Trigonometria: Arcos e Ângulos

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
Prof. Wellington Nishio 
ARCOS E ÂNGULOS; CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Definição 
Consideremos uma circunferência de centro O e um 
ângulo central AÔB, sendo A e B pontos que pertencem 
aos lados do ângulo e à circunferência. 
A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma 
das quais é um arco de circunferência. 
 
Medidas de arcos 
 
Unidades de medida 
Para evitar confusões para medir o mesmo arco, 
limitamos as unidades de arco a apenas duas: o grau e 
o radiano. 
Grau: (símbolo º) é um arco unitário igual ao da 
circunferência que contém o arco a ser medido. 
A medida em graus de um arco de circunferência é igual 
à medida do ângulo central correspondente. 
Radiano: (símbolo rad) é um arco unitário cujo 
comprimento é igual ao raio da circunferência que 
contém o arco a ser medido. 
 
Relações de conversão 
 
 
 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
Definição: Tomemos sobre um plano cartesiano 
ortogonal xOy. Consideremos a circunferência β de 
centro O e raio r = 1. Notemos que o comprimento 
dessa circunferência é 2, pois r = 1. 
A circunferência β abaixo definida, com origem em A, é 
chamada ciclo trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro Quadrante: 𝟎 < 𝜽 < 𝟗𝟎º ou 𝟎 < 𝜽 < 
𝝅
𝟐
 
Segundo Quadrante: 𝟗𝟎º < 𝜽 < 𝟏𝟖𝟎º ou 
𝝅
𝟐
< 𝜽 < 𝝅 
Terceiro Quadrante: 𝟏𝟖𝟎º < 𝜽 < 𝟐𝟕𝟎º ou 
𝝅 < 𝜽 < 
𝟑𝝅
𝟐
 
Quarto Quadrante: 𝟐𝟕𝟎º < 𝜽 < 𝟑𝟔𝟎º ou 
𝟑𝝅
𝟐
< 𝜽 < 𝟐𝝅 
 
Arcos com Medida Negativa 
Um arco com medida negativa, significa que a medida 
do arco foi feita no sentido horário do ciclo. 
Essa medida negativa, nós podemos encontrar um 
valor equivalente, caso a medida fosse feita no sentido 
anti-horário. 
 
Arcos com Mais de Uma Volta 
Um arco com medida maior que 360º ou 2 rad, 
significa que a medida do arco tem mais do que uma 
volta completa no ciclo. 
Para esses arcos, é possível determinar qual em 
quadrante ele se encontra efetuando a divisão desse 
valor por 360º e verificando o valor do resto. 
O valor do quociente dessa divisão, é a quantidade de 
voltas completas esse arco deu no ciclo. 
 
Arcos côngruos 
Dois arcos são côngruos se a diferença de suas 
medidas é um múltiplo de 2 rad ou 360º. 
 
Redução ao Primeiro Quadrante 
Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções 
trigonométricas de x, com x não pertencente ao 1º 
quadrante, relacionando x com algum elemento do 1º 
quadrante. 
Ou seja, sairemos de um quadrante qualquer e 
encontraremos um arco equivalente no primeiro 
quadrante. 
 
Redução do 2º para o 1º 
Dado o número real x tal que 
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋, seja P a 
imagem de x no ciclo. Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico 
de P em relação ao eixo y. 
Temos: 
𝐴�̂� + 𝑃𝐴′̂ = 𝜋 (no sentido anti-horário) e, como 𝐴𝑃′̂ =
𝑃𝐴′̂ , vem: 
𝐴�̂� + 𝐴𝑃′̂ = 𝜋 
Portanto 𝑨𝑷′̂ = 𝝅 − 𝒙 
 
 
 
 
 
 
360º ↔ 2 rad 
180º ↔  rad 
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Redução do 3º para o 1º 
Dado o número real x tal que 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
, seja P a 
imagem de x no ciclo. Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico 
de P em relação ao eixo y. 
Temos: 
𝐴�̂� − 𝐴𝑃′̂ = 𝜋 (no sentido anti-horário) e, portanto 
𝑨𝑷′̂ = 𝒙 − 𝝅 
 
 
Redução do 4º para o 1º 
Dado o número real x tal que 
3𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋, seja P a 
imagem de x no ciclo. Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico 
de P em relação ao eixo x. 
Temos: 
𝐴�̂� + 𝐴𝑃′̂ = 2𝜋 (no sentido anti-horário) e, como 
𝐴𝑃′̂ = 𝑃�̂�, vem: 
𝐴�̂� + 𝑃�̂� = 2𝜋 
Portanto 𝑨𝑷′̂ = 2 - 𝒙 
 
 
Ângulo formado entre os ponteiros de um relógio 
 
 
 , onde 
 
 
h → horas 
m → minutos 
 → ângulo entre os ponteiros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
Seno, cosseno e tangente na circunferência 
trigonométrica 
Sejam P um ponto sobre a circunferência 
trigonométrica, situado no primeiro quadrante e o 
ângulo, que compreende o arco 𝐷�̂�. Suponha a reta 
numérica 𝐷𝐶 ⃡ com origem coincidente com a origem do 
sistema de medida angular (ponto D). 
 
Ou seja, a partir de um ponto P da circunferência 
trigonométrica, a abscissa do ponto descreve o 
cosseno do ângulo representado pelo arco 𝐷�̂� e a 
ordenada do ponto descreve o seno do ângulo 
representado pelo arco 𝐷�̂�. Note que o prolongamento 
do segmento 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ intersecta a reta numérica no ponto C, 
sendo C a representação da tangente do ângulo θ. 
Então: 
• o eixo Ox será nomeado eixo dos cossenos; 
• o eixo Oy será nomeado eixo dos senos; 
• a reta 𝐷𝐶 ⃡ será nomeada eixo das tangentes. 
 
Outras razões trigonométricas 
Secante: o inverso da razão cosseno, ou seja: 
𝐬𝐞𝐜 𝜶 = 
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜶
 
Cossecante: o inverso da razão seno, ou seja: 
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝜶 = 
𝟏
𝐬𝐞𝐧𝜶
 
Cotangente: o inverso da razão tangente, ou seja: 
𝐜𝐨𝐭𝐠𝜶 = 
𝟏
𝐭𝐠𝜶
 
 
Secante e cossecante na Circunferência 
Trigonométrica 
Suponha a circunferência trigonométrica e um arco de 
extremo A e medida θ. Traçando uma reta tangente à 
circunferência passando por A, tem-se a seguinte 
construção: 
 
Ou seja, a interseção da reta tangente à circunferência 
que passa pelo extremo do arco de medida θ com os 
eixos dos senos e dos cossenos determina a secante e 
a cossecante do arco, respectivamente. 
𝜽 = |𝟑𝟎𝒉 − 
𝟏𝟏𝒎
𝟐
| 
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Obs.: Note que, para alguns ângulos, as razões não 
estão definidas (não há interseção da reta tangente 
com os eixos). 
 
Cotangente na Circunferência Trigonométrica 
Suponha a circunferência trigonométrica e um arco de 
extremo C e medida θ. Traçando uma reta tangente à 
circunferência passando por B, tem-se a seguinte 
construção: 
 
Ou seja, é possível determinar a cotangente de um arco 
de medida θ a partir da interseção do prolongamento 
do segmento OC̅̅ ̅̅ ̅ com a reta paralela ao eixo x 
passando por B. 
 
Relação Fundamental 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
Relações “Secundárias” 
 
sec2 x = tg2 x + 1 
cossec2 x = 1 + cotg2 x 
 
Fórmulas de adição e diferença 
 
Cosseno da soma 
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
 
Cosseno da diferença 
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
Seno da soma 
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
 
Seno da diferença 
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a 
 
Tangente da soma 
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb
+
+ =
−
 
 
Tangente da diferença 
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb
−
− =
+
 
 
Fórmulas de arco duplo 
cos (2a) = cos2 a – sen2 a 
sen (2a) = 2 . sen a . cos a 
tg 2a = 
2.𝑡𝑔 𝑎
1 − 𝑡𝑔2𝑎 
 
 
 
Fórmulas de arco metade 
x 1 cos x
cos
2 2
x 1 cos x
sen
2 2
x 1 cos x
tg
2 1 cos x
+ 
=  
 
− 
=  
 
− 
=  
+  
 
Fórmulas de transformação em produto 
 
 
 
 
p q p q
cosp cosq 2sen .sen
2 2
+ −   
− = −    
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
A primeira etapa para resolver equações ou inequações 
trigonométricas é simplificar as expressões por meio de 
transformações, com o objetivo de chegar a uma 
igualdade ou desigualdade simples entre linhas 
trigonométricas iguais. 
No caso geral, deve-se sempre utilizar substituições, 
transformações e reduções de quadrante para se obter 
uma situação de igualdade entre mesmas linhas 
trigonométricas. 
 
