Eletricidade e Magnetismo

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ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
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CCAAPPÍÍTTUULLOO 88 
EELLEETTRRIICCIIDDAADDEE EE MMAAGGNNEETTIISSMMOO 
8.1 Resistência Elétrica 
 
8.1.1 Resistores 
 
Uma resistência elétrica pode ser definida como a propriedade que determina, para uma dada 
corrente, a fração de energia que se converte em energia térmica. Seu valor é tal que o produto da 
resistência pelo quadrado da corrente equivale à potência elétrica convertida em calor. Um resistor é 
um elemento físico (dispositivo) cuja finalidade principal é a introdução de uma resistência elétrica 
no circuito. Aplicando-se uma tensão V a uma resistência de valor R a corrente resultante é 
proporcional à tensão, ou seja, 
 
RIV = 8.1 
 
em qualquer instante. A equação 8.1 é conhecida como a Lei de Ohm, e o gráfico correspondente 
(V versus I), pode ser visto na figura 8.1. 
0 2 4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
10
12
V 
(V
)
I (mA)
 
Figura 8.1: Gráfico típico da lei de Ohm. 
 
 
A inclinação da reta (coeficiente angular) da figura 8.1, corresponde ao valor da resistência. 
A reta em vermelho é o ajuste feito após a coleta de dados experimentais de voltagem e corrente. 
 Portanto, o resistor é o elemento físico representado a grosso modo pela sua resistência, no 
qual o fenômeno físico principal que nele ocorre é o da condução elétrica; conseqüentemente, 
resistores apresentam efeito Joule e se aquecem ao conduzir corrente elétrica. Um tipo especial de 
resistor cuja resistência pode ser variada por meios mecânicos, sem interromper o circuito, é 
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denominado reostato. Um resistor variável muitas vezes utilizado como um divisor de tensão, é o 
potenciômetro. Os símbolos do resistor comum (resistência), reostato e potenciômetro são indicados 
abaixo: 
 
 
 Resistor ou “resistência” Potenciômetro 
 
 
 Reostato 
 
Vários são os tipos de resistores empregados na prática, conforme mostra a figura 8.2. As suas 
características são: a tolerância, a resistência elétrica (valor em Ohm), a potência dissipada (corrente 
máxima), desde que 
2RIP = 8.2 
 
que também pode ser escrita como (usando a equação 8.1): 
 
VIP = 8.3 
 
 
 
Figura 8.2: Resistores industrializados. As faixas coloridas gravadas sobre alguns deles são códigos que indicam o valor 
de sua resistência. 
 
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Notamos então que na escolha de um resistor devemos nos preocupar não somente com seu 
valor em ohms, mas também com sua máxima potência de dissipação, para estarmos certos de que 
ele não se danificará pelo aquecimento durante a utilização. Quanto maior a área exposta, maior a 
sua capacidade de dissipação de calor, ou seja, quanto maior a superfície lateral do dispositivo, maior 
a potência que ele suporta. Em circuitos elétricos normalmente se empregam resistores de fio 
metálico (liga de Ni-Cr, em geral) enrolado sobre isolante, de filme de óxido metálico, de filme 
metálico, de carvão, de carvão moldado com aglutinante, etc. Os mais utilizados são os de carvão 
depositado e são fabricados em tamanhos permitindo dissipações máximas de 1/8 W, 1/4 W, 1/2 W, 
1W e 2W de potência. Para que não haja risco de danificar o componente, damos em geral uma 
margem de segurança de 100%; por exemplo, um resistor de 1 W é usado para dissipar somente até 
0,5 W. Estes resistores são fabricados com tolerâncias de 5, 10 e 20%. Os valores vêm indicados 
sobre o resistor segundo o código de cores, pois este fornece toda a informação necessária para se 
identificar um resistor. Podem vir pintados, conforme ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
1° anel 
 2° anel 3° anel 4º anel 
 
Código de Cores 
 
Cor 1º Anel 1º algarismo 
2º Anel 
2º algarismo 
3º Anel 
Multiplicador 
4º Anel 
Tolerância 
Preto 0 0 100 - 
Marrom 1 1 101 - 
Vermelho 2 2 102 - 
Laranja 3 3 103 - 
Amarelo 4 4 104 - 
Verde 5 5 105 - 
Azul 6 6 106 - 
Violeta 7 7 107 - 
Cinza 8 8 108 - 
Branco 9 9 109 - 
Ouro - - 10-1 5% 
Prata - - 10-2 10% 
Incolor - - - 20% 
 
Para se determinar o valor da resistência, considerar: 
1º anel: 1º algarismo significativo 
2º anel: 2° algarismo significativo 
3º anel: multiplicador decimal 
4º anel: tolerância 
 
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Exemplo 8-1: Considere o resistor dado acima, onde: 
1º anel: marrom = 1 
2º anel: vermelho = 2 
3º anel: preto = 100 
4º anel: ouro = 5% 
R = (12 x 100) Ω ± 5% = (12 x 1) Ω ± 5% = (12,0 ± 0,6) Ω 
R = (12,0 ± 0,6) Ω 
8.2 Força Eletromotriz 
 
Uma fonte de força eletromotriz (fem) é um dispositivo qualquer (uma bateria ou um 
gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito. Pode-se pensar 
numa fonte de fem como uma "bomba de cargas" que força os elétrons a se moverem numa direção 
oposta à da força eletrostática que atua sobre essas cargas negativas, no interior da fonte. A fem, ε, 
de uma fonte é medida pelo trabalho feito sobre urna carga unitária, e por isso a unidade no SI 
(sistema internacional de medidas) de fem é o volt. 
Consideremos o circuito que aparece na Figura 8.3, constituído por uma bateria ligada a um 
resistor. 
 
Figura 8.3: Circuito constituído por um resistor ligado aos terminais de uma bateria. 
 
Vamos admitir que os fios de ligação não tenham resistência. O terminal positivo da bateria 
está num potencial mais elevado que o terminal negativo. Se desprezássemos a resistência interna 
da própria bateria, a diferença de potencial na bateria (a voltagem entre os terminais) seria igual à 
fem da bateria. No entanto, em virtude de uma bateria real ter sempre uma certa resistência interna 
r, a voltagem entre os terminais não é igual à fem da bateria. O circuito da figura 8.3 pode ser 
esquematizado pelo diagrama da figura 8.4. A bateria, simbolizada pelo retângulo mais escuro, é 
representada por uma fonte de fem, ε, em série com uma resistência interna, r. Imaginemos, então, 
única carga positiva deslocando-se entre os pontos a e b da figura 8.4. Quando essa carga passa do 
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, o seu potencial aumenta de ε. No entanto, ao 
se deslocar através da resistência r, o seu potencial diminui de Ir, onde I é a corrente no circuito. 
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Figura 8.4: Diagrama de um circuito com uma fonte de fem ε, cuja resistência interna é r, ligada a 
uma resistor externo R. 
 
 
Então, a voltagem entre os terminais da bateria, V = Vb – Va é dada por 
 
IrV −ε= 8.4 
 
Por esta expressão, observa-se que ε é a voltagem em circuito aberto, isto é, a voltagem 
entre os terminais quando a corrente é nula. Pela inspeção da Fig. 8.3, vemos que a voltagem entre 
os terminais V também é igual à diferença de potencial na resistência externa R, que é muitas vezes 
denominada a resistência de carga. Isto é, V = IR. Combinando essa equação com a equação 8.4, 
vemos que 
 IrIR +=ε 8.5 
 
 
 
Isolando a corrente, temos 
 
rR
I +
ε=8.6 
 
Este resultado mostra que a corrente neste circuito simples depende da resistência externa à 
bateria e da resistência interna. 
 
