partidas serão disputadas nesse campeonato?
 Um corpo caindo livremente percorre 4,9 m no 1o segundo; no segundo seguinte percorre 14,7 m; no 3o segundo, 
24,5 m. Continuando assim, quanto percorrerá no 11o segundo? E qual o percurso total desse corpo?
7
10
9
2
1
8
6
5
4
3
Calcule agora, com sua calculadora, a soma dos 5 primeiros termos da progressão 
aritmética de razão 0,25 e cujo primeiro termo é 10,25. Compare o resultado com 
o de seus colegas de grupo.
 Calcule a soma dos 50 primeiros números pares: 0 + 2 + 4 + 6 +...
 Calcule a soma de todos os múltiplos de 5 com dois algarismos. Sugestão: calcule primeiro 
quantos múltiplos de 5 com 
dois algarismos existem.
Sugestão: construa uma PA da 
seguinte forma: a1 = 5 km, a2 = 5,5 km 
e assim por diante.
Calcule o trigésimo termo e em 
seguida a soma de todos os termos.
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
181
5
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Esta é uma aula diferente: contém apenas exercícios. O objetivo é rever conceitos importantes 
das aulas anteriores e também enriquecer o aprendizado com novos problemas. Na primeira 
parte, os exercícios estão resolvidos e comentados e, na segunda parte, você encontrará uma 
nova coleção de exercícios propostos.
Leia atentamente o enunciado de cada exercício da primeira parte, mas procure não olhar 
a solução que vem a seguir. Pensando um pouco e revendo a teoria das aulas anteriores, 
você poderá chegar a uma solução. Se não conseguir, não desanime. Leia e compreenda a 
solução apresentada. Você estará aprendendo mais e ganhando experiência.
revendo ConCeitos iA
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A
 3
0
0
exemPlos resolvidos
Exemplo 1
Sugestão: verifique que 210 é 
um pouco maior que 1 000.
Exemplo 2
Um computador consegue guardar uma quantidade enorme de 
informações. Para não usar a linguagem técnica, vamos chamar cada 
informação de uma “palavra”. Certo computador consegue armazenar 
232 palavras. Mostre que este número é superior a quatro bilhões.
Solução
Seguindo a sugestão do enunciado, temos que 210 = 1 024, ou seja, 210 > 103. 
Portanto, 232 = 230 . 22 = (210)3 . 22 > (103)3 . 4 = 109 . 4 = 4 000 000 000, a quantidade de palavras que este 
computador consegue guardar, é realmente um pouco superior a quatro bilhões.
João recebeu seu salário. Com um terço desse valor, pagou o aluguele as contas e, com um quinto do restante, fez algumas 
compras. Se a quantia restante foi de R$ 256,00, qual foi o salário líquido de João?
Solução
Seja x o salário de João. Se ele pagou inicialmente , o restante é igual a . Vamos então montar uma equação 
mostrando as três parcelas em que o salário ficou dividido: .
Para resolver esta equação, devemos trabalhar com frações, reduzindo-as ao mesmo denominador. Observe:
Resposta: o salário líquido de João foi de R$ 480,00.182
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Para a construção de um jardim ornamental, um jardineiro traçou no terreno três circunferências de 5 m de raio com centros 
nos pontos colineares A, B e C, como mostra a figura abaixo. Para encomendar a cerca que deve acompanhar o contorno do 
jardim, é preciso conhecer seu perímetro. Determine quantos metros de cerca o jardineiro deve encomendar.
Solução
Sejam D, E, F e G os pontos de interseção da circunferência central com 
cada uma das outras. 
Os triângulos ABD e BEC são eqüiláteros. Logo, o ângulo DB̂E mede 60o. 
Como 60 é igual à sexta parte de 360, o arco DE tem comprimento igual a 
 da circunferência central e o mesmo ocorre com o arco FG.
O triângulo ABG também é eqüilátero e, portanto, o ângulo DÂG mede 
120o. Como 120 é a terça parte de 360, então o arco DG, no interior do 
jardim, tem comprimento igual a da circunferência. Logo, o comprimento 
do arco DG no perímetro do jardim tem comprimento igual a da 
circunferência e o mesmo ocorre com o arco EF do outro lado.
Assim, em frações de uma circunferência, o perímetro do jardim é do comprimento de uma 
circunferência. Como o comprimento de uma circunferência é 2 r, o perímetro do jardim é igual a: 
 .
Resposta: o jardineiro deve então encomendar cerca de 53 metros de cerca.
A figura ao lado mostra o terreno de um condomínio com a forma de um 
trapézio retângulo e com as dimensões dadas em metros. Nesse terreno, 
será construída uma casa cujo chão tem a forma mostrada na figura e 
algumas de suas medidas são dadas. Determine o comprimento máximo 
da frente da casa sabendo que, nesse condomínio, a área construída não 
pode ser maior que 40% da área total do terreno.
Solução
Como o terreno tem a forma de um trapézio, sua área é 
 O valor máximo da área construída é igual 
a 40% da área total, ou seja, 
Vamos agora dividir o chão da casa em dois retângulos, como mostra a figura a seguir:
Devemos ter então , o que dá x = 19,5.
Resposta: o comprimento máximo da frente da casa para a Rua Bela deve ser de 19,5 m.
Exemplo 3
A CB
A C
B
D E
G F
Exemplo 4
20
10
6
8
15
x
24
Rua Bela
10
6
8
x
2
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Exemplo 5
Uma caixa-d’água pode ser abastecida por duas torneiras, A e B. Estando a caixa vazia, a torneira A sozinha leva 10 
horas para enchê-la e a torneira B, sozinha, leva 15 horas. Certo dia, estando a caixa-d’água completamente vazia, 
abriu-se a torneira A e, três horas depois, abriu-se também a torneira B. Após a abertura da torneira B, em quanto 
tempo a caixa ficou cheia?
Solução
Em uma hora, a torneira A enche da caixa e a torneira B enche da caixa.
Em uma hora, se as duas torneiras estiverem abertas, elas encherão da caixa.
Em três horas, a torneira A, sozinha, enche da caixa.
Supondo agora que as duas torneiras ficaram abertas por n horas, temos a equação: .
Vamos então resolvê-la: .
Este valor de n é o tempo em horas em que as duas torneiras ficaram abertas juntas. Mas isto não é uma forma adequada 
de dar a resposta.
Observe que . Portanto, o tempo em que as duas torneiras ficaram abertas é igual a 4 horas 
mais de hora. Como 1 hora tem 60 minutos, de hora são 12 minutos.
Resposta: a caixa ficou cheia 4 horas e 12 minutos após a abertura da torneira B.
O gráfico ao lado mostra a evolução da produção de grãos em certo 
município brasileiro, em milhares de toneladas. Com base no gráfico, 
determine a produção (aproximada) de grãos desse município no 
ano de 1997.
Solução 1 – Explorando a geometria do gráfico
O gráfico tem a forma de um trapézio retângulo. Os números 27 e 49 estão representando, em uma unidade qualquer, os 
comprimentos de suas bases. A escala horizontal mostra um período de 8 anos (que representaremos por 8a) e o ano de 1997 
corresponde a 5 anos após 1992. Façamos então uma nova figura.
A produção de grãos no ano de 1997 corresponde ao comprimento do segmento 
MN, paralelo às bases do trapézio. Traçando um segmento horizontal AC, temos, 
pela semelhança dos triângulos APN e ACB,
 
