Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (142)

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5
Só existe função 
inversa de uma 
função bijetiva.
Fique atento
F21 não é o mesmo 
que 
F
1
.
Fique atento
(a, b) e (b, a) são 
pontos simétricos em 
relação à reta y 5 x.
Observe no plano 
cartesiano os pontos 
(2, 4) e (4, 2), por 
exemplo, e a simetria 
em relação a essa reta.
Reflita
Formalizando a definição de função 
inversa
Dada uma função F: A ñ B, bijetiva, denominamos fun•‹o inversa de F a função 
G: B ñ A tal que, se F(a) 5 b, então G(b) 5 a, com a é A e b é B.
Ou, de modo equivalente:
A função G: B ñ A é a inversa da função F: A ñ B quando temos G(F(x)) 5 x e 
F(G(y)) 5 y para todo x é A e y é B.
De modo geral, se F é bijetiva, temos a situação do diagrama a seguir.
BA
x
F(x) 5 yF
G 5 F21
G(y) 5 x
ou
F21(y) 5 x
G: B ñ A é a função inversa da função 
F: A ñ B, pois temos G(y) 5 G(F(x)) 5 x para 
todo x é A e F(G(y)) 5 y, para todo y é B.
É comum indicar a função G, inversa de F, por F21.
F: A ñ B e F 21: B ñ A
Assim, no exemplo das funções inversas da página anterior, podemos escrever:
F(x) 5 4x e F 21(x) 5 
x
4
Acompanhe outro exemplo.
Considere a função F: R1 ñ R1 dada por F(x) 5 x2. Como ela é bijetiva, a inversa 
dela é a função G: R1 ñ R1 dada por G(y) 5 y , pois:
G(F(x)) 5 G(x 2) 5 x2 5 x e F(G(x)) 5 F( ) 5 ( )y y 2 5 y
Observe a representação gráfica dessas funções em um mesmo plano cartesiano. 
0 1
2
1
3
F
F21
4
reta y 5 x
2 3 4
y
x
x y 5 F(x) x y 5 F21 (x)
0 0 0 0
1 1 1 1
2 4 4 2
A função F e a função inversa G 5 F21 são simétricas em relação à reta y 5 x, que 
representa a bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. É possível provar 
que isso ocorre em todos os casos de duas funções inversas.
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88
Atividades Não escreva no livro.
Nas atividades a seguir, sempre que necessário, use cal‑
culadoras científicas ou planilhas eletrônicas para efetuar 
os cálculos.
	14.	Qual é o valor do pH de uma solução cuja concentração 
de H1 é de 4,5 ? 1025 mol/L?
O pH de uma solução pode ser medido utilizando 
fitas‑teste que, após o contato com a solução, mudam de 
cor para indicar se ela é ácida, básica ou neutra.
	15.	Se um capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros 
compostos e à taxa anual de 12%, então após quan‑
tos anos da aplicação serão obtidos juros no valor de 
R$ 700.000,00?
	16.	Uma pessoa deposita uma quantia na caderneta de 
poupança, à taxa de 0,36% ao mês. Em quantos anos 
a quantia depositada triplica?
	17.	Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 em um fundo de apli‑
cação que rende, em média, 1,5% ao mês.
	a) Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo 
R$ 1.300,00?
	b) E em quantos meses essa pessoa teria essa quantia 
se a taxa fosse de 1% ao mês?
	18.	Uma instituição financeira cobra juros do cartão de cré‑
dito de 9% a.m. do saldo devedor. Um usuário desse 
cartão tem saldo devedor de R$ 505,00. Em quanto 
tempo essa dívida chegará a R$ 600,00 se não for 
paga? (Use as aproximações: log 2 5 0,3; log 3 5 0,48; 
log 1,01 5 0,004; log 1,09 5 0,038.)
	19.	Em um financiamento de R$ 200.000,00 em uma insti‑
tuição bancária para a compra de um imóvel, à taxa de 
juros compostos de 8% ao ano, o valor final a ser pago 
é de R$ 440.000,00. Em quantos anos esse financia‑
mento é quitado? (Dado: log1,08 2,2 â 10.)