Exemplo 8-2: Uma bateria tem uma fem de 12 V e uma resistência interna de 0,05Ω. Os seus 
terminais estão ligados a uma resistência de carga de 3Ω. 
(a) Achar a corrente no circuito e a voltagem entre os terminais da bateria. 
(b) Calcular a potência dissipada na resistência de carga, a potência dissipada na resistência 
interna da bateria e a potência total dissipada pela bateria. 
 
Resolução: 
(a) A corrente no circuito: 
A93,3
05,3
V12
rR
I =Ω=+
ε= 
A voltagem entre os terminais da bateria: ( )( ) V8,1105,0A93,3V12IrV =Ω−=−ε= 
 
(b) A potência dissipada na resistência de carga é 
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( ) ( ) W3,463A93,3RIP 22R =Ω== 
A potência dissipada na resistência interna da bateria é 
 
( ) ( ) W772,005,0A93,3rIP 22r =Ω== 
 
A potência total dissipada pela bateria é a soma das duas potências anteriores: 
 
W1,47W772,0W3,46PPP rR =+=+= 
 
8.3 Associação de Resistores em Série 
 
Quando dois ou mais resistores estiverem ligados, de modo que só tenham em comum um 
único ponto por par, a ligação entre os resistores é em série. A figura 8.5 mostra dois resistores R1 e 
R2 ligados em série a uma bateria ideal de diferença de potencial (ddp) V . Observe que 
 21 III == 8.7 
 
a corrente é a mesma através de cada resistor, pois qualquer carga que passa por R1 deve ser igual à 
carga que passa por R2. 
 
 
 
Figura 8.5: Ligação em série de dois resistores R1 e R2. As correntes em cada resistor são iguais. 
 
Por outro lado, pela lei de Ohm sabemos que a ddp nos terminais de cada resistor é dada por 
2222
1111
RIRIV
RIRIV
⋅=⋅=
⋅=⋅=
 
dessa forma, a voltagem total num circuito com dois resistores associados em série é dada por 
( )21
21
21
RRIV
RIRIV
VVV
+⋅=
⋅+⋅=
+=
 
 
Podemos, então, substituir os dois resistores em série por uma única resistência equivalente 
Req. Podemos associar a resistência equivalente à resistência total que o circuito oferece à passagem 
de corrente, cujo valor é a soma das resistências individuais: 
 
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21
ser
eq RRR += 8.8 
 
A resistência equivalente de n resistores ligados em série é, simplesmente, 
 
n321
ser
eq RRRRR ++++= ? 8.9 
 
Portanto, a resistência equivalente de resistores ligados em série é sempre maior que 
qualquer uma das resistências individuais. 
 
8.4 Associação de Resistores em Paralelo 
 
Consideremos agora dois resistores ligados em paralelo, como mostra a figura 8.6. 
 
Figura 8.6: Ligação de dois resistores, R1 e R2, em paralelo. A diferença de potencial em 
cada resistor é a mesma. 
 
Nesse caso, a diferença de potencial é a mesma em cada resistor. 
 
21 VVV == 8.10 
 
A corrente, porém, não é, em geral, a mesma nos resistores. Quando uma corrente I atinge 
um ponto como a (um nó), divide-se em duas partes, I1, que vai pelo ramo R1, e I2 que vai pelo 
ramo R2. Se R1 for maior que R2, então I1, será menor que I2. Isto é, a carga tende a seguir a via de 
menor resistência. Como é claro, uma vez que a carga deve ser conservada, a corrente I que entra no 
nó a deve ser igual à corrente que sai deste nó: 
 
21 III += 8.11 
 
Uma vez que a diferença de potencial (ddp) em cada resistor é constante, a lei de Ohm nos 
dá 
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151
2
2222
1
1111
21
R
VIIRV
R
VIIRV
VVV
=⇒⋅=
=⇒⋅=
==
 
Pela equação 8.11 e as obtidas logo acima, temos 
 
par
eq2121
21 R
V
R
1
R
1V
R
V
R
VIII =


 +=+=+= 8.12 
 
Com esse resultado, vemos que a resistência equivalente de dois resistores em paralelo é 
dada por 
21
21par
eq
21
par
eq RR
RRR
R
1
R
1
R
1
+
⋅=⇒+= 8.13 
 
Para n resistores ligados em paralelo, entretanto, devemos considerar a resistência 
equivalente sendo 
n321
par
eq R
1
R
1
R
1
R
1
R
1 ++++= ? 8.14 
 
Pode-se ver, com esta expressão, que a resistência equivalente de dois ou mais resistores 
ligados em paralelo é sempre menor que a resistência presente no grupo de resistores. 
Nos circuitos domésticos, as lâmpadas (e outros equipamentos domésticos) são ligados em 
paralelo. Dessa maneira, cada dispositivo opera independentemente um do outro, de modo que, se 
um deles for desligado, os outros permanecem ligados. Igualmente importante é o fato de todos os 
equipamentos operarem na mesma voltagem. 
 
Exemplo 8-3: Quatro resistores estão ligados como mostra a figura a) abaixo. 
(a) Achar a resistência equivalente entre a e c. 
(b) Qual a corrente, em cada resistor, se a diferença de potencial (ddp) entre a e c for constante e 
igual a 42 V ? 
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A resistência dos quatro resistores que aparecem em a) pode ser reduzida, em etapas, à 
resistência de um único resistor de 14Ω. 
 
Solução: a) O circuito pode ser reduzido, em etapas, como ilustra a figura acima. Os resistores de 8 
Ω e 4 Ω estão em série, e então, a resistência equivalente entre a e b, dada pela equação 8.3.2, é 
Ω=Ω+Ω= 1248Rsereq 
Os resistores de 6 Ω e 3 Ω estão em paralelo, e então, pela equação 8.4.4 achamos a 
resistência equivalente entre b e c 
Ω=Ω
Ω=Ω+Ω
Ω×Ω= 2
9
18
36
36R
2
par
eq 
 
 
 
Os resistores de 12 Ω e de 2 Ω estão em série. Então, a resistência equivalente de a para c, 
pela equação 8.3.2, é 
Ω=Ω+Ω= 14212Req 
 
(b) A corrente I nos resistores de 8 Ω e de 4 Ω é a mesma, pois os dois estão em série, sendo a 
corrente total do circuito. Com a lei de Ohm e o resultado obtido em (a), temos 
A3
14
V42
R
VI
eq
ac =Ω== 
 
Quando esta corrente entra no nó em b, divide-se, e uma parte passa pelo resistor de 6 Ω (I1) 
e outra parte pelo resistor de 3 Ω (I2). Uma vez que a diferença de potencial nesses resistores é a 
mesma (estão em paralelo), podemos chamá-la de Vbc. Assim, a voltagem total no circuito é dada 
por: 
bcabac VVV += 
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A voltagem entre os pontos a e b, é a soma da voltagem nos resistores de 8 Ω e 4Ω, já que 
esses resistores se encontram ligados em série. Então, temos 
Ω⋅+Ω⋅=Ω⋅+Ω⋅= 4A38A34I8IVab 
V12V24Vab += 
V36Vab = 
 
Dessa forma, fica fácil encontrar a voltagem que percorre os dois resistores que estão 
ligados em paralelo. 
bcbcabac VV36V42VVV +=⇒+= 
V6V36V42Vbc =−= 
 
Finalmente, é possível calcular a corrente em cada resistor em paralelo, através da lei de 
Ohm. 
A1
6
V6
6
VI bc1 =Ω=Ω= 
 
A2
3
V6
3
VI bc2 =Ω=Ω= 
 
 
Já que a corrente I se divide em duas partes no nó em b, é de se esperar que a soma de I1 e I2 
deva ser igual a I, o que se verifica na prática. 
 