Igualdade entre mesmas linhas trigonométricas 
 
sen α = sen β 
Como α e  - α possuem o mesmo seno (digamos a), β 
deve ser côngruo com α ou  - α. 
 
 
 
 
 
 
 





 −





 +
=+
2
qp
cos.
2
qp
cos.2qcospcos
 





 −





 +
=+
2
qp
cos.
2
qp
sen.2qsenpsen
 





 +





 −
=−
2
qp
cos.
2
qp
sen.2qsenpsen
 ( )
qcos.pcos
qpsen
qtgptg
+
=+
 ( )
qcos.pcos
qpsen
qtgptg
−
=−
𝜷 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ou 𝜷 = 𝝅 − 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 
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cos α = cos β 
Como α e -α possuem o mesmocosseno (digamos a), 
β deve ser côngruo com α ou com (-α). 
 
tg α = tg β 
Como α e ( + α) possuem a mesma tangente (digamos 
a), β deve ser côngruo com α ou com ( + α). 
 
As expressões 𝛽 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ou 𝛽 = 𝜋 + 𝛼 + 2𝑘𝜋 
podem ser unificadas na expressão 
 
 
 
Inequações Trigonométricas 
 
Para casos simples (ex: inequações em que os 
argumentos das funções estão limitados ao intervalo 
[0,2], basta desenhar o ciclo trigonométrico e 
identificar os intervalos que funcionam. 
Para o caso geral, a ideia é deixar um lado igual a zero, 
fatorar o outro lado e utilizar quatro sinais para lidar com 
cada fator. 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Função Seno 
Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. 
Denominamos função seno a função f: R → R que 
associa a cada real x o real OQ = sen x, isto é: f(x) = 
sen x 
 
Propriedades 
1ª) A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], isto 
é, -1  sen x  1. 
2ª) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante a 
função seno é crescente, se percorre o segundo ou o 
terceiro quadrante a função seno é decrescente. 
3ª) A função seno é periódica e seu período é 2. 
Fazendo um diagrama com x em abscissas e sem x em 
ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, 
denominado senoide, que nos indica como varia a 
função f(x) = sen x 
 
 
 
 
Variação de amplitude 
Nas funções trigonométricas do tipo 
f(x) = A · sen (ax + b), a constante A é responsável 
pela variação da amplitude do senoide. 
−𝟏 ≤ 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) ≤ 𝟏 
𝑨 > 𝟎
⇒ − 𝑨 ≤ 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) ≤ 𝑨 
 
Deslocamento gráfico vertical 
Quando se adiciona uma constante B à lei de formação 
de uma função, desloca-se todo o gráfico verticalmente 
B unidades. 
 
Deslocamento gráfico horizontal 
Suponha uma função f(x) e a função g(x) = f(x + a). A 
relação gráfica entre as funções f e g se dá da seguinte 
maneira: 
I. Se a > 0, o gráfico de g(x) é similar ao da função f(x), 
porém deslocado a unidades para a esquerda. 
II. Se a < 0: o gráfico de g(x) é similar ao da função f(x), 
porém deslocado a unidades para a direita. 
 
Função Cosseno 
Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. 
Denominamos função cosseno a função f: R → R que 
associa a cada real x o real OQ = cos x, isto é: f(x) = 
cos x 
 
Propriedades 
1ª) A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1], 
isto é, -1  cos x  1. 
2ª) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante a 
função cosseno é crescente, se percorre o primeiro ou 
o segundo quadrante a função cosseno é decrescente. 
3ª) A função seno é periódica e seu período é 2. 
Fazendo um diagrama com x em abscissas e sem x em 
ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, 
denominado cossenoide, que nos indica como varia a 
função f(x) = cos x 
𝜷 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 ou 𝜷 = − 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅 
 𝜷 = 𝜶 + 𝒌𝝅 
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Variação de amplitude 
Nas funções trigonométricas do tipo 
f(x) = A · cos (ax + b), a constante A é responsável 
pela variação da amplitude do cossenoide. 
−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) ≤ 𝟏 
𝑨 > 𝟎
⇒ − 𝑨 ≤ 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) ≤ 𝑨 
 
Deslocamento gráfico vertical 
Quando se adiciona uma constante B à lei de formação 
de uma função, desloca-se todo o gráfico verticalmente 
B unidades. 
 
Deslocamento gráfico horizontal 
Suponha uma função f(x) e a função g(x) = f(x + a). A 
relação gráfica entre as funções f e g se dá da seguinte 
maneira: 
I. Se a > 0, o gráfico de g(x) é similar ao da função f(x), 
porém deslocado a unidades para a esquerda. 
II. Se a < 0: o gráfico de g(x) é similar ao da função f(x), 
porém deslocado a unidades para a direita. 
 
Função Tangente 
Dado um número real x, 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 seja P sua 
imagem no ciclo. Denominamos função tangente a 
função f: D → R que associa a cada real x o real, 
𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 o real AT = tg x, isto é: f(x) = tg x 
 
 
Propriedades 
1ª) O domínio da função tangente é 
𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋}. 
2ª) A imagem da função tangente é R. 
3ª) Se x percorre um dos quatro quadrantes então tg x 
é crescente. 
4ª) A função tangente é periódica e seu período é  . 
Fazendo um diagrama com x em abscissas e tg x em 
ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, 
denominado senoide, que nos indica como varia a 
função f(x) = tg x 
 
 
Função Cotangente 
Dado um número real x, x  k, seja P sua imagem no 
ciclo. 
Denominamos função cotangente a função f: D → ℝ 
que associa a cada real x, x  k, o real BD = cotg x, 
isto é: f(x) = cotg x 
 
 
Propriedades 
1ª) O domínio da função cotangente é 
D = {x  ℝ / x  k} 
2ª) A imagem da função cotangente é R 
3ª) Se x percorre um dos quatro quadrantes então 
cotg x é decrescente. 
4ª) A função tangente é periódica e seu período é  
Fazendo um diagrama com x em abscissas e cotg x em 
ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, que 
nos indica como varia a função f(x) = cotg x 
 
 
Função Secante 
Dado um número real x, x ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 seja P sua imagem 
no ciclo. 
Denominamos função secante a função f: D → ℝ que 
associa a cada real x, x ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 o real OS = sec x, isto 
é: f(x) = sec x 
 
Propriedades 
1ª) O domínio da função secante é 
D = {x  ℝ / x  
𝜋
2
+ 𝑘𝜋} 
2ª) A imagem da função secante é ℝ - ]-1, 1[. 
3ª) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, 
então a função secante é crescente. 
4ª) A função secante é periódica e seu período é 2 
Fazendo um diagrama com x em abscissas e sec x em 
ordenadas, podemos construir o seguinte gráfico, 
denominado senoide, que nos indica como varia a 
função f(x) = sec x 
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Função Cossecante 
Dado um número real x, x ≠ 𝑘𝜋 seja P sua imagem no 
ciclo. 
Denominamos função cossecante a função f: D → ℝ 
que associa a cada real x, x ≠ 𝑘𝜋 o real OS = cosec x, 
isto é: f(x) = cossec x 
 
 
Propriedades 
1ª) O domínio da função secante é 
D = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 } 
2ª) A imagem da função cossecante é ℝ - ]-1, 1[ 
3ª) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, 
então a função cossecante é crescente. 
4ª) A função cossecante é periódica e seu período é 2. 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
Função Arco-Seno 
Seja a função f(x) = sen(x), com domínio restrito ao 
intervalo [−
𝜋
2
, 
𝜋
2
] e imagem sobre o intervalo [−1,1]. A 
função inversa de f, denominada arco-seno, definida 
por 𝑓−1: [−1, 1] → [−
𝜋
2
, 
𝜋
2
] é denotada por 
 
 
 
 
 
Função Arco-Cosseno 
Seja a função f(x) = cos(x), com domínio restrito ao 
intervalo [0, 𝜋] e imagem sobre o intervalo [−1,1]. A 
função inversa de f, denominada arco-cosseno, 
definida por 𝑓−1: [−1, 1] → [0, 𝜋] é denotada por 
 
