Gráficos de Funções Logarítmicas

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Gráfico da função logarítmica
Após as explorações que você fez no GeoGebra, agora vamos analisar os gráficos de duas funções loga-
rítmicas F: R ñ R1
* do tipo F(x) 5 log
a
 x (com a > 0 e a = 1), a primeira com a > 1 e a segunda com 0 < a < 1, 
para depois fazer as formalizações desse tipo de função.
Para construir os gráficos em um plano cartesiano, primeiro escolhemos alguns valores de x e calculamos os 
respectivos valores das funções. Em seguida, marcamos esses pontos no plano cartesiano e traçamos a curva que 
representa o gráfico.
	a) F(x) 5 log2 x ou y 5 log2 x, ou seja, a > 1. 
x y 5 log2 x
1
4
log
1
4
2 5 22
1
2
log
1
2
2 5 21
1 log2 1 5 0 
2 log2 2 5 1 
4 log2 4 5 2 
x
y
21
1
0 1 2 3 4
2
22
F(x) 5 log
2
 x
1
4
1
2
Neste caso, a função é crescente (x1 < x2 ~ log
a
 x1 < log
a
 x2).
	b) F(x) 5 5x y xlog ou log1
2
1
2
, ou seja, 0 < a < 1. 
x y 5 
log 1
2
x
1
4
log
1
4
1
2
 5 2
1
2
log
1
2
1
2
 5 1
1 log 11
2
 5 0 
2 log 21
2
 5 21 
4 log 41
2
 5 22
x
y
21
1
0 1 2 43
2
22
F(x) 5 log x
1
4
1
2
1
2
Neste caso, a função é decrescente (x1 < x2 ~ log
a
 x1 > log
a
 x2).
De modo geral, observe o gráfico de F(x) 5 log
a
 x, com a > 0 e 
a = 1, nos casos em que a > 1 e 0 < a < 1.
B
a
n
c
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m
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g
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•	A função logarítmica dada por 
F(x) 5 log
a
 x, com a > 0 e a = 1, está 
definida para todo x é R1
* e tem 
conjunto imagem R.
•	O gráfico da função logarítmica em 
um plano cartesiano é uma curva que 
tem o mesmo aspecto dos gráficos 
desta página.
•	Quando as bases das leis das funções 
são a e 
a
1
, os gráficos delas são 
simétricos em relação ao eixo x.
Fique atento
F(x) 5 log
a 
x (a > 1)
F(x) 5 log
a 
x (0 < a < 1)
y
x x
y
0
01 1Il
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Agora, observe no plano cartesiano os gráficos das funções inversas dadas por F(x) 5 ax e F21(x) 5 loga x, 
com a > 0 e a = 1, nos casos em que a > 1 e 0 < a < 1.
yF(x) 5 ax (a > 1) F(x) 5 ax (0 < a < 1)
y 5 x
y 5 x
F(x) 5 log
a 
x (0 < a < 1)
F(x) 5 log
a 
x (a > 1)
y
x x
1
1
0 1
1
0
Algumas características da função logarítmica
Apresentamos a seguir algumas características da função logarítmica F:  R1
*  ñ R, dada por F(x) 5 loga x, 
com a > 0 e a = 1.
•	 O gráfico de uma função logarítmica em um plano cartesiano intersecta o eixo das abscissas no ponto (1, 0), 
ou seja, F(1) 5 0, ou, ainda, loga 1 5 0. Assim, x 5 1 é o zero dela.
•	 O gráfico não intersecta o eixo das ordenadas nem tem pontos dos quadrantes II e III do plano cartesiano.
•	 Somente números positivos têm logaritmo real, pois a função x ñ ax assume somente valores positivos.
•	 A função logarítmica pode ser crescente (se a > 1) ou decrescente (se 0 < a < 1).
y
x
1
F(x) 5 log
a
 x (0 < a < 1)
x
1
x
2
log
a 
x
2
log
a 
x
1
0
y
x
1 x
1
x
2
log
a 
x
1
log
a 
x
2
0
F(x) 5 log
a
 x (a > 1)
x1 < x2 ~ loga x1 > loga x2 x1 < x2 ~ loga x1 < loga x2
•	 Os valores da função logarítmica podem ser positivos ou negativos. Quando a > 1, 
temos que para x > 1 os valores da função são positivos (F(x) > 0) e para 0 < x < 1 
os valores da função são negativos (F(x) < 0). 
•	 Conforme aumentamos o valor de x, ao contrário da função exponencial cujos valo-
res F(x) 5 ax crescem rapidamente quando a > 1, os valores F(x) 5 loga x da função 
logarítmica crescem muito lentamente.
Veja, por exemplo, que, se log10 x 5 1 000, então x 5 101 000. Assim, se quisermos 
que log10 x seja maior do que 1 000, precisamos escolher um número x que tenha 
pelo menos 1 001 algarismos.
•	 A função logarítmica é injetiva, pois elementos distintos x1 e x2 do domínio têm valores distintos F(x1) e 
F(x2). Denotamos assim: x1 = x2 ~ F(x1) = F(x2).
Disso, obtemos: F(x1) 5 F(x2) ~ x1 5 x2, ou loga x1 5 loga x2 ~ x1 5 x2.
A função logarítmica também é sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único 
número real positivo x tal que loga x 5 b. Portanto, ela é bijetiva (há uma correspondência biunívoca 
entre R1
* e R).
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Quando 0 < a < 1, 
para quais valores 
de x os valores da 
função logarítmica são 
positivos e para quais 
são negativos?
Reflita
Para x > 1 temos que 
os valores da função 
são negativos (F(x) < 0) 
e para 0 < x < 1 temos 
que os valores da função 
são positivos (F(x) > 0). 
Não escreva no livro.
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