Exemplo 8-4: Três resistores estão ligados em paralelo, como mostra a figura abaixo. 
 
Uma diferença de potencial de 18 V se mantém entre os pontos a e b. 
(a) Achar a corrente em cada resistor. 
(b) Calcular a potência dissipada em cada resistor e apotência total dissipada nos três resistores. 
(c) Calcular a resistência equivalente dos três resistores e, a partir do resultado, achar a potência 
total dissipada. 
 
Solução: (a) Os resistores estão em paralelo, e a diferença de potencial em cada um deles é 18 V. 
Aplicando a lei de Ohm a cada resistor temos 
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⇒Ω== 3
V18
R
VI
1
1 A6I1 = 
 
⇒Ω== 6
V18
R
VI
2
2 A3I1 = 
 
⇒Ω== 9
V18
R
VI
3
3 A2I1 = 
 
(b) A potência em cada resistor é dada por: 
3Ω: ( ) ( ) ⇒Ω⋅=⋅= 3A6RIP 21211 W108P1 = 
 
6Ω: ( ) ( ) ⇒Ω⋅=⋅= 6A3RIP 22222 W54P2 = 
 
9Ω: ( ) ( ) ⇒Ω⋅=⋅= 9A2RIP 23233 W36P3 = 
 
Observe que para achar a potência dissipada em cada resistor também se pode usar P = I V. 
A soma dos três valores dá a potência total : 
 
W198PPPP 321T =++= 
 
(c) Podemos usar a equação da resistência equivalente para resistores associados em paralelo, assim 
teremos 
321eq R
1
R
1
R
1
R
1 ++= 
 
9
1
6
1
3
1
R
1
eq
++= 
 
18
11
18
236
R
1
eq
=++= 
 
Ω=
11
18R eq 
 
A potência total dissipada é: 
( ) W198
11
18A11RIP 2eq
2
T =Ω⋅=⋅= 
 
 
 
 
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8.5 Capacitores 
 
Pode-se armazenar energia, na forma de energia potencial, esticando a corda de um arco, 
distendendo uma mola, comprimindo um gás ou levantando um livro. Pode-se também fazê-lo num 
campo elétrico; e um capacitor é um dispositivo apropriado para tal fim. 
Durante o processo de carga, o capacitor de uma bateria portátil numa máquina fotográfica, 
por exemplo, acumula carga com lentidão, criando assim um campo elétrico nesse período de 
tempo. A manutenção do campo e de sua energia ocorre até o momento em que acontece a rápida 
liberação da energia durante a curta duração do flash. 
Os capacitores, nesta época da eletrônica e da microeletrônica, têm muitas aplicações, além 
de servirem como armazenadores de energia potencial. Por exemplo, eles constituem elementos 
vitais nos circuitos com os quais sintonizamos os transmissores e os receptores de rádio e televisão. 
Outro exemplo, os capacitores microscópicos formam os bancos de memória dos computadores. Os 
campos elétricos nestes minúsculos dispositivos são significativos não só pela energia armazenada, 
mas também pela informação LIGA-DESLIGA que a presença ou a ausência deles proporciona. 
 
 
8.5.1 Capacitância 
Os capacitores se apresentam numa grande variedade de tamanhos e formas, conforme 
podemos observar na figura 8.7. 
 
 
 
Figura 8.7: Capacitores fabricados em diversas formas. 
 
 
Entretanto, como mostra a figura 8.8, os elementos básicos de qualquer capacitor são dois 
condutores isolados de formato arbitrário. Chamamos tais condutores de placas, qualquer que seja 
sua geometria. 
 
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Figura 8.8: Dois condutores, isolados um do outro e de suas vizinhanças, formam um capacitor. Quando o capacitor é 
carregado, os condutores, ou placas como eles são chamados, ficam com cargas de mesmo módulo q e sinais contrários. 
 
 A figura 8.9a mostra um arranjo menos geral, porém mais convencional, chamado de 
capacitor de placas paralelas, que consiste em duas placas condutores paralelas de área A, separadas 
por uma distância d. O símbolo que usamos para representar um capacitor ( ) é baseado na 
estrutura de um capacitor de placas paralelas; entretanto, é usado para capacitores de todas as 
geometrias. Supomos, por enquanto, que nenhum meio material, como vidro ou plástico, esteja 
presente na região entre as placas. 
Quando um capacitor é carregado, suas placas adquirem cargas iguais, mas de sinais 
opostos, +q e -q. Entretanto, referimo-nos à carga de um capacitor como sendo q, o valor absoluto 
dessas cargas sobre as placas. (Note que q não é a carga líquida do capacitor, que é zero.) 
Uma vez que as placas são condutores, elas constituem superfícies equipotenciais: todos os 
pontos sobre uma placa têm o mesmo potencial elétrico. Além disso, existe uma diferença de 
potencial V entre as duas placas. 
 
 
Figura 8.9: (a) Um capacitor de placas paralelas, feito de duas placas de área A separadas por uma distância d. As 
placas têm cargas iguais e opostas de módulo q sobre as superfícies que se defrontam. (b) Como mostram as linhas de 
campo, o campo elétrico é uniforme na região central entre as placas. As linhas de campo se deformam nas bordas das 
placas, evidenciando que naquela região o campo não é uniforme. 
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A carga q e a diferença de potencial V para um capacitor são proporcionais uma à outra. Isto 
é, 
VCq ⋅= 8.15 
 
A constante de proporcionalidade C, cujo valor depende da geometria das placas, é chamada 
de capacitância do capacitor. 
A unidade SI de capacitância que segue da equação 10.1 é o coulomb por volt. Esta unidade 
é o farad (F): 
1 farad = 1F = 1 coulomb/volt 
1F = 1C/V 
Na prática as unidades mais usadas são os submúltiplos do farad, tais como o microfarad 
(1µF = 10-6 F) e o picofarad (1 pF = 10-12 F). 
 
8.6 Cálculo da Capacitância 
 
O nosso objetivo é calcular a capacitância de um capacitor, desde que se conheça a sua 
geometria. A seguir, mostraremos a expressão apropriada para o cálculo da capacitância de acordo 
com a geometria do capacitor. 
 
8.6.1 Capacitor de Placas Paralelas 
 
Consideremos o capacitor da figura 8.10. Vamos supor que as placas desse capacitor sejam 
tão grandes e estejam tão próximas uma da outra, que podemos ignorar a “distorção” do campo 
elétrico nas suas bordas. 
 
 
Figura 8.10: Um capacitor de placas paralelas carregado. Entre as placas vemos a trajetória do campo elétrico. 
 
A capacitância para esta geometria é dada por: 
 
d
AC 0ε= 8.16 
onde: 
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade) 
A é a área das placas, em m2 
d é a distância entre as placas, em metros. 
 