 
 
 
Função Arco-Tangente 
Seja a função f(x) = tg(x), com domínio restrito ao 
intervalo ]−
𝜋
2
, 
𝜋
2
[ e imagem R. A função inversa de f, 
denominada arco-tangente, definida por 
𝑓−1: 𝑅 → ]−
𝜋
2
, 
𝜋
2
[ é denotada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = arcsen x  x = sen y e −
𝝅
𝟐
≤ 𝒚 ≤
𝝅
𝟐
 
y = arccos x  x = cos y e 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝝅 
y = arctg x  x = tg y e −
𝝅
𝟐
< 𝒚 <
𝝅
𝟐
 
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Função Arco-Cotangente 
Seja a função f(x) = cot(x), com domínio restrito ao 
intervalo ]0, 𝜋[e imagem em R. A função inversa de f, 
denominada arco-cotangente, definida por 
𝑓−1: 𝑅 → ]0, 𝜋[ é denotada por 
 
 
 
 
Função Arco-Secante 
Seja a função f(x) = sec(x), com domínio restrito ao 
intervalo [0, 
𝜋
2
[ ∪ ]
𝜋
2
, 𝜋] e imagem sobre o intervalo 
]−∞, − 1] ∪ [1, +∞[ . A função inversa de f, 
denominada arco-seno, definida por 
𝑓−1: ]−∞, − 1] ∪ [1, +∞[ →[0, 
𝜋
2
[ ∪ ]
𝜋
2
, 𝜋] é 
denotada por 
 
 
 
Função Arco-Cossecante 
Seja a função f(x) = cosec(x), com domínio restrito ao 
intervalo [−
𝜋
2
, 0[ ∪ ]0, 
𝜋
2
] e imagem sobre o intervalo 
]−∞, − 1] ∪ [1, +∞[ . A função inversa de f, 
denominada arco-seno, definida por 
𝑓−1: ]−∞, − 1] ∪ [1, +∞[ → [−
𝜋
2
, 0[ ∪ ]0, 
𝜋
2
] é 
denotada por 
 
 
 
 
Observações: 
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 
𝝅
𝟐
 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝒕𝒈 𝒙 = 
𝝅
𝟐
 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙 
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝒄 𝒙 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (√𝒙𝟐 − 𝟏) , |𝒙| ≥ 𝟏 
𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝒄𝒙 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(
𝟏
𝒙
) = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒈 (√𝒙𝟐 − 𝟏) , |𝒙| ≥ 𝟏 
 
EXERCÍCIOS 
1. (EEAr - 2010) Simplificando-se a expressão 
,
xseccos
xgcotxtg +
obtém-se 
a) cossec x 
b) cos x 
c) sec x 
d) tg x 
 
2. (EEAr - 2010) Se sen x + cos 2x = 1, então um dos 
valores de sen x é 
a) 1 
b) 
2
1
 
c) 
2
2
 
d) 
3
3
− 
 
3. (EEAr - 2010) Seja x = 150º. Classifique em 
verdadeira(V) ou falsa(F) cada uma das sentenças, a 
seguir assinale a alternativa que apresenta o número 
de sentenças verdadeiras. 
I) 
2
3
xcos = 
II) sen 2x < 0 
III) 0
2
x
tg  
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
y = arccot x  x = cot y e 𝟎 < 𝒚 < 𝝅 
y = arcsec x  x = sec y e 𝟎 ≤ 𝒚 <
𝝅
𝟐
 𝒐𝒖 
𝝅
𝟐
< 𝒚 ≤ 𝝅 
y = arccosec x  x = sec y e −
𝝅
𝟐
≤ 𝒚 < 𝟎 𝒐𝒖 𝟎 < 𝒚 ≤
𝝅
𝟐
 
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4. (EEAr - 2010) Para x.y ≠ 0, a expressão 
º0cosx
º90senyº270xysenº180cosy
2
22 +−
 equivale a 
a) 
x
y
 
b) 
x
1
 
c) 
2x
y
 
d) 
2
2
x
y
 
 
5. (EEAr - 2010) Numa circunferência, a soma das 
medidas de dois arcos é 315º. Se um desses arcos 
mede ,rad
12
11
a medida do outro é 
a) 150º 
b) 125º 
c) 100º 
d) 75º 
 
6. (EEAr - 2010) O valor de cos 15º é 
a) 
2
22 −
 
b) 
2
32 +
 
c) 22 − 
d) 32 + 
 
7. (EEAr - 2011) Se a e b são arcos do 2º quadrante 
tais que 
2
2
asen = e ,
2
1
bcos −= então sen(a + b) é 
a) 
( )
4
232 +−
 
b) 
( )
4
312 +−
 
c) 
( )
4
123 +
 
d) 
( )
4
233 −
 
 
8. (EEAr - 2011) Se sen y = m e cos y = n, o valor de 
yseccos
ysec
é 
a) m 
b) n2 
c) mn 
d) 
n
m
 
 
9. (EEAr - 2011) Se A = tg 120º e B = tg 240º, então 
a) B = A 
b) B = -A 
c) B = 2A 
d) B = -2A 
 
10. (EEAr - 2011) Se 
3
2
xcos = e sen x > 0, então 
sen 2x é 
a) 
9
54
 
b) 
3
52
 
c) 
2
35
 
d) 
6
3
 
 
11. (EEAr - 2012) Um arco de circunferência de rad
6
5
pode ser dividido em ____ arcos de 30º 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
12. (EEAr - 2012) Sejam as sentenças: 
I - período p = π 
II - domínio D = R 
III - conjunto imagem Im = [-1, 1,] 
Em relação à função tangente, é (são) verdadeira(s) 
a(s) sentença(s) 
a) I 
b) III 
c) I e II 
d) II e III 
 
13. (EEAr - 2013) Ao expressar rad
9
16
em graus, 
obtém-se 
a) 170º 
b) 220º 
c) 280º 
d) 320º 
 
14. (EEAr - 2013) Sejam .
b
a
x2sene
5
4
xcos,
5
3
xsen ===
Se 
b
a
 é uma fração irredutível, então b - a é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
15. (EEAr - 2013) Sendo 
t
1
xtg = e sen x = u, uma 
maneira de expressar o valor de cos x é 
a) t 
b) 
t
u
 
c) u.t 
d) u + t 
 
16. (EEAr - 2013) Se x é um arco do 1º quadrante, com 
sen x = a e cos x = b, então 
( )xcos.xtg
xcos.xsen
y
+
= é 
a) a b) b c) -a d) -b 
 
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TRIGONOMETRIA 
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17. (EEAr - 2013) Se α é um ângulo do 1º quadrante, 
tal que ,
2
3
sen  a única alternativa que apresenta um 
possível valor para α é 
a) 15º 
b) 30º 
c) 50º 
d) 65º 
 
18. (EEAr - 2013) Seja x um arco do 3º quadrante tal 
que .
3
1
xsen −= Então o valor de cos x é 
a) 
3
22
− 
b) 
3
2
− 
c) 
3
22
 
d) 
3
2
 
 
19. (EEAr - 2014) Se x é um arco do terceiro quadrante 
tal que ,
3
2
xtg = o valor de sen x é 
a) 
13
13
 
b) 
13
13−
 
c) 
13
132−
 
d) 
13
133−
 
20. (EEAr - 2014) Se 
2
3
xsen = e 0 ≤ x ≤ 2π, então a 
soma dos valores possíveis para x é 
a) 
2

 b) π c) 
2
3
 d) 2π 
 
21. (EEAr - 2014) Dados sen a = x, cos a = y, sen b = z 
e cos b = w, então sen(a + b) é igual a 
a) xw + yz 
b) xz + yw 
c) xy - wz 
d) xw - yz 
 
22. (EEAr - 2015) Se 
13
4
cos.sen = e ,
65
36
cos.sen =
então sen(α + β) é igual a 
a) 
65
56
 b) 
65
40
 c) 
36
13
 d) 
56
13
 
 
23. (EEAr - 2015) Ao simplificar a expressão 
(1 + cos x)(1 - cos x), tem-se 
a) 2 
b) sen2 x 
c) cos2 x 
d) 2 + cos2 x 
 
 
 