	20.	De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a di‑
ferença das medidas de temperatura de um corpo e do 
meio que o contém decresce a uma taxa de variação 
proporcional à diferença dessas medidas. Consideran‑
do DT0 a diferença das medidas de temperatura do 
corpo e do meio, no instante t 5 0, e DT(t) a diferença 
dessas medidas, em um instante t qualquer, essa lei se 
traduz pela expressão DT(t) 5 DT0 ? e
2at, em que e é 
uma constante matemática e a constante a depende 
do corpo.
Suponha que, em determinado local, cuja medida de 
temperatura ambiente é de 30 °C, exista uma panela 
de água fervente no fogo. Em t 5 0, o fogo é desliga‑
do e 5 minutos depois a medida de temperatura da 
água é de 65 °C. Depois de quanto tempo, a partir do 
desligamento do fogo, a água atingirá a medida de 
temperatura de 37 °C?
(Considere log 2 â 0,3.)
	a) 20 minutos e 40 segundos.
	b) 16 minutos e 40 segundos.
	c) 12 minutos e 40 segundos.
	d) 8 minutos e 40 segundos.
	e) 4 minutos e 40 segundos.
Para as atividades a seguir, use a fórmula Q(t) 5 Q0 ? (2,7)2rt, 
em que Q representa a medida de massa da substância 
ou a quantidade de bactérias, r é a taxa e t é a medida de 
intervalo de tempo.
	21.	Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 
8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se 
reduzirão a 5 g? 
	22.	Altere o enunciado da atividade anterior de modo que 
as medidas de massa não sejam dadas, mas que seja 
possível fazer todos os cálculos e obter a mesma res‑
posta.
	23.	Em um laboratório, uma pessoa verifica que a taxa de 
crescimento relativo contínuo de bactérias em uma 
cultura é de 2,5% por minuto. Nessas condições, em 
quantos minutos a quantidade de bactérias passará de 
4 000 para 6 000? 
	24.	Calcule a meia‑vida de uma substância radioativa que 
se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. 
	25.	Elabore mais um problema para ser resolvido usando 
a fórmula Q(t) 5 Q0 ? (2,7)2r t dada. Depois, peça a um 
colega que confira o problema que você elaborou e a 
resolução.
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Na seção Atividades, você encontra 
atividades e problemas envolvendo 
contextos cotidianos, da Matemática 
e de outras áreas do conhecimento, 
para você aplicar e aprofundar os 
conteúdos estudados. Nela também 
há atividades que visam à elaboração 
de perguntas e problemas.
Ao longo do capítulo, 
apresentamos no boxe Glossário a 
definição de algumas palavras ou 
expressões da língua portuguesa. 
A progressão geométrica mais antiga
O papiro de Rhind, já citado na página 107, é um dos mais antigos documentos de Matemática e perma-
nece praticamente intacto atualmente. Ele foi escrito em aproximadamente 1650 a.C., pelo escriba egípcio 
Ahmes, que copiou nele outros textos ainda mais antigos. O escriba usou a escrita hierática (da direita para 
a esquerda), que era reservada às coisas sagradas e religiosas da época e era bastante diferente da escrita 
popular dos hieróglifos. 
Esse papiro também é considerado um importante documento histórico, pois foi escrito no ano 33 do 
reinado do faraó egípcio Apófis.
Veja um pedaço original desse papiro e uma parte copiada e restaurada.
Réplica do papiro de Rhind restaurado, no Museu Britânico de 
Londres (Inglaterra).
Em 1850, o advogado e antiquário escocês Ale-
xander Rhind encontrou esse papiro na cidade de 
Luxor (Egito). Ele comprou o papiro da pessoa que 
o possuía e que, provavelmente, não tinha a mínima 
ideia do valor dele. Então, o levou para a Inglaterra 
e fez a doação desse precioso documento ao Museu 
Britânico de Londres, onde está até os dias atuais.
Antiquário
Estudioso de coisas 
antigas, ou pessoa ou 
local que coleciona 
ou comercializa 
antiguidades.
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Papiro de Rhind, no Museu Britânico de Londres (Inglaterra). 319 cm 3 34,3 cm.
