Matemática - Livro 3-019-021

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F
R
E
N
T
E
 1
19
17 AFA Simplifique a expressão:
⋅ +
⋅ ⋅ ⋅
senx cos x senx
cos x
senx cos x secx tgx secx
3
2
2
encontra-se:
A zero.
 1
C sen x
d cos x
E 1
18 UFMS 2020 A expressão trigonométrica
sen x cos x
sen x cos x
3 3
é equivalente a:
A sen2 x cos2 x
 sen x + cos x.
C 1 - sen x ∙ cos x.
d
+sen x cos x
sen x cos x
E +
sen2x
2
1.
19 Simplificando a expressão:
sen
11
2
cos a 9 tg a
7
2
sen 5 a
( )
( )
π
+ π ⋅ + π




π
, obtemos:
A –cossec2 a
 –tg2 a
C sec2 a
d cossec2 a
E cos2 a
20 Se senx cosx
1
2
+ = , calcule sen x ⋅ cos x.
21 Simplificar a expressão:
logsen x
log(1 cosx) log(1 cosx)
4
+ +
22 Determine θ, 0 ≤ θ < 2p, para que a equação na in
cógnita x, x2 (2sec θ)x + 1 = 0, admita uma única raiz.
23 Para todo x real ( )+ π


⋅ πcos x
2
sen 3 x é igual a:
A sen x · cos x
 2sen2 x
C sen2 x
d sen x · cos x
E sen2 x
24 Faap Sendo =cossecx 2 e x um arco do 1o quadrante,
calcular tg x
25 UFRJ Achar os valores de x que verificam
simultaneamente as igualdades: =
+
cosa
6x 2
5
 e
=
+
cosseca
5
3x 2
.
26 Fatec Se ∈
π




t 0,
2
, x = tg t e y = cossec t.
Calcule y em função de x
27 UFPR 2020 Seja x um arco no primeiro quadrante.
a) Encontre o valor de sen (x), sabendo que
=cos(x)
3
8
b) Encontre o valor de sen (x), sabendo que 8tg (x)=
= 3cos (x)
28 UEMG 2018 Sobre trigonometria, analise as assertivas
e assinale a alternativa que aponta as corretas.
I. =




cos(x) 2cos
x
2
1.
2
II. O valor de (1 + cotg2 x)(1 – cos2 x), para x ≠ kp, com k
inteiro, é igual a 1.
III. A medida do arco trigonométrico da 1a volta positiva,
côngruo ao arco de medida −40°, é 40°.
IV. tg 50° ∙ tg 310° < 0.
A Apenas I, II e IV
 Apenas I, II e III
C Apenas I e IV
d Apenas II e III
29 Sendo = < <
π
senx
1
5
 e 0 x
2
, calcular o valor de:
=
+
+y
1
cossecx cotgx
1
cossecx cotgx
30 UEM 2017 Sabendo-se que =sen x
3
4
 e que cos x > 0,
é correto afirmar que
01 x é um número real tal que π + π < < + π
3
2
2k x 2(k 1) .
02 =cos x
7
8
.
2
04 = −tg x
3 7
7
.
08 = −cos2x
1
8
.
16 sen (180° x) < 0.
Soma:
31 O dobro do seno de um ângulo θ < θ <
π
, 0
2
, é igual
ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor
de seu cosseno é:
A
2
3

3
2
C 2
2
d 1
2
E 3
3
MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares20
32 ITA Se R denota o conjunto dos números reais e (a; b)
o intervalo aberto { }∈ π


→R Rx : a < x < b , f: 0,
2
denida por
( ) = +f x sec x cossec x2 2 .
Se α ∈
π



0,
2
 é tal que α =tg
a
b
, então f(x) é igual a:
A
+a b
2
 ⋅ +
1
2
a b
2 2
C
a b
ab
2 2
d
+a b
ab
2 2
E n.d.a.
33 ITA A equação da reta t, tangente à circunferência de
raio r no ponto P, conforme figura a seguir, é dada por:
y
x
θ
O
P
A xsen θ + ycos θ = r
 xsen θ - ycos θ = -r
C xcos θ - ysen θ = -r
d xcos θ + ysen θ = r
E xcos θ + ysen θ = -r
34 ITA Sejam a e b constantes reais e positivas. Conside-
re x = a2 · tg t + 1 e y2 = b2 sec2 t b2, onde 0 t
2
≤ ≤
π
.
Então, uma relação entre x e y é dada por:
A ( )= ⋅ − ≥y b
a
x 1 ; x a
2
 ( )= ⋅ − ≥y
b
a
x 1 ; x 1
2
4
2
C ( )= ⋅ − ∀ ∈Ry
b
a
x 1 ; x
2
d ( )=
−
⋅ − ≥y
b
a
x 1 ; x 1
2
E ( )= ⋅ − ≤y
a
b
x 1 ; x 1
2
4
35 ITA Seja n ∈ N com n > 1 fixado. Considere o conjunto
= ∈