24. (EEAr - 2016) O valor correspondente ao cos 15º 
a) 
4
62 +
 
b) 
2
32 +
 
c) 
4
3
 
d) 1 
 
25. (EEAr - 2016) No ciclo trigonométrico os valores de 
x, tais que ,
2
1
xcos  são 
a) 





 



3
5
x
3
/Rx 
b) 





 



3
5
x
3
/Rx 
c) 





 



6
11
x
6
/Rx 
d) 








 2x
6
7
ou
6
x0/Rx 
 
26. (EEAr - 2016) O valor de cos 735º é 
a) 
4
1
 
b) 
4
3
 
c) 
4
62 +
 
d) 
8
62 +
 
 
27. (EEAr - 2017) Seja 
cossec x sec x
M ,
cotgx 1
+
=
+
com 
k
x ,k Z.
2

  Utilizando-se as identidades 
trigonométricas pode-se considerar M igual a: 
a) sen x 
b) cos x 
c) sec x 
d) cossec x 
 
28. (EEAr - 2017) Ao somar as medidas angulares 120° 
e ,rad
2
3
obtém-se a medida de um arco pertencente ao 
___ quadrante. 
a) 1° b) 2º c) 3º d) 4º 
 
29. (EEAr - 2017) No intervalo [0, π], a soma das raízes 
da equação 3cos2 x - 7sen2 x + 2 = 0 é igual a 
a) 4π b) 3π c) 2π d) π 
 
30. (EEAr - 2018) O valor de sen (a + b) – sen (a – b) é 
igual a 
a) sen 2a 
b) cos 2a 
c) 2 sen b . cos a 
d) 2 sen a . cos b 
 
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31. (EEAr - 2018) As funções f(x) = sen x e 
g(x) = cos x, no segundo quadrante, são, 
respectivamente, 
a) decrescente e decrescente 
b) decrescente e crescente 
c) crescente e decrescente 
d) crescente e crescente 
 
32. (EEAr - 2018) O valor de sen 1270° é igual a 
a) – cos 10° 
b) – sen 30° 
c) – sen 10° 
d) – cos 30° 
 
33. (EEAr - 2019) Gabriel verificou que a medida de um 
ângulo é 
3
rad.
10

Essa medida é igual a 
a) 48° 
b) 54° 
c) 66° 
d) 72° 
 
34. (EEAr - 2019) Se 0º ≤ x ≤ 90º e se ,
2
3
x4sen −= um 
dos possíveis valores de x é 
a) 30° 
b) 45° 
c) 75° 
d) 85° 
 
35. (EEAr - 2019) Simplificando a expressão 
sen (2π – x) + sen (3π + x), 
obtém-se 
a) sen x 
b) – sen x 
c) 2 sen x 
d) –2 sen x 
 
36. (EEAr - 2019) Se 
2
3
cos −= e α é um arco cuja 
extremidade pertence ao 2º quadrante, então α pode 
ser _____ .rad
6

 
a) 7 
b) 17 
c) 27 
d) 37 
 
37. (EEAr - 2020) Ao subtrair cos 225° de sen 420°, 
obtém-se 
a) 
2
23 +
 
b) 
2
23 −
 
c) 
2
5
 
d) 
2
1
 
 
38. (EEAr - 2020) Considere x um arco do 3º quadrante 
e cotangente de x igual a ctg x. Se ,
2
2
xsen −= então o 
valor de 
xctg
2
xtgA
2
+= é 
a) 3 
b) 2 
c) 2 
d) 3 
 
39. (EEAr - 2020) Se x é um arco do 2º quadrante, o 
conjunto solução da inequação 
2
3
xsen
2
1
 é {x  R / 
_______}, na primeira volta é: 
a) 

x
3
2
 
b) 
3
2
x
2



 
c) 
6
5
x
3
2 


 
d) 

x
6
5
 
 
40. (EEAr – 2020) Se 
7
sen x cos x
13
+ = e se 
5
tg x ,
12
= −
então, no ciclo trigonométrico, x pertence ao ______ 
quadrante. 
a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º 
 
41. (EEAr – 2020) Se 
10
sen x,
7

= então 
3
sen
7

 e 
4
sen
7

são respectivamente, 
a) x; x 
b) -x; x 
c) x; -x 
d) -x; -x 
 
42. (EEAr – 2020) Sejam A, B e C pontos da 
circunferência de centro O. Se ( )m AB 108º= e 
( ) 26
m BC rad,
45

= então ( )m ABC ___ rad.=  
 
a) 
53
45
 b) 
14
15
 c) 
56
45
 d) 
28
15
 
 
43. (EEAr – 2020) Se 
1
1
cossecxtg x
A
1 tg x secx
+
= +
+
é um número 
real, então A é igual a: 
a) 2tg x 
b) 2sen x 
c) 2cos x 
d) 2cotg x 
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44. (EEAr – 2021) Se ( )
1
sen a b
2
+ = − e 
( )
3
cos a b ,
2
− = − então o valor de(sen a + cos a)(sen b + cos b) é 
a) 
3
4
 b) 
3
4
− c) 
1 3
2
+
 d) 
( )1 3
2
+
− 
 
45. (EEAr – 2021) O ângulo cuja medida é 
37
rad
4

 
pertence ao _____ quadrante. 
a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º 
 
46. (EEAr – 2021) O valor da tg 1665º é: 
a) 0 b) 1 c) 3 d) 3− 
 
47. (EEAr – 2021) Dado tg(x) + cotg (x) = 5/2, determine 
sen 2x: 
a) 2/5 
b) 4/5 
c) 3/7 
d) 9/7 
 
48. (EEAr – 2022) Sejam os arcos de 480° e −4π/3 rad. 
No ciclo trigonométrico, 
esses arcos são tais que ambos estão no 
a) 1º quadrante e são côngruos. 
b) 2º quadrante e são côngruos. 
c) 1º quadrante e não são côngruos. 
d) 2º quadrante e não são côngruos. 
 
49. (EEAr – 2022) Se sen 2x = 1/3 então 
(sec x) : (sen x) é igual a 
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 
 
50. (EEAr – 2022) Os valores que satisfazem a 
equação 
x
3tg 3 0,
2
− = para x  [0, 4π], são 
a) 
7
,
3 3
  
 
 
 
b) 
7
,
6 6
  
 
 
 
c) 
5
,
3 3
  
 
 
 
d) 
5
,
6 6
  
 
 
 
 
51. (EEAr – 2022) O valor numérico de 
sen (-1650º) + cos
35
3
 
 
 
 é 
a) 0 b) 1 c) 3 d)
3 1
2
+
 
 
52. (EEAr – 2023) Do arco x sabe-se que 
sen x . cos x = −1/4. Então, o valor de tg x + cotg x é 
_____ e a extremidade desse arco x pode estar no 
_____ quadrante. 
a) −4; 1º b) −4; 2º c) −2; 3º d) −2; 4º 
 
53. (EEAr – 2023) Seja ABC um triângulo retângulo em 
A, conforme a figura. Se D está em AC e se BC 10 2=
cm, então DC =________cm. 
 
a) 3 6 b) 5 6 c) 
5 6
2
 d) 
10 6
3
 
 
54. (EEAr – 2023) Sobre os arcos de medidas 
7 5
rad, rad
9 3
 
e 220° é correto afirmar que: 
a) 
7 5
rad 220º rad
9 3
 
  
b) 
7 5
rad rad 220º
9 3
 
  
c) 
5 7
220º rad rad
3 9
 
  
d) 
7 5
220º rad rad
9 3
 
  
 
55. (EEAr – 2023) Se f(x) = 3senx e g(x) = cos2x, com 
x real, então o valor de 
3
f g
2 2
    
+   
   
é _____. 
a) 4 b) 2 c) −2 d) −4 
 
56. (EsPCEx – 2009) O número de arcos no intervalo 





 
6
19
,0 cujo valor do cosseno é igual a 
2
1
é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
57. (EsPCEx – 2009) As funções y = sen x e y = cos x 
estão representadas no gráfico abaixo. Então, a medida 
da área do triângulo retângulo definido pelos 
segmentos retilíneos AB, BC e AC é: 
 
a) ( )22
8
−

 
b) 
8

 
c) ( )22
16
−

 
d) 
16
2
 
e) ( )21
16
−

 
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58. (EsPCEx – 2011) O valor numérico da expressão 
( )2º2220tg
3
53
cos.2
2
º1320sec
+




 
− é: 
a) -1 
b) 0 
c) 
2
1
 
d) 1 
e) 
2
3
− 
 
59. (EsPCEx – 2011) A função real f(x) está 
representada no gráfico abaixo. 
 