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As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
143
Resolvida passo a passo
	 7.	O uso indiscriminado de agrotóxicos, as mudanças climá-
ticas, os grandes desmatamentos e o aparecimento de al-
guns tipos de parasita podem levar à extinção das abelhas 
em poucas décadas. E conforme a quantidade de insetos 
dessa população vai diminuindo, a polinização das plantas 
vai ficando cada vez mais comprometida, o que pode gerar 
um colapso na produção de alimentos, bem como causar a 
morte de animais herbívoros, por falta de alimentos, e de 
animaiscarnívoros que se alimentam dos herbívoros. 
Diante desse quadro preocupante, especialistas estudam 
maneiras de evitar a redução da quantidade de abelhas.
Suponha uma situação preocupante em que a população 
de uma colônia de abelhas, inicialmente com 20 000 indiví-
duos, esteja se reduzindo à taxa de aproximadamente 10% 
ao mês por causa do uso de agrotóxicos. Calcule a quan-
tidade de abelhas nessa população depois de 4 meses e 
represente a situação graficamente.
Resolução
1. Lendo e compreendendo
	a) O que é dado no problema?
Informa-se a quantidade inicial de abelhas na população, que é de 20 000 indivíduos, e a taxa de redução, 
que é de 10% ao mês (aproximadamente).
	b) O que se pede?
O cálculo da quantidade de abelhas depois de 4 meses e a representação gráfica dessa situação.
2. Planejando a solução
Precisamos determinar uma sentença matemática, em função da medida de intervalo de tempo t, em meses, 
que represente a situação e, em seguida, descobrir, para t 5 4, qual é a quantidade de indivíduos da população. 
Com esses dados, podemos construir, no plano cartesiano, um gráfico que represente a situação.
3. Executando o que foi planejado
Chamamos de P(t) a quantidade de indivíduos da popula-
ção em função de t, com t . 0. Como a quantidade inicial 
de 20 000 abelhas sofre um decréscimo de 10% ao mês, 
temos que a sentença representativa dessa situação é:
P(t) 5 20 000 ? 
t
1
10
100
2



 5 20 000 ? (0,9)t
Para t 5 4, obtemos:
P(4) 5 20 000 ? (0,9)4 5 20 000 ? 0,6561 5 13 122
Sabendo os valores de P(0) e P(4), representamos o gráfico 
dessa função em um plano cartesiano.
4. Emitindo a resposta
Depois de 4 meses, a população da colônia de abelhas terá 13 122 indivíduos.
5. Ampliando o problema
Depois de quantos meses a população dessa colônia de abelhas terá 16 200 indivíduos?
Atividades resolvidas
Polinização é o processo de transferência de 
pólen que ocorre nas plantas e é por ele que 
elas se reproduzem. As abelhas são o agente 
polinizador mais importante, mas esse processo 
também pode ocorrer por ação de outros insetos, 
do vento, da água, de animais e até mesmo pelo 
ser humano.
20 000
P(t)
13 122
40
t (em meses)
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Não escreva no livro.
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Nas Atividades resolvidas, 
você acompanha a 
resolução detalhada de 
atividades e problemas 
que visa exemplificar 
estratégias de resolução.
	45.	Em uma instituição bancária, ao fazer um empréstimo 
de R$ 10.500,00 a juros compostos, uma pessoa fica-
rá devendo após 1 mês a quantia emprestada mais 
R$ 147,00.
	a) Qual é a taxa de juros mensal desse empréstimo?
	b) Identifique e escreva no caderno a lei de correspon-
dência para o montante M(t) devido após t meses 
desse empréstimo, caso não ocorram pagamentos.
	c) Caso não ocorram pagamentos, após 3 meses 
quanto a pessoa deverá pagar de juros por esse 
empréstimo? Se julgar necessário, use uma calcula-
dora para efetuar os cálculos.
	46.	A radioatividade é um fenômeno que ocorre em nú-
cleos de átomos instáveis por emitirem partículas e ra-
diações. Esse fenômeno faz parte de nossa vida, como 
quando fazemos uma tomografia.
