Construção de Arcos no GeoGebra

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Construção de arcos côngruos no GeoGebra
O GeoGebra é um software livre de Matemática que pode ser utilizado em di-
versos conteúdos de Números, Álgebra e Geometria. Ele foi criado pelo matemático 
austríaco Markus Hohenwarter (1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos 
Estados Unidos. 
Neste momento, vamos usar o GeoGebra para construir arcos côngruos.
Você tem diversas opções de uso do GeoGebra Classic: em um computador, pode 
fazer o download no site www.geogebra.org/download (acesso em: 24 jun. 2020); em 
um smartphone, pode baixá-lo na loja oficial de aplicativos do sistema operacional do 
aparelho; ou pode acessá-lo on-line no site https://www.geogebra.org/classic (acesso 
em: 24 jun. 2020).
As imagens que utilizaremos aqui são da versão on-line. Mas você 
pode escolher a opção de uso que julgar mais oportuna.
1o passo: Selecione a opção “Círculo dados Centro e Um de seus 
Pontos” e clique nos pontos (0, 0) e (1, 0), nessa ordem. Com isso, 
você construiu uma circunferência trigonométrica. Você deverá ter uma 
imagem como a apresentada ao lado.
Note que o GeoGebra atribui automaticamente nomes aos pontos 
criados: pontos A e B, respectivamente. Além disso, na parte esquerda da 
tela (no caso da versão on-line), o software mostra as coordenadas desses 
pontos, além de nomear a circunferência como "círculo c" e apresentar a 
equação correspondente a ela. 
2o passo: Selecione a ferramenta “Controle Deslizante”, clique sobre 
algum local da tela, marque a opção “Ângulo” e mude o valor máximo, 
que inicialmente estava em 360°, para 3 600°, possibilitando dar 10 vol-
tas na circunferência trigonométrica. Certifique-se de que o incremento 
esteja indicado como 1°.
3o passo: Agora, selecione a opção “Ângulo com Amplitude Fixa”, 
clique sobre os pontos B e A, nessa ordem. Na janela que aparecer, 
digite a para a medida de abertura e deixe selecionado o sentido anti-
-horário. 
Como a medida angular de um arco corresponde à medida de aber-
tura do ângulo central que o subtende, podemos considerar o controle 
deslizante de a como a medida angular do arco »BB8, que é criado no 
software.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas 
deste Manual.
Qualquer programa 
gratuito de computador 
cujo código-fonte deve 
ser disponibilizado para 
permitir o uso, o estudo, 
a cópia e a redistribuição.
Software livre
Professor, os estudantes possivelmente 
não estudaram equação de circunferência. 
Apesar de o GeoGebra apresentá-la 
automaticamente na tela, esse conceito 
não será necessário para desenvolver a 
atividade de construção de arcos côngruos. 
Comente com eles que o GeoGebra nomeia 
como círculo, mas estamos construindo uma 
circunferência de centro (0, 0) e que passa 
por (1, 0).
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Tela do GeoGebra após o 1o passo.
Tela do GeoGebra durante o 2o passo.
Tela do GeoGebra durante 
o 3o passo.
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Note que, apesar de termos criado o ângulo com medida de abertura a (entre 0° e 3 600°), o GeoGebra 
cria uma medida b que corresponde à primeira determinação positiva (primeira volta) de a. Assim, a e b são 
medidas angulares de arcos côngruos.
4o passo: Movendo o con-
trole deslizante de a, variamos 
a medida angular a do arco 8BB» 
e, consequentemente, a primei-
ra determinação positiva b. Ar-
raste o controle deslizante até 
a 5 1 500° e observe, durante 
o movimento, que o ponto B8 
percorre 4 voltas completas e 
para em b 5 60°, pois 1 500° 5 
5 4 ? 360° 1 60°. Então, 60° é 
um arco côngruo a 1 500°.
5o passo: Arraste o controle deslizante de a para diferentes valores e observe o respectivo arco 8BB» na 
circunferência trigonométrica e o valor de b que é exibido. Você também pode utilizar a seta que aparece 
ao lado do controle deslizante e ativar o simulador, que vai aumentar a medida angular a até 3 600° e depois 
diminuir até 0°, e assim sucessivamente. Enquanto o GeoGebra mostra a simulação, você pode alterar a ve-
locidade com que a aumenta ou diminui.
	 1.	A construção que você fez no GeoGebra permite obter rapidamente a primeira de-
terminação positiva b de cada medida angular a considerada. Use essa construção 
para responder aos itens.
	a) Qual é a medida angular da primeira determinação positiva do arco de 3 000°? 
	b) Quais são os arcos côngruos a 35° na segunda, terceira, quarta e quinta voltas da circunferência trigo-
nométrica?
	c) O ponto B8 obtido com a 5 2 000° está na mesma posição do ponto B8 obtido com a primeira determi-
nação positiva b 5 200°? Por quê?
	d) O ponto B8 obtido com a 5 3 000° está na mesma posição do ponto B8 obtido com a primeira determi-
nação positiva b 5 300°? Por quê?
120°
Salve as construções 
que você fizer.
Fique atento
As respostas dos itens b, c e d encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Você pode ampliar 
ou reduzir a imagem 
no GeoGebra 
usando as 
ferramentas de zoom 
(na parte inferior 
direita da tela) ou 
utilizando o scroll do 
mouse (a “rodinha” 
que fica na parte 
superior da maioria 
dos mouses).
Fique atento
Professor, em algumas versões do 
GeoGebra é possível acessar um teclado 
virtual e selecionar nele a letra a. Na 
versão on-line isso pode não estar 
disponível; então, se necessário, oriente 
os estudantes a copiar a letra a do 
controle deslizante para colá-la na janela do ângulo com amplitude fixa.
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Tela do GeoGebra após o 3o passo.
Tela do GeoGebra após o 4o passo.
Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
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