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8.6.2 Capacitor cilíndrico 
A figura 8.11 mostra, lateralmente (a) e em secção transversal (b), um capacitor cilíndrico de 
comprimento L, formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Supomos que L >> b, de modo 
que podemos desprezar a “distorção” do campo elétrico que ocorre nas extremidades dos cilindros. 
A placa interna contém carga +q e a placa externa contém carga –q. 
 
 
Figura 8.11: (a) Capacitor cilíndrico constituído por um condutor cilíndrico de raio a e comprimento L, envolto por uma 
casca cilíndrica, que é coaxial, de raio b. (b) Vista em corte de um capacitor cilíndrico. 
 
 
A capacitância é dada por 
( )a/bln
L2C 0επ= 8.17 
onde: 
π = 3,1415....... (constante pi); 
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade); 
L é o comprimento do cilindro coaxial (em metros); 
a é o raio do cilindro interno (em metros); 
b é o raio do cilindro externo (em metros); 
ln é o logaritmo neperiano (ln = loge , onde e = 2,719.....). 
 
Vemos que a capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de 
placas paralelas, depende somente de fatores geométricos, neste caso, L, b e a. 
 
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8.6.3 Capacitor Esférico 
A figura 8.12 mostra um exemplo de um capacitor esférico, sendo constituído por uma casca 
esférica, de raio b e carga –q, concêntrica a uma esfera condutora menor, de raio a e carga +q. 
 
 
Figura 8.12: Um capacitor esférico consiste em uma esfera interna, de raio a, dentro de uma casca esférica concêntrica , 
de raio b. O campo elétrico entre as esferas é radial, para fora, se a esfera interna for positiva. 
 
A capacitância é dada por 
ab
ab4C 0 −επ= 8.18 
onde: 
 
π = 3,1415....... (constante pi); 
ε0 = 8,85 x 10-12 F/m (constante de permissividade); 
a é o raio da esfera interna (em mm , cm ou metros); 
b é o raio da casca esférica externa (em mm, cm ou metros); 
 
Exemplo 8-5: As placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas por uma distância d = 
1,0 mm. Qual deve ser a área da placa para que a capacitância seja de 1,0F? 
 
Solução: Da equação 8.16 temos 
( ) ( )
m/F1085,8
m100,1F0,1dCA 12
3
0
−
−
×
×⋅=ε
⋅= 
 
28 m101,1A ×= 
 
 
Esta é a área de um quadrado cujo lado mede mais de 10 Km. O farad é de fato uma unidade 
grande. Contudo, a tecnologia moderna tem permitido a construção de capacitores de 1 F de 
tamanhos muitos modestos. Estes “supercapacitores” são utilizados como fontes de voltagem 
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160 
secundárias para computadores; eles podem manter a memória do computador por mais de 30 dias 
no caso de queda de potência. 
 
 
Exemplo 8-6: Os condutores interno e externo de um longo cabo coaxial, usado para transmitir 
sinais de TV, tem diâmetros a = 0,15 mm e b = 2,1 mm. Qual é a capacitância por unidade de 
comprimento deste cabo? 
 
Solução: Da equação 8.17, temos 
( )
( ) ( )



×π=επ=
−
mm15,0
mm1,2ln
m/F1085,82
a/bln
2
L
C 120 
 
m/F1021
L
C 12−×= 
 
Exemplo 8-7: Um capacitor sobre um chip RAM (com acesso aleatório de memória) tem uma 
capacitância de 55 x 10-15 F. Estando ele carregado a 5,3 V, quantos elétrons em excesso existem 
sobre sua placa negativa? 
 
Solução: O número n de elétrons em excesso é dado por q/ε, onde ε é a carga fundamental do 
elétron (ε = 1,8 x 10-19 C). Então, usando a equação 10.1, temos 
 ( ) ( )
C1060,1
V3,5F1055
e
VC
e
qn 19
15
−
−
×
⋅×=⋅== 
 
elétrons108,1n 6×= 
 
 
8.7 Capacitores em Paralelo 
A figura 8.13a mostra três capacitores ligados em paralelo a uma bateria B. Os terminais da 
bateria estão ligados por fios condutores diretamente às placas dos três capacitores. Como a bateria 
mantém uma diferença de potencial V em seus terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial 
V através de cada um deles. 
Dizemos que capacitores associados estão ligados em paralelo quando uma diferença de 
potencial V aplicada através da associação resulta na mesma diferença de potencial através de cada 
capacitor, e a carga total acumulada, é a soma das cargas individuais acumuladas em cada capacitor. 
 
Procuramos a capacitância única Ceq, que seja equivalente à associação em paralelo e, assim, 
possa substituí-Ia (como na Fig. 8.13b) sem variação da carga total q armazenada na combinação ou 
da diferença de potencial V aplicada através da associação. 
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161
De acordo com a equação 8.15, podemos escrever para cada capacitor 
VCqe,VCq,VCq 332211 ⋅=⋅=⋅= 
 
 
Figura 8.13: (a) Três capacitores ligados em paralelo com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V 
entre seus terminais e, assim através de cada um dos capacitores da associação em paralelo. (b) A capacitância 
equivalente Ceq substitui a associação em paralelo. A carga sobre Ceq é igual à soma das cargas q1, q2 e q3, sobre os 
capacitores de (a). 
 
A carga total da associação em paralelo vale 
 ( ) VCCCqqqq 321321 ⋅++=++= 
 
A capacitância equivalente, com a mesma carga total q e a diferença de potencial V aplicada 
à associação é, então, 
321eq CCCV
qC ++== 
um resultado que pode ser estendido para qualquer número n de capacitores, como 
 
n321eq CCCCC ++++= ? 8.19 
 
A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo, é simplesmente a 
soma das capacitâncias individuais. 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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162 
8.8 Capacitores em série 
 
A figura 8.14a mostra três capacitores ligados em série a uma bateria B, que mantém uma 
diferença de potencial V através dos terminais esquerdo e direito da associação em série. O que 
produz diferenças de potencial V1, V2 e V3 através dos capacitores C1, C2 e C3, respectivamente, tais 
que V1 + V2 + V3 = V. 
 
Dizemos que capacitores associados estão ligados em série, quando uma diferença de 
potencial aplicada através da associação é a soma das diferenças de potencial resultantes através de 
cada capacitor, e a carga total acumulada é a mesma carga acumulada em cada capacitor da 
associação. 
 
Procuramos a capacitância única Ceq que seja equivalente à associação em série e, assim, 
possa substituí-Ia (como na Fig. 8.14b) sem variação da carga total q armazenada na associação ou 
da diferença de potencial V aplicada através da associação. Quando a bateria está ligada, cada 
capacitor na figura 8.14a tem a mesma carga q. Isso é válido, mesmo que os três capacitores sejam 
de tipos diferentes e possam ter capacitâncias diferentes. Para compreender, notemos que o 
elemento do circuito englobado pelas linhas tracejadas na figura 8.14a está eletricamente isolado do 
resto do circuito. Inicialmente, não há carga líquida neste elemento e - exceto a ruptura elétrica dos 
capacitores - não existe modo algum de haver movimento de carga para dentro dele. A ligação da 
bateria produz simplesmente uma separação de carga nesse elemento, com uma carga +q se 
movendo para a placa esquerda e uma carga - q se movendo para a placa direita; a carga líquida 
dentro da linha tracejada na Fig. 8.14a permanece zero. A aplicação da equação 8.15 a cada 
capacitor nos dá 
 
3
3
2
2
1
1 C
qVe,
C
qV,
C
qV === 
 
A diferença de potencial para a associação em série é, então, 
 
321 VVVV ++= 
 
321 C
q
C
q
C
qV ++= 
 



 ++⋅=
321 C
1
C
1
C
1qV 
 
 
A capacitância equivalente vale 
 
321eq C
1
C
1
C
1
C
1 ++= 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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163
 
Figura 8.14: (a) Três capacitores ligados em série com a bateria B. A bateria mantém uma diferença de potencial V 
entre os lados esquerdo e direito da associação em série. (b) A capacitância equivalente Ceq substitui a associação em 
série. A diferença de potencial V através de Ceq é igual à soma das diferenças de potencial V1, V2 e V3, através dos 
capacitores de (a). 
 