Como você viu na página 35, o conceito de meia-vida 
pode ser relacionado à quantidade de núcleos radio-
ativos de uma amostra, sendo chamado também de 
período de semidesintegração P. Assim, a cada me-
dida de intervalo de tempo P, a quantidade de ma-
terial radioativo cai à metade da anterior, sendo pos-
sível relacionar a quantidade de material radioativo a 
qualquer intervalo de tempo com a quantidade inicial 
por meio de uma função do tipo exponencial dada por 
N(t) 5 N0 ? 
t
p1
2




, em que N0 é a quantidade inicial do 
material radioativo, t é a medida de intervalo de tem-
po decorrida e P é a meia-vida do material radioativo 
considerado.
	a) Um dos isótopos mais usados nos radiofármacos 
injetados nos pacientes submetidos à tomografia é 
o carbono-11, cuja meia-vida é de 20 minutos. Qual 
é a medida de intervalo de tempo, em minutos, ne-
cessária para que uma amostra de carbono-11 se 
reduza a 
1
4
 do que era quando foi obtida?
Cada um de dois ou mais átomos de um mesmo elemento, 
cujo núcleo atômico tem a mesma quantidade de prótons, 
mas quantidades diferentes de nêutrons.
Isótopo
	b) O Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares 
(Ipen) – entidade vinculada ao governo do estado 
de São Paulo e gerida pelo Ministério da Ciência, 
Tecnologia, Inovações e Comunicações do governo 
federal – foi pioneiro na produção de radioisótopos 
e radiofármacos no Brasil e ocupa atualmente lu-
gar de destaque em diversos setores da atividade 
nuclear, proporcionando avanços no domínio das 
tecnologias e na produção de materiais.
Entidades de pesquisa como o Ipen são importantes 
para estudo e aperfeiçoamento contínuo das ciências, 
bem como para o desenvolvimento delas em âmbito 
nacional. O Centro de Radiofarmácia desse instituto, 
por exemplo, atua continuamente no desenvolvimen-
to de novos radiofármacos, na atualização das tecno-
logias e na nacionalização da produção dos insumos. 
Acesse o site desse centro (disponível em: https://
www.ipen.br/portal_por/portal/interna.php?secao_
id=632; acesso em: 15 maio 2020) e navegue nele 
para ver imagens e conhecer mais das áreas de pes-
quisa. Você também pode navegar pelos demais cen-
tros do Ipen e explorar outras áreas de estudo.
Não escreva no livro.
O termo radioatividade foi 
inventado pela cientista, 
física e química polonesa 
Maria Salomea Sklodowska 
(1867-1834), que passou a 
se chamar Marie Sklodowska 
Curie após se casar com o 
físico francês Pierre Curie 
(1859-1906). Apesar de 
todas as dificuldades que 
as mulheres enfrentavam na 
época para estudar e terem 
as pesquisas reconhecidas, 
Marie apresentou muitos 
feitos na carreira: os estudos da radioatividade feitos 
com o marido Pierre e o também físico francês Antoine 
Henri Becquerel (1852-1908) renderam a eles o Prêmio 
Nobel em Física em 1903, sendo ela a primeira mulher a 
ganhar esse prêmio; ela foi também a primeira mulher a 
lecionar na Universidade de Sorbonne, em Paris (França); 
posteriormente, em 1911, recebeu o Nobel de Química 
pela descoberta e pelos estudos dos elementos rádio e 
polônio, se tornando a primeira pessoa a ter ganhado 
o prêmio duas vezes em áreas distintas; desses estudos 
foram desenvolvidos os primeiros aparelhos de raio X, 
usados durante a Primeira Guerra Mundial. 
Como no século XIX eram poucos os conhecimentos dos 
perigos da radioatividade, o cuidado com a exposição aos 
elementos era baixo. Marie faleceu na França de leucemia 
causada por essa longa exposição ao longo da carreira.
Para conhecer mais a história de vida, os estudos e as 
descobertas dessa cientista, sugerimos os sites indicados a 
seguir (acesso em: 30 abr. 2020).
Marie Curie: pioneira da Ciência. Disponível em: 
http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.
htm?infoid=1158&sid=7.
Marie Curie. Disponível em: http://www.canalciencia.ibict.br/
nossas-informacoes/ciencioteca/personalidades/item/325-
marie-curie.
Sobre o assunto
Marie Curie segurando tubo 
de ensaio em laboratório 
na Universidade de Paris 
(França). Foto de 1925.
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No boxe Sobre o assunto, 
você encontra informações 
e curiosidades relacionadas 
aos conteúdos estudados, 
bem como sugestão de 
textos, vídeos, simuladores, 
museus, entre outros, para 
complementar e aprofundar 
seus estudos ou mesmo 
realizar pesquisas.