Resposta: a produção em 1997 foi de 40,75 mil toneladas de grãos.
Exemplo 6
27
49
1992 2000 anos
Este problema admite ser resolvido de 
diversas maneiras. Vamos mostrar três delas, 
explorando três conteúdos distintos que você 
já estudou nas aulas anteriores.
5a
8a
M
27 27
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A
N
P
C
B
revendo ConCeitos i
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27
8
2
1
Sugestão: escreva N como um produto de uma 
potência de 2 por uma potência de 10.
Você viu três maneiras diferentes de resolver um mesmo problema. Observe que as 
contas foram essencialmente as mesmas nas três abordagens do problema. 
A lição mais importante é que os conteúdos aprendidos são ferramentas diversas que 
têm como objetivo resolver problemas, não só da própria Matemática, como também 
problemas que podem ocorrer no cotidiano. Aprendendo os conceitos matemáticos e 
suas ferramentas, você estará mais capaz de compreender o complexo mundo de hoje.
Resposta: 40,75 mil toneladas de grãos.
Solução 2 – Utilizando a função afim
O fato de que o gráfico dado é uma reta possibilita a utilização da função f(x) = ax + b. Para simplificar os cálculos, vamos 
modificar a escala horizontal. 1992 passa a ser o ano zero, 1997 será o 
ano 5 e 2000, o ano 8. 
Como f(0) = 27, a nossa função tem a forma f(x) = ax + 27.
Como f(8) = 49, temos a . 8 + 27 = 49, o que fornece a = 2,75. 
Assim, a função que fornece a produção no ano x da nova escala é: 
f(x) = 2,75x + 27.
Logo, para x = 5, obtemos f(5) = 2,75 x 5 + 27 = 40,75.
Resposta: a produção em 1997 foi de 40,75 mil toneladas de grãos.
Solução 3 – Usando uma progressão aritmética
Novamente, observando que o gráfico dado é uma reta, podemos utilizar uma progressão aritmética para conhecer os 
valores das ordenadas quando as abscissas estão igualmente espaçadas. Consideremos então a progressão:
1992 a
1
 = 27
1997 a
6
 = ?
2000 a
9
 = 49
Utilizando a fórmula do termo geral da PA, a
n
 = a
1
 + (n – 1)R, temos:
a
9
 = a
1
 + 8R 49 = 27 + 8R R = 2,75.
Isto quer dizer que a produção de grãos cresceu de 2,75 mil toneladas a cada ano. O valor da produção em 1997 é o 
sexto termo dessa progressão:
a
6
 = a
1
 + 5R = 27 + 5 x 2,75 = 40,75.
 Quantos algarismos tem o número N = 232 . 525?
 Uma lanchonete vende hambúrgueres a R$ 3,00 cada um. Sabendo que deste preço é o custo do pão e dos demais 
ingredientes e que corresponde às outras despesas, calcule o lucro obtido na venda de cada hambúrguer.
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
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 As cidades de Quito e Macapá estão situadas sobre o Equador terrestre e suas longitudes são, respectivamente, 
78o e 52o Oeste. Considerando o raio da Terra igual a 6 400 km, qual é a distância entre essas duas cidades?
 Uma caixa-d’água tem uma rachadura no fundo e vaza constantemente, ou seja, perde a mesma quantidade de 
água a cada hora. Por uma escala colada na parede interna da caixa, é possível saber em cada instante a quantidade de 
água que ela contém. Às 6 horas da manhã de determinado dia, a caixa tinha 840 litros e, às 2 horas da tarde desse 
mesmo dia, tinha 720 litros. Determine em que momento a caixa terá apenas 100 litros.
 Em um jardim há 15 roseiras (R), todas alinhadas, e uma torneira(T) também no mesmo alinhamento, como 
mostra o esquema abaixo. A distância entre a torneira e a primeira roseira é de 10 m e as distâncias entre duas roseiras 
vizinhas é de 2 m. Um jardineiro enche um balde com água da torneira, rega a primeira roseira e retorna. Enche 
novamente o balde, rega a segunda roseira e retorna. Ele continua seu trabalho da mesma forma até retornar ao ponto 
de partida depois de regar a última roseira. Qual foi a distância total percorrida pelo jardineiro?
 Um burro e um cavalo caminhavam por uma estrada carregando sacos de igual peso. O burro se queixava da 
vida por achar que estava carregando peso demais. Diz então o cavalo: “Pára de te lamuriar, pois se eu te der um dos 
sacos que levo sobre meu lombo, só aí ficaremos com cargas iguais. Por outro lado, se tu me deres um dos teus, a minha 
carga ficará o dobro da tua”. Diz-me agora, sábio metemático, quantos sacos levava cada um?
6
5
4
3
Este problema é antiqüíssimo. Apareceu pela primeira vez no século 3 
a.C. e a redação do enunciado é bastante próxima da original.
revendo ConCeitos i
É necessário saber conferir e justificar suas respostas e saber ouvir, respeitar e 
prestigiar as idéias e pontos de vista das outras pessoas.
t R R R R … … … … R
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sistemas de 10 grau
Veja um problema que, quando equacionado, leva a um sistema de 10 grau:
Pedro e Paulo são crianças e também são muito amigos. Paulo é bem magrinho e Pedro, além de ser mais velho, é mais “cheinho”. 
Paulo sempre brinca com Pedro a respeito de seu peso, dizendo: “Você deve pesar o dobro de mim!”. Como Pedro sempre fugia na 
Exemplo 1
Já vimos, nas Aulas 11, 12, 13 e 14, a importância da Álgebra na resolução de problemas. Mas 
suas aplicações não param por aí. Às vezes, ao equacionar um problema, surge mais do que 
uma incógnita e também mais do que uma equação. Quando isso acontece, é possível resolver 
o problema usando um sistema de equações. Um sistema de equações é um conjunto de 
equações que têm que ser satisfeitas simultaneamente, ou seja, todas ao mesmo tempo. 
Geralmente um sistema é escrito com uma chave na frente, assim: 
Resolver esse sistema significa encontrar valores de x e y que satisfaçam as duas equações 
simultaneamente. Por exemplo, considerando x = 6 e y = 8 e substituindo esses valores 
nas duas equações, chegamos às igualdades: 
Isso significa que x = 6 e y = 8 é solução desse sistema.
Sistemas aparecem em problemas que têm mais de uma “coisa para descobrir”, ou seja, mais 
de uma incógnita e também mais de uma informação sobre as incógnitas. Cada equação 
representa uma informação. Para resolver o problema, é preciso juntar essas informações de 
maneira correta. Podem existir sistemas com os mais variados tipos de equação. O sistema ao 
lado, por exemplo, é do 20 grau, pois há incógnitas com expoente 2: 
Nesta aula, você vai aprender a resolver sistemas do 10 grau, ou seja, sistemas nos quais 
o expoente das incógnitas é, no máximo, 1.
resolvendo sistemasA
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2
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Para resolver esse sistema, podemos substituir x por 2y na 1a equação: 
Agora há uma equação que só tem uma incógnita (y), e que você já sabe resolver:
Uma vez descoberto o valor de y, para encontrar o valor de x vamos voltar a uma das equações iniciais (por exemplo 
x + y = 72) e substituir nela o valor de y encontrado:
Pronto! Encontramos os valores de x e de y. Está resolvido o sistema. 
É sempre bom, também, verificar se a resposta encontrada está correta. Isso é feito substituindo os valores encontrados 
para x e y nas equações e observando se as igualdades encontradas são verdadeiras. Veja só:
Realmente, as igualdades são verdadeiras e x = 48 e y = 24 são a solução do sistema.
Lembrando então que:
x = peso de Pedro
y = peso de Paulo
Resposta: Pedro pesa 48 kg e Paulo, 24 kg.
hora de se pesar, um dia Paulo propôs que os dois subissem, juntos, na mesma balança. Pedro aceitou, e a balança então marcou 
72 kg. Supondo que Pedro realmente pesasse o dobro de Paulo, descubra o peso de cada um.
Solução
Como fazer para equacionar esse problema? Em primeiro lugar, as incógnitas serão:
x = peso de Pedro
y = peso de Paulo
De acordo com o problema, quando os dois subiram juntos na balança, ela marcou 72 kg, ou seja, a soma de seus pesos 
é igual a 72 kg. Traduzindo isso em uma equação: x + y = 72.
Pedro pesa o dobro de Paulo. Traduzindo novamente: x = 2y.
Agora, são duas equações que têm que ser satisfeitas ao mesmo tempo, ou seja, um sistema de equações: 
Antes de ler a resolução desse sistema, tente, com seus colegas, chegar aos 
pesos de Pedro e Paulo por meio de tentativas ou com a ajuda da Aritmética.
Como no método que usamos para resolver 
esse sistema há a substituição de x por 2y, ele 
é chamado de método da substituição.
Resolva o sistema: 
Solução
Em primeiro lugar, é preciso escolher, em uma das equações, uma incógnita para isolar, ou seja, “deixar sozinha”. Nesse 
sistema, parece que o mais simples é isolar y na segunda equação, pois y está multiplicado apenas por –1. Se você isolar 
o x na segunda equação, por exemplo, vai aparecer um denominador 4 que você vai ter que “carregar” ao substituir.
Exemplo 2
resolvendo sistemas
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3
4
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Por que será que esse método de resolução é chamado de método da adição? 
Pense junto com seus colegas e tente chegar a uma boa razão. Depois, confira 
com seu professor se o que vocês pensaram está correto.
No método da adição, as equações que compõem o sistema podem ser multiplicadas por números diferentes de zero, se 
necessário, e depois somadas. O objetivo desse método é eliminar uma das incógnitas ao efetuar essa soma.
No sistema proposto neste problema, não é necessário multiplicar as equações por número algum. Basta somá-las e a 
incógnita y “desaparecerá”. Veja:
Exemplo 3
O que você acha que é mais fácil de substituir na 1a equação: ?
Claro que y = – 11 + 4 x . Continuando:
Agora, há uma equação com uma só incógnita (x). Resolvendo-a, encontraremos o valor de x:
Substituindo o valor de x em qualquer uma das equações iniciais, encontramos o valor de y: 
Para terminar, verificamos se a solução encontrada está correta:
As duas igualdades são verdadeiras. 
Resposta: a solução do sistema é x = 4 e y = 5.
Encontre dois números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.
Solução
Chame os números desconhecidos de x e y. De acordo com o problema, temos:. a soma é 27, o que nos dá a equação x + y = 27;. a diferença é 3, de onde vem x – y = 3.
Juntando essas duas equações, chegamos ao sistema: 
É claro que o sistema pode ser resolvido pelo método da substituição, mas vamos aproveitá-lo para estudar um outro 
método de resolução, chamado método da adição.
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Antes de continuar, verifique, junto com seus colegas, se essa é mesmo a solução 
do sistema.
Agora, para encontrar o valor de y, basta escolher uma das equações do sistema e substituir o valor encontrado para x.
Resposta: os números são 12 e 15.
Resolva o sistema abaixo:
Solução
Antes de tudo, pense um pouco e escolha qual seria o melhor método para resolver esse sistema.
Se tentássemos resolvê-lo por substituição, para qualquer incógnita em qualquer equação escolhida, surgiria uma 
expressão com denominador, o que dificultaria a resolução do sistema.
Na tentativa de resolução por adição não há, aparentemente, inconveniente algum. Só que a solução não é tão simples 
como no exemplo anterior.
Vejamos: em primeiro lugar, escolhemos uma incógnita para eliminar. O x, por exemplo. Os números que multiplicam 
x nas equações (os coeficientes) são 8 e 5. Vamos então fazer o seguinte: multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda 
por –8. Trocamos o sinal do número 8 para eliminar o x aosomar as equações resultantes. Veja só:
Agora, basta escolher uma das equações, substituir y e encontrar x:
Resposta: a solução do sistema é x = 3 e y = –1.
Antes de continuar, verifique, junto com seus colegas, se essa é mesmo a solução 
do sistema. Tente resolver esse mesmo sistema eliminando a incógnita y. 
A solução do sistema tem que ser a mesma.
Exemplo 4
Ao resolver os sistemas propostos nesta aula, encontramos como solução um valor para x e outro para y. Esses sistemas são 
chamados de possíveis e determinados. possíveis porque têm solução e determinados porque essa solução é única: 
apenas um valor de x e um valor de y satisfazem as duas equações do sistema ao mesmo tempo. Existem, porém, sistemas 
que não são assim. 
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Resolva os sistemas abaixo pelo método que preferir. Lembre-se: mesmo que a resposta não seja a correta, não 
apague seu raciocínio. Deixe-o registrado para que você possa, junto com seus colegas e com o professor, entender 
seu erro e aprender com ele.
 
 
 
Sugestão: Para este sistema, multiplique todos os termos 
da 1a equação por 6, para eliminar o denominadores.
Seu livro deve ser preservado. Responda às questões no caderno.
O caderno é o seu diário de Matemática. Ele deve conter sua história na construção 
dos conhecimentos.
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A pequena Ana Carolina adora juntar moedas em seu cofrinho. Suas moedas 
prediletas (sabe-se lá por que) são as de dez e de cinqüenta centavos. Certa vez, Carla, 
mãe de Ana Carolina, abriu o cofre e contou as moedas de dez e cinqüenta centavos: 
eram umas 100 moedas e, juntas, totalizavam R$ 22,00. Carla já havia guardado 
todas as moedas no cofrinho quando a filha perguntou: “E então, mamãe, quantas 
moedas de cinqüenta eu já tenho?”. Sem paciência de abrir de novo o cofre, separar 
as moedas e recontá-las, Carla resolveu supor que eram 100 moedas e montou um 
sistema para responder à pergunta da filha: chamou de x a quantidade de moedas 
de dez centavos e de y o número de moedas de cinqüenta. Então, supondo que havia 
100 moedas, temos:
x + y = 100
A soma dos valores de todas as moedas era igual a R$ 22,00. Logo:
0,10x + 0,50y = 22
Juntando as duas equações, Carla chegou ao sistema abaixo, que resolveu por adição.
Carla pôde, assim, responder à pergunta da filha. Ana Carolina já tinha 30 moedas 
de cinqüenta centavos. 
sistemas resolvem ProblemasA
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resolvendo Problemas
Em uma festa, havia 40 pessoas. Quando 7 homens saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro do número de 
homens. Quantas mulheres estavam na festa?
Solução:. Número de homens → x. Número de mulheres → y. Havia 40 pessoas na festa 
Que equação resulta disso? x + y = 40.. Havia x homens na festa e saíram 7. Quantos ficaram? x – 7.. O número de mulheres é o dobro do número de homens que ficaram na festa. Que equação pode ser escrita? 
y = 2 . (x – 7).
Juntando as equações obtemos o sistema: 
Resolvendo o sistema por substituição de y = 2 . (x –7) na primeira equação:
Resolvendo a equação:
 
 
Como x é o número de homens, é preciso achar y, que é o número de mulheres. Para isso, basta escolher uma das duas 
equações e substituir x por 18: 
 
Resposta: havia na festa 22 mulheres.
Uma omelete feita com 2 ovos e 30 gramas de queijo contém 280 calorias. Uma omelete feita com 3 ovos e 10 gramas de 
queijo contém as mesmas 280 calorias. Quantas calorias possui um ovo?
Solução
• Calorias de um ovo → x
• Calorias de um grama de queijo → y
• Um grama de queijo possui y calorias. Quantas calorias possuem 30 gramas de queijo? 
30 . y = 30y.
Exemplo 1
Exemplo 2
A caloria é uma unidade de energia. Todos os alimentos fornecem energia, em maior ou menor quantidade. Para 
diversos alimentos, a quantidade de calorias é dada por grama. Isso porque um queijo, por exemplo, pode ser pequeno 
ou muito grande, assim como uma maçã pode ter os mais variados “pesos”.
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.Um ovo possui x calorias. Quantas calorias possuem 2 ovos? 2 . x = 2x..Dois ovos mais 30 gramas de queijo possuem 280 calorias. Que equação podemos escrever? 
2x + 30y = 280..Qual é a outra informação contida no enunciado? Três ovos e 10 gramas de queijo possuem 280 calorias. .Que equação podemos escrever? 3x + 10y = 280. 
Juntando as equações, obtemos o sistema: 
Resolvendo o sistema por adição, “eliminando” y:
 
A velocidade de um automóvel é o número de quilômetros que ele percorre em 
uma hora. De maneira geral, a distância percorrida é igual ao produto da velocidade 
pelo tempo de percurso.
Sabendo-se a distância e a velocidade, para saber o tempo gasto é preciso 
“isolar” o tempo.
Resposta: um ovo possui 80 calorias.
O problema não pediu, mas se quiséssemos saber o número de calorias de um grama de queijo, bastaria substituir o 
valor x = 80 em qualquer uma das duas equações do sistema:
O corpo humano é uma máquina que precisa de “combustível” para funcionar bem. Quando uma pessoa come, a energia 
contida nos alimentos é absorvida pelo corpo. Por outro lado, todas as atividades diárias significam gasto de energia (até 
mesmo dormir!). O ideal é manter um equilíbrio entre a energia consumida (alimentação) e a energia gasta. Quando se 
come mais do que o necessário, a “sobra” de energia é armazenada e vira gordura. Claro que é necessário ter um percentual 
de gordura no corpo, que entre outras coisas serve de reserva de energia.
Geralmente, um homem adulto gasta em média 2 200 calorias por dia. Esse gasto pode ser maior, dependendo da 
atividade física que ele pratica ou do tipo de profissão que tem.
Só para você ter uma idéia da quantidade de calorias, saiba que um pão francês de 50 gramas possui 135 calorias. Um 
prato de arroz, feijão, bife e batatas fritas possui 900 calorias. Já uma feijoada completa, daquelas bem brasileiras, mais 
duas cervejas e mais uma sobremesa de goiabada e queijo acumula um total de 2 180 calorias.
É importante incluir verduras e legumes nas refeições. Eles possuem poucas calorias, mas são ricos em vitaminas e sais 
minerais e ajudam na digestão, já que contêm muitas fibras.
sistemas resolvem Problemas
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. Salgados comprados → x. Refrigerantes comprados → y. Ao todo, foram comprados 5 itens. Que equação pode ser escrita? x + y = 5.. Cada salgado custa R$ 1,20. Quanto foi gasto com x salgados? 1,20⋅x.. Cada refrigerante custa R$ 0,80. Quanto foi gasto com y refrigerantes? 0,80⋅y..Alberto gastou R$ 5,00. Que equação podemos escrever? 1,20 . x + 0,80 . y = 5,00.
Solução:
.Distância percorrida na estrada asfaltada → x .Distância percorrida na estrada de terra → y.João anda x km a uma velocidade de 60km/h. Qual o tempo gasto na estrada asfaltada?
 .João anda y km a uma velocidade de 30km/h. Qual o tempo gasto na estrada de terra?
.João leva duas horas para ir de sua casa até o sítio. Que equação podemos escrever? 
 