Para n capacitores em série, temos 
 
n321eq C
1
C
1
C
1
C
1
C
1 ++++= ? 8.20 
 
Da equação 8.20, podemos concluir que a capacitância equivalente da ligação em série é 
sempre inferior à menor das capacitâncias na série de capacitores. 
Exemplo 8-8: Considere o circuito abaixo: 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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164 
(a) Determine a capacitância equivalente da associação mostrada na figura acima. Suponha que 
F5,4CeF3,5C,F0,12C 321 µ=µ=µ= 
 
(b) Uma diferença de potencial V = 12,5 V é aplicada aos terminaisde entrada da figura acima. 
Qual é a carga sobre C1 ? 
Solução: 
 
(a) Os capacitores C1 e C2 estão em paralelo. Da equação 10.5, a capacitância equivalente desta 
associação é 
2112 CCC += 
 
F3,17F3,5F0,12C12 µ=µ+µ= 
 
Como mostra a figura abaixo, a associação C12 e C3 está em série. 
 
Da equação 8.20, a capacitância equivalente final, é 
2222
312eq F85,77
F8,21
F85,77
F5,4F3,17
F5,4
1
F3,17
1
C
1
C
1
C
1
µ
µ=µ
µ+µ=µ+µ=+= 
Invertendo as frações dos dois lados da igualdade, vem 
 
F57,3
8,21
F85,77Ceq µ=µ= 
 
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165
(b) Como os capacitores C12 e C3 estão associados em série, sabemos que a carga acumulada em 
ambos é a mesma, e corresponde à carga total. Dessa forma, temos 
(c) ( ) ( ) .C6,44F5,12F57,3VCq eqT µ=µ⋅µ=⋅= 
Esta mesma carga existe sobre cada capacitor na associação em série. Representaremos q12 
(= qT) a carga sobre C12 . A diferença de potencial através de C12 é, então 
V58,2
F3,17
C6,44
C
qV
12
12
12 =µ
µ== 
Esta mesma diferença de potencial aparece através de C1, já que C1 e C2 estão assoicados em 
paralelo. Representaremos por V1 (=V12) a diferença de potencial através de C1. Temos, então 
( ) ( )V58,2F0,12VCq 111 ⋅µ=⋅= 
C0,31q1 µ= . 
8.9 Campos Magnéticos 
Experiências realizadas ao longo dos últimos séculos nos mostraram que todo ímã, 
independente da sua forma, tem dois pólos, o pólo norte e o pólo sul, que exercem forças, um sobre 
o outro, de maneira análoga à carga elétrica. Isto é, pólos iguais se repelem e pólos opostos se 
atraem. Mas, embora a força entre dois pólos magnéticos seja semelhante à força entre duas cargas 
elétricas, há uma importante diferença. As cargas elétricas podem ser isoladas (por exemplo, um 
elétron ou um próton), enquanto os pólos magnéticos não podem ser isolados. Ou seja, os pólos 
magnéticos sempre se encontram aos pares. Todas as tentativas que se fizeram até hoje para detectar 
um monopólo magnético isolado não tiveram êxito. Qualquer que seja o número de vezes em que se 
divide um ímã permanente, sempre se tem em cada pedaço um pólo norte e um pólo sul. 
Hoje sabemos que cargas elétricas em movimento geram um campo magnético, e cargas 
elétricas em movimento ficam submetidas a forças devidas a um campo magnético. 
Mas o que tem a ver ímãs e cargas elétricas em movimento? Até a descoberta de que as 
correntes elétricas produziam efeitos magnéticos, Ampère sugeria que o campo magnético gerado 
por um ímã teria origem numa multidão de minúsculas correntes elétricas existentes em seu interior. 
Na época de Ampère, isso era apenas uma hipótese, mas hoje sabemos que a matéria é 
constantemente percorrida por cargas em movimento. Dentro das moléculas, os elétrons estão em 
contínua e rápida rotação. A idéia sugerida por Ampère se revelou correta. De fato, graças ao 
movimento dos elétrons, em alguns casos um átomo pode ser descrito como um circuito 
microscópico percorrido por corrente, podendo gerar no espaço circundante um fraquíssimo campo 
magnético. 
Como os átomos de um pedaço de ferro não-magnetizado estão orientados de todos os 
modos possíveis, os pequenos campos magnéticos por eles gerados dão uma resultante vetorial nula 
(figura 8.15a). Quando, porém, se magnetiza esse pedaço de ferro, a maior parte de seus átomos se 
orienta numa direção bem determinada (figura 8.15b). 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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166 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 8.15: (a) Num pedaço de ferro, as rotações dos elétrons no interior dos átomos geram correntes microscópicas, 
que produzem pequeníssimos campos magnéticos. Entretanto, como os elétrons giram em todos os planos possíveis, a 
soma de seus campos magnéticos dá uma resultante nula. O campo magnético total do pedaço de ferro é, portanto, igual 
a zero. (b) A presença de um campo magnético B externo ao pedaço de ferro (gerado, por exemplo, por um ímã) faz 
com que os elétrons passem a girar em planos paralelos. Os campos magnéticos por eles gerados tendem, assim, a se 
dispor na mesma direção do campo externo, e sua resultante é diferente de zero. Nessas condições, o ferro se torna um 
ímã. 
 
 
Na verdade, qualquer ponto interno do ímã está situado entre correntes atômicas com 
sentidos contrários, cujos efeitos se anulam. Já na superfície externa, as correntes giram todas no 
mesmo sentido. 
Assim, no interior do ímã, tudo se passa como se não houvesse corrente. Sobre a superfície 
externa, entretanto, circula uma corrente superficial semelhante à que percorre os fios de uma 
bobina. Do ponto de vista magnético, o ímã cilíndrico e a bobina se equivalem, gerando, portanto, o 
mesmo campo magnético externo. 
Podemos dizer que, em última análise, um campo magnético é sempre gerado por cargas 
elétricas em movimento e exerce forças sobre qualquer carga em movimento. 
As forças magnéticas são, portanto, forças que duas cargas exercem entre si quando ambas 
se acham em movimento com relação ao observador. 
 