O boxe Fique atento 
retoma definições ou 
nomenclaturas, chama a 
atenção para algo que 
está sendo estudado no 
momento e apresenta dicas 
que podem auxiliá-lo no 
estudo.
O boxe Reflita traz 
questionamentos e 
reflexões sobre o conteúdo 
apresentado.
001a007_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5001a007_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd5 04/09/2020 11:3804/09/2020 11:38
6
Tecnologias digitais
Não escreva no livro.
4343
Construção do gráfico de uma função exponencial
Como você viu, o gráfico de uma função F: R ñ R é o conjunto formado por todos 
os pares ordenados (x, y), para x é R, y é R e y 5 F(x). Esse gráfico pode ser repre-
sentado no plano cartesiano e isso pode ser feito usando diversos softwares.
O GeoGebra é um software livre de Matemática que foi criado pelo matemático 
austríaco Markus Hohenwarter (1976-) e recebeu diversos prêmios na Europa e nos 
Estados Unidos. Esse software pode ser utilizado em diversos conteúdos de Números, 
Álgebra e Geometria e faremos uso dele, neste momento, para construir o gráfico 
de funções exponenciais no plano cartesiano e para explorar os gráficos, antes das 
formalizações.
Você tem diversas opções de uso do GeoGebra de Geometria: em um compu-
tador, pode fazer o download no site www.geogebra.org/download (acesso em: 
20 mar. 2020); em um smartphone, pode baixá-lo na loja oficial de aplicativos do siste-
ma operacional do aparelho; ou pode acessá-lo on-line no site https://www.geogebra.
org/geometry (acesso em: 20 mar. 2020).
As imagens que utilizaremos a seguir são da versão on-line. Mas você pode esco-
lher a plataforma que julgar mais oportuna.
Vamos construir inicialmente o gráfico da função exponencial F: R ñ *R1 dada por 
F(x) 5 2x e destacar alguns pontos importantes do gráfico. Para isso, siga os passos.
1o passo: No campo de entrada de comando (situado na parte esquerda da tela, 
no caso da versão on-line), digite a lei da função f(x)=2^x e tecle “Enter”. Observe 
que “^” indica a operação de potenciação.
2o passo: Acesse as configurações de exibição (na parte superior direita da tela) e 
selecione as opções de exibir os eixos e de exibir a malha principal. Você deverá ter 
uma imagem como a apresentada abaixo.
Analise com atenção o gráfico (a curva em verde na imagem), observando o com-
portamento dele e como os valores da função crescem neste caso.
Tela do GeoGebra após o 2o passo.
Salve as construções 
que você fizer.
Fique atento
Você pode mover 
a imagem no 
GeoGebra clicando 
em algum ponto da 
tela e arrastando. 
Você também pode 
ampliar ou reduzir 
a imagem usando 
as ferramentas de 
zoom (na parte 
inferior direita da 
tela) ou utilizando 
o scroll do mouse 
(aquela “rodinha” 
que fica na parte 
superior da maioria 
dos mouses).
Fique atento
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Qualquer programa 
gratuito de computador 
cujo código-fonte deve 
ser disponibilizado para 
permitir o uso, o estudo, 
a cópia e a redistribuição.
Software livre
Na seção Tecnologias digitais, 
propomos a utilização de diversas 
tecnologias, como calculadora, 
simuladores e softwares livres, para 
fazer explorações, investigações 
e simulações, calcular medidas 
estatísticas, construir e manipular 
representações gráficas, figuras 
geométricas, planilhas, entre 
outros.
Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Os Palikur e os métodos de medição
No dia a dia é comum as pessoas realizarem medições de comprimentos, massas, 
volumes e outras grandezas. Um costureiro, por exemplo, precisa medir o compri-
mento do tecido para confeccionar uma roupa; um cozinheiro precisa medir a massa 
dos ingredientes para preparar uma refeição; um pedreiro precisa medir o volume de 
cimento necessário para uma construção.
Você deve conhecer algumas maneiras de fazer medições de grandezas utilizando 
diferentes instrumentos e unidades de medida. Agora vamos conhecer um pouco do 
povo indígena Palikur e de como eles fazem a medição de comprimentos.