A expressão algébrica de f(x) é: 
a) 





−
0xse,xcos
0xse,xsen
 
b) 






0xse,xsen
0xse,xcos
 
c) 





−
0xse,xsen
0xse,xcos
 
d) 






0xse,xcos
0xse,xsen
 
e) 




−
0xse,xcos
0xse,xsen
 
 
60. (EsPCEx – 2011) O cosseno do menor ângulo 
formado pelos ponteiros de um relógio às 14 horas e 30 
minutos vale 
a) 
( )3 1
2
+
− 
b) 
( )2 1
2
+
− 
c) 
( )1 2
4
+
 
d) 
( )6 2
4
−
− 
e) 
( )3 2
4
+
 
 
61. (EsPCEx – 2012) Em uma das primeiras tentativas 
de determinar a medida do raio da Terra, os 
matemáticos da antiguidade observavam, do alto de 
uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo 
sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, 
considerada esférica, conforme mostra a figura. 
Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do 
ângulo α é dado por: 
 
a) 
( )
−

=
sen1
hsen
R 
b) 
−

=
sen1
hsen
R 
c) 
1sen
hsen
R
−

= 
d) 

−
=
hsen
sen1
R 
e) 

+
=
hsen
sen1
R 
 
62. (EsPCEx – 2012) Os pontos P e Q representados 
no círculo trigonométrico abaixo correspondem às 
extremidades de dois arcos, ambos com origem em 
(1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no 
sentido positivo. O valor de tg(α + β) é 
 
a) 
3
33 +
 
b) 
3
33 −
 
c) 32 + 
d) 32 − 
e) 31+− 
 
63. (EsPCEx – 2014) A população em uma lagoa varia 
conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no 
período chuvoso e decresce no período de estiagem. 
Esta população é descrita pela expressão 








+












 −
= 5
6
2t
cos10)t(P 3 em que o tempo t é medido 
em meses. É correto afirmar que 
a) o período chuvoso corresponde a seis meses do ano. 
b) a população atinge seu máximo em t = 6 
c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano 
d) a população média anual é de 6000 animais. 
e) a população atinge seu mínimo em t = 4 com 6000 
animais 
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64. (EsPCEx – 2014) Seja .
7log3log
3log
.
2
1
1010
10
−
= O 
conjunto solução da desigualdade 








7
3
3 )xcos( no 
intervalo [0, 2π), é igual a 
a) 




 
3
,0 
b) 




 
3
5
,
3
 
c) 







2,
3
 
d) 







2,
3
 
e) 







2,
2
3
 
 
65. (EsPCEx – 2014) O valor de (cos 165º + sen 155º 
+ cos 145º - sen 25º + cos 35º + cos 15º) é 
a) 2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 
2
1
 
 
66. (EsPCEx – 2014) A soma de todas as soluções da 
equação 2cos3(x) - cos2 (x) - 2cos(x) + 1 = 0, que estão 
contidas no intervalo [0, 2π], é igual a 
a) 2π 
b) 3π 
c) 4π 
d) 5π 
e) 6π 
 
67. (EsPCEx – 2016) A soma das soluções da equação 
cos(2x) - cos(x) = 0, com x  [0, 2π), é igual a 
a) 
3
5
 
b) 2π 
c) 
3
7
 
d) π 
e) 
3
8
 
 
68. (EsPCEx – 2017) Considere o triângulo com 
ângulos internos x, 45º e 120º. O valor de tg2(x) é igual 
a 
a) 23 − 
b) 234 − 
c) 347 − 
d) 32 − 
e) 342 − 
 
 
 
 
 
69. (EsPCEx – 2017) O conjunto solução da inequação 
2sen2 x - cos x - 1  0, no intervalo ]0, 2π] é 
a) 




 
3
4
,
3
2
 
b) 




 
6
5
,
3
 
c) 




 
3
5
,
3
 
d) 




 





 
3
5
,
3
4
3
2
,
3
 
e) 




 





 
6
10
,
6
7
6
5
,
6
 
 
70. (EsPCEx – 2017) Se M = arc tg(x), 





=
x
1
tgarcN e 
P = tg(M - N), o valor de 30P para x = 15 é 
a) 
30
224
 
b) 
6
45
 
c) 45 
d) 224 
e) 225 
 
71. (EsPCEx – 2018) Dentre as alternativas a seguir, 
aquela que apresenta uma função trigonométrica de 
período 2π, cujo gráfico está representado na figura 
abaixo é 
 
a) f(x) = 1 - sen(π - x) 
b) f(x) = 1 + cos(π - x) 
c) f(x) = 2 - cos(π + x) 
d) f(x) = 2 - sen(π + x) 
e) f(x) = 1 - cos(π - x) 
 
72. (EsPCEx – 2018) O número de raízes reais da 
equação 2cos2 x + 3cos x + 1 = 0 no intervalo ]0, 2π[ é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
73. (EsPCEx – 2018) Considere a função f: R → R 
definida por ( ) x3sen24
3)x(f
+
= e a função g: R → R, 
definida por .
3
3
)x(f
x2cos31+








= O produto entre o valor 
mínimo de f e o valor máximo de g é igual a 
a) 
81
1
 
b) 
9
1
 
c) 1 
d) 9 
e) 81 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
Prof. Wellington Nishio 
74. (EsPCEx – 2019) O conjunto solução da inequação 
2cos2 x + sen x > 2, no intervalo [0, 2π], é 
a) 
 
 
 
0,
6
 
b) 
 
 
 
5
,
6
 
c) 
    
    
   
2
0, ,
3 3
 
d) 
 
 
 
0,
3
 
e) 
    
    
   
5
0, ,
6 6
 
 
75. (EsPCEx – 2019) Na figura abaixo está 
representado um trecho do gráfico de uma função real 
da forma y = m.sen(nx) + k, com n > 0. Os valores de 
m, n e k, são, respectivamente, 
 
 a) 3, 

3
e -1. 
b) 6, 

6
 e 1. 
c) -3, 

6
 e 1. 
d) -3, 

3
 e 1. 
e) 3, 

6
 e -1. 
 
76. (EsPCEx – 2020) Se θ é um arco do 4º quadrante 
tal que 
4
cos ,
5
 = então 2sec 3tg +  é igual a 
a) 
2
2
 
b) 
1
2
 
c) 
5 2
2
 
d) 
3
2
 
e) 
19
2
 
 
 
77. (EsPCEx – 2022) No intervalo ]0, 
𝜋
2
], a equação 
( ) ( )
3cos 2
x sen cos 5x cos x
2 2
    
− = − +   
   
 
admite 
a) nenhuma solução. 
b) uma solução. 
c) duas soluções. 
d) três soluções. 
e) infinitas soluções. 
 
78. (AFA - 2006) Identifique as alternativas FALSAS, 
assinalando, a seguir, a alternativa que corresponde à 
soma dos números a elas associados. 
(01) A função 
x x
x x
sen3e cos3e
f(x)
sene cose
= − , para qualquer 
que seja x pertencente ao seu domínio, tem imagem 2. 
(02) sen x + cos x  1 para todo x  [0,]. 
(04) Se 
4
5
xsec = , então 
4
5
2
xseccos −=




 
− 
(08) O domínio da função 




 −
=
6
1x
arcsen)x(f é o 
intervalo ]–7, 7]. 
(16) O período da função f(x) = |(sen x)(cos x)| é  
a) 26 b) 23 c) 15 d) 07 
 
79. (AFA - 2007) Classifique em (V) verdadeira ou (F) 
falsa cada afirmativa abaixo. 
I - O domínio da função real f definida por 
1
f(x) arccos
x 1
=
−
 é o conjunto  x r | x 0 ou x 2   
II - No intervalo [0, 2] o gráfico da função real 
y = –2sen3 x corta o eixo x um número ímpar de vezes. 
III - A função real f: A → [0, 1] tal que f(x) = sen2(2x) 
admite inversa, se 




 
=
2
,
4
A 
Conclui-se que são verdadeiras 
a) I, II e III 
b) apenas I e III 
c) apenas II e III 
d) apenas I e II 
 