 
8.9.1 Definição e Propriedades do Campo Magnético 
O campo elétrico E num ponto do espaço foi definido corno a força elétrica, por carga 
unitária, que atua sobre uma carga de prova colocada nesse ponto. Analogamente, o campo 
gravitacional g num ponto do espaço é a força gravitacional, por unidade de massa, que atua sobre 
uma massa de prova no ponto. 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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167
Vamos agora definir o vetor do campo magnético B (chamado também de vetor indução 
magnética ou vetor densidade de fluxo magnético) num certo ponto do espaço em termos de uma 
força magnética que seria exercida sobre um corpo de prova apropriado. O nosso corpo de prova é 
uma partícula carregada que se desloca com a velocidade v. Vamos admitir, no momento, que não 
existam campos elétricos ou campos gravitacionais na região onde está essa partícula. As 
experiências com o movimento de diversas partículas carregadas, em movimento num campo 
magnético, levam aos seguintes resultados: 
1. A força magnética é proporcional à carga q e ao modulo da velocidade v da partícula. 
2. O módulo e a direção da força magnética dependem da velocidade da partícula e do 
modulo e da direção do campo magnético. 
3. Quando uma partícula carregada se move numa direção paralela ao vetor campo 
magnético, a força magnética F sobre a partícula é nula. 
4. Quando o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o campo magnético, a força magnética 
atua numa direção perpendicular a v e a B; isto é, F é perpendicular ao plano definido por v e por B 
(Fig. 8.16a). 
5. A força magnética sobre uma carga positiva está na direção oposta à direção da força 
sobre uma carga negativa que se mova com o mesmo vetor velocidade (Fig. 8.16b). 
6. Se o vetor velocidade fizer um ângulo θ com o vetor campo magnético, o modulo da força 
magnética é proporcional a sen θ. 
Estas observações podem ser resumidas, escrevendo-se a força magnética na forma 
BqvF ×= 8.21 
onde a direção da força magnética é a direção de v x B, que, pela definição do produto vetorial, é 
perpendicular a v e a B. 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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168 
 
Figura 8.16: A direção da força magnética sobre uma partícula carregada que se move com uma velocidade v na 
presença de um campo magnético B. (a) Quando v faz um ângulo θ com B, a força magnética é perpendicular a v e a B. 
(b) Na presença de um campo magnético, as partículas carregadas em movimento se desviam conforme as curvas 
tracejadas.A Fig. 8.17 encerra uma rápida revisão da regra da mão direita para a determinação da 
direção do produto vetorial v x B. Os quatro dedos da mão direita são apontados na direção de v e 
depois curvados para a direção de B. O polegar, então, aponta na direção de v x B. Uma vez que F = 
qv x B, F está na direção de v x B, se q for positiva (Fig. 8.17a), e na direção oposta à de v x B, se q 
for negativa (fig. 8.17b). 
 
Figura 8.17: A regra da mão direita para determinar a direção da força magnética F que atua sobre uma carga q em 
movimento com uma velocidade v, num campo magnético B. Se q for positiva, F está dirigida para cima, na direção do 
polegar. Se q for negativa, F está para baixo. 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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169
O valor da força magnética é dado por 
 
θ= senBvqF 8.22 
onde θ é o ângulo entre v e B. Por essa expressão, vemos que F é nula quando v for paralela a B (θ = 
O ou 180°). Além disto, a força tem o seu valor máximo, F = qvB, quando v for perpendicular a B 
(θ = 90°). 
Podemos encarar a equação 8.22 como uma definição operacional do campo magnético num 
ponto do espaço. Isto é, o campo magnético se define em termos de uma força lateral que atua sobre 
uma partícula carregada. Há diversas diferenças importantes entre as forças elétricas e as 
magnéticas: 
1. A força elétrica está sempre na direção do campo elétrico, enquanto a força magnética é 
perpendicular à direção do campo magnético. 
2. A força elétrica atua sobre urna partícula carregada, independentemente da velocidade da 
partícula, enquanto a força magnética atua sobre uma partícula carregada somente quando a 
partícula estiver em movimento. 
3. A força elétrica efetua trabalho ao deslocar urna partícula carregada, enquanto a força 
magnética, associada a um campo magnético permanente, não efetua trabalho quando a partícula for 
deslocada. 
Em outras palavras, quando uma carga se move com a velocidade v, um campo magnético 
aplicado pode alterar a direção do vetor velocidade, mas não pode alterar o módulo da velocidade 
de uma partícula. 
A unidade no Sistema Internacional de Medidas (SI) de campo magnético é o weber por 
metro quadrado (Wb/m2), chamado tesla (T). Essa unidade pode ser relacionada às unidades 
fundamentais mediante a equação 8.22 
[ ]
mA
N
s/mC
N
m
WbTB 2 ⋅=⋅=== 8.23 
 
Exemplo 8-9: Um próton se move com uma velocidade de 8 x 106 m/s, sobre o eixo dos x. Entra 
então numa região onde há um campo magnético de 2,5 T, com a direção fazendo um ângulo de 60° 
com o eixo dos x e no plano xy (figura 8.18). Calcular a força magnética inicial sobre o próton e a 
aceleração inicial do próton. 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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170 
 
Figura 8.18: A força magnética F sobre um próton está na direção dos z positivos quando v e B estão no plano xy. 
Solução: Pela equação 8.2 temos que, 
 
θ= senBvqF 
( ) ( ) ( ) ( )°××= − 60senT5,2s/m108C1067,1F 619 
N1077,2F 12−×= 
Uma vez que v x B está na direção dos z positivos e que a carga é positiva, a força F está na 
direção dos z positivos. 
Sendo 1,67 x 10-27 kg a massa do próton, a aceleração inicial é 
kg1067,1
N1077,2
m
FaamF 27
12
−
−
×
×==⇒⋅= 
215 s/m1066,1a ×= 
na direção dos z positivos. 
 
 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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171
8.10 Cálculo do Campo Magnético 
A questão central desta seção é: 
De que modo podemos calcular o campo magnético que uma dada distribuição de 
correntes cria no espaço à sua volta? 
A resposta à essa pergunta não é dada de forma única, mas pressupondo que o cálculo do 
campo magnético depende da geometria do problema apresentado. Dessa forma, descrevemos 
abaixo, algumas das mais freqüentes geometrias encontradas em problemas de magnetismo. 
 
8.10.1 Campo Magnético Devido a um Fio Retilíneo Longo 
Um fio retilíneo, comprido, de raio R, tem uma corrente constante I0 = i uniformemente 
distribuída pela seção reta do fio ( figura 8.19). 
 
 
 
Figura 8.19: Um fio condutor, retilíneo, de raio R, tem uma corrente I0 = i 
uniformemente distribuída sobre a sua seção reta. O campo magnético, em 
qualquer ponto pode ser calculado usando-se uma circunferência, de círculo, 
de raio r, centrada no eixo do fio. 
 