As aldeias Palikur estão localizadas na região fronteiriça entre Brasil e Guiana Fran-
cesa e, no território brasileiro, ficam às margens do rio Urucará, no município de Oia-
poque, ao norte do Amapá. 
Os indígenas dessas 
aldeias têm uma manei-
ra própria de conceber o 
espaço e de classificar os 
seres que os cercam, se-
parando-os de acordo com 
o gênero. Seres que eles 
classificam como inanima-
dos (como os rios, os cami-
nhos, as árvores, as canoas 
e os produtos da roça) são 
do gênero feminino, en-
quanto seres que eles clas-
sificam como vivos (como 
os seres humanos, a Lua, as 
estrelas, o Sol, o relâmpago 
e o trovão) são do gênero 
masculino.
As expressões usadas 
pelos Palikur para medir e 
agrupar são formadas por 
palavras que se agrupam para, além de quantificar esses elementos, fornecer informa-
ções de gênero, posição e forma. Por exemplo: eles acrescentam p quando se referem 
a um objeto e ya quando se referem a dois objetos; se for um elemento considerado 
masculino, acrescentam ri, se for feminino, ru, e para gênero neutro, a.
Por exemplo, paha-p-ru himano significa “um ser vivo feminino” e é a expressão 
usada para se referir a uma moça. Para falar de duas moças, a expressão seria pi-ya-na 
himano-pwiyo, que significa “dois seres vivos femininos”.
Além disso, a interpretação da expressão usada para medir e agrupar depende 
do contexto em que está sendo empregada. A expressão pahat iwanti, que signifi-
ca “um cilíndrico braço”, é usada para indicar três medidas de comprimento dife-
rentes de acordo com o contexto em que está inserida: 40 centímetros; 1,70 metro; 
ou 2,20 metros.
As habitações das 
aldeias Palikur 
são geralmente 
construídas sobre 
estacas, com piso de 
madeira e cobertas de 
palha. Na foto, aldeia 
Palikur, em Macapá 
(AP). Foto de 2014.
Rosa Gauditano/StudioR
25
Conhecimentos e saberes 
matemáticos desenvolvidos 
e utilizados por diferentes 
comunidades são 
apresentados na seção 
Além da sala de aula. 
Nela você também será 
convidado a investigar 
questões e propor ações 
que podem auxiliar a 
comunidade em que vive. 
Além disso, utilizará as 
ideias do pensamento 
computacional para analisar 
e compreender problemas, 
bem como modelar e 
automatizar resoluções.
Na seção Vestibulares e Enem, 
propomos questões do Enem e de 
vestibulares de todas as regiões do 
Brasil relacionadas aos conteúdos 
estudados no capítulo.
Vestibulares e Enem
	 1.	(Enem) O governo de uma cidade está preocupado 
com a possível epidemia de uma doença infectoconta-
giosa causada por bactéria. Para decidir que medidas 
tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da 
bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura 
bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-
-se a fórmula para a população p(t) 5 40 ? 23t, em que 
t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares 
de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 
20 min, a população será:
	a) reduzida a um terço. 
	b) reduzida à metade. 
	c) reduzida a dois terços. 
	d) duplicada. 
	e) triplicada. 
	 2.	(Enem) A duração do efeito de alguns fármacos está 
relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para 
que a quantidade original do fármaco no organismo se 
reduza à metade. A cada intervalo de tempo corres-
pondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco 
existente no organismo no final do intervalo é igual a 
50% da quantidade no início desse intervalo.
O gráfico anterior representa, de forma genérica, o 
que acontece com a quantidade de fármaco no orga-
nismo humano ao longo do tempo.
F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica. 
Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. As-
sim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h 
em um paciente, o percentual dessa dose que restará 
em seu organismo às 13 h 30 min será aproximada-
mente de:
	a) 10%. 
	b) 15%. 
	c) 25%. 
	d) 35%. 
	e) 50%.
 
R
e
p
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d
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, 
2
0
0
7.
	 3.	(Enem) O sindicato de trabalhadores de uma empresa 
sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, 
propondo um aumento percentual fixo por cada ano 
dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à 
proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), 
em anos, é s(t) 5 1 800 ? (1,03)t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de 
umprofissional dessa empresa com 2 anos de tempo 
de serviço será, em reais: 
	a) 7.416,00. 
	b) 3.819,24.
	c) 3.709,62. 
	d) 3.708,00. 
	e) 1.909,62.
