Matemática Interligada Grandezas, Sequências e Matemática Fina (52)

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 PG e função exponencial
Considere a função do tipo exponencial f : R é R , definida por f ( x ) 5 5 ?? 2 
x
 e a 
progressão aritmética ( 2 2, 1, 4, 7, 10, … ) de razão 3. 
Calculando ( f ( 2 2 ) , f ( 1 ) , f ( 4 ) , f ( 7 ) , f ( 10 ) , … ) , temos:
 x 2 2 1 4 7 10 
 f ( x ) 
5
 ― 
4
 10 80 640 5 120 
Esse resultado pode ser provado, mas não será feito neste livro.
• O que podemos notar em relação à sequência ( 
5
 ― 
4
 , 10, 80, 640, 5 120, … ) ?
Calculando, a partir do 2o termo, a razão entre um termo e seu antecessor, temos:
 
10
 ― 
 
5
 ― 
4
 
 5 
80
 ― 
10
 5 
640
 ― 
80
 5 
5 120
 ― 
640
 5 8 
Essa razão pode ser obtida elevando o coeficiente a da função ( a 5 2 ) pela razão da 
PA inicial ( r 5 3 ) , isto é: 2 
3
 5 8 .
De modo geral:
De acordo com os valores de f ( x ) , temos a sequência ( 
2
 ― 
81
 , 
2
 ― 
9
 , 2, 18, 162, … ) , a qual 
corresponde a uma PG de razão 9, ou seja: a 
r
 5 3 
2
 5 9 .
 x 2 4 2 2 0 2 4 
 f ( x ) 
2
 ― 
81
 
2
 ― 
9
 2 18 162
 R32. Seja f, definida por f ( x ) 5 2 ?? 3 
x
 uma função do tipo exponencial e ( 2 4, 2 2, 0, 2, 4, … ) 
uma PA de razão 2. Verifique se ( f ( 2 4 ) , f ( 2 2 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( 4 ) , … ) é uma PG e determine 
sua razão.
Resolução
Calculando alguns valores de f ( x ) , temos:
Existem funções 
escritas como 
f ( x ) 5 b ?? a x , com 
a . 0 e a Þ 1 , 
obtidas a partir da 
função exponencial. 
Nessas circunstân-
cias, são funções do 
tipo exponencial.
Em outras palavras: 
uma função do tipo 
exponencial 
“transforma” uma 
PA de razão r no 
domínio, em uma 
PG de razão a r no 
contradomínio.
Sendo f : R é R uma função do tipo exponencial, definida por f ( x ) 5 b ?? a 
x
 , 
em que x 1 , x 2 , x 3 , … , x n , … são os elementos de uma PA de razão r, a sequência 
 ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , f ( x 3 ) , … , f ( x n ) , … ) é uma PG de razão a 
r
 , em que a é o coeficiente 
de f .
É uma PG de razão 8.
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2n
2n
2n
2n
2n
2n
2n
1 célula
(zigoto)
46
cromossomos
= 2n
2 células
(1o CICLO)
4 células
(2o CICLO)
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 R33. (Fepar-PR) Mitose é um processo de divisão celular em que uma 
célula dá origem a duas células filhas idênticas à célula original. 
No caso do desenvolvimento embrionário humano, durante o 
processo de segmentação, ou clivagem, o zigoto se divide em 
duas células (1o ciclo), que por sua vez também sofrerão mitoses, 
resultando em 4 células (2o ciclo), e assim sucessivamente, até 
que se inicie o processo de diferenciação celular.
Um pesquisador começou a acompanhar o processo divisório 
quando já haviam ocorrido alguns ciclos; e continuou acompa-
nhando o processo por 6 ciclos, até constatar a formação de 
16 384 células.
A função f ( x ) representa a quantidade de células formadas por ciclo ( x ) no processo 
da mitose. Julgue as afirmativas.
a ) A função f ( x ) é dada por f ( x ) 5 2 
x
 , com f : Z é Z .
b ) A mitose expressa uma progressão geométrica crescente de razão 2.
c ) O total de células existentes, quando o pesquisador começou a acompanhar o processo 
divisório, era 256.
d ) Ocorreram 255 mitoses antes do pesquisador acompanhar o processo.
e ) Quando o pesquisador iniciou o processo de observação, já haviam ocorrido exata-
mente 6 ciclos.
Resolução
a ) Falsa, pois, o domínio da função f como indicado ( Z ) admite números negativos, e ci-
clos negativos não têm sentido nesse contexto.
b ) Verdadeira. Em cada ciclo da mitose, a quantidade de células segue o seguinte padrão:
Assim, temos a sequência ( 2, 4, 8, … ) , que é uma progressão geométrica de razão 2.
c ) Verdadeira. Precisamos, primeiramente, determinar a quantidade de ciclos que já ha-
viam ocorrido quando o pesquisador começou a observar o processo divisório. Consi-
derando x essa quantidade, teremos ao final do processo divisório x 1 6 ciclos e 16 384 
células. Assim:
 2 
x 1 6
 5 16 384 ⇔ 2 
x 1 6
 5 2 
14
 ⇔ x 1 6 5 14 ⇔ x 5 8 
Portanto, já haviam ocorrido 8 ciclos quando o pesquisador começou, e a quantidade 
de células correspondentes quando x 5 8 é dada por:
 2 
8
 5 256 é 256 células 
d ) Verdadeira. Vimos na resolução do item c que ocorreram 8 ciclos antes do pesquisador 
acompanhar o processo. Assim, vejamos quantas mitoses ocorreram em cada ciclo.
 2 
1
 5 2 células1o ciclo
 2 
2
 5 4 células2o ciclo
 2 
p
 célulaspo ciclo
 ⋮ ⋮ 
O total de mitoses durante os 8 primeiros ciclos é dado pela adição das mitoses que 
ocorreram em cada ciclo, ou seja:
 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 5 255 
Portanto, antes do pesquisador acompanhar o processo ocorreram 255 mitoses.
e ) Falsa. Vimos na resolução do item c que a observação do pesquisador começou depois 
de 8 ciclos.
1o ciclo
2o ciclo
8o ciclo
 ⋮ 
 2 
0
 5 1 mitose
 2 
1
 5 2 mitoses
 2 
7
 5 128 mitoses
 ⋮ ⋮ 
C
a
rl
o
s
 B
o
ri
n
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