 
Na região 1, onde r >> R (fora do fio), vamos escolher uma circunferência de raio r, com 
centro no eixo do fio. Uma vez que a corrente que atravessa a superfície limitada pela curva 1 é i, a 
lei de Ampère nos dá 
r2
iB 0π
µ= (fora do fio) 8.24 
 
Consideremos agora o interior do fio, isto é, a região limitada pelo círculo 2, onde r < R. 
Nesse caso, o campo magnético, dentro do fio, é dado por 
 
( )( ) rR2 iB 20 ⋅πµ= (dentro do fio) 8.25 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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172 
onde µ0 é uma constante, denominada constante de permeabilidade, cujo valor exato, por definição, 
é 
A
mT104 70
⋅×π=µ − 8.26 
i é a corrente que percorre o fio, R é o raio do fio e r é o ponto onde se calcula o campo magnético. 
Exemplo 8-10: Um fio retilíneo longo de raio R = 1,5 mm transporta uma corrente constante i de 
32 A. 
(a) Qual é o módulo do campo magnético na superfície do fio? 
(b) Qual é o módulo do campo magnético no interior do fio? 
Solução: (a) Neste caso podemos aplicar a equação 8.4, já que o campo é calculado na superfície 
(fora) do fio. Na superfície do fio, r = 1,5 mm = 0,0015 m, temos então 
( ) ( )
( ) ( )m0015,02
A32A/mT104B
r2
iB
7
0
π
⋅×π=
π
µ=
−
 
 
T1027,4B 3−×= 
(b) Como estamos considerando um ponto no interior do fio, devemos aplicar a equação 8.25. 
Obtemos 
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
7
2
0
m0015,02
m0012,0A32A/mT104B
R2
riB
π
⋅×π=
π
µ=
−
 
 
T1041,3B 3−×= 
 
 
 
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173
8.10.2 Campo Magnético Devido a um Solenóide 
Um solenóide é constituído por um fio condutor comprido enrolado ao modo de uma hélice. 
Com esta configuração, é possível ter um campo magnético razoavelmente uniforme, num pequeno 
volume no interior do solenóide, caso as espiras estejam suficientemente juntas. Quando as espiras 
forem muito espaçadas, cada qual pode ser encarada como uma espira circular, e o campo 
magnético resultante é igual à soma vetorial dos campos pertinentes a cada uma das espiras. 
A figura 8.20 mostra as linhas do campo magnético de um solenóide com as espiras 
separadas. Observe que as linhas do campo, no interior da bobina, são quase paralelas, estão 
distribuídas quase uniformemente e são muito aproximadas umas das outras. Isso indica que o 
campo no interior do solenóide é uniforme. As linhas do campo, entre as espiras, tendem a se 
cancelar mutuamente. O campo fora do solenóide não é uniforme e é fraco. Nos pontos exteriores, 
como P, o campo é fraco, pois o campo devido aos elementos de corrente na parte de cima do 
solenóide tende a ser cancelado pelos elementos de corrente na parte de baixo. 
 
Figura 8.20: As linhas do campo magnético de um solenóide com espiras espaçadas. 
Se as espiras forem muito cerradas, e se o solenóide for de comprimento finito, as linhas do 
campo são as da figura 8.21. Neste caso, as linhas do campo divergem numa extremidade e 
convergemna outra. A análise desta distribuição do campo no exterior de um solenóide evidencia a 
semelhança entre esse campo e o de uma barra imantada. Então, uma ponta do solenóide se 
comporta como um pólo norte de um ímã, e a ponta oposta como um pólo sul. À medida que o 
comprimento do solenóide aumenta, o campo no seu interior fica cada vez mais uniforme. O 
solenóide aproxima-se, então, de um solenóide ideal, que tem as espiras muito juntas e o 
comprimento é grande em comparação com o raio das espiras. Neste caso, o campo no exterior do 
solenóide é fraco comparado ao campo no interior do solenóide, e, nesse interior, o campo é 
uniforme numa região de grande volume. 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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174 
 
Figura 8.21: Linhas do campo magnético de um solenóide com espiras muito cerradas, de 
comprimento finito, com uma corrente constante. O campo no interior do solenóide é quase 
uniforme e é forte. Observe que as linhas se parecem com as de uma barra imantada, de modo que o 
solenóide tem, efetivamente, um pólo norte e um pólo sul. 
 
A expressão do campo magnético no interior de um solenóide ideal, é dada por 
niB 0µ= 8.27 
onde n = N/L é o número de espiras por unidade de comprimento ( não confundir com N que é 
apenas o número de espiras) e i é a corrente que percorre o solenóide. 
Exemplo 8-11: Um solenóide tem comprimento L = 1,23 m e diâmetro interno d = 3,55 cm. Ele 
possui cinco camadas de enrolamentos de 850 espiras cada e transporta uma corrente i = 5,57 A. 
Qual é o valor de B em seu centro? 
( ) ( )  ×⋅×π=µ= − m23,1 8505A57,5A/mT104niB 70 
T1042,2B 2−×= 
 
 
 
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175
8.10.3 Campo Magnético Devido a um Toróide 
A figura 8.22 mostra um toróide, que podemos descrever como um solenóide encurvado na 
forma de um pneu. Que campo magnético é criado em seus pontos interiores? 
 
Figura 8.22: Bobina toroidal constituída por muitas espiras de fio condutor enroladas em um toro. 
Se as espiras forem bem cerradas, o campo no interior do toróide é tangente ao círculo tracejado. O 
campo externo é nulo. 
O módulo do campo magnético no interior do toróide é dado por: 
r2
NiB 0π
µ= 8.28 
Exemplo 8-12: Um toróide tem raio interno de 0,7 m e externo de 1,3 m. Se o toróide tiver 900 
espiras de fio, cada qual conduzindo uma corrente de 14000 A, achar a intensidade do campo 
magnético. 
(a) Sobre o raio interno do toróide. 
(b) Sobre o raio externo do toróide. 
 
Solução: (a) Da equação 8.28 temos, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )m7,02
900A14000A/mT104
r2
NiB
7
0
π
⋅×π=π
µ=
−
 
T6,3B = 
 
 
 
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(b) Da equação 8.28 temos, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )m3,12
900A14000A/mT104
r2
NiB
7
0
π
⋅×π=π
µ=
−
 
 
T94,1B = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
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8ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
1. Uma bateria, com fem de 12 V e resistência interna de 0,9 Ω, está ligada a um resistor de carga 
R. Se a corrente no circuito for 1,4 A, qual o valor de R? R: 7,67 Ω 
2. (a) Qual a corrente num resistor de 5,6 Ω, ligado a uma bateria que tem a resistência interna de 
0,2 Ω, se a voltagem entre os terminais da bateria for de 10 V ? (b) Qual a fem da bateria? R: 
(a)1,79 A (b) 10,4 V 
3. Uma corrente, na malha de um circuito que tem a resistência R1, é 2 A. A corrente se reduz 
para 1,6 A quando se coloca um resistor R2 = 3 Ω em série com R1. Qual o valor de R1 ? R: 
12,0 Ω 
4. Uma bateria tem uma fem de 15 V. A voltagem terminal da bateria é de 11,6 V quando a bateria 
está debitando 20 W de potência a um resistor e carga externo R. (a) Qual o valor de R. (b) Qual 
a resistência interna da bateria ? R: (a) 6,73 Ω (b) 1,98 Ω 
5. Duas pilhas de 1,5 V – com os terminais positivos na mesma direção – são instalados numa 
lanterna de mão. Uma das pilhas tem a resistência interna 0,255 Ω e a outra a resistência interna 
0,153 Ω. Quando a chave da lanterna é fechada, a lâmpada é percorrida por uma corrente de 0,6 
A. (a) Qual a resistência da lâmpada ? (b) Qual a fração da potência que se dissipa nas pilhas ? 
R: (a) 4,59 Ω (b) 8,16 % 
6. Aos extremos de um condutor é aplicada uma ddp de 18 V. Calcule sua resistência, sabendo que 
ele é atravessado por uma corrente de 6 mA de intensidade. R: 3000 Ω 
7. Num circuito a cujos extremos é aplicada uma ddp de 200 V, passa uma corrente de intensidade 
I = 5 A. Calcule a resistência desse circuito. R: 40 Ω 
8. Que ddp é preciso aplicar aos extremos de um condutor metálico de resistência R = 12 Ω para 
que ele seja percorrido por uma corrente de intensidade I = 20 A ? R: 240 V 
9. Esta é a curva característica tensão-corrente de um resistor. Qual o valor de sua resistência ? R: 
200 Ω 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
V 
(V
)
i (mA)
 