	 4.	(Enem) Em um laboratório, cientistas observaram o 
crescimento de uma população de bactérias submetida 
a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções 
de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias 
dessa população, após t horas de observação, poderia 
ser modelado pela função exponencial N(t) 5 N0e
kt, 
em que N0 é o número de bactérias no instante do 
início da observação (t 5 0), e representa uma constan-
te real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
Sabe-se que, após uma hora de observação, o número 
de bactérias foi triplicado.
Cinco horas após o início da observação, o número de 
bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi:
	a) 3N0.
	b) 15N0.
	c) 243N0.
	d) 360N0.
	e) 729N0.
	 5.	(Enem) O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é 
uma medida usada para classificar os países pelo seu 
grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são leva-
dos em consideração a expectativa de vida ao nascer, 
tempo de escolaridade e renda per capita, entre ou-
tros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. 
Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes 
índices de desenvolvimento humano: o primeiro país 
recebeu um valor X, o segundo X , o terceiro X
1
3, o 
quarto X 2 e o último X 3. Nenhum desses países zerou 
ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH? 
	a) O primeiro. 
	b) O segundo. 
	c) O terceiro. 
	d) O quarto. 
	e) O quinto. 
	 6.	(UFPA) Uma substância ingerida pelo organismo é ex-
cluída pelo sistema excretor segundo uma função ex-
ponencial. A vida média é o tempo que [...] uma quan-
tidade ingerida leva para decair à metade, que, para a 
substância em questão, é de 12 horas. A quantidade 
da substância, em miligramas, a ser ingerida de modo 
que, ao final de 36 horas, a quantidade restante seja 
de 10 mg é de: 
	a) 30. 
	b) 60. 
	c) 80. 
	d) 90. 
	e) 100.
64
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Leitura e compreensão
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23
Algarismos significativos em medidas
Medir é, essencialmente, comparar grandezas de mesma natureza a fim de atribuir valores quantitativos a 
grandezas físicas. Contudo, tratando-se de objetos reais, essa comparação de grandezas dificilmente é rea-
lizada de modo absoluto, perfeito e sem que ocorra algumas imprecisões. Essas imprecisões definem o que 
chamamos de erros de uma medida.
Erros durante a medição podem ser causados pelo operador (falta de atenção ou experiência, por exem-
plo), sistemáticos (uma régua que não esteja corretamente graduada, por um erro de fabricação, por exem-
plo) ou inesperados (cujas causas precisam ser investigadas caso a caso; um exemplo seria a dilatação térmica 
de uma régua metálica fazer com que a distância entre as graduações seja maior em dias quentes do que em 
dias frios). Independentemente do quanto esses erros sejam controlados e minimizados, qualquer instrumen-
to de medida tem um limite de precisão, que 
determina o erro instrumental.
Erros instrumentais nunca podem ser elimi-
nados de medições. Em geral, é possível utili-
zar um instrumento mais preciso quando existe 
a necessidade de uma medida mais precisa 
(uma balança de cozinha, por exemplo, tem 
uma precisão maior do que uma balança de 
chão e, portanto, um erro instrumental menor). 
Muitos cientistas trabalham no desenvolvimen-
to de instrumentos que meçam massa, compri-
mento, energia, entre outras grandezas, com 
precisões cada vez maiores, para que possam 
ser utilizados em diversos campos de pesquisa.
Veja a medição representada pelas ima-
gens desta página.
Pessoa utilizando uma régua para medir o comprimento de uma 
barra de madeira.
Recorte da visão superior da régua indicando a medida 
de comprimento da barra.
O operador que realizou a medição dessa barra de madeira pode considerar que a medida de comprimento 
dela está entre 12,7 cm e 12,8 cm. Assim, a medida de comprimento da barra, em centímetros, é a soma de 
12,7 cm e um Dx (lemos: delta x) cujo valor é duvidoso ou estimado.
Assim, nessa medida há 4 algarismos significativos: os 3 algarismos exatos da medida (neste caso, os 
algarismos 1, 2 e 7); e 1 algarismo duvidoso, que é estimado pelo operador (que poderia ser 3, 4 ou 5, por 
exemplo).