Qual é a outra informação contida no enunciado? João percorre 105 km. Que equação podemos escrever? x + y = 105.
Juntando as equações, podemos escrever o sistema: 
Resolvendo o sistema por adição, eliminando x: 
Na cantina da escola, cada salgado custa R$ 1,20 e cada copo de refrigerante sai por R$ 0,80. Alberto comprou, ao todo, 
5 itens, entre salgados e refrigerantes, pagando R$ 5,00. Quantos salgados e quantos refrigerantes Alberto comprou?
Solução
Resposta: a estrada de terra tem 15 quilômetros.
Exemplo 4
Para ir de casa na cidade até o sítio, João percorre 105 km com seu automóvel. A primeira parte do percurso é feita em estrada 
asfaltada, com velocidade de 60 km por hora. A segunda parte é feita emestrada de terra, com velocidade de 30 km por hora. Se 
João leva duas horas para ir de sua casa até o sítio, quantos quilômetros possui a estrada de terra?
Exemplo 3
195
8
9
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2
6
5
4
3
1
Juntando as equações, podemos escrever o sistema: 
Resolvendo o sistema por adição, eliminando x: 
Resposta: o problema não tem solução. 
Observe que o y representa o número de 
refrigerantes comprados e a solução diz que 
Alberto comprou 2,5 refrigerantes. Só que isso 
não é possível, já que o número de refrigerantes 
teria que ser um número inteiro. 
 Dois irmãos têm, juntos, R$ 100,00. Um tem R$ 15,00 a mais do que o outro. Quanto tem cada um?
Um marceneiro recebeu 74 tábuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e outras com 
8mm de espessura. Quando foram empilhadas, atingiram a altura de 50 cm. Quantas tábuas de 8 mm o 
marceneiro recebeu?
Lembrete: 1cm = 10mm
(ufba) Marília retirou R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. 
Calcule quantas notas de R$ 5,00 ela recebeu.
Em uma segunda-feira, uma doceira comprou 3 kg de açúcar e 4 kg de farinha e, no total, pagou R$ 3,20. 
Na quinta-feira, ela comprou 4 kg de açúcar e 6 kg de farinha, pagando R$ 4,50 pelo total da compra. Se 
os preços foram os mesmos, quanto estava custando o quilograma do açúcar? E da farinha?
 
No início de uma prova, a sala estava cheia de estudantes. Algum tempo depois, saíram da sala 15 moças, 
e na sala ficou um número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, saíram 31 
rapazes, e o número de moças ficou igual ao número de rapazes. Quantos estudantes estavam em sala, 
no início da prova?
A distância entre as cidades de Akiperto e Lalonge é de 66 km. Certo dia, às 8 horas da manhã, um 
ciclista saiu de Akiperto, viajando a 10 km por hora em direção a Lalonge. No mesmo dia e no mesmo 
horário, um ciclista saiu de Lalonge, viajando a 12 km por hora em direção a Akiperto.
a) A que distância de Akiperto os dois ciclistas se encontraram?
b) A que horas eles se encontraram?
Agora é sua vez de resolver problemas usando essa importante ferramenta, cujo uso 
também será grande em Física, por exemplo. Então, capriche nos exercícios! Em cada 
problema dado, escolha as incógnitas, escreva suas próprias sugestões para orientação 
e equações. Depois, resolva o sistema. Por último, verifique se a resposta está correta. 
Qualquer dúvida, já sabe: discuta com seus colegas e pergunte a seu professor!
sistemas resolvem Problemas
196
10
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Nas Aulas 31 e 32 você viu como resolver sistemas de equações e como um sistema 
pode ser usado para a resolução de um problema. Com o que você aprendeu, tente 
resolver o problema seguinte.
A Mercearia A, concorrente da Mercearia B, cobrava por uma certa mercadoria o dobro 
do preço cobrado pela outra mercearia. Percebendo que suas vendas estavam 
diminuindo, o dono da Mercearia A decidiu dar um desconto de R$ 10,00 no seu preço. 
O concorrente não perdeu tempo e ofereceu o mesmo desconto. Aí, o dono da Mercearia 
A tomou um susto: seu preço agora era o triplo do preço praticado pela Mercearia B! 
Quanto cada mercearia estava cobrando inicialmente pela mercadoria?
Em primeiro lugar, responda às perguntas abaixo e faça o que se pede:
a) A diferença entre os preços das duas mercearias mudou quando os comerciantes 
resolveram dar o desconto?
b) Qual é o sistema que representa essa situação?
c) Trace no plano cartesiano as retas que representam as duas equações do sistema. 
d) Resolva o sistema e descubra a resposta do problema.
e) Localize no gráfico cartesiano que você fez o ponto que corresponde à solução 
do sistema.
a interseção de retas e a 
resolução de sistemasA
U
L
A
 3
3
visualizando a solução de um Problema 
no gráfiCo Cartesiano
Na Aula 22, você viu que expressões do tipo y = ax + b podem ser representadas no plano cartesiano por uma reta. 
Vamos ver agora o que a representação gráfica dessas expressões tem a ver com a resolução de sistemas.
Toda expressão algébrica do primeiro grau pode ser representada por uma reta. Um sistema de equações do primeiro 
grau com duas equações a duas incógnitas também pode ser representado num plano cartesiano. 197
1
2
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Vamos retomar o problema de Pedro e Paulo estudado na Aula 31. Os dois juntos pesam 72 kg. O peso de Pedro é o dobro 
do peso de Paulo. Qual o peso de cada um dos dois meninos?
Solução:
Para resolver esse sistema, fazemos:.peso de Paulo: x.peso de Pedro: y
O sistema que representa essa situação é: 
Vamos reescrever o sistema, isolando uma das incógnitas no primeiro membro das equações. Neste caso, escolhemos 
a incógnita y para isolar. O sistema fica assim: 
Vamos fazer uma tabela para cada uma das equações e representá-las no plano cartesiano. Como estamos tratando do 
peso dos meninos, não podemos usar números negativos.
1a equação: y = 72 – x
 
2a equação: y = 2x
 
x y = 72 – x (x;y)
12 60 (12; 60)
24 48 (24; 48)
40 32 (40; 32)
48 24 (48; 24)
x y = 2x (x;y)
6 12 (6; 12)
12 24 (12; 24)
20 40 (20; 40)
24 48 (24; 48)
As representações das duas equações são semi-retas, pois não é possível 
considerar valores negativos para x e y, pois representam o “peso” dos meninos.
Exemplo 1
A reta r é constituída por todos os pontos que satisfazem a equação y = 72 – x e a reta s representa todos os 
pontos que satisfazem a equação y = 2x. O ponto p, que representa o par ordenado (24; 48), é comum às duas 
retas, portanto suas coordenadas satisfazem, ao mesmo tempo, as duas equações. Ele representa, no plano cartesiano, 
a solução do sistema. 
Resposta: Paulo pesa 24 kg e Pedro pesa 48 kg. 
Um vendedor comprou dois tipos de vassouras: de piaçaba e de plástico. Ele comprou 36 vassouras, e o número de vassouras de 
plástico é o triplo do número de vassouras de piaçaba. Quantas vassouras ele comprou de cada tipo?
Exemplo 2
a interseção de retas e a resolução de sistemas
198
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0
y = 36 - x
x
r
s
y = 3x
y
solução
(9;27)P
36
30
27
18
6 912
x
y x = y - 5
5
- 5 0
6
6
r
s
y = x - 6
x
y
s
0
1 2
5
- 3
- 4
- 5
r
y = r - 5
10 + 2 y = 2 x
24
resolvendo sistemas a Partir 
da interseção de retas
Represente graficamente a solução do sistema 
Exemplo 3
No gráfico, a reta r representa a equação y = 36 – x. Já a reta s representa a equação y = 3x. Observe que o 
ponto P que representa o par ordenado (9; 27) pertence às duas retas simultaneamente. O par ordenado (9; 27) 
satisfaz as duas equações. O ponto P é comum às duas retas, logo é a interseção das retas r e s. O ponto P representa 
a solução do sistema.
Logo, x = 9 e isso quer dizer que foram compradas 9 vassouras de piaçaba, e y = 27, o que significa que foram 
compradas 27 vassouras de plástico.
Solução
Primeiro, é preciso “traduzir” o problema, usando a linguagem matemática.
• Número de vassouras de piaçaba: x
• Número de vassouras de plástico: y
O sistema que representa essa situação é 
Isolando a incógnita y no primeiro membro das equações, esse sistema pode ser escrito assim: 
Resolvendo esse sistema pelo método de substituição, temos: 
Substituindo o valor de x na segunda equação, temos: y = 3 . 9 y = 27
Resposta: foram compradas 9 vassouras de piaçaba e 27 vassouras de plástico.
Agora, vamos visualizar essa situação com auxílio de um gráfico cartesiano. Como você já viu, é necessário fazer uma 
tabela para cada equação para, depois, fazer o gráfico.
1a equação: y = 36 – x
2a equação: y = 3x
x y = 36 –x (x;y)
 0 36 (0; 36)
 6 30 (6; 30)
 9 27 (9; 27)
12 24 (12; 24)
x y = 3x (x;y)
 0 0 (0; 0)
 6 18 (6; 18)
 9 27 (9; 27)
12 36 (12; 36)
 Antes de prosseguir, faça o Exercício 1.
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Solução
Vamosreescrever o sistema, isolando a incógnita y no primeiro membro de cada equação: 
Fazendo as tabelas para representar as duas equações num mesmo gráfico, temos:
1a equação: y = 2 – x
x y = 9 – x (x;y)
2 7 (2;7)
5 4 (5;4)
Solução
Vamos reescrever o sistema, isolando uma incógnita no primeiro membro de cada equação: 
Agora, representaremos num mesmo gráfico as duas equações.
Lembre-se de que para traçar uma reta basta que se conheçam dois pontos distintos dessa reta. Então, daqui por diante, 
vamos determinar dois pontos de cada reta e traçá-la. Para isso, antes, faremos uma tabela para cada equação.
1a equação: y = 9 – x
x y = 2 x – 3 (x;y)
1 –1 (1;–1)
4 5 (4;5)
y = 2 x 2
solução
y = 9 - x
x
P
y
7
5 (4;5)
4
2
0
-1
1 2 4 5
_
As duas retas se interceptam no ponto P, que 
corresponde ao par ordenado (4; 5). 
Resposta: x = 4 e y = 5 é a solução do sistema.
Exemplo 4
2a equação: y = 2x –3
Para resolver graficamente um sistema de equações do primeiro grau você deve ter um cuidado especial na graduação 
dos eixos cartesianos. O uso de papel milimetrado facilitará bastante seu trabalho. De uma boa graduação e de uma 
construção cuidadosa do gráfico dependem a visualização do ponto que representa a solução do sistema e a identificação 
de suas coordenadas, ou seja, dos valores de x e de y que correspondem a esse ponto. A verificação da solução é 
indispensável! Você pode substituir os valores encontrados para as incógnitas no sistema ou resolver algebricamente 
o sistema para verificar se a solução gráfica encontrada é verdadeira.
Represente graficamente o sistema ao lado e encontre a solução: 
 x y = 2 –x (x;y)
 2 0 (2; 0)
 4 –2 (4; –2)
a interseção de retas e a resolução de sistemas
Substitua os valores encontrados para x e y no sistema e verifique se realmente 
essa é sua solução.
200
3
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2a equação: y = 3x
As duas retas se interceptam no ponto P (0,5; 1,5). 
Resposta: x = 0,5 e y = 1,5 é a solução do sistema. 
x y = 3x (x;y)
1 3 (1;3)
2 6 (2;6)
Verifique a veracidade dessa solução.
2
5
4
3
1 Em um estacionamento, havia carros e motocicletas, num total de 43 veículos e 150 rodas. Quantos eram os 
carros e as motocicletas estacionados?
Sugestão
Para traduzir o problema para a linguagem algébrica, faça:
• Número de carros: x total de rodas dos carros: 4x
• Número de motocicletas: y total de rodas das motocicletas: 2y
Escreva o sistema e construa o gráfico para encontrar a solução.
 Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos. 
Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu 1 ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 
130 pontos, quantas perguntas ele acertou?
 Pedro e Paulo têm juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo, ficarão com quantias iguais. Quanto 
cada um deles tem?
 Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7.
 Represente graficamente a solução de cada um dos sistemas abaixo:
 