80. (AFA - 2007) Analise as proposições seguintes e 
classifique-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 
( ) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 
10 cm, então a distância que sua extremidade percorre 
em 30 minutos é de aproximadamente 31,4 cm 
( ) O domínio da função real f definida por 
f(x) = sec x + cossec x é o conjunto 








= Zkcom,
2
k
x|RxD 
( ) A equação cos x . tg x – cos x = 0 possui 4 raízes no 
intervalo [0, 2] 
( ) O período e a imagem da função trigonométrica f 
definida por f(x) = 2cos2 x – 2sen2 x, são 
respectivamente iguais a 2 e [–2, 2] 
A sequência correta é 
a) V – V – F – F 
b) F – F – V – V 
c) F – V – F – V 
d) V – V – V – F 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
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81. (AFA - 2007) Considere {a, b, c, d}  R e as funções 
reais f e g tais que f(x) = a + b.cos(cx + d) e 
g(x) = a + b.tg(cx + d). Sabendo-se que a, b, c e d 
formam, nessa ordem, uma P.G. cuja soma dos termos 
é 
9
20
− e primeiro termo 
9
1
, é correto afirmar que 
a) o período da função é 2 
b) a função g está definida para
( )
2
23
x
+
= 
c) o conjunto imagem da função f é 





−
9
4
,
9
4
 
d) a função g é crescente para 




 ++

2
65
,
2
63
x 
 
82. (AFA - 2008) No cubo na figura abaixo, considere 
P o ponto de encontro das diagonais da face ABCD e 
Q o ponto de encontro das diagonais da face EFGH e 
 a medida do ângulo PÊQ. 
 
Analise as proposições seguintes. 
(01) 2  é um ângulo maior que 90° 
(02)  é um ângulo do intervalo   60,45 
(04) tg2  =-2tg  
(08) sen 2  = 2tg
3
1
 
(16) cossec 





−

2
3
= tg 60º 
O número que representa a soma das proposições 
verdadeiras é múltiplo de 
a) 3 
b) 7 
c) 5 
d) 2 
 
83. (AFA - 2008) Considere as situações a seguir. 
I) Suponha que a passagem de um pinguim, da água 
para a superfície de uma geleira, possa ser 
representada como no esquema da Figura 1. 
 
II) Suponha também que uma sequência de saltos 
uniformes de uma lebre, possa ser representada como 
no esquema da Figura 2. 
 
Transportando as situações acima para um plano 
cartesiano, considere 
• o eixo das abscissas coincidindo com o nível da 
água gelada para o pinguim; 
• o eixo das abscissas coincidindo com o solo para a 
lebre; 
• a altura do salto do pinguim e da lebre indicada no 
eixo das ordenadas. 
Tendo por base as situações apresentadas, nas figuras 
1 e 2 e ainda a teoria dos gráficos das funções 
trigonométricas, pode-se relacionar aos saltos um tipo 
de gráfico dessas funções. Assim sendo, as funções P 
e L estabelecem os saltos do Pinguim e da Lebre, 
respectivamente. 
A opção que contém funções que podem representar a 
situação descrita, sabendo-se que a função P está 
restrita a um único período, é 
a) xsen2)x(Le
2
xtg)x(P =




 
−−= 
b) xsen2)x(Le
2
xgcot)x(P =




 
+= 
c) P(x) = tg(x) e L(x) = 2 | sen 2x | 
d) P(x) = –2tg(x) e L(x) = | sen 2x | 
 
84. (AFA - 2009) Considere a função real f: A → [1, 3] 
definida por 










−





 
−
=
12
62
x
sen1
)x(f . Sabendo-se que a 
função f é inversível, é correto afirmar que um possível 
intervalo para o conjunto A é 
 
a) 




 
3
7
,
3
 
b) 




 
3
7
,
3
4
 
c) 




 
3
10
,
3
4
 
d) 




 
3
10
,
3
7
 
 
85. (AFA - 2009) Em relação à função real f definida por 
f(x) = |1− 8sen2(2x)cos2(2x)| − 2 é INCORRETO afirmar 
que 
a) Im(f) = [−2, −1] 
b) tem seu valor mínimo como imagem de algum x, 





 

4
,
8
x 
c) seu período é igual a
8

 
d) é estritamente crescente em 




 
16
3
,
16
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
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86. (AFA - 2010) Sobre a função real f definida por 
( )( )xcosxsen61)x(f +−= , é INCORRETO afirmar que 
a) Im(f) = [-1, 2] 
b) é decrescente para todo 




 

4
3
,
4
x 
c) possui 8 raízes no intervalo [0, 2] 
d) tem período igual ao período da função real g dada 
por g(x) = 2f(x) 
 
87. (AFA - 2010) Seja a função real f definida por 






−

−= x6
2
sen)x4cos()x(f . 
Marque a alternativa que possui a melhor 
representação, no ciclo trigonométrico, de todas as 
raízes da função f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88. (AFA - 2011) O período da função real f definida por
xcosx3cos
xsenx3sen
)x(f
+
+
= é igual a 
a) 2π 
b) π 
c) 
4

 
d) 
2

 
 
89. (AFA - 2012) Considere A o conjunto mais amplo 
possível na função real f: A → R, dada por 
xsec
xcos
xseccos
senx
)x(f += 
Sobre a função f é correto afirmar que 
a) é periódica com período igual a . 
b) 








= Zk,
2
k
x|RxA 
c) é decrescente se 






++

 Zk,k2xk2
2
|Rxx 
d) é ímpar. 
 
90. (AFA - 2012) Sendo x  [0, 2], a interpretação 
gráfica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução 
da inequação –8sen4x + 10sen2x – 3 < 0 dada por 
 
 
91. (AFA - 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi 
programada de modo que a altura de cada onda varie 
com o tempo de acordo com o modelo 





 





 





 
+

=
2
x
sen
4
x
sen
4
x
2
sen3)x(f em que y = f(x) é a 
altura da onda, em metros, e x o tempo, em minutos. 
Dentre as alternativas que seguem, assinale a única 
cuja conclusão NÃO condiz com o modelo proposto. 
a) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros. 
b) Entre o momento de detecção de uma crista(altura 
máxima de uma onda) e o de outra seguinte, passam-
se 2 minutos. 
c) De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de 
duas cristas. 
d) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150, 
... segundos são sempre iguais. 
 
92. (AFA - 2013) Sejam as funções reais f, g e h 
definidas por 
xsec
xcos
xseccos
senx
)x(f += , g(x) = |sec x| e 
h(x) = |cossec x|, nos seus domínios mais amplos 
contidos no intervalo [0, 2]. 
A(s) quantidade(s) de interseção(ões) dos gráficos de f 
e g; f e h; g e h é(são), respectivamente 
a) 0, 0 e 4 
b) 3, 1 e 4 
c) 2, 3 e 4 
d) 0, 2 e 3 
 
93. (AFA - 2014) Sejam f e g funções reais dadas por 
cos
x2sen
)x(f = e g(x) = 2, cada uma definida no seu 
domínio mais amplo possível. 
Analise as afirmações abaixo. 
I) O conjunto solução da equação f(x) = g(x) contém 
infinitos elementos. 
II) No intervalo 




 
4
5
,
4
3
, a função é crescente. 
III) O período da função f é p = . 
 
Sobre as afirmações, é correto afirmar que 
a) apenas III é verdadeira. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) todas são falsas. 
d) apenas II e III são verdadeiras. 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIAProf. Wellington Nishio 
94. (AFA - 2014) No ciclo trigonométrico da figura 
abaixo acrescentou-se as retas r, s, t e z 
 
Nestas condições, a soma das medidas dos três 
segmentos em destaque, AT, TP e PB, pode ser 
calculado, como função de α, por 
a) sec α 
b) cossec α 
c) tg α + cotg α 
d) cossec α + sec α 
 
95. (AFA - 2016) Considere a função real sobrejetora 
f: A → B definida por 
xcos
x3cos
senx
x3sen
)x(f −= . Sobre f é 
FALSO afirmar que 
a) O conjunto A é 








 Zk,
2
k
x|Rx . 
b) f é par. 
c) f é injetora. 
d) B = {2} 
 
96. (AFA – 2019) Seja a equação trigonométrica 
tg3 x – 2tg2 x – tg x + 2 = 0, com  
3
x 0,2 , .
2 2
   
  −   
  
Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto 
solução dessa equação, é correto afirmar que são, 
exatamente, 
a) três 
b) quatro 
c) cinco 
d) seis 
 
97. (AFA – 2019) Considere as matrizes 
sen x 1
A
1 sen x
− 
=  
− 
 e 
sen x sen x
B .
1 3
 
=  
− 
Se o 
determinante do produto matricial AB é um número real 
positivo ou nulo, então os valores de x, no ciclo 
trigonométrico, que satisfazem essa condição estão 
representados em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98. (AFA – 2020) Em uma roda gigante, a altura h, em 
metros, em que uma pessoa se encontra, em relação 
ao solo, no instante t, em segundo, é dada pela função 
h: ℝ → ℝ, definida por h(t) = A + B.sen(Ct), em que A, 
B e C são constantes reais. 
A figura a seguir ilustra o gráfico dessa função, no 
intervalo [0, 150]. 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) 
Verdadeira ou (F) Falsa. 
( ) |A . B . C| =  
( ) No instante t = 20 s, a pessoa estará a uma altura h 
tal que h  [15,7; 17,8]. 
( ) A função real f definida por 
3
f(t) 10 9cos t
2 60
  
= − − 
 
é idêntica à função h. 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) apenas uma é verdadeira. 
d) nenhuma delas é verdadeira. 
 