O valor de Dx pode ser estimado pelo operador.
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As imagens não 
estão representadas 
em proporção
Dx
Na seção Leitura e compreensão, 
você é convidado a ler e 
interpretar diferentes textos que 
visam ampliar e enriquecer os 
conteúdos estudados no capítulo.
Coronavírus
Os vírus são os menores e mais simples agentes infecciosos existentes e se reproduzem em células de pratica-
mente todas as espécies (animais, plantas e até mesmo bactérias). Não há consenso entre os pesquisadores quanto 
à classificação dos vírus como seres vivos; alguns defendem que são vivos, outros dizem que não.
Vírus são sempre parasitas, o que significa que, se não estiverem em um organismo, não vão conseguir se 
reproduzir nem “sobreviver”, ou seja, serão inativados. O tempo que o vírus leva para “morrer” fora de um or-
ganismo varia de acordo com o tipo de vírus e com as características do meio, como a medida de temperatura 
e o material que compõe esse meio. Por exemplo, o HIV (vírus da imunodeficiência humana que pode causar 
a aids) pode permanecer ativo por cerca de uma hora fora do organismo humano.
Os vírus são constituídos apenas de material genético – que pode ser uma molécula de DNA ou de RNA 
ou ainda as duas juntas – envolvido por uma cápsula proteica e, em alguns casos, também por um envelope 
de lipídios. Eles se replicam sempre dentro de células vivas e utilizam o sistema de síntese delas. Durante a 
replicação dos vírus no interior das células, podem ocorrer mutações aleatórias, a maioria inviável para o vírus. 
Entretanto, parte dessas mutações pode prover o vírus de características que o tornam mais bem adaptado, 
permitindo, por exemplo, que ele consiga infectar um novo tipo de hospedeiro.
Apenas uma parte dos vírus causa doenças, algumas delas tão perigosas que podem levar o hospedeiro 
ao óbito. Em 2002, por exemplo, houve relatos na China de pessoas com problemas respiratórios que fica-
ram conhecidos pela sigla sars (severe acute respiratory syndrome, síndrome respiratória aguda grave, em 
português). Essa doença é causada por um vírus do grupo coronavírus (CoV), chamado sars-CoV. Entre 2002 
e 2003 houve cerca de 8 000 casos confirmados de sars, com 774 óbitos em 29 países. 
Em 2012 outra doença foi identificada, a mers (Middle East respiratory syndrome, síndrome respiratória do 
Oriente Médio, em português), causada pelo vírus mers-CoV. Dela resultaram 2 494 casos confirmados, com 
858 óbitos na península Arábica e 38 mortes na Coreia do Sul. 
Em 2020, mais uma doença foi identificada: a covid-19, também causada por um vírus, do grupo coro-
navírus, chamado sars-CoV-2. Essa terceira doença causada por um coronavírus em menos de duas décadas 
não foi exatamente uma surpresa: pesquisadores já haviam realizado estudos sobre as chances de haver um 
novo surto similar aos causados pelo sars-CoV e pelo mers-CoV, mencionando até que poderia ter origem 
em morcegos.
 
c
re
a
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Imagem microscópica e processada 
para melhor visualização do 
sars-CoV-2. Esse vírus tem diâmetro 
com medida de comprimento 
entre 60 e 140 nanômetros, o que 
representa menos de 10% da medida 
de comprimento do diâmetro 
de uma hemácia.
Embora patógenos como o coronavírus mers-CoV estivessem entre os 10 temas 
prioritários da OMS desde dezembro de 2015, não fomos capazes de nos preparar 
devidamente para a crise que a pandemia da covid-19 causaria no mundo. Essa crise 
gera uma oportunidade para repensarmos as relações do ser humano com a natureza, 
o sistema de saúde e a economia, bem como a atençãodada às pesquisas científicas.
Agente causador de 
doenças; no caso, vírus 
que causa doenças.
Patógeno
Não escreva no livro.
Conexões
59
Temas relevantes e atuais que relacionam 
diferentes áreas do conhecimento são 
explorados na seção Conexões. 
As atividades apresentam oportunidades 
de interpretação, aplicação, pesquisa, 
ampliação e debate do tema da seção.
001a007_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6001a007_V1_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 6 04/09/2020 16:4104/09/2020 16:41