y = 3 x 
solução
y = 2 – x
x
P
y
(0,5; 1,5)
6
3
1,5
0
–2
0,5 1 2 4
 
O desenvolvimento de cada problema deve 
ser registrado em seu caderno.
201
4
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A associação de moradores terminou a construção da creche comunitária em um 
terreno de esquina que tem 20 m de largura por 30 m de comprimento. Como 
sobraram 72 m2 de piso de cerâmica, ficou resolvido que esse material seria usado 
para fazer uma calçada. O difícil era descobrir a largura da calçada. Fizeram um 
desenho como o que você vê aqui e representaram a largura desconhecida por x.
Observe o desenho:
Será que a Matemática pode 
ajudar a resolver esse pro-
blema? Em primeiro lugar, é 
necessário escrever o problema 
em linguagem matemática. 
Como você observa na figura, a 
calçada pode ser dividida em 3 
partes: 2 retângulos e 1 um quadrado de lado x. A área total da calçada deve ser 72 m2, 
pois a idéia é utilizar todas as cerâmicas que sobraram. Assim, temos a igualdade:
x2 + 20x + 30x = 72 x2 + 50x = 72, onde x é a largura da calçada. 
A solução dessa equação resolve o problema. Se fosse uma equação do 10 grau, você 
já saberia como resolvê-la. Como lidar com este novo tipo de equação?
a equação do 2o grauA
U
L
A
 3
4
x
x
terreno 20 m
x
30 m
reConheCendo equações do 2o grau
Muitas vezes, ao escrever um problema em linguagem matemática, usando a Álgebra, obtém-se uma equação na qual 
a incógnita aparece elevada ao quadrado. São as chamadas equações do 2o grau. 
x2 – 6 = 0 2x2 = 10x 3x2 – 5x + 6 = 0
Examinemos a equação 3x2 – 5x + 6 = 0. Lembre-se que 3x2 significa 3 × x2, que também pode ser escrito como 
3 . x2. O número 3 é o coeficiente de x2. Da mesma forma, o número –5 é o coeficiente de x. O número 6 é chamado 
de termo independente.202
1
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Discuta com seus colegas por que o número 9 foi escolhido para ser somado aos 
dois membros da equação. 
Exemplo 1
Importante: o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero, porque se ele fosse igual a zero, o termo com x2 seria 0 × x2, 
que é igual a zero, e a equação se transformaria na equação 5x + 6 = 0, uma equação do 1o grau.
Para trabalhar com a equação do 2o grau em Álgebra, é usual escrevê-la como ax2 + bx + c = 0, onde:. o número a é chamado de coeficiente de x2;. o número b é chamado de coeficiente de x;. o número c é chamado de termo independente.
Para você se acostumar com essa nomenclatura, observe os valores de a, b e c em um exemplo. Na equação x2 – 5x + 6 = 0, 
temos a = 1, b = –5 e c = 6.
Nesta aula, você vai aprender a resolver equações do 2o grau, ou seja, encontrar os números que, colocados no lugar 
da incógnita e após efetuadas as operações, tornam a igualdade verdadeira. Esses números são chamados de soluções 
ou raízes da equação.
Considere a equação: x2 – 5x + 6 = 0. O que acontece se substituirmos a incógnita x pelo número 1?
Solução
1 – 5 + 6 = 0
2 = 0 errado
Percebemos que 1 não é uma solução dessa equação, pois não torna a igualdade verdadeira. Veja agora o que acontece se 
substituirmos a letra x pelo número 2: 22 – 5 . 2 + 6 = 0
Vemos, assim, que 2 torna a igualdade verdadeira. Assim, 2 é uma solução (ou raiz) dessa equação. Será que existem 
outras soluções desta equação? Como encontrá-las?
Como primeiro passo no estudo das equações do 2o grau, vamos pensar um pouco sobre a resolução da equação 
(x – 3)2 = 16. Quais os números que, elevados ao quadrado, resultam em 16? Os números 4 e –4. Como 
(x – 3)2 = 16, temos que:.se x – 3 = 4, então x = 4 + 3 = 7
 ou .se x – 3 = –4, então x = –4 + 3 = –1.
Resposta: vemos assim que a equação tem duas raízes: x = 7 e x = 1.
Resolva a equação: x2 + 6x = 7
Solução
Observe atentamente a solução. Vamos começar com algo que, a princípio, pode parecer misterioso: vamos somar 9 
aos dois membros da equação.
Somando 9 ao 1o membro: x2 + 6x + 9 = x2 + 3x + 3x + 9 = (x + 3)2
Somando 9 agora ao 2o membro, temos: (x + 3)2 = 16
Esta equação você já sabe como resolver: . se x + 3 = 4, então x = 4 – 3 = 1. se x + 3 = –4, então x = –4 – 3 = –7.
Logo, a equação tem duas soluções: x = 1 e x = –7.
Exemplo 2
4 –10 + 6 = 0 
10–10=0
203
2
3
4
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Vamos voltar agora ao problema da calçada da creche, aquele do início desta aula.
A equação que resolveria o problema é:
x2 + 50x = 72 x2 + 2 . 25 . x = 72
Somando 252 aos dois membros da equação, temos:
x2 + 50x + 625 = 72 + 625 x2 + 50x + 625 = 697 (x + 25)2 = 697
Com a ajuda de uma máquina de calcular, verificamos que é aproximadamente igual a 26,4; então as 
soluções são: x = 26,4 – 25 = 1,4 e x = –26,4 – 25 = –51,4. Como neste problema x representava a medida da 
largura da calçada, só nos interessa a solução positiva. 
Resposta: a largura da calçada deve ter1 metro e 40 centímetros aproximadamente.
Será que o método algébrico apresentado acima permite mesmo resolver qualquer equação do 20 grau? No fim do 
capítulo há exercícios para você resolver, utilizando o que aprendeu nesta aula. Lembre-se:.Tente resolver cada equação antes de ler a solução proposta no livro. Se você ou algum colega chegar a um 
encaminhamento diferente, discutam o que fizeram, para se convencerem de que a solução proposta está certa..Nunca se esqueça de verificar se seu resultado está certo. Como fazer isso? Substitua os valores achados para 
x na equação e veja se a igualdade se verifica!
3x2 + 5x + 1 = 0
Solução
Como o coeficiente de x2 é 3, dividimos todos os termos da equação por 3: 
Somamos aos dois membros da equação: 
Agora, é preciso acrescentar aos dois membros da equação um número capaz de transformar o 1o membro em um 
quadrado perfeito. Para fazer isso, elevamos ao quadrado a metade do coeficiente de x: 
.metade do coeficiente de 
.elevando ao quadrado: 
desCobrindo a forma de resolver 
equações do 2o grau
Existe uma forma mais prática de resolver qualquer equação do 2o grau. Este processo torna a resolução mais rápida e 
permite o uso mais eficiente da máquina de calcular para obter as raízes da equação.
Inicialmente, vamos resolver mais uma equação do 2o grau para recordar o método desenvolvido até aqui. Observe 
cuidadosamente todos os passos porque eles serão os mesmos que utilizaremos no caso geral.
Exemplo 3
a equação do 2o grau
204
3
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o Caso geral: a solução da equação 
ax2 + bx + c = o
Acompanhe com muita atenção o desenvolvimento que será feito, comparando-o com o exemplo que você acabou 
de estudar. Veja que os passos são exatamente os mesmos.
1. Como o coeficiente de x2 é a, dividimos todos os termos da equação por a. 
2. Somamos aos dois membros da equação: 
3. Para transformar o 1o membro da equação em um quadrado perfeito, elevamos ao
quadrado a metade do coeficiente de x e somamos este valor aos dois membros da equação:
.metade do coeficiente de 
.elevando ao quadrado: 
Temos, então: 
Observando que o 1o membro é agora um quadrado perfeito, podemos escrever: 
Temos, então: 
Ou ainda: 
Observamos que o 1o membro é agora um quadrado perfeito: 
 
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da equação: 
Deixamos a letra x isolada no lado esquerdo para obter as duas soluções.
Resposta: 
205
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Igualando os denominadores do 2o membro:
 
4. Extraímos a raiz quadrada dos dois lados da equação: 
5. Deixamos a letra x isolada no lado esquerdo para obter as duas soluções: ou 
. Esta é a fórmula procurada.
Veja agora outros exemplos de equações do 2o grau. Reveja o que 
você acabou de estudar e tente, juntamente com seu grupo, achar as raízes
 antes de ver as soluções. 
Exemplo 4
2x2 – 7x + 3 = 0
Solução
Temos que a = 2, b = –7 e c = 3. Substituindo na fórmula , teremos: 
 
Resposta: as soluções são portanto: 
–x2 + 16x – 64 = 0
Solução
Temos que a = –1, b = 16 e c = –64. Logo, 
Como , esta equação só possui uma solução. 
Resposta: .
5x2 – 4x + 1 = 0
Solução
Como a = 5, b = –4 e c = 1, então:
Exemplo 5
Exemplo 6
a equação do 2o grau
206
5
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Como você já estudou, no conjunto dos números reais não existem raízes quadradas de números negativos. 
Assim:
Resposta: esta equação não tem solução real.
quando uma equação do 2o grau 
Possui solução
Na fórmula para a solução da equação do 20 grau, vemos que dentro da raiz quadrada existe o número b2 – 4 ac. Esse 
número é chamado de discriminante da equação e geralmente é representado pela letra grega (delta). Usando 
essa nova letra, temos que as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são: , onde 
 = b2 – 4ac.
Veja agora que, se o número for positivo, encontramos duas raízes diferentes. Se for zero, encontramos um só 
valor para a raiz. Se for negativo, a equação não terá solução. Por quê?
Dada a equação ax2 + bx + c = 0, temos:.para > 0, a equação tem duas soluções reais;.para = 0, a equação tem uma solução real;.paraEntão: 
Se João escolher 7,79 metros para o comprimento do galinheiro, sua largura será: y = 11 – x = 11 – 7,79 = 3,21 
metros. Se o comprimento do galinheiro for 3,21 metros, a largura será 7,79 metros.
Problemas do 2o grau
210
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Se a segunda equação fosse x + y + x = 18, a solução seria a mesma? Verifique 
isso com seus colegas.
Juntos, dois quadrados ocupam uma área de 117 m2 . O lado de um deles tem 3 m a mais que o do outro. Quanto mede o 
lado do quadrado maior ?
Solução
Vamos representar o lado do quadrado 
menor por x e o lado do quadrado maior 
por x + 3, já que o lado do quadrado 
maior tem 3 m a mais que o menor.
Exemplo 2
Área : x Área : (x + 3)
x + 3
2 2
x
A área dos dois quadrados juntos é de 117 m2. Então: x2 + (x + 3)2 = 117.
Como (x + 3)2 = x2 + 6x + 9, temos:
x2 + x2 + 6x + 9 = 117 2x2 + 6x – 108 = 0
Já que a = 2, b = 6 e c = –108, temos:
Como a medida do lado de um quadrado não pode ser expressa por um número negativo, a única solução que nos 
interessa é x = 6.
Resposta: o lado do quadrado menor mede 6 m e o lado do quadrado maior mede 9 m. 
Pedro comprou um certo número de camisetas (todas iguais) para dar a seus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, 
passando por outra loja, viu a mesma camiseta em promoção, R$ 2,00 mais barata. Desta vez, comprou uma camiseta a mais 
do que na compra anterior e gastou R$ 90,00. Quantas camisetas Pedro comprou ao todo?
Solução
Primeiro, é preciso dar nome às nossas incógnitas, isto é, àquilo que não é conhecido no problema. Não se sabe quantas camisetas 
João comprou da primeira vez. Vamos então chamar essa quantidade de x. Também não sabemos o preço da camiseta na 
primeira compra. Vamos chamar esse preço de y. Desta forma, na segunda compra, João comprou x + 1 camisetas e o 
preço de cada uma é y – 2, ou seja R$ 2,00 a menos. Podemos então resumir o que temos no quadro abaixo:
Compra No de camisetas Preço Total gasto
1a compra x y 96
2a compra x + 1 y – 2 90
Multiplicando o número de camisetas pelo preço de uma delas, teremos o total gasto em cada compra. Logo, as equações 
são as seguintes: 
Exemplo 3
211
3
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 211 3/5/2008 18:10:47
2 x2 – 4x – 96 = 0 x2 _ 2x _ 48 =0
Logo: x = 8 ou x = _ 6
Lembre-se de que x representa o número de camisetas que Pedro adquiriu na primeira compra. Logo, esse número 
não pode ser –6. Concluímos que x = 8, ou seja, Pedro comprou 8 camisetas na primeira compra. Na segunda compra 
ele adquiriu uma camiseta a mais, ou seja, 9 camisetas.
Resposta: o número total de camisetas compradas é 8 + 9 = 17.
Os convidados que participaram de uma festa trocaram apertos de mãos. Um dos garçons notou que foram 190 cumprimentos 
e que dos convidados eram mulheres. Quantos homens estavam presentes ?
Solução
Se o número total de pessoas presentes à festa é x, cada pessoa dá x – 1 apertos de mãos. Lembre-se que quando, por 
exemplo, Ana aperta a mão de Augusto, Augusto também aperta a mão de Ana, logo, estes dois apertos de mãos devem 
ser considerados apenas uma vez.
Portanto: .
 
Isso porque x(x – 1) representa o total de apertos de mãos contando duas vezes cada cumprimento entre duas pessoas.
 .
Já que a = 1, b = –1 e c = –380:
Como o número de convidados não pode ser negativo, 20 convidados participaram da festa. E ainda, como dos 
convidados eram mulheres, eram homens. 
Resposta: estavam presentes na festa 5 homens.
Exemplo 4
Vamos inicialmente desenvolver a segunda equação, aplicando a distributividade:
(x + 1) (y – 2) = 90 xy – 2x + y – 2 = 90
Como a primeira equação nos informa que xy = 96, temos: 96 – 2x + y – 2 = 90 
Ou seja: y = 2x – 4.
Substituindo o valor de y na primeira equação: xy = x(2x – 4) = 96, donde obtemos a equação:
Problemas do 2o grau
212
4
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 212 3/5/2008 18:10:47
Trabalhando em grupo, tentem resolver os problemas a seguir. Verifiquem 
se todos seguiram o mesmo caminho para a resolução. Os problemas podem 
permitir o uso de caminhos diferentes para a sua solução. Não esqueça 
de verificar se as soluções fazem sentido no problema proposto.
7
6
5
4
3
2
1 Com uma corda de 10 m de comprimento, José deseja cercar uma área retangular de 5 m2. Quais as medidas 
dos lados desse retângulo ?
 Um terreno retangular tem 50 m2 de área. Diminuindo seu comprimento em 3 m e aumentando sua largura em 
2 m, o terreno transforma-se em um quadrado. Qual é a área desse quadrado? 
Sugestão: faça um desenho representando o terreno.
 Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que três delas são mulheres. A conta, de R$ 72,00, 
foi inicialmente dividida entre todos, mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres não deveriam pagar. 
Então cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi paga. Quantas pessoas havia no grupo ?
Sugestão: I) Escolha as seguintes incógnitas:
 x = número de pessoas do grupo
 y = valor que cada um deveria pagar
 II) Siga as seguintes etapas:
a) Se a conta foi de R$ 72,00, qual é a primeira equação ?
b) Se existem 3 mulheres no grupo, como representamos o número de homens do grupo?
c) Se, no pagamento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00, qual é a 2a equação ?
 Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:
 
Imagine que 480 soldados estão formados, arrumados em linhas e colunas. 
O número de linhas é 4 unidades maior que o número de colunas. Quantas são as 
linhas e colunas dessa formação ?
 Um grupo de amigos resolveu fazer uma excursão. A despesa total será de R$ 3 600,00. Como 6 pessoas não 
poderão ir ao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos são esses amigos ?
 Ao dividir –4 por um certo número x, Maria distraiu-se e em vez da divisão fez a adição. Ao refazer os cálculos, 
ficou espantada ao perceber que obtivera o mesmo resultado de antes. Foi muita coincidência, mas isso acontece para 
um valor de x. Descubra qual é ele.
 