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10. Três resistores estão ligados em série. O primeiro tem resistência R1 = 10 Ω. O segundo, o 
dobro desse valor. O terceiro, o dobro do segundo. Calcule a resistência equivalente do sistema. 
R: 70 Ω 
11. Usando somente três resistores – de 2 Ω, de 3 Ω, e de 4 Ω - achar todas as 17 resistências que 
podem ser conseguidas mediante as várias combinações de um ou mais desses resistores. 
Tabular os resultados na ordem das resistências crescentes. R: 0,923 Ω ≤ R ≤ 9,0 Ω 
12. Considerando a figura abaixo: 
(a) Achar a resistência equivalente entre os pontos a e b. 
(b) Uma ddp de 34 V é aplicada entre os pontos a e b. Calcular a corrente em cada resistor. R: 1,99 
A 1,17 A 0,819 A 
 
13. Calcular a resistência equivalente da rede de resistores idênticos, cada qual com resistência R, 
que aparece na figura abaixo. R: (6/11)R 
 
 
 
 
 
 
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14. Calcular a potência dissipada em cada resistor do circuito da figura abaixo. R: 14,3W; 28,5W; 
1,33W; 4,0W 
 
 
15. Considere o circuito que aparece na figura abaixo. Achar: 
(a) a corrente no resistor de 20 Ω; R: 0,227A 
(b) a ddp entre os pontos a e b. R: 5,68V 
 
 
16. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm. 
(a) Calcule a capacitância. R: 140 pF 
(b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial aplicada for de 120 V ? R: 17 x 
10-9 C 
17. A placa e o catodo de um diodo tem a forma de dois cilindros concêntricos sendo o catodo o 
cilindro central. O diâmetro do catodo é de 1,6 mm e o diâmetro da placa é de 18 mm; os dois 
elementos tem comprimento de 2,4 m. Calcular a capacitância do diodo. R: 0,55 x 10-12 F 
18. As placas de um capacitor esférico tem raios de 38,0 mm e 40,0 mm. 
(a) Calcular a capacitânica. R: 84,5 x 10 –12 F 
(b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação entre as 
placas e capacitância idêntica ? R: 0,019 m2 
19. Quantos capacitores de 1,00 µF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 
1,00 C com um potencial de 110 V através dos capacitores ? R: 9090 capacitores 
 
 
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20. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que C1 = 10,0 
µF, C2 = 5,00 µF e C3 = 4,00 µF. R: 3,16 µF 
 
21. Suponha que no circuito do exercício 20, o capacitor C3 teve seu isolamento rompido 
eletricamente, tornando-o equivalente a um caminho condutor. Que variações ocorrem 
(a) na carga. R: Nenhuma variação. 
(b) Na ddp do capacitor C1. R: A ddp do capacitor C1 aumenta, se igualando à ddp V da bateria. 
22. Na figura abaixo, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha que C1 = 10,0 
µF, C2 = 5,00 µF e C3 = 4,00 µF. R: 7,33 µF 
 
23. Uma capacitância C1 = 6,00 µF é ligada em série com uma capacitância C2 = 4,0 µF e uma ddp 
de 200 V é aplicada através do par. 
(a) Calcule a capacitância equivalente. R: 2,40 µF 
(b) Qual é a carga sobre cada capacitor? R: 0,480 mC para ambos 
(c) Qual é a ddp através de cada capacitor? R: V1 = 80 V; V2 = 120 V 
24. Um capacitor de 100 pF é carregado sob uma ddp de 50 V e a bateria que o carrega é retirada. O 
capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor, inicialmente descarregado. 
Sabendo-se que a ddp cai para 35 V, qual é a capacitância deste segundo capacitor? R: 43 pF 
 
 
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25. Dispomos de vários capacitores de 2,0 µF, capazes de suportar 200 V sem ruptura. Como 
poderíamos agrupar esse capacitores, de modo a obter uma combinação de capacitância 
equivalente de : 
(a) 0,40 µF. R: Cinco em série 
(b) 1,20 µF, cada uma capaz de suportar 1.000 V. R: Três setas como em (a) em paralelo. 
26. Um fio n° 10 (2,6 mm de diâmetro), de cobre desencapado, pode conduzir uma corrente de 50 A 
sem se aquecer em demasia. Para esta corrente, qual é o campo magnético na superfície do fio? 
R: 7,7 mT 
27. Calcular o módulo do campo magnético a um ponto 100 cm distante de um fio condutor, 
delgado, comprido, com uma corrente de 1 A. R: 200 nT 
28. Um condutor delgado, comprido, retilíneo, tem uma corrente de 10 A. A que distância do 
condutor o módulo do campo magnético é igual a 10-4 T? R: 6,28 cm 
29. Um fio condutor de raio 0,5 cm tem uma corrente de 100 A distribuída uniformemente sobre a 
área da seção reta. Achar o valor do campo magnético 
(a) a 0,1 cm do eixo do fio. R: 8 x 10-4 T 
(b) na superfície do fio. R: 4 x 10-3 T 
(c) num ponto fora do fio, a 0,2 cm da sua superfície. R: 2,86 x 10-3 T 
30. Um solenóide de 95,0 cm de comprimento tem um raio de 2,0 cm, um enrolamento de 1200 
espiras e transporta uma corrente de 3,6 A. Calcule o módulo do campo magnético no interior 
do solenóide. R: 5,71 mT 
31. Um solenóide de 200 espiras tendo um comprimento de 25 cm e um diâmetro de 10 cm 
transporta uma corrente de 0,30 A. Calcule o módulo do campo magnético B próximo ao centro 
do solenóide. R: 3,02 x 10-4 T 
32. Um solenóide supercondutor é projetado para gerar um campo de 10 T. Se o enrolamento do 
solenóide tiver 2000 espiras/m, que corrente deve ter ? R: 3,98kA 
33. Um solenóide com as espiras cerradas, comprido, com o comprimento de 30 cm, tem o campo 
magnético B = 5 x 10-4 T no seu centro, quando percorrido pela corrente i = 1 A. Quantas 
espiras tem o solenóide? R: 119 espiras 
34. Um toróide , com espiras cerradas, e o raio interno de 1 cm e o externo de 2 cm, tem 1000 
espiras e uma corrente de 1,5 A. 
(a) Qual o campo magnético a 1,1 cm do centro do solenóide? R: 2,73 x 10-2 T 
(b) Qual o campo magnético a 1,5 cm do centro? R: 2,00 x 10-2 T 
BIBLIOGRAFIA 
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC 
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BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA 
 
ALONSO, Marcelo. Física. Editora Addison-Wesley. Volume único. 1999 
BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo: Editora 
Makron Books. 5ª edição revisada, volume único, 1998. 
HALLIDAY, David, et al. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Editora LTC. 6ª edição, vol. 1 a 
4, 2002. 
NUSSENZVEIG, Hersh Moysés. Curso de Física Básica. Editora Edgard Blücher Ltda. Volume 1, 
3ª edição, 1996. 
SERWAY, Raymond A. Física para Cientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: Editora LTC, 3ª 
edição, vol. 1 a 3, 1996. 
TIPLER, Paul Allen. Física para Cientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: Editora LTC, 4ª edição, 
vol. 1 a 3, 2000.