99. (AFA – 2021) Em uma aula de topografia, o 
professor queria mediar a largura de um rio. Para tal, 
ele tomou dois pontos A e B em uma margem do rio e 
outro ponto C na margem oposta de modo que o 
segmento CA ficasse perpendicular ao segmento AB, 
como indicado na figura a seguir. 
 
Considere que: 
• a distância entre os pontos A e B é de 30 m; 
• os ângulos agudos α e β podem ser obtidos através 
da equação ( ) ( )( )2 2 5
sen x 9 sen cos cos 0,
2
 −   +  =
na qual x = 2 é uma de suas raízes; 
• 2 1,4 e 3 1,7.= = 
A largura aproximada do rio, em m, é igual a 
a) 15 b) 17 c) 21 d) 51 
 
100. (AFA – 2022) Considere a função real f: D → IR 
definida por 
senx cosx
f(x)
cossec x sec x
= − 
Marque a alternativa correta. 
a) O conjunto imagem de f é ]-2, 2[ 
b) f é decrescente se x ∈ ]0, 
𝜋
2
[ 
c) D = { x ∈ IR | x ≠ kπ, k ∈ ℤ} 
d) O período de f é π 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
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101. (AFA – 2023) Os ângulos α e β satisfazem a 
equação (cos α − cosβ)2 + (sen α + sen β)2 = 2, com α, 
β e (α + β) ∈ [0, 2] 
Analise e classifique corretamente cada uma das 
proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou 
(F) FALSA. 
( ) α = β = 
3
4

satisfazem a equação. 
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α + β) = 1 
( ) A igualdade é verdadeira somente se α =
3

 e β =
6

 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são falsas. 
b) todas são verdadeiras. 
c) apenas uma é verdadeira. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
 
102. (EFOMM – 2017) Dado f(x) = x + a, 
( )
2sen x a a
f g(x)
a 1
+ +
=
+
 e 
2
g .
4 8
 
= 
 
Determine o 
valor de a. 
a) a = 0 
b) a = 1 
c) a = 2 
d) a = 3 
e) a = 4 
 
103. (EFOMM – 2020) Uma parte do gráfico da função 
f está representado na figura abaixo. Assinale a 
alternativa que pode representar f(x). 
 
a) ( )f(x) sen x 1= −  + 
b) f(x) 2sen x 1
2
 
= − + 
 
 
c) f(x) sen 2x 2
6
 
= − + 
 
 
d) ( )f(x) 2sen 2x 1= + 
e) f(x) 2sen x 1
6
 
= − + 
 
 
104. (EFOMM – 2021) O valor de 
2 2
2
sec (5) cossec (5)
cossec (10)
+
é igual a 
a) 
1
2
 
b) 1 
c) 2 
d) 
5
2
 
e) 4 
105. (ITA – 2009) A expressão 
2
2
11 x
2 sen x cotg x tg
2 2
x
1 tg
2
  
+  +  
  
+
 é equivalente a 
a) [cos x – sen2 x]cotg x 
b) [cos2 x – sen x]cotg2 x 
c) [sen x + cos x]tg x 
d) [1 – cotg2 x]cotg x 
e) [1 + cotg2 x] [sen x + cos x] 
 
106. (ITA – 2010) Se os números reais α e β, com 
4
,0 ,
3

 +  =     maximizam a soma 
sen α + sen β, então α é igual a 
a) 
3
3

 
b) 
2
3

 
c) 
3
5

 
d) 
5
8

 
e) 
7
12

 
 
107. (ITA – 2012) Seja 
x x x xe e e e
S x | arcsen arccos .
2 2 2
− −    − −  
=  + =    
     
Então, 
a) S =  
b) S = {0} 
c) ℝ+ - {0} 
d) S = ℝ+ 
e) S = ℝ 
 
108. (ITA – 2012) Seja x  [0, 2] tal que 
2
sen(x)cos(x) .
5
= Então, o produto e a soma de todos 
os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente 
a) 1 e 0 
b) 1 e 
5
2
 
c) -1 e 0 
d) 1 e 5 
e) -1 e 
5
2
− 
109. (ITA – 2012) A soma ( )
n
k 0
cos k ,
=
 +  para todo 
α  [0, 2] vale 
a) -cos(α) quando n é par. 
b) -sen(α) quando n é ímpar. 
c) cos(α) quando n é ímpar. 
d) sen(α) quando n é par. 
e) zero quando n é ímpar. 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
Prof. Wellington Nishio 
110. (ITA – 2013) Seja a um número real e n o número 
de todas as soluções reais e distintas x  [0, 2] da 
equação cos8 x – sen8 x + 4.sen6 x = a. Das afirmações: 
I. Se a = 0, então n = 0; 
II. Se 
1
a ,
2
= então n = 8; 
III. Se a = 1, então n = 7; 
IV. Se a = 3, então n = 2, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas III. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e IV. 
e) todas. 
 
111. (ITA – 2013) Se 
1
cos2x ,
2
= então um possível 
valor de 
( ) ( )
cot gx 1
cossec x sec x
−
−  −  −
 é 
a) 
3
2
 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 2 
 
112. (ITA – 2014) Sabendo que 
2 2
2ab
sen x ,
a b
=
+
a  0 e 
b  0, um possível valor para 
1
cossec 2x tg x
2
− é 
a) 
a b
ab
−
 
b) 
a b
2ab
+
 
c) 
2 2a b
ab
−
 
d) 
2 2a b
4ab
+
 
e) 
2 2a b
ab
−
 
 
113. (ITA – 2015) Os valores de x  [0, 2] que 
satisfazem a equação 2sen x – cos x = 1 são 
a) 
3
arccos e .
5
 
 
 
 
b) 
3
arcsen e .
5
 
 
 
 
c) 
4
arcsen e .
5
 
−  
 
 
d) 
4
arccos e .
5
 
−  
 
 
e) 
4
arccos e .
5
 
 
 
 
 
114. (ITA – 2015) Sejam α e β números reais tais que 
α, β, α + β  ]0, 2[ e satisfazem as equações 
2 44 1
cos cos
2 5 2 5
 
= + e 2 44 3
cos cos
3 7 3 7
 
= + . 
Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a 
a) -1 
b) 
3
2
− 
c) 
2
2
− 
d) 
1
2
− 
e) 0 
 
115. (ITA – 2016) Se tg x 7= e 
3
x , ,
2
 
  
 
 então 
sen 3x é igual a 
a) 
14
8
− 
b) 
14
8
 
c) 
14
4
 
d) 
14
4
− 
e) 
14
6
 
 
116. (ITA – 2016) Um triângulo retângulo tem perímetro 
igual a 5, em que é o comprimento da hipotenusa. 
Se α e β são seus ângulos agudos, com α < β, então 
sen(β – α) é igual a 
a) 5 2 5− 
b) 6 3 5− + 
c) 16 5 35− 
d) 20 5 44− 
e) 18 5 40− 
 
117. (ITA – 2017) O número de soluções da equação 
(1 + sec θ)(1 + cossec θ) = 0, com θ  [-, ], é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
118. (ITA – 2017) O maior valor de tg x, com 
1 3
x arcsen
2 5
 
=  
 
 e x 0, ,
2
 
  
 
 é 
a) 1/4 
b) 1/3 
c) 1/2 
d) 2 
e) 3 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
Prof. Wellington Nishio 
119. (ITA – 2018) Com relação a equação 
3
2
tg x 3tg x
1 0,
1 3tg x
−
+ =
−
podemos afirmar que 
a) no intervalo ,
2 2
  
− 
 
 a soma das soluções é igual a 
0. 
b) no intervalo ,
2 2
  
− 
 
 a som a das soluções é maior 
que 0. 
c) a equação admite apenas uma solução real. 
d) existe uma única solução no intervalo 0, .
2
 
 
 
 
e) existem duas soluções no intervalo ,0
2
 
− 
 
. 
 