 Determine a medida do lado de um quadrado em que o número que representa a área excede o número que 
representa o perímetro em 5 unidades. 
213
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 213 3/5/2008 18:10:47
Pedro amarrou os dois extremos de uma corda, obtendo um laço de 12 m. Começou a 
brincar com o laço e percebeu que poderia formar vários retângulos diferentes.
Tente imaginar outros retângulos que poderiam ser formados com essa corda de 12 m. 
Qual será o perímetro do retângulo que tem 1 m de largura e 5 m de comprimento? 
Qual será a área desse retângulo?
Complete a tabela abaixo. Os retângulos 1, 2 e 3 são os que Pedro percebeu e estão 
exemplificados acima. Os retângulos 4 e 5 seriam outros inventados por você.
 
 
O que acontece com o perímetro quando mudamos as dimensões do retângulo? 
E com a área?
A
U
L
A
 3
6
Retângulo Comprimento Largura Perímetro Área
1 5 1 2 x 5 + 2 x 1 =12 5 x 1 = 5
2 4,5 1,5 
3 3 3 
4 
5 
generalizando
Considere agora um retângulo genérico que poderia ser formado com o laço de 
12 m. A largura será representada por x. Como em qualquer retângulo, os lados 
opostos têm a mesma medida. O comprimento será 
função do 20 grau e seu gráfiCo
6 _x
x
A área deste retângulo é expressa por A = x . (6 – x) = 6x – x2. O valor da área depende do valor de x, ou seja, como 
já foi estudado na Aula 25, a área A é função de x, e assim podemos escrever: A (x) = –x2 + 6x. 
laço de 12m
1
5m
3m4,5m
1,5
3
214
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 214 3/5/2008 18:10:47
Este tipo de função é chamada de função polinomial do 2o grau ou função quadrática, já que a variável x tem 2 (dois) 
como maior expoente: 
A função polinomial do 2o grau é representada pela fórmula y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números conhecidos e 
a é diferentede zero. Veja alguns exemplos:
Construindo o gráfiCo
Vamos atribuir a x alguns valores e calcular os valores correspondentes da área A. Observe:
 Se x = 0, então A(x) = –02 + 6 x 0 = 0
 Se x = 0,5, então A(x) = –0,52 + 6 x 0,5 = 2,75
 Se x = 1, então A(x) = –12 + 6 x 1 = 5
Continuando esse trabalho, podemos organizar uma tabela com diversos pontos. Escolhemos valores de x entre 0 e 6.
 Atenção!
 Para x = 0 e x = 6, o retângulo não existe e não tem sentido calcular sua área.
Assinalando no gráfico cartesiano cada um desses pontos, você tem uma primeira idéia do comportamento dessa 
função. Veja:
Para visualizar melhor o gráfico da função A(x) = x2 + 6x, 
podemos aumentar a tabela para obter mais pontos. 
O resultado você vê na figura ao lado, que já mostra o gráfico 
da função entre x = 0 e x = 6:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
x y
0 0
1 5
0,5 2,75
1,5 6,75
2 8
2,5 8,75
3 9
3,5 8,75
4 8
4,5 6,75
5 5
5,5 2,75
6 0
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
É bom lembrar que esse desenho é apenas parte do gráfico 
da função. Para valores de x menores que 0 ou maiores do 
que 6, os valores calculados para A(x) serão sempre negativos 
e portanto o gráfico continuará abaixo do eixo X.
215
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 215 3/5/2008 18:10:47
Exemplo 1
Exemplo 2
Um menino, em cima de um muro, rega as plantas com 
um jato de água que descreve uma curva com a forma de 
uma parábola.
O gráfico ao lado é uma curva muito importante em 
Matemática, a parábola. Ela está presente em várias 
situações cotidianas. 
Imagine um forte antigo, com canhões preparados 
para atirar em navios inimigos que se aproximassem. 
Um navio se aproxima e um canhão dá um tiro. A 
trajetória da bala descreve aproximadamente uma 
parábola. Se não houvesse a resistência do ar, a bala 
do canhão descreveria exatamente uma parábola.
Galileu Galilei (1564–1642), da cidade de Pisa, na Itália, é considerado o fundador do método experimental em Ciência. 
Estudou a queda dos corpos e construiu um telescópio. Defendeu o sistema de Copérnico e foi condenado pela Igreja 
por suas idéias.
a ConCavidade
Considere a seguinte função:
y = x2 – 2x – 3
Vamos organizar uma tabela, atribuindo a x alguns valores e calculando os valores correspondentes de y.
 x y
– 2 5
– 1 0
 0 – 3
 1 – 4
 2 – 3
 3 0
 4 5
Y
X0 6
parábola
Y
5
– 2 –1 1 2 3 4
– 3
– 4
X
função do 2o grau e seu gráfiCo
216
2
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 216 3/5/2008 18:10:49
os zeros da função Polinomial do 
20 grau (ax2 + bx + c = 0)
Os zeros de uma função são os pontos em que seu gráfico corta o eixo X, isto é, quando y = 0. Na função do 20 grau 
y = ax2 + bx + c, se y = 0, tem-se a equação ax2 + bx + c = 0, que é uma equação do 2o grau (estudada na Aula 34). 
Podem então ocorrer três casos:
1. A equação tem duas raízes diferentes. A parábola 
corta o eixo dos X em dois pontos distintos.
2. A equação tem apenas uma raiz. A parábola é 
tangente ao eixo dos X. 
3. A equação não tem raízes. A parábola não 
corta o eixo dos X.
x x x1 2
x
o CoefiCiente C
Já vimos onde a parábola pode cortar o eixo dos X (horizontal). E o eixo dos Y (vertical) ? 
Neste caso, é preciso considerar x = 0 na função y = ax2 + bx + c. Teremos então y = c. 
x x
1
Esse gráfico tem exatamente a mesma forma daquele encontrado no início da aula, com uma diferença: está em 
outra posição.
Essa parábola tem a concavidade voltada para cima, enquanto que a mostrada no início da aula tem a concavidade 
voltada para baixo.
Antes de construir o gráfico da função y = ax2 + bx + c, é possível saber como será sua concavidade. Basta observar o 
sinal do coeficiente a:
. se a > 0 (positivo), a concavidade estará 
voltada para cima:
. se a 0) ou máximo (se asegundos.
Se quisermos renovar a água de uma piscina, inicialmente devemos drenar a água suja e, em seguida, encher a piscina 
novamente. O volume de água da piscina é função do tempo que se consome para esvaziá-la e enchê-la novamente. Uma 
lei para essa função no caso de uma certa piscina é n = 18 000 –1 200t + 20t 2, sendo que n representa o número de 
galões de água contido na piscina e t o tempo gasto em minutos para esvaziá-la e enchê-la novamente. Se a piscina estiver 
completamente vazia, em quanto tempo estará cheia novamente?
O galão é uma unidade de capacidade usada nos Estados Unidos e vale aproximadamente 4,54 litros. As latas grandes 
de tinta contêm um galão de tinta.
A função que temos é n = 18 000 – 1 200t + 20t2, onde a = 20, b = – 1 200 e c = 18 000.
Como a é positivo, a concavidade da parábola estará voltada para cima.
Resolvendo a equação n = 18 000 – 1 200t + 20t2 para n = 0, obtemos t = 30 . Então (30; 0)será o ponto em 
que a parábola intercepta o eixo X.
O vértice será o ponto: 
 
 
Exemplo 4
Observe que o domínio da função é [0 ; 10] e o conjunto imagem é [0 ; 250].
Caso você tenha esquecido estes conceitos (domínio e conjunto imagem de função), faça uma revisão da 
Aula 23.
Solução
A ordenada do vértice é: 
Logo, o vértice será o ponto (5; 250).
Resposta: o gráfico da função dada será: 
0 30 60
n
Eixo de simetria
18.000
t
Portanto, o gráfico da função dada será:
Resposta: a piscina estará cheia novamente 30 minutos depois que ficou totalmente vazia.
O domínio da função é [0;60]e o conjunto imagem é 
[0;18 000]. O vértice da parábola é o ponto (30; 0), 
e como o eixo de simetria passa pelo vértice, concluímos 
que a piscina estará cheia novamente 30 minutos depois 
que ficou totalmente vazia.
função do 2o grau e seu gráfiCo
220
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 220 3/5/2008 18:10:49
2
1
3
 Faça o gráfico das funções abaixo e depois determine as imagens destas funções.
a) y = x2 – 2x – 8
b) y = – 2x2
c) y = – x2 – 3
 O gráfico abaixo representa a função y = ax2 + bx + c
Determine:
a) as coordenadas do vértice
b) o valor de c
c) os valores de a e b 
d) a lei que define a função
e) o valor de y , para x = –1
 A bala lançada por este canhão descreve uma parábola 
de equação y = 100 x – 2x2.
Determine, em metros:
a) o alcance do lançamento (AB)
b) a altura máxima atingida (CD)
0
y
5
4
3
2
1
x1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
Mais importante do que simplesmente dar a resposta correta, são os caminhos da 
solução e as justificativas, o que você deve sempre registrar no seu caderno.
221
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 221 3/5/2008 18:10:51
Observe a figura abaixo:
O que você vê é uma parábola e, como foi estudado 
na aula passada, este tipo de curva representa grafi-
camente as funções polinomiais do 20 grau. A figura 
nos traz várias informações sobre a parábola: sua 
concavidade, em que pontos ela corta o eixo X, 
em que ponto corta o eixo Y, seu vértice etc.
Será que com estas informações você seria capaz 
de descobrir que função é essa? Qual sua lei de 
formação? Se é uma função polinomial do 20 grau, 
será definida por y = ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais, com a 0. Que 
valores terão a, b e c nesta função? Determinar estes valores é descobrir qual é a 
função representada no gráfico.
Na aula passada, você aprendeu a construir o gráfico de funções polinomiais do 20 grau. Era 
fornecida a lei de correspondência da função e portanto os valores de seus coeficientes 
a, b e c. Você determinava os pontos notáveis da parábola ou gerava uma tabela de 
pontos, e o gráfico era construído. Que tal seguir o caminho contrário? Dado o gráfico 
de uma função quadrática, você conseguiria determinar sua lei de formação?
variação do sinal da 
função do 2o grauA
U
L
A
 3
7
0
y
x
s
-
-1
1
3
-3
-4
utilizando um sistema de equações Para 
determinar a lei de formação da função
Observando o gráfico acima, você pode verificar que:.quando x = 0, y = –3;.quando x = 3, y = 0;.quando x = 1, y = –4 etc.
Como y = ax2 + bx + c : a . 02 + b . 0 + c = –3, logo c = –3222
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 222 3/5/2008 18:10:51
Solução
Como já sabemos, em geral: x
1
 + x
2
 = – e x
1
 . x
2
 = .
No exemplo: x
1
 + x
2
 = 4 = – .
Temos ainda que: x
1
 . x
2
 = 3 = .
Destas duas igualdades, concluímos: – b = 4a e c = 3a.
Da equação II, temos que a = –1 – b.
Substituindo esta expressão na equação II:
Logo y = x2 – 2x – 3.
Felizmente, existe uma forma menos complicada para descobrir a lei de formação da função. Antes, porém, vamos 
saber um pouco mais sobre as funções quadráticas.
soma e Produto das raízes de uma 
equação do 2o grau
Seja a função y = ax2 + bx + c, a 0.
Como já foi estudado anteriormente, os zeros da função polinomial do 2o grau são as soluções da equação 
ax2 + bx + c = 0. Chamando de x
1
 e x
2
 as raízes da equação, temos: 
Somando x
1
 e x
2
: x
1
 + x
2
 