ZA
p
q
: p, q e 0 < q < n .
Denimos f: R→ R por f(x) = [cos(n!px)]2n.
Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f,
então:
A f(A) = ] 1; 1[
 f(A) = [0; 1]
C f(A) = {1}
d f(A) = {0}
E f(A) = {0; 1}
36 Esc. Naval Se =cosx
3
7
 e x é tal que:
π
< <
π15
2
x
31
4
, logo o produto:
M = (sen x) · (tg x) · (cotg x) · (sec x) é igual a:
A 2 10
5
 -2 10
7
C
5
3 10
d
2 10
3
E 10
4
37 Verificar que, para < <
π
0 x
2
, se tem:
I. log tg x + log cotg x = 0
II.
−
+
+ = −2log
1 senx
1 senx
logcos x log(1 senx)
2 2
38 Fuvest Dentre os números a seguir, o mais próximo de
sen 50° é:
A 0,2
 0,4
C 0,6
d 0,8
E 1,0
39 Sabendo-se que =tgx
a
b
, calcular sen x, cos x e cotg x
40 O valor de (cos² 1° + cos² 2° + + cos² 89°) (sen² 1°+
+ sen² 2° + + sen² 89°) é:
A 1
 0
C 1
d 89
E impossível calcular sem uma tabela trigonométrica
41 Dentre os valores a seguir, o que mais se aproxima
do cos 1 é:
A 0,80
 1,15
C 0,90
d 0,45
E
3
p
F
R
E
N
T
E
 1
21
No ciclo trigonométrico, considere um arco α e observe a obtenção
geométrica de seu seno, cosseno e sua tangente.
sen x tg x
tg α
sen α
cos α cos x
α
Todas as funções trigonométricas podem ser obtidas a partir do seno
e do cosseno. Veja:
= =
= =
tgx
senx
cosx
secx
1
cosx
cotgx
cosx
senx
cossecx
1
senx
Relação fundamental da Trigonometria e suas variações:
sen x + cos x = 1
2 2
1 + cotg x = cossec x
2 2
 tg x + 1 = sec x
2 2
Quer saber mais?
Sites
• Clique em Trigonometria 1.1.
Disponível em: <www.somatematica.com.br/softwares.php#>.
• Clique nas animações das funções seno e cosseno.
Disponível em: <http://mat.ufpb.br/~lenimar/animacoes.htm>.
Resumindo
eTexto complementar
Origens da Trigonometria
As funções trigonométricas tangente e cotangente surgiram das medi-
ções de alturas e distâncias Observe um exemplo extraído do papiro
Rhind (1650 a.C.) que fornece as dimensões de uma pirâmide quadrada
e pede o chamado seqt, que é o número obtido quando o percurso
horizontal é dividido pela elevação vertical da face da pirâmide. Para os
egípcios, o seqt era uma indicação da inclinação da face da pirâmide, o
correspondente à cotangente Observe a figura abaixo
y
x
θ seqt cotg= = θ
x
y
Determinação do seqt.
A ideia da tangente surgiu com o cálculo das sombras projetadas por
uma vertical nos relógios de sol, usados no Egito já em 1500 a.C. Foi ob-
servado que elevações mais altas do Sol provocavam sombras menores.
De acordo com a figura abaixo: o tamanho da vara é constante (h), uma
inclinação maior provoca uma sombra menor (s2 > s1).
Podemos relacionar o tamanho dessa sombra com a tangente
dos ângulos Assim: θ = θ =tg
h
s
 e tg
h
s1
1
2
2
Os egípcios tabelaram as sombras para uma determinada vara, o que
era indiretamente uma tabela de valores da tangente para diversas
inclinações (dependendo do horário).
S
1
S
2
α
1
β
2
2
1
h
Determinação da tangente