120. (ITA – 2019) Seja f: [-1,1] → ,
2 2  
− 
 
 a função 
definida por f(x) = arcsen(x). Então, a soma 
4
n
n 0
2
f cos
3=
 
 
 
 é igual a 
a) 
253
162
 b) 
245
162
 c) 
152
81
−  d) 
82
81
−  e) 
79
162
−  
 
121. (ITA – 2020) Seja a um número real satisfazendo 
0 a .
2

  Então, a soma de todos os valores de 
x  [0, 2] que satisfazem a equação 
cos x. sen(a + x) = sen a é igual a 
a) 5 + 2a 
b) 5 + a 
c) 5 
d) 5 - a 
e) 5 - 2a 
 
122. (EN – 2011) Sejam A e B conjuntos de números 
reais tais que seus elementos constituem, 
respectivamente, o domínio da função 
1 2sen x
f(x)
1 2sen x
− +
=
+
no universo [0, 2] e o conjunto 
solução da inequação 
1 1
0
cossec x sec x
−  para 0 < x 
< , com x .
2

 Pode-se afirmar que B – A é igual a 
 
a) 
5 11
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
b) 
5 7
,
6 6
  
 
 
 
c)  
d) 
7 11
, ,
6 4 4 6
      
   
   
 
e) 
5
,
6
 
 
 
 
 
 
123. (EN – 2012) Considere S, a soma das raízes da 
equação trigonométrica 4sen3 x – 5sen x – 4cos3 x + 
5cos x = 0, no intervalo 0,
2
 
 
 
. Qual o valor de 
tg S + cossec 2S? 
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 
 
124. (EN – 2013) A soma dos quadrados das raízes da 
equação |sen x| = 1 – 2sen2 x, quando 0 < x < 2 vale 
a) 249
36
 b) 249
9
 c) 27
3
 d) 214
9
 e) 249
6
 
 
125. (EN – 2014) Sabendo que 
3b sec ...
3 6 12
   
= + + + 
 
 então, o valor de 
2log b é 
a) 8 b) 4 c) 3 d) 1 e) 0 
 
126. (EN – 2014) A soma das soluções da equação 
trigonométrica cos 3x – cos 2x + cos x = 1 no intervalo 
[0, 2], é 
a) 8 
b) 6 
c) 
8
3

 
d) 5 
e) 
5
2

 
 
127. (EN – 2014 – Feminino) Considerando que a 
função f(x) = cos x, 0  x  , é inversível, o valor de 
2
tg arccos
5
 
 
 
 é 
a) 
21
5
− 
b) 
4
25
 
c) 
21
2
− 
d) 
21
25
 
e) 
21
2
 
 
128. (EN – 2014 – Feminino) Para que valores de m 
vale a igualdade 
m 1
senx ,x
m 2
−
= 
−
? 
a) m < 2 
b) 
3
m
2
 
c) 
3
m ou m 2
2
  
d) 
5
m ou m 2
2
  
e) 
7
m ou m 2
2
  
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
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129. (EN – 2015) Sabendo que log x representa o 
logaritmo de x na base 10, qual é o domínio da função 
real de variável real 
3
3
x
arccos log
10
f(x) ?
4x x
 
 
 
=
−
 
a) ]0, 2[ 
b)
1
,1
2
 
 
 
 
c) ]0, 1] 
d) [1, 2[ 
e)
1
,2
2
 
 
 
 
 
130. (EN – 2015) O valor do produto 
cos40º.cos80º.cos160º é 
a) 
1
8
− b) 
1
4
− c) -1 d) 
3
2
− e) 
2
2
− 
 
131. (EN – 2015 – Feminino) Um observador, de altura 
desprezível, situado a 25 m de um prédio, observa-o 
sob um certo ângulo de elevação. Afastando-se mais 
50 m em linha reta, nota que o ângulo de visualização 
passa a ser metade do anterior. Podemos afirmar que 
a altura, em metros, do prédio é 
a) 15 2 
b) 15 3 
c) 15 5 
d) 25 3 
e) 25 5 
 
132. (EN – 2017) Seja q = (cos 5º).(cos 20º).(cos 85º) a 
razão de uma progressão geométrica infinita com termo 
inicial 0
1
a
4
= . Sendo assim, é correto afirmar que a 
soma dos termos dessa progressão vale: 
a) 
1
15
 
b) 
2
15
 
c) 
3
15
 
d) 
4
15
 
e) 
7
15
 
 
133. (EN – 2021) Seja cos2(x – y) = sen(2x)sen(2y), 
para todos x e y reais, dentro do intervalo 0, .
2
 
 
 
 Com 
base nessa equação, assinale a opção que apresenta 
a solução de x + y. 
a) 
2

 b) 
4

 c) 
3

 d) 
6

 e) 
8

 
 
134. (IME – 2008) Sabe-se que 
( )
2
cos2x
sen x
2 2
y , x .
2 1 4
+
=  
+
Uma outra expressão para y é 
a) 2 
b) 
2sen x2− 
c) 
22sen x2− 
d) 
2cos x2− 
e) 
22cos x2− 
 
135. (IME – 2010) O valor da expressão 
2 2
1 1
y sen arcsen arccos ,
a 1 a 1
    
= +    
− −    
onde a é 
um número real e a  (-1, 0), é: 
a) -1 
b) 0 
c) 
1
2
 
d) 
3
2
 
e) 1 
 
136. (IME – 2011) O valor de x que satisfaz a equação 
sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x)): 
a) 
3
2
 
b) 
1
2
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
− 
e) 
3
2
− 
 
137. (IME – 2011) O valor de 
2 4 6 1
cos cos cos
7 7 7 2
  
+ + + é: 
a) -1 
b) 0 
c) -0,5 
d) 0,5 
e) 1 
 
138. (IME – 2012) Seja 
3
arcsenx aecseny arcsenz ,
2

+ + = onde x, y e z são 
números reais pertencentes ao intervalo [-1, 1]. 
Determine o valor de 
100 100 100
101 101 101
9
x y z .
x y z
+ + −
+ +
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
TRIGONOMETRIA 
Prof. Wellington Nishio 
139. (IME – 2012) O valor de y = sen 70ºcos 50º + 
sen 260ºcos 280º é: 
a) 3 
b) 
3
2
 
c) 
3
3
 
d) 
3
4
 
e) 
3
5
 
 
140. (IME – 2013) Assinale a alternativa que apresenta 
o mesmo valor da expressão 
[4cos2(9°) - 3][4cos2(27°) - 3]: 
a) sen(9°) 
b) tg(9°) 
c) cos(9°) 
d) sec(9°) 
e) cossec(9°) 
 
GABARITO 
 
A) 4, 5, 10, 12, 14, 18, 21, 22, 24, 28, 31, 37, 42, 50, 54, 
59, 63, 78, 79, 80, 81, 87, 92, 93, 94, 105, 111, 113, 
117, 130, 133 
 
B) 2, 6, 7, 9, 11, 20, 23, 25, 33, 36, 46, 47, 48, 49, 51, 
52, 61, 64, 67, 76, 82, 83, 84, 86, 89, 90, 98, 99, 106, 
107, 108, 114, 115, 118, 119, 120, 124, 126, 128, 140 
 
C) 1, 3, 15, 19, 26, 27, 30, 32, 34, 39, 45, 56, 57, 65, 68, 
69, 77, 91, 95, 125, 134, 137, 138 
 
D) 8, 13, 16, 17, 29, 35, 38, 40, 41, 43, 44, 53, 55, 58, 
60, 62, 66, 70, 72, 73, 75, 85, 88, 96, 97, 100, 101, 102, 
129, 131, 132, 136, 139 
 
E) 71, 74, 103, 104, 109, 110, 112, 121, 122, 123, 127, 
135