 
Multiplicando x
1
 e x
2
: x
1
 . x
2 
Substituindo por b2 – 4ac: x
1
 . x
2
 = 
Resumindo: se x
1
 e x
2
 são as raízes de ax2 + bx + c = 0, então: x
1
 + x
2
 = – e x
1
 . x
2
 = .
Exemplo 
1Determine a equação do 2o grau cuja soma das raízes é 4 e o produto é 3.
Exemplo 1
223
2
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 223 3/5/2008 18:10:51
A equação será: ax2 + (– 4a)x + 3a = 0.
Em uma equação do segundo grau, é obrigatório que a 0. Assim, é possível dividir essa equação por a e obter a 
equação procurada: 
Resposta: x2 + (– 4)x + 3 = x2 – 4x + 3 = 0.
forma fatorada da função quadrátiCa
Seja a função y = ax2 + bx + c, a 0.
Dividindo os dois membros da igualdade acima por .
Como – é igual à soma dos zeros da função (raízes da equação ax2 + bx + c = 0) e é igual ao produto de seus 
zeros, temos:
Multiplicando ambos os membros por a: y = a ( x – x
1
) . ( x – x
2
), onde x
1
 e x
2
 são os zeros da função.
Aplicação da forma fatorada
Volte agora ao gráfico da função do início da aula.
Observe no gráfico que os zeros da função são x
1
 = –1 e x
2
 = 3.
A forma fatorada desta função será: y = a ( x – x
1
) . ( x – x
2
) = a . ( x – (–1)) . ( x – 3) = a . (x + 1) . (x – 3)
Para determinar o valor de a, basta escolher um ponto da parábola, por exemplo (2; – 3), ou seja, o ponto em que 
x = 2 e y = –3. 
Substituímos esses valores na expressão acima:
– 3 = a . (2 + 1) . (2 – 3) – 3 = a . 3 . (– 1) = – 3a
Portanto:
y = 1 . ( x + 1) . ( x – 3) = ( x + 1) . ( x – 3)
Se efetuarmos as multiplicações chegaremos à forma já conhecida:
y = x2 – 3x + x – 3 y = x2 – 2x – 3 
Obtivemos a lei de formação da função e agora de forma menos 
trabalhosa do que utilizando um sistema de equações.
0
y
x
s
-
-1
1
3
-3
-4
E se a função não tiver zeros? A forma fatorada poderá ser utilizada?
Por exemplo: y = x2 + x + 1 não tem zeros. Verifique! 
variação do sinal da função do 2o grau
224
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 224 3/5/2008 18:10:52
0 1 2 3 x
v (1;1)
y
1
2
forma CanôniCa da função quadrátiCa
Seja a função y = ax2 + bx + c, a 0
Dividindo os dois membros da igualdade acima por a, temos: 
Observe que: 
Somar e subtrair ao segundo membro da equação não altera a igualdade:
Multiplicando os dois membros da igualdade por a : 
Mas 
v
 (abscissa do vértice) e 
v
 (ordenada do vértice).
Então podemos escrever: y = a (x – x
v
)2 + y
v
 , onde x
v 
 e y
v
 são as coordenadas do vértice da parábola.
Aplicação da forma canônica
Observe o gráfico:
O vértice da parábola é o ponto (1; 1), ou seja, x
v 
 = y
v
 = 1.
A forma canônica desta função será: 
y = a (x – x
v
)2 + y
v
 = a (x – 1)2 + 1
Para calcular o valor de a, basta escolher um ponto da parábola, por 
exemplo (0; 2), ou seja, o ponto em que x = 0 e y = 2, e substituirc) Entre 35 e 39 anos, a projeção para 2020 é de haver mais homens ou mais mulheres? Por quê?
d) Anote outras conclusões a que você pode chegar usando estes gráficos.
 A Companhia de Água e Esgoto vem alertando a população sobre vazamentos de água. 
José leu o anúncio e ficou preocupado: percebeu que em sua casa o vazamento era de 40 gotas por minuto e isso já 
vinha acontecendo há 30 dias. Quantos litros de água José já desperdiçou? 
Brasil: Pirâmide de idades
Como foi, é e será a estrutura etária (em milhões de pessoas)
23
12
11
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 23 3/5/2008 18:10:11
 Nos elevadores, costuma-se indicar o peso máximo ou o número de pessoas permitidas. No elevador do prédio 
onde mora Denise está escrito:
 
Responda no seu caderno: qual o peso médio por pessoa considerado?
 Um aparelho de som custa R$ 800,00, mas pode ser vendido em 4 prestações de R$ 210,00 cada uma. Qual é a 
diferença entre o valor total a prazo e o valor total à vista?
 Um restaurante italiano oferece três tipos de massa (talharim, espaguete e penne), que podem ser simples (na 
cor natural) ou de espinafre (na cor verde). O freguês pode, ainda, escolher quatro tipos de molho (sugo, bolonhesa, 
quatro queijos e branco). Quantos tipos diferentes de escolha tem um freguês neste restaurante?
5
4
3
Peso máximo
420 kg
Número de pessoas
6
É importante que você desenvolva sua autoconfiança para defender seus pontos de 
vista e sua maneira de resolver problemas.
reCordando oPerações
24
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 24 3/5/2008 18:10:11
Por que usar frações
Muitas vezes é necessário usar partes de um total (ou de um todo) para expressar uma quantidade. As frações foram 
criadas justamente para isso: para representar partes de um todo.
Leia com atenção as frases abaixo:
• Preciso de um cano de meia polegada.
• Três quartos da população de um Estado recebem até um salário mínimo.
• São exatamente duas horas e um quarto. 
• O médico receitou um quarto de comprimido a cada 4 horas.
Forme um grupo com alguns colegas, discuta o significado das quantidades que aparecem 
em cada uma das sentenças e registre as conclusões. Representar graficamente essas 
quantidades pode ajudar a compreender as situações. 
frações e números deCimais
Como calcular os de uma estrada com 400 km de extensão?
Solução
Resposta: os da estrada são 160 km.
A
U
L
A
 3
Exemplo 1
Exemplo 2
Uma caixa-d´água cilíndrica tem capacidade para 64 litros 
de água. Como calcular quantos litros de água há em do 
reservatório?
Solução
400km0
Resposta: os da caixa-d´água contêm 48 litros de água.
25
1
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 25 3/5/2008 18:10:11
fração também é divisão
A fração também é o resultado da divisão dos números 2 e 5.
Observe o desenho a seguir.
Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais.
Trabalhando em grupo, discuta e escreva quais os cálculos que devem ser feitos 
para se conhecer uma fração de um todo. Aproveite e resolva o Exercício 1.
Todas as frações podem ser representadas por números decimais. Basta dividir 
o numerador pelo denominador, prolongando a operação.
 25 = 6,25
 4 
O resultado da divisão de 25 por 4 é 6,25.
Resposta: cada pessoa pagará 6 reais e 25 centavos.
Utilizamos uma fração para indicar a divisão e podemos representar a operação 
que fizemos da seguinte forma.
 25 4
 –24 6
1
O número 25 não é múltiplo de 4 e, portanto, a quantia que cada um deve 
pagar não será um número inteiro. Para isso existem os centavos! Você se 
lembra como é feita a divisão de 25 por 4?
Divisão prolongada
Quatro amigos querem dividir igualmente uma conta de R$ 25,00. Quanto cada um deverá pagar? 
Solução
Exemplo 3
A máquina de calcular faz muito bem o trabalho de dividir o numerador pelo denominador da fração. Observe os 
exemplos:
1. 2 5 : 4 = 6.25
 25 4
 –24 6,25
 10 
 – 8 
 20
 –20
 0
Até agora, a conta indica que cada pessoa pagará R$ 6. Mas existe ainda um 
resto de um real. Para continuar a conta, acrescente um zero ao resto e uma 
vírgula ao quociente.
frações e números deCimais
26
2
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Na figura abaixo, um quadrado foi 
dividido ao meio. 
Fração colorida: 
frações equivalentes
Agora, o quadrado foi dividido em 
4 partes iguais e 2 dessas partes 
foram coloridas.
Fração colorida: 
O quadrado foi dividido em 8 partes 
iguais e 4 partes foram coloridas.
Fração colorida: 
A parte do número que fica depois da vírgula (parte decimal) representa uma parte de 
um todo dividido em 10, 100, 1 000 etc. Da mesma forma, a fração também representa 
um todo dividido em partes iguais. Logo:
 
Como transformar números decimais 
em frações decimais
2. 126
15
 1 2 6 : 1 5 = 8.4
3. 2 : 3 = 0.6666666
O que aconteceu no último cálculo?
A representação decimal da fração tem todas as casas decimais iguais, ou seja, os algarismos que aparecem depois 
da vírgula se repetem, ocupando todo o visor da calculadora (não importa o tamanho, o visor estaria sempre tomado 
por algarismos iguais a 6).
Números decimais que possuem algarismos – ou grupos de algarismos – que se repetem infinitamente são chamados 
dízimas periódicas. O algarismo ou grupo de algarismos que se repete é chamado de período, indicado por reticências 
ou por um traço (acima do período).
• 2,777... • 0,181818 • 3,25555... • 1,127
Dividindo uma 
unidade em 10 partes 
iguais, cada parte 
é representada por 
0,1 (um décimo).
Dividindo a unidade em 
100 partes iguais, cada 
parte é representada por 
0,01 (um centésimo). 
E assim por diante.
 
27
3
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Observe que em todas as figuras a parte colorida é a mesma.
As frações são frações equivalentes. Isso porque, mesmo diferentes, elas representam a mesma quantidade.
Logo, 
Trabalhando em grupo, observe com atenção as frações equivalentes acima 
e procure enunciar a propriedade para determinar frações equivalentes.
Para determinar frações equivalentes a uma fração dada, é preciso multiplicar ou dividir o numerador e o denominador 
da fração pelo mesmo número, diferente de zero. 
Veja os exemplos:
 
Observe que nos dois últimos exemplos a propriedade é utilizada para simplificar as frações.
Discuta com seus colegas e explique o que significa simplificar uma fração.
oPerações Com frações
Para somar e subtrair frações que têm o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores e repetir o 
denominador.
Mas como se faz para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes?
Adição e subtração de frações 
com denominadores diferentes
Considere o exemplo: 
Os denominadores são diferentes. Procuremos um número que seja múltiplo de ambos, 12, por exemplo, que é múltiplo 
de 4 e também de 6. Vamos então representar as duas frações dadas com esse mesmo denominador. 
 
Então: 
frações e números deCimais
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7
6
5
4
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Na prática, para multiplicar 
frações, deve-se multiplicar os 
numeradores e os denominadores
o inverso de um número
O inverso de um número é um outro que, multiplicado pelo primeiro, dá 1.
Por exemplo:
O inverso de 2 é , porque 
O inverso de porque 
Trabalhando em grupo, calcule agora . Faça um desenho que
represente essa operação.
Você acaba de somar frações com denominadores diferentes. A subtração é feita da mesma forma. Também é preciso 
igualar os denominadores.
Como faremos ? Qual será o novo denominador? Pense um pouco e observe a solução.
 
Multiplicação de frações
Ao comprar 3 caixas de 10 disquetes dena 
expressão acima:
2 = a (0 – 1)2 + 1 2 = a . 1 + 1
Logo: a = 1
Portanto: y = x2 + 2x + 2
os sinais de uma função Polinomial 
do 2o grau
Observe o gráfico da função y = x2 – 4x. 225
ES_Multicurso_Mat1_ aluno_2008_cs3.indd 225 3/5/2008 18:10:52
Repare que para alguns valores de x o valor de y é positivo. 
Para outros valores de x, y se anula. E ainda existem valores 
de x para os quais y é negativo.
Por exemplo:. quando x = 1, y = – 3, que é negativo;. quando x = 4, y = 0;. quando x = –1, y = 5, que é positivo etc.
É possível generalizar, afirmando que :. quando x = 0 e x = 4, y = 0;. para valores de x entre 0 e 4, y assume valores 
negativos, ou seja, quando 0 4, y > 0.
0 x
y
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-2 -1 1 2 3 4 5 6
E
O D
A
F
B
V
Considere a função y = – x2 + 2x + 3. Faça um estudo dos sinais desta função.
Solução
Como é positivo:
 
A função tem dois zeros, que são:
Como a é negativo, a = – 1 0 (ou seja, y assume valores positivos); . quando x 3, y 6 . 
Resposta: portanto, a empresa não terá prejuízo se a 
quantidade vendida for igual a 1, ou 6 ou qualquer valor 
entre eles. Observe que quando o lucro é zero, a empresa 
não está tendo prejuízo.
Resposta: o gráfico está todo abaixo do eixo dos x. A 
função nunca assumirá valores positivos, ou seja,
para qualquer valor de x, ycomputador, quantos disquetes uma pessoa comprou? E ao comprar 4 pacotes 
de meio quilo de café?
3 caixas de 10 disquetes são 3 x 10 disquetes ou 30 disquetes.
4 pacotes de meio quilo de café são 4 x kg ou 2 kg de café.
As situações acima são exemplos em que se deve usar multiplicação e a palavra de é substituída pelo sinal “x ”.
Mas como calcular ? 
A figura abaixo foi dividida em 4 partes iguais e 3 dessas partes foram assinaladas:
 
Agora, foi assinalado da figura. 
Que fração da figura ficou marcada?
 
 (portanto, da figura). 
29
9
8
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1
2
3
45
6
7
8
1 Em uma confeitaria, uma das tortas estava dividida em 8 fatias iguais. Cada uma das fatias foi vendida por R$1,50. 
Calcule quanto pagou uma pessoa que comprou:
a) 
 Calcule e responda no seu caderno:
a) três quartos de 8 m de tecido
b) cinco oitavos de R$ 400,00
c) três quartos da hora (lembre-se: uma hora tem 60 minutos)
d) dois quintos do litro (1 litro = 1 000 mililitros)
2
Considere a igualdade a seguir: 
Observe que, do lado esquerdo da igualdade, divide-se 2 por 3 e, do lado direito, multiplica-se 2 pelo inverso de 3. Isso 
vale para qualquer número.
Quanto é dividido por ?
Pense um pouco e acompanhe a solução.
 
 
 
Dividir um número por outro é o mesmo que multiplicar esse número pelo inverso do outro.
 Dois candidatos, A e B, disputam a prefeitura de uma cidade. Uma pesquisa realizada com 200 eleitores indicou que 
preferem o candidato A e que o restante prefere o candidato B.
a) Quantos eleitores consultados preferem o candidato A?
b) Quantos eleitores consultados preferem o candidato B?
c) Que fração dos eleitores consultados prefere o candidato B?
 Em uma microempresa, 6 pessoas, que representam do total de funcionários, fazem serviço externo. Quantos 
funcionários tem a empresa? 
 Sueli gasta do salário com alimentação e com aluguel, ficando ainda com R$ 560,00. Qual é o salário de Sueli? 
 Em uma corrida, dos participantes desistiram durante a primeira volta. Dos que começaram a segunda volta, 
desistiu antes do término da corrida, que terminou com 24 corredores. Quantos corredores iniciaram a corrida?
3
6
5
4
Preserve seu livro respondendo às questões no caderno.
frações e números deCimais
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10
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 Uma polegada mede aproximadamente 2,54 cm. Responda no seu caderno qual o diâmetro, em centímetros, 
dos tubos cujas medidas em polegadas são:
a) 
 
 Em uma oficina, existem chaves de boca medidas em polegadas. Transforme as medidas de polegadas em 
milímetros.
a) 
 
 Qual dessas frações é maior: ?
a) Responda, no seu caderno, transformando as frações em números decimais.
b) Responda, no seu caderno, reduzindo as frações ao mesmo denominador.
 Em uma loja de ferramentas, há parafusos de de polegada. Qual você deve comprar se quiser o 
parafuso mais fino (de menor diâmetro)?
7
8
9
10
Mais importante do que simplesmente dar a resposta correta são os caminhos da solução 
e as justificativas, o que você deve sempre registrar no seu caderno. 
31
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-3 -2 -1 0 1 2 3
Nesse caso, o resultado da subtração é –3, ou seja, um número negativo. Os números negativos também são usados para 
representar dívidas, déficits, temperaturas abaixo de zero etc. Os números naturais mais os números negativos formam um novo 
conjunto de números, chamados de números inteiros. O conjunto de números inteiros é representado pelo símbolo . 
Os números ...– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3... são números inteiros. Eles podem ser representados numa reta numérica:
A reta numérica tem aplicações práticas muito importantes. Em Matemática, como 
veremos mais tarde, entre outras aplicações, ela permite localizar pontos no plano 
e no espaço, traçar gráficos de fun-
ções, comparar números.
Um exemplo de reta numérica são 
as linhas do tempo, bastante utili-
zadas em História. Veja aqui um 
trecho da reta numérica, dividido 
em milênios e subdividido em sé-
culos, com exemplos do ano em 
que nasceram algumas persona-
lidades importantes da história da 
humanidade.
Pense e discuta com seus colegas: o que acontece quando é preciso 
fazer a subtração de dois números em que o primeiro número é menor que 
o segundo? Por exemplo, 7 – 10?
os números reais 
e a reta numériCaA
U
L
A
 4
números naturais e números inteiros
Existem vários tipos de números. Os mais comuns e conhecidos são aqueles usados para contagem (0, 1, 2, 3, 4...). São 
chamados de números naturais. O conjunto de todos os números naturais é representado pelo símbolo .
700a.C.
600a.C.
500a.C.
400a.C.
300a.C.
200a.C.
100a.C.
0
100d.C.
200d.C.
300d.C.
400d.C.
500d.C.
600d.C.
700d.C.
800d.C.
900d.C.
1000d.C.
1100d.C.
1200d.C.
1300d.C.
1400d.C.
1500d.C.
1600d.C.
1700d.C.
1800d.C.
1900d.C.
2000d.C.
2100d.C.
563a.C. ? - Buda
558a.C. ? - Pitágoras
470a.C. ? - Sócrates
0 - Jesus Cristo
? - Hipátia
569? - Maomé
1412 - Joana d'Arc
1416 - S. Francisco de Assis
1515 - S Tereza d'Ávila
1642 - Isaac Newton
1748 - Tiradentes
1803 - Allan Kardec
1819 - Anita Garibaldi
1839 - Machado de Assis
1877 - G.I. Gurdjieff
1887 - Villa-Lobos
1903 - Portinari
século l a.C.
século l d.C.
Nossos bisavós nasceram
no século XlX
Nossos bisnetos nascerão
no século XXl
Nascemos no século XX
32
1
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Agora, reflita sobre as seguintes perguntas:. É possível marcar outro número racional entre 0 e 1 diferente de 0,5?. É possível repetir o mesmo processo?. Quantos números você acha que é possível marcar entre 0 e 0,5?. É possível, então, marcar todos os números racionais existentes entre dois outros números racionais? Explique.
números raCionais
Acrescentando as frações e os números decimais aos números inteiros, forma-se o conjunto dos números racionais, 
representado pelo símbolo . A palavra racional vem do latim ratio, que significa divisão. Ou seja, os números racionais 
receberam esse nome porque são obtidos pela divisão de dois números inteiros.
Veja os seguintes exemplos:
.0,25 é o mesmo que .
.2,5 é o mesmo que 5 ÷ 2. 
.0,555... é o mesmo que (verifique isso com a calculadora).
Observe que:
• Na reta numérica, por convenção, os números estão ordenados da esquerda 
para a direita. Ou seja, dados dois números representados na reta numérica, o 
menor é o que está à esquerda do outro.
• Os números negativos estão à esquerda do zero. Portanto, todo número 
negativo é menor do que zero.
• Os números positivos estão à direita do zero. Portanto, todo número positivo é 
maior do que zero.
• Os números negativos estão à esquerda dos números positivos. Portanto, todo 
número negativo é menor do que qualquer número positivo.
• Um número é sempre menor do que qualquer número que está à sua direita.
Os números 0,25 e 2,5 são números decimais exatos. Já o número 0,555... tem infinitas 
casas decimais, todas iguais a 5. Os números 0,333... , 0,4577777... também têm 
infinitas casas decimais. Ou seja, os números racionais sempre são números decimais 
finitos ou infinitos – neste caso, com uma parte periódica que se repete infinitas vezes. 
São as chamadas dízimas periódicas.
Os números naturais e os números inteiros também podem ser chamados de números racionais, porque podem ser 
obtidos pela divisão de dois números inteiros. Por exemplo: 3 = .
Qualquer número racional pode ser representado por um ponto na reta numérica. Caso você queira, por exemplo, assinalar 
na reta numérica o número 0,5, que está entre 0 e 1, em primeiro lugar marque os pontos correspondentes a 0 e 1 na reta 
numérica. Como 0,5 = , divida o segmento de 0 a 1 em duas partes iguais. Assim, você vai obter o ponto que representa 0,5.
0,50 1
33
2
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números que não são raCionais
Observe os números 0,25 e 0,252525... Qual a diferença entre os dois?
O primeiro tem duas casas decimais, ou seja, tem um número finito de casas decimais. Por isso é chamado de decimal 
exato. O segundo tem um número infinito de casas decimais com um período que se repete (25). Esse número é 
chamado de dízima periódica.
Agora, o que é possível observar no número 0,010110111...?
O número tem uma infinidade de casas decimais que não se repetem, portanto não é uma dízima periódica. Repare 
que, após a vírgula, a 1a casa decimal é o zero, seguido do número 1. A seguir há outro zero seguido de duas vezes o 
número 1, e assim por diante.
Logo, os próximos algarismos serão o zero seguido de quatro vezes o número 1.
Esse número não é um número racional. É um exemplo de número irracional. Números irracionais não são obtidos 
pela divisão de dois números inteiros.
Como marcar frações na reta numérica?
Dividindo o segmento entre 0 e 1 em 5 partes iguais, marque as frações 
Para frações maiores do que 1 e menores do que 2, divida o segmento entre 1 e 2 em 5 partes iguais e marque as 
frações 
Portanto, para marcar uma fração na reta numérica, é 
necessário saber, em primeiro lugar, entre que números 
naturais está a fração que será marcada. Em seguida, 
divide-se o segmento onde será marcada a fração no 
número adequado de partes iguais.
As frações próprias (numerador 
menor do que o denominador) são 
menores que 1. Portanto serão 
marcadas entre 0 e 1.
números reais
Ao estudar a operação de radiciação, e particularmente a raiz quadrada, você aprendeu que nem todo número natural 
tem raiz quadrada que seja um número natural.
Números como 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 são chamados quadrados perfeitos, porque suas raízes 
quadradas são também número naturais. 
As raízes quadradas dos números naturais que não são quadrados perfeitos são números irracionais. Outras raízes, 
com índices diferentes de 2 e que não são números naturais, também são números irracionais. 
Por exemplo: 
Com sua calculadora, calcule aproximadamente 
Você deve ter encontrado, respectivamente, 1,414213..., 1,73205... e 2,51188...
Escreva você agora outros números irracionais.
Você conhece algum número irracional muito usado em Geometria?
os números reais e a reta numériCa
34
6
5
4
3
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 -2 -1 0 1 2 3
5
 -2 -1 0 1 2 35
Será que os números irracionais também podem ser 
assinalados na reta numérica?
Vejamos como é representado o número na reta numérica, utilizando uma construção geométrica.
Vamos construir um triângulo retângulo isósceles de catetos iguais a 1 sobre a reta numérica.
Qual a medida (x) da hipotenusa desse triângulo?
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
 
 -2 -1 0 1 2 3
1
1
x
Ao unir os números racionais e os números irracionais, obtemos o conjunto dos 
números reais. Portanto, são números reais os números naturais, os números inteiros, 
os números racionais e os números irracionais. Os números racionais podem ser dados 
tanto por frações ordinárias como por números decimais (finitos ou periódicos infinitos).
É claro que nem sempre é possível fazer uma construção geométrica para marcar outros números irracionais na reta. 
Mas, em princípio, todo número racional ou irracional pode ser marcado na reta numérica. Na prática, para marcar 
números irracionais, é preciso localizar um valor aproximado do número. Por exemplo, para localizar o número , é 
preciso descobrir quais são os números quadrados mais próximos de 5.
O número 5 está entre 4 e 9, logo 4em quilômetros, a 
distância da estrela da constelação Centauro até a Terra?
PotênCias e raízesA
U
L
A
 5
Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado pelo 
expoente. Portanto: 
43 = 4 x 4 x 4 = 64 potência de base 4 e expoente 3
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 potência de base 2 e expoente 5
52 = 5 x 5 = 25 potência de base 5 e expoente 2
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 potência de base 10 e expoente 4
Você lembra dos nomes?
 
 2 é o expoente da potência
 3 é a base da potência32
37
3
2
1
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Os únicos casos de potenciação que têm nomes especiais são o de expoente 2 (que se lê ao 
quadrado) e o de expoente 3 (que se lê ao cubo). Mas de onde vêm esses nomes especiais? 
Os 9 pontos formam um quadrado de lado com 3 pontos. Por isso, dizemos que 9 é o 
quadrado de 3.
Na figura, estão marcados 8 pontos que formam um cubo, cada lado com dois pontos. Por 
isso, dizemos que 8 é o cubo de 2. 
a forma exPonenCial de esCrever 
os números
Quando um número é escrito na forma de potência, podemos dizer também que este número foi escrito na forma 
exponencial. 
De maneira geral, se a é um número inteiro, a potência an é o produto de a por a, n vezes:
an = a. a . a . a...a. a (a multiplicado n vezes por a)
Observação: no exemplo acima, o sinal de multiplicação (x) foi substituído pelo ponto ( . ). 
 Número Escrita na forma multiplicativa Escrita na forma exponencial
 exponencialexponencial 
 90 000 000 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 9 x 107 
 32 2 x 2 x 2 x 2 x 2 25
 27 3 x 3 x 3 33
 1 000 000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 106
Casos especiais de potenciação
• A base é igual a 1 e o expoente é qualquer número natural.
A potência é sempre igual a 1.
Por exemplo: 15 =1 x 1 x 1 x 1 x 1=1.
De maneira geral: 1n =1 (n é qualquer número natural).
• O expoente é igual a 1 e a base é qualquer número real.
A potência é sempre igual à base.
Por exemplo: 31 = 3; 2,51 = 2,5; p1 = p.
De maneira geral: a1 = a (qualquer que seja o número a).
• A base é zero e o expoente é qualquer número natural diferente de zero.
A potência é sempre igual a zero.
Por exemplo: 03 = 0 x 0 x 0 = 0.
De maneira geral: 0n = 0 (n é um número natural, diferente de zero).
• A base é um número qualquer diferente de zero e o expoente é zero.
A potência, por convenção, é sempre igual a 1.
Por exemplo: 20 = 1
 30 = 1
 40 = 1
De maneira geral: a 0=1 (a é um número real, diferente de zero).
Convenciona-se não atribuir significado ao símbolo 00, ou seja, zero elevado 
à potência zero.
PotênCias e raízes
38
4
5
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o Produto de PotênCias de mesma base
Experimente multiplicar a4 por a3: a4  a3 = a . a . a . a . a . a . a = a4+3 = a7
Como cada expoente representa o número de fatores, então o número total de fatores é a soma dos expoentes. 
Daí, conclui-se que para multiplicar potências de mesma base deve-se conservar a base e somar os expoentes. 
Esse resultado, escrito de forma geral, fica assim: am . an = am + n
Discuta com seus colegas o problema a seguir e tente descobrir qual é o resulta-
do, antes de ver a solução proposta. 
a divisão de PotênCias de mesma base
Divida a6 por a2:
 
 
 
Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Então, o número de fatores do resultado é a diferença 
entre o número de fatores do denominador e o número de fatores do numerador. Conclusão: para dividir potências de 
mesma base, basta conservar a base e subtrair os expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral, fica assim:
 
Certa estrela está a 1,2 milhão de anos-luz do Sol. Sabendo que 1 ano-luz equivale a 9,5 trilhões de quilômetros, determine, 
em quilômetros, a distância entre a estrela e o Sol, em notação científica.
Solução
Vamos exprimir os números dados usando números decimais e potências de 10. Observe:
1 mil = 1 000 = 103
1 milhão = 1 000 000 = 106
1 bilhão = 1 000 000 000 = 109
1 trilhão = 1 000 000 000 000 = 1012
Então: 1,2 milhão = 1,2 x 106
 9,5 trilhões = 9,5 x 1012
Para calcular a distância entre o Sol e a estrela, multiplique esses dois números. Observe que são multiplicados os números decimais 
e as potências de 10. Veja: 1,2 x 106 x 9,5 x 1012 = 1,2 x 9,5 x 106 x 1012 = 11,4 x 106+12 = 11,4 x 1018 km.
Ao representar um número por um número decimal multiplicado por uma potência de 10, estamos usando o que se 
chama de notação científica. É assim que os cientistas representam números muito grandes – os números “astronômicos”. 
Eles também convencionaram (isto é, combinaram) que nunca escreveriam mais de um dígito na parte inteira. Assim, 
um verdadeiro cientista não escreveria a distância como 11,4 x 1018 km. Ele a escreveria assim: 1,14 x 1019 km. 
Resposta: a distância da estrela ao Sol, escrita em notação científica, é de 1,14 x 1019 km.
Na Aula 10 deste livro você conhecerá mais detalhes sobre a notação científica.
Exemplo 1
4 fatores 3 fatores
7 fatores
39
8
7
6
9
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Trabalhando em grupo, discuta o que acontece quando o expoente m for estrita-
mente maior do que n (m > n) . E o que acontece quando m = n.
Quadrados perfeitos
Na tabela abaixo, você pode conferir os quadrados de alguns números, para facilitar a determinação da raiz quadrada. 
Os números que aparecem na segunda linha (a linha dos quadrados) são chamados de quadrados perfeitos. Já os números 
que não aparecem não são quadrados perfeitos e por isso não possuem raiz quadrada que seja um número natural. Por 
exemplo, não tem raiz quadrada que seja um número natural. Logo, 2 não é um número quadrado perfeito. 
 Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 
 Quadrado 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100... 
o inverso da PotenCiação
Você já sabe que 3 elevado ao quadrado é igual a 9 (32 = 3 x 3 = 9). Mas qual é o número que elevado ao quadrado 
dá 25? A resposta a esta pergunta leva a uma das operações inversas da potenciação: a radiciação. 
Você sabe que: 5 x 5 = 52 = 25. Então, = 5 (ou seja, a raiz quadrada de 25 é 5). Esta operação é conhecida como 
radiciação.
 O sinal é chamado de radical
 25 é chamado de radicando
 5 é a raiz quadrada de 25
Para encontrar a raiz quadrada de 64 ( ), é necessário responder à seguinte pergunta: qual é o número que elevado 
ao quadrado dá 64? Como 82 = 64, temos que: = 8. 
Cubos perfeitos
Veja agora a operação inversa do cubo (3a potência).
Qual é o número que elevado ao cubo dá 27?
Confira a tabela de cubos:
Assim, 33 = 27 e = 3 ( lê-se: a raiz cúbica de 27 é 3).
 Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 
 Cubo 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 ... 
Para escrever a raiz quadrada 
de um número, não é costume 
escrever o índice 2, como 
acontece, por exemplo, com a 
raiz cúbica. 
A raiz cúbica é a inversa do cubo. O sinal é o radical e 3 é o índice.
Assim como no caso da raiz quadrada, nem todo 
número natural possui raiz cúbica que seja um número 
natural. Por exemplo: não tem raiz cúbica natural.
PotênCias e raízes
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10
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 O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5 900 milhões de quilômetros de distância do Sol. Escreva 
essa distância em quilômetros usando um número decimal com 1 dígito na parte inteira e uma potência de 10.
 Escreva os números a seguir usando notação científica:
a) 230 000 000
b) 1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 (este número corresponde à massa do Sol, em toneladas).
 Explique as vantagens de se usar a notação científica.
 Escreva, no seu caderno, cada uma das expressões a seguir usando uma única potência de base 5:
a) 52 x 56
b) 57 ÷ 54
c) 
 Hoje, sabe-se que em 1 litro de sangue humanohá, aproximadamente, 5 000 000 000 de glóbulos vermelhos. 
Uma pessoa adulta possui, em média, 5,5 litros de sangue. Quantos glóbulos vermelhos tem, aproximadamente, 
uma pessoa adulta?
O produto de radicais
Observe o exemplo:
Quando multiplicamos dois radicais de mesmo índice, o produto pode ser expresso por meio de um único radical. Esta 
importante propriedade dos radicais pode ser escrita de forma geral assim:
1
5
6
4
3
2
Utilize seu caderno para resolver as questões. 
O livro é sua fonte de consulta.
 Calcule e escreva os resultados em seu caderno: 
a) 
b)
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Para que sua máquina se mantenha em bom funcionamento, é preciso ter alguns cuidados:
• Não a deixe cair no chão. Isso pode danificá-la.
• A máquina “detesta” água: não a lave nem deixe cair nenhum líquido sobre ela.
• O calor estraga a calculadora: não a deixe perto do fogão nem exposta ao 
sol ou em superfícies quentes.
• Se a máquina começar a errar ou não obedecer aos comandos, troque as 
pilhas (ou baterias).
• Aperte as teclas com delicadeza: não use força.
Com esses pequenos cuidados, sua calculadora pode durar muitos anos.
Um problema comum na vida da maioria das pessoas é tentar equilibrar receitas 
(quantias recebidas, ganhos) e despesas (gastos). Suponha que, em certa semana, 
Maria fez as seguintes anotações das quantias recebidas e gastas:
a CalCuladoraA
U
L
A
 6
Receita (em reais) Despesa (em reais)
73,00 18,00
15,00 4,30
 51,60
 12,45
ConheCendo a CalCuladora
Nesta aula, você vai aprender a utilizar a máquina de calcular em operações simples. Para 
acompanhar os cálculos, o ideal é ter uma máquina de calcular à mão. Se você tem uma, 
compare-a com a mostrada na figura ao lado, porque a disposição das teclas varia de um 
modelo para outro. Caso você não tenha uma máquina de calcular, sente-se junto a um 
colega que possua uma.
Localize as teclas dos algarismos de 0 a 9 e das quatro operações: adição (+), subtração 
(–), multiplicação (x) e divisão (÷). Veja também onde está o sinal de igual (=).
Em vários países, usa-se o ponto, e não a vírgula, para separar a parte decimal de um número. Por exemplo: 3.6 (três 
ponto seis) é a mesma coisa que 3,6 (três vírgula seis). 
Lembre-se de que pode haver diferenças entre a sua máquina de calcular e a mostrada aqui. O importante é você saber para 
que servem todas as teclas que aparecem na máquina que você está usando.
 Será que sobrou algum dinheiro 
para Maria nessa semana?
% OFF
MR M - M+
ON
C
+
7 8 9
4
1
0
5
2
.
6
3
= +
-
x
42
2
1
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Dona Maria faz sanduíches para seus três filhos venderem quando voltam da escola. No fim do dia, os meninos voltam para 
casa com o dinheiro, que é dividido em 3 partes iguais: uma para dona Maria, outra para comprar os ingredientes do dia 
seguinte, e outra para ser dividida igualmente entre os 3 filhos.
Certo dia, as crianças venderam 31 sanduíches, por R$ 2,00 cada um. Quanto cada filho deve receber?
Solução
Se os meninos venderam 31 sanduíches por R$ 2,00 cada, eles ganharam 31x R$ 2,00 = R$ 62,00.
Uma terça parte deste valor será dada aos filhos de dona Maria. O resultado deve ainda ser dividido por 3, para sabermos 
quanto cada menino receberá. 
Com a máquina de calcular, é possível fazer todas as contas de uma vez só, apertando as teclas como mostrado a seguir: 
31 x 2 ÷ 3 ÷ 3. O resultado desta conta é 6,888888...
Como só existem duas casas para os centavos de real, considera-se apenas duas casas decimais do resultado. 
Resposta: cada filho receberá a quantia de R$ 6,88 (6 reais e 88 centavos).
Com um pouco de prática, você vai achar muito fácil fazer contas com a máquina de calcular. Mas nunca se esqueça 
de que ela só faz o que você ordena. A máquina é rápida, mas você tem uma coisa mais poderosa: o raciocínio. A máquina 
não vale nada se não for usada por alguém que pense! Portanto, você deve raciocinar para descobrir quais são as contas 
que devem ser feitas. O resto, a máquina faz.
Para utilizar bem a máquina, é preciso conhecer as propriedades das operações. 
Uma loja está vendendo um toca-fitas portátil por R$ 100,00 em três prestações iguais e sem juros. Qual o valor de cada prestação?
Solução
A conta que deve ser feita para descobrir o valor de cada prestação é a divisão 100 ÷ 3.
Ao fazer essa conta na calculadora, obtém-se: 100 ÷ 3 = 33,333333333...
Existem divisões que não acabam nunca e dão como resultado uma dízima periódica. Nestes casos, a máquina de 
calcular mostra o resultado com algarismos que se repetem depois da vírgula (ou do ponto). 
Como, na prática, não são necessárias muitas casas decimais, dizemos que o resultado da divisão de 100 por 3 é, 
aproximadamente, 33,33. Observe que 33,33 x 3 = 99,99 e não 100. Em situações comerciais, como no exemplo 
anterior, a resposta é em geral dada da seguinte maneira: a primeira prestação será de R$ 33,34 e as outras duas de 
R$ 33,33, cada uma. Observe que agora a soma dos três valores dá R$ 100,00.
Resposta: a primeira prestação é de R$ 33,34 e as outras duas são de R$ 33,33 = R$100,00.
Exemplo 1
 Exemplo 2
As teclas de memória
Vamos agora aprender a utilizar três novas teclas: M+; M– e MR. Elas são chamadas de teclas de memória.
20,00 7,20
12,00 5,30
16,00 18,40
 6,00
 10,00
 7,60
Receita (em reais) Despesa (em reais)A tecla de memória M+ soma o número que está registrado no 
visor ao conteúdo da memória. A tecla M– subtrai o número 
que está registrado no visor do conteúdo da memória. A tecla 
MR devolve para o visor os valores acumulados na memória. 
Você é o tesoureiro da Associação de Alunos de sua escola. Para 
não se perder nos cálculos e poder comprovar todos os gastos, 
você anota as receitas e as despesas em um caderno. Veja as 
anotações desta semana:
 
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3
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– 6 .5
2. Com ajuda da calculadora, efetue:
 2,135 x 10=
 2,135 x 100=
 2,135 x 1 000=
O que é possível perceber em relação à posição da vírgula? Junto com seu grupo, 
escreva uma regra geral para multiplicação de números decimais por 10, 100 ou 1 000.
3. Usando a calculadora, efetue:
 12 x 122=
 1,2 x 122=
 0,12 x 1,22=
 0,12 x 0,122=
O que pode ser observado em relação à quantidade total de casas decimais 
dos fatores e à quantidade de casas decimais do resultado, em cada produto?
Trabalhando em grupo, resolva os problemas propostos abaixo. 
As situações vão ajudar você a utilizar seu raciocínio a fim de chegar a algumas 
conclusões curiosas. 
1. Com ajuda da calculadora, efetue:
 9 x 9=
 99 x 9=
 999 x 9=
 9 999 x 9=
Agora, “de cabeça”, descubra o valor de 99 999 x 9.
Neste mês, sobrou algum dinheiro no caixa da Associação ou os gastos foram maiores do que os recebimentos? 
É possível fazer estes cálculos na máquina de calcular com facilidade. Veja:
 2 0 + 1 2 + 1 6 – 7 . 2 – 5 . 3 – 1 8 . 4 – 6 – 1 0 – 7 . 6 = 
O resultado negativo indica que se gastou mais do que se recebeu. A Associação de Alunos, portanto, está com uma 
dívida ou, como é costume dizer, está com um prejuízo de R$ 6,50.
Mas ficamos sem saber quanto a Associação gastou e quanto recebeu. Se você quiser também essas informações, deve 
operar a maquina de forma diferente. Primeiro, é preciso somar as despesas. No final, aperte a tecla M+ para guardar 
o resultado na memória da máquina.
 7 . 2 + 5 . 3 + 1 8 . 4 + 6 + 1 0 + 7 . 6 = 5 4 . 5 M+
Sabemos então que a Associação de Alunos gastou, este mês R$ 54,50. E este resultado está guardado dentro da 
máquina – na memória da máquina.
Agora some as receitas: 
 
A Associação de Alunos recebeu, este mês, R